资源简介

10.3.1　频率的稳定性
10.3.2　随机模拟
【课程标准要求】　1.理解概率的意义以及频率与概率的区别与联系.2.能初步利用概率知识解释现实生活中的概率问题.3.了解随机模拟的含义,会利用随机模拟估计概率.
知识点一　频率的稳定性
大量试验表明,在任何确定次数的随机试验中,一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).
频率与概率的区别和联系
(1)区别:频率是一个变量,随着试验次数的变化而变化,概率是一个定值,是某事件的固有属性.
(2)联系:频率是概率的试验值,会随试验次数的增加逐渐稳定;概率是频率理论上的稳定值,在实际中可用频率估计概率.
知识点二　随机模拟
1.随机数与伪随机数
像彩票摇奖那样,把10个质地和大小相同的号码球放入摇奖器中,充分搅拌后摇出一个球,这个球上的号码就称为随机数.
计算器或计算机产生的随机数是按照确定的算法产生的,具有周期性(周期很长),它们具有类似随机数的性质.因此,计算器或计算机产生的随机数不是真正的随机数,我们称它们为伪随机数.
2.随机模拟方法(蒙特卡洛方法)
利用计算器或计算机软件产生随机数来做模拟试验,通过模拟试验得到的频率来估计概率,称这种利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法.
知识拓展
产生随机数的常用方法
(1)用计算器产生;(2)用计算机产生;(3)抽签法.
基础自测
1.抛掷一枚质地均匀的硬币,设事件A=“正面向上”,则下列说法正确的是(　　)
[A] 抛掷硬币10次,事件A必发生5次
[B] 抛掷硬币100次,事件A不可能发生50次
[C] 抛掷硬币1 000次,事件A发生的频率一定等于0.5
[D] 随着抛掷硬币次数的增多,事件A发生的频率逐渐稳定在0.5附近
随着抛掷硬币次数的增多,事件A发生的频率在0.5附近波动.故选D.
2.用随机模拟方法估计概率时,其准确程度取决于(　　)
[A] 产生的随机数的大小
[B] 产生的随机数的个数
[C] 随机数对应的结果
[D] 产生随机数的方法
3.已知某运动员每次投篮命中的概率都为0.5,现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮都命中的概率:先由计算机产生0到9之间的整数随机数,指定1,2,3,4,5表示命中,6,7,8,9,0
表示不命中,再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:
162　966　151　525　271　
932　592　408　569　683
471　257　333　027　554　
488　730　163　537　989
据此估计,该运动员三次投篮都命中的概率为(　　)
[A] 0.15 [B] 0.20
[C] 0.25 [D] 0.35
4.(人教A版必修第二册P260练习T1改编)在掷一枚质地均匀的硬币试验中,掷100次,其中有48次正面朝上,设“反面朝上”为事件A,则事件A发生的频率为　　　　.
题型一　频率与概率的关系
[例1] 一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑球、白球共20个,一个学习小组做摸球试验,将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回袋中,不断重复.下表是一组统计
数据:
摸球的 次数n 100 150 200 500 800 1 000
摸到白球 的频数m 58 96 116 295 484 601
摸到白球 的频率 0.580 0.640 0.580 0.590 0.605 0.601
(1)试估计当n很大时,摸到白球的频率将会接近多少;
(2)假如你去摸一次,摸到白球或黑球的概率分别约是多少
(2)由(1)可知,摸到白球的频率约为0.6,因此可估计摸到白球的概率是0.6.由对立事件的概率关系可得,摸到黑球的概率约为1-0.6=0.4.
频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值,利用此公式可求出事件发生的频率.频率本身是随机变量,当n很大时,频率总是在一个稳定值附近摆动,这个稳定值就是概率.
[变式训练] 下列命题正确的是(　　)
[A] 若一批产品的次品率为0.05,则从中任意取出200件产品中必有10件是次品
[B] 抛100次硬币,结果51次出现正面,则出现正面的概率是0.51
[C] 随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率
[D] 掷骰子100次,得点数为6的结果有20次,则出现6点的频率为0.2
则从中任取200件,次品的件数在10件左右,而不一定是10件,故A错误;
对于B,100次并不是无穷多次,只能说明这100次试验出现正面朝上的频率为0.51,故B错误;
对于C,根据定义,随机事件的频率只是概率的近似值,它并不等于概率,故C错误;
对于D,频率估计概率,频率为出现的次数与重复试验的次数的比值,
掷骰子100次,得点数是6的结果有20次,则出现6点的频率是=0.2,故D正确.故选D.
题型二　游戏公平性的判断
[例2] 小颖的爸爸只有一张电影票,她和哥哥两人都很想去观看.哥哥想了一个办法,他拿了8张扑克牌,将数字为2,3,5,9的四张牌给小颖,将数字为4,6,7,10的四张牌给自己,并按如下游戏规则进行:小颖和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张,然后将抽出的两张扑克牌数字相加,如果和为偶数,则小颖去;如果和为奇数,则哥哥去.
(1)求小颖去看电影的概率;
(2)这个游戏规则公平吗 若公平,请说明理由;若不公平,在小颖和哥哥所拿4张牌不变的情况下,请修改游戏规则使其对双方公平.
