资源简介

(共35张PPT)
2.3　直线的交点坐标与距离公式
2.3.1　两条直线的交点坐标
1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点　两直线的交点坐标
1.两直线的交点坐标
Aa+Bb+C=0
2.两直线的位置关系
无数个
0
相交
两个直线方程联立组成方程组,此方程组的解是这两条直线的交点坐标.
·温馨提示·
基础自测
1.直线3x+2y-18=0和-2x+5y-7=0的交点坐标为(　　)
[A] (-4,-3) [B](4,3)
[C](-4,3) [D](3,4)
B
2.若一次函数y=2x+6与y=kx的图象的交点纵坐标为4,则k的值是(　　)
[A] -4 [B]-2
[C]2 [D]4
A
【解析】 图象的交点纵坐标为4,当y=4时,代入一次函数 y=2x+6中,得x=-1,
所以交点坐标为(-1,4).将交点坐标(-1,4)代入 y=kx中,得k=-4.故选A.
3.已知直线l:mx-m+y-1=0过定点,则定点的坐标为(　　)
[A] (3,1) [B](3,-1)
[C](1,-1) [D](1,1)
D
【解析】 直线可化为l:m(x-1)+y-1=0,当x=1时y=1,即恒过定点(1,1).故选D.
4.(人教A版选择性必修第一册P72练习T3改编)斜率为-2,且过两条直线
3x-y+4=0和x+y-4=0交点的直线方程为　　　　　　.
2x+y-4=0
关键能力·素养培优
[例1] (苏教版选择性必修第一册P29例1改编)判断下列各组中直线的位置关系,若相交,求出交点的坐标:
(1)l1:2x+y+3=0,l2:x-2y-1=0;
题型一　两条相交直线的判定和求交点问题
(2)l1:x+y+2=0,l2:2x+2y+3=0;
(3)l1:x-y+1=0,l2:2x-2y+2=0.
·解题策略·
[变式训练] 判断下列各组中直线的位置关系.若相交,求出交点的坐标:
(1)l1:5x+4y-2=0,l2:2x+y+2=0;
题型二　求过两直线交点的直线方程
[例2] 直线l过两直线l1:3x+4y-2=0和l2:2x+y+2=0的交点,且与直线l3:4x+3y-2=0平行,求直线l的方程.
[典例迁移] 求经过两直线l1:3x+4y-2=0和l2:2x+y+2=0的交点,且过坐标原点的直线l的方程.
·解题策略·
过两条直线交点的直线方程的求法
(1)常规解法(方程组法):一般是先解方程组求出交点坐标,再结合其他条件写出直线方程;
(2)特殊解法(直线系法):先设出过两条直线交点的直线系方程,再结合其他条件用待定系数法求出参数,最后确定直线方程.
注意:过两条已知直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(不包括直线A2x+B2y+C2=0).
[例3] 方程(a-1)x-y+2a+1=0(a∈R)所表示的直线(　　)
[A] 恒过点(-2,3)
[B]恒过点(2,3)
[C]恒过点(2,-3)和点(2,3)
[D]恒过点(-2,3)和点(3,2)
题型三　直线过定点问题
A
·解题策略·
解含参数的直线恒过定点问题的策略
(1)任给直线中的参数赋两个不同的值,得到两条不同的直线,然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数的直线所过的定点,从而问题得解.
(2)若整理成y-y0=k(x-x0)的形式,则表示的直线必过定点(x0,y0).
[变式训练] 已知直线l的方程为(m+1)x+(2m-1)y+3=0,则直线l过定点
　　　　.
(-2,1)
培优拓展2　直线系方程
在求直线方程的时候,要利用两直线的斜率关系,或利用两直线的交点坐标,通过解方程的途径来获解.而在一些有关平行或垂直的问题,或是有关过两条已知直线交点的问题中,利用相应的直线系方程,能简化解题过程,提高解题效率.
【题型演绎】
一、平行或垂直的直线系方程的应用
[典例1] (1)已知直线l1与直线l2:x-3y+6=0平行,l1和x轴、y轴围成面积为8的三角形,则直线l1的方程为　 .
(2)经过A(2,1),且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程为　 .
x-2y=0
【解析】 (2)因为所求直线与直线2x+y-10=0垂直,所以设该直线方程为
x-2y+c=0,
又直线过点A(2,1),所以有2-2×1+c=0,解得c=0,即所求直线方程为x-2y=0.
·反思总结·
利用平行或垂直的直线系,可免去求斜率的麻烦,直接套用公式即可.在运用直线系方程时,要注意通过图形的几何性质,得出所设方程的参数.平行于已知直线Ax+By+C=0的直线系方程是:Ax+By+λ=0(λ是参数,且λ≠C);垂直于已知直线Ax+By+C=0的直线系方程是:Bx-Ay+λ=0(λ是参数).
