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(共8张PPT)
第17节　全等三角形
定义 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形(理解) 性质 (掌握) (1)全等三角形的对应边①_________，对应角②________. (2)全等三角形的周长③_______，面积④________. (3)全等三角形对应的角平分线、中线、高线、中位线都相等 判定 边边边 (SSS) ⑤______ 分别相等的两个三角形全等(掌握)
相等
相等
相等
相等
三边
全等三角形的性质与判定
判定 角边角 (ASA) 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等(掌握)
角角边(AAS) 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等(运用)
判定 边角边(SAS) 两边及其⑥______分别相等的两个三角形全等(掌握)
斜边、直角边(HL) 斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(掌握)
夹角
已知两等边 已知一等边和一等角 已知两等角
(1)找夹角相等→SAS (2)找第三边相等→SSS (3)找直角→HL或SAS (1)找夹边相等→ASA
(2)找其中一角的对边相等→AAS
全等三角形的判定思路
1．【新情境·情景设题】某班的数学兴趣小组开展了设计伞的实践活动，小康所在的小组设计了截面如图所示的伞骨结构，当伞完全打开后测得AB＝AC，E，F分别是AB，AC的中点，DE＝DF，那么△ADE≌△ADF的依据是( )
A．SAS B．ASA C．HL D．SSS
D(共21张PPT)
第14节　线段、角、相交线与平行线
一
线段
BC
AC
AB
MB
直线和线段
90°
相等
180°
相等
角及角平分线
相等
相等
PN
距离相等
相等
180°
相交线
垂线 基本事实(掌握)：在同一平面内，过一点有且只有 ____条直线与已知直线垂直
垂线段的性质(运用)：直线外一点与直线上所有点的连线中， ___________ 最短
点到直线的距离(理解)：直线外一点到这条直线的垂线段的长度
垂直 平分线 性质(运用)：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离 _______
逆定理(运用)：到一条线段两个端点 ___________的点，在这条线段的垂直平分线上
一
垂线段
相等
距离相等
定义 在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线 平行公理 及其推论 公理 过直线外一点有且只有 ____条直线与这条直线平行(掌握)
推论 平行于同一条直线的两条直线平行(若a∥b，b∥c，则a∥c)(了解)
一
平行线
平行线 的性质 与判定
平行线间 的距离 定义 两条平行线中，一条直线上的点到另一条直线上的 _______
性质 平行线间的距离处处 _________
距离
相等
真命题 如果题设成立，那么结论一定成立，这样的命题叫做真命题
假命题 如果题设成立时，不能保证结论一定成立，这样的命题叫做假命题
互逆命题 在两个命题中，如果一个命题的题设和结论恰好是另一个命题的结论和题设，那么这两个命题是互逆命题．原命题成立，其逆命题不一定成立
反例 要说明一个命题是假命题，可以列举出一个例子，使其具备命题的条件，而不具备命题的结论，这样的例子称为反例
证明 实验、观察归纳得出的结论可能正确也可能不正确，因此，一个数学结论是否正确必须进行推理并做出判断，这个推理过程就叫做证明
命题(了解)
反证法 适用于直接证明比较困难，情况多而复杂等命题 反设：假定要证明的结论不成立，而设结论的反面成立；
归谬：将“反设”作为条件，经过正确推理，导出与定义、基本事实、定理或已知条件产生矛盾的结论；
因为推理正确，所以产生矛盾的原因在于“反设”的谬误，既然结论的反面不成立，那么结论一定成立
平行线的性质
1．(2025湖北)数学中的“≠”可以看作是两条平行的线段被第三条线段所截而成，放大后如图所示．若∠1＝56°，则∠2的度数是( )
A．34° B．44° C．46° D．56°
与多边形有关的计算
D
