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2.2.2　直线的
两点式方程
1.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线的两点式方程.2.了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　直线的两点式方程
·温馨提示·
知识点二　直线的截距式方程
项目 已知条件 示意图 方程
截距式 在x轴,y轴上的截距分别为a,b且a≠0,b≠0
(1)应用截距式方程的前提是截距a≠0且b≠0,即当直线过原点或与坐标轴平行时不能用截距式方程.
(2)截距式方程的特点有两个,一是中间必须用“+”号连接,二是等号右边为“1”.
(3)截距并非距离,应用截距式方程时,a与b可正、可负.
·疑难解惑·
基础自测
B
A
3.(苏教版选择性必修第一册P16练习T3改编)如果直线l过(-1,-1),(2,5)两点,点(1 012,b)在l上,那么b的值为　　　 　.
2 025
关键能力·素养培优
题型一　直线的两点式方程
[例1] (湘教版选择性必修第一册P68例5)如图,三角形的顶点分别为 A(-3,2),
B(5,-4),C(0,-2).
(1)求BC边所在直线的方程;
(2)求BC边上的中线所在直线的方程.
·解题策略·
利用两点式求直线的方程
(1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件;若满足即可考虑用两点式求方程,若点的坐标中含有参数,需要对参数进行讨论.
(2)在斜率存在的情况下,也可以先应用斜率公式求出斜率,再用点斜式写方程.
[变式训练] 已知直线经过点A(1,0),B(m,1),求这条直线的方程.
【解】 由直线经过点A(1,0),B(m,1),可知该直线的斜率不可能为零,但有可能不存在.
①当直线斜率不存在,即m=1时,直线方程为 x=1;
[例2] 已知直线l过A(-2,1),并在两坐标轴上的截距的绝对值相等,那么这样的直线l 共有(　　)
[A] 1条 [B]2条 [C]3条 [D]4条
题型二　直线的截距式方程
C
·解题策略·
选用截距式方程的注意事项
(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交,则可考虑选用截距式直线方程,用待定系数法确定其系数即可.
(2)选用截距式直线方程时,必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直.
(3)要注意截距式直线方程的逆向应用.
[变式训练] 求过点A(5,2),且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程.
[例3] 已知直线l过定点A(-2,3),且与两坐标轴围成的三角形的面积为4,则直
线l的方程为　　　　 　　　　.
题型三　截距式方程的应用
·解题策略·
直线方程与三角形的面积、周长之间的关系
感谢观看2.2.2　直线的两点式方程
【课程标准要求】　1.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线的两点式方程.2.了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围.
知识点一　直线的两点式方程
项目 已知条件 示意图 方程
两点式 P1(x1,y1), P2(x2,y2), 其中x1≠ x2,y1≠y2 =
两点式方程也可写成=,对于两点式中的两点,只要是直线上两个不同点即可,与这两个点的顺序无关,但需注意等号左右两边的字母、下标必须对应,不能乱写,并注意x1≠x2,y1≠y2.
知识点二　直线的截距式方程
项目 已知条件 示意图 方程
截距式 在x轴,y轴上的截距分别为a,b且a≠0,b≠0 +=1
(1)应用截距式方程的前提是截距a≠0且b≠0,即当直线过原点或与坐标轴平行时不能用截距式方程.
(2)截距式方程的特点有两个,一是中间必须用“+”号连接,二是等号右边为“1”.
(3)截距并非距离,应用截距式方程时,a与b可正、可负.
基础自测
1.直线-=1在y轴上的截距为(　　)
[A] -4 [B]-2 [C]2 [D]4
【答案】 B
【解析】 由-=1可得+=1,所以直线在y轴上的截距为-2.故选B.
2.经过点A(-3,2),B(4,4)的直线的两点式方程为(　　)
[A] = [B]=
[C]= [D]=
【答案】 A
【解析】 由A(-3,2),B(4,4),所以直线方程为=,即=.
故选A.
3.(苏教版选择性必修第一册P16练习T3改编)如果直线l过(-1,-1),(2,5)两点,点(1 012,b)在l上,那么b的值为　　　　.
【答案】 2 025
【解析】 直线l的方程为=,
即2x-y+1=0,
因为(1 012,b)在l上,
所以2×1 012-b+1=0,
解得b=2 025.
