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第7讲　函数的图象与性质
（时间：45分钟，满分：79分）
一、单项选择题（每小题5分，共35分）
1.函数f（x）＝5－2x－lg（2x＋1）的零点所在的区间是（　　）
A.（0，1） B.（1，2）
C.（2，3） D.（3，4）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.（2025·全国Ⅰ卷5题）已知f（x）是定义在R上且周期为2的偶函数，当2≤x≤3时，f（x）＝5－2x，则f（－）＝（　　）
A.－ B.－
C. D.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3.（2025·湖北武昌质检）已知函数f（x）＝x｜x｜，则关于x的不等式f（2x）＞f（1－x）的解集为（　　）
A.（，＋∞） B.（－∞，）
C.（，1） D.（－1，）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4.函数f（x）＝（x＋）cos x的部分图象大致是（　　）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5.（2025·浙江杭州一模）设f（x）＝ex＋ln x，满足f（a）f（b）f（c）＜0（0＜a＜b＜c）.若函数f（x）存在零点x0，则（　　）
A.x0＜a B.x0＞a
C.x0＜c D.x0＞c
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
6.已知函数f（x）＝e｜x｜－cos x，则f（），f（0），f（－）的大小关系为（　　）
A.f（0）＜f（）＜f（－） B.f（0）＜f（－）＜f（）
C.f（）＜f（－）＜f（0） D.f（－）＜f（0）＜f（）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
7.（2025·山东烟台一模）已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x＋4）＋f（x）＝0，f（x＋2）为奇函数，且f（1）＝1，则kf（2k－1）＝（　　）
A.－9 B.0
C.1 D.9
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、多项选择题（每小题6分，共18分）
8.关于函数f（x）＝lg（－1），下列说法正确的有（　　）
A.f（x）的定义域为（－1，1）
B.f（x）的图象关于y轴对称
C.f（x）的图象关于原点对称
D.f（x）在（0，1）上单调递增
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
9.（2025·江苏海安、宿迁中学测试）下列可能是函数f（x）＝（其中a，b，c∈{－1，0，1}）的图象的是（　　）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
10.（2025·全国Ⅰ卷8题改编）已知2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，y，z的大小关系可能为（　　）
A.x＞y＞z B.x＞z＞y
C.y＞x＞z D.y＞z＞x
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、填空题（每小题5分，共15分）
11.（2025·山东潍坊一模）写出一个同时具有下列性质①②的函数f（x）＝　　　　.
①f（x1x2）＝f（x1）＋f（x2）；②f（x）在（0，＋∞）上是增函数.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
12.（2025·广东深圳模拟）设a∈R，函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝a（x－1）＋1.若y＝f（x）是R上的增函数，则a的取值范围为　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
13.（2025·湖南长沙一中二模）若函数f（x）＝（）｜x｜＋m－1至少有一个零点，则m的取值范围为　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
☆高考新风向（14题6分，15题5分，共11分）
14.〔创新定义〕〔多选〕（2025·北京市第35中学一模改编）太极图被称为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐美.定义：若一个函数的图象能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部分，则称该函数为圆O的一个“太极函数”.则下列说法正确的是（　　）
A.函数y＝x3＋x可以是某个圆的“太极函数”
B.正弦函数y＝sin x可以同时是无数个圆的“太极函数”
C.存在不为常数函数的偶函数，使其为圆O的“太极函数”
D.函数y＝f（x）是“太极函数”的充要条件为函数y＝f（x）的图象是中心对称图形
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
15.〔创新设问〕已知函数f（x）＝若存在实数x1，x2，x3且x1＜x2＜x3，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则x1f（x1）＋x2f（x2）＋x3f（x3）的取值范围为　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
第7讲　函数的图象与性质
1.C　因为函数f（x）＝5－2x－lg（2x＋1）在（－，＋∞）上单调递减，所以函数f（x）最多只有一个零点.因为f（0）＝5－lg 1＝5＞0，f（1）＝3－lg 3＞0，f（2）＝1－lg 5＞0，f（3）＝－1－lg 7＜0，所以函数f（x）＝5－2x－lg（2x＋1）的零点所在的区间是（2，3）.故选C.
2.A　法一（通解）　当x∈[－1，0]时，－x＋2∈[2，3]，所以当x∈[－1，0]时，f（x）＝f（－x）＝f（－x＋2）＝5－2（－x＋2）＝1＋2x，所以f（－）＝1－＝－.故选A.
法二（优解）　f（－）＝f（）＝f（＋2）＝5－2×（＋2）＝－.
3.A　由f（x）＝x｜x｜＝可知f（x）在R上单调递增，由f（2x）＞f（1－x），有2x＞1－x，即x＞.故选A.
4.D　f（x）＝（x＋）cos x的定义域为{x｜x≠0}，f（－x）＝（－x－）cos（－x）＝－（x＋）cos x＝－f（x），所以f（x）为奇函数，故A错误；当x＞0，且x趋近0时，x＋＞0，cos x＞0，所以f（x）＞0，故C错误；当x＝π时，f（π）＝（π＋）cos π＝－（π＋）＜0，故B错误.
5.B　函数f（x）＝ex＋ln x的定义域为{x｜x＞0}，且y＝ex，y＝ln x均为增函数，故函数f（x）＝ex＋ln x是增函数，由于0＜a＜b＜c，故f（a）＜f（b）＜f（c），满足f（a）f（b）f（c）＜0（0＜a＜b＜c），说明f（a），f（b），f（c）中有1个负数2个正数或3个负数，且f（a）＜0恒成立，由于f（x）存在零点，故x0＞a.故选B.
6.B　∵f（x）＝e｜x｜－cos x，∴f（－x）＝e｜－x｜－cos （－x）＝e｜x｜－cos x＝f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（）＝f（－）.当x＞0时，f（x）＝ex－cos x，则f'（x）＝ex＋sin x，当x∈（0，＋∞）时，f'（x）＝ex＋sin x＞0，∴函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，∴f（0）＜f（）＜f（），即f（0）＜f（－）＜f（）.
7.D　由f（x＋4）＋f（x）＝0 f（x）＝－f（x＋4），则f（x＋4）＝－f（x＋8），所以f（x）＝f（x＋8），即f（x）是周期为8的函数，由f（x＋2）为奇函数，则f（－x＋2）＝－f（x＋2），则f（－x）＝－f（x＋4），所以f（－x）＝f（x），即f（x）是偶函数，由f（1）＝f（－1）＝1，则f（3）＝f（5）＝－1，f（7）＝1，结合周期性，对于k∈N*，f（2k－1）依次为1，－1，－1，1，1，－1，－1，1，…，所以f（2k－1）是周期为4的函数，则f（1）＋2f（3）＋3f（5）＋4f（7）＝1－2－3＋4＝0，5f（9）＋6f（11）＋7f（13）＋8f（15）＝5－6－7＋8＝0，故kf（2k－1）＝9f（17）＝9.