2．(2024湖北)如图，一条公路的两侧铺设了AB，CD两条平行管道，并有纵向管道AC连通，若∠1＝120°，则∠2的度数是( )
A．50° B．60° C．70° D．80°
B
3．(2025德阳)如图，一条水渠两次转弯后和原来方向相同，如果第一次拐角∠CAB＝135°，则第二次拐角∠ABD＝( )
A．45° B．55° C．105° D．135°
D
4．将含60°角的直角三角板按如图方式摆放，已知m∥n，∠1＝20°，则∠2的度数为( )
A．40° B．30°
C．20° D．15°
A
5．(2025成都)下列命题中，假命题是( )
A．矩形的对角线相等 B．菱形的对角线互相垂直
C．正方形的对角线相等且互相垂直 D．平行四边形的对角线相等
D
命题
6．【跨学科·物理】如图①，汉代初期的《淮南万毕术》是我国古代有关物理、化学的重要文献，书中记载了我国古代学者在科学领域做过的一些探索及成就．其中所记载的“取大镜高悬，置水盆于其下，则见四邻矣”，是古人利用光的反射定律改变光路的方法，即“反射光线与入射光线、法线在同一平面上；反射光线和入射光线位于法线的两侧；反射角等于入射角”．为了探清一口深井的底部情况，运用此原理，如图②在井口放置一面平面镜可改变光路，当太阳光线AB与地面CD所成夹角∠ABC＝50°时，要使太阳光线经反射后刚好垂直于地面射入深井底部，则需要调整平面镜EF与地面的夹角∠EBC＝( )
A．60° B．70° C．80° D．85°
B(共19张PPT)
第18节　相似三角形(含位似)
成比例线段及性质
黄金分割点
成比例
平行线分线段成比例(掌握)
性质 (了解) 相似三角形的对应角⑩_______，对应边成比例． (2)相似三角形的对应线段(边、高、中线、角平分线)的比都等于 ________． (3)相似三角形的周长比等于 ________，面积比等于 ________________ 判定 方法 (了解) 两角分别 ______的两个三角形相似 三边成比例的两个三角形相似 两边 ______________相等的两个三角形相似 平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似
相等
相似比
相似比
相似比的平方
相等
成比例且夹角
相似三角形的性质与判定
位似中心
位似(理解)
性质 位似图形是相似图形，具有相似图形的所有性质．
(2)对应点的连线所在直线都经过同一点．
(3)对应边互相平行或在同一条直线上．
(4)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于 _________．
(5)在平面直角坐标系中，如果以原点为位似中心，画一个与原图形位似的图形，使它与原图形的相似比为k，那么原图形上的点(x，y)对应的位似图形上的点的坐标为 ______________________________(注意：有两种情况)
【特别提醒】位似必相似，相似不一定位似
作图 步骤 (1)确定位似中心．(2)确定原图形中的关键点关于位似中心的对应点．(3)顺次连接各点画出新图形
相似比
(kx，ky)或(－kx，－ky)
相似三角形的性质与判定
相似三角形的简单模型 类型 图示 模型特点
A字型 正A字型　　　　　 斜A字型 一个公共角＋一组等角
相似三角 形的简单 模型 类型 图示 模型特点
8字型 正8字型　　　　　 斜8字型 一组对顶角＋一组等角
特别注意：若题目条件未明确相似三角形的对应顶点时，需要进行分类讨论 4
【变式1】 如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，且△AOB与△DOC的面积比是1∶4，若AB＝6，则CD的长为____．
12
【变式2】 如图，若△OAB∽△OCD，OA∶OC＝3∶2，若△OAB的周长为8，则△OCD的周长为______．
△ACB
△ABC
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
D
位似(共12张PPT)
模型突破　全等三角形的简单模型
类型 公共边 共线段 共角或对顶角 共夹角
图示
解题 思路 一对等边 利用线段和差可得一组等边 一对等角 利用角的和差可得一组等角
几何 语言 BC＝CB 由BF＝EC，BF＋FC＝EC＋FC，得BC＝EF ∠ACB＝∠DCE 由∠BAD＝∠CAE，∠BAD＋∠DAC＝∠CAE＋∠DAC，得∠BAC＝∠DAE
1．(2025湖北)如图，AB＝AD，AC平分∠BAD.求证：∠B＝∠D.