题型一　直线的两点式方程
[例1] (湘教版选择性必修第一册P68例5)如图,三角形的顶点分别为 A(-3,2),B(5,-4),C(0,-2).
(1)求BC边所在直线的方程;
(2)求BC边上的中线所在直线的方程.
【解】 (1)过B(5,-4),C(0,-2)的直线的两点式方程为=.
整理得2x+5y+10=0.
这就是BC边所在直线的方程.
(2)BC中点M的坐标为(,) =(,-3).
过A(-3,2),M(,-3)的直线的两点式方程为=.
整理得10x+11y+8=0.
这就是BC边上的中线AM所在直线的方程.
利用两点式求直线的方程
(1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件;若满足即可考虑用两点式求方程,若点的坐标中含有参数,需要对参数进行讨论.
(2)在斜率存在的情况下,也可以先应用斜率公式求出斜率,再用点斜式写方程.
[变式训练] 已知直线经过点A(1,0),B(m,1),求这条直线的方程.
【解】 由直线经过点A(1,0),B(m,1),可知该直线的斜率不可能为零,但有可能不存在.
①当直线斜率不存在,即m=1时,直线方程为 x=1;
②当直线斜率存在,即m≠1时,利用两点式,可得直线方程为=,
即y=(x-1).
综上所述,当m=1时,直线方程为x=1;
当m≠1时,直线方程为y=(x-1).
题型二　直线的截距式方程
[例2] 已知直线l过A(-2,1),并在两坐标轴上的截距的绝对值相等,那么这样的直线l 共有(　　)
[A] 1条 [B]2条 [C]3条 [D]4条
【答案】 C
【解析】 由题意,该直线斜率存在且不为0,设所求直线的方程为y-1=k(x+2),
令x=0,则y=2k+1;
令y=0,则x=--2,
因为直线l在两坐标轴上截距的绝对值相等,
所以|2k+1|=|--2|,
化简得2k2+3k+1=0或2k2-k-1=0,
解得k=-或k=-1或k=1,
所以过A(-2,1)并在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有3条.故选C.
选用截距式方程的注意事项
(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交,则可考虑选用截距式直线方程,用待定系数法确定其系数即可.
(2)选用截距式直线方程时,必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直.
(3)要注意截距式直线方程的逆向应用.
[变式训练] 求过点A(5,2),且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程.
【解】 (1)当直线l在两坐标轴上的截距均为0时,方程为y=x,即2x-5y=0.
(2)当直线l在两坐标轴上的截距不为0时,可设方程为+=1,
即x-y=a,
又l过点A(5,2),
所以5-2=a,
解得a=3,
所以l的方程为x-y-3=0.
综上所述,直线l的方程是2x-5y=0或x-y-3=0.
题型三　截距式方程的应用
[例3] 已知直线l过定点A(-2,3),且与两坐标轴围成的三角形的面积为4,则直线l的方程为　　　　　　　　.
【答案】 +=1或+=1
【解】 设直线l的方程为+=1.
因为点A(-2,3)在直线l上,
所以+=1.①
因为直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为4,所以×|a|·|b|=4.②
由①②可知或
解得或
故直线l的方程为+=1或+=1.
直线方程与三角形的面积、周长之间的关系
解决直线与坐标轴围成的三角形面积或周长问题时,一般选择直线方程的截距式,若设直线在 x轴、y轴上的截距分别为a,b,则直线与坐标轴所围成的三角形的面积为S=|a||b|,周长 c=|a|+|b|+.
[变式训练] 直线l过点P(,2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点.若△AOB的周长为12,求直线l的方程.
【解】 设直线l的方程为+=1(a>0,b>0),
因为直线l过点P(,2),所以+=1,①
又a+b+=12.②
由①②可得5a2-32a+48=0,解得或所以直线l的方程为+=1或+=1.
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.已知直线l的两点式方程为 =,则(　　)
[A] 直线l经过点(5,2)
[B]直线l的斜截式方程为x=y-
[C]直线l的倾斜角为锐角
[D]直线l的点斜式方程为y-2=(x-5)
【答案】 C
【解析】 直线l经过两点(8,9),(2,5),点斜式方程为y-5=(x-2),斜截式方程为 y=x+,直线l的斜率为>0.故选C.