[跟踪训练]
1.过点(-1,2)且与直线x-y-1=0垂直的直线l的方程为(　　)
[A] x+y-3=0 [B]x-y+3=0
[C]x+y-1=0 [D]x-y+1=0
C
【解析】 因为直线x-y-1=0的斜率为1,由题意,所求直线l的斜率为-1,
又直线l过点(-1,2),所以由点斜式方程可知直线l的方程为y-2=-(x+1),
即x+y-1=0.故选C.
2.过点A(1,-4)且与直线2x+3y+5=0平行的直线方程为　　　　　　　.
【解析】 设所求直线方程为2x+3y+c=0(c≠5),
因为点A(1,-4)在直线2x+3y+c=0(c≠5)上,
所以2×1+3×(-4)+c=0,解得c=10,
故所求直线方程为2x+3y+10=0.
2x+3y+10=0
二、过交点的直线系方程的应用
[典例2] 直线l经过直线l1:2x+3y+2=0与l2:3x-4y-2=0的交点,且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形,求直线l的方程.
【解】 设直线l的方程为2x+3y+2+m(3x-4y-2)=0,化简得(2+3m)x+(3-4m)y+
2-2m=0,因为直线l与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形,所以直线l的斜率为±1,
所以2+3m=3-4m或2+3m=4m-3,
·反思总结·
过两条已知直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程是:A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R,但不包括l2),通过设出过交点的直线系方程,简化了求交点的烦琐过程,大题小做,直观简捷.
[跟踪训练] 过直线x+y+2=0与x-y-4=0的交点且与直线x+2y+1=0垂直的直线方程为(　　)
[A] x+2y+5=0 [B]x+2y-5=0
[C]2x-y+5=0 [D]2x-y-5=0
D
感谢观看2.3.1　两条直线的交点坐标
【课程标准要求】　1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系.
知识点　两直线的交点坐标
1.两直线的交点坐标
几何元素及关系 代数表示
点A A(a,b)
直线l l:Ax+By+C=0
点A在直线l上 Aa+Bb+C=0
直线l1与l2 的交点是A 方程组 的解是
2.两直线的位置关系
方程组 的解 一组 无数组 无解
直线l1与l2的公共点个数 1 无数个 0
直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行
两个直线方程联立组成方程组,此方程组的解是这两条直线的交点坐标.
基础自测
1.直线3x+2y-18=0和-2x+5y-7=0的交点坐标为(　　)
[A] (-4,-3) [B](4,3)
[C](-4,3) [D](3,4)
【答案】 B
【解析】 解方程组得所以所求交点坐标为(4,3).故选B.
2.若一次函数y=2x+6与y=kx的图象的交点纵坐标为4,则k的值是(　　)
[A] -4 [B]-2
[C]2 [D]4
【答案】 A
【解析】 图象的交点纵坐标为4,当y=4时,代入一次函数 y=2x+6中,得x=-1,
所以交点坐标为(-1,4).将交点坐标(-1,4)代入 y=kx中,得k=-4.故选A.
3.已知直线l:mx-m+y-1=0过定点,则定点的坐标为(　　)
[A] (3,1) [B](3,-1)
[C](1,-1) [D](1,1)
【答案】 D
【解析】 直线可化为l:m(x-1)+y-1=0,当x=1时y=1,即恒过定点(1,1).故选D.
4.(人教A版选择性必修第一册P72练习T3改编)斜率为-2,且过两条直线3x-y+4=0和x+y-4=0交点的直线方程为　　　　　　.
【答案】 2x+y-4=0
【解析】 设所求直线方程为3x-y+4+λ(x+y-4)=0,
即(3+λ)x+(λ-1)y+4-4λ=0,
所以k==-2,
解得λ=5,
所以所求直线方程为2x+y-4=0.
题型一　两条相交直线的判定和求交点问题
[例1] (苏教版选择性必修第一册P29例1改编)判断下列各组中直线的位置关系,若相交,求出交点的坐标:
(1)l1:2x+y+3=0,l2:x-2y-1=0;
(2)l1:x+y+2=0,l2:2x+2y+3=0;
(3)l1:x-y+1=0,l2:2x-2y+2=0.
【解】 (1)解方程组
得
因此直线l1和l2相交,交点坐标为(-1,-1).
(2)解方程组
①×2-②得1=0,矛盾.
由此可知方程组无解,因此直线l1与l2平行.
(3)解方程组
①×2得　2x-2y+2=0.
方程①和方程②可以化成同一个方程,即①和②表示同一条直线.此时方程组有无数组解,直线l1与l2重合.