两张牌的数字之和所对应的16种结果分别为6,8,9,12,7,9,10,13,9,11,12,15,13,15,16,19,
其中和为偶数的结果有6,8,12,10,12,16,共6种,
所以小颖去看电影的概率为=.
(2)哥哥设计的游戏规则不公平,
因为小颖去看电影的概率为,
所以哥哥去看电影的概率为1-=,>,此规则对哥哥更有利.
因为在所拿的牌不变的情况下,两张牌的数字之和所对应的16种结果分别为6,8,9,12,7,9,10,
13,9,11,12,15,13,15,16,19,其中和为3的倍数的结果有8种,
故可修改规则为小颖和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张,然后将抽出的两张扑克牌数字相加,若和为3的倍数,则小颖去;若和不是3的倍数,则哥哥去.
游戏规则是否公平的判断标准
在各类游戏中,如果每人获胜的概率相等,那么游戏就是公平的,这就是说是否公平只要看游戏各方获胜的概率是否相等.例如,体育比赛中决定发球权的方法应该保证比赛双方先发球的概率相等,这样才是公平的;抽签决定某项事务时,任何一支签被抽到的概率也是相等的,这样才是公平的.
[变式训练] 某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会,组织者欲使晚会气氛热烈、有趣,策划整场晚会以转盘游戏的方式进行,每个节目开始时,两班各派一人先进行转盘游戏,胜者获得一件奖品,负者表演一个节目.(1)班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘(如图所示),设计了一种游戏方案:两人同时各转动一个转盘一次,将转到的数字相加,和为偶数时(1)班代表获胜,否则(2)班代表获胜.该方案对双方是否公平 为什么
转盘2 和 　 转盘1 4 5 6 7
1 5 6 7 8
2 6 7 8 9
3 7 8 9 10
由表可知该游戏可能出现的情况共有12种,其中两数字之和为偶数的情况有6种,为奇数的情况也有6种,所以(1)班代表获胜的概率P1==,(2)班代表获胜的概率P2==,P1=P2,机会是均等的,所以该方案对双方是公平的.
题型三　用随机模拟试验估计概率
[例3] 一袋子中装有除颜色外完全相同的4个白球和5个黑球,从中有放回地摸球3次,每次摸1个球.用模拟试验的方法,让计算机产生1～9之间的整数随机数,若1～4代表白球,5～9代表黑球,每3个为一组,产生如下20组随机数:
917 966 191 925 271 932 735 458 569 683
431 257 393 627 556 488 812 184 537 989
则3次摸出的球中恰好有2次是白球的概率近似为(　　)
[A] [B] [C] [D]
用随机模拟试验估计概率时,要明确以下三点:
(1)确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果.
(2)研究等可能事件的概率时,用比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数.
(3)当每次试验结果需要n个随机数表示时,要把n个随机数作为一组来处理,此时一定要注意每组中的随机数字能否重复.
[变式训练] 天气预报显示,在今后的三天中,每一天下雨的概率均为40%,用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率.可利用计算机产生0到9之间的整数随机数,如果我们用1,2,3,4表示下雨,用5,6,7,8,9,0表示不下雨,每3个为一组,产生如下20组随机数:
907　966　191　925　271　932　812
458　569　683　631　257　393　027
556　488　730　113　137　989
则这三天中恰有两天下雨的概率约为(　　)
[A] [B] [C] [D]
631,393,137,共7组随机数.故三天中恰有两天下雨的概率约为.
故选B.
(分值:95分)
单选每题5分.
1.下列说法正确的有(　　)
①随机事件A的概率是频率的稳定值,频率是概率的估计值;②某人打靶,射击10次,击中7次,那么此人中靶的概率是0.7;③一名同学进行掷硬币试验,掷6次,一定有3次正面朝上.
[A] 0个 [B] 1个 [C] 2个 [D] 3个
2.在进行n次重复试验中,事件A发生的频率为,当n很大时,事件A发生的概率P(A)与的关系是(　　)
[A] P(A)≈ [B] P(A)<
[C] P(A)> [D] P(A)=
3.甲、乙两人做游戏,下列游戏中不公平的是(　　)
[A] 掷一枚骰子,向上的点数为奇数则甲胜,向上的点数为偶数则乙胜
[B] 同时掷两枚相同的骰子,向上的点数之和大于7,则甲胜,否则乙胜
[C] 从一副不含大小王牌的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色则甲胜,是黑色则乙胜
[D] 甲、乙两人各写一个数字,若都是奇或都是偶则甲胜,否则乙胜
故选B.
4.某种心脏手术,成功率为0.6,现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率:先利用计算器或计算机产生0～9之间的整数随机数,由于成功率是0.6,我们用0,1,2,3表示手术不成功,4,5,6,7,8,9表示手术成功;再以每3个随机数为一组,作为3例手术的结果,经随机模拟产生如下10组随机数:
812　832　569　683　271
989　730　537　925　907
由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为(　　)
[A] 0.2 [B] 0.3 [C] 0.4 [D] 0.5
5.工厂对某车间某一天生产的产品采用随机抽样的方法抽到一个容量为40的样本数据,分组后,各组的频数如下表:
分组 (10,20] (20,30] (30,40] (40,50] (50,60] (60,70]
频数 4 6 x 10 y 4
已知样本数据在(20,40]范围内的频率为0.35,则样本数据在(50,60]范围内的频率为(　　)
[A] 0.70 [B] 0.50 [C] 0.25 [D] 0.20
所以样本数据在(50,60]范围内的频率为=0.20.故选D.
