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2.1.2　两条直线平行和垂直的判定
【课程标准要求】　1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.2.会运用条件判定两直线是否平行或垂直.3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题.
知识点一　两条直线(不重合)平行的判定
类型 斜率存在 斜率不存在
前提条件 α1=α2≠90° α1=α2=90°
对应关系 l1∥l2 k1=k2 l1∥l2 两直线 斜率都不存在
图示
l1∥l2 k1=k2成立的前提:①两条直线的斜率存在;②l1与l2不重合.
知识点二　两条直线垂直的判定
类型 斜率存在 其中一条直线 斜率不存在
前提条件 α1≠90°,α2≠90° α1=90°,α2=0°
对应关系 l1⊥l2 k1k2=-1 l1⊥l2,k2=0
图示
(1)l1⊥l2 k1k2=-1成立的条件是两条直线的斜率都存在且均不等于0.
(2)当两条直线的斜率都存在时,若k1k2≠-1,则两条直线一定不垂直.
基础自测
1.已知直线l1⊥l2,且直线l1的斜率为,则直线l2的斜率为(　　)
[A] - [B] [C]- [D]
【答案】 C
【解析】 由题可得·=-1,=,
所以=-.故选C.
2.(人教A版选择性必修第一册P57练习T2改编)已知A(3,5),B(m,2),C(2,8),若 AC∥BC,则m等于(　　)
[A] -4 [B]4
[C]- [D]
【答案】 B
【解析】 依题意,kAC==-3,kBC=,
又AC∥BC,则kAC=kBC,
即=-3,解得m=4.故选B.
3.已知直线l1的倾斜角为30°,且直线l1⊥l2,则直线l2的斜率为　　　　.
【答案】 -
【解析】 由题意可得直线l1的斜率为.由直线 l1⊥l2,得直线l2的斜率为-.
4.已知直线l1的斜率为3,直线l2经过点A(1,2),B(2,a),若直线l1⊥l2,则a=　　　　.
【答案】
【解析】 因为直线l1的斜率为3,l1⊥l2,
所以=-,
解得a=.
题型一　两条直线平行的判定及应用
[例1] 根据下列给定的条件,判断直线l1与直线l2是否平行.
(1)l1经过点A(2,1),B(-3,5),l2经过点 C(3,-3),D(8,-7);
(2)l1的倾斜角为60°,l2经过点M(3,2),N(-2,-3).
【解】 (1)设两直线l1,l2的斜率分别为k1,k2.
由题意知k1==-,k2==-.
因为k1=k2,kAC==-4,
所以k1≠kAC,所以A,B,C三点不共线,所以A,B,C,D四点不共线,
所以l1∥l2.
(2)设两直线l1,l2的斜率分别为k1,k2.
由题意知k1=tan 60°=,
k2==.
所以k1=k2,
所以l1∥l2或l1与l2重合.
判断两条不重合直线是否平行的步骤
[变式训练] 已知过点A(m+1,0),B(-5,m)的直线与过点C(-4,3),D(0,5)的直线平行,则m的值为　　　　.
【答案】 -2
【解析】 由题意得,
kAB==,
kCD==.由于AB∥CD,
即kAB=kCD,
所以=,所以m=-2.
题型二　两条直线垂直的判定及应用
[例2] 判断下列各题中l1与l2是否垂直.
(1)l1的斜率为-10,l2经过点A(10,2),B(20,3);
(2)l1经过点A(3,4),B(3,10),l2经过点 M(-10,40),N(10,40).
【解】 (1)设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,
则k1=-10,k2==,
因为k1k2=-1,所以l1⊥l2.
(2)设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,
因为A,B两点的横坐标相等,所以l1的倾斜角为90°,所以l1⊥x轴.
因为k2==0,所以l2∥x轴.
所以l1⊥l2.
判断两直线是否垂直的策略
在两条直线的斜率都存在的前提下,只需看它们的斜率之积是否等于-1即可,但应注意有一条直线与x轴垂直,另一条直线与x轴平行或重合时,这两条直线也垂直.
[变式训练] 已知△ABC为直角三角形,A(1,4),B(2,7),C(-2,y),求C点的坐标.
【解】 因为△ABC为直角三角形,A(1,4),B(2,7),所以kAB==3.
若∠A=90°,则kAB·kAC=3×=-1,
解得y=5.
若∠B=90°,则kAB·kBC=3×=-1,
解得y=.
若∠C=90°,则kBC·kAC=×=-1,无解.
所以C点坐标为(-2,5)或(-2,).