代数方法求两条直线的交点坐标,只需写出这两条直线的方程,然后联立求解.一般地,将两条直线的方程联立,得方程组若方程组有唯一解,则两条直线相交,此解就是交点的坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行;若方程组有无数个解,则两条直线重合.
[变式训练] 判断下列各组中直线的位置关系.若相交,求出交点的坐标:
(1)l1:5x+4y-2=0,l2:2x+y+2=0;
(2)l1:2x-6y+3=0,l2:y=x+.
【解】 (1)解方程组
得
所以直线l1与l2相交,且交点坐标为(-,).
(2)解方程组
②×6整理得2x-6y+3=0.
因此,①和②表示同一条直线,l1与l2重合,有无数交点.
题型二　求过两直线交点的直线方程
[例2] 直线l过两直线l1:3x+4y-2=0和l2:2x+y+2=0的交点,且与直线l3:4x+3y-2=0平行,求直线l的方程.
【解】 由方程组得l1与l2的交点坐标为(-2,2).
因为直线l3的斜率为-,l∥l3,
所以直线l的斜率为k=-,
故直线l的方程为y-2=-(x+2),
即4x+3y+2=0.
[典例迁移] 求经过两直线l1:3x+4y-2=0和l2:2x+y+2=0的交点,且过坐标原点的直线l的
方程.
【解】 由方程组
解得即l1与l2的交点坐标为(-2,2).
因为直线过坐标原点,所以其斜率k==-1,
直线方程为y=-x,一般式为x+y=0.
过两条直线交点的直线方程的求法
(1)常规解法(方程组法):一般是先解方程组求出交点坐标,再结合其他条件写出直线方程;
(2)特殊解法(直线系法):先设出过两条直线交点的直线系方程,再结合其他条件用待定系数法求出参数,最后确定直线方程.
注意:过两条已知直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ
(A2x+B2y+C2)=0(不包括直线A2x+B2y+C2=0).
题型三　直线过定点问题
[例3] 方程(a-1)x-y+2a+1=0(a∈R)所表示的直线(　　)
[A] 恒过点(-2,3)
[B]恒过点(2,3)
[C]恒过点(2,-3)和点(2,3)
[D]恒过点(-2,3)和点(3,2)
【答案】 A
【解析】 因为(a-1)x-y+2a+1=0(a∈R),
所以(x+2)a-x-y+1=0,
令解得
即方程(a-1)x-y+2a+1=0(a∈R)所表示的直线恒过定点(-2,3).
故选A.
解含参数的直线恒过定点问题的策略
(1)任给直线中的参数赋两个不同的值,得到两条不同的直线,然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数的直线所过的定点,从而问题得解.
(2)若整理成y-y0=k(x-x0)的形式,则表示的直线必过定点(x0,y0).
[变式训练] 已知直线l的方程为(m+1)x+(2m-1)y+3=0,则直线l过定点　　　　.
【答案】 (-2,1)
【解析】 直线(m+1)x+(2m-1)y+3=0,
可化为(x+2y)m+(x-y+3)=0,
令解得
所以直线恒过定点(-2,1).
培优拓展2　直线系方程
　　　在求直线方程的时候,要利用两直线的斜率关系,或利用两直线的交点坐标,通过解方程的途径来获解.而在一些有关平行或垂直的问题,或是有关过两条已知直线交点的问题中,利用相应的直线系方程,能简化解题过程,提高解题效率.
【题型演绎】
一、平行或垂直的直线系方程的应用
[典例1] (1)已知直线l1与直线l2:x-3y+6=0平行,l1和x轴、y轴围成面积为8的三角形,则直线l1的方程为　 .
(2)经过A(2,1),且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程为　 .
【答案】 (1)x-3y±4=0　
(2)x-2y=0
【解析】 (1)设直线l1的方程为x-3y+c=0(c≠6),则令y=0,得x=-c;令x=0,得 y=.
依照题意有×|-c|×||=8,
所以c=±4,
所以l1的方程是x-3y±4=0.
(2)因为所求直线与直线2x+y-10=0垂直,所以设该直线方程为x-2y+c=0,
又直线过点A(2,1),所以有2-2×1+c=0,解得c=0,即所求直线方程为x-2y=0.
利用平行或垂直的直线系,可免去求斜率的麻烦,直接套用公式即可.在运用直线系方程时,要注意通过图形的几何性质,得出所设方程的参数.平行于已知直线Ax+By+C=0的直线系方程是:Ax+By+λ=0(λ是参数,且λ≠C);垂直于已知直线Ax+By+C=0的直线系方程是:Bx-Ay+λ=0(λ是参数).