8.ACD　因为f（x）＝lg（－1）＝lg，则＞0，解得－1＜x＜1，所以f（x）的定义域为（－1，1），故A正确；因为f（－x）＝lg＝－f（x），即f（x）为奇函数，所以f（x）的图象关于原点对称，故B错误，C正确；因为y＝－1在（0，1）上单调递增，y＝lg x在（0，＋∞）上单调递增，所以f（x）＝lg（－1）在（0，1）上单调递增，故D正确.
9.BCD　A选项中的图象关于y轴对称，是大于零的常函数，但是f（x）＝不能是大于零的常函数，A选项错误；B选项中的图象关于原点对称，可得函数的定义域为{x｜x≠0}，可得当c＝0，b＝0，a＝－1，函数f（x）＝－符合题意，B选项正确；C选项中的图象，由定义域得c＝1，由图象在y轴的截距为正得b＝1，当a＝0时，f（x）＝符合题意，C选项正确；D选项中的图象，由定义域得c＝－1，由图象在y轴的截距为零得b＝0，当a＝1时，f（x）＝符合题意，D选项正确.
10.ACD　法一　令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝0，得x＝，y＝，z＝，此时x＞y＞z；令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝5，得x＝8，y＝9，z＝1，此时y＞x＞z；令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝8，得x＝26＝64，y＝35＝243，z＝53＝125，此时y＞z＞x.故选A、C、D.
法二　设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝t，则x＝2t－2＝f（t），y＝3t－3＝g（t），z＝5t－5＝h（t），在同一平面直角坐标系中画出函数f（t），g（t），h（t）的图象，由图可知选A、C、D.
11.log2x（答案不唯一，形如f（x）＝logax（a＞1）都可）　解析：对于函数f（x）＝log2x，该函数的定义域为（0，＋∞），且该函数在（0，＋∞）上为增函数，满足性质②；对任意的x1，x2∈（0，＋∞），f（x1x2）＝log2（x1x2）＝log2x1＋log2x2＝f（x1）＋f（x2），满足性质①.
12.（0，1]　解析：因为函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，所以函数y＝f（x）的图象关于原点对称，且f（0）＝0.当x＞0时，函数f（x）＝a（x－1）＋1＝ax＋1－a，当x＜0时，－x＞0，则f（x）＝－f（－x）＝ax＋a－1，所以f（x）＝因为函数y＝f（x）是R上的增函数，则有解得0＜a≤1，所以实数a的取值范围为（0，1].
13.[0，1）　解析：函数f（x）＝（）｜x｜＋m－1有零点，则方程（）｜x｜＋m－1＝0有解，即（）｜x｜＝1－m有解，因此函数y＝（）｜x｜的图象与直线y＝1－m有交点，而函数y＝（）｜x｜是R上的偶函数，在[0，＋∞）上单调递减，函数y＝（）｜x｜的值域为（0，1]，在同一坐标系内作出函数y＝（）｜x｜的图象与直线y＝1－m，如图，
观察图象知，当且仅当0＜1－m≤1，即0≤m＜1时，函数y＝（）｜x｜的图象与直线y＝1－m有交点，所以m的取值范围为0≤m＜1.
14.ABC　函数y＝x3＋x的图象关于原点中心对称，因此，它可以将圆的周长和面积同时等分，故A正确；正弦函数的图象关于原点中心对称，且可以通过适当选择圆心位置和半径，使得正弦函数的图象将圆的周长和面积同时等分，
因此，正弦函数可以是无数个圆的“太极函数”，故B正确；如图，函数y＝g（x）是偶函数，A（0，1），D（，0），C（2，0），AB⊥BC，AD＝CD＝，BD＝CDcos∠ODC＝，于是S△BCD＝S△OAD，因此函数g（x）是圆x2＋y2＝4的一个太极函数，C正确；由选项C知，圆的太极函数可以是偶函数，它的图象不一定关于点中心对称，D错误.故选A、B、C.
15.［2，］　解析：令x＝＋kπ（k∈Z），解得x＝2k＋1（k∈Z），故当x∈[0，2]时，对称轴为直线x＝1，作出函数图象，如图所示，则x2＋x3＝2，因为f（x1）＝f（x2）＝f（x3），所以x1f（x1）＋x2f（x2）＋x3f（x3）＝f（x1）（x1＋2），又因为f（x1）＝－x1＋1，x1f（x1）＋x2f（x2）＋x3f（x3）＝f（x1）（x1＋2）＝（－x1＋1）（x1＋2）＝－－x1＋2＝－（x1＋）2＋，由f（x1）＝－x1＋1∈（1，2]可得x1∈[－1，0），则有－≤x1＋＜，则0≤（x1＋）2≤，所以x1f（x1）＋x2f（x2）＋x3f（x3）＝－（x1＋）2＋∈［2，］.
2 / 2第7讲　函数的图象与性质
【备考指南】　函数的图象与性质、函数的零点是高考考查的重点和热点，主要考查函数图象的识别与应用、函数性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）的综合应用，函数零点所在的区间及零点个数、求参数的取值范围等，难度中等及以上.多以选择题、填空题的形式出现，有时出现在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题相结合命题.
1.确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象.
1.（2024·全国甲卷理7题）函数y＝－x2＋（ex－e－x）sin x在区间[－2.8，2.8]的图象大致为（　　）
2.f（x）为奇函数 f（－x）＝－f（x）（定义域为R的奇函数f（0）＝0），f（x）为偶函数 f（－x）＝f（x）.（定义域关于原点对称）
2.若函数f（x）＝是奇函数，则实数a＝（　　）
A.0 B.－1
C.1 D.±1
3.对f（x）定义域内任一自变量x：
（1）若f（x＋a）＝－f（x），则周期T＝2a（a＞0）；
（2）若f（x＋a）＝f（x－a），则周期T＝2a（a＞0）；
（3）若f（x＋a）＝±，则周期T＝2a（a＞0）.
3.函数f（x）满足f（x）f（x＋2）＝13，且f（3）＝2，则f（2 025）＝（　　）
A.1 B.
C. D.7
4.奇函数关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
4.（2025·广东湛江二模）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＞0时，f（x）＝x2＋2x－3，则不等式f（2x－1）＞0的解集为（　　）
A.（－∞，0）∪（1，＋∞） B.（0，）∪（1，＋∞）
C.（0，）∪（，1） D.（－∞，0）∪（，1）
5.f（x）－g（x）的零点 方程f（x）＝g（x）的根 y＝f（x）的图象和y＝g（x）图象的交点的横坐标.
5.（2025·福建漳州模拟）函数f（x）＝2x＋x3－2在区间（0，1）内的零点个数是（　　）
A.0 B.1
C.2 D.3
考点一　函数的图象
【通性通法】　寻找函数图象与解析式对应关系的方法：从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；从图象的变化趋势，观察函数的单调性；从图象的对称性，观察函数的奇偶性；从图象的循环往复，观察函数的周期性.
【例1】　（1）（2025·天津高考3题）已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则f（x）的解析式可能为（　　）
A.f（x）＝ B.f（x）＝
C.f（x）＝ D.f（x）＝
【瓶颈突破】　当方程或不等式不能用代数法求解，但其与函数有关时，常转化为两个函数图象的关系问题，从而利用数形结合求解.