6.某工厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检,发现其中有5件不合格,那么估计该厂这20万件产品中合格产品约有(　　)
[A] 1万件 [B] 18万件
[C] 19万件 [D] 2万件
故选C.
7.(5分)在一个不透明的纸盒中装有2个白球和若干个红球,这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球,记下颜色后再放回袋中,通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近,则袋子中红球约有　　　　个.
8.(5分)某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表所示.
赔付金额/元 0 1 000 2 000 3 000 4 500
车辆数/辆 600 80 110 120 90
若每辆车的投保金额均为2 500元,估计赔付金额大于投保金额的概率为　　　　.
9.(13分)某射击手在同一条件下进行射击训练,结果如下表:
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455
击中靶心频率
(1)求出表中击中靶心的各个频率值;
(2)这个射击手射击一次,击中靶心的概率可估计为多少
射击 次数n 10 20 50 100 200 500
击中靶心 次数m 8 19 44 92 178 455
击中靶心 频率 0.8 0.95 0.88 0.92 0.89 0.91
(2)随着试验次数的增加,频率向0.9靠近,估计概率为0.9.
10.(15分)有一个转盘游戏,转盘被平均分成10等份(如图所示),转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下:两个人参加,先确定猜数方案,甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜.猜数方案从以下两种方案中选一种:
A.猜“是奇数”或“是偶数”
B.猜“是4的整数倍”或“不是4的整数倍”
请回答下列问题:
(1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜数方案,怎样猜 为什么
(2)为了保证游戏的公平性,应选择哪种猜数方案 为什么
(2)为了保证游戏的公平性,应选择A方案.
因为A方案猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5,从而保证了该游戏是公平的.
11.某家庭准备晚上在餐馆吃饭,他们查看了两个网站关于四家餐馆的好评率,如下表所示,考虑每家餐馆的总好评率,他们应选择(　　)
项目 网站① 评价人数 网站① 好评率 网站② 评价人数 网站② 好评率
餐馆甲 1 000 95% 1 000 85%
餐馆乙 1 000 100% 2 000 80%
餐馆丙 1 000 90% 1 000 90%
餐馆丁 2 000 95% 1 000 85%
[A] 餐馆甲 [B] 餐馆乙 [C] 餐馆丙 [D] 餐馆丁
=90%,
餐馆乙的总好评率为
≈86.67%,
餐馆丙的总好评率为
=90%,餐馆丁的总好评率为≈91.67%,
显然91.67%>90%>86.67%,所以餐馆丁的总好评率最高.故选D.
12.(5分)规定:投掷飞镖3次为一轮,若3次中至少2次投中8环以上为优秀.根据以往经验,某选手投掷一次命中8环以上的概率为.现采用计算机做模拟试验来估计该选手获得优秀的概率:用计算机产生0到9之间的随机整数,用0,1表示该次投掷未在8环以上,用2,3,4,5,6,7,8,9表示该次投掷在8环以上.经随机模拟产生如下20组随机数:
907　966　191　925　271　
932　812　458　569　683
031　257　393　527　556　
488　730　113　537　989
据此估计,该选手投掷一轮,可以拿到优秀的概率为　　　　.
13.(17分)假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解它们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,结果统计如图所示(每组为左闭右开区间).
(1)估计甲品牌产品寿命小于200 h的概率;
(2)在这两种品牌产品中,某个产品已使用了200 h,试估计该产品是甲品牌的概率.
(2)根据抽样结果,寿命大于等于200 h的产品共有 75+70=145(个),其中甲品牌产品有75个,所以在样本中,寿命大于等于200 h的产品是甲品牌的频率是=,用频率估计概率,所以某个产品已使用了200 h,该产品是甲品牌的概率约为.(共34张PPT)
10.3　频率与概率
10.3.1　频率的稳定性
10.3.2　随机模拟
1.理解概率的意义以及频率与概率的区别与联系.2.能初步利用概率知识解释现实生活中的概率问题.3.了解随机模拟的含义,会利用随机模拟估计概率.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　频率的稳定性
大量试验表明,在任何确定次数的随机试验中,一个随机事件A发生的频率具有 性.一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐 于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率fn(A)估计概率 .
随机
稳定
P(A)
·疑难解惑·
频率与概率的区别和联系
(1)区别:频率是一个变量,随着试验次数的变化而变化,概率是一个定值,是某事件的固有属性.
(2)联系:频率是概率的试验值,会随试验次数的增加逐渐稳定;概率是频率理论上的稳定值,在实际中可用频率估计概率.
知识点二　随机模拟
1.随机数与伪随机数
像彩票摇奖那样,把10个质地和大小相同的号码球放入摇奖器中,充分搅拌后摇出一个球,这个球上的号码就称为 .
计算器或计算机产生的随机数是按照确定的算法产生的,具有周期性(周期很长),它们具有类似随机数的性质.因此,计算器或计算机产生的随机数不是真正的随机数,我们称它们为 .
随机数
伪随机数
2.随机模拟方法(蒙特卡洛方法)
利用计算器或计算机软件产生随机数来做模拟试验,通过模拟试验得到的频率来估计概率,称这种利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法.
『知识拓展』
产生随机数的常用方法
(1)用计算器产生;(2)用计算机产生;(3)抽签法.