[跟踪训练]
1.过点(-1,2)且与直线x-y-1=0垂直的直线l的方程为(　　)
[A] x+y-3=0 [B]x-y+3=0
[C]x+y-1=0 [D]x-y+1=0
【答案】 C
【解析】 因为直线x-y-1=0的斜率为1,由题意,所求直线l的斜率为-1,
又直线l过点(-1,2),所以由点斜式方程可知直线l的方程为y-2=-(x+1),
即x+y-1=0.故选C.
2.过点A(1,-4)且与直线2x+3y+5=0平行的直线方程为　　　　　　　.
【答案】 2x+3y+10=0
【解析】 设所求直线方程为2x+3y+c=0(c≠5),
因为点A(1,-4)在直线2x+3y+c=0(c≠5)上,
所以2×1+3×(-4)+c=0,解得c=10,
故所求直线方程为2x+3y+10=0.
二、过交点的直线系方程的应用
[典例2] 直线l经过直线l1:2x+3y+2=0与l2:3x-4y-2=0的交点,且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形,求直线l的方程.
【解】 设直线l的方程为2x+3y+2+m(3x-4y-2)=0,化简得(2+3m)x+(3-4m)y+2-2m=0,因为直线l与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形,所以直线l的斜率为±1,
所以2+3m=3-4m或2+3m=4m-3,
解得m=或m=5.
代入并化简得直线l的方程为17x+17y+12=0或 17x-17y-8=0.
过两条已知直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程是:A1x+B1y+C1+λ
(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R,但不包括l2),通过设出过交点的直线系方程,简化了求交点的烦琐过程,大题小做,直观简捷.
[跟踪训练] 过直线x+y+2=0与x-y-4=0的交点且与直线x+2y+1=0垂直的直线方程为(　　)
[A] x+2y+5=0 [B]x+2y-5=0
[C]2x-y+5=0 [D]2x-y-5=0
【答案】 D
【解析】 由解得则所求方程的直线过点(1,-3),
设所求直线方程为2x-y+m=0,于是2×1-(-3)+m=0,解得m=-5,
所以所求直线方程为2x-y-5=0.
故选D.
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.已知直线l1方程为x+y-6=0,直线l2方程为2x-y+3=0,则两直线交点坐标为(　　)
[A] (1,5) [B](1,-1)
[C](2,8) [D](0,15)
【答案】 A
【解析】 联立解得因此,两直线的交点坐标为(1,5).故选A.
2.若直线x+ay+15=0经过两直线5x-3y-17=0和x-y-5=0的交点,则a等于(　　)
[A] 2 [B]4
[C]6 [D]8
【答案】 B
【解析】 联立可得即交点为(1,-4),
由题意得1-4a+15=0,即a=4.故选B.
3.对于任意的实数m,直线(m+1)x+y+3m=0恒过定点(　　)
[A] (3,3) [B](-3,3)
[C](-3,-3) [D](3,-3)
【答案】 B
【解析】 直线(m+1)x+y+3m=0,即m(x+3)+x+y=0,令解得
即直线(m+1)x+y+3m=0恒过定点(-3,3).故选B.
4.已知直线l1:x-y+1=0,l2:2x-y-1=0,则过l1和l2的交点且与直线3x+4y=0垂直的直线方程为(　　)
[A] 3x-4y-1=0 [B]3x-4y+1=0
[C]4x-3y-1=0 [D]4x-3y+1=0
【答案】 D
【解析】 由l1:x-y+1=0,l2:2x-y-1=0,联立方程可得即两直线交点坐标为(2,3).
因为直线3x+4y=0的斜率为-,所以所求直线的斜率为,
故所求直线方程为y-3=(x-2),
即4x-3y+1=0.故选D.
5.若直线ax+by-11=0与3x+4y-2=0平行,并且经过直线2x+3y-8=0和x-2y+3=0的交点,则a,b的值分别为(　　)
[A] -3,-4 [B]3,4
[C]4,3 [D]-4,-3
【答案】 B
【解析】 由得由题意得解得
故选B.
6.(多选题)已知三条直线l1:ax+2y+20=0,l2:4x+3y-10=0,l3:2x-y-10=0,则下列结论正确的是(　　)
[A] l1经过定点(0,-10)
[B]l2,l3的交点坐标为(4,2)
[C]若l1∥l2,则a=-4
[D]若a=-,则l1⊥l2
【答案】 AD
【解析】 A选项,l1:ax+2y+20=0,即ax+2(y+10)=0,
令解得即直线l1过点(0,-10),A选项正确;
B选项,联立直线方程解得
即直线l2,l3的交点坐标为(4,-2),B选项错误;
C选项,由l1∥l2,可得3a-4×2=0,解得a=,C选项错误;
D选项,a=-时,直线l1:-x+2y+20=0,满足 -×4+2×3=0,
即l1⊥l2,D选项正确.
