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(共17张PPT)
第27节　图形的对称、平移与旋转
图示 性质
轴对称 (1)成轴对称的两个图形是全等图形；
(2)对称点所连线段被对称轴①____________
中心对称 (1)成中心对称的两个图形是全等图形；
(2)对称点所连线段都经过对称中心，并且被对称中心平分
垂直平分
1．轴对称与中心对称
图形的对称(掌握)
2.轴对称图形与中心对称图形
图示 判断步骤
轴对称图形 (1)找对称轴；
(2)图形沿对称轴折叠；
(3)对称轴两边的图形完全重合
中心对称图形 (1)找对称中心；
(2)图形绕对称中心旋转180°；
(3)旋转前后的图形完全重合
性质 折叠的实质就是②______________，位于折痕两侧的图形关于折痕成③__________
折叠前后的两部分图形④________，对应边、角、线段、周长、面积都分别相等
折痕可看作角平分线：对应线段所在的直线与折痕构成的夹角相等
折痕可看作垂直平分线：折叠前后，对应点的连线被⑤________垂直平分
轴对称
轴对称
全等
折痕
图形的折叠
图示 要素 性质(探索)
平移 平移方向，平移距离 (1)平移前后，对应线段、对应角⑥________；(2)各组对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且⑦________；(3)平移前后的图形⑧________
旋转 旋转中心，旋转方向，旋转角度 (1)对应点到旋转中心的距离⑨_______；(2)任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于⑩_________；(3)旋转前后的图形 ________
相等
相等
全等
相等
旋转角
全等
图形的平移与旋转
图形的对称
1．下列倡导节约的图案中，是轴对称图形的是( )
C
2．【数学文化·对称图形】(2025龙东地区)我国古代有很多关于数学的伟大发现，其中包括很多美丽的图案，下列图形既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
B
图形的平移
如图，△ABC通过平移得到△A′B′C′，连接AA′.
(1)△ABC____△A′B′C′；
(2)AC与A′C′的数量关系为____________，位置关系为_____________；
(3)若∠B＝50°，则∠A′B′C′＝_______°；
(4)若AB＝5，BC＝5，AC＝6，B′C＝1，则A′B′＝____，AA′＝____，A′C′＝____，四边形ABC′A′的周长为____．
≌
AC＝A′C′
AC∥A′C′
50
5
4
6
24
B
图形的旋转
如图，点P是正方形ABCD内一点，CD＝13，连接AP，BP，且∠APB＝90°，将△ABP绕点B顺时针旋转，直到点A与点C恰好重合，点P的对应点为P′，延长AP交CP′于点E，若CE＝7.
(1)旋转角的度数为_________，∠CP′B＝________；
(2)BP____BP′(填“>”“＝”“<”)，四边形BPEP′的形状是___________；
(3)EP的长为____；
(4)△CBP′的面积为____．
90°
90°
＝
正方形
5
30
4．(2024湖北)如图，点A的坐标是(－4，6)，将线段OA绕点O顺时针旋转90°，点A的对应点的坐标是( )
A．(4，6) B．(6，4) C．(－6，－4) D．(－4，－6)
B
5．(2025自贡)如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的边长为5，AB边在y轴上，B(0，－2).若将正方形ABCD绕点O逆时针旋转90°，得到正方形A′B′C′D′，则点D′的坐标为( )
A．(－3，5) B．(5，－3)
C．(－2，5) D．(5，－2)
A
6．(2024天津)如图，△ABC中，∠B＝30°，将△ABC绕点C顺时针旋转60°得到△DEC，点A，B的对应点分别为D，E，延长BA交DE于点F，下列结论一定正确的是( )
A.∠ACB＝∠ACD
B．AC∥DE
C．AB＝EF
D．BF⊥CE
D
A(共15张PPT)
模型突破　图形的折叠
模型1　矩形中的折叠
类型 条件 图示 结论
折痕过 一顶点 点B′落在对角线AC上 ①△PBC≌△PB′C；②△AB′P∽△ABC；③△AB′P∽△CDA
