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学 科 数学 年 级 八 设计者 尹坚
教材版本 北师大版（2024） 册、章 下册第二章
课标要求 根据新课标“数与代数”领域中“数量关系”部分的规定，本章的具体要求如下：1.了解不等式的意义，探索并掌握不等式的基本性质。2.理解一元一次不等式（组）的概念，能够识别一元一次不等式（组）。3.能解数字系数的一元一次不等式（组），并能在数轴上表示出解集。4.能用不等式（组）解决现实生活中的实际问题。
内容分析 不等式是现实世界中不等关系的一种表现形式，它不仅是现阶段学生学习的重点内容，也是以后学习的重要基础。本章教学内容是学生学习了一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的基础上研究不等关系，通过前面的学习学生初步体会了生活中量与量的关系是众多而且复杂的但面对大量的同类量最容易使人感到就是他们的大小之分。在此之前学生已初步建立了方程模型和函数思想，对于解决实际问题的数学化积累了一定的经验以此为基础学习不等关系顺理成章。教科书首先通过具体实例建立不等关系，探索不等式基本性质，了解一般不等式的解、解集以及不等式的概念。然后具体研究一元一次不等式的解、解集，解集的数轴表示。一元一次不等式的解法和一元一次不等式的实际运用。通过具体实例渗透一元一次不等式、一元一次方程、一次函数的内在联系。教学过程关注“类比”思想的渗透；强化“数形结合”；关注“实际情景”规范书写。
学情分析 知识储备充足：已熟练掌握一元一次方程、二元一次方程组的解法；熟悉一次函数的基本概念及其图像特征；掌握实数大小比较方法，了解生活中常见的不等关系（如身高、温度）思维发展阶段：处于从形象思维向抽象逻辑思维过渡的关键期；对直观图形（如数轴）接受度高，适合采用“数形结合”策略辅助教学。八年级学生整体具备学习“不等式与不等式组”的良好起点，教师应抓住其好奇心强、乐于合作的特点，重点突破符号方向变化和解集几何表示两大障碍。建议以“生活问题建模 → 数学化表达 → 图像验证 → 反馈修正”为主线开展教学，帮助学生建立完整的认知链条。
单元目标 （一）教学目标1、理解不等式（组）的概念解；掌握解一元一次不等式（组）的解法；会用会用数轴表示不等式组的解、解集；能够根据具体问题的数量关系，列出一元一次不等式（组），解决简单的实际问题；初步体会一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的内在联系。2、经历“一元一次方程”到“一元一次不等式”的类比过程，体会方程与不等式之间的联系；通过数轴来直观表示不等式的解和不等式组的解集，体会数形结合思想；通过经历用一元一次不等式解决实际问题，增强学生的建模意识。3、通过实际问题的分析、抽象的过程，体会不等式和等式都刻画现实生活中的数量关系，发展学生的符号感；感受数型结合思想，培养分析问题解决问题的能力；通过合作学习，培养学生主动参与的意识和勇于探索的精神：（二）教学重点、难点重点：1、不等式的意义和性质；2、解简单的不等式（组）、用数轴表示不等式表示解集；3、根据实际问题，列出一元一次不等式解决实际问题。难点：解简单的一元一次不等式（组），用数轴表示不等式组的表示解集；2、根据实际问题，列出一元一次不等式解决实际问题。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数01认识不等式102不等式的解与解集103不等式的基本性质104解一元一次不等式105一元一次不等式实际运用106一元一次不等式与一次函数（1）107一元一次不等式与一次函数（2）108一元一次不等式组109回顾与思考1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务认识不等式感受生活中存在着大量的不等关系,了解不等式产生的背景及不等式的概念 2．能根据具体问题中的不等关系列不等式,在解决问题的过程中,体会不等式也是刻画事物变化规律的数学模型 3．通过用不等式解决实际问题,使学生认识数学与人类生活的密切联系以及人类历史发展的作用,并以此激发学生学习数学的信心和兴趣 1、初步感知不等关系在日常生活中的存在.2、认识不等号3、已知周长分别用含有字母的式子表示正方形和圆的面积。4、比较周长相等的圆面积和正方形面积的大小。5、根据题意用不等式表示数量关系.6、总结归纳不等式的定义.7、自学例题2、3.关注中差生.8、引导学生总结常用不等关系的基本语言的意义。9、学生完成课堂练习10引导学生进行课堂总结环节一：情景导入环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置不等式的解与解集1.理解不等式的解、不等式的解集、解不等式这些概念的含义.2.会在数轴上表示不等式的解集.3.培养学生从现实生活中发现并提出简单的数学问题的能力，经历求不等式的解集的过程，发展学生的创新意识.4.从实际问题抽象为数学模型，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，通过探索求不等式的解集的过程，体验数学活动充满着探索1、回顾知识，完成检测题。2、学生们积极参与到活动中，猜测满足x的值有哪些。