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2.2.1　直线的点斜式方程
【课程标准要求】　1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题.
知识点一　直线的点斜式方程
项目 点斜式
已知条件 点P(x0,y0)和斜率k
图示
方程形式 y-y0=k(x-x0)
适用条件 斜率存在
经过点P0(x0,y0)的直线有无数条,可分为两类:①斜率存在的直线,方程为y-y0=k(x-x0);②斜率不存在的直线,方程为x=x0.
知识点二　直线的斜截式方程
项目 斜截式
已知条件 斜率k和直线在 y轴上的截距b
图示
方程形式 y=kx+b
适用条件 斜率存在
(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况.
(2)直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距.
基础自测
1.直线y+2=(x-4)的倾斜角及在y轴上的截距分别是(　　)
[A],6 [B],-6
[C],6 [D],-6
所以θ=,当x=0时,y+2=×(-4)=-4,得y=-6.故选B.
2.若直线l的斜率为-,在x轴上的截距为-1,则l的方程为(　　)
[A] y=-x- [B]y=-x+
[C]y=-2x-2 [D]y=-2x-1
3.(人教A版选择性必修第一册P61练习T1改编)若直线l经过点A(1,-2),倾斜角为,则直线l的点斜式方程是　 .
题型一　直线的点斜式方程
[例1] (北师大版选择性必修第一册P10例7)求出经过点P(-1,2)且满足下列条件的直线的方程,并画出直线.
(1)倾斜角为;(2)与x轴垂直;(3)与 x轴平行.
所以该直线的斜率为k=tan =.
因为直线经过点P(-1,2)且斜率为,
所以该直线方程的点斜式为y-2=[x-(-1)],化简,得x-y++2=0(如图①).
(2)因为直线经过点P(-1,2)且与x轴垂直,所以该直线的方程为x=-1(如图②).
(3)因为直线经过点P(-1,2)且与x轴平行,即斜率k=0,所以该直线的方程为y=2(如图③).
求直线的点斜式方程的步骤及注意点
(1)求直线的点斜式方程的步骤:定点(x0,y0)→定斜率k→写出方程y-y0=k(x-x0).
(2)点斜式方程y-y0=k(x-x0)可表示过点 P(x0,y0)的所有直线,但直线x=x0除外.
[变式训练] 根据条件写出下列直线的点斜式方程:
(1)经过点A(-4,3),斜率k=3;
(2)经过点B(-1,4),倾斜角为135°.
(2)由题意知,直线的斜率k=tan 135°=-1,故所求直线的点斜式方程为y-4=-(x+1).
题型二　直线的斜截式方程
[例2] 根据条件写出下列直线的斜截式方程.
(1)斜率为2,在y轴上的截距是5;
(2)倾斜角为150°,在y轴上的截距是-2;
(3)倾斜角为60°,与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
(2)因为所求直线的倾斜角为150°,
所以斜率k=tan 150°=-.
所以所求直线的方程为y=-x-2.
(3)因为直线的倾斜角为60°,
所以斜率k=tan 60°=.
因为直线与y轴的交点到原点的距离为3,
所以直线在y轴上的截距b=3或b=-3.
故所求直线的方程为y=x+3或y=x-3.
直线的斜截式方程的求解策略
(1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y轴上的截距,代入方程即可.
(2)当斜率和截距未知时,可结合已知条件,先求出斜率和截距,再写出直线的斜截式方程.
[变式训练] (1)直线y=2x-3在y轴上的截距是(　　)
[A] 3 [B]2 [C]-2 [D]-3
(2)一条直线过点A(0,2),它的倾斜角等于直线y=x的倾斜角的2倍,则这条直线的方程是　　　　　　.
(2)因为直线y=x的斜率为,所以其倾斜角为30°,所以所求直线的倾斜角为60°,斜率 k=.直线过点A(0,2),即直线在y轴上的截距为2.由斜截式易得这条直线的方程为y=x+2.
题型三　斜截式方程的应用
[例3] 已知直线l1:y=-x+3a与直线l2:y=(a2-5)x+6.