题型三　平行与垂直的综合应用
[例3] 已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,若顺次连接A,B,C,D四点,试判断图形ABCD的形状.
【解】 由斜率公式,得kAB==,kCD==,kAD==-3,
kBC==-,
所以kAB=kCD,又kAC==0≠kAB,说明AB与CD不重合,
所以AB∥CD.
因为kAD≠kBC,所以AD与BC不平行.
又kAB·kAD=×(-3)=-1,
所以AB⊥AD.
故四边形ABCD为直角梯形.
利用两条直线平行或垂直判定几何图形形状的步骤
[变式训练] 已知A(m,4),B(-2,m),C(1,1),D(m+2,3)四点.
(1)若直线AB与直线CD平行,求m的值.
(2)求证:无论m取何值,总有 ∠ACB=90°.
(1)【解】 ①当直线AB的斜率不存在时,m=-2,此时C(1,1),D(0,3),
则直线CD的斜率存在,故直线AB与直线CD不平行,故m≠-2;
同理可得m≠-1,所以直线AB与直线CD的斜率都存在.
②直线AB的斜率为kAB=,直线CD的斜率为kCD=.
因为直线AB与直线CD平行,
所以kAB=kCD,
即=,
整理可得m2-m=0,
解得m=0或m=1,
检验可知,当m=0或m=1时,直线AB与直线CD平行,故m=0或m=1.
(2)【证明】 =(1-m,-3),=(3,1-m),则·=3(1-m)-3(1-m)=0,
所以无论m取何值,总有∠ACB=90°.
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.已知A(2,0),B(3,3),直线l∥AB,则直线l的斜率k等于(　　)
[A] -3 [B]3 [C]- [D]
【答案】 B
【解析】 因为A(2,0),B(3,3),所以kAB==3,
因为直线l∥AB,所以kl=kAB=3.故选B.
2.两直线的斜率分别是方程x2+2 024x-1=0的两根,那么这两直线的位置关系是(　　)
[A] 平行 [B]斜交 [C]垂直 [D]重合
【答案】 C
【解析】 设两直线的斜率分别为k1,k2,因为k1,k2是方程x2+2 024x-1=0的两根,
利用根与系数的关系得k1k2=-1,所以两直线的位置关系是垂直.故选C.
3.已知直线l1的一个方向向量为(-1,2),直线l2的一个方向向量为(m,6),若l1∥l2,则m等于(　　)
[A] -3 [B]3 [C]6 [D]9
【答案】 A
【解析】 设直线l1的方向向量a=(-1,2),直线l2的方向向量b=(m,6),
由于l1∥l2,所以a∥b,因此可得,2m=-6,解得 m=-3.故选A.
4.已知点A(m,m+1),B(-m,2m),C(4,m),D(1,0),且直线AB与直线CD垂直,则m的值为(　　)
[A] -7或0 [B]0或7
[C]0 [D]7
【答案】 B
【解析】 当m=0时,直线AB的斜率不存在,直线CD的斜率为0,此时直线AB的倾斜角为90°,直线CD的倾斜角为0°,故AB⊥CD;
当m≠0时,kAB==,
kCD==,由kAB·kCD=·=-1,解得m=7,综上,m=0或7.故选B.
5.(多选题)已知点P(-4,2),Q(6,-4),R(12,6),S(2,12),则下列结论正确的是(　　)
[A] PQ∥SR [B]PQ⊥PS
[C]PS∥QR [D]PR⊥QS
【答案】 ABCD
【解析】 由斜率公式知kPQ==-,kSR==-,kPS==,
kPQ=kSR,且P,Q,R,S四点不共线,则PQ∥SR,A选项正确;
kPQ·kPS=-×=-1,PQ⊥PS,B选项正确;
kQR===kPS,PS∥QR,C选项正确;
kQS==-4,kPR==,kQS·kPR=-4×=-1,PR⊥QS,D选项正确.
故选ABCD.
6.(多选题)以A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)为顶点的三角形,下列结论正确的有(　　)
[A] kAB=-
[B]kBC=-
[C]△ABC是以A点为直角顶点的直角三角形
[D]△ABC是以B点为直角顶点的直角三角形
【答案】 AC
【解析】 对于A,因为A(-1,1),B(2,-1),
所以 kAB==-,所以A正确;
对于B,因为B(2,-1),C(1,4),
所以kBC==-5≠-,所以B错误;
对于C,因为kAB=-,kAC==,所以kAB·kAC=-×=-1,所以AB⊥AC,所以△ABC是以A点为直角顶点的直角三角形,所以C正确;D错误.故选AC.