3、理解不等式的解、解集和解不等式的含义。4、合作交流不等式的解、解集的联系和区别。5、探究不等式的解集用数轴表示6、总结用数轴表示不等式解集的一般方法。7、学习例题8、完成课堂作业。9、课堂总结环节一：回顾旧知并完成检测题。环节二：问题引入，探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置不等式的基本性质学生能准确理解和叙述不等式的三条基本内容，并能运用不等式的基本性质解不等式。经历“观察--实验--猜想--探究过程培养学生归纳能力、类比能力，提升数感和符号意识。在自我探究过程中培养学生严谨的科学态度、合作交流意识和辩证的思维。学生回顾知识。2、教师引导学生探究不等式性质1、2、3及不等式的传递性。3、学生独立完成4个练习4、自学例题，口述每一步的根据。5、完成课堂作业。6、课堂总结环节一：回顾旧知环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置解一元一次不等式1、类比解一元一次方程的的定义，理解解一元一次不等式的定义.2、类比解一元一次方程的方法和步骤，理解一元一次不等式的解法和步骤.并能在数轴上表示其解集。3、通过一元一次不等式的学习，提高学生的自主学习能力，激发学生的探究兴趣。1、回顾知识并完成两道解方程习题。2、观察比较得出一元一次不等式的定义。体会一元一次不等式是最基本 最重要的不等式3、根据解方程的步骤自学例题1.2。 强化学生对一元一次不等式解法的过程与步骤的理解 4、交流在探索不等式解题的一般步骤的过程中的心得和体会,不断积累数学活动经验 5、完成课堂作业。6、课堂总结环节一：回顾旧知环节二；情景引入环节三：探究新知环节四：典例精析环节五：课堂练习环节六：课堂总结环节七：作业布置一元一次不等式的实际运用1、理解并初步掌握利用一元一次不等式解决实际问题，探究归纳运用不等式解决实际问题的基本步骤。2、经历运用不等式解决实际问题，发展学生抽象、分析、解决问题的能力。3、发展学生数学应用意识，体会生活处处有数学。1、学生回顾旧知。2、理解利润、利润率之间的关系，建立不等关系、解不等式。3、小组合作讨论。学生审题，通过仔细读题，分析题目中的已知条件，圈画出关键字和重点语句，寻找等量关系，列出不等式从而求解。4、教师引导学生分析题目中的不等关系，学生独立或合作完成，帮助学生巩固一元一次不等式解决实际问题的基本步骤，在练习中巩固、提升。5、完成课堂作业。6、课堂总结环节一：回顾旧知环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置一元一次不等式与一次函数（1）1．了解一元一次不等式与一次函数的关系。2．会根据题意列出函数关系式，画出函数图像，并利用不等关系进行比较3．通过一元一次不等式与一次函数的图像之间的结合，培养学生的数形结合意识。4. 体验数、图形是有效地描述现实世界的重要手段，认识到数学是解决问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。回顾旧知，完成一次函数图像的作图。先独立思考再互相交流，展示交流成果。先画出图象，然后讨论问题得出用图像或代数解决问题的思维模式。4、完成课堂作业。5、课堂总结环节一：回顾旧知环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置一元一次不等式与一次函数（2）1．掌握一元一次不等式与一次函数的关系，通过具体问题初步体会一次函数的变化规律与一元一次不等式解集的联系，会运用不等式解决函数有关问题。2、感知不等式、函数、方程的不同作用与内在联系，并渗透“数形结合”思想，体验数、图形是有效地描述现实世界的重要手段，训练大家能利用数学知识去解决问题的能力。1、完成课前3个练习。2、探究手机资费问题。3、完成做一做4、探究方案选择问题。5、小组交流方案选择问题的方法，建立数学模型。6、完成课堂作业。7、课堂总结环节一：课前检测环节二：探究新知环节三：课堂练习环节四：课堂总结环节五：作业布置一元一次不等式组1、结合具体情景了解一元一次不等式组及其一元一次不等式组解集的意义，能识别一个不等式组的的未知数的个数和次数。2、熟练求解一元一次不等式解集，掌握用数轴来表示不等式组的公共解（解集）方法。3、能运用不等式组解决简单的实际问题，体会数学的应用价值，培养学生的逻辑思维能力和计算能力。1、根据题意列出符合条件的不等式。2、通过观察得出一元一次不等式组的定义，并判断给出的四个不等式组是否是一元一次不等式组。3、独立完成解不等式并用数轴表示不等式的解。4、类比解一元一次不等式，探究解一元一次不等式组，并用数轴表示不等式组的解集。5、总结一元一次不等式组的解法和用数轴表示不等式组的解集。6、学生独立完成例题1、2，学生尝试批改，老师最终讲评。7、小组合作交流完成例题3，并总结归纳;同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小解不了。8、完成课堂作业。9、课堂总结环节一：情景引入环节二：探究新知环节三：典例精析环节四：课堂练习环节五：课堂总结环节六：作业布置回顾与思考1、掌握不等式的基本性质， 理解一元一次不等式（组）的解集，能用数轴表示解集，运用一元一次不等式和一次函数的关系，解决实际问题。2通过回顾本章内容，培养学生归纳总结能力，以及用数学知识解决实际问题的能力。3、用不等式及不等式组的知识去解决实际问题，让学生体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进学生对数学的理解和学好数学的信心。1、课前给学生充分的时间把课本知识简单复习，然后梳理总结形成本章的知识结构框架。2、教师引导学生充分思考、练习和交流，同时从典型例题里找出对应的解题策略，数学思想中的分类讨论思想，解题中的代数法和几何法。3、完成课堂作业。环节一：知识框架环节二：知识梳理环节三：课堂练习环节四：作业布置