故选AD.
7.(5分)不论a为何实数,直线(a+3)x+(2a-1)y+7=0恒过第　　　　象限.
【答案】 二
【解析】 直线方程可变形为(3x-y+7)+a(x+2y)=0,
由得
所以直线过定点(-2,1),因此直线必定过第二象限.
8.(5分)直线x-2y+2=0和2x+y-6=0与两坐标轴正半轴围成的四边形的面积为　　　　.
【答案】 4
【解析】 如图,令2x+y-6=0中y=0,得x=3,所以其与x轴交于A(3,0),
令x-2y+2=0中x=0,得y=1,所以其与 y轴交于B(0,1),
由可得所以两直线交于P(2,2),
所以围成的四边形面积为S=+=4.
9.(12分)分别判断下列直线是否相交,若相交,求出它们的交点;若不相交,说明它们的位置
关系.
(1)l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0;
(2)l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0;
(3)l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3.
【解】 (1)解方程组
得
因此直线l1和l2相交,交点坐标为(3,-1).
(2)方程组有无数个解,这表明直线l1和l2重合.
(3)方程组无解,这表明直线l1和l2没有公共点,故l1∥l2.
10.(15分)求经过直线l1:3x-2y-12=0,l2:5x+4y+2=0的交点M,且满足下列条件的直线的方程.
(1)与直线3x+4y-3=0平行;
(2)与直线3x+4y-3=0垂直.
【解】 由可得
故M(2,-3).
(1)设所求直线为3x+4y+m=0(m≠-3),代入M(2,-3)可得m=6,
故与已知直线平行的直线方程为3x+4y+6=0.
(2)设所求直线为4x-3y+n=0,代入M(2,-3)可得 n=-17,
故与已知直线垂直的直线方程为4x-3y-17=0.
11.若直线x+2y-6=0与直线x-4y+6a=0的交点在第一象限,则a的取值范围为(　　)
[A] (-2,1) [B](-1,2)
[C](-∞,-1) [D](2,+∞)
【答案】 B
【解析】 由得
因为两直线的交点在第一象限,所以
解得-112.若三条直线l1:4x+y=3,l2:x+y=0,l3:x-my=2不能围成三角形,则实数m的取值最多有(　　)
[A] 2个 [B]3个 [C]4个 [D]5个
【答案】 B
【解析】 联立方程解得
可知直线l1的斜率为-4,l2的斜率为-1,且直线l1,l2的交点为(1,-1),
若三条直线不能围成三角形,则直线l3与直线l1或直线l2平行,或直线l3过点(1,-1).
若直线l3与直线l1或直线l2平行,则直线l3的斜率存在,且为,
可得=-4或=-1.
解得m=-或m=-1.
若l3过点(1,-1),则1+m=2,得m=1.
所以实数m的取值最多有3个.故选B.
13.(17分)已知直线l1的方程为x+2y-4=0,若l2在x轴上的截距为,且l1⊥l2.
(1)求直线l1和l2的交点坐标;
(2)已知直线l3经过l1与l2的交点,且在y轴上截距是在x轴上的截距的2倍,求l3的方程.
【解】 (1)由直线l1的方程为x+2y-4=0且 l1⊥l2,
可得直线l2的斜率为2.
又l2在x轴上的截距为,即过点(,0),
所以直线l2方程为y=2(x-),
即2x-y-1=0.
联立l1与l2的方程,得

故交点为(,).
(2)依据题意可知,
直线l3在y轴上截距是在x轴上的截距的2倍,
且直线l3经过l1与l2的交点(,).
当直线l3过原点时,l3的方程为y=x.
当直线l3不过原点时,设l3的方程为+=1,
则a=,故l3的方程为+=1,
即10x+5y-19=0.
综上所述,l3的方程为y=x或10x+5y-19=0.
14.已知0[A] [B] [C] [D]1
【答案】 C
【解析】 l1:k(x-2)-2y+8=0过定点(2,4),l2:k2(y-4)=4-2x也过定点(2,4),如图所示,
在l1的方程中,令x=0,
则y=4-k,
在l2的方程中,令y=0,则x=2k2+2,
则点A(0,4-k),B(2k2+2,0),
S=×2k2×4+(4-k+4)×2×=4(k-) 2+.由二次函数性质可得,当k=时,S取得最小值.
故选C.2.3.1　两条直线的交点坐标
【课程标准要求】　1.会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标.2.会根据方程组解的个数判定两条直线的位置关系.