(1)当a为何值时,l1∥l2
(2)当a为何值时,l1⊥l2
则k1=-1,k2=a2-5.当l1∥l2时,有解得a=-2.
(2)当l1⊥l2时,k1k2=-1,
即a2-5=1,
所以a2=6,所以a=±.
根据斜截式方程判定两条直线平行和垂直
(1)平行的判定
(2)垂直的判定
[变式训练] (1)若直线y=kx-2与直线y=3x垂直,则k等于(　　)
[A] 3 [B] [C]-3 [D]-
(2)直线l1与直线l2:y=3x+1平行,又直线l1过点(3,5),则直线l1的方程为　　　　　　.
(3)已知直线l1:y=-x-,l2:y=-x-m,当l1∥l2时,求m的值.
故选D.
(2)因为直线l2的斜率k2=3,l1与l2平行,所以直线l1的斜率k1=3.又直线l1过点(3,5),所以l1的方程为 y-5=3(x-3),即y=3x-4.
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.已知直线l过点(-3,0),且与直线y=2x-3平行,则直线l的方程为(　　)
[A] y=-2(x-3) [B]y=-2(x+3)
[C]y=2(x-3) [D]y=2(x+3)
又直线l过点(-3,0),则直线l的方程为y-0=2(x+3),即y=2(x+3).故选D.
2.已知直线l的一个方向向量为n=(2,3),若l过点A(-4,3),则直线l的方程为(　　)
[A] y-3=-(x+4)
[B]y+3=(x-4)
[C]y-3=(x+4)
[D]y+3=-(x-4)
故直线l的方程为y-3=(x+4).故选C.
3.已知直线l的倾斜角为60°,且过点(2,),则l在y轴上的截距为(　　)
[A] -1 [B]- [C]1 [D]
所以l在y轴上的截距为-.故选B.
4.(多选题)若直线l1:y=5x+2,l2:y=-0.2x+1,l3:y=5x-1,则(　　)
[A] l1∥l2 [B]l1⊥l2
[C]l1⊥l3 [D]l1∥l3
结合题意易得,k1=5,k2=-0.2,k3=5,
因为k1·k2=5×(-0.2)=-1,所以l1⊥l2.
因为k1=k3=5,且2≠-1,所以l1∥l3.故选BD.
5.(多选题)已知直线l1的方程是y=ax+b,l2的方程是y=-bx+a(ab≠0,a≠b),则下列各图中,可能正确的是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
对于B,由直线l1可知,a>0,b<0,由直线l2可知,-b>0 b<0,a>0,故B正确;
对于C,由直线l1可知,a<0,b>0,由直线l2可知,-b<0 b>0,a>0,故C错误;
对于D,由直线l1可知,a<0,b>0,由直线l2可知,-b>0 b<0,a>0,故D错误.
故选AB.
6.已知直线l上一点向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度后,仍在该直线上,则直线l的斜率k为(　　)
[A] 2 [B] [C]- [D]-2
由直线l上一点向右平移2个单位长度得,y=k(x-2)+b,
再向下平移1个单位长度得,y=k(x-2)+b-1=kx-2k+b-1,
由于这与原直线重合,所以有b=-2k+b-1,
解得k=-.
故选C.
7.(5分)已知直线l1:y=x,若l1⊥l2,写出一个满足条件的直线l2的方程为　　　　　　　.
所以=.
因为l1⊥l2,
所以·=-1,
即=-.
由题意所求直线方程满足y=-x+b,b∈R均可.
8.(5分)如果直线l的斜率和在y轴上的截距分别为直线y=x+2的斜率的一半和在y轴上截距的两倍,那么直线l的方程是　　　　　　.
则直线l的斜率为×=,在y轴上的截距为2×2=4,故直线l的方程为y=x+4.
9.(12分)(1)求经过点(1,1),且与直线y=2x+7平行的直线的方程;
(2)求经过点(-2,-2),且与直线y=3x-5垂直的直线的方程.
所以所求直线的方程为y-1=2(x-1),
即y=2x-1.
