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2.3.2　两点间的距离公式
【课程标准要求】　1.掌握两点间的距离公式并会应用.2.会用坐标法证明简单的平面几何问题.
知识点　两点间的距离
公式:P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点间的距离公式 |P1P2|=.
特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)间的距离 |OP|=.
(1)两点间的距离公式与两点的先后顺序无关.(2)当直线P1P2平行于x轴时,|P1P2|=|x2-x1|;当直线P1P2平行于y轴时,|P1P2|=|y2-y1|.
基础自测
1.三角形的三个顶点为A(2,-1),B(-1,3),C(-1,-1),则AB的长为(　　)
[A]3 [B]5
[C]9 [D]25
【答案】 B
【解析】 根据题意,利用两点间的距离公式,可得 |AB|==5.故选B.
2.(人教A版选择性必修第一册P74练习T2改编)已知点A(7,4),B(4,a),且A,B两点的距离为5,则a等于(　　)
[A]0 [B]8
[C]0或8 [D]4
【答案】 C
【解析】 由题意可得|AB|==5 a=0或a=8.
故选C.
3.已知P(-1,2),Q(-2,-3),M(1,0),则△PQM的周长为　　　　　.
【答案】 +5
【解析】 因为|PQ|==,
|PM|==2,
|QM|==3,
所以△PQM的周长为|PQ|+|PM|+|QM|=+5.
题型一　两点间的距离公式
[例1] (1)点A在x轴上,点B在y轴上,线段AB的中点为(3,4),则|AB|等于(　　)
[A]10 [B]5
[C]8 [D]6
(2)已知A(a,2),B(-2,-3),C(1,6)三点,且|AB|=|AC|,则实数a的值为(　　)
[A]-2 [B]-1
[C]1 [D]2
(1)【答案】 A
【解析】 由题意得A(6,0),B(0,8),所以 |AB|==10.故选A.
(2)【答案】 A
【解析】 由两点间的距离公式及|AB|=|AC|,可得=,解得 a=-2.故选A.
(1)计算两点间距离的方法
①对于任意两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2),|P1P2|=.
②对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况,可直接利用距离公式的特殊情况求解.
(2)若已知两点间的距离及两点的坐标,并且坐标中含有参数,则可利用两点间的距离公式列方程求出参数.
[变式训练] 已知点A(3,6),在x轴上的点P与点A的距离等于10,则点P的坐标为　 .
【答案】 (-5,0)或(11,0)
【解析】 设点P的坐标为(x,0),由|PA|=10,
得=10,
解得x=11或x=-5.
所以点P的坐标为(-5,0)或(11,0).
题型二　利用两点间距离公式判定三角形形状
[例2] 已知△ABC的三个顶点分别为A(-3,1),B(3,-3),C(1,7).
(1)求BC边上的中线AM的长.
(2)求证:△ABC为等腰直角三角形.
(1)【解】 由线段中点坐标公式可知,点M的坐标为(,),
即(2,2),
则|AM|==.
(2)【证明】 |AB|=
=2,
|BC|==2,
|AC|==2.
因为|AB|2+|AC|2=|BC|2,且|AB|=|AC|,
所以△ABC为等腰直角三角形.
利用两点间距离公式判定三角形形状的思路
利用两点间距离公式求边长,借助边的关系及直线的位置关系判定三角形形状.
[变式训练] 已知点A(1,2),B(3,4),C(5,0),判断△ABC的形状.
【解】 因为|AB|==2,
|BC|==2,
|AC|==2,
所以|AC|=|BC|,且三边不满足勾股定理.
因为kAB==1,kAC==-,
所以kAB≠kAC,所以A,B,C三点不共线,
所以△ABC是等腰三角形.
题型三　坐标法的应用
[例3] 已知在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,对角线为AC和BD.求证:|AC|=|BD|.
【证明】建立如图所示的平面直角坐标系,在等腰梯形 ABCD 中,AB∥DC,作CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,
设A(0,0),B(a,0),C(b,c),
因为AD=BC,
所以AF=BE=a-b,
则点D的坐标是(a-b,c).
由两点间的距离公式得
|AC|==,
|BD|==,
所以|AC|=|BD|.
(1)用解析法解题时,虽然平面图形的几何性质不依赖于平面直角坐标系的建立,但不同的平面直角坐标系会使我们的计算有繁简之分,因此在建立平面直角坐标系时必须“避繁
就简”.
(2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤
①建立坐标系,用坐标表示有关的量.
②进行有关代数运算.
③把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.在平面直角坐标系中,点A(3,-2)和点 B(-1,1)之间的距离为(　　)
[A]2 [B]3
[C] [D]5
【答案】 D
【解析】 点A(3,-2)和点B(-1,1)之间的距离为d==5.故选D.