2．(2025内江节选)如图，点B，F，C，E在同一条直线上，AC＝DF，∠A＝∠D，AB∥DE.求证：△ABC≌△DEF.
3．(2025乐山)如图，已知线段AC，BD相交于点E，AE＝DE，BE＝CE.求证：AB＝DC.
4．(2025广州)如图，BA＝BE，∠1＝∠2，BC＝BD.求证：△ABC≌△EBD.
A
D
C
C
B
E
B
E
D
A
A
E
B
C
D
A
B
D
C
A
C
B
F
E
D
A
D
E
B
C
C
D
E
2
B(共12张PPT)
模型突破　解直角三角形的实际应用的常考模型
模型1　母子型]
基础模型 模型分析 演变模型
通过在三角形外部作高，构造出两个直角三角形求解，其中公共边(高)是解题的关键 　　
模型2　背靠背型
基础模型 模型分析 演变模型
通过在三角形内部作高，构造出两个直角三角形求解，其中公共边(高)是解题的关键
3.如图，某数学活动小组要测量建筑物AB的高度，他们借助测角仪和皮尺进行了实地测量，测量结果如表所示：
测量项目 测量数据
测角仪到地面的距离 CD＝1.6 m
点D到建筑物的距离 BD＝4 m
从C处观测建筑物顶部A的仰角 ∠ACE ＝67°
从C处观测建筑物底部B的俯角 ∠BCE＝22°
请根据需要，从上面表格中选择3个测量数据，并利用你选择的数据计算出建筑物AB的高度(结果精确到0.1 m，参考数据： sin67°≈0.92, cos67°≈0.39, tan67°≈2.36，sin22°≈0.37, cos22°≈0.93, tan22°≈0.40)．
模型3　拥抱型
基础模型 模型分析 演变模型
若两个直角三角形有一条公共边，则分别解两个直角三角形，其中公共边是解题的关键 　　
B
D
B
G
E
B
D
B
A
D
E
F
04
G
B水平线C
F
C
D
C
B
D
B
-D
E
4
C E
h
h
B
DF
A
B
D
D
A
B
C
D
A
BF
EC
D
B
C(F E
C
B
A(共14张PPT)
第15节　一般三角形及重要线段
等边三角形
三角形的分类
结论 依据 图示
内角和定理 (运用) 如图①，∠1＋∠2＋∠3＝②__________ 三角形内角和等于180°
外角和定理 (运用) 如图①，∠4＋∠5＋∠6＝③__________ 三角形外角和等于360° 内外角关系 (掌握) 如图①，∠6＝④______＋⑤________ 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和 如图①，∠6⑥____∠2， ∠6⑦____∠3 三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角 180°
360°
∠2
∠3
>
>
三角形的边、角关系
三边关系 (掌握) 如图②，a＋b⑧____c，a－b⑨____c 三角形的任意两边之和⑩_______第三边，任意两边之差 ________第三边
边角关系 如图①，若∠2>∠3，则AC ____AB 同一个三角形中，大角对长边，小角对短边，等角对等边 >
<
大于
小于
>
名称 图示 性质&延伸
高线 (理解) AD是高线 (1)∠ADB＝∠ADC＝ ________．
(2)S△ABD∶S△ACD＝BD∶CD.
(3)垂心：三角形三条高线的交点．
(4)锐角三角形的三条高线都在三角形内部，直角三角形其中两条高线恰好是直角边，钝角三角形其中两条高线在三角形外部
90°
三角形中的重要线段
角平分线 (理解) AD是∠BAC 的平分线
相等
中线 (理解) AD，CE为中线
中位线 (探索) DE是中位线
垂直平分线 DE是垂直平分线 (1)DE⊥BC，BD＝ ____，BE＝ ____.