《不等式与不等式组》单元教学设计
活动一：情景导入
活动二：认识不等式
活动三：列不等式
任务一：认识不等式
活动四：课堂练习
不等式与不等式组
活动五：课堂总结
活动六：作业布置
活动一：回顾旧知
活动二：课前检测
活动三：探究新知
任务二：不等式的解与解集
活动四：典例精析
活动五：课堂练习
活动六：课堂总结
活动七：作业布置
活动一：回顾旧知
活动二：探究新知
不等式与不等式组
活动三：典例精析
任务三：不等式的基本性质
活动四：课堂练习
活动五：课堂总结
活动六：作业布置
活动一：回顾旧知
活动二：探究新知
活动三：典例精析
活动四：课堂练习
任务四：解一元一次不等式
活动五：课堂总结
活动六：作业布置
活动一：回顾旧知
活动二：探究新知
活动三：典例精析
任务五：不等式的实际运用
活动四：课堂练习
活动五：课堂总结
活动六：作业布置
活动一：回顾旧知
活动二：探究新知
活动三：典例精析
任务六：一元一次不等式与一次函数（1）
活动四：课堂练习
活动五：课堂总结
活动六：作业布置
活动一：课前检测
活动二：探究新知
不等式与不等式组
任务七：一元一次不等式与一次函数（2）
活动三：课堂练习
活动四：课堂总结
活动五：作业布置
活动一：情景引入
活动二：探究新知
活动三：典例精析
任务八：一元一次不等式组
活动四：课堂练习
活动五：课堂总结
活动六：作业布置
活动一：知识框架
任务九：回顾与思考
活动二：知识梳理
活动四：课堂练习
活动六：作业布置
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第二章 不等式与不等式组导学案
2.1不等式的解与解集
学习目标与重难点
学习目标：
1.理解不等式的解、不等式的解集、解不等式这些概念的含义.
2.会在数轴上表示不等式的解集.
3.培养学生从现实生活中发现并提出简单的数学问题的能力，经历求不等式的解集的过程，发展学生的创新意识.
4.从实际问题抽象为数学模型，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，通过探索求不等式的解集的过程，体验数学活动充满着探索。
学习重点：
理解不等式中的有关概念.
2.探索不等式的解集并能在数轴上表示出来.
学习难点：
探索不等式的解集并能在数轴上表示出来.
预习自测
一、知识链接
1、什么叫不等式？
2、常用的不等号有哪些？
3、什么叫方程？
4、什么是方程的解？
自学自测
解下列方程,并在数轴上表示以上两个方程的解
3x-5=4 2x-1=3x
教学过程
创设情境、导入新课
通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄.通常规定以树干离地面1.5m的地方作为测量部位，某树栽种时的树围为6cm,每年增加1cm，这棵树要生长多少年其树围超过10cm？
解：设这棵树要生长x年其树围超过10cm,则
6+x＞10
x=3、4、5、6能使6+x＞10成立吗？ 4.5、5.5呢？猜测满足x的值有哪些？
猜测满足x的值有哪些？
合作交流、新知探究
任务一：探究不等式的解、解集
1、能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
2、一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集
3、求不等式解集的过程叫做解不等式
4、思考： （1）2x＞18的解有哪些？ 。
（2）4x+8＜20的解有哪些？ 。
（3）不等式x≤0的解有哪些？ 。
（4）不等式x≤－2的解有哪些？ 。
【强调】不等式的解一般有无数个，但有时只有有限个，有时无解。
5、不等式的解与不等式的解集的区别与联系（填写下表）
不等式的解 不等式的解集
区别 定义 满足一个不等式的未知数的某个值 满足一个不等式的未知数的所有值
特点 个体 全部
举例
联系 某个解一定是解集中的一员 解集一定包括了某个解
任务二：探究不等式的解集用数轴表示
1、在数轴上将不等式6+x＞10的解集；不等式x－1≤2的解集分别表示在数轴上，并与同伴交流.
（1）不等式6+x＞10的解集x＞4，可以用数轴上表示4的点的右边部分来表示（如图）在数轴上表示4的点的位置上画空心圆圈，表示4不在这个解集内.
2、不等式x-1≤2的解集x≤3，可以用数轴上表示3的点的左边部分来表示（如图）在数轴上表示3的点的位置上画实心圆圈，表示3不在这个解集内.
3、不等式的解集在数轴上的表示方法：
【强调】：
若不等号是“≥”或“≤”，则边界点为实心圆点；
若不等号是“＞”或“＜”，则边界点为空心圆圈．
例：在数轴上表示下列不等式的解集：
(1)x＞－3； (2)x≤2.
