资源简介

(共27张PPT)
2.2.3　直线的
一般式方程
1.掌握直线的一般式方程.2.理解关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)都表示直线.3.会进行直线方程的五种形式之间的转化.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　直线的一般式方程
关于x和y的二元一次方程都表示 ,把关于x,y的二元一次方程
(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.
一条直线
Ax+By+C=0
直线一般式方程的结构特征
(1)方程是关于x,y的二元一次方程.
(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x,y,常数的先后顺序排列.
(3)x的系数一般不为分数和负数.
·疑难解惑·
知识点二　直线的五种形式的方程
斜率不存在
斜率不存在
平行
过原点
当直线方程Ax+By+C=0的系数A,B,C满足下列条件时,有如下性质:
(1)当A≠0,B≠0时,直线与两条坐标轴都相交;
(2)当A≠0,B=0,C≠0时,直线只与x轴相交,即直线与y轴平行,与x轴垂直;
(3)当A=0,B≠0,C≠0时,直线只与y轴相交,即直线与x轴平行,与y轴垂直;
(4)当A=0,B≠0,C=0时,直线与x轴重合;
(5)当A≠0,B=0,C=0时,直线与y轴重合.
『知识拓展』
1.倾斜角为135°,在y轴上的截距为1的直线的一般式方程为(　　)
[A] x-y-1=0 [B]x+y-1=0
[C]x+y+1=0 [D]x-y+1=0
基础自测
B
【解析】 因为直线的倾斜角为135°,所以斜率为-1.
因为直线在y轴上的截距为1,所以所求直线方程为y=-x+1,即x+y-1=0.故选B.
2.若方程Ax+By+C=0表示直线,则A,B应满足的条件为(　　)
[A] A≠0 [B]B≠0
[C]A·B≠0 [D]A2+B2≠0
【解析】 方程Ax+By+C=0表示直线的条件为A,B不能同时为0,即A2+B2≠0.故选D.
D
3.(人教A版选择性必修第一册P66练习T1改编)斜率为2,且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为　　　　 　　.
2x-y+1=0
【解析】 由直线点斜式方程可得y-3=2(x-1),化为一般式为2x-y+1=0.
关键能力·素养培优
题型一　直线的一般式方程
[例1] 根据下列条件分别写出直线方程,并化为一般式方程.
(3)求经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程;
(4)求过A(2,1),B(m,3)两点的直线l的方程.
【解】 (4)①当m=2时,直线l的方程为x=2;
·解题策略·
求直线一般式方程的策略
在求直线方程时,设直线的一般式方程有时并不简单.常用的方法还是先根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程,再转化为一般式.
[变式训练] 根据下列条件分别写出直线的一般式方程.
(1)经过两点A(5,7),B(1,3);
(2)经过点(-4,3),斜率为-3;
【解】 (2)由点斜式方程得y-3=-3(x+4),
即3x+y+9=0.
(3)经过点(2,1),平行于y轴;
【解】 (3)由题意知x=2,
即x-2=0.
(4)斜率为2,在x轴上的截距为1.
【解】 (4)由点斜式得y=2(x-1),
即2x-y-2=0.
[例2] 已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求满足下列条件的直线l′的方程:
(1)过点(-1,3),且与l平行;
题型二　利用一般式解决直线的平行与垂直问题
(2)过点(-1,3),且与l垂直.
·解题策略·
求过一点与已知直线平行
(垂直)的直线方程的方法
(1)由已知直线求出斜率,再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率,由点斜式写出方程.
(2)可利用待定系数法:与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax+By+C1=0(C1≠C),再由直线所过的点确定C1;与直线Ax+By+C=0
(A,B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx-Ay+C2=0,再由直线所过的点确定C2.
[变式训练] 已知直线l1:x+2ay+1=0,直线l2:(3a-1)x-ay-7=0.若l1⊥l2,则实数a=
　　　　;若l1∥l2,则实数a=　　　　.
[例3] (苏教版选择性必修第一册P18例6)设m为实数,若直线l的方程为x+my-2m+6=0,根据下列条件分别确定m的值:
(1)直线l在x轴上的截距是-3;
题型三　含参数直线的一般式方程
(2)直线l的斜率是1.