(2)外心(了解)：三角形三边垂直平分线的交点．外心到三角形三个顶点的距离相等，是三角形外接圆的圆心
DC
CE
已知，在△ABC中，点D是BC边上一点，连接AD.
(1)若AB＝4，AC＝8，则BC的长取值范围为_____________；
(2)如图①，AD是△ABC的中线，点E是AC的中点，连接DE.
①AB与DE的数量关系：________________________；
②若∠BAD＝44°，则∠ADE＝_______；
③若△ABC的面积为32，则△ABD的面积为______，△ADE的面积为____；
④若△ABD的面积为12，AB＝6，则点E到AB边的距离为____；
44°
16
8
4
三角形的基本性质及重要线段
4＜BC＜12
(3)如图①，DE垂直平分AC.
①若∠ADC＝88°，则∠C＝_______，∠ADE＝________；
②若AB＝7，BC＝10，则△ABD的周长为______；
46°
44°
17
8(共12张PPT)
第19节　解直角三角形及其应用
题设条件与图形 锐角三角函数(理解) 特殊的三角函数值(掌握) 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c α 30° 45° 60°
sin α ④___
cos α ⑤___
tan α ⑥___ 1
锐角三角函数
sin B
解直角三角形
俯角、仰角 坡度(坡比) 方向角
i＝tan α＝⑩_______
A点位于点O的 __________方向；
B点位于点O的 __________方向；
C点位于点O的 ___________________方向
北偏东30°
南偏东60°
西北(北偏西45°)
解直角三角形的实际应用(运用)
解直角三角形的实际应用
2.(2025湖北)如图，甲、乙两栋楼相距30 m，从甲楼A处看乙楼顶部B的仰角为35°，A到地面的距离为18 m，求乙楼的高(参考数据：tan 35°≈0.7).
解：如图，过A作AC⊥BC于点C，则∠ACB＝90°，∵∠BAC＝35°，AC＝30 m，∴BC＝AC·tan 35°≈30×0.7＝21(m)，∴乙楼的高为21＋18＝39(m).
3．【项目化学习】(2024湖北)某数学兴趣小组在校园内开展综合与实践活动，记录如下：
活动项目 测量校园中树AB的高度 活动方案 “测角仪”方案 “平面镜”方案
方案示意图
过程 ①选取与树底B位于同一水平地面的D处； ②测量D，B两点间的距离； ③站在D处，用测角仪测量从眼睛C处看树顶A的仰角∠ACF； ④测量C到地面的高度CD. ①选取与树底B位于同一水平地面的E处；
②测量E，B两点间的距离；
③在E处水平放置一个平面镜，沿射线BE方向后退至D处，眼睛C刚好从镜中看到树顶A；
④测量E，D两点间的距离；
⑤测量C到地面的高度CD.
测量 数据 ①DB＝10 m；②∠ACF＝32.5°；③CD＝1.6 m． ①EB＝10 m；②ED＝2 m；
③CD＝1.6 m．
备注 ①图上所有点均在同一平面内； ②AB，CD均与地面垂直； ③参考数据：tan 32.5°≈0.64. ①图上所有点均在同一平面内；
②AB，CD均与地面垂直；
③把平面镜看作一个点，并由物理学知识可得∠CED＝∠AEB.
请你从以上两种方案中任选一种，计算树AB的高度．(共20张PPT)
第16节　特殊三角形
名称 等腰三角形 等边三角形
性质 (运用) (1)两腰①________，两底角②_______． (2)顶角平分线、底边上的高、底边上的中线相互重合(简称“三线合一”). (3)是轴对称图形，有1条对称轴，对称轴为底边上的高(底边上的中线或顶角的平分线)所在的直线 (探索)
(1)三条边相等．
(2)三个内角相等，且每一个角都等于⑤_______.
(3)每条边上的高线、中线、角平分线均重合(“三线合一”).