解析：(1)x＞－3可用数轴上表示－3的点的右边的部分
来表示；(2)x≤2可用数轴上表示2的点和它左边的部分来表示．
方法总结：用数轴表示不等式解集的一般方法：
①画数轴；
②定边界点，注意边界点是实心还是空心；若边界点在解集内，则是实心圆点；若边界点不在解集内，则是空心圆圈；
③定方向，原则是“小于向左，大于向右”；
例1：用不等式表示下列语句并写出解集，然后在数轴上表示解集．
(1)x与4的差不小于6；　
(2)x的3倍与1的差小于或等于8.
解：(1)x－4≥6， x≥10, 解集在数轴上的表示如图：
(2)3x－1≤8, x≤3, 解集在数轴上的表示如图：
例题2：“x＜2中的每一个数都是不等式x＋2＜5的解，所以这个不等式的解集是x＜2.” 这句话是否正确？请你判断，并说明理由．
解：不正确．因为x＋2＜5的解集是x＜3，即凡是小于3的数都是不等式x＋2＜5的解，所以x＜2中的数只是x＋2＜5的部分解．所以x＜2不是其解集．
【强调】解集是不等式的所有解的集合，其中某部分解不能说成解集．
例题3．若方程(m＋2)x＝2的解为x＝2，求不等式(2－m)x＜3的解集，并探究－2，－1，0，1，2这五个数中哪些数是该不等式的解，哪些数不是该不等式的解．
解：把x＝2代入方程(m＋2)x＝2，得(m＋2)×2＝2，解得m＝－1，
所以不等式为3x＜3，其解集为x＜1.
数－2，－1，0是该不等式的解，
数1，2不是该不等式的解．
三、课堂练习、巩固提高
基础达标：
1. 满足不等式 x 1≤3 的自然数是 （ ）
A. 1，2，3，4 B. 0，1，2，3，4 C. 0，1，2，3 D. 无穷多个
2. 下列说法中，错误的是 （ ）
A. 不等式 x<5 的整数解有无数个 B. 不等式 x> 5 的负数解有无数个
C. 不等式 2x<8 的一个解是 5 D. 40 是不等式 2x< 8 的一个解
3．不等式 x-1＜0的解集在数轴上表示正确的是（ ）
4.下列说法正确的是 ( )
A. x=3 是 2x>3 的一个解 B. x=3 是 2x>3 的解集
C. x=3 是 2x>3 的唯一解 D. x=3 不是 2x>3 的解
5. x=1 时，下列不等式成立的是 （ ）
A. 2x+5<3 B. 5∣x∣>6 C. 3x+1>4 D. 4x+5>7
6. x=-2、1、5、6、8是不等式x＞5的解吗？
能力提升：
7.我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．类似地，适合二元一次不等式的一对未知数的值叫做这个二元一次不等式的一个解．对于二元一次不等式 x+2y≤8，它的正整数解有 个
拓展迁移
在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为同距点．图中的P，Q两点即为同距点．
已知点A的坐标为（﹣3，1），
①在点E（0，4），F（5，﹣1），G（2，2）中，为点A的同距点的是　 ；
②若点B在x轴上，且A，B两点为同距点，则点B的坐标为　 ；
③若点C（m﹣1，﹣1）为点A的同距点，求m的值；
总结反思、拓展升华
1.什么叫做不等式的解集？什么叫做解不等式？
2.在数轴上表示不等式的解集时要注意哪些方面？
①画数轴，②定边界（空心和实心）、③定方向
3.数学思想：迁移类推、数形结合。
五、【作业布置】
基础达标：
1、按要求填空：
（1）写出不等式x＜4的所有正整数解： ，
（2）写出不等式x≤3的所有非负整数解： ；
（3）写出不等式x大于-2的最小整数解： ．
2、根据图所示，把x所表示的解集用不等式表示出来（ ）．
A. x> 1 B. x<0 C. x≤2 D. x<2
3. 下列结论：
① 3 是不等式 x 1>1 的一个解； ② x>5 是不等式 x+4>8 的解集；
③ 1 是不等式 x+1≥0 的一个解； ④不等式 x<11 的正整数解有无数个，
其中正确的个数有（ ）
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
4.将下面给出的数，填入它所在的解集中：
7， 5，3.2， ，0，2005， 20．
（1）x≥ 5： ．
（2）x<5： 。
5.试写出一个不等式，同时满足以下两个条件：①解为 x< 2；② x 的系数不大于 3．
6.式子 6≤x<7 的所有整数解之和为 。
7.不等式 2 x≤1 的解集为 ．
能力提升：
8.一种药品的说明书上写着：“每日用量 120 180 mg，分 3 4 次服完．”一次服用这种药的剂量在什么范围
拓展迁移：
9.已知不等式 a（1）当 a，b 为整数时，求 a，b 的值；
（2）当 a，b 为实数时，求 a，b 的取值范围．
10.满足和小于 13 的三个连续正整数有（ ）
A. 1 组 B. 2 组 C. 3 组 D. 4 组
课堂作业参考答案
B
C
A
A
D
6、x=6、8是不等式x＞5的解。x=－2、1、5不是不等式x＞5的解
7、12
解答提示：对于二元一次不等式 x+2y≤8正整数解，y=1，相应的x值有1、2、3、4、5、6；y=2，相应的x值有1、2、3、4；y=3，相应的x值有1、2；故一共有12个正整数解。
8、（1）E、 G；（2）（﹣4，0）或（4，0 ； （3）4或-2 .