(2)由y=3x-5得其斜率为3,由两直线垂直知,所求直线的斜率是-.
所以所求直线的方程为y+2=-(x+2),
即y=-x-.
10.(14分)直线l的斜率为3,且它在y轴上的截距为-3.
(1)求直线l的方程;
(2)求直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积.
(2)在直线y=3x-3中,令y=0,得直线l在 x轴上的截距为1,
则直线l与坐标轴所围成的三角形的面积
S=×|1|×|-3|=.
11.已知直线l:y=xsin θ+cos θ 的图象如图所示,则角θ是(　　)
[A] 第一象限角
[B]第二象限角
[C]第三象限角
[D]第四象限角
12.一束光线从点A(-,3)射出,沿倾斜角为150°的直线射到x轴上,经x轴反射后,反射光线所在的直线方程为(　　)
[A] y=x-2 [B]y=-x+2
[C]y=-x+2 [D]y=x-2
所以入射光线所在的直线方程为y-3=-(x+)=-x-1,即y=-x+2.
令y=0,解得x=2,所以入射光线与x轴的交点为(2,0),如图.
反射光线的斜率为,则反射光线所在的直线的方程为y-0=(x-2),即y=x-2.故选D.
13.(17分)一条直线经过点P(3,4),分别求出满足下列条件的直线方程.
(1)与直线y=x+垂直;
(2)交x轴,y轴的正半轴于A,B两点,且△AOB的面积最小.
所以所求直线的斜率为-2,
从而所求直线方程为y-4=-2(x-3),
即y=-2x+10.
(2)由题意可知,所求直线方程的斜率k必存在,且k<0,
则所求直线方程为y-4=k(x-3).
令x=0,则y=4-3k;令y=0,则x=3-.
从而A(3-,0),B(0,4-3k).
故S△AOB=(3-)(4-3k)=[24-(9k+)].
因为-9k-≥2=24,
当且仅当-9k=-,即k=-时,等号成立,
所以S△AOB=[24-(9k+)]≥24,
即△AOB的面积最小值为24时,直线的斜率为 k=-,
此时直线方程为y-4=-(x-3),
即y=-x+8.
14.已知直线l1:y=x+2,直线l2是直线l1绕点 P(-2,1)逆时针旋转45°得到的直线,则直线l2的方程是(　　)
[A] y=x+3 [B]y=x+
[C]y=-3x+7 [D]y=3x+7
又直线l2是直线l1绕点P(-2,1)逆时针旋转45°得到的直线,
所以直线l2的倾斜角为θ+45°.
故直线l2的斜率为tan (θ+45°)===3,
故直线l2的方程是y-1=3(x+2),
即y=3x+7.故选D.(共30张PPT)
2.2　直线的方程2.2.1　直线的点斜式方程
1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　直线的点斜式方程
项目 点斜式
已知条件 点P(x0,y0)和
图示
方程形式 y-y0=
适用条件 斜率存在
斜率k
k(x-x0)
经过点P0(x0,y0)的直线有无数条,可分为两类:①斜率存在的直线,方程为y-y0=k(x-x0);②斜率不存在的直线,方程为x=x0.
·疑难解惑·
知识点二　直线的斜截式方程
项目 斜截式
已知条件 斜率k和直线在 轴上的截距b
图示
方程形式 y=
适用条件 斜率存在
y
kx+b
(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况.
(2)直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距.
·温馨提示·
基础自测
B
A
关键能力·素养培优
题型一　直线的点斜式方程
[例1] (北师大版选择性必修第一册P10例7)求出经过点P(-1,2)且满足下列条件的直线的方程,并画出直线.
(2)与x轴垂直;
【解】 (2)因为直线经过点P(-1,2)且与x轴垂直,所以该直线的方程为x=-1
(如图②).
(3)与 x轴平行.
【解】 (3)因为直线经过点P(-1,2)且与x轴平行,即斜率k=0,所以该直线的方程为y=2(如图③).