【常用结论】　设任意x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2：
（1）＜0 （x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＜0 f（x）在[a，b]上单调递减；
（2）＞k
＞0 f（x）－kx在[a，b]上单调递增.
（2）已知函数f（x）＝g（x）＝f（x－2）.若g（x－1）≥1，则x的取值范围为　　　　.
【训练1】　（1）函数y＝f（x）的图象如图1所示，则如图2所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（　　）
A.y＝f（1－x） B.y＝－f（1－x）
C.y＝f（4－2x） D.y＝－f（4－2x）
（2）（2025·豫西北教研联盟第二次质检）已知函数f（x）＝若a＜b＜c，且f（a）＝f（b）＝f（c），则cf（c）的取值范围为（　　）
A.（0，e] B.（0，e）
C.（0，＋∞） D.（－，＋∞）
考点二　函数的性质
考向1　函数的单调性
【例2】　（2025·山东威海一模）已知函数f（x）＝＋x，若对 x1，x2∈（1，3），且x1≠x2，都有＜1，则（　　）
A.a≤ B.a≤0
C.a≥－3 D.a≥1
考向2　奇偶性、周期性与对称性
【常用结论】　（1）若f（x＋a）为偶函数，则函数f（x）的对称轴为直线x＝a；
（2）若f（x＋a）为奇函数，则函数f（x）的对称中心为（a，0）；
（3）若f（a＋x）＝f（a－x），即f（x）＝（2a－x），则函数f（x）的图象关于直线x＝a对称；
（4）若f（a＋x）＝－f（a－x），即f（x）＝－f（2a－x），则函数f（x）的图象关于点（a，0）对称.
【例3】　（1）〔多选〕（2025·河南郑州第一次质量预测）关于函数f（x）＝2cos x＋（）cos x，下列结论正确的是（　　）
A.函数f（x）的图象关于y轴对称
B.函数f（x）的图象关于直线x＝对称
C.函数f（x）的最小正周期为2π
D.函数f（x）的最小值为2
【常用结论】　（1）若函数f（x）满足关系式f（a＋x）＋f（a－x）＝2b，则函数y＝f（x）的图象关于点（a，b）对称；
（2）若函数f（x）满足关系式f（a＋x）＝f（b－x），则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝对称.
（2）〔创新命题角度〕（2025·山东日照一模）已知函数f（x）＝的图象关于点P对称，则点P的坐标为（　　）
A.（1，） B.（1，）
C.（2，） D.（2，）
【常用结论】　（1）若f（x）的图象有两条对称轴x＝a，x＝b（a≠b），则f（x）为周期函数，周期为T＝2｜a－b｜；
（2）若f（x）的图象有两个对称中心（a，0），（b，0）（a≠b），则f（x）为周期函数，周期为T＝2｜a－b｜；
（3）若f（x）的图象关于x＝a成轴对称，同时关于（b，0）成中心对称，则f（x）为周期函数，周期为T＝4｜a－b｜.
【训练2】　（1）（2024·新高考Ⅰ卷6题）已知函数f（x）＝在R上单调递增，则a的取值范围是（　　）
A.（－∞，0] B.[－1，0]
C.[－1，1] D.[0，＋∞）
（2）已知定义在R上的函数f（x）在区间[－1，0]上单调递增，且满足f（4－x）＝f（x），f（2－x）＝－f（x），则f（k）＝（　　）
A.0 B.1
C.2 D.3
（3）设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1＋x）＝f（1－x），当－1≤x＜0时，f（x）＝log2（－6x＋2），则f（）＝（　　）
A.－1 B.－2
C.2 D.1
【通性通法】　判断函数零点个数的方法
（1）利用零点存在定理判断；
（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根；
（3）几何法：转化为两个函数图象的交点求解.
考点三　函数的零点
【例4】　（1）若函数f（x）＝x－，则方程f2（x）－f（x）－6＝0的实根个数为（　　）
A.3 B.4
C.5 D.6
【通性通法】　利用函数零点的情况求参数值（范围）的方法
（1）直接法：利用零点存在定理构建不等式（组）确定参数的取值范围；
（2）分离参数法：将参数分离，转化成求函数的值域问题；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
（2）（2025·江苏南京六校联合调研）已知函数f（x）＝若函数g（x）＝f（x）－1有三个不同的零点，则实数a的取值范围为　　　　.
【训练3】　（1）已知x0是函数f（x）＝（）x－x＋4的一个零点，若x1∈（2，x0），x2∈（x0，＋∞），则（　　）
A.x0∈（2，4） B.f（x1）＞f（x2）
C.f（x1）＜0，f（x2）＜0 D.f（x1）＞0，f（x2）＞0
（2）（2025·湖南湘潭质检）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x）＝（x＋a）（x－）2.若f（x）有且仅有3个零点，则关于x的不等式f（x）＞f（）的解集为　　　　.
第7讲　函数的图象与性质
【基础·回扣】
1.B　2.C　3.C　4.B　5.B　
【典例·讲解】
【例1】　（1）D　由题图可知函数f（x）的定义域为{x｜x≠±1}，且f（x）为偶函数，易得f（x）＝与f（x）＝均为奇函数，排除选项A、B；由题图可知当x＞1时，f（x）＞0，易得当x＞1时，f（x）＝＜0，f（x）＝＞0，排除C.故选D.
（2）[2，4]　解析：∵函数f（x）＝∴对应的图象如图所示，∵g（x－1）≥1，即f（x－3）≥1 －1≤x－3≤1 2≤x≤4，∴x的取值范围为[2，4].
【训练1】　（1）A　将f（x）关于y轴对称得f（－x），再向右平移1个单位长度，得f（－x＋1），最后横坐标伸长2倍得f（－x＋1），即得图2所示的函数.
（2）A　因为f（x）＝所以当x＞0时，f（x）＝｜ln x｜＝所以f（x）在（1，＋∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，且f（）＝f（e）＝1；当x≤0时f（x）＝2x，所以f（x）在（－∞，0）上单调递增，且f（0）＝1，所以f（x）的图象如图所示.又a＜b＜c，且f（a）＝f（b）＝f（c），不妨令f（a）＝f（b）＝f（c）＝t，结合图象可知0＜t≤1且1＜c≤e，即0＜f（c）≤1，所以0＜cf（c）≤e，即cf（c）的取值范围为（0，e].故选A.
【例2】　A　由题设， x1，x2∈（1，3），且x1≠x2，都有＜0，所以f（x）－x＝在（1，3）上单调递减，易知y＝ax2－2x－1在（1，3）上单调递减，当a＝0时，y＝－2x－1满足题设，当a≠0时， 0＜a≤或 a＜0，综上，a≤.故选A.
【例3】　（1）ABD　f（x）＝2cos x＋（）cos x＝2cos x＋2－cos x.A正确，因为f（x）的定义域为R，f（－x）＝2cos（－x）＋2－cos（－x）＝2cos x＋2－cos x＝f（x），所以函数f（x）为偶函数，f（x）的图象关于y轴对称；B正确，因为f（π－x）＝2cos（π－x）＋2－cos（π－x）＝2－cos x＋2cos x＝f（x），所以函数f（x）的图象关于直线x＝对称；C错误，因为f（x＋π）＝2cos（π＋x）＋2－cos（π＋x）＝2－cos x＋2cos x＝f（x），所以π是函数f（x）的一个周期，所以函数f（x）的最小正周期不是2π；D正确，f（x）＝2cos x＋（）cos x≥2＝2，当且仅当2cos x＝（）cos x，即x＝kπ＋，k∈Z时取等号.故选A、B、D.