课外作业参考答案
1、(1) x=1、2、3； (2)x=0、1、2、3； （3）x=-1
2、C
3、B
4、（1） 7， 5，3.2， ，0，2005 （2） 5，3.2， ，0， 20
5、[答案不唯一，如 4x>8]
6、0
7、x≥1
8、解：∵120÷3=40，120÷4=30，180÷3=60，180÷4=45，
∴ 若每天服用 3 次，则所需剂量为 40 60 mg 之间，
若每天服用 4 次，则所需剂量为 30 45 mg 之间，
∴ 一次服用这种药的剂量为 30 60 mg 之间．
9、解：（1） a=4，b=7 （2） 4≤a<5，7≤b<8
10、C
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北师大版（2026）八年级数学下册第二章《不等式与不等式组》
2.1不等式的解教学设计
学科 数学 年级 八 课型 新授课 单元 二
课题 不等式的解 课时 1
课标要求 1、探索并了解不等式的解与解集;知道能使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解;理解一个不等式的所有解组成这个不等式的解集。2、用数轴表示不等式的解集；学生必须能将抽象的解集（如 x>a 、x>a 或 x≤b、x≤b）直观地表示在数轴上。准确区分“实心圆点”（表示包含边界，≥≥ 或 ≤≤）与“空心圆圈”（表示不包含边界，>> 或 <<）。
教材分析 通过实际生活问题引入，让学生在解决实际问题的过程中，发现需要寻找一个数值范围，从而自然引出“解集”的需求。强化数形结合：教材特别强调数轴的作用，不仅仅是作为一种表示方法，更是作为理解解集意义的工具。通过观察数轴上的点，学生可以更直观地看到哪些部分是解集。按照新课程标准的要求和理念，努力探索一种让学生主动参与课堂教学的方式.把学生的活动渗透到教学的各个环节中去，引导学生自觉地发现问题、研究问题、解决问题.同时关注学生获得知识，更关注学生知识获得过程与方法以及学生个性品质的发展.学生通过分析讨论，使他们的学习潜能得到充分发挥.
学情分析 学生在小学阶段已经接触过简单的数量大小比较，熟悉 >、<、= 等符号，并能用不等式表示一些简单的数量关系（例如：身高超过160cm，价格不超过10元等）。七年级上册： 学生已经系统学习了“一元一次方程”，深刻理解了“方程的解”、“解方程”以及“等式的性质”。这是本课时最重要的认知基础。学生可以类比“方程的解”来理解“不等式的解”，通过“迁移”和“类比”的方法快速进入新知的学习。八年级学生的思维正处于由“形象思维”向“抽象逻辑思维”过渡的关键时期。他们虽然具备了一定的逻辑推理能力，但对于集合、无限解等抽象概念的理解仍需具体实例的支持。主要障碍在于对“解集（范围）”这一抽象概念的接受，以及数形结合的规范性。教学应侧重于打破“唯一解”的思维定势，通过大量实例和数轴演示，帮助学生建立解集的几何直观。
核心素养目标 1.理解不等式的解、不等式的解集、解不等式这些概念的含义.2.会在数轴上表示不等式的解集.3.培养学生从现实生活中发现并提出简单的数学问题的能力，经历求不等式的解集的过程，发展学生的创新意识.4.从实际问题抽象为数学模型，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，通过探索求不等式的解集的过程，体验数学活动充满着探索
教学重点 1.理解不等式中的有关概念. 2.探索不等式的解集并能在数轴上表示出来.
教学难点 探索不等式的解集并能在数轴上表示出来.