·解题策略·
求直线的点斜式方程的步骤及注意点
(1)求直线的点斜式方程的步骤:定点(x0,y0)→定斜率k→写出方程y-y0=k(x-x0).
(2)点斜式方程y-y0=k(x-x0)可表示过点 P(x0,y0)的所有直线,但直线x=x0除外.
[变式训练] 根据条件写出下列直线的点斜式方程:
(1)经过点A(-4,3),斜率k=3;
【解】 (1)由点斜式方程可知,所求直线的点斜式方程为y-3=3(x+4).
【解】 (2)由题意知,直线的斜率k=tan 135°=-1,故所求直线的点斜式方程为y-4=-(x+1).
(2)经过点B(-1,4),倾斜角为135°.
[例2] 根据条件写出下列直线的斜截式方程.
(1)斜率为2,在y轴上的截距是5;
题型二　直线的斜截式方程
【解】 (1)由直线方程的斜截式可知,所求直线的方程为y=2x+5.
(2)倾斜角为150°,在y轴上的截距是-2;
(3)倾斜角为60°,与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
·解题策略·
直线的斜截式方程的求解策略
(1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y轴上的截距,代入方程即可.
(2)当斜率和截距未知时,可结合已知条件,先求出斜率和截距,再写出直线的斜截式方程.
[变式训练] (1)直线y=2x-3在y轴上的截距是(　　)
[A] 3 [B]2 [C]-2 [D]-3
【解析】 (1)对于直线y=2x-3,当x=0时,y=-3,因此该直线在y轴上的截距为-3.故选D.
D
[例3] 已知直线l1:y=-x+3a与直线l2:y=(a2-5)x+6.
(1)当a为何值时,l1∥l2
题型三　斜截式方程的应用
(2)当a为何值时,l1⊥l2
·解题策略·
根据斜截式方程判定两条直线平行和垂直
(1)平行的判定
·解题策略·
(2)垂直的判定
[变式训练] (1)若直线y=kx-2与直线y=3x垂直,则k等于(　　)
D
(2)直线l1与直线l2:y=3x+1平行,又直线l1过点(3,5),则直线l1的方程为
　　　　　　.
y=3x-4
【解析】 (2)因为直线l2的斜率k2=3,l1与l2平行,所以直线l1的斜率k1=3.又直线l1过点(3,5),所以l1的方程为 y-5=3(x-3),即y=3x-4.
感谢观看2.2.1　直线的点斜式方程
【课程标准要求】　1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程.2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程.3.会利用直线的点斜式方程与斜截式方程解决有关的问题.
知识点一　直线的点斜式方程
项目 点斜式
已知条件 点P(x0,y0)和斜率k
图示
方程形式 y-y0=k(x-x0)
适用条件 斜率存在
经过点P0(x0,y0)的直线有无数条,可分为两类:①斜率存在的直线,方程为y-y0=k(x-x0);②斜率不存在的直线,方程为x=x0.
知识点二　直线的斜截式方程
项目 斜截式
已知条件 斜率k和直线在 y轴上的截距b
图示
方程形式 y=kx+b
适用条件 斜率存在
(1)直线的斜截式方程是直线的点斜式方程的特殊情况.
(2)直线l与y轴的交点(0,b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距.
基础自测
1.直线y+2=(x-4)的倾斜角及在y轴上的截距分别是(　　)
[A],6 [B],-6
[C],6 [D],-6
【答案】 B
【解析】 设直线的倾斜角为θ,则tan θ=,
所以θ=,当x=0时,y+2=×(-4)=-4,得y=-6.故选B.
2.若直线l的斜率为-,在x轴上的截距为-1,则l的方程为(　　)
[A] y=-x- [B]y=-x+
[C]y=-2x-2 [D]y=-2x-1
【答案】 A
【解析】 斜率为-,在x轴上的截距为-1的直线的方程为y=-(x+1).故选A.
3.(人教A版选择性必修第一册P61练习T1改编)若直线l经过点A(1,-2),倾斜角为,则直线l的点斜式方程是　 .