（2）C　由9－3x≠0，解得x≠2，可知f（x）的定义域为{x｜x≠2}，又因为f（2＋x）＋f（2－x）＝＋＝（＋）＝，所以函数f（x）的图象关于点P（2，）对称.
【训练2】　（1）B　因为函数f（x）在R上单调递增，且当x＜0时，f（x）＝－x2－2ax－a，所以f（x）＝－x2－2ax－a在（－∞，0）上单调递增，所以－a≥0，即a≤0；当x≥0时，f（x）＝ex＋ln（x＋1），所以函数f（x）在[0，＋∞）上单调递增.若函数f（x）在R上单调递增，则－a≤f（0）＝1，即a≥－1，综上，a的取值范围是[－1，0].故选B.
（2）A　对于函数f（x）有f（4－x）＝f（x），则函数f（x）关于直线x＝2对称.由f（2－x）＝－f（x），则函数f（x）关于点（1，0）对称，所以f（4－x）＝－f（x－2），所以得f（x－2）＝－f（－x），则f（4－x）＝f（－x），故函数f（x）的周期为4，且f（－x）＝f（x），故函数f（x）为偶函数，因为函数f（x）在区间[－1，0]上单调递增，所以f（x）在[0，1]上单调递减，则函数f（x）的大致图象如图，由对称性可得f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＝0，所以f（k）＝[f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）]×3＝0.
（3）B　因为f（1＋x）＝f（1－x），所以函数f（x）的图象关于直线x＝1对称.因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以函数f（x）的图象关于点（0，0）对称，所以函数f（x）是以4为周期的周期函数，又当－1≤x＜0时，f（x）＝log2（－6x＋2），所以f（）＝f（8＋）＝f（）＝－f（－）＝－log2［－6×（－）＋2］＝－log24＝－2，故选B.
【例4】　（1）A　由f（x）＝x－＝则可作出函数f（x）＝x－的图象如图所示，由方程f2（x）－f（x）－6＝0，得f（x）＝3或f（x）＝－2，所以方程f2（x）－f（x）－6＝0的实根个数为3.
（2）（4，5）　解析：由g（x）＝0，得f（x）＝1.当x≤1时，f（x）＝1，即ex－1＝1，所以ex＝2，所以x＝ln 2∈（－∞，1]，所以g（x）在（－∞，1]上有且只有1个零点.
法一（一元二次方程根的判定法）　因为函数g（x）有三个不同的零点，所以当x＞1时，f（x）＝1，即关于x的方程x2－4x＋a－1＝0有两个不相等的正实根，所以解得4＜a＜5.综上，若函数g（x）＝f（x）－1有三个不同的零点，则实数a的取值范围为（4，5）.
法二（数形结合法）　因为函数g（x）有三个不同的零点，所以当x＞1时，f（x）＝1，即关于x的方程a＝－x2＋4x＋1有两个不相等的正实根，即直线y＝a与函数y＝－x2＋4x＋1（x＞1）的图象有两个不同的交点，作出函数y＝－x2＋4x＋1（x＞1）的图象，如图所示，由图可知，4＜a＜5.综上，若函数g（x）＝f（x）－1有三个不同的零点，则实数a的取值范围为（4，5）.
【训练3】　（1）B　函数y＝（）x在区间（2，＋∞）上单调递减，函数y＝－x＋4在区间（2，＋∞）上单调递减，故函数f（x）＝（）x－x＋4在区间（2，＋∞）上单调递减，又f（2）＞0，f（3）＞0，f（4）＞0，f（5）＜0，所以x0∈（4，5），因为f（x0）＝0，x1∈（2，x0），x2∈（x0，＋∞），由函数f（x）的单调性知f（x1）＞0，f（x2）＜0，即f（x1）＞f（x2）.故选B.
（2）（－∞，－2）∪（2，＋∞）　解析：因为f（x）为偶函数，有且仅有3个零点，所以f（0）＝0，即（0＋a）（0－）2＝0，解得a＝0，即当x≥0时，f（x）＝x（x－）2，所以f（x）的零点为－，0，，满足题意.当x≥0时，f（x）＝x（x－）2＝x3－3x2＋x，f（）＝，由f（x）＞f（），得x3－3x2＋x－＞0，即（x－）2（x－2）＞0，解得x＞2.又f（x）为偶函数，所以f（x）＞f（）的解集为（－∞，－2）∪（2，＋∞）.
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第7讲　函数的图象与性质
备考指南
函数的图象与性质、函数的零点是高考考查的重点和热点，主要考查函数图象的识别与应用、函数性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性）的综合应用，函数零点所在的区间及零点个数、求参数的取值范围等，难度中等及以上.多以选择题、填空题的形式出现，有时出现在压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题相结合命题.
基础·回扣 诊断自测 知识回扣
一
典例·讲解 典例精析 强技提能
二
课后·训练 巩固强化 综合测评
三
目录 /
CONTENTS
基础·回扣
诊断自测 知识回扣
1. （2024·全国甲卷理7题）函数y＝－x2＋（ex－e－x） sin x在区间[－
2.8，2.8]的图象大致为（　　）
确定函数图象的主要方法是利用函数的性质，如定义域、奇偶性、单调性等，特别是利用一些特殊点排除不符合要求的图象.
√
解析： 　由题知函数y＝f（x）的定义域为R，关于原点对称，f（－
x）＝－（－x）2＋（e－x－ex） sin （－x）＝－x2＋（ex－e－x） sin x＝
f（x），所以函数f（x）为偶函数，函数图象关于y轴对称，排除A、
C；f（1）＝－1＋（e－ ） sin 1＞－1＋（e－ ） sin ＝－1＋ － ＞
0，排除D. 故选B.
2. 若函数f（x）＝ 是奇函数，则实数a＝（　　）
A. 0 B. －1
C. 1 D. ±1
√
f（x）为奇函数 f（－x）＝－f（x）（定义域为R的奇函数f（0）
＝0），f（x）为偶函数 f（－x）＝f（x）.（定义域关于原点对称）
解析： 　法一（定义法）　因为函数f（x）是奇函数，所以f（－x）＝
－f（x），当x＞0时，－x＜0，f（－x）＝－a2x－1，－f（x）＝－x
－a，则－a2x－1＝－x－a，可得a＝1，故选C.
法二（特殊值法）　因为函数f（x）是奇函数，所以f（－1）＝－f
（1），即－a2－1＝－（1＋a），解得a＝0或a＝1，经检验a＝1符合题
意，故选C.