(4)是轴对称图形，有3条对称轴，对称轴为任一条边上的高(中线或角平分线)所在的直线
相等
相等
60°
等腰三角形和等边三角形
判定 (掌握) (1)定义：有两边相等的三角形是等腰三角形． (2)有③________相等的三角形是等腰三角形(等角对等边) (探索)
(1)三边都相等的三角形是等边三角形．
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形．
(3)有一个角是⑥_______的等腰三角形是等边三角形
面积
两角
60°
名称 直角三角形 等腰直角三角形
性质 (掌握、运用) (1)两锐角之和等于⑧_________． (2)斜边上的中线等于斜边的⑨________． (3)30°角所对的直角边等于斜边的⑩_______． (4)勾股定理：若直角三角形的两条直角边分别为a，b，斜边为c，则 _________________ (1)两直角边相等．
(2)两锐角相等且都等于45°.
(3)是轴对称图形，有一条对称轴．
注意：除上述性质外，等腰直角三角形还具备直角三角形的性质(1)，(2)，(4)
90°
一半
一半
a2＋b2＝c2
直角三角形和等腰直角三角形
判定 (掌握、运用) (1)有一个角为 _______的三角形是直角三角形． (2)有两个角互余的三角形是直角三角形． (3)勾股定理的逆定理：若 __________，则以a，b，c为三边的三角形是直角三角形 (1)顶角为90°的等腰三角形是等腰直角三角形．
(2)有两个角为45°的三角形是等腰直角三角形．
(3)有一个角为45°的直角三角形是等腰直角三角形
90°
a2＋b2＝c2
面积
在△ABC中，AB＝AC，点D为BC上一点，点E为AC上一点．
(1)如图①，若∠BCA＝56°，∠BAD＝36°，AD＝AE，则∠B的度数为______，∠EDC的度数为________；
(2)在△ABC中，若一边长为3，一边长为4，则△ABC的周长为________；
(3)若AB＝10，BC＝12，则△ABC的面积为______，边AC上的高为______；
56°
18°
10或11
48
等腰三角形的性质与判定
(4)如图②，若∠ABC＝60°，AB＝8，点D为BC的中点，点E为AC的中点，连接DE.则∠BAD的度数为______，DE的长为____，△ABC的面积为_________；
(5)如图②，若AD平分∠BAC，DE∥AB，求证：△ADE为等腰三角形．
30°
4
证明：∵△ABC是等腰三角形，且AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAE，∵DE∥AB，∴∠BAD＝∠EDA，∴∠DAE＝∠EDA，∴EA＝ED，∴△ADE是等腰三角形．
1．(2025凉山州)如图，AB＝AC，AE＝AD，点E在BD上，∠EAD＝∠BAC，∠BDC＝56°，则∠ABC的度数为( )
A．56° B．60° C．62° D．64°
C
66°
48°
6
与平行四边形有关的证明与计算
(6)如图②，若∠B＝60°，作BF平分∠ABC，交AD于点F，AD＝6，求BF的值．
3．(2025陕西)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝20°，CD为AB边上的中线，DE⊥AC，则图中与∠A互余的角共有( )
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
C
4．(2025扬州)如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC的中点，点F在线段DE的延长线上，且∠BFC＝90°.若AC＝4，BC＝8，则DF的长是____．
6
5．【新情境·古代数学】我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上，高二丈，周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？”题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B处，则问题中葛藤的最短长度是____尺．
25(共17张PPT)
模型突破　遇中点如何添加辅助线
模型 模型分析 结论 图示
遇等腰三角形底边上的中点，构造“三线合一” 当图形中出现等腰三角形底边上的中点，考虑作底边上的中线，利用“三线合一”解题．如图，在等腰△ABC中，D为底边BC的中点 AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，BD＝DC
遇过中点的垂线，考虑用垂直平分线的性质(构造等腰三角形和中线) 遇到三角形一边上的垂直平分线，可考虑连接垂直平分线上的点与边的两端点，构造等腰三角形和中线．如图，在Rt△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交AC于点E BE＝CE，∠EBC＝∠ECB
