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(共19张PPT)
第7节　一元二次方程及其应用
一元二次方程的有关概念(理解)
一般 形式
(其中a，b，c为常数，a≠0)
三个 条件 (1)整式方程；(2)只含有①____个未知数；(3)未知数的最高次数是②____
一
2
一元二次方程的解法(理解，基本思想→降次)
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系(了解)
1．一元二次方程根的判别式
定义 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为④_________，数学符号为Δ
根与判别 式的关系 (1)Δ＞0 方程有两个⑤________的实数根；
(2)Δ＝0 方程有两个⑥______的实数根；
(3)Δ<0 方程⑦_______实数根
注意 题中如果出现一元二次方程“有实数根”或“有两个实数根”，那么Δ≥0
b2－4ac
不相等
相等
没有
2.一元二次方程根与系数的关系(2022课标调整为考查内容)
如果方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个实数根x1，x2，那么x1＋x2＝⑧______，x1x2＝⑨________
注意：利用根与系数的关系解题的前提是根的判别式b2－4ac≥0
一元二次方程的实际应用
变化率 问题 平均增长(下降)率问题：设a为原来量，m为平均增长(下降)率，若连续增长(下降)2次，b为增长(下降)后的量，则a(1±m)2＝b
销售中的“每每”问题 (1)常用公式：利润＝单件利润×销量；
(2)若每件成本为a元，售价为m元，销量为n件，售价每降低d元，则可多卖出c件．设售价降低了x元，则每件的利润为⑩__________元，销量增加 _______件，销量变为 __________件，则降价后的利润w＝ __________________元
(m－x－a)
(a－x)(b－x)
(a－2x)(b－2x)
面积问题 (2)如图⑤⑥，用总长为 a 米的篱笆，一边靠墙，围成一个矩形，若平行于墙的一边长x米(墙的长度大于x米)，则所围成矩形的面积S＝ __________平方米；当边上留1米宽的门时，所围成矩形的面积S＝ _____________平方米；如图⑦，当在矩形 ABCD 的四个角各剪去一个边长为x的正方形后做成一个无盖的盒子，则该盒子的底面积S＝ _______________平方米
(a－2x)(b－2x)
1．解下列方程：
(1)(x＋4)2＝5(x＋4); (2)2x2－5x＋1＝0.
解：由(x＋4)2＝5(x＋4)，
得(x＋4)(x＋4－5)＝0，
∴x＋4＝0或x－1＝0，
∴x1＝－4，x2＝1；
解一元二次方程
已知关于x的一元二次方程x2－4x＋5－a＝0.
(1)若此方程没有实数根，则a的取值范围为__________；
(2)若此方程有两个不相等的实数根，则a的取值范围为________；
(3)若此方程有两个相等的实数根，则a的取值范围为________；
(4)若此方程有一个根为3，则a的值为______，方程的另一个根为______；
(5)若此方程有两个实数根x1，x2，且(x1＋1)(x2＋1)＝8，则a的值为______．
a＜1
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
a＞1
a＝1
2
1
2
2．(2025广安)关于x的一元二次方程x2＋3x＋1＝0的根的情况是( )
A．没有实数根 B．有两个不相等的实数根
C．有两个相等的实数根 D．无法确定
3．(2025湖北)一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是( )
A．x1＋x2＝－4 B．x1＋x2＝3 C．x1x2＝4 D．x1x2＝3
B
D
－1
2 027
6．(2025威海)如图，某校有一块长20 m、宽14 m的矩形种植园．为了方便耕作管理，在种植园的四周和内部修建宽度相同的小路(图中阴影部分).小路把种植园分成面积均为24 m2的9块矩形地块，请你求出小路的宽度．
一元二次方程的实际应用
7．【数学文化·田亩比类乘除捷法】(2025辽宁)我国古代数学家杨辉的《田亩比类乘除捷法》中记载：“直田积八百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何？”其大意是：一块矩形田地的面积为864平方步，只知道它的长与宽共60步，问它的长比宽多多少步？设这个矩形的宽为x步，根据题意可列方程为( )
A．x(60－x)＝864 B．x(x－60)＝864
C．x(60＋x)＝864 D．2[x＋(x＋60)]＝864
A(共13张PPT)
第6节　分式方程及其应用
分式方程及其解法(掌握)
概念 分母中含有①_________的方程
一般步骤
口诀：一化、二解、三检验、四写根
增根 分式方程的增根是去分母后的整式方程的根，也是使分式方程的最简公分母为②____的根
无解 分式方程无解可能是整式方程的解使得最简公分母为0，也可能是去分母后的整式方程无解
未知数
0
分式方程的实际应用(掌握)
1
解分式方程及解的应用
2或－1
k＜2且k≠－1
1或－7
解：原方程去分母得x－2－2x＋1＝－1，解得x＝0，检验：当x＝0时，2x－1＝－1≠0，则原方程的解为x＝0.
D
解：原方程去分母得2x＝3(x＋1)，整理得2x＝3x＋3，解得x＝－3，检验：当x＝－3时，x(x＋1)＝6≠0，则原方程的解为x＝－3.
C
分式方程的实际应用
5．(2025广安节选)某景区需要购买A，B两种型号的帐篷．已知用1 800元购买A种帐篷的数量与用3 000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元．求A，B两种帐篷的单价各为多少元．
A
等于0，则x=是
分式
去分母
整式方程
解整式
方程的增根
方
x=a
检验
乘最简
方程
代入最简
不等于0，则x=a
程
公分母
公分母
是方程的根

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