3. 函数f（x）满足f（x）f（x＋2）＝13，且f（3）＝2，则f（2 025）
＝（　　）
A. 1 B.
C. D. 7
√
对f（x）定义域内任一自变量x：
（1）若f（x＋a）＝－f（x），则周期T＝2a（a＞0）；
（2）若f（x＋a）＝f（x－a），则周期T＝2a（a＞0）；
（3）若f（x＋a）＝± ，则周期T＝2a（a＞0）.
解析： 因为f（x）f（x＋2）＝13，所以f（x＋2）＝ ，所以f
（x＋4）＝ ＝ ＝f（x），所以f（x）的周期为4，所以f
（2 025）＝f（1）＝ ＝ .
4. （2025·广东湛江二模）已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，且当x
＞0时，f（x）＝x2＋2x－3，则不等式f（2x－1）＞0的解集为（　　）
A. （－∞，0）∪（1，＋∞）
B. （0， ）∪（1，＋∞）
C. （0， ）∪（ ，1）
D. （－∞，0）∪（ ，1）
√
奇函数关于原点对称的区间上具有相同的单调性；偶函数关于原点对称的区间上具有相反的单调性.
解析： 　因为f（x）＝x2＋2x－3＝（x＋1）2－4，所以f（x）在（0，
＋∞）上单调递增，且f（1）＝0.因为f（x）是定义在R上的奇函数，所
以f（x）在（－∞，0）上单调递增，且f（－1）＝0.由f（2x－1）＞
0，可得2x－1＞1或－1＜2x－1＜0，解得x＞1或0＜x＜ .即f（2x－1）
＞0的解集为（0， ）∪（1，＋∞）.故选B.
5. （2025·福建漳州模拟）函数f（x）＝2x＋x3－2在区间（0，1）内的零
点个数是（　　）
A. 0 B. 1
C. 2 D. 3
f（x）－g（x）的零点 方程f（x）＝g（x）的根 y＝f（x）的图象和y＝g（x）图象的交点的横坐标.
√
解析： 　法一　∵f（0）f（1）＝（－1）×1＝－1＜
0，且函数f（x）在定义域上是增函数，∴函数f（x）
在区间（0，1）内有且只有1个零点.
法二　设y1＝2x，y2＝2－x3，在同一平面直角坐标系中画出两个函数的图
象如图所示，在区间（0，1）内，两个图象的交点个数即为f（x）的零点
个数.故函数f（x）在区间（0，1）内有且只有1个零点.
典例·讲解
典例精析 强技提能
考点一　函数的图象
【例1】　（1）（2025·天津高考3题）
已知函数y＝f（x）的图象如图所示，则f（x）的
解析式可能为（　　）
A. f（x）＝ B. f（x）＝
C. f（x）＝ D. f（x）＝
√
【通性通法】　寻找函数图象与解析式对应关系的方法：从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域；从图象的变化趋势，观察函数的单调性；从图象的对称性，观察函数的奇偶性；从图象的循环往复，观察函数的周期性.
解析： 　由题图可知函数f（x）的定义域为{x｜x≠±1}，且f（x）为
偶函数，易得f（x）＝ 与f（x）＝ 均为奇函数，排除选
项A、B；由题图可知当x＞1时，f（x）＞0，易得当x＞1时，f（x）＝
＜0，f（x）＝ ＞0，排除C. 故选D.
（2）已知函数f（x）＝ g（x）＝f（x－2）.若g（x
－1）≥1，则x的取值范围为 .
【瓶颈突破】　当方程或不等式不能用代数法求解，但其与函数有关时，常转化为两个函数图象的关系问题，从而利用数形结合求解.
[2，4]
解析：∵函数f（x）＝ ∴
对应的图象如图所示，∵g（x－1）≥1，即f
（x－3）≥1 －1≤x－3≤1 2≤x≤4，∴x
的取值范围为[2，4].
【训练1】　（1）函数y＝f（x）的图象如图1所示，则如图2所示的函数图象所对应的函数解析式可能为（　　）
A. y＝f（1－ x） B. y＝－f（1－ x）
C. y＝f（4－2x） D. y＝－f（4－2x）
√
解析：将f（x）关于y轴对称得f（－x），再向右平移1个单位长度，得f（－x＋1），最后横坐标伸长2倍得f（－ x＋1），即得图2所示的函数.
（2）（2025·豫西北教研联盟第二次质检）已知函数f（x）＝
若a＜b＜c，且f（a）＝f（b）＝f（c），则cf（c）
的取值范围为（　　）
A. （0，e] B. （0，e）
C. （0，＋∞） D. （－ ，＋∞）
√
解析： 　因为f（x）＝ 所以当x＞0
时，f（x）＝｜ln x｜＝ 所以
f（x）在（1，＋∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减，且f（ ）＝f（e）＝1；当x≤0时f（x）＝2x，所以f（x）在（－∞，0）上单调递增，且f（0）＝1，所以f（x）的图象如图所示.又a＜b＜c，且f（a）＝f（b）＝f（c），不妨令f（a）＝f（b）＝f（c）＝t，结合图象可知0＜t≤1且1＜c≤e，即0＜f（c）≤1，所以0＜cf（c）≤e，即cf（c）的取值范围为（0，e].故选A.
考点二　函数的性质
考向1　函数的单调性
【例2】　（2025·山东威海一模）已知函数f（x）＝ ＋x，若对
x1，x2∈（1，3），且x1≠x2，都有 ＜1，则（　　）
A. a≤ B. a≤0
√
【常用结论】　设任意x1，x2∈[a，b]，且x1≠x2：
（1） ＜0 （x1－x2）[f（x1）－f（x2）]＜0 f（x）在[a，b]上单调递减；
（2） ＞k ＞0 f（x）－kx在[a，b]上单调递增.
C. a≥－3 D. a≥1
解析： 　由题设， x1，x2∈（1，3），且x1≠x2，都有
＜0，所以f（x）－x＝ 在（1，3）上单
调递减，易知y＝ax2－2x－1在（1，3）上单调递减，当a＝0时，y＝－
2x－1满足题设，当a≠0时， 0＜a≤ 或 a＜0，综
上，a≤ .故选A.
考向2　奇偶性、周期性与对称性
【例3】　（1）〔多选〕（2025·河南郑州第一次质量预测）关于函数f
（x）＝2 cos x＋（ ） cos x，下列结论正确的是（　　）
A. 函数f（x）的图象关于y轴对称
B. 函数f（x）的图象关于直线x＝ 对称
C. 函数f（x）的最小正周期为2π
D. 函数f（x）的最小值为2
√
√
√
【常用结论】　（1）若f（x＋a）为偶函数，则函数f（x）的对称轴为直线x＝a；
（2）若f（x＋a）为奇函数，则函数f（x）的对称中心为（a，0）；
（3）若f（a＋x）＝f（a－x），即f（x）＝（2a－x），则函数f
（x）的图象关于直线x＝a对称；
（4）若f（a＋x）＝－f（a－x），即f（x）＝－f（2a－x），则函数f（x）的图象关于点（a，0）对称.