2.已知A(a,-5)与B(0,10)两点间的距离是17,则a的值为(　　)
[A]8 [B]2
[C]±2 [D]±8
【答案】 D
【解析】 由两点间的距离公式得
=17,解得a=±8.故选D.
3.过点M(-2,a),N(a,4)的直线的斜率为-,则 |MN| 等于(　　)
[A]10 [B]6
[C]6 [D]180
【答案】 B
【解析】 由题意得,kMN==-,
解得a=10,
所以M(-2,10),N(10,4),所以|MN|==6.
故选B.
4.已知P(x,y),Q(-2,-3),M(1,2)三点,且 |PQ|=|PM|,则有(　　)
[A]3x+5y+4=0 [B]x-5y-4=0
[C]3x-5y+4=0 [D]3x+5y-4=0
【答案】 A
【解析】 由题意可知=,即3x+5y+4=0.故选A.
5.在等腰直角△ABC中,∠C=90°,若点A,C的坐标分别为(0,4),(3,3),则点B的坐标可能是(　　)
[A](2,0)或(4,6) [B](2,0)或(6,4)
[C](4,6) [D](0,2)
【答案】 A
【解析】 设B(x,y),直线AC,BC的斜率分别为kAC,kBC,由题意可得
即
解得或所以点B的坐标可能是(2,0)或(4,6).故选A.
6.(多选题)对于,下列说法正确的是(　　)
[A]可看作点(x,0)与点(1,2)的距离
[B]可看作点(x,0)与点(-1,-2)的距离
[C]可看作点(x,-1)与点(-1,2)的距离
[D]可看作点(x,-1)与点(-1,1)的距离
【答案】 BD
【解析】 由题意,可得===
,
可看作点(x,0)与点(-1,-2)的距离,可看作点(x,0)与点(-1,2)的距离,可看作点(x,-1)与点(-1,1)的距离.故选BD.
7.(5分)若直线l1:2x+3y-1=0与l2:x+ay+2=0在第二象限相交于点A,且点A到原点的距离为,则a的值为　　　　.
【答案】 -1
【解析】 两直线不平行,故a≠,
联立l1:2x+3y-1=0与l2:x+ay+2=0,解得所以A(,).
因为点A在第二象限,故<0,>0,
解得-6由题意得=,
解得a=-1或a=(舍去),
故a=-1.
8.(5分)已知A(0,2),B(1,0),C(t,0),点D是直线AC上的动点,若AD≤BD恒成立,则正整数t的最小值是　　　　.
【答案】 4
【解析】 由题意知直线AC的方程为y=-x+2.
因为点D是直线AC上的动点,
所以可设D(x,-x+2).
因为AD≤BD,
所以≤·,
化简得(2+)x2-(6+)x+15≥0对任意x恒成立,
所以Δ=(6+)2-4×15×(2+)≤0,化简得+-7≤0,
解得t≥或t≤,结合t为正整数得,t的最小值为4.
9.(12分)已知△ABC的三个顶点为A(-1,5),B(-2,-1),C(4,7),求BC边上的中线AM的长和AM所在直线的方程.
【解】 如图,设点M的坐标为(x,y),过点B,M,C向x轴作垂线,垂足分别为点B′,M′,C′,则点B′,M′,C′的横坐标分别为-2,x,4.
因为点M是线段BC的中点,所以点M′是线段 B′C′ 的中点,即B′M′=M′C′,从而x-(-2)=4-x.
所以x==1.
同理可得y==3.
所以点M的坐标为(1,3).
由两点间距离公式,得
|AM|==2.
因此,BC边上的中线AM的长为2.
由直线的两点式方程,得中线AM所在直线的方程为=,
即x+y-4=0.
10.(15分)已知△ABC的三个顶点的坐标分别是 A(1,-1),B(-1,3),C(3,0).
(1)判断△ABC的形状;
(2)求△ABC的面积.
【解】 (1)如图所示,△ABC为直角三角形,下面进行验证.
因为|AB|==2,
|AC|==,
|BC|==5,
所以|AB|2+|AC|2=|BC|2,即△ABC是以A为直角顶点的直角三角形.
(2)由(1)中法一得|AB|=2,|AC|=.
又∠A=90°,所以S△ABC=|AB||AC|=×2×=5.
11.已知点A(5,2a-1),B(a+1,a-4),当 |AB| 取最小值时,实数a的值是(　　)
[A]- [B]
[C]- [D]
【答案】 D
【解析】 点A(5,2a-1),B(a+1,a-4),
由两点间距离公式得|AB|==,
根据二次函数的性质得到最小值在对称轴处取得,对称轴为直线a=.故选D.