知识点　两直线的交点坐标
1.两直线的交点坐标
几何元素及关系 代数表示
点A A(a,b)
直线l l:Ax+By+C=0
点A在直线l上 Aa+Bb+C=0
直线l1与l2 的交点是A 方程组 的解是
2.两直线的位置关系
方程组 的解 一组 无数组 无解
直线l1与l2的公共点个数 1 无数个 0
直线l1与l2的位置关系 相交 重合 平行
两个直线方程联立组成方程组,此方程组的解是这两条直线的交点坐标.
基础自测
1.直线3x+2y-18=0和-2x+5y-7=0的交点坐标为(　　)
[A] (-4,-3) [B](4,3)
[C](-4,3) [D](3,4)
2.若一次函数y=2x+6与y=kx的图象的交点纵坐标为4,则k的值是(　　)
[A] -4 [B]-2
[C]2 [D]4
所以交点坐标为(-1,4).将交点坐标(-1,4)代入 y=kx中,得k=-4.故选A.
3.已知直线l:mx-m+y-1=0过定点,则定点的坐标为(　　)
[A] (3,1) [B](3,-1)
[C](1,-1) [D](1,1)
4.(人教A版选择性必修第一册P72练习T3改编)斜率为-2,且过两条直线3x-y+4=0和x+y-4=0交点的直线方程为　　　　　　.
即(3+λ)x+(λ-1)y+4-4λ=0,
所以k==-2,
解得λ=5,
所以所求直线方程为2x+y-4=0.
题型一　两条相交直线的判定和求交点问题
[例1] (苏教版选择性必修第一册P29例1改编)判断下列各组中直线的位置关系,若相交,求出交点的坐标:
(1)l1:2x+y+3=0,l2:x-2y-1=0;
(2)l1:x+y+2=0,l2:2x+2y+3=0;
(3)l1:x-y+1=0,l2:2x-2y+2=0.
得
因此直线l1和l2相交,交点坐标为(-1,-1).
(2)解方程组
①×2-②得1=0,矛盾.
由此可知方程组无解,因此直线l1与l2平行.
(3)解方程组
①×2得　2x-2y+2=0.
方程①和方程②可以化成同一个方程,即①和②表示同一条直线.此时方程组有无数组解,直线l1与l2重合.
代数方法求两条直线的交点坐标,只需写出这两条直线的方程,然后联立求解.一般地,将两条直线的方程联立,得方程组若方程组有唯一解,则两条直线相交,此解就是交点的坐标;若方程组无解,则两条直线无公共点,此时两条直线平行;若方程组有无数个解,则两条直线重合.
[变式训练] 判断下列各组中直线的位置关系.若相交,求出交点的坐标:
(1)l1:5x+4y-2=0,l2:2x+y+2=0;
(2)l1:2x-6y+3=0,l2:y=x+.
得
所以直线l1与l2相交,且交点坐标为(-,).
(2)解方程组
②×6整理得2x-6y+3=0.
因此,①和②表示同一条直线,l1与l2重合,有无数交点.
题型二　求过两直线交点的直线方程
[例2] 直线l过两直线l1:3x+4y-2=0和l2:2x+y+2=0的交点,且与直线l3:4x+3y-2=0平行,求直线l的方程.
因为直线l3的斜率为-,l∥l3,
所以直线l的斜率为k=-,
故直线l的方程为y-2=-(x+2),
即4x+3y+2=0.
[典例迁移] 求经过两直线l1:3x+4y-2=0和l2:2x+y+2=0的交点,且过坐标原点的直线l的
方程.
解得即l1与l2的交点坐标为(-2,2).
因为直线过坐标原点,所以其斜率k==-1,
直线方程为y=-x,一般式为x+y=0.
过两条直线交点的直线方程的求法
(1)常规解法(方程组法):一般是先解方程组求出交点坐标,再结合其他条件写出直线方程;
(2)特殊解法(直线系法):先设出过两条直线交点的直线系方程,再结合其他条件用待定系数法求出参数,最后确定直线方程.
注意:过两条已知直线A1x+B1y+C1=0,A2x+B2y+C2=0交点的直线系方程为A1x+B1y+C1+λ
(A2x+B2y+C2)=0(不包括直线A2x+B2y+C2=0).
题型三　直线过定点问题
[例3] 方程(a-1)x-y+2a+1=0(a∈R)所表示的直线(　　)
[A] 恒过点(-2,3)
[B]恒过点(2,3)
[C]恒过点(2,-3)和点(2,3)
[D]恒过点(-2,3)和点(3,2)
所以(x+2)a-x-y+1=0,
令解得
即方程(a-1)x-y+2a+1=0(a∈R)所表示的直线恒过定点(-2,3).
故选A.
解含参数的直线恒过定点问题的策略
(1)任给直线中的参数赋两个不同的值,得到两条不同的直线,然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数的直线所过的定点,从而问题得解.
(2)若整理成y-y0=k(x-x0)的形式,则表示的直线必过定点(x0,y0).