2.若直线+=1的倾斜角为θ,则tan θ等于(　　)
[A] - [B]- [C] [D]
【答案】 B
【解析】 由题意tan θ=-.故选B.
3.过点(,1)作直线l,则满足在两坐标轴上截距之积为2的直线l的条数为(　　)
[A] 1 [B]2
[C]3 [D]4
【答案】 B
【解析】 设直线l的方程为+=1(a≠0),
将点(,1)代入,可得+=1(a≠0),即3a2-6a+2=0,
由于Δ=36-4×3×2=12>0,可知方程3a2-6a+2=0有两个根,
故满足题意的直线l的条数为2.
故选B.
4.两条直线l1:-=1和l2:-=1在同一直角坐标系中的图象可以是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 由截距式方程可得直线l1的横、纵截距分别为a,-b,直线l2的横、纵截距分别为b,-a,
选项A,由l1的图象可得a<0,b>0,可得直线l2的截距均为正数,故A正确;
选项B,由l1的图象可得a<0,b>0,可得直线l2的截距均为正数,故图象不对应,故B错误;
选项C,由l1的图象可得a<0,b<0,可得直线l2的横截距为负数,纵截距为正数,故图象不对应,故C错误;
选项D,由l1的图象可得a>0,b>0,可得直线l2的横截距为正数,纵截距为负数,故图象不对应,故D错误.
故选A.
5.(多选题)直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围可以是(　　)
[A] (-1,) [B](-∞,-1)
[C](,+∞) [D](,+∞)
【答案】 BD
【解析】 设直线的斜率为k,
如图,过定点A的直线经过点B(3,0)时,直线l在x轴上的截距为3,此时k=-1;
过定点A的直线经过点 C(-3,0)时,直线l在x轴的截距为-3,此时 k=.
所以满足条件的直线l的斜率范围是(-∞,-1)∪(,+∞).
故选BD.
6.(多选题)已知直线+=1经过第一、第二、第三象限且斜率小于1,那么下列不等式中一定正确的是(　　)
[A] |a|>|b| [B]>
[C](b-a)(b+a)>0 [D]>
【答案】 AB
【解析】 因为直线+=1经过第一、第二、第三象限,可得a<0,b>0.
由直线的斜率小于1,可得0<-<1,结合 a<0,可得a<0由绝对值的性质,可得|a|>|b|,所以A正确;
由幂函数y=的单调性,>,所以B正确;
由b-a>0,b+a<0,所以(b-a)(b+a)<0,所以C错误;
由<0,>0,所以<,所以D错误.故选AB.
7.(5分)经过两点M(4,3),N(1,5)的直线交x轴于点P,则点P的坐标是　　　　.
【答案】 (,0)
【解析】 由直线的两点式方程,得MN所在直线的方程为=,即y-3=-(x-4),
令y=0,得x=,故P点坐标为(,0).
8.(5分)已知直线l过点(3,1),且与两条坐标轴的正半轴围成一个等腰直角三角形,则直线l的方程为　　　　　　　　.
【答案】 +=1
【解析】 由题意设直线l的方程为+=1,且 a>0,
又直线过点(3,1),则+=1,a=4,
所以直线l的方程为+=1.
9.(12分)求过点A(-5,2),且在y轴上的截距等于在x轴上的截距的2倍的直线方程,并画出
图形.
【解】 ①当在x轴,y轴上的截距都是0时,设所求直线方程为y=kx,
将(-5,2)代入y=kx中,
得k=-,
此时直线方程为y=-x;
②当在x轴、y轴上的截距都不是0时,设所求直线方程为+=1(a≠0),
将(-5,2)代入+=1中,得a=-4,
此时直线方程为y=-2x-8.
综上所述,所求直线方程为 y=-x 或y=-2x-8.画出图形如图所示.
10.(14分)在△ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC边的中点M在y轴上,BC边的中点N在 x轴上,求:
(1)顶点C的坐标;
(2)直线MN的截距式方程.
【解】 (1)设C(x0,y0),则AC边的中点为 M(,),BC边的中点为N(,).
因为M在y轴上,
所以=0,
解得x0=-5.
又N在x轴上,所以=0,
解得y0=-3,即C(-5,-3).
(2)由(1)可得M(0,-),N(1,0),所以直线MN的截距式方程为+=1.