12.已知四边形ABCD的四个顶点为A(0,0),B(3,-2),C(5,1),D(2,3),则四边形ABCD的形状是(　　)
[A]平行四边形 [B]正方形
[C]菱形 [D]矩形
【答案】 B
【解析】 依题意,
|AB|==,
|BC|==,
|CD|==,
|DA|==,
故|AB|=|BC|=|CD|=|DA|,
又|AC|==,|BD|==,即|AC|=|BD|,
故四边形ABCD是正方形.故选B.
13.(17分)已知△ABC是直角三角形,斜边BC的中点为M,建立适当的平面直角坐标系,
求证:
(1)|AB|2+|AC|2=|BC|2;
(2)|AM|=|BC|.
【证明】(1)以Rt△ABC的直角边AB,AC所在直线为坐标轴建立如图所示的平面直角坐
标系.
设B,C两点的坐标分别为(b,0),(0,c).
由两点间距离公式得
|AB|2=(b-0)2+(0-0)2=b2,
|AC|2=(0-0)2+(0-c)2=c2,
|BC|2=(b-0)2+(0-c)2=b2+c2.
所以|AB|2+|AC|2=|BC|2.
(2)因为点M是BC的中点,
所以点M的坐标为(,),
即(,).
由两点间距离公式得
|BC|==,
|AM|==.
所以|AM|=|BC|.
14.(5分)某同学在研究函数f(x)=+|x-1|的性质时,联想到两点间的距离公式,从而将函数变形为f(x)=+,求得f(x)的最小值为　　　　.
【答案】
【解析】 如图,由变形所得函数知f(x)表示 x轴上的动点(x,0)到两定点(0,1),(1,0)的距离之和,所以当且仅当(x,0)与(1,0)重合时,f(x)有最小值为.2.3.2　两点间的距离公式
【课程标准要求】　1.掌握两点间的距离公式并会应用.2.会用坐标法证明简单的平面几何问题.
知识点　两点间的距离
公式:P1(x1,y1),P2(x2,y2)两点间的距离公式 |P1P2|=.
特别地,原点O(0,0)与任一点P(x,y)间的距离 |OP|=.
(1)两点间的距离公式与两点的先后顺序无关.(2)当直线P1P2平行于x轴时,|P1P2|=|x2-x1|;当直线P1P2平行于y轴时,|P1P2|=|y2-y1|.
基础自测
1.三角形的三个顶点为A(2,-1),B(-1,3),C(-1,-1),则AB的长为(　　)
[A]3 [B]5
[C]9 [D]25
2.(人教A版选择性必修第一册P74练习T2改编)已知点A(7,4),B(4,a),且A,B两点的距离为5,则a等于(　　)
[A]0 [B]8
[C]0或8 [D]4
故选C.
3.已知P(-1,2),Q(-2,-3),M(1,0),则△PQM的周长为　　　　　.
|PM|==2,
|QM|==3,
所以△PQM的周长为|PQ|+|PM|+|QM|=+5.
题型一　两点间的距离公式
[例1] (1)点A在x轴上,点B在y轴上,线段AB的中点为(3,4),则|AB|等于(　　)
[A]10 [B]5
[C]8 [D]6
(2)已知A(a,2),B(-2,-3),C(1,6)三点,且|AB|=|AC|,则实数a的值为(　　)
[A]-2 [B]-1
[C]1 [D]2
(1)计算两点间距离的方法
①对于任意两点P1(x1,y1)和P2(x2,y2),|P1P2|=.
②对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况,可直接利用距离公式的特殊情况求解.
(2)若已知两点间的距离及两点的坐标,并且坐标中含有参数,则可利用两点间的距离公式列方程求出参数.
[变式训练] 已知点A(3,6),在x轴上的点P与点A的距离等于10,则点P的坐标为　 .
得=10,
解得x=11或x=-5.
所以点P的坐标为(-5,0)或(11,0).
题型二　利用两点间距离公式判定三角形形状
[例2] 已知△ABC的三个顶点分别为A(-3,1),B(3,-3),C(1,7).
(1)求BC边上的中线AM的长.
(2)求证:△ABC为等腰直角三角形.
即(2,2),
则|AM|==.
=2,
|BC|==2,
|AC|==2.
因为|AB|2+|AC|2=|BC|2,且|AB|=|AC|,
所以△ABC为等腰直角三角形.
利用两点间距离公式判定三角形形状的思路
利用两点间距离公式求边长,借助边的关系及直线的位置关系判定三角形形状.