7.(5分)经过点A(m,3)和B(-2,m)的直线l与斜率为-4的直线互相垂直,则m的值是　　　　.
【答案】 2
【解析】 直线l与斜率为-4的直线互相垂直,则直线l的斜率为,
则=,解得m=2.
8.(5分)已知两条直线的斜率分别为和 -,若这两条直线互相平行,则实数a的最大值为　　　　.
【答案】
【解析】 因为两条直线互相平行,所以=-,所以a=-b4+b2=-(b2-)2+≤,当且仅当 b2=时,等号成立,故实数a的最大值为.
9.(12分)已知平面直角坐标系中,A(-2,3),B(3,-2),C(,m),D(0,-3).
(1)若直线AC与直线BD平行,求m的值;
(2)若直线AC与直线BC垂直,求m的值.
【解】 (1)因为直线AC与直线BD平行,
所以kBD=kAC.
所以= m=,经检验两直线不重合,所以m=.
(2)因为直线AC与直线BC垂直,两直线斜率均存在,所以kBC·kAC=-1,
所以·=-1,解得m=.
10.(14分)已知M(1,-1),N(2,2),P(3,0).
(1)若点Q在y轴上,且满足PQ⊥MN,求点Q的坐标;
(2)若点Q在x轴上,且∠NQP=∠NPQ,求直线MQ的倾斜角.
【解】 (1)设Q(0,y),而kMN==3,
因为PQ⊥MN,故kPQ=-,
故=-,即y=1,
即Q(0,1).
(2)设Q(x,0),因为∠NQP=∠NPQ,
故kNQ=-kNP,而kNQ=,kNP=-2,
即得=2,所以x=1,
即Q(1,0),结合M(1,-1),得MQ⊥x轴,
故直线MQ的倾斜角为90°.
11.设l1与l2是平面内不重合的直线,甲:l1 与l2的斜率相等;乙:l1∥l2,则甲是乙的(　　)
[A] 充分条件但不是必要条件
[B]必要条件但不是充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分也不必要条件
【答案】 A
【解析】 因为若平面内两条不重合的直线的斜率相等,则两直线平行,所以甲是乙的充分条件;
若两直线平行,则两直线的斜率可能都不存在,即斜率可能不相等,则甲不是乙的必要条件,
所以甲是乙的充分条件但不是必要条件.
故选A.
12.(5分)直线l的倾斜角为30°,点P(2,1)在直线l上,直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置,此时直线l1与l2平行,且l2是线段AB的垂直平分线,其中A(1,m-1),B(m,2),则m=　　　　.
【答案】 4+
【解析】 如图,直线l1的倾斜角为30°+30°=60°,
所以直线l1的斜率
k1=tan 60°=.
由l1∥l2知,直线l2的斜率 k2=k1=.
所以直线AB的斜率存在,
且kAB=-=-.
所以==-,
解得m=4+.
13.(17分)如图所示,一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路,已知矩形花园的长AD=5 m,宽 AB=3 m,其中一条小路定为AC,另一条小路过点D,问:是否在BC上存在一点M,使得两条小路AC与DM相互垂直
【解】 以B为坐标原点,BC,BA所在直线分别为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系.
因为AD=5 m,AB=3 m,
所以C(5,0),D(5,3),A(0,3).
设点M的坐标为(x,0),
因为AC⊥DM,
所以kAC·kDM=-1,·=-1.
所以x=3.2,即|BM|=3.2,
即点M的坐标为(3.2,0)时,两条小路AC与DM相互垂直.
故在BC上存在一点M(3.2,0)满足题意.
14.(5分)已知直线l1的一个方向向量为(b,a),直线l2的一个方向向量为(1-a,2),其中a,b为正数,若l1⊥l2,则3a+2b的最小值为　　　　.
【答案】 7+4
【解析】 依题意,两直线垂直,则两直线的方向向量垂直,其数量积为零﹒
可得b(1-a)+2a=0,即2a+b=ab,
所以+=1,
由a>0,b>0得3a+2b=(+) (3a+2b)=7++≥7+4,当且仅当=时,等号成立,故最小值为7+4.2.1.2　两条直线平行和垂直的判定
【课程标准要求】　1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.2.会运用条件判定两直线是否平行或垂直.3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题.
知识点一　两条直线(不重合)平行的判定
类型 斜率存在 斜率不存在
前提条件 α1=α2≠90° α1=α2=90°
对应关系 l1∥l2 k1=k2 l1∥l2 两直线 斜率都不存在
图示
l1∥l2 k1=k2成立的前提:①两条直线的斜率存在;②l1与l2不重合.