【答案】 y+2=(x-1)
【解析】 由直线l的倾斜角为,得直线l的斜率 k=tan =,又直线l过点A(1,-2),所以直线l的点斜式方程是y+2=(x-1).
题型一　直线的点斜式方程
[例1] (北师大版选择性必修第一册P10例7)求出经过点P(-1,2)且满足下列条件的直线的方程,并画出直线.
(1)倾斜角为;(2)与x轴垂直;(3)与 x轴平行.
【解】 (1)因为直线的倾斜角为,
所以该直线的斜率为k=tan =.
因为直线经过点P(-1,2)且斜率为,
所以该直线方程的点斜式为y-2=[x-(-1)],化简,得x-y++2=0(如图①).
(2)因为直线经过点P(-1,2)且与x轴垂直,所以该直线的方程为x=-1(如图②).
(3)因为直线经过点P(-1,2)且与x轴平行,即斜率k=0,所以该直线的方程为y=2(如图③).
求直线的点斜式方程的步骤及注意点
(1)求直线的点斜式方程的步骤:定点(x0,y0)→定斜率k→写出方程y-y0=k(x-x0).
(2)点斜式方程y-y0=k(x-x0)可表示过点 P(x0,y0)的所有直线,但直线x=x0除外.
[变式训练] 根据条件写出下列直线的点斜式方程:
(1)经过点A(-4,3),斜率k=3;
(2)经过点B(-1,4),倾斜角为135°.
【解】 (1)由点斜式方程可知,所求直线的点斜式方程为y-3=3(x+4).
(2)由题意知,直线的斜率k=tan 135°=-1,故所求直线的点斜式方程为y-4=-(x+1).
题型二　直线的斜截式方程
[例2] 根据条件写出下列直线的斜截式方程.
(1)斜率为2,在y轴上的截距是5;
(2)倾斜角为150°,在y轴上的截距是-2;
(3)倾斜角为60°,与y轴的交点到坐标原点的距离为3.
【解】 (1)由直线方程的斜截式可知,所求直线的方程为y=2x+5.
(2)因为所求直线的倾斜角为150°,
所以斜率k=tan 150°=-.
所以所求直线的方程为y=-x-2.
(3)因为直线的倾斜角为60°,
所以斜率k=tan 60°=.
因为直线与y轴的交点到原点的距离为3,
所以直线在y轴上的截距b=3或b=-3.
故所求直线的方程为y=x+3或y=x-3.
直线的斜截式方程的求解策略
(1)求直线的斜截式方程只要分别求出直线的斜率和在y轴上的截距,代入方程即可.
(2)当斜率和截距未知时,可结合已知条件,先求出斜率和截距,再写出直线的斜截式方程.
[变式训练] (1)直线y=2x-3在y轴上的截距是(　　)
[A] 3 [B]2 [C]-2 [D]-3
(2)一条直线过点A(0,2),它的倾斜角等于直线y=x的倾斜角的2倍,则这条直线的方程是　　　　　　.
【答案】 (1)D　(2)y=x+2
【解析】 (1)对于直线y=2x-3,当x=0时,y=-3,因此该直线在y轴上的截距为-3.故选D.
(2)因为直线y=x的斜率为,所以其倾斜角为30°,所以所求直线的倾斜角为60°,斜率 k=.直线过点A(0,2),即直线在y轴上的截距为2.由斜截式易得这条直线的方程为y=x+2.
题型三　斜截式方程的应用
[例3] 已知直线l1:y=-x+3a与直线l2:y=(a2-5)x+6.
(1)当a为何值时,l1∥l2
(2)当a为何值时,l1⊥l2
【解】 (1)设直线l1,l2的斜率分别为k1,k2,
则k1=-1,k2=a2-5.当l1∥l2时,有解得a=-2.
(2)当l1⊥l2时,k1k2=-1,
即a2-5=1,
所以a2=6,所以a=±.
根据斜截式方程判定两条直线平行和垂直
(1)平行的判定
(2)垂直的判定
[变式训练] (1)若直线y=kx-2与直线y=3x垂直,则k等于(　　)
[A] 3 [B] [C]-3 [D]-
(2)直线l1与直线l2:y=3x+1平行,又直线l1过点(3,5),则直线l1的方程为　　　　　　.