[变式训练] 已知点A(1,2),B(3,4),C(5,0),判断△ABC的形状.
|BC|==2,
|AC|==2,
所以|AC|=|BC|,且三边不满足勾股定理.
因为kAB==1,kAC==-,
所以kAB≠kAC,所以A,B,C三点不共线,
所以△ABC是等腰三角形.
题型三　坐标法的应用
[例3] 已知在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,对角线为AC和BD.求证:|AC|=|BD|.
设A(0,0),B(a,0),C(b,c),
因为AD=BC,
所以AF=BE=a-b,
则点D的坐标是(a-b,c).
由两点间的距离公式得
|AC|==,
|BD|==,
所以|AC|=|BD|.
就简”.
(2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤
①建立坐标系,用坐标表示有关的量.
②进行有关代数运算.
③把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.在平面直角坐标系中,点A(3,-2)和点 B(-1,1)之间的距离为(　　)
[A]2 [B]3
[C] [D]5
2.已知A(a,-5)与B(0,10)两点间的距离是17,则a的值为(　　)
[A]8 [B]2
[C]±2 [D]±8
=17,解得a=±8.故选D.
3.过点M(-2,a),N(a,4)的直线的斜率为-,则 |MN| 等于(　　)
[A]10 [B]6
[C]6 [D]180
解得a=10,
所以M(-2,10),N(10,4),所以|MN|==6.
故选B.
4.已知P(x,y),Q(-2,-3),M(1,2)三点,且 |PQ|=|PM|,则有(　　)
[A]3x+5y+4=0 [B]x-5y-4=0
[C]3x-5y+4=0 [D]3x+5y-4=0
5.在等腰直角△ABC中,∠C=90°,若点A,C的坐标分别为(0,4),(3,3),则点B的坐标可能是(　　)
[A](2,0)或(4,6) [B](2,0)或(6,4)
[C](4,6) [D](0,2)
即
解得或所以点B的坐标可能是(2,0)或(4,6).故选A.
6.(多选题)对于,下列说法正确的是(　　)
[A]可看作点(x,0)与点(1,2)的距离
[B]可看作点(x,0)与点(-1,-2)的距离
[C]可看作点(x,-1)与点(-1,2)的距离
[D]可看作点(x,-1)与点(-1,1)的距离
,
可看作点(x,0)与点(-1,-2)的距离,可看作点(x,0)与点(-1,2)的距离,可看作点(x,-1)与点(-1,1)的距离.故选BD.
7.(5分)若直线l1:2x+3y-1=0与l2:x+ay+2=0在第二象限相交于点A,且点A到原点的距离为,则a的值为　　　　.
联立l1:2x+3y-1=0与l2:x+ay+2=0,解得所以A(,).
因为点A在第二象限,故<0,>0,
解得-6由题意得=,
解得a=-1或a=(舍去),
故a=-1.
8.(5分)已知A(0,2),B(1,0),C(t,0),点D是直线AC上的动点,若AD≤BD恒成立,则正整数t的最小值是　　　　.
因为点D是直线AC上的动点,
所以可设D(x,-x+2).
因为AD≤BD,
所以≤·,
化简得(2+)x2-(6+)x+15≥0对任意x恒成立,
所以Δ=(6+)2-4×15×(2+)≤0,化简得+-7≤0,
解得t≥或t≤,结合t为正整数得,t的最小值为4.
9.(12分)已知△ABC的三个顶点为A(-1,5),B(-2,-1),C(4,7),求BC边上的中线AM的长和AM所在直线的方程.
因为点M是线段BC的中点,所以点M′是线段 B′C′ 的中点,即B′M′=M′C′,从而x-(-2)=4-x.
所以x==1.
同理可得y==3.
所以点M的坐标为(1,3).
由两点间距离公式,得
|AM|==2.
因此,BC边上的中线AM的长为2.
由直线的两点式方程,得中线AM所在直线的方程为=,
即x+y-4=0.
10.(15分)已知△ABC的三个顶点的坐标分别是 A(1,-1),B(-1,3),C(3,0).
(1)判断△ABC的形状;
(2)求△ABC的面积.
因为|AB|==2,
|AC|==,
|BC|==5,
所以|AB|2+|AC|2=|BC|2,即△ABC是以A为直角顶点的直角三角形.
(2)由(1)中法一得|AB|=2,|AC|=.
又∠A=90°,所以S△ABC=|AB||AC|=×2×=5.
11.已知点A(5,2a-1),B(a+1,a-4),当 |AB| 取最小值时,实数a的值是(　　)
[A]- [B]
[C]- [D]
由两点间距离公式得|AB|==,
根据二次函数的性质得到最小值在对称轴处取得,对称轴为直线a=.故选D.
