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第21节　矩形、菱形和正方形
矩形、菱形、正方形的性质与判定(理解、运用)
矩形 菱形 正方形
性 质 边 对边平行且相等 对边①________，四条边②__________
角 四个角③__________ 对角相等 四个角都是直角
对角线 互相平分且④________ 互相垂直且平分，每条对角线平分一组对角 互相垂直平分且相等，每条对角线平分一组对角
对称性 既是轴对称图形，又是中心对称图形，O为对称中心
平行
都相等
都是直角
相等
矩形 菱形 正方形
判 定 边 / (1)四条边都相等的四边形．(2)有一组邻边相等的平行四边形 有一组邻边相等的矩形
角 (1)有三个角是直角的四边形．(2)有一个角是直角的平行四边形 / 有一个角是直角的菱形
对角线 对角线相等的平行四边形 (1)对角线互相垂直且平分的四边形．(2)对角线互相垂直的平行四边形 (1)对角线互相垂直的矩形．(2)对角线相等的菱形
矩形 图示
(∠AOB＝60°或AB＝AO)
结论 一对全等的直角三角形；S1＝S2 两对全等的等腰三角形；S1＝S2＝S3＝S4 △AOB和△DOC是一对全等的等边三角形
矩形、菱形、正方形中的特殊三角形与面积问题
正方形 图示
EF是平行于边BC的任意一条直线
结论 一对全等的等腰直角三角形；S1＝S2 4个全等的等腰直角三角形；S1＝S2＝S3＝S4 △AEG和△CFG均为等腰直角三角形
从边、角的角度看 从对角线的角度看 包含关系
特殊四边形之间的关系
定义 依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形
原图形 任意 四边形 矩形 菱形 正方形 对角线相等的四边形 对角线垂直的四边形 对角线垂直且 相等的四边形
中点 四边形 平行 四边形 ⑤______ 矩形 正方形 菱形 矩形 ⑥_________
拓展 中点四边形的周长是原四边形对角线长度之和，中点四边形的面积是原四边形面积的一半
菱形
正方形
中点四边形
定义 分类 性质 面积 图示
一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形 等腰梯形：在同一底边上的两个内角相等的梯形 梯形的中位线平行于两底且等于两底和的⑦________ S＝ ⑧__________

直角梯形：有一个角是直角的梯形
一半
梯形 (2022课标新增)
与矩形有关的证明与计算
如图①，在矩形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.
【基础练】
(1)下列结论一定正确的是( )
A．OA⊥OB B．∠BAC＝∠ACB
C．OA＝OB D．AB＝AD
(2)若AB＝6，BC＝8，则AC＝____，OB＝____；
(3)若∠AOB＝60°，AB＝2，则∠ACB＝________，AC＝____；
C
10
5
30°
4
(4)如图②，过点A作AE⊥BD于点E.
①若DE＝3BE，AD＝6，则AE＝____；
②若∠CAD＝2∠CAE，则∠BAE＝_______．
3
36°
(5)如图③，过点O作OE⊥AC交AD于点E，若AB＝9，BC＝12，则DE＝___________；
(6)如图④，P是AD上不与点A和点D重合的一个动点，过点P分别作PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，若AB＝3，BC＝4，则PE＋PF＝__________．
(7)(2025内江)如图⑤，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，E，F分别是边AD，CD上的动点，连接BE，EF，G为BE的中点，H为EF的中点，连接GH，则GH的最大值是____．
5
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与菱形有关的证明与计算
如图①，已知四边形ABCD是菱形，连接对角线BD.
【基础练】
(1)若∠A＝100°，则∠ABD＝________；
(2)若AB＝5，BD＝8，
①连接对角线AC交对角线BD于点O，如图②.
(Ⅰ)AC＝____；(Ⅱ)S菱形ABCD＝____；
(Ⅲ)过点A作AE⊥CD于点E，连接OE，则AE＝________，OE＝____．
40°
6
24
3
【提升练】
　②P为对角线BD上的一动点，过点P作PE⊥CD于点E.
(Ⅰ)如图③，过点P作PF⊥BC于点F，则PE＋PF＝________；
(Ⅱ)如图④，连接PC，PC＋PE的最小值是________．
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(3)(2025贵州)如图，在 ABCD中，E为对角线AC的中点，连接BE，且BE⊥AC，垂足为E.延长BC至点F，使CF＝CE，连接DF，EF.
①求证： ABCD是菱形；
②若BE＝EF，EC＝4，求△CDF的面积．
与正方形有关的证明与计算
如图，在边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点O的直线交AB于点E，交CD于点F.
45°
4
2
4
2
【提升练】
(5)(2025浙江)【问题背景】如图，某兴趣小组需要在正方形纸板ABCD上剪下机翼状纸板(阴影部分)，点E在对角线BD上．
【数学理解】
①该机翼状纸板是由两个全等三角形组成，请写出△ABE≌△CBE的证明过程．
②若裁剪过程中满足DE＝DA，
求“机翼角” ∠BAE的度数．
①证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABD＝∠CBD，又∵BE＝BE，
∴△ABE≌△CBE(SAS)；
②解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∠ADB＝45°，∵DE＝DA，
∴∠DAE＝∠DEA，∵∠DAE＋∠DEA＋∠ADE＝180°，∴∠DAE＝∠DEA＝67.5°，
∴∠BAE＝∠BAD－∠DAE＝22.5°.
1．【新情境·数学文化】数学家吴文俊院士非常重视古代数学家贾宪提出的“从矩形对角线上任一点作两条分别平行于两邻边的直线，则所得两矩形面积相等(如图①，S矩形AEOM＝S矩形CFON)”这一推论，他从这一推论出发，利用“出入相补”原理复原了《海岛算经》九题古证，如图②，M是矩形ABCD的对角线AC上的点，且AM∶CM＝1∶2，过点M作EF∥AB分别交AD，BC于点E，F，连接BM，DM，若AE＝4，EM＝3，则图中阴影部分的面积和为____．
24

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