[变式训练] 已知直线l的方程为(m+1)x+(2m-1)y+3=0,则直线l过定点　　　　.
可化为(x+2y)m+(x-y+3)=0,
令解得
所以直线恒过定点(-2,1).
培优拓展2　直线系方程
　　　在求直线方程的时候,要利用两直线的斜率关系,或利用两直线的交点坐标,通过解方程的途径来获解.而在一些有关平行或垂直的问题,或是有关过两条已知直线交点的问题中,利用相应的直线系方程,能简化解题过程,提高解题效率.
【题型演绎】
一、平行或垂直的直线系方程的应用
[典例1] (1)已知直线l1与直线l2:x-3y+6=0平行,l1和x轴、y轴围成面积为8的三角形,则直线l1的方程为　 .
(2)经过A(2,1),且与直线2x+y-10=0垂直的直线l的方程为　 .
(2)x-2y=0
依照题意有×|-c|×||=8,
所以c=±4,
所以l1的方程是x-3y±4=0.
(2)因为所求直线与直线2x+y-10=0垂直,所以设该直线方程为x-2y+c=0,
又直线过点A(2,1),所以有2-2×1+c=0,解得c=0,即所求直线方程为x-2y=0.
利用平行或垂直的直线系,可免去求斜率的麻烦,直接套用公式即可.在运用直线系方程时,要注意通过图形的几何性质,得出所设方程的参数.平行于已知直线Ax+By+C=0的直线系方程是:Ax+By+λ=0(λ是参数,且λ≠C);垂直于已知直线Ax+By+C=0的直线系方程是:Bx-Ay+λ=0(λ是参数).
[跟踪训练]
1.过点(-1,2)且与直线x-y-1=0垂直的直线l的方程为(　　)
[A] x+y-3=0 [B]x-y+3=0
[C]x+y-1=0 [D]x-y+1=0
又直线l过点(-1,2),所以由点斜式方程可知直线l的方程为y-2=-(x+1),
即x+y-1=0.故选C.
2.过点A(1,-4)且与直线2x+3y+5=0平行的直线方程为　　　　　　　.
因为点A(1,-4)在直线2x+3y+c=0(c≠5)上,
所以2×1+3×(-4)+c=0,解得c=10,
故所求直线方程为2x+3y+10=0.
二、过交点的直线系方程的应用
[典例2] 直线l经过直线l1:2x+3y+2=0与l2:3x-4y-2=0的交点,且与坐标轴围成的三角形是等腰直角三角形,求直线l的方程.
所以2+3m=3-4m或2+3m=4m-3,
解得m=或m=5.
代入并化简得直线l的方程为17x+17y+12=0或 17x-17y-8=0.
过两条已知直线l1:A1x+B1y+C1=0和l2:A2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程是:A1x+B1y+C1+λ
(A2x+B2y+C2)=0(λ∈R,但不包括l2),通过设出过交点的直线系方程,简化了求交点的烦琐过程,大题小做,直观简捷.
[跟踪训练] 过直线x+y+2=0与x-y-4=0的交点且与直线x+2y+1=0垂直的直线方程为(　　)
[A] x+2y+5=0 [B]x+2y-5=0
[C]2x-y+5=0 [D]2x-y-5=0
设所求直线方程为2x-y+m=0,于是2×1-(-3)+m=0,解得m=-5,
所以所求直线方程为2x-y-5=0.
故选D.
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.已知直线l1方程为x+y-6=0,直线l2方程为2x-y+3=0,则两直线交点坐标为(　　)
[A] (1,5) [B](1,-1)
[C](2,8) [D](0,15)
2.若直线x+ay+15=0经过两直线5x-3y-17=0和x-y-5=0的交点,则a等于(　　)
[A] 2 [B]4
[C]6 [D]8
由题意得1-4a+15=0,即a=4.故选B.
3.对于任意的实数m,直线(m+1)x+y+3m=0恒过定点(　　)
[A] (3,3) [B](-3,3)
[C](-3,-3) [D](3,-3)
即直线(m+1)x+y+3m=0恒过定点(-3,3).故选B.
4.已知直线l1:x-y+1=0,l2:2x-y-1=0,则过l1和l2的交点且与直线3x+4y=0垂直的直线方程为(　　)
[A] 3x-4y-1=0 [B]3x-4y+1=0
[C]4x-3y-1=0 [D]4x-3y+1=0
因为直线3x+4y=0的斜率为-,所以所求直线的斜率为,
故所求直线方程为y-3=(x-2),
即4x-3y+1=0.故选D.
5.若直线ax+by-11=0与3x+4y-2=0平行,并且经过直线2x+3y-8=0和x-2y+3=0的交点,则a,b的值分别为(　　)
[A] -3,-4 [B]3,4
[C]4,3 [D]-4,-3
故选B.