12.已知四边形ABCD的四个顶点为A(0,0),B(3,-2),C(5,1),D(2,3),则四边形ABCD的形状是(　　)
[A]平行四边形 [B]正方形
[C]菱形 [D]矩形
|AB|==,
|BC|==,
|CD|==,
|DA|==,
故|AB|=|BC|=|CD|=|DA|,
又|AC|==,|BD|==,即|AC|=|BD|,
故四边形ABCD是正方形.故选B.
13.(17分)已知△ABC是直角三角形,斜边BC的中点为M,建立适当的平面直角坐标系,
求证:
(1)|AB|2+|AC|2=|BC|2;
(2)|AM|=|BC|.
标系.
设B,C两点的坐标分别为(b,0),(0,c).
由两点间距离公式得
|AB|2=(b-0)2+(0-0)2=b2,
|AC|2=(0-0)2+(0-c)2=c2,
|BC|2=(b-0)2+(0-c)2=b2+c2.
所以|AB|2+|AC|2=|BC|2.
(2)因为点M是BC的中点,
所以点M的坐标为(,),
即(,).
由两点间距离公式得
|BC|==,
|AM|==.
所以|AM|=|BC|.
14.(5分)某同学在研究函数f(x)=+|x-1|的性质时,联想到两点间的距离公式,从而将函数变形为f(x)=+,求得f(x)的最小值为　　　　. (共21张PPT)
2.3.2　两点间的距离公式
1.掌握两点间的距离公式并会应用.2.会用坐标法证明简单的平面几何问题.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点　两点间的距离
(1)两点间的距离公式与两点的先后顺序无关.
(2)当直线P1P2平行于x轴时,|P1P2|=|x2-x1|;当直线P1P2平行于y轴时,|P1P2|=
|y2-y1|.
·疑难解惑·
基础自测
1.三角形的三个顶点为A(2,-1),B(-1,3),C(-1,-1),则AB的长为(　　)
[A]3 [B]5
[C]9 [D]25
B
C
2.(人教A版选择性必修第一册P74练习T2改编)已知点A(7,4),B(4,a),且A,B两点的距离为5,则a等于(　　)
[A]0 [B]8
[C]0或8 [D]4
3.已知P(-1,2),Q(-2,-3),M(1,0),则△PQM的周长为　　　 　　.
关键能力·素养培优
[例1] (1)点A在x轴上,点B在y轴上,线段AB的中点为(3,4),则|AB|等于(　　)
[A]10 [B]5
[C]8 [D]6
题型一　两点间的距离公式
A
(2)已知A(a,2),B(-2,-3),C(1,6)三点,且|AB|=|AC|,则实数a的值为(　　)
[A]-2 [B]-1
[C]1 [D]2
A
·解题策略·
(1)计算两点间距离的方法
②对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况,可直接利用距离公式的特殊情况求解.
(2)若已知两点间的距离及两点的坐标,并且坐标中含有参数,则可利用两点间的距离公式列方程求出参数.
[变式训练]已知点A(3,6),在x轴上的点P与点A的距离等于10,则点P的坐标为　 .
(-5,0)或(11,0)
[例2] 已知△ABC的三个顶点分别为A(-3,1),B(3,-3),C(1,7).
(1)求BC边上的中线AM的长.
题型二　利用两点间距离公式判定三角形形状
(2)求证:△ABC为等腰直角三角形.
·解题策略·
利用两点间距离公式判定三角形形状的思路
利用两点间距离公式求边长,借助边的关系及直线的位置关系判定三角形形状.
[变式训练] 已知点A(1,2),B(3,4),C(5,0),判断△ABC的形状.
[例3] 已知在等腰梯形ABCD中,AB∥DC,对角线为AC和BD.求证:|AC|=|BD|.
题型三　坐标法的应用
【证明】建立如图所示的平面直角坐标系,在等腰梯形 ABCD 中,AB∥DC,作CE⊥AB于E,DF⊥AB于F,
设A(0,0),B(a,0),C(b,c),
因为AD=BC,
所以AF=BE=a-b,
则点D的坐标是(a-b,c).
·解题策略·
(1)用解析法解题时,虽然平面图形的几何性质不依赖于平面直角坐标系的建立,但不同的平面直角坐标系会使我们的计算有繁简之分,因此在建立平面直角坐标系时必须“避繁就简”.
(2)利用坐标法解决平面几何问题的常见步骤
①建立坐标系,用坐标表示有关的量.
②进行有关代数运算.
③把代数运算的结果“翻译”成几何结论.
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