(3)已知直线l1:y=-x-,l2:y=-x-m,当l1∥l2时,求m的值.
【答案】 (1)D　(2)y=3x-4
【解析】 (1)两直线相互垂直,设其斜率分别为k1,k2,则 k1·k2=-1,可得3·k=-1,解得 k=-.
故选D.
(2)因为直线l2的斜率k2=3,l1与l2平行,所以直线l1的斜率k1=3.又直线l1过点(3,5),所以l1的方程为 y-5=3(x-3),即y=3x-4.
(3)【解】 由l1∥l2,得解得m=-1.
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.已知直线l过点(-3,0),且与直线y=2x-3平行,则直线l的方程为(　　)
[A] y=-2(x-3) [B]y=-2(x+3)
[C]y=2(x-3) [D]y=2(x+3)
【答案】 D
【解析】 由题意,直线l与直线y=2x-3平行,故直线l的斜率为2.
又直线l过点(-3,0),则直线l的方程为y-0=2(x+3),即y=2(x+3).故选D.
2.已知直线l的一个方向向量为n=(2,3),若l过点A(-4,3),则直线l的方程为(　　)
[A] y-3=-(x+4)
[B]y+3=(x-4)
[C]y-3=(x+4)
[D]y+3=-(x-4)
【答案】 C
【解析】 因为直线l的一个方向向量为n=(2,3),则直线l的斜率k=,又直线l过点A(-4,3),
故直线l的方程为y-3=(x+4).故选C.
3.已知直线l的倾斜角为60°,且过点(2,),则l在y轴上的截距为(　　)
[A] -1 [B]- [C]1 [D]
【答案】 B
【解析】 直线l的斜率为tan 60°=,方程为y-=(x-2),当x=0时,y=-,
所以l在y轴上的截距为-.故选B.
4.(多选题)若直线l1:y=5x+2,l2:y=-0.2x+1,l3:y=5x-1,则(　　)
[A] l1∥l2 [B]l1⊥l2
[C]l1⊥l3 [D]l1∥l3
【答案】 BD
【解析】 设l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,
结合题意易得,k1=5,k2=-0.2,k3=5,
因为k1·k2=5×(-0.2)=-1,所以l1⊥l2.
因为k1=k3=5,且2≠-1,所以l1∥l3.故选BD.
5.(多选题)已知直线l1的方程是y=ax+b,l2的方程是y=-bx+a(ab≠0,a≠b),则下列各图中,可能正确的是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 AB
【解析】 对于A,由直线l1可知,a>0,b>0,由直线l2可知,-b<0 b>0,a>0,故A正确;
对于B,由直线l1可知,a>0,b<0,由直线l2可知,-b>0 b<0,a>0,故B正确;
对于C,由直线l1可知,a<0,b>0,由直线l2可知,-b<0 b>0,a>0,故C错误;
对于D,由直线l1可知,a<0,b>0,由直线l2可知,-b>0 b<0,a>0,故D错误.
故选AB.
6.已知直线l上一点向右平移2个单位长度,再向下平移1个单位长度后,仍在该直线上,则直线l的斜率k为(　　)
[A] 2 [B] [C]- [D]-2
【答案】 C
【解析】 根据直线l的斜率k可设直线l的方程为 y=kx+b,
由直线l上一点向右平移2个单位长度得,y=k(x-2)+b,
再向下平移1个单位长度得,y=k(x-2)+b-1=kx-2k+b-1,
由于这与原直线重合,所以有b=-2k+b-1,
解得k=-.
故选C.
7.(5分)已知直线l1:y=x,若l1⊥l2,写出一个满足条件的直线l2的方程为　　　　　　　.
【答案】 y=-x+1(答案不唯一)
【解析】 因为l1:y=x,
所以=.
因为l1⊥l2,
所以·=-1,
即=-.
由题意所求直线方程满足y=-x+b,b∈R均可.