·解题策略·
由含参数的直线的一般式方程
求参数的值(范围)的步骤
[变式训练] 设直线l的方程为(a-1)x+y-2-a=0(a∈R).若直线l不过第三象限,则a的取值范围为　　 　　.
[1,+∞)
感谢观看2.2.3　直线的一般式方程
【课程标准要求】　1.掌握直线的一般式方程.2.理解关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)都表示直线.3.会进行直线方程的五种形式之间的转化.
知识点一　直线的一般式方程
关于x和y的二元一次方程都表示一条直线,把关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.
直线一般式方程的结构特征
(1)方程是关于x,y的二元一次方程.
(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x,y,常数的先后顺序排列.
(3)x的系数一般不为分数和负数.
知识点二　直线的五种形式的方程
形式 方程 局限
点斜式 y-y0=k(x-x0) 不能表示斜率不存在的直线
斜截式 y=kx+b 不能表示斜率不存在的直线
两点式 = x1≠x2,y1≠y2
截距式 +=1 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线
一般式 Ax+By+C=0 无
知识拓展
当直线方程Ax+By+C=0的系数A,B,C满足下列条件时,有如下性质:
(1)当A≠0,B≠0时,直线与两条坐标轴都相交;
(2)当A≠0,B=0,C≠0时,直线只与x轴相交,即直线与y轴平行,与x轴垂直;
(3)当A=0,B≠0,C≠0时,直线只与y轴相交,即直线与x轴平行,与y轴垂直;
(4)当A=0,B≠0,C=0时,直线与x轴重合;
(5)当A≠0,B=0,C=0时,直线与y轴重合.
基础自测
1.倾斜角为135°,在y轴上的截距为1的直线的一般式方程为(　　)
[A] x-y-1=0 [B]x+y-1=0
[C]x+y+1=0 [D]x-y+1=0
因为直线在y轴上的截距为1,所以所求直线方程为y=-x+1,即x+y-1=0.故选B.
2.若方程Ax+By+C=0表示直线,则A,B应满足的条件为(　　)
[A] A≠0 [B]B≠0
[C]A·B≠0 [D]A2+B2≠0
3.(人教A版选择性必修第一册P66练习T1改编)斜率为2,且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为　　　　　　.
题型一　直线的一般式方程
[例1] 根据下列条件分别写出直线方程,并化为一般式方程.
(1)经过点B(-,2),倾斜角是30°;
(2)求过点A(1,3),斜率是直线y=-4x的斜率的的直线方程;
(3)求经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程;
(4)求过A(2,1),B(m,3)两点的直线l的方程.
所以直线的点斜式方程为y-2=(x+),
即x-y+2+=0.
(2)设所求直线的斜率为k,
依题意k=-4×=-,
又直线经过点A(1,3),所以所求直线方程为y-3=-(x-1),即4x+3y-13=0.
(3)当直线不过原点时,
设所求直线方程为+=1,
将(-5,2)代入可得+=1,
解得a=-,
所以直线方程为x+2y+1=0;
当直线过原点时,设直线方程为y=kx,
则-5k=2,解得k=-,
所以直线方程为y=-x,
即2x+5y=0.
故所求直线方程为2x+5y=0或x+2y+1=0.
(4)①当m=2时,直线l的方程为x=2;
②当m≠2时,直线l的方程为=,
即2x-(m-2)y+m-6=0,
因为m=2时,
代入方程2x-(m-2)y+m-6=0,得x=2,
所以直线l的方程为2x-(m-2)y+m-6=0.
求直线一般式方程的策略
在求直线方程时,设直线的一般式方程有时并不简单.常用的方法还是先根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程,再转化为一般式.
[变式训练] 根据下列条件分别写出直线的一般式方程.
(1)经过两点A(5,7),B(1,3);
(2)经过点(-4,3),斜率为-3;
(3)经过点(2,1),平行于y轴;
(4)斜率为2,在x轴上的截距为1.
即x-y+2=0.
(2)由点斜式方程得y-3=-3(x+4),
即3x+y+9=0.
(3)由题意知x=2,
即x-2=0.
(4)由点斜式得y=2(x-1),
即2x-y-2=0.