解析： f（x）＝2 cos x＋（ ） cos x＝2 cos x＋2－ cos x.A正确，因为f
（x）的定义域为R，f（－x）＝2 cos （－x）＋2－ cos （－x）＝2 cos x＋2－ cos x＝
f（x），所以函数f（x）为偶函数，f（x）的图象关于y轴对称；B正
确，因为f（π－x）＝2 cos （π－x）＋2－ cos （π－x）＝2－ cos x＋2 cos x＝f（x），
所以函数f（x）的图象关于直线x＝ 对称；C错误，因为f（x＋π）＝2
cos （π＋x）＋2－ cos （π＋x）＝2－ cos x＋2 cos x＝f（x），所以π是函数f（x）的
一个周期，所以函数f（x）的最小正周期不是2π；D正确，f（x）＝2 cos x
＋（ ） cos x≥2 ＝2，当且仅当2 cos x＝（ ） cos x，即x
＝kπ＋ ，k∈Z时取等号.故选A、B、D.
（2）〔创新命题角度〕（2025·山东日照一模）已知函数f（x）＝ 的
图象关于点P对称，则点P的坐标为（　　）
A. （1， ） B. （1， ）
C. （2， ） D. （2， ）
√
【常用结论】　（1）若函数f（x）满足关系式f（a＋x）＋f（a－x）＝2b，则函数y＝f（x）的图象关于点（a，b）对称；
（2）若函数f（x）满足关系式f（a＋x）＝f（b－x），则函数y＝f（x）的图象关于直线x＝ 对称.
解析： 　由9－3x≠0，解得x≠2，可知f（x）的定义域为{x｜x≠2}，
又因为f（2＋x）＋f（2－x）＝ ＋ ＝ （ ＋ ）＝
，所以函数f（x）的图象关于点P（2， ）对称.
【训练2】　（1）（2024·新高考Ⅰ卷6题）已知函数f（x）＝
在R上单调递增，则a的取值范围是（　　）
A. （－∞，0] B. [－1，0]
C. [－1，1] D. [0，＋∞）
√
解析： 　因为函数f（x）在R上单调递增，且当x＜0时，f（x）＝－x2
－2ax－a，所以f（x）＝－x2－2ax－a在（－∞，0）上单调递增，所
以－a≥0，即a≤0；当x≥0时，f（x）＝ex＋ln（x＋1），所以函数f
（x）在[0，＋∞）上单调递增.若函数f（x）在R上单调递增，则－
a≤f（0）＝1，即a≥－1，综上，a的取值范围是[－1，0].故选B.
（2）已知定义在R上的函数f（x）在区间[－1，0]上单调递增，且满足f
（4－x）＝f（x），f（2－x）＝－f（x），则 f（k）＝（　　）
A. 0 B. 1
√
【常用结论】　（1）若f（x）的图象有两条对称轴x＝a，x＝b
（a≠b），则f（x）为周期函数，周期为T＝2｜a－b｜；
（2）若f（x）的图象有两个对称中心（a，0），（b，0）（a≠b），
则f（x）为周期函数，周期为T＝2｜a－b｜；
（3）若f（x）的图象关于x＝a成轴对称，同时关于（b，0）成中心对
称，则f（x）为周期函数，周期为T＝4｜a－b｜.
C. 2 D. 3
解析： 　对于函数f（x）有f（4－x）＝f
（x），则函数f（x）关于直线x＝2对称.由f
（2－x）＝－f（x），则函数f（x）关于点
（1，0）对称，所以f（4－x）＝－f（x－2），所以得f（x－2）＝－f（－x），则f（4－x）＝f（－x），故函数f（x）的周期为4，
且f（－x）＝f（x），故函数f（x）为偶函数，因为函数f（x）在区间[－1，0]上单调递增，所以f（x）在[0，1]上单调递减，则函数f
（x）的大致图象如图，由对称性可得f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＝0，所以 f（k）＝[f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）]×3＝0.
（3）设f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1＋x）＝f（1－x），当－
1≤x＜0时，f（x）＝log2（－6x＋2），则f（ ）＝（　　）
A. －1 B. －2
C. 2 D. 1
√
解析： 　因为f（1＋x）＝f（1－x），所以函数f（x）的图象关于直
线x＝1对称.因为函数f（x）是定义在R上的奇函数，所以函数f（x）的
图象关于点（0，0）对称，所以函数f（x）是以4为周期的周期函数，又
当－1≤x＜0时，f（x）＝log2（－6x＋2），所以f（ ）＝f（8＋ ）
＝f（ ）＝－f（－ ）＝－log2［－6×（－ ）＋2］＝－log24＝－2，故
选B.
考点三　函数的零点
【例4】　（1）若函数f（x）＝x－ ，则方程f2（x）－f（x）－6
＝0的实根个数为（　　）
A. 3 B. 4
C. 5 D. 6
√
【通性通法】　判断函数零点个数的方法
（1）利用零点存在定理判断；
（2）代数法：求方程f（x）＝0的实数根；
（3）几何法：转化为两个函数图象的交点求解.
解析： 　由f（x）＝x－ ＝ 则可作
出函数f（x）＝x－ 的图象如图所示，由方程f2（x）
－f（x）－6＝0，得f（x）＝3或f（x）＝－2，所以方程
f2（x）－f（x）－6＝0的实根个数为3.
（2）（2025·江苏南京六校联合调研）已知函数f（x）＝
若函数g（x）＝f（x）－1有三个不同的零点，则实
数a的取值范围为 .
（4，5）
【通性通法】　利用函数零点的情况求参数值（范围）的方法（1）直接法：利用零点存在定理构建不等式（组）确定参数的取值范围；
（2）分离参数法：将参数分离，转化成求函数的值域问题；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中作出函数的图象，然后数形结合求解.
解析：由g（x）＝0，得f（x）＝1.当x≤1时，f（x）
＝1，即ex－1＝1，所以ex＝2，所以x＝ln 2∈（－∞，
1]，所以g（x）在（－∞，1]上有且只有1个零点.
法一（一元二次方程根的判定法）　因为函数g（x）有
三个不同的零点，所以当x＞1时，f（x）＝1，即关于x
的方程x2－4x＋a－1＝0有两个不相等的正实根，所以
解得4＜a＜5.综上，若函数g（x）＝f（x）－1有三个不同的零点，则实数a的取值范围为（4，5）.
法二（数形结合法）　因为函数g（x）有三个不同的零
点，所以当x＞1时，f（x）＝1，即关于x的方程a＝－
x2＋4x＋1有两个不相等的正实根，即直线y＝a与函数y
＝－x2＋4x＋1（x＞1）的图象有两个不同的交点，作出
函数y＝－x2＋4x＋1（x＞1）的图象，如图所示，由图可知，4＜a＜5.综上，若函数g（x）＝f（x）－1有三个不同的零点，则实数a的取值范围为（4，5）.
【训练3】　（1）已知x0是函数f（x）＝（ ）x－x＋4的一个零点，若
x1∈（2，x0），x2∈（x0，＋∞），则（　　）
A. x0∈（2，4）
B. f（x1）＞f（x2）
C. f（x1）＜0，f（x2）＜0
D. f（x1）＞0，f（x2）＞0
√
解析： 　函数y＝（ ）x在区间（2，＋∞）上单调递减，函数y＝－x
＋4在区间（2，＋∞）上单调递减，故函数f（x）＝（ ）x－x＋4在区
间（2，＋∞）上单调递减，又f（2）＞0，f（3）＞0，f（4）＞0，f
（5）＜0，所以x0∈（4，5），因为f（x0）＝0，x1∈（2，x0），x2∈
（x0，＋∞），由函数f（x）的单调性知f（x1）＞0，f（x2）＜0，即f
（x1）＞f（x2）.故选B.