11.(5分)瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知平面直角坐标系中△ABC各顶点的坐标分别为 A(0,0),B(0,2),C(4,0),则其“欧拉线”的方程为　　　　　　.
【答案】 y=x
【解析】 由题设知,△ABC是直角三角形,则垂心为直角顶点A(0,0),外心为斜边BC的中点M(2,1),由两点式得“欧拉线”的方程为y=x.
12.(5分)已知直线l经过点(3,0)和点(-3,4),若点(x,y)在直线l上移动且在第一象限内,则xy的最大值为　　　　.
【答案】
【解析】 由两点式公式可得直线l的方程为 =,
故直线l的方程为y=-(x-3),
则xy=-(x2-3x)=-(x-) 2+.
因为x>0,所以当x=时,(xy)max=,
即xy的最大值为.
13.(17分)已知直线l经过点P(-1,2).
(1)若l在两坐标轴上截距和为零,求l的点斜式方程;
(2)设l的斜率k>0,l与两坐标轴的交点分别为A,B,当△AOB的面积最小时,求l的斜截式方程.
【解】 (1)由题意知,l的斜率存在且不为0,设斜率为k,
则l的点斜式方程为y-2=k(x+1),则它在两坐标轴上截距分别为-1-和k+2,
所以-1-+k+2=0,
解得k=-2或k=1,
所以l的点斜式方程为y-2=-2(x+1)或 y-2=x+1.
(2)由(1)知,A(--1,0),B(0,k+2),
所以△AOB的面积S=|--1|·|k+2|==+2+≥2+2=4,
当且仅当k=2时,等号成立,所以l的斜截式方程为y=2x+4.
14.某汽车客运公司托运行李的费用y(单位:元)与行李质量x(单位:kg)之间的关系如图所示,根据图象可知,乘客最多可免费携带行李的质量为(　　)
[A] 20 kg [B]25 kg
[C]30 kg [D]35 kg
【答案】 A
【解析】 由图象可得,直线过点(60,10),(80,15),由直线方程的两点式可得=,
化简可得y=x-5,令y=0,解得x=20,即乘客最多可免费携带行李的质量为20 kg.
故选A.2.2.2　直线的两点式方程
【课程标准要求】　1.根据确定直线位置的几何要素,探索并掌握直线的两点式方程.2.了解直线的截距式方程的形式特征及适用范围.
知识点一　直线的两点式方程
项目 已知条件 示意图 方程
两点式 P1(x1,y1), P2(x2,y2), 其中x1≠ x2,y1≠y2 =
两点式方程也可写成=,对于两点式中的两点,只要是直线上两个不同点即可,与这两个点的顺序无关,但需注意等号左右两边的字母、下标必须对应,不能乱写,并注意x1≠x2,y1≠y2.
知识点二　直线的截距式方程
项目 已知条件 示意图 方程
截距式 在x轴,y轴上的截距分别为a,b且a≠0,b≠0 +=1
(1)应用截距式方程的前提是截距a≠0且b≠0,即当直线过原点或与坐标轴平行时不能用截距式方程.
(2)截距式方程的特点有两个,一是中间必须用“+”号连接,二是等号右边为“1”.
(3)截距并非距离,应用截距式方程时,a与b可正、可负.
基础自测
1.直线-=1在y轴上的截距为(　　)
[A] -4 [B]-2 [C]2 [D]4
2.经过点A(-3,2),B(4,4)的直线的两点式方程为(　　)
[A] = [B]=
[C]= [D]=
故选A.
3.(苏教版选择性必修第一册P16练习T3改编)如果直线l过(-1,-1),(2,5)两点,点(1 012,b)在l上,那么b的值为　　　　.
即2x-y+1=0,
因为(1 012,b)在l上,
所以2×1 012-b+1=0,
解得b=2 025.
题型一　直线的两点式方程
[例1] (湘教版选择性必修第一册P68例5)如图,三角形的顶点分别为 A(-3,2),B(5,-4),C(0,-2).
(1)求BC边所在直线的方程;
(2)求BC边上的中线所在直线的方程.
整理得2x+5y+10=0.
这就是BC边所在直线的方程.
(2)BC中点M的坐标为(,) =(,-3).
过A(-3,2),M(,-3)的直线的两点式方程为=.
整理得10x+11y+8=0.