教学准备
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、温故 1、什么叫不等式？2、常用的不等号有哪些？3、什么叫方程？ 4、什么是方程的解？ 5、解下列方程,并在数轴上表示以上两个方程的解3x-5=4 2x-1=3xX=3 x=-1 回顾知识. 通过回顾方程及方程的解，为新授解不等式和不等式的解作铺垫。
二、引新 通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄.通常规定以树干离地面1.5m的地方作为测量部位，某树栽种时的树围为6cm,每年增加1cm，这棵树要生长多少年其树围超过10cm？解：设这棵树要生长x年其树围超过10cm,则 6+x＞10x=3、4、5、6能使6+x＞10成立吗？4.5、5.5呢？猜测满足x的值有哪些？猜测满足x的值有哪些？ 学生们积极参与到活动中，猜测满足x的值有哪些。 情景引入新授内容
三、探究 任务一：探究不等式的解、解集1、能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。2、一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集3、求不等式解集的过程叫做解不等式4、思考：（1）2x＞18的解有哪些？ （2）4x+8＜20的解有哪些？ （3）不等式x≤0的解有哪些？ （4）不等式x≤－2的解有哪些？【强调】不等式的解一般有无数个，但有时只有有限个，有时无解。5、不等式的解与不等式的解集的区别与联系不等式的解：满足一个不等式的未知数的某个值不等式的解集：满足一个不等式的未知数的所有值某个解定是解集中的一员；解集一定包括了某个解任务二：探究不等式的解集用数轴表示1、在数轴上将不等式6+x＞10的解集；不等式x－1≤2的解集分别表示在数轴上，并与同伴交流.（1）不等式6+x＞10的解集x＞4，可以用数轴上表示4的点的右边部分来表示（如图）在数轴上表示4的点的位置上画空心圆圈，表示4不在这个解集内.2、不等式x-1≤2的解集x≤3，可以用数轴上表示3的点的左边部分来表示（如图）在数轴上表示3的点的位置上画实心圆圈，表示3不在这个解集内.3、不等式的解集在数轴上的表示方法：注意：若不等号是“≥”或“≤”，则边界点为实心圆点；若不等号是“＞”或“＜”，则边界点为空心圆圈．例：在数轴上表示下列不等式的解集：(1)x＞－3； (2)x≤2.解析：(1)x＞－3可用数轴上表示－3的点的右边的部分来表示；(2)x≤2可用数轴上表示2的点和它左边的部分来表示．用数轴表示不等式解集的一般方法：①画数轴；②定边界点，注意边界点是实心还是空心；若边界点在解集内，则是实心圆点；若边界点不在解集内，则是空心圆圈；③定方向，原则是“小于向左，大于向右”；用数轴表示不等式的解集，体现了一种重要的数学思想——数形结合思想． 理解不等式的解、解集和解不等式的含义。合作交流不等式的解、解集的联系和区别。3、探究不等式的解集用数轴表示4、总结用数轴表示不等式解集的一般方法。 类比解方程、方程的解，理解不等式的解和解集的区别和联系。类比方程的解在数轴上表示，掌握不等式的解集在数轴上的表示，合作交流总结归纳出不等式解集的表示方法。
四、变式 例1：用不等式表示下列语句并写出解集，然后在数轴上表示解集．(1)x与4的差不小于6；　(2)x的3倍与1的差小于或等于8.解：(1)x－4≥6， x≥10, 解集在数轴上的表示如图：(2)3x－1≤8, x≤3, 解集在数轴上的表示如图：例题2：“x＜2中的每一个数都是不等式x＋2＜5的解，所以这个不等式的解集是x＜2.” 这句话是否正确？请你判断，并说明理由．解：不正确．因为x＋2＜5的解集是x＜3，即凡是小于3的数都是不等式x＋2＜5的解，所以x＜2中的数只是x＋2＜5的部分解．所以x＜2不是其解集．【强调】解集是不等式的所有解的集合，其中某部分解不能说成解集．例题3．若方程(m＋2)x＝2的解为x＝2，求不等式(2－m)x＜3的解集，并探究－2，－1，0，1，2这五个数中哪些数是该不等式的解，哪些数不是该不等式的解．解：把x＝2代入方程(m＋2)x＝2，得(m＋2)×2＝2，解得m＝－1，所以不等式为3x＜3，其解集为x＜1.数－2，－1，0是该不等式的解，数1，2不是该不等式的解． 学习例题 通过例题的学习，使学生加深对不等式的解、解集的理解。并能用数轴表示不等式解集。
五、尝试 基础达标：1. 满足不等式 x 1≤3 的自然数是 （ B ） A. 1，2，3，4 B. 0，1，2，3，4 C. 0，1，2，3 D. 无穷多个2. 下列说法中，错误的是 （ C ） A. 不等式 x<5 的整数解有无数个 B. 不等式 x> 5 的负数解有无数个C. 不等式 2x<8 的一个解是 5 D. 40 是不等式 2x< 8 的一个解3．不等式 x-1＜0 的解集在数轴上表示正确的是( A )4.下列说法正确的是 ( A ) A. x=3 是 2x>3 的一个解 B. x=3 是 2x>3 的解集C. x=3 是 2x>3 的唯一解 D. x=3 不是 2x>3 的解5. x=1 时，下列不等式成立的是 （ D ） A. 2x+5<3 B. 5∣x∣>6 C. 3x+1>4 D. 4x+5>76. x=-2、1、5、6、8是不等式x＞5的解吗？[x=6、8是不等式x＞5的解。x=－2、1、5不是]能力提升：7.我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．类似地，适合二元一次不等式的一对未知数的值叫做这个二元一次不等式的一个解．对于二元一次不等式 x+2y≤8，它的正整数解有 12 个 解答提示：对于二元一次不等式 x+2y≤8正整数解，y=1，相应的x值有1、2、3、4、5、6；y=2，相应的x值有1、2、3、4；y=3，相应的x值有1、2；故一共有12个正整数解。拓展迁移在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为同距点．图中的P，Q两点即为同距点．已知点A的坐标为（﹣3，1），①在点E（0，4），F（5，﹣1），G（2，2）中，为点A的同距点的是　E、 G ；②若点B在x轴上，且A，B两点为同距点，则点B的坐标为　（﹣4，0）或（4，0 ；③若点C（m﹣1，﹣1）为点A的同距点，求m的值；4或-2 . 完成课堂作业 引导学生能够在课堂练习的完成过程中对要点知识加深巩固，有效应用。