（2）（2025·湖南湘潭质检）已知f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0
时，f（x）＝（x＋a）（x－ ）2.若f（x）有且仅有3个零点，则关于x
的不等式f（x）＞f（ ）的解集为 .
（－∞，－2）∪（2，＋∞）
解析：因为f（x）为偶函数，有且仅有3个零点，所以f（0）＝0，即（0
＋a）（0－ ）2＝0，解得a＝0，即当x≥0时，f（x）＝x（x－ ）2，
所以f（x）的零点为－ ，0， ，满足题意.当x≥0时，f（x）＝x（x
－ ）2＝x3－3x2＋ x，f（ ）＝ ，由f（x）＞f（ ），得x3－3x2＋
x－ ＞0，即（x－ ）2（x－2）＞0，解得x＞2.又f（x）为偶函数，所
以f（x）＞f（ ）的解集为（－∞，－2）∪（2，＋∞）.
课后·训练
巩固强化 综合测评
（时间：45分钟，满分：79分）
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一、单项选择题（每小题5分，共35分）
1. 函数f（x）＝5－2x－lg（2x＋1）的零点所在的区间是（　　）
A. （0，1） B. （1，2）
C. （2，3） D. （3，4）
√
解析： 　因为函数f（x）＝5－2x－lg（2x＋1）在（－ ，＋∞）上
单调递减，所以函数f（x）最多只有一个零点.因为f（0）＝5－lg 1＝
5＞0，f（1）＝3－lg 3＞0，f（2）＝1－lg 5＞0，f（3）＝－1－lg 7
＜0，所以函数f（x）＝5－2x－lg（2x＋1）的零点所在的区间是（2，
3）.故选C.
2. （2025·全国Ⅰ卷5题）已知f（x）是定义在R上且周期为2的偶函数，当
2≤x≤3时，f（x）＝5－2x，则f（－ ）＝（　　）
A. － B. －
C. D.
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解析： 　法一（通解）　当x∈[－1，0]时，－x＋2∈[2，3]，所以当
x∈[－1，0]时，f（x）＝f（－x）＝f（－x＋2）＝5－2（－x＋2）＝
1＋2x，所以f（－ ）＝1－ ＝－ .故选A.
法二（优解）　f（－ ）＝f（ ）＝f（ ＋2）＝5－2×（ ＋2）＝
－ .
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3. （2025·湖北武昌质检）已知函数f（x）＝x｜x｜，则关于x的不等式
f（2x）＞f（1－x）的解集为（　　）
A. （ ，＋∞） B. （－∞， ）
C. （ ，1） D. （－1， ）
√
解析： 　由f（x）＝x｜x｜＝ 可知f（x）在R上单调递
增，由f（2x）＞f（1－x），有2x＞1－x，即x＞ .故选A.
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4. 函数f（x）＝（x＋ ） cos x的部分图象大致是（　　）
√
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解析： 　f（x）＝（x＋ ） cos x的定义域为{x｜x≠0}，f（－x）＝
（－x－ ） cos （－x）＝－（x＋ ） cos x＝－f（x），所以f（x）为
奇函数，故A错误；当x＞0，且x趋近0时，x＋ ＞0， cos x＞0，所以f
（x）＞0，故C错误；当x＝π时，f（π）＝（π＋ ） cos π＝－（π＋ ）
＜0，故B错误.
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5. （2025·浙江杭州一模）设f（x）＝ex＋ln x，满足f（a）f（b）f
（c）＜0（0＜a＜b＜c）.若函数f（x）存在零点x0，则（　　）
A. x0＜a B. x0＞a
C. x0＜c D. x0＞c
√
解析： 　函数f（x）＝ex＋ln x的定义域为{x｜x＞0}，且y＝ex，y＝ln
x均为增函数，故函数f（x）＝ex＋ln x是增函数，由于0＜a＜b＜c，故
f（a）＜f（b）＜f（c），满足f（a）f（b）f（c）＜0（0＜a＜b＜
c），说明f（a），f（b），f（c）中有1个负数2个正数或3个负数，且
f（a）＜0恒成立，由于f（x）存在零点，故x0＞a.故选B.
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6. 已知函数f（x）＝e｜x｜－ cos x，则f（ ），f（0），f（－ ）的大
小关系为（　　）
A. f（0）＜f（ ）＜f（－ ）
B. f（0）＜f（－ ）＜f（ ）
C. f（ ）＜f（－ ）＜f（0）
D. f（－ ）＜f（0）＜f（ ）
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解析： 　∵f（x）＝e｜x｜－ cos x，∴f（－x）＝e｜－x｜－ cos （－x）
＝e｜x｜－ cos x＝f（x），∴f（x）为偶函数，∴f（ ）＝f（－ ）.当
x＞0时，f（x）＝ex－ cos x，则f'（x）＝ex＋ sin x，当x∈（0，＋∞）
时，f'（x）＝ex＋ sin x＞0，∴函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，
∴f（0）＜f（ ）＜f（ ），即f（0）＜f（－ ）＜f（ ）.
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7. （2025·山东烟台一模）已知定义在R上的函数f（x）满足：f（x＋4）
＋f（x）＝0，f（x＋2）为奇函数，且f（1）＝1，则 kf（2k－1）＝
（　　）
A. －9 B. 0
C. 1 D. 9
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解析： 　由f（x＋4）＋f（x）＝0 f（x）＝－f（x＋4），则f（x＋
4）＝－f（x＋8），所以f（x）＝f（x＋8），即f（x）是周期为8的函
数，由f（x＋2）为奇函数，则f（－x＋2）＝－f（x＋2），则f（－
x）＝－f（x＋4），所以f（－x）＝f（x），即f（x）是偶函数，由f
（1）＝f（－1）＝1，则f（3）＝f（5）＝－1，f（7）＝1，结合周期
性，对于k∈N*，f（2k－1）依次为1，－1，－1，1，1，－1，－1，
1，…，所以f（2k－1）是周期为4的函数，则f（1）＋2f（3）＋3f（5）
＋4f（7）＝1－2－3＋4＝0，5f（9）＋6f（11）＋7f（13）＋8f（15）
＝5－6－7＋8＝0，故 kf（2k－1）＝9f（17）＝9.
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二、多项选择题（每小题6分，共18分）
8. 关于函数f（x）＝lg（ －1），下列说法正确的有（　　）
A. f（x）的定义域为（－1，1）
B. f（x）的图象关于y轴对称
C. f（x）的图象关于原点对称
D. f（x）在（0，1）上单调递增
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解析： 　因为f（x）＝lg（ －1）＝lg ，则 ＞0，解得－1
＜x＜1，所以f（x）的定义域为（－1，1），故A正确；因为f（－x）＝
lg ＝－f（x），即f（x）为奇函数，所以f（x）的图象关于原点对
称，故B错误，C正确；因为y＝ －1在（0，1）上单调递增，y＝lg x在
（0，＋∞）上单调递增，所以f（x）＝lg（ －1）在（0，1）上单调
递增，故D正确.