题型二　利用一般式解决直线的平行与垂直问题
[例2] 已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求满足下列条件的直线l′的方程:
(1)过点(-1,3),且与l平行;
(2)过点(-1,3),且与l垂直.
(1)因为l′与l平行,
所以l′的斜率为-.
又l′过点(-1,3),
所以由点斜式知l′的方程为y-3=-(x+1),
即3x+4y-9=0.
(2)因为l′与l垂直,
所以l′的斜率为.
又l′过点(-1,3),
所以由点斜式可得l′的方程为y-3=(x+1),
即4x-3y+13=0.
求过一点与已知直线平行
(垂直)的直线方程的方法
(1)由已知直线求出斜率,再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率,由点斜式写出方程.
(2)可利用待定系数法:与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax+By+C1=0(C1≠C),再由直线所过的点确定C1;与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx-Ay+C2=0,再由直线所过的点确定C2.
[变式训练] 已知直线l1:x+2ay+1=0,直线l2:(3a-1)x-ay-7=0.若l1⊥l2,则实数a=　　　 　;
若l1∥l2,则实数a=　　　　.
由题意可得1×(3a-1)+2a×(-a)=0,
即2a2-3a+1=0,
解得a=或a=1.
若l1∥l2,
由题意可得1·(-a)=2a·(3a-1),
且1×(-7)≠1×(3a-1),
解得a=0或a=.
题型三　含参数直线的一般式方程
[例3] (苏教版选择性必修第一册P18例6)设m为实数,若直线l的方程为x+my-2m+6=0,根据下列条件分别确定m的值:
(1)直线l在x轴上的截距是-3;
(2)直线l的斜率是1.
由题意知2m-6=-3,
解得m=.
(2)因为直线l的斜率存在,所以m≠0,于是直线l的方程化为y=-x+.
由题意知-=1,解得m=-1.
由含参数的直线的一般式方程
求参数的值(范围)的步骤
[变式训练] 设直线l的方程为(a-1)x+y-2-a=0(a∈R).若直线l不过第三象限,则a的取值范围为　　　　.
所以a的取值范围为[1,+∞).
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.已知直线l:3x+2y+6=0,则直线l在 x轴上的截距为(　　)
[A] 3 [B]2 [C]-2 [D]-3
2.已知ab<0,bc<0,则直线ax+by=c经过(　　)
[A] 第一、第二、第三象限
[B]第一、第三、第四象限
[C]第一、第二、第四象限
[D]第二、第三、第四象限
由于ab<0,bc<0,故->0,<0,因此直线经过第一、第三、第四象限.故选B.
3.下列选项中,与直线l:5x+7y=1平行的直线是(　　)
[A] 10x+14y=2 [B]5x-7y=0
[C]7x-5y=0 [D]15x+21y=1
对于A,10x+14y=2 5x+7y-1=0,可知两直线重合,不符合;
对于B,5×(-7)-7×5≠0,所以不平行,不符合;
对于C,5×(-5)-7×7≠0,所以不平行,不符合;
对于D,5×21-7×15=0,15x+21y=1 5x+7y-=0,且-≠-1,所以两直线平行,符合.
故选D.
4.直线l1:ax-y+b=0,l2:bx-y+a=0(a≠0,b≠0)在同一坐标系中的图象大致是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
对于A,l1对应a>0,b>0,又l1∥l2,结合l2易知a=b,显然不符合题意;
对于B,l1对应a<0,b>0,l2在y轴上截距为正,不符合题意;
对于C,l1对应a>0,b>0,结合l2易知a>b>0,符合题意;
对于D,l1对应a>0,b<0,l2的斜率为正,不符合题意.故选C.
5.(多选题)已知直线l:x-y+1=0,则下列结论正确的是(　　)
[A] 直线l在两个坐标轴上的截距均为1
[B]v=(-1,-1)是直线l的一个方向向量
[C]过点(2,6)且与直线l平行的直线方程为x-y+4=0
[D]若直线m:x+y+1=0,则m⊥l
对于A,令y=0,得x=-1,则直线l在x轴上的截距不为1,故A错误;
对于B,因为直线l:x-y+1=0的斜率为 k=1,
所以v=-(1,k)=(-1,-1)是直线l的一个方向向量,故B正确;
对于C,设与直线l平行的直线方程为x-y+m=0(m≠1),
因为直线过(2,6),所以2-6+m=0,解得 m=4,
所以过点(2,6)且与直线l平行的直线方程为 x-y+4=0,故C正确;
对于D,直线m:x+y+1=0的斜率为km=-1,直线l的斜率为kl=1,
则kmkl=-1,所以m⊥l,故D正确.故选BCD.