取b=1,得所求直线方程为y=-x+1(答案不唯一).
8.(5分)如果直线l的斜率和在y轴上的截距分别为直线y=x+2的斜率的一半和在y轴上截距的两倍,那么直线l的方程是　　　　　　.
【答案】 y=x+4
【解析】 直线y=x+2的斜率为,在y轴上的截距为2,
则直线l的斜率为×=,在y轴上的截距为2×2=4,故直线l的方程为y=x+4.
9.(12分)(1)求经过点(1,1),且与直线y=2x+7平行的直线的方程;
(2)求经过点(-2,-2),且与直线y=3x-5垂直的直线的方程.
【解】 (1)由y=2x+7得其斜率为2,由两直线平行知所求直线的斜率是2,
所以所求直线的方程为y-1=2(x-1),
即y=2x-1.
(2)由y=3x-5得其斜率为3,由两直线垂直知,所求直线的斜率是-.
所以所求直线的方程为y+2=-(x+2),
即y=-x-.
10.(14分)直线l的斜率为3,且它在y轴上的截距为-3.
(1)求直线l的方程;
(2)求直线l与两坐标轴所围成的三角形的面积.
【解】 (1)由斜截式得直线l的方程为y=3x-3.
(2)在直线y=3x-3中,令y=0,得直线l在 x轴上的截距为1,
则直线l与坐标轴所围成的三角形的面积
S=×|1|×|-3|=.
11.已知直线l:y=xsin θ+cos θ 的图象如图所示,则角θ是(　　)
[A] 第一象限角
[B]第二象限角
[C]第三象限角
[D]第四象限角
【答案】 D
【解析】 结合图象易知,sin θ<0,cos θ>0,则角θ是第四象限角.故选D.
12.一束光线从点A(-,3)射出,沿倾斜角为150°的直线射到x轴上,经x轴反射后,反射光线所在的直线方程为(　　)
[A] y=x-2 [B]y=-x+2
[C]y=-x+2 [D]y=x-2
【答案】 D
【解析】 如图,倾斜角为150°的直线的斜率为-,
所以入射光线所在的直线方程为y-3=-(x+)=-x-1,即y=-x+2.
令y=0,解得x=2,所以入射光线与x轴的交点为(2,0),如图.
反射光线的斜率为,则反射光线所在的直线的方程为y-0=(x-2),即y=x-2.故选D.
13.(17分)一条直线经过点P(3,4),分别求出满足下列条件的直线方程.
(1)与直线y=x+垂直;
(2)交x轴,y轴的正半轴于A,B两点,且△AOB的面积最小.
【解】 (1)因为直线y=x+的斜率为,且所求直线与直线y=x+垂直.
所以所求直线的斜率为-2,
从而所求直线方程为y-4=-2(x-3),
即y=-2x+10.
(2)由题意可知,所求直线方程的斜率k必存在,且k<0,
则所求直线方程为y-4=k(x-3).
令x=0,则y=4-3k;令y=0,则x=3-.
从而A(3-,0),B(0,4-3k).
故S△AOB=(3-)(4-3k)=[24-(9k+)].
因为-9k-≥2=24,
当且仅当-9k=-,即k=-时,等号成立,
所以S△AOB=[24-(9k+)]≥24,
即△AOB的面积最小值为24时,直线的斜率为 k=-,
此时直线方程为y-4=-(x-3),
即y=-x+8.
14.已知直线l1:y=x+2,直线l2是直线l1绕点 P(-2,1)逆时针旋转45°得到的直线,则直线l2的方程是(　　)
[A] y=x+3 [B]y=x+
[C]y=-3x+7 [D]y=3x+7
【答案】 D
【解析】 设直线l1的倾斜角为θ,则tan θ=,
又直线l2是直线l1绕点P(-2,1)逆时针旋转45°得到的直线,
所以直线l2的倾斜角为θ+45°.
故直线l2的斜率为tan (θ+45°)===3,
故直线l2的方程是y-1=3(x+2),
即y=3x+7.故选D.

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