基础自测
1.抛掷一枚质地均匀的硬币,设事件A=“正面向上”,则下列说法正确的是(　　)
[A] 抛掷硬币10次,事件A必发生5次
[B] 抛掷硬币100次,事件A不可能发生50次
[C] 抛掷硬币1 000次,事件A发生的频率一定等于0.5
[D] 随着抛掷硬币次数的增多,事件A发生的频率逐渐稳定在0.5附近
D
【解析】 不管抛掷硬币多少次,事件A发生的次数是随机事件,故A,B,C错误;
随着抛掷硬币次数的增多,事件A发生的频率在0.5附近波动.故选D.
2.用随机模拟方法估计概率时,其准确程度取决于(　　)
[A] 产生的随机数的大小
[B] 产生的随机数的个数
[C] 随机数对应的结果
[D] 产生随机数的方法
B
【解析】 随机数容量越大,所估计的概率越接近实际数.故选B.
3.已知某运动员每次投篮命中的概率都为0.5,现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮都命中的概率:先由计算机产生0到9之间的整数随机数,指定1,2,3,4,5表示命中,6,7,8,9,0表示不命中,再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:
162　966　151　525　271　
932　592　408　569　683
471　257　333　027　554　
488　730　163　537　989
据此估计,该运动员三次投篮都命中的概率为(　　)
[A] 0.15 [B] 0.20
[C] 0.25 [D] 0.35
B
4.(人教A版必修第二册P260练习T1改编)在掷一枚质地均匀的硬币试验中,掷100次,其中有48次正面朝上,设“反面朝上”为事件A,则事件A发生的频率为　　　　.
0.52
关键能力·素养培优
题型一　频率与概率的关系
[例1] 一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑球、白球共20个,一个学习小组做摸球试验,将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回袋中,不断重复.下表是一组统计数据:
(1)试估计当n很大时,摸到白球的频率将会接近多少;
【解】 (1)由题表可知当n≥500时,频率值稳定在0.6左右,由此可估计,当n很大时,摸到白球的频率将会接近0.6.
(2)假如你去摸一次,摸到白球或黑球的概率分别约是多少
【解】 (2)由(1)可知,摸到白球的频率约为0.6,因此可估计摸到白球的概率是0.6.由对立事件的概率关系可得,摸到黑球的概率约为1-0.6=0.4.
·解题策略·
频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值,利用此公式可求出事件发生的频率.频率本身是随机变量,当n很大时,频率总是在一个稳定值附近摆动,这个稳定值就是概率.
[变式训练] 下列命题正确的是(　　)
[A] 若一批产品的次品率为0.05,则从中任意取出200件产品中必有10件是次品
[B] 抛100次硬币,结果51次出现正面,则出现正面的概率是0.51
[C] 随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率
[D] 掷骰子100次,得点数为6的结果有20次,则出现6点的频率为0.2
D
【解析】 对于A,试验中,出现的某种事件的频率总在一个固定值的附近波动,并不是一个确定的值,一批产品的次品率为0.05,
则从中任取200件,次品的件数在10件左右,而不一定是10件,故A错误;
对于B,100次并不是无穷多次,只能说明这100次试验出现正面朝上的频率为0.51,故B错误;
对于C,根据定义,随机事件的频率只是概率的近似值,它并不等于概率,故C错误;
对于D,频率估计概率,频率为出现的次数与重复试验的次数的比值,
[例2] 小颖的爸爸只有一张电影票,她和哥哥两人都很想去观看.哥哥想了一个办法,他拿了8张扑克牌,将数字为2,3,5,9的四张牌给小颖,将数字为4,6,7,10的四张牌给自己,并按如下游戏规则进行:小颖和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张,然后将抽出的两张扑克牌数字相加,如果和为偶数,则小颖去;如果和为奇数,则哥哥去.
(1)求小颖去看电影的概率;
题型二　游戏公平性的判断
【解】 (1)由题意画树状图,
两张牌的数字之和所对应的16种结果分别为6,8,9,12,7,9,10,13,9,11,12,
15,13,15,16,19,
其中和为偶数的结果有6,8,12,10,12,16,共6种,
(2)这个游戏规则公平吗 若公平,请说明理由;若不公平,在小颖和哥哥所拿4张牌不变的情况下,请修改游戏规则使其对双方公平.
因为在所拿的牌不变的情况下,两张牌的数字之和所对应的16种结果分别为6,8,9,12,7,9,10,13,9,11,12,15,13,15,16,19,其中和为3的倍数的结果有8种,
故可修改规则为小颖和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张,然后将抽出的两张扑克牌数字相加,若和为3的倍数,则小颖去;若和不是3的倍数,则哥哥去.
·解题策略·
游戏规则是否公平的判断标准
在各类游戏中,如果每人获胜的概率相等,那么游戏就是公平的,这就是说是否公平只要看游戏各方获胜的概率是否相等.例如,体育比赛中决定发球权的方法应该保证比赛双方先发球的概率相等,这样才是公平的;抽签决定某项事务时,任何一支签被抽到的概率也是相等的,这样才是公平的.