6.(多选题)已知直线l1:ax+y+1=0,直线l2:x+ay+1=0,a∈R,则下列说法正确的是(　　)
[A] 若l1∥l2,则a=-1
[B]直线l1过定点(0,1)
[C]若l1⊥l2,则a=0
[D]当a>0时,直线l1不经过第二象限
对于B选项,由可得即直线l1过定点(0,-1),B错误;
对于C选项,若l1⊥l2,则a+a=0,解得a=0,C正确;
对于D选项,当a>0时,直线l1交x轴的负半轴于点(-,0),
作出直线l1的图象如图所示,
由图可知,当a>0时,直线l1不经过第一象限,D错误.故选AC.
7.(5分)方向向量为d=(1,2),且过点A(3,4)的直线的一般式方程为　　　　　　　　.
8.(5分)过点(-1,2)且与直线3x+2y+4=0垂直的直线方程为　　　　　　　.
故由点斜式可得y-2=(x+1),即2x-3y+8=0.
9.(12分)已知点A(2,4),直线l:x-2y+1=0.
(1)求过点A且与直线l平行的直线的方程;
(2)若点M在直线l上,且AM⊥l,求点M的坐标.
将点A的坐标代入得2-2×4+m=0,所以m=6,
所以所求直线方程为x-2y+6=0.
(2)因为点M在直线l上,设点M(2y0-1,y0),
因为AM⊥l,且直线l的斜率为,
故kAM==-2,解得y0=2,
所以点M的坐标为(3,2).
10.(14分)已知△ABC的三个顶点分别是 A(4,0),B(6,6),C(0,2).
(1)求AB边上的高所在直线的方程;
(2)求AC边的垂直平分线所在直线的方程.
因为AB边上的高与AB垂直,所以AB边上的高所在直线的斜率为-.
又AB边上的高经过点C(0,2),
所以AB边上的高所在的直线方程为
y-2=-(x-0),即x+3y-6=0.
(2)AC边所在的直线的斜率k′==-,
所以AC边的垂直平分线的斜率为2,AC边中点E的坐标是(,),即(2,1),
所以AC边的垂直平分线的方程是y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.
11.设a∈R,则“a=-1”是“直线l1:x+y-2a=0与直线l2:(a2-2)x-y+2=0平行”的(　　)
[A] 充分不必要条件
[B]必要不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分也不必要条件
若a=-1,则l1:x+y+2=0,l2:x+y-2=0,两直线平行,符合题意;
若a=1,则l1:x+y-2=0,l2:x+y-2=0,两直线重合,不符合题意.
综上所述,l1∥l2等价于a=-1.
所以“a=-1”是“直线l1:x+y-2a=0与直线l2:(a2-2)x-y+2=0平行”的充要条件.
故选C.
12.(5分)已知a≠0,直线ax+(b+2)y+4=0与直线ax+(b-2)y-3=0互相垂直,则ab的最大值为　　　　.
所以a2+(b+2)(b-2)=0,即a2+b2=4.
因为a2+b2≥2ab,所以2ab≤4,即ab≤2,当且仅当a=b=时,等号成立.所以ab的最大值为2.
13.(17分)直线l的方程为(m+1)x+y-2m-3=0(m∈R).
(1)求证:无论m为何值,直线l过定点.
(2)已知O是坐标原点,若直线l分别与 x轴正半轴,y轴正半轴交于A,B两点,当△AOB的面积最小时,求△AOB的周长及此时直线l的方程.
即m(x-2)+x+y-3=0,
令解得
所以直线l恒过定点(2,1).
依题意m+1≠0,即m≠-1.