知识点二　两条直线垂直的判定
类型 斜率存在 其中一条直线 斜率不存在
前提条件 α1≠90°,α2≠90° α1=90°,α2=0°
对应关系 l1⊥l2 k1k2=-1 l1⊥l2,k2=0
图示
(1)l1⊥l2 k1k2=-1成立的条件是两条直线的斜率都存在且均不等于0.
(2)当两条直线的斜率都存在时,若k1k2≠-1,则两条直线一定不垂直.
基础自测
1.已知直线l1⊥l2,且直线l1的斜率为,则直线l2的斜率为(　　)
[A] - [B] [C]- [D]
2.(人教A版选择性必修第一册P57练习T2改编)已知A(3,5),B(m,2),C(2,8),若 AC∥BC,则m等于(　　)
[A] -4 [B]4
[C]- [D]
3.已知直线l1的倾斜角为30°,且直线l1⊥l2,则直线l2的斜率为　　　　.
4.已知直线l1的斜率为3,直线l2经过点A(1,2),B(2,a),若直线l1⊥l2,则a=　　　　.
题型一　两条直线平行的判定及应用
[例1] 根据下列给定的条件,判断直线l1与直线l2是否平行.
(1)l1经过点A(2,1),B(-3,5),l2经过点 C(3,-3),D(8,-7);
(2)l1的倾斜角为60°,l2经过点M(3,2),N(-2,-3).
判断两条不重合直线是否平行的步骤
[变式训练] 已知过点A(m+1,0),B(-5,m)的直线与过点C(-4,3),D(0,5)的直线平行,则m的值为　　　　.
题型二　两条直线垂直的判定及应用
[例2] 判断下列各题中l1与l2是否垂直.
(1)l1的斜率为-10,l2经过点A(10,2),B(20,3);
(2)l1经过点A(3,4),B(3,10),l2经过点 M(-10,40),N(10,40).
判断两直线是否垂直的策略
在两条直线的斜率都存在的前提下,只需看它们的斜率之积是否等于-1即可,但应注意有一条直线与x轴垂直,另一条直线与x轴平行或重合时,这两条直线也垂直.
[变式训练] 已知△ABC为直角三角形,A(1,4),B(2,7),C(-2,y),求C点的坐标.
题型三　平行与垂直的综合应用
[例3] 已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,若顺次连接A,B,C,D四点,试判断图形ABCD的形状.
利用两条直线平行或垂直判定几何图形形状的步骤
[变式训练] 已知A(m,4),B(-2,m),C(1,1),D(m+2,3)四点.
(1)若直线AB与直线CD平行,求m的值.
(2)求证:无论m取何值,总有 ∠ACB=90°.
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.已知A(2,0),B(3,3),直线l∥AB,则直线l的斜率k等于(　　)
[A] -3 [B]3 [C]- [D]
2.两直线的斜率分别是方程x2+2 024x-1=0的两根,那么这两直线的位置关系是(　　)
[A] 平行 [B]斜交 [C]垂直 [D]重合
3.已知直线l1的一个方向向量为(-1,2),直线l2的一个方向向量为(m,6),若l1∥l2,则m等于(　　)
[A] -3 [B]3 [C]6 [D]9
4.已知点A(m,m+1),B(-m,2m),C(4,m),D(1,0),且直线AB与直线CD垂直,则m的值为(　　)
[A] -7或0 [B]0或7
[C]0 [D]7
5.(多选题)已知点P(-4,2),Q(6,-4),R(12,6),S(2,12),则下列结论正确的是(　　)
[A] PQ∥SR [B]PQ⊥PS
[C]PS∥QR [D]PR⊥QS
6.(多选题)以A(-1,1),B(2,-1),C(1,4)为顶点的三角形,下列结论正确的有(　　)
[A] kAB=-
[B]kBC=-
[C]△ABC是以A点为直角顶点的直角三角形
[D]△ABC是以B点为直角顶点的直角三角形
7.(5分)经过点A(m,3)和B(-2,m)的直线l与斜率为-4的直线互相垂直,则m的值是　　　　.
8.(5分)已知两条直线的斜率分别为和 -,若这两条直线互相平行,则实数a的最大值为　　　　.
9.(12分)已知平面直角坐标系中,A(-2,3),B(3,-2),C(,m),D(0,-3).