[变式训练] 某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会,组织者欲使晚会气氛热烈、有趣,策划整场晚会以转盘游戏的方式进行,每个节目开始时,两班各派一人先进行转盘游戏,胜者获得一件奖品,负者表演一个节目.(1)班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘(如图所示),设计了一种游戏方案:两人同时各转动一个转盘一次,将转到的数字相加,和为偶数时(1)班代表获胜,否则(2)班代表获胜.该方案对双方是否公平 为什么
【解】 该方案是公平的,理由如下:各种情况如表所示.
转盘2 和 　 转盘1 4 5 6 7
1 5 6 7 8
2 6 7 8 9
3 7 8 9 10
题型三　用随机模拟试验估计概率
[例3] 一袋子中装有除颜色外完全相同的4个白球和5个黑球,从中有放回地摸球3次,每次摸1个球.用模拟试验的方法,让计算机产生1～9之间的整数随机数,若1～4代表白球,5～9代表黑球,每3个为一组,产生如下20组随机数:
917 966 191 925 271 932 735 458 569 683
431 257 393 627 556 488 812 184 537 989
则3次摸出的球中恰好有2次是白球的概率近似为(　　)
B
·解题策略·
用随机模拟试验估计概率时,要明确以下三点:
(1)确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果.
(2)研究等可能事件的概率时,用比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数.
(3)当每次试验结果需要n个随机数表示时,要把n个随机数作为一组来处理,此时一定要注意每组中的随机数字能否重复.
[变式训练] 天气预报显示,在今后的三天中,每一天下雨的概率均为40%,用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率.可利用计算机产生0到9之间的整数随机数,如果我们用1,2,3,4表示下雨,用5,6,7,8,9,0表示不下雨,每3个为一组,产生如下20组随机数:
907　966　191　925　271　932　812
458　569　683　631　257　393　027
556　488　730　113　137　989
则这三天中恰有两天下雨的概率约为(　　)
B
感谢观看10.3.1　频率的稳定性
10.3.2　随机模拟
【课程标准要求】　1.理解概率的意义以及频率与概率的区别与联系.2.能初步利用概率知识解释现实生活中的概率问题.3.了解随机模拟的含义,会利用随机模拟估计概率.
知识点一　频率的稳定性
大量试验表明,在任何确定次数的随机试验中,一个随机事件A发生的频率具有随机性.一般地,随着试验次数n的增大,频率偏离概率的幅度会缩小,即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A).我们称频率的这个性质为频率的稳定性.因此,我们可以用频率fn(A)估计概率P(A).
频率与概率的区别和联系
(1)区别:频率是一个变量,随着试验次数的变化而变化,概率是一个定值,是某事件的固有属性.
(2)联系:频率是概率的试验值,会随试验次数的增加逐渐稳定;概率是频率理论上的稳定值,在实际中可用频率估计概率.
知识点二　随机模拟
1.随机数与伪随机数
像彩票摇奖那样,把10个质地和大小相同的号码球放入摇奖器中,充分搅拌后摇出一个球,这个球上的号码就称为随机数.
计算器或计算机产生的随机数是按照确定的算法产生的,具有周期性(周期很长),它们具有类似随机数的性质.因此,计算器或计算机产生的随机数不是真正的随机数,我们称它们为伪随机数.
2.随机模拟方法(蒙特卡洛方法)
利用计算器或计算机软件产生随机数来做模拟试验,通过模拟试验得到的频率来估计概率,称这种利用随机模拟解决问题的方法为蒙特卡洛方法.
知识拓展
产生随机数的常用方法
(1)用计算器产生;(2)用计算机产生;(3)抽签法.
基础自测
1.抛掷一枚质地均匀的硬币,设事件A=“正面向上”,则下列说法正确的是(　　)
[A] 抛掷硬币10次,事件A必发生5次
[B] 抛掷硬币100次,事件A不可能发生50次
[C] 抛掷硬币1 000次,事件A发生的频率一定等于0.5
[D] 随着抛掷硬币次数的增多,事件A发生的频率逐渐稳定在0.5附近
【答案】 D
【解析】 不管抛掷硬币多少次,事件A发生的次数是随机事件,故A,B,C错误;
随着抛掷硬币次数的增多,事件A发生的频率在0.5附近波动.故选D.
2.用随机模拟方法估计概率时,其准确程度取决于(　　)
[A] 产生的随机数的大小
[B] 产生的随机数的个数
[C] 随机数对应的结果
[D] 产生随机数的方法
【答案】 B
【解析】 随机数容量越大,所估计的概率越接近实际数.故选B.
3.已知某运动员每次投篮命中的概率都为0.5,现采用随机模拟的方法估计该运动员三次投篮都命中的概率:先由计算机产生0到9之间的整数随机数,指定1,2,3,4,5表示命中,6,7,8,9,0
表示不命中,再以每三个随机数为一组,代表三次投篮的结果.经随机模拟产生了如下20组随机数:
162　966　151　525　271　
932　592　408　569　683
471　257　333　027　554　
488　730　163　537　989
据此估计,该运动员三次投篮都命中的概率为(　　)
[A] 0.15 [B] 0.20
[C] 0.25 [D] 0.35
【答案】 B
【解析】 由题意知,在20组随机数中表示三次投篮都命中的有151,525,333,554,共4组,所以所求概率的估计值为=0.2.故选B.
4.(人教A版必修第二册P260练习T1改编)在掷一枚质地均匀的硬币试验中,掷100次,其中有48次正面朝上,设“反面朝上”为事件A,则事件A发生的频率为　　　　.