令x=0,得到y=2m+3;
令y=0,得到x=;
令解得m>-1,
可得S△AOB=|2m+3|||=,
令m+1=t>0,
则S△AOB===2t++2≥2+2=4,当且仅当2t=,即t=,m=-时,等号成立,
此时直线l的方程为x+2y-4=0,且A(4,0),B(0,2),
|AB|==2,
如图.
所以当△AOB的面积最小时,△AOB的周长为 6+2,直线l的方程为x+2y-4=0.
14.直线2ax-(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是(　　)
[A] [-,] [B][,]
[C][ 0,]∪[,π) [D][ 0,]∪[,π)
又a2+1-2|a|≥0,
所以-1≤tan θ≤1.
又θ∈[0,π),
所以θ∈[0,]∪[,π).
故选C.2.2.3　直线的一般式方程
【课程标准要求】　1.掌握直线的一般式方程.2.理解关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(A,B不同时为0)都表示直线.3.会进行直线方程的五种形式之间的转化.
知识点一　直线的一般式方程
关于x和y的二元一次方程都表示一条直线,把关于x,y的二元一次方程Ax+By+C=0(其中A,B不同时为0)叫做直线的一般式方程,简称一般式.
直线一般式方程的结构特征
(1)方程是关于x,y的二元一次方程.
(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x,y,常数的先后顺序排列.
(3)x的系数一般不为分数和负数.
知识点二　直线的五种形式的方程
形式 方程 局限
点斜式 y-y0=k(x-x0) 不能表示斜率不存在的直线
斜截式 y=kx+b 不能表示斜率不存在的直线
两点式 = x1≠x2,y1≠y2
截距式 +=1 不能表示与坐标轴平行及过原点的直线
一般式 Ax+By+C=0 无
知识拓展
当直线方程Ax+By+C=0的系数A,B,C满足下列条件时,有如下性质:
(1)当A≠0,B≠0时,直线与两条坐标轴都相交;
(2)当A≠0,B=0,C≠0时,直线只与x轴相交,即直线与y轴平行,与x轴垂直;
(3)当A=0,B≠0,C≠0时,直线只与y轴相交,即直线与x轴平行,与y轴垂直;
(4)当A=0,B≠0,C=0时,直线与x轴重合;
(5)当A≠0,B=0,C=0时,直线与y轴重合.
基础自测
1.倾斜角为135°,在y轴上的截距为1的直线的一般式方程为(　　)
[A] x-y-1=0 [B]x+y-1=0
[C]x+y+1=0 [D]x-y+1=0
【答案】 B
【解析】 因为直线的倾斜角为135°,所以斜率为-1.
因为直线在y轴上的截距为1,所以所求直线方程为y=-x+1,即x+y-1=0.故选B.
2.若方程Ax+By+C=0表示直线,则A,B应满足的条件为(　　)
[A] A≠0 [B]B≠0
[C]A·B≠0 [D]A2+B2≠0
【答案】 D
【解析】 方程Ax+By+C=0表示直线的条件为A,B不能同时为0,即A2+B2≠0.故选D.
3.(人教A版选择性必修第一册P66练习T1改编)斜率为2,且经过点A(1,3)的直线的一般式方程为　　　　　　.
【答案】 2x-y+1=0
【解析】 由直线点斜式方程可得y-3=2(x-1),化为一般式为2x-y+1=0.
题型一　直线的一般式方程
[例1] 根据下列条件分别写出直线方程,并化为一般式方程.
(1)经过点B(-,2),倾斜角是30°;
(2)求过点A(1,3),斜率是直线y=-4x的斜率的的直线方程;
(3)求经过点A(-5,2),且在x轴上的截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程;
(4)求过A(2,1),B(m,3)两点的直线l的方程.
【解】 (1)因为直线经过点B(-,2),倾斜角是30°,所以斜率为,
所以直线的点斜式方程为y-2=(x+),
即x-y+2+=0.
(2)设所求直线的斜率为k,
依题意k=-4×=-,
又直线经过点A(1,3),所以所求直线方程为y-3=-(x-1),即4x+3y-13=0.
(3)当直线不过原点时,
设所求直线方程为+=1,
将(-5,2)代入可得+=1,
解得a=-,
所以直线方程为x+2y+1=0;
当直线过原点时,设直线方程为y=kx,
则-5k=2,解得k=-,
所以直线方程为y=-x,
即2x+5y=0.