点B′落在边AD上 ①△PBC≌△PB′C；②△AB′P∽△DCB′
点B′落在矩形ABCD外部 ①△PBC≌△PB′C；②△APF∽△B′GF∽△DGC
类型 条件 图示 结论
折痕过对角线 点B′落在矩形ABCD外部 ①AF＝FC；②△ABC≌△AB′C；③△AB′F≌△CDF
折痕过 两邻边 点C′落在对角线AC上 △PCE∽△CBA
点C′落在边AD上，过点E作EH⊥AD △DC′P∽△HEC′
类型 条件 图示 结论
折痕过对边 点B′落在边AD上 ①△ABE≌△A′B′E；
②四边形BFB′E为菱形
两次折叠 两条折痕互相垂直 ①A，F，E三点共线；
②BG＝GF＝CG；
③△ABG∽△GCE∽△AGE；
④AG⊥GE，GF⊥AE
模型2　三角形中的折叠
类型 等边三角形 直角三角形 条件 点F落在边BC上 一次折叠 二次折叠 点A′落在边AB上 点A′落在边CB上 点D, D′均落在边AB上 点D落在边AB上，点 D′落在边CB上
图示
结论 △BDF∽△CFE CD垂直平分AA′ CD平分∠ACB ①∠ACD＝∠A′CD＝∠D′CA′；②CA′垂直平分DD′ ①∠ACD＝∠A′CD＝∠D′CA′；②CD垂直平分AA′
1．如图，在△ABC中，点D是AB边上一点，BC＝12，AC＝9.将△ADC沿CD折叠，使点A恰好落在CB边上的点E处，则线段BE的长度为( )
A．9 B．5 C．4 D．3
D
C
B
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B
5．如图，在矩形ABCD中，点E在DC上，将矩形沿AE折叠，使点D落在BC边上的点F处．若AB＝3，BC＝5，则tan ∠DAE的值为________．
6．如图是一张矩形纸片ABCD，点E是AD中点，点F在BC上，把该纸片沿EF折叠，点A，B的对应点分别为A′，B′，EA′的延长线经过点C，A′B′与BC相交于点G.若AB＝5，且点G平分A′B′，则AD的长为_________．
7．如图，对折矩形纸片ABCD，使得AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平．再一次折叠纸片，使点A的对应点A′落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，连接MF，若MF⊥BM，AB＝6 cm，则AD的长是__________．
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模型突破　与线段最值有关的计算
模型1　一动两定
类型 将军饮马 胡不归
问题 两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使PA＋ PB的值最小 A为直线l上一定点，B为直线l外一定点，P为直线l上一动点，使kPA＋PB(0＜k＜1)的值最小
作法 作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′与直线l交于点P ①以定点A为顶点作∠PAN，使sin ∠PAN＝k；②过动点P作垂线，构造Rt△APE，将kPA转化为PE；③过定点B作BF⊥AN于点F，交直线l于点P′
类型 将军饮马 胡不归
图示
结论 AP＋PB的最小值为AB′的长 利用“垂线段最短”得kPA＋PB的最小值为BF的长
模型2　两定两动
类型 造桥选址 将军遛马
问题 已知直线a∥b，点A，B分别位于直线a的上方和直线b的下方，M，N分别为直线a，b上的动点，且MN⊥a，求AM＋MN＋NB的最小值 两定点A，B在直线l同侧，P，Q为直线l上两动点，且PQ长为定值，请在直线l上确定PQ的位置，使AP＋PQ＋BQ的值最小
作法 将点A向下平移MN的长度得到点A′，连接A′B交直线b于点N，过点N作NM⊥a于点M 将点A向右平移PQ的长度得到点A′，作点B关于直线l的对称点B′，连接A′B′交直线l于点Q，将点Q向左平移PQ的长得到点P
类型 造桥选址 将军遛马
图示
结论 最小值为A′B＋MN的值 最小值为A′B′＋PQ的值
D
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2．如图，在平面直角坐标系中，已知A(3，6)，B(－2，2)，在x轴上取两点C，D(点C在点D左侧)，且始终保持CD＝1，线段CD在x轴上平移，当AD＋BC的值最小时，点C的坐标为_____________.