【答案】 0.52
【解析】 =0.52.
题型一　频率与概率的关系
[例1] 一个不透明的口袋里装有只有颜色不同的黑球、白球共20个,一个学习小组做摸球试验,将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色,再把它放回袋中,不断重复.下表是一组统计
数据:
摸球的 次数n 100 150 200 500 800 1 000
摸到白球 的频数m 58 96 116 295 484 601
摸到白球 的频率 0.580 0.640 0.580 0.590 0.605 0.601
(1)试估计当n很大时,摸到白球的频率将会接近多少;
(2)假如你去摸一次,摸到白球或黑球的概率分别约是多少
【解】 (1)由题表可知当n≥500时,频率值稳定在0.6左右,由此可估计,当n很大时,摸到白球的频率将会接近0.6.
(2)由(1)可知,摸到白球的频率约为0.6,因此可估计摸到白球的概率是0.6.由对立事件的概率关系可得,摸到黑球的概率约为1-0.6=0.4.
频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值,利用此公式可求出事件发生的频率.频率本身是随机变量,当n很大时,频率总是在一个稳定值附近摆动,这个稳定值就是概率.
[变式训练] 下列命题正确的是(　　)
[A] 若一批产品的次品率为0.05,则从中任意取出200件产品中必有10件是次品
[B] 抛100次硬币,结果51次出现正面,则出现正面的概率是0.51
[C] 随机事件发生的概率就是这个随机事件发生的频率
[D] 掷骰子100次,得点数为6的结果有20次,则出现6点的频率为0.2
【答案】 D
【解析】 对于A,试验中,出现的某种事件的频率总在一个固定值的附近波动,并不是一个确定的值,一批产品的次品率为0.05,
则从中任取200件,次品的件数在10件左右,而不一定是10件,故A错误;
对于B,100次并不是无穷多次,只能说明这100次试验出现正面朝上的频率为0.51,故B错误;
对于C,根据定义,随机事件的频率只是概率的近似值,它并不等于概率,故C错误;
对于D,频率估计概率,频率为出现的次数与重复试验的次数的比值,
掷骰子100次,得点数是6的结果有20次,则出现6点的频率是=0.2,故D正确.故选D.
题型二　游戏公平性的判断
[例2] 小颖的爸爸只有一张电影票,她和哥哥两人都很想去观看.哥哥想了一个办法,他拿了8张扑克牌,将数字为2,3,5,9的四张牌给小颖,将数字为4,6,7,10的四张牌给自己,并按如下游戏规则进行:小颖和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张,然后将抽出的两张扑克牌数字相加,如果和为偶数,则小颖去;如果和为奇数,则哥哥去.
(1)求小颖去看电影的概率;
(2)这个游戏规则公平吗 若公平,请说明理由;若不公平,在小颖和哥哥所拿4张牌不变的情况下,请修改游戏规则使其对双方公平.
【解】 (1)由题意画树状图,
两张牌的数字之和所对应的16种结果分别为6,8,9,12,7,9,10,13,9,11,12,15,13,15,16,19,
其中和为偶数的结果有6,8,12,10,12,16,共6种,
所以小颖去看电影的概率为=.
(2)哥哥设计的游戏规则不公平,
因为小颖去看电影的概率为,
所以哥哥去看电影的概率为1-=,>,此规则对哥哥更有利.
因为在所拿的牌不变的情况下,两张牌的数字之和所对应的16种结果分别为6,8,9,12,7,9,10,
13,9,11,12,15,13,15,16,19,其中和为3的倍数的结果有8种,
故可修改规则为小颖和哥哥从各自的四张牌中随机抽出一张,然后将抽出的两张扑克牌数字相加,若和为3的倍数,则小颖去;若和不是3的倍数,则哥哥去.
游戏规则是否公平的判断标准
在各类游戏中,如果每人获胜的概率相等,那么游戏就是公平的,这就是说是否公平只要看游戏各方获胜的概率是否相等.例如,体育比赛中决定发球权的方法应该保证比赛双方先发球的概率相等,这样才是公平的;抽签决定某项事务时,任何一支签被抽到的概率也是相等的,这样才是公平的.
[变式训练] 某校高二年级(1)(2)班准备联合举行晚会,组织者欲使晚会气氛热烈、有趣,策划整场晚会以转盘游戏的方式进行,每个节目开始时,两班各派一人先进行转盘游戏,胜者获得一件奖品,负者表演一个节目.(1)班的文娱委员利用分别标有数字1,2,3,4,5,6,7的两个转盘(如图所示),设计了一种游戏方案:两人同时各转动一个转盘一次,将转到的数字相加,和为偶数时(1)班代表获胜,否则(2)班代表获胜.该方案对双方是否公平 为什么
【解】 该方案是公平的,理由如下:各种情况如表所示.
转盘2 和 　 转盘1 4 5 6 7
1 5 6 7 8
2 6 7 8 9
3 7 8 9 10
由表可知该游戏可能出现的情况共有12种,其中两数字之和为偶数的情况有6种,为奇数的情况也有6种,所以(1)班代表获胜的概率P1==,(2)班代表获胜的概率P2==,P1=P2,机会是均等的,所以该方案对双方是公平的.