故所求直线方程为2x+5y=0或x+2y+1=0.
(4)①当m=2时,直线l的方程为x=2;
②当m≠2时,直线l的方程为=,
即2x-(m-2)y+m-6=0,
因为m=2时,
代入方程2x-(m-2)y+m-6=0,得x=2,
所以直线l的方程为2x-(m-2)y+m-6=0.
求直线一般式方程的策略
在求直线方程时,设直线的一般式方程有时并不简单.常用的方法还是先根据给定条件选出四种特殊形式之一求方程,再转化为一般式.
[变式训练] 根据下列条件分别写出直线的一般式方程.
(1)经过两点A(5,7),B(1,3);
(2)经过点(-4,3),斜率为-3;
(3)经过点(2,1),平行于y轴;
(4)斜率为2,在x轴上的截距为1.
【解】 (1)由两点式方程得=,
即x-y+2=0.
(2)由点斜式方程得y-3=-3(x+4),
即3x+y+9=0.
(3)由题意知x=2,
即x-2=0.
(4)由点斜式得y=2(x-1),
即2x-y-2=0.
题型二　利用一般式解决直线的平行与垂直问题
[例2] 已知直线l的方程为3x+4y-12=0,求满足下列条件的直线l′的方程:
(1)过点(-1,3),且与l平行;
(2)过点(-1,3),且与l垂直.
【解】 l的方程可化为y=-x+3,所以l的斜率为-.
(1)因为l′与l平行,
所以l′的斜率为-.
又l′过点(-1,3),
所以由点斜式知l′的方程为y-3=-(x+1),
即3x+4y-9=0.
(2)因为l′与l垂直,
所以l′的斜率为.
又l′过点(-1,3),
所以由点斜式可得l′的方程为y-3=(x+1),
即4x-3y+13=0.
求过一点与已知直线平行
(垂直)的直线方程的方法
(1)由已知直线求出斜率,再利用平行(垂直)的直线斜率之间的关系确定所求直线的斜率,由点斜式写出方程.
(2)可利用待定系数法:与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)平行的直线方程可设为Ax+By+C1=0(C1≠C),再由直线所过的点确定C1;与直线Ax+By+C=0(A,B不同时为0)垂直的直线方程可设为Bx-Ay+C2=0,再由直线所过的点确定C2.
[变式训练] 已知直线l1:x+2ay+1=0,直线l2:(3a-1)x-ay-7=0.若l1⊥l2,则实数a=　　　 　;
若l1∥l2,则实数a=　　　　.
【答案】 或1　0或
【解析】 若l1⊥l2,
由题意可得1×(3a-1)+2a×(-a)=0,
即2a2-3a+1=0,
解得a=或a=1.
若l1∥l2,
由题意可得1·(-a)=2a·(3a-1),
且1×(-7)≠1×(3a-1),
解得a=0或a=.
题型三　含参数直线的一般式方程
[例3] (苏教版选择性必修第一册P18例6)设m为实数,若直线l的方程为x+my-2m+6=0,根据下列条件分别确定m的值:
(1)直线l在x轴上的截距是-3;
(2)直线l的斜率是1.
【解】 (1)令y=0,得x=2m-6.
由题意知2m-6=-3,
解得m=.
(2)因为直线l的斜率存在,所以m≠0,于是直线l的方程化为y=-x+.
由题意知-=1,解得m=-1.
由含参数的直线的一般式方程
求参数的值(范围)的步骤
[变式训练] 设直线l的方程为(a-1)x+y-2-a=0(a∈R).若直线l不过第三象限,则a的取值范围为　　　　.
【答案】 [1,+∞)
【解析】 把直线l化成斜截式,得y=(1-a)x+a+2,因为直线l不过第三象限,故该直线的斜率小于等于零,且在y轴上的截距大于等于零,即解得a≥1.
所以a的取值范围为[1,+∞).
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.已知直线l:3x+2y+6=0,则直线l在 x轴上的截距为(　　)
[A] 3 [B]2 [C]-2 [D]-3
【答案】 C
【解析】 令直线l:3x+2y+6=0中y=0,则x=-2.故选C.