六、提升 适时小结，兴趣延伸1.什么叫做不等式的解集？什么叫做解不等式？ 2.在数轴上表示不等式的解集时要注意哪些方面？ ①画数轴，②定边界（空心和实心）、③定方向3.数学思想：迁移类推、数形结合。 引导学生进行课堂总结 引导学生从知识内容、研究方法以及运用过程三个方面总结自己的收获，让学生全面把握本节课的重点和难点，并启发学生用类比或迁移的方法学习后续课程。
板书设计 不等式的解、解集能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解.不等式所有的解就是不等式的解集. 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业设计（课外练习） 基础达标：1、按要求填空：（1）写出不等式x＜4的所有正整数解： x=1、2、3；（2）写出不等式x≤3的所有非负整数解： x=0、1、2、3 ；（3）写出不等式x大于-2的最小整数解： x=-1 ． 2、根据图所示，把x所表示的解集用不等式表示出来（ C ）．A. x> 1 B. x<0 C. x≤2 D. x<2 3. 下列结论： ① 3 是不等式 x 1>1 的一个解； ② x>5 是不等式 x+4>8 的解集； ③ 1 是不等式 x+1≥0 的一个解； ④不等式 x<11 的正整数解有无数个， 其中正确的个数有（ B ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个4.将下面给出的数，填入它所在的解集中： 7， 5，3.2， ，0，2005， 20．（1）x≥ 5： 7， 5，3.2， ，0，2005 ．（2）x<5： 5，3.2， ，0， 20 5.试写出一个不等式，同时满足以下两个条件：①解为 x< 2；② x 的系数不大于 3．[答案不唯一，如 4x>8]6.式子 6≤x<7 的所有整数解之和为 0 。 7.不等式 2 x≤1 的解集为 x≥1 ． 能力提升：8.一种药品的说明书上写着：“每日用量 120 180 mg，分 3 4 次服完．”一次服用这种药的剂量在什么范围 解：∵120÷3=40，120÷4=30，180÷3=60，180÷4=45， ∴ 若每天服用 3 次，则所需剂量为 40 60 mg 之间，若每天服用 4 次，则所需剂量为 30 45 mg 之间， ∴ 一次服用这种药的剂量为 30 60 mg 之间．拓展迁移：9.已知不等式 a教学反思
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第二章 不等式与不等式组
2.1不等式的解
01
教学目标
02
知识回顾
03
课前检测
04
探究新知
05
典例精析
07
课堂总结
08
作业布置
06
课堂练习
01
教学目标
理解不等式的解、不等式的解集、解不等式这些概念的含义。
01
会在数轴上表示不等式的解集.
02
培养学生从现实生活中发现并提出简单的数学问题的能力，经历求不等式的解集的过程，发展学生的创新意识.
03
从实际问题抽象为数学模型，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，通过探索求不等式的解集的过程，体验数学活动充满着探索
04
02
复习导入
2、常用的不等号有哪些？
3、什么叫方程？
4、什么是方程的解？
1、什么叫不等式？
02
课前检测
1、解下列方程：
你能在数轴上表示以上两个方程的解吗？
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-1
3
03
情景引入
通过测量一棵树的树围（树干的周长）可以计算出它的树龄.通常规定以树干离地面1.5m的地方作为测量部位，某树栽种时的树围为6cm,每年增加1cm，这棵树要生长多少年其树围超过10cm？
解：设这棵树要生长x年其树围超过10cm,则
6+x＞10
x=3、4、5、6能使6+x＞10成立吗？4.5、5.5呢？猜测满足x的值有哪些？
猜测满足x的值有哪些？
任务一：探究不等式的解、解集
03
新知探究
能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集
求不等式解集的过程叫做解不等式
03
新知探究
思考：（1）2x＞18的解有哪些？
（2）4x+8＜20的解有哪些？
（3）不等式x2≤0的解有哪些？
（4）不等式x2≤－2的解有哪些？
不等式的解一般有无数个，但有时只有有限个，有时无解。
9,10,11,12…… x＞9
-1,0,1,2,2.5……， x＜3
x=0
x无解
03
新知探究
不等式的解 不等式的解集
区别 定义
特点
形式
联系
不等式的解与不等式的解集的区别与联系
某个解一定是解集中的一员
解集一定包括了某个解
满足一个不等式的未知数的某个值
满足一个不等式的未知数的所有值
个体
全体
如:x=3是2x-3<7的一个解
如:x<5是2x-3<7的解集
03
新知探究
任务二：探究不等式的解集用数轴表示
在数轴上将不等式6+x＞10的解集；不等式x－1≤2的解集分别表示在数轴上，并与同伴交流.
不等式6+x＞10的解集x＞4，可以用数轴上表示4的点的右边部分来表示（如图）在数轴上表示4的点的位置上画空心圆圈，表示4不在这个解集内.