题型三　用随机模拟试验估计概率
[例3] 一袋子中装有除颜色外完全相同的4个白球和5个黑球,从中有放回地摸球3次,每次摸1个球.用模拟试验的方法,让计算机产生1～9之间的整数随机数,若1～4代表白球,5～9代表黑球,每3个为一组,产生如下20组随机数:
917 966 191 925 271 932 735 458 569 683
431 257 393 627 556 488 812 184 537 989
则3次摸出的球中恰好有2次是白球的概率近似为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 B
【解析】 20组随机数中表示3次摸出的球中恰好有2次是白球的有191,271,932,393,812,184,共6个,因此所求的概率近似为=.故选B.
用随机模拟试验估计概率时,要明确以下三点:
(1)确定随机数的范围和用哪些数代表不同的试验结果.
(2)研究等可能事件的概率时,用比例分配的方法确定表示各个结果的数字个数及总个数.
(3)当每次试验结果需要n个随机数表示时,要把n个随机数作为一组来处理,此时一定要注意每组中的随机数字能否重复.
[变式训练] 天气预报显示,在今后的三天中,每一天下雨的概率均为40%,用随机模拟的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率.可利用计算机产生0到9之间的整数随机数,如果我们用1,2,3,4表示下雨,用5,6,7,8,9,0表示不下雨,每3个为一组,产生如下20组随机数:
907　966　191　925　271　932　812
458　569　683　631　257　393　027
556　488　730　113　137　989
则这三天中恰有两天下雨的概率约为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 B
【解析】 由题意知,在这20组随机数中表示三天中恰有两天下雨的有191,271,932,812,
631,393,137,共7组随机数.故三天中恰有两天下雨的概率约为.
故选B.
(分值:95分)
单选每题5分.
1.下列说法正确的有(　　)
①随机事件A的概率是频率的稳定值,频率是概率的估计值;②某人打靶,射击10次,击中7次,那么此人中靶的概率是0.7;③一名同学进行掷硬币试验,掷6次,一定有3次正面朝上.
[A] 0个 [B] 1个 [C] 2个 [D] 3个
【答案】 B
【解析】 对于①,随机事件A的概率是频率的稳定值,频率是概率的估计值,故正确;对于②,某人打靶,射击10次,击中7次,那么此人中靶的频率为0.7,但概率不一定为0.7,故错误;对于③,是一个随机事件,一名同学进行掷硬币试验,掷6次,不一定有3次正面朝上,故错误.故选B.
2.在进行n次重复试验中,事件A发生的频率为,当n很大时,事件A发生的概率P(A)与的关系是(　　)
[A] P(A)≈ [B] P(A)<
[C] P(A)> [D] P(A)=
【答案】 A
【解析】 在进行n次重复试验中,事件A发生的频率为,当n很大时,越来越接近于P(A),所以可以用近似的代替P(A),即P(A)≈.故选A.
3.甲、乙两人做游戏,下列游戏中不公平的是(　　)
[A] 掷一枚骰子,向上的点数为奇数则甲胜,向上的点数为偶数则乙胜
[B] 同时掷两枚相同的骰子,向上的点数之和大于7,则甲胜,否则乙胜
[C] 从一副不含大小王牌的扑克牌中抽一张,扑克牌是红色则甲胜,是黑色则乙胜
[D] 甲、乙两人各写一个数字,若都是奇或都是偶则甲胜,否则乙胜
【答案】 B
【解析】 对于A,甲胜、乙胜的概率都是,游戏是公平的;对于B,“向上的点数之和大于7”的样本点数小于“向上的点数之和小于等于7”的样本点数,则甲胜的概率小于乙胜的概率,游戏不公平;对于C,D,甲胜、乙胜的概率都是,游戏是公平的.
故选B.
4.某种心脏手术,成功率为0.6,现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率:先利用计算器或计算机产生0～9之间的整数随机数,由于成功率是0.6,我们用0,1,2,3表示手术不成功,4,5,6,7,8,9表示手术成功;再以每3个随机数为一组,作为3例手术的结果,经随机模拟产生如下10组随机数:
812　832　569　683　271
989　730　537　925　907
由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为(　　)
[A] 0.2 [B] 0.3 [C] 0.4 [D] 0.5
【答案】 A
【解析】 由题意,10组随机数中表示“3例心脏手术全部成功”的有569,989,共2组,估计“3例心脏手术全部成功”的概率为=0.2.故选A.
5.工厂对某车间某一天生产的产品采用随机抽样的方法抽到一个容量为40的样本数据,分组后,各组的频数如下表:
分组 (10,20] (20,30] (30,40] (40,50] (50,60] (60,70]
频数 4 6 x 10 y 4
已知样本数据在(20,40]范围内的频率为0.35,则样本数据在(50,60]范围内的频率为(　　)
[A] 0.70 [B] 0.50 [C] 0.25 [D] 0.20
【答案】 D
【解析】 由题意得=0.35,解得x=8,所以y=40-4-6-8-10-4=8,
所以样本数据在(50,60]范围内的频率为=0.20.故选D.
6.某工厂从20万件同类产品中随机抽取了100件进行质检,发现其中有5件不合格,那么估计该厂这20万件产品中合格产品约有(　　)
[A] 1万件 [B] 18万件
[C] 19万件 [D] 2万件
【答案】 C
【解析】 由题意合格率为P==,因此合格产品件数约为20×=19(万件).
故选C.