2.已知ab<0,bc<0,则直线ax+by=c经过(　　)
[A] 第一、第二、第三象限
[B]第一、第三、第四象限
[C]第一、第二、第四象限
[D]第二、第三、第四象限
【答案】 B
【解析】 直线可变形为y=-x+,
由于ab<0,bc<0,故->0,<0,因此直线经过第一、第三、第四象限.故选B.
3.下列选项中,与直线l:5x+7y=1平行的直线是(　　)
[A] 10x+14y=2 [B]5x-7y=0
[C]7x-5y=0 [D]15x+21y=1
【答案】 D
【解析】 l:5x+7y=1 l:5x+7y-1=0,
对于A,10x+14y=2 5x+7y-1=0,可知两直线重合,不符合;
对于B,5×(-7)-7×5≠0,所以不平行,不符合;
对于C,5×(-5)-7×7≠0,所以不平行,不符合;
对于D,5×21-7×15=0,15x+21y=1 5x+7y-=0,且-≠-1,所以两直线平行,符合.
故选D.
4.直线l1:ax-y+b=0,l2:bx-y+a=0(a≠0,b≠0)在同一坐标系中的图象大致是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 将l1与l2的方程化为斜截式得l1:y=ax+b,l2:y=bx+a.
对于A,l1对应a>0,b>0,又l1∥l2,结合l2易知a=b,显然不符合题意;
对于B,l1对应a<0,b>0,l2在y轴上截距为正,不符合题意;
对于C,l1对应a>0,b>0,结合l2易知a>b>0,符合题意;
对于D,l1对应a>0,b<0,l2的斜率为正,不符合题意.故选C.
5.(多选题)已知直线l:x-y+1=0,则下列结论正确的是(　　)
[A] 直线l在两个坐标轴上的截距均为1
[B]v=(-1,-1)是直线l的一个方向向量
[C]过点(2,6)且与直线l平行的直线方程为x-y+4=0
[D]若直线m:x+y+1=0,则m⊥l
【答案】 BCD
【解析】 因为直线l:x-y+1=0,
对于A,令y=0,得x=-1,则直线l在x轴上的截距不为1,故A错误;
对于B,因为直线l:x-y+1=0的斜率为 k=1,
所以v=-(1,k)=(-1,-1)是直线l的一个方向向量,故B正确;
对于C,设与直线l平行的直线方程为x-y+m=0(m≠1),
因为直线过(2,6),所以2-6+m=0,解得 m=4,
所以过点(2,6)且与直线l平行的直线方程为 x-y+4=0,故C正确;
对于D,直线m:x+y+1=0的斜率为km=-1,直线l的斜率为kl=1,
则kmkl=-1,所以m⊥l,故D正确.故选BCD.
6.(多选题)已知直线l1:ax+y+1=0,直线l2:x+ay+1=0,a∈R,则下列说法正确的是(　　)
[A] 若l1∥l2,则a=-1
[B]直线l1过定点(0,1)
[C]若l1⊥l2,则a=0
[D]当a>0时,直线l1不经过第二象限
【答案】 AC
【解析】 对于A选项,若l1∥l2,则解得 a=-1,A正确;
对于B选项,由可得即直线l1过定点(0,-1),B错误;
对于C选项,若l1⊥l2,则a+a=0,解得a=0,C正确;
对于D选项,当a>0时,直线l1交x轴的负半轴于点(-,0),
作出直线l1的图象如图所示,
由图可知,当a>0时,直线l1不经过第一象限,D错误.故选AC.
7.(5分)方向向量为d=(1,2),且过点A(3,4)的直线的一般式方程为　　　　　　　　.
【答案】 2x-y-2=0
【解析】 方向向量为d=(1,2),且过点A(3,4)的方程为=,即2x-y-2=0.
8.(5分)过点(-1,2)且与直线3x+2y+4=0垂直的直线方程为　　　　　　　.
【答案】 2x-3y+8=0
【解析】 直线3x+2y+4=0的斜率为-,所以与直线3x+2y+4=0垂直的直线的斜率为,
故由点斜式可得y-2=(x+1),即2x-3y+8=0.