6.(多选题)已知三条直线l1:ax+2y+20=0,l2:4x+3y-10=0,l3:2x-y-10=0,则下列结论正确的是(　　)
[A] l1经过定点(0,-10)
[B]l2,l3的交点坐标为(4,2)
[C]若l1∥l2,则a=-4
[D]若a=-,则l1⊥l2
令解得即直线l1过点(0,-10),A选项正确;
B选项,联立直线方程解得
即直线l2,l3的交点坐标为(4,-2),B选项错误;
C选项,由l1∥l2,可得3a-4×2=0,解得a=,C选项错误;
D选项,a=-时,直线l1:-x+2y+20=0,满足 -×4+2×3=0,
即l1⊥l2,D选项正确.
故选AD.
7.(5分)不论a为何实数,直线(a+3)x+(2a-1)y+7=0恒过第　　　　象限.
由得
所以直线过定点(-2,1),因此直线必定过第二象限.
8.(5分)直线x-2y+2=0和2x+y-6=0与两坐标轴正半轴围成的四边形的面积为　　　　.
令x-2y+2=0中x=0,得y=1,所以其与 y轴交于B(0,1),
由可得所以两直线交于P(2,2),
所以围成的四边形面积为S=+=4.
9.(12分)分别判断下列直线是否相交,若相交,求出它们的交点;若不相交,说明它们的位置
关系.
(1)l1:2x-y=7和l2:3x+2y-7=0;
(2)l1:2x-6y+4=0和l2:4x-12y+8=0;
(3)l1:4x+2y+4=0和l2:y=-2x+3.
得
因此直线l1和l2相交,交点坐标为(3,-1).
(2)方程组有无数个解,这表明直线l1和l2重合.
(3)方程组无解,这表明直线l1和l2没有公共点,故l1∥l2.
10.(15分)求经过直线l1:3x-2y-12=0,l2:5x+4y+2=0的交点M,且满足下列条件的直线的方程.
(1)与直线3x+4y-3=0平行;
(2)与直线3x+4y-3=0垂直.
故M(2,-3).
(1)设所求直线为3x+4y+m=0(m≠-3),代入M(2,-3)可得m=6,
故与已知直线平行的直线方程为3x+4y+6=0.
(2)设所求直线为4x-3y+n=0,代入M(2,-3)可得 n=-17,
故与已知直线垂直的直线方程为4x-3y-17=0.
11.若直线x+2y-6=0与直线x-4y+6a=0的交点在第一象限,则a的取值范围为(　　)
[A] (-2,1) [B](-1,2)
[C](-∞,-1) [D](2,+∞)
因为两直线的交点在第一象限,所以
解得-112.若三条直线l1:4x+y=3,l2:x+y=0,l3:x-my=2不能围成三角形,则实数m的取值最多有(　　)
[A] 2个 [B]3个 [C]4个 [D]5个
可知直线l1的斜率为-4,l2的斜率为-1,且直线l1,l2的交点为(1,-1),
若三条直线不能围成三角形,则直线l3与直线l1或直线l2平行,或直线l3过点(1,-1).
若直线l3与直线l1或直线l2平行,则直线l3的斜率存在,且为,
可得=-4或=-1.
解得m=-或m=-1.
若l3过点(1,-1),则1+m=2,得m=1.
所以实数m的取值最多有3个.故选B.
13.(17分)已知直线l1的方程为x+2y-4=0,若l2在x轴上的截距为,且l1⊥l2.
(1)求直线l1和l2的交点坐标;
(2)已知直线l3经过l1与l2的交点,且在y轴上截距是在x轴上的截距的2倍,求l3的方程.
可得直线l2的斜率为2.
又l2在x轴上的截距为,即过点(,0),
所以直线l2方程为y=2(x-),
即2x-y-1=0.
联立l1与l2的方程,得

故交点为(,).
(2)依据题意可知,
直线l3在y轴上截距是在x轴上的截距的2倍,
且直线l3经过l1与l2的交点(,).
当直线l3过原点时,l3的方程为y=x.
当直线l3不过原点时,设l3的方程为+=1,
则a=,故l3的方程为+=1,
即10x+5y-19=0.
综上所述,l3的方程为y=x或10x+5y-19=0.
14.已知0[A] [B] [C] [D]1
在l1的方程中,令x=0,
则y=4-k,
在l2的方程中,令y=0,则x=2k2+2,
则点A(0,4-k),B(2k2+2,0),
S=×2k2×4+(4-k+4)×2×=4(k-) 2+.由二次函数性质可得,当k=时,S取得最小值.
故选C.

展开更多......

收起↑