模型 模型分析 结论 图示
倍长中线或倍长类中线构造全等三角形 如图①，遇到三角形一边上的中线，可考虑利用倍长中线法构造全等三角形. 如图②，遇到三角形一边上的中点与另一边上一点，可考虑将其连接并延长一倍，或作平行线构造全等三角形 ①△ACD≌△EBD；②△BDE≌△CDF
1．如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝6，BD＝8，E，F分别是边AD，BC的中点，连接EF，则EF的长是____．
5
2．如图，AD是△ABC的中线，E是AD的中点，F是BE延长线与AC的交点，若AC＝4，则AF＝______．
3．如图，在△ABC和△ABD中，O是AB的中点，∠C＝∠ADB＝90°，∠BAC＝30°，若BC＝5，则OD＝____．
5
4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝72°，过点C作CF∥AB，连接AF与BC相交于点G，若GF＝2AC，则∠BAG＝______．
24°
40°
7．如图，在△ABC中，∠C＝30°，AC＝BC，D是AC的中点，DE⊥AC交BC于点E，DE＝3，则BE的长为________．
8．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，∠B＝30°，边BC的中垂线分别交BC，AB于点D，E，若DE＝1 cm，则△ABC的周长为_________cm.
9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于点F，若∠F＝30°，DE＝2，则EF的长是____．
4
11．如图，CE是△ACD的中线，点B在AD的延长线上，BC＝7，BD＝AC，∠ACD＝∠ADC，则CE＝____．(共14张PPT)
模型突破 遇角平分线如何添加辅助线
模型 模型分析 结论 图示
运用角平分线性作垂线 如图，点P是∠MON的平分线上一点，过点P作PA⊥OM，PB⊥ON分别交OM，ON于点A，B ①PA＝PB； ②OA＝OB； ③△APO≌△BPO
作垂线构造等腰三角形 如图，点P是∠MON的平分线上一点，点A是OM上一点，AP⊥OP于点P，延长AP交ON于点B ①PA＝PB； ②△AOB为等腰三角形； ③Rt△APO≌Rt△BPO
模型 模型分析 结论 图示
作平行线构造等腰三角形 如图，点P是∠MON的平分线上一点，过点P作PQ∥ON交OM于点Q ①△OQP为等腰三角形；②PQ＝OQ
构造对 称图形 如图，点P是∠MON的平分线上一点，点A是OM上任意一点，在ON上截取OB＝OA，连接PB ①PA＝PB； ②△APO≌△BPO
1．如图，AD是△ABC中∠BAC的角平分线，DE⊥AB于点E，△ABC的面积为10，DE＝2，AB＝6，则AC的长是( )
A．4 B．3 C．6 D．5
A
2．如图，AE，BE，CE分别平分∠BAC，∠ABC，∠ACB，ED⊥BC于点D，ED＝3，△ABC的面积为36，则△ABC的周长为( )
A．48 B．36 C．24 D．12
C
3．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，∠DBC的平分线BF交CD于点E，交AC于点F，OF＝1，则AB＝________．
4．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若BD＝1，BC＝3，则AC的长为____．
5
5．如图，在△ABC中，∠ABC＝2∠C，AP和BQ分别为∠BAC和∠ABC的角平分线，若△ABQ的周长为18，BP＝4，则AB的长为____．
7
6．如图，在△ABC中，AB＝10，AC＝4，AD是△ABC的中线，AE是∠BAC的角平分线，CF⊥AE于点F，则DF的长是____．
3
7．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，AD平分∠BAC，MN是AD的垂直平分线，交AD于点M，交AB于点N，已知DC＝2，则AN的长为____．
4
8．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝2，∠BAC，∠ACB的平分线相交于点E，过点E作EF∥BC交AC于点F，则EF的长为_________．
9．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠ABC和∠BAC的平分线相交于点O，OD⊥OA交AC于点D，OE⊥OB交BC于点E，BC＝4，AC＝3，则△CDE的周长为____．
2

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