这就是BC边上的中线AM所在直线的方程.
利用两点式求直线的方程
(1)首先要判断是否满足两点式方程的适用条件;若满足即可考虑用两点式求方程,若点的坐标中含有参数,需要对参数进行讨论.
(2)在斜率存在的情况下,也可以先应用斜率公式求出斜率,再用点斜式写方程.
[变式训练] 已知直线经过点A(1,0),B(m,1),求这条直线的方程.
①当直线斜率不存在,即m=1时,直线方程为 x=1;
②当直线斜率存在,即m≠1时,利用两点式,可得直线方程为=,
即y=(x-1).
综上所述,当m=1时,直线方程为x=1;
当m≠1时,直线方程为y=(x-1).
题型二　直线的截距式方程
[例2] 已知直线l过A(-2,1),并在两坐标轴上的截距的绝对值相等,那么这样的直线l 共有(　　)
[A] 1条 [B]2条 [C]3条 [D]4条
令x=0,则y=2k+1;
令y=0,则x=--2,
因为直线l在两坐标轴上截距的绝对值相等,
所以|2k+1|=|--2|,
化简得2k2+3k+1=0或2k2-k-1=0,
解得k=-或k=-1或k=1,
所以过A(-2,1)并在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线有3条.故选C.
选用截距式方程的注意事项
(1)如果问题中涉及直线与坐标轴相交,则可考虑选用截距式直线方程,用待定系数法确定其系数即可.
(2)选用截距式直线方程时,必须首先考虑直线能否过原点以及能否与两坐标轴垂直.
(3)要注意截距式直线方程的逆向应用.
[变式训练] 求过点A(5,2),且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线l的方程.
(2)当直线l在两坐标轴上的截距不为0时,可设方程为+=1,
即x-y=a,
又l过点A(5,2),
所以5-2=a,
解得a=3,
所以l的方程为x-y-3=0.
综上所述,直线l的方程是2x-5y=0或x-y-3=0.
题型三　截距式方程的应用
[例3] 已知直线l过定点A(-2,3),且与两坐标轴围成的三角形的面积为4,则直线l的方程为　　　　　　　　.
因为点A(-2,3)在直线l上,
所以+=1.①
因为直线l与两坐标轴围成的三角形的面积为4,所以×|a|·|b|=4.②
由①②可知或
解得或
故直线l的方程为+=1或+=1.
直线方程与三角形的面积、周长之间的关系
解决直线与坐标轴围成的三角形面积或周长问题时,一般选择直线方程的截距式,若设直线在 x轴、y轴上的截距分别为a,b,则直线与坐标轴所围成的三角形的面积为S=|a||b|,周长 c=|a|+|b|+.
[变式训练] 直线l过点P(,2)且与x轴、y轴的正半轴分别交于A,B两点,O为坐标原点.若△AOB的周长为12,求直线l的方程.
因为直线l过点P(,2),所以+=1,①
又a+b+=12.②
由①②可得5a2-32a+48=0,解得或所以直线l的方程为+=1或+=1.
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.已知直线l的两点式方程为 =,则(　　)
[A] 直线l经过点(5,2)
[B]直线l的斜截式方程为x=y-
[C]直线l的倾斜角为锐角
[D]直线l的点斜式方程为y-2=(x-5)
2.若直线+=1的倾斜角为θ,则tan θ等于(　　)
[A] - [B]- [C] [D]
3.过点(,1)作直线l,则满足在两坐标轴上截距之积为2的直线l的条数为(　　)
[A] 1 [B]2
[C]3 [D]4
将点(,1)代入,可得+=1(a≠0),即3a2-6a+2=0,
由于Δ=36-4×3×2=12>0,可知方程3a2-6a+2=0有两个根,
故满足题意的直线l的条数为2.
故选B.
4.两条直线l1:-=1和l2:-=1在同一直角坐标系中的图象可以是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
选项A,由l1的图象可得a<0,b>0,可得直线l2的截距均为正数,故A正确;
选项B,由l1的图象可得a<0,b>0,可得直线l2的截距均为正数,故图象不对应,故B错误;
选项C,由l1的图象可得a<0,b<0,可得直线l2的横截距为负数,纵截距为正数,故图象不对应,故C错误;
选项D,由l1的图象可得a>0,b>0,可得直线l2的横截距为正数,纵截距为负数,故图象不对应,故D错误.