9.(12分)已知点A(2,4),直线l:x-2y+1=0.
(1)求过点A且与直线l平行的直线的方程;
(2)若点M在直线l上,且AM⊥l,求点M的坐标.
【解】 (1)设所求直线方程为x-2y+m=0(m≠1),
将点A的坐标代入得2-2×4+m=0,所以m=6,
所以所求直线方程为x-2y+6=0.
(2)因为点M在直线l上,设点M(2y0-1,y0),
因为AM⊥l,且直线l的斜率为,
故kAM==-2,解得y0=2,
所以点M的坐标为(3,2).
10.(14分)已知△ABC的三个顶点分别是 A(4,0),B(6,6),C(0,2).
(1)求AB边上的高所在直线的方程;
(2)求AC边的垂直平分线所在直线的方程.
【解】 (1)AB边所在的直线的斜率k==3,
因为AB边上的高与AB垂直,所以AB边上的高所在直线的斜率为-.
又AB边上的高经过点C(0,2),
所以AB边上的高所在的直线方程为
y-2=-(x-0),即x+3y-6=0.
(2)AC边所在的直线的斜率k′==-,
所以AC边的垂直平分线的斜率为2,AC边中点E的坐标是(,),即(2,1),
所以AC边的垂直平分线的方程是y-1=2(x-2),即2x-y-3=0.
11.设a∈R,则“a=-1”是“直线l1:x+y-2a=0与直线l2:(a2-2)x-y+2=0平行”的(　　)
[A] 充分不必要条件
[B]必要不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分也不必要条件
【答案】 C
【解析】 由l1∥l2,得1×(a2-2)=1×(-1),解得 a=±1.
若a=-1,则l1:x+y+2=0,l2:x+y-2=0,两直线平行,符合题意;
若a=1,则l1:x+y-2=0,l2:x+y-2=0,两直线重合,不符合题意.
综上所述,l1∥l2等价于a=-1.
所以“a=-1”是“直线l1:x+y-2a=0与直线l2:(a2-2)x-y+2=0平行”的充要条件.
故选C.
12.(5分)已知a≠0,直线ax+(b+2)y+4=0与直线ax+(b-2)y-3=0互相垂直,则ab的最大值为　　　　.
【答案】 2
【解析】 因为直线ax+(b+2)y+4=0与直线 ax+(b-2)y-3=0互相垂直,
所以a2+(b+2)(b-2)=0,即a2+b2=4.
因为a2+b2≥2ab,所以2ab≤4,即ab≤2,当且仅当a=b=时,等号成立.所以ab的最大值为2.
13.(17分)直线l的方程为(m+1)x+y-2m-3=0(m∈R).
(1)求证:无论m为何值,直线l过定点.
(2)已知O是坐标原点,若直线l分别与 x轴正半轴,y轴正半轴交于A,B两点,当△AOB的面积最小时,求△AOB的周长及此时直线l的方程.
(1)【证明】 因为直线l的方程(m+1)x+y-2m-3=0,
即m(x-2)+x+y-3=0,
令解得
所以直线l恒过定点(2,1).
(2)【解】 因为直线l的方程(m+1)x+y-2m-3=0,
依题意m+1≠0,即m≠-1.
令x=0,得到y=2m+3;
令y=0,得到x=;
令解得m>-1,
可得S△AOB=|2m+3|||=,
令m+1=t>0,
则S△AOB===2t++2≥2+2=4,当且仅当2t=,即t=,m=-时,等号成立,
此时直线l的方程为x+2y-4=0,且A(4,0),B(0,2),
|AB|==2,
如图.
所以当△AOB的面积最小时,△AOB的周长为 6+2,直线l的方程为x+2y-4=0.
14.直线2ax-(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是(　　)
[A] [-,] [B][,]
[C][ 0,]∪[,π) [D][ 0,]∪[,π)
【答案】 C
【解析】 直线2ax-(a2+1)y+1=0,所以直线的斜率k=tan θ=.
又a2+1-2|a|≥0,
所以-1≤tan θ≤1.
又θ∈[0,π),
所以θ∈[0,]∪[,π).
故选C.

展开更多......

收起↑