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9. （2025·江苏海安、宿迁中学测试）下列可能是函数f（x）＝
（其中a，b，c∈{－1，0，1}）的图象的是（　　）
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解析： 　A选项中的图象关于y轴对称，是大于零的常函数，但是f
（x）＝ 不能是大于零的常函数，A选项错误；B选项中的图象
关于原点对称，可得函数的定义域为{x｜x≠0}，可得当c＝0，b＝0，a
＝－1，函数f（x）＝－ 符合题意，B选项正确；C选项中的图象，由定
义域得c＝1，由图象在y轴的截距为正得b＝1，当a＝0时，f（x）＝
符合题意，C选项正确；D选项中的图象，由定义域得c＝－1，
由图象在y轴的截距为零得b＝0，当a＝1时，f（x）＝ 符合题
意，D选项正确.
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10. （2025·全国Ⅰ卷8题改编）已知2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z，则x，
y，z的大小关系可能为（　　）
A. x＞y＞z B. x＞z＞y
C. y＞x＞z D. y＞z＞x
√
√
√
解析： 　法一　令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝0，得x＝ ，y＝
，z＝ ，此时x＞y＞z；令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝5，得x＝
8，y＝9，z＝1，此时y＞x＞z；令2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝8，
得x＝26＝64，y＝35＝243，z＝53＝125，此时y＞z＞x.故选A、C、D.
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法二　设2＋log2x＝3＋log3y＝5＋log5z＝t，则x＝2t－2＝f（t），y＝3t
－3＝g（t），z＝5t－5＝h（t），在同一平面直角坐标系中画出函数f
（t），g（t），h（t）的图象，由图可知选A、C、D.
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三、填空题（每小题5分，共15分）
11. （2025·山东潍坊一模）写出一个同时具有下列性质①②的函数f（x）
＝ .
①f（x1x2）＝f（x1）＋f（x2）；②f（x）在（0，＋∞）上是增函数.
解析：对于函数f（x）＝log2x，该函数的定义域为（0，＋∞），且该函
数在（0，＋∞）上为增函数，满足性质②；对任意的x1，x2∈（0，＋
∞），f（x1x2）＝log2（x1x2）＝log2x1＋log2x2＝f（x1）＋f（x2），满
足性质①.
log2x（答案不唯一，形如f（x）＝logax（a＞1）都可）
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12. （2025·广东深圳模拟）设a∈R，函数y＝f（x）是定义在R上的奇函
数，且当x＞0时，f（x）＝a（x－1）＋1.若y＝f（x）是R上的增函
数，则a的取值范围为 .
（0，1]
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解析：因为函数y＝f（x）是定义在R上的奇函数，所以函数y＝f（x）
的图象关于原点对称，且f（0）＝0.当x＞0时，函数f（x）＝a（x－
1）＋1＝ax＋1－a，当x＜0时，－x＞0，则f（x）＝－f（－x）＝ax
＋a－1，所以f（x）＝ 因为函数y＝f（x）是R上
的增函数，则有 解得0＜a≤1，所以实数a的取值范围为
（0，1].
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13. （2025·湖南长沙一中二模）若函数f（x）＝（ ）｜x｜＋m－1至少有
一个零点，则m的取值范围为 .
解析：函数f（x）＝（ ）｜x｜＋m－1有零点，则方
程（ ）｜x｜＋m－1＝0有解，即（ ）｜x｜＝1－m有
解，因此函数y＝（ ）｜x｜的图象与直线y＝1－m有交点，而函数y＝（ ）｜x｜是R上的偶函数，在[0，＋∞）上单调递减，函数y＝（ ）｜x｜的值域为（0，1]，在同一坐标系内作出函数y＝（ ）｜x｜的图象与
直线y＝1－m，如图，观察图象知，当且仅当0＜1－m≤1，即0≤m＜1时，函数y＝（ ）｜x｜的图象与直线y＝1－m有交点，所以m的取值范围为0≤m＜1.
[0，1）
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【高考新风向】（14题6分，15题5分，共11分）
14. 〔创新定义〕〔多选〕（2025·北京市第35中学一模改编）太极图被称
为“中华第一图”，闪烁着中华文明进程的光辉，它是由黑白两个鱼形纹
组成的图案，俗称阴阳鱼，太极图展现了一种相互转化，相对统一的和谐
美.定义：若一个函数的图象能够将圆O的周长和面积同时等分成两个部
分，则称该函数为圆O的一个“太极函数”.则下列说法正确的是（　　）
A. 函数y＝x3＋x可以是某个圆的“太极函数”
B. 正弦函数y＝ sin x可以同时是无数个圆的“太极函数”
C. 存在不为常数函数的偶函数，使其为圆O的“太极函数”
D. 函数y＝f（x）是“太极函数”的充要条件为函数y＝f
（x）的图象是中心对称图形
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解析： 　函数y＝x3＋x的图象关于原点中心对称，因
此，它可以将圆的周长和面积同时等分，故A正确；正
弦函数的图象关于原点中心对称，且可以通过适当选择
圆心位置和半径，使得正弦函数的图象将圆的周长和面
积同时等分，因此，正弦函数可以是无数个圆的“太极
函数”，故B正确；如图，函数y＝g（x）是偶函数，A（0，1），D（ ，0），C（2，0），AB⊥BC，AD＝CD＝ ，BD＝CD cos ∠ODC＝ ，于是S△BCD＝S△OAD，因此函数g（x）是圆x2＋y2＝4的一个太极函数，C正确；由选项C知，圆的太极函数可以是偶函数，它的图象不一定关于点中心对称，D错误.故选A、B、C.
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15. 〔创新设问〕已知函数f（x）＝ 若存在实
数x1，x2，x3且x1＜x2＜x3，使得f（x1）＝f（x2）＝f（x3），则x1f
（x1）＋x2f（x2）＋x3f（x3）的取值范围为 .
［2， ］
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解析：令 x＝ ＋kπ（k∈Z），解得x＝2k＋1
（k∈Z），故当x∈[0，2]时，对称轴为直线x＝1，
作出函数图象，如图所示，则x2＋x3＝2，因为f（x1）
＝f（x2）＝f（x3），所以x1f（x1）＋x2f（x2）＋
x3f（x3）＝f（x1）（x1＋2），又因为f（x1）＝－x1＋1，x1f（x1）＋x2f（x2）＋x3f（x3）＝f（x1）（x1＋2）＝（－x1＋1）（x1＋2）＝－ －x1＋2＝－（x1＋ ）2＋ ，由f（x1）＝－x1＋1∈（1，2]可得x1∈[－1，0），则有－ ≤x1＋ ＜ ，则0≤（x1＋ ）2≤ ，所以x1f（x1）＋x2f（x2）＋x3f（x3）＝－（x1＋ ）2＋ ∈［2， ］.
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