(－1，0)
3．如图，已知点D，E分别是等边△ABC的边BC，AB的中点，AB＝10，点F是AD上的动点，则BF＋EF的最小值为__________．
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4．如图，在菱形ABCD中，∠BAD＝120°，AB＝2，点P是对角线BD上的一个的动点，则BP＋2AP的最小值为________．
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第26节　视图与投影
投影 一般地，用光线照射物体，在某个平面(地面、墙壁等)上得到的影子
平行投影 由平行光线形成的投影
中心投影 由同一点(点光源)发出的光线形成的投影
正投影 投影线垂直于投影面产生的投影
投影(了解)
三视图 概念 画法 图示
主视图 在正面内得到的由前向后观察物体的视图 主视图与俯视图的长对正，主视图与左视图的高平齐，左视图与俯视图的宽相等；画图时，看得见部分的轮廓线画成①______线，看不见部分的轮廓线画成②______线


左视图 在侧面内得到的由左向右观察物体的视图 俯视图 在水平面内得到的由上向下观察物体的视图 实
虚
1．三视图的概念及画法
三视图
2.常见几何体的三视图(了解)
几何体
主视图
左视图
俯视图
几何体 正方体 圆柱 圆锥(了解)
正三棱柱(了解)
展开图及图示(选其中一种展开图) 六个大小相等的③________ 两个大小相等的圆和一个④________ 一个圆和一个⑤________ 两个全等的⑥________和三个全等的矩形

正方形
矩形
1．常见几何体的展开图
扇形
三角形
立体图形的展开图
2.正方体展开图的常见类型
(1)“一四一型”(6种) 口诀：中间四个面，上下各一面 (2)“二三一型”(3种) 口诀：中间三个面，上下各二一 (3)“三三型”(1种) 口诀：中间没有面，三三一对齐 (4)“二二二型”(1种)
口诀：中间两个面，三层台阶见
注意：示意图中数字相同的面为相对面；正方体的表面展开图中若出现“ ”图形，另外两面必须在两侧，如“141”型；不能出现
“ ”“ ”“ ”图形
三视图
1．(2025湖北)“月壤砖”是我国科学家模拟月壤成分烧制而成的，拟用于未来建造月球基地．如图是一种“月壤砖”的示意图，它的主视图是( )
B
2．(2024湖北)如图，是由4个相同的正方体组成的立方体图形，其主视图是( )
A
3．(2025成都)下列几何体中，主视图和俯视图相同的是( )
C
4．(2025自贡)如图，一横一竖两块砖头放置于水平地面，其主视图为( )
D
5．某个几何体的三视图如图所示，该几何体是( )
A
6．如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的表面积为( )
A.2π
B．3π
C．4π
D．5π
C
图形的展开与折叠
7．若一个几何体的表面展开图如图所示，则这个几何体是( )
A．三棱柱 B．四棱柱
C．三棱锥 D．四棱锥
A
8．如图，裁掉一个正方形后能折叠成正方体，但不能裁掉的是( )
A．① B．② C．③ D．④
A
9．【数学文化·牟合方盖】我国古代数学家利用“牟合方盖”找到了球体体积的计算方法．“牟合方盖”是由两个圆柱分别从纵横两个方向嵌入一个正方体时，两圆柱公共部分形成的几何体，如图所示的几何体是可以形成“牟合方盖”的一种模型，从正面看它的图形是( )
A(共17张PPT)
第25节　尺规作图
图示 步骤 应用 (1)作射线OP； (2)以点O为圆心，①____为半径作弧，交OP于点A，OA即为所求作的线段 (1)已知三边作三角形 (2)作圆内接正六边形
a
1．作一条线段等于已知线段(已知线段a)
图示 步骤
以点O为圆心、适当长为半径作弧，交∠O的两边于点P，Q；
(2)作射线O′A；
(3)以点O′为圆心，②____________的长为半径作弧，交O′A于点M；
(4)以点M为圆心，③________的长为半径作弧，交前弧于点N；
(5)过点N作射线O′B，∠BO′A即为所求作的角
OP(或OQ)
PQ
2.作一个角等于已知角(已知∠α)(掌握)
依据 应用 三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线 (1)过直线l外一点作直线l′与已知直线l平行(2022课标新增) (2)过三角形边上一点作直线将其分成两个相似三角形
(3)已知两边及其夹角作三角形 (4)已知两角及其夹边作三角形
图示 步骤 依据 应用
(1)以点O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OA，OB于点N，M； (2)分别以点M，N为圆心，④______________的长为半径作弧，两弧在∠AOB的内部相交于点P； (3)作射线OP，OP即为所求作角的平分线 三边分别相等的两个三角形全等；全等三角形的对应角相等；两点确定一条直线 作三角形的内切圆
3.作已知角的平分线(已知∠AOB)(掌握)
图示 步骤 依据
(1)分别以点A，B为圆心，⑤_____________的长为半径在AB两侧作弧，两弧分别交于M，N两点； (2)连接MN，直线MN即为所求作线段的垂直平分线 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线
4.作线段的垂直平分线(已知线段AB)(掌握)
应用 (1)已知底边及底边上的高线作等腰三角形 (2)过不在同一条直线上的三点作圆或作三角形的外接圆
(3)作圆内接正方形 (4)过圆外一点作圆的切线(2022课标新增)
类型 图示 步骤 依据 应用
点在直线上 (1)以点P为圆心，任意长为半径向点P两侧作弧，分别交直线l于A，B两点；(2)分别以点A，B为圆心，⑥ 的长为半径在直线l两侧作弧，两弧分别交于点M，N；(3)连接MN，MN即为所求作的垂线 等腰三角形“三线合一”；两点确定一条直线 已知一直角边和斜边作直角三角形
5.过一点(P)作已知直线(l)的垂线(掌握)
类型 图示 步骤 依据 应用
点在直线外 (1)在直线l另一侧取点M；(2)以点P为圆心，PM的长为半径画弧，交直线l于A，B两点； (3)分别以点A，B为圆心，⑦　 　 的长为半径画弧，交点M同侧于点N； (4)连接PN，则PN即为所求作的垂线 到线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上；两点确定一条直线 过直线外一点作与直线相切的圆

C
A
C
A
12

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