7.(5分)在一个不透明的纸盒中装有2个白球和若干个红球,这些球除颜色外都相同.每次从袋子中随机摸出一个球,记下颜色后再放回袋中,通过多次重复试验发现摸出红球的频率稳定在0.8附近,则袋子中红球约有　　　　个.
【答案】 8
【解析】 因为摸出红球的频率稳定在0.8附近,估计袋中红球个数是x,所以0.8=,所以x=8.
8.(5分)某保险公司利用简单随机抽样方法,对投保车辆进行抽样,样本车辆中每辆车的赔付结果统计如表所示.
赔付金额/元 0 1 000 2 000 3 000 4 500
车辆数/辆 600 80 110 120 90
若每辆车的投保金额均为2 500元,估计赔付金额大于投保金额的概率为　　　　.
【答案】 0.21
【解析】 赔付金额大于投保金额的频率为=0.21,则估计其概率为0.21.
9.(13分)某射击手在同一条件下进行射击训练,结果如下表:
射击次数n 10 20 50 100 200 500
击中靶心次数m 8 19 44 92 178 455
击中靶心频率
(1)求出表中击中靶心的各个频率值;
(2)这个射击手射击一次,击中靶心的概率可估计为多少
【解】 (1)第一个是=0.8,其他与此类似计算,得
射击 次数n 10 20 50 100 200 500
击中靶心 次数m 8 19 44 92 178 455
击中靶心 频率 0.8 0.95 0.88 0.92 0.89 0.91
(2)随着试验次数的增加,频率向0.9靠近,估计概率为0.9.
10.(15分)有一个转盘游戏,转盘被平均分成10等份(如图所示),转动转盘,当转盘停止后,指针指向的数字即为转出的数字.游戏规则如下:两个人参加,先确定猜数方案,甲转动转盘,乙猜,若猜出的结果与转盘转出的数字所表示的特征相符,则乙获胜,否则甲获胜.猜数方案从以下两种方案中选一种:
A.猜“是奇数”或“是偶数”
B.猜“是4的整数倍”或“不是4的整数倍”
请回答下列问题:
(1)如果你是乙,为了尽可能获胜,你将选择哪种猜数方案,怎样猜 为什么
(2)为了保证游戏的公平性,应选择哪种猜数方案 为什么
【解】 (1)A方案中,“是奇数”和“是偶数”的概率都为 0.5;B方案中,“是4的整数倍”的概率为0.2,“不是4的整数倍”的概率为0.8,为了尽可能获胜,应选择B方案,猜“不是4的整数倍”获胜的概率最大.
(2)为了保证游戏的公平性,应选择A方案.
因为A方案猜“是奇数”或“是偶数”的概率均为0.5,从而保证了该游戏是公平的.
11.某家庭准备晚上在餐馆吃饭,他们查看了两个网站关于四家餐馆的好评率,如下表所示,考虑每家餐馆的总好评率,他们应选择(　　)
项目 网站① 评价人数 网站① 好评率 网站② 评价人数 网站② 好评率
餐馆甲 1 000 95% 1 000 85%
餐馆乙 1 000 100% 2 000 80%
餐馆丙 1 000 90% 1 000 90%
餐馆丁 2 000 95% 1 000 85%
[A] 餐馆甲 [B] 餐馆乙 [C] 餐馆丙 [D] 餐馆丁
【答案】 D
【解析】 餐馆甲的总好评率为
=90%,
餐馆乙的总好评率为
≈86.67%,
餐馆丙的总好评率为
=90%,餐馆丁的总好评率为≈91.67%,
显然91.67%>90%>86.67%,所以餐馆丁的总好评率最高.故选D.
12.(5分)规定:投掷飞镖3次为一轮,若3次中至少2次投中8环以上为优秀.根据以往经验,某选手投掷一次命中8环以上的概率为.现采用计算机做模拟试验来估计该选手获得优秀的概率:用计算机产生0到9之间的随机整数,用0,1表示该次投掷未在8环以上,用2,3,4,5,6,7,8,9表示该次投掷在8环以上.经随机模拟产生如下20组随机数:
907　966　191　925　271　
932　812　458　569　683
031　257　393　527　556　
488　730　113　537　989
据此估计,该选手投掷一轮,可以拿到优秀的概率为　　　　.
【答案】
【解析】 由题意知,20组随机数中有3组191,031,113不是优秀,其余17组都是优秀,所以可以拿到优秀的概率的估计值为.
13.(17分)假设甲、乙两种品牌的同类产品在某地区市场上销售量相等,为了解它们的使用寿命,现从这两种品牌的产品中分别随机抽取100个进行测试,结果统计如图所示(每组为左闭右开区间).
(1)估计甲品牌产品寿命小于200 h的概率;
(2)在这两种品牌产品中,某个产品已使用了200 h,试估计该产品是甲品牌的概率.
【解】 (1)甲品牌产品寿命小于200 h的频率为=,用频率估计概率,所以甲品牌产品寿命小于200 h的概率的估计值为.
(2)根据抽样结果,寿命大于等于200 h的产品共有 75+70=145(个),其中甲品牌产品有75个,所以在样本中,寿命大于等于200 h的产品是甲品牌的频率是=,用频率估计概率,所以某个产品已使用了200 h,该产品是甲品牌的概率约为.

展开更多......

收起↑