(1)若直线AC与直线BD平行,求m的值;
(2)若直线AC与直线BC垂直,求m的值.
10.(14分)已知M(1,-1),N(2,2),P(3,0).
(1)若点Q在y轴上,且满足PQ⊥MN,求点Q的坐标;
(2)若点Q在x轴上,且∠NQP=∠NPQ,求直线MQ的倾斜角.
11.设l1与l2是平面内不重合的直线,甲:l1 与l2的斜率相等;乙:l1∥l2,则甲是乙的(　　)
[A] 充分条件但不是必要条件
[B]必要条件但不是充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分也不必要条件
12.(5分)直线l的倾斜角为30°,点P(2,1)在直线l上,直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置,此时直线l1与l2平行,且l2是线段AB的垂直平分线,其中A(1,m-1),B(m,2),则m=　　　　.
13.(17分)如图所示,一个矩形花园里需要铺设两条笔直的小路,已知矩形花园的长AD=5 m,宽 AB=3 m,其中一条小路定为AC,另一条小路过点D,问:是否在BC上存在一点M,使得两条小路AC与DM相互垂直
14.(5分)已知直线l1的一个方向向量为(b,a),直线l2的一个方向向量为(1-a,2),其中a,b为正数,若l1⊥l2,则3a+2b的最小值为　　　　. (共26张PPT)
2.1.2　两条直线平行和垂直的判定
1.理解并掌握两条直线平行的条件及两条直线垂直的条件.2.会运用条件判定两直线是否平行或垂直.3.运用两直线平行和垂直时的斜率关系解决相应的几何问题.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　两条直线(不重合)平行的判定
类型 斜率存在 斜率不存在
前提条件 α1=α2≠90° α1=α2=90°
对应关系 l1∥l2 l1∥l2 两直线
斜率都不存在
图示
k1=k2
l1∥l2 k1=k2成立的前提:①两条直线的斜率存在;②l1与l2不重合.
·温馨提示·
知识点二　两条直线垂直的判定
类型 斜率存在 其中一条直线
斜率不存在
前提条件 α1≠90°,α2≠90° α1=90°,α2=0°
对应关系 l1⊥l2 l1⊥l2,k2=0
图示
k1k2=-1
(1)l1⊥l2 k1k2=-1成立的条件是两条直线的斜率都存在且均不等于0.
(2)当两条直线的斜率都存在时,若k1k2≠-1,则两条直线一定不垂直.
·温馨提示·
基础自测
C
B
3.已知直线l1的倾斜角为30°,且直线l1⊥l2,则直线l2的斜率为　　　　.
4.已知直线l1的斜率为3,直线l2经过点A(1,2),B(2,a),若直线l1⊥l2,则a=　　　.
关键能力·素养培优
题型一　两条直线平行的判定及应用
[例1] 根据下列给定的条件,判断直线l1与直线l2是否平行.
(1)l1经过点A(2,1),B(-3,5),l2经过点 C(3,-3),D(8,-7);
·解题策略·
判断两条不重合直线是否平行的步骤
[变式训练] 已知过点A(m+1,0),B(-5,m)的直线与过点C(-4,3),D(0,5)的直线平行,则m的值为　　　　.
-2
[例2] 判断下列各题中l1与l2是否垂直.
(1)l1的斜率为-10,l2经过点A(10,2),B(20,3);
题型二　两条直线垂直的判定及应用
(2)l1经过点A(3,4),B(3,10),l2经过点 M(-10,40),N(10,40).
·解题策略·
判断两直线是否垂直的策略
在两条直线的斜率都存在的前提下,只需看它们的斜率之积是否等于-1即可,但应注意有一条直线与x轴垂直,另一条直线与x轴平行或重合时,这两条直线也垂直.
[变式训练] 已知△ABC为直角三角形,A(1,4),B(2,7),C(-2,y),求C点的坐标.
[例3] 已知A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,若顺次连接A,B,C,D四点,试判断图形ABCD的形状.
题型三　平行与垂直的综合应用
·解题策略·
利用两条直线平行或垂直判定几何图形形状的步骤
[变式训练] 已知A(m,4),B(-2,m),C(1,1),D(m+2,3)四点.
(1)若直线AB与直线CD平行,求m的值.
(1)【解】 ①当直线AB的斜率不存在时,m=-2,此时C(1,1),D(0,3),
则直线CD的斜率存在,故直线AB与直线CD不平行,故m≠-2;
同理可得m≠-1,所以直线AB与直线CD的斜率都存在.
(2)求证:无论m取何值,总有 ∠ACB=90°.
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