03
新知探究
不等式x-1≤2的解集x≤3，可以用数轴上表示3的点的左边部分来表示（如图）在数轴上表示3的点的位置上画实心圆圈，表示3不在这个解集内.
03
新知探究
不等式的解集在数轴上的表示方法：
注意：
若不等号是“≥”或“≤”，则边界点为实心圆点；
若不等号是“＞”或“＜”，则边界点为空心圆圈．
03
新知探究
例：在数轴上表示下列不等式的解集：
(1)x＞－3； (2)x≤2.
解析：(1)x＞－3可用数轴上表示－3的点的右边的部分
来表示；(2)x≤2可用数轴上表示2的点和它左边的部分来表示．
解：如图
03
探究小结
用数轴表示不等式解集的一般方法：
①画数轴；
②定边界点，注意边界点是实心还是空心；若边界点在解集内，则是实心圆点；若边界点不在解集内，则是空心圆圈；
③定方向，原则是“小于向左，大于向右”；
用数轴表示不等式的解集，体现了一种重要的数学思想——数形结合思想．
04
典例精析
例1：用不等式表示下列语句并写出解集，然后在数轴上表示解集．
(1)x与4的差不小于6；　
(2)x的3倍与1的差小于或等于8.
(1)x－4≥6， x≥10, 解集在数轴上的表示如图：
(2)3x－1≤8, x≤3, 解集在数轴上的表示如图：
04
典例精析
例题2：“x＜2中的每一个数都是不等式x＋2＜5的解，所以这个不等式的解集是x＜2.” 这句话是否正确？请你判断，并说明理由．
不正确．因为x＋2＜5的解集是x＜3，即凡是小于3的数都是不等式x＋2＜5的解，所以x＜2中的数只是x＋2＜5的部分解．所以x＜2不是其解集．
注意： 解集是不等式的所有解的集合，其中某部分解不能说成解集．
04
典例精析
例题3．若方程(m＋2)x＝2的解为x＝2，求不等式(2－m)x＜3的解集，并探究－2，－1，0，1，2这五个数中哪些数是该不等式的解，哪些数不是该不等式的解．
解：把x＝2代入方程(m＋2)x＝2，得(m＋2)×2＝2，解得m＝－1，所以不等式为3x＜3，其解集为x＜1.数－2，－1，0是该不等式的解，数1，2不是该不等式的解．
1. 满足不等式 x 1≤3 的自然数是 （ ）
A. 1，2，3，4 B. 0，1，2，3，4
C. 0，1，2，3 D. 无穷多个
2. 下列说法中，错误的是 （ ）
A. 不等式 x<5 的整数解有无数个 B. 不等式 x> 5 的负数解有无数个
C. 不等式 2x<8 的一个解是 5 D. 40 是不等式 2x< 8 的一个解
3．不等式 x-1＜0 的解集在数轴上表示正确的是（ ）
04
课堂练习
【知识技能类作业】必做题：
A
B
C
A B C D
4.下列说法正确的是 ( )
A. x=3 是 2x>3 的一个解 B. x=3 是 2x>3 的解集
C. x=3 是 2x>3 的唯一解 D. x=3 不是 2x>3 的解
5. x=1 时，下列不等式成立的是 （ ）
A. 2x+5<3 B. 5∣x∣>6 C. 3x+1>4 D. 4x+5>7
6. x=-2、1、5、6、8是不等式x＞5的解吗？
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
A
D
x=6、8是不等式x＞5的解。x=－2、1、5不是。
04
课堂练习
【知识技能类作业】选做题：
7.我们知道，适合二元一次方程的一对未知数的值叫做这个二元一次方程的一个解．类似地，适合二元一次不等式的一对未知数的值叫做这个二元一次不等式的一个解．对于二元一次不等式 x+2y≤8，它的正整数解有 个
12
解答提示：对于二元一次不等式 x+2y≤8正整数解，y=1，相应的x值有1、2、3、4、5、6；y=2，相应的x值有1、2、3、4；y=3，相应的x值有1、2；故一共有12个正整数解。
04
课堂练习
【综合拓展类作业】
8.在平面直角坐标系xOy中，对于P，Q两点给出如下定义：若点P到两坐标轴的距离之和等于点Q到两坐标轴的距离之和，则称P，Q两点为同距点．图中的P，Q两点即为同距点．
已知点A的坐标为（﹣3，1），
①在点E（0，4），F（5，﹣1），G（2，2）中，为点A的同距点的是　　 ；
②若点B在x轴上，且A，B两点为同距点，则点B的坐标为　　 ；
③若点C（m﹣1，﹣1）为点A的同距点，求m的值；
E，G
（﹣4，0）或（4，0）
4或﹣2
05
课堂小结
1.什么叫做不等式的解集？什么叫做解不等式？
2.在数轴上表示不等式的解集时要注意哪些方面？
①画数轴，②定边界（空心和实心）、③定方向
3.数学思想：迁移类推、数形结合。
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
1、按要求填空：
（1）写出不等式x＜4的所有正整数解： ；