故选A.
5.(多选题)直线l经过点A(1,2),在x轴上的截距的取值范围是(-3,3),则其斜率的取值范围可以是(　　)
[A] (-1,) [B](-∞,-1)
[C](,+∞) [D](,+∞)
如图,过定点A的直线经过点B(3,0)时,直线l在x轴上的截距为3,此时k=-1;
过定点A的直线经过点 C(-3,0)时,直线l在x轴的截距为-3,此时 k=.
所以满足条件的直线l的斜率范围是(-∞,-1)∪(,+∞).
故选BD.
6.(多选题)已知直线+=1经过第一、第二、第三象限且斜率小于1,那么下列不等式中一定正确的是(　　)
[A] |a|>|b| [B]>
[C](b-a)(b+a)>0 [D]>
由直线的斜率小于1,可得0<-<1,结合 a<0,可得a<0由绝对值的性质,可得|a|>|b|,所以A正确;
由幂函数y=的单调性,>,所以B正确;
由b-a>0,b+a<0,所以(b-a)(b+a)<0,所以C错误;
由<0,>0,所以<,所以D错误.故选AB.
7.(5分)经过两点M(4,3),N(1,5)的直线交x轴于点P,则点P的坐标是　　　　.
令y=0,得x=,故P点坐标为(,0).
8.(5分)已知直线l过点(3,1),且与两条坐标轴的正半轴围成一个等腰直角三角形,则直线l的方程为　　　　　　　　.
又直线过点(3,1),则+=1,a=4,
所以直线l的方程为+=1.
9.(12分)求过点A(-5,2),且在y轴上的截距等于在x轴上的截距的2倍的直线方程,并画出
图形.
将(-5,2)代入y=kx中,
得k=-,
此时直线方程为y=-x;
②当在x轴、y轴上的截距都不是0时,设所求直线方程为+=1(a≠0),
将(-5,2)代入+=1中,得a=-4,
此时直线方程为y=-2x-8.
综上所述,所求直线方程为 y=-x 或y=-2x-8.画出图形如图所示.
10.(14分)在△ABC中,已知A(5,-2),B(7,3),且AC边的中点M在y轴上,BC边的中点N在 x轴上,求:
(1)顶点C的坐标;
(2)直线MN的截距式方程.
因为M在y轴上,
所以=0,
解得x0=-5.
又N在x轴上,所以=0,
解得y0=-3,即C(-5,-3).
(2)由(1)可得M(0,-),N(1,0),所以直线MN的截距式方程为+=1.
11.(5分)瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理:三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上,这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知平面直角坐标系中△ABC各顶点的坐标分别为 A(0,0),B(0,2),C(4,0),则其“欧拉线”的方程为　　　　　　.
12.(5分)已知直线l经过点(3,0)和点(-3,4),若点(x,y)在直线l上移动且在第一象限内,则xy的最大值为　　　　.
故直线l的方程为y=-(x-3),
则xy=-(x2-3x)=-(x-) 2+.
因为x>0,所以当x=时,(xy)max=,
即xy的最大值为.
13.(17分)已知直线l经过点P(-1,2).
(1)若l在两坐标轴上截距和为零,求l的点斜式方程;
(2)设l的斜率k>0,l与两坐标轴的交点分别为A,B,当△AOB的面积最小时,求l的斜截式方程.
则l的点斜式方程为y-2=k(x+1),则它在两坐标轴上截距分别为-1-和k+2,
所以-1-+k+2=0,
解得k=-2或k=1,
所以l的点斜式方程为y-2=-2(x+1)或 y-2=x+1.
(2)由(1)知,A(--1,0),B(0,k+2),
所以△AOB的面积S=|--1|·|k+2|==+2+≥2+2=4,
当且仅当k=2时,等号成立,所以l的斜截式方程为y=2x+4.
14.某汽车客运公司托运行李的费用y(单位:元)与行李质量x(单位:kg)之间的关系如图所示,根据图象可知,乘客最多可免费携带行李的质量为(　　)
[A] 20 kg [B]25 kg
[C]30 kg [D]35 kg
化简可得y=x-5,令y=0,解得x=20,即乘客最多可免费携带行李的质量为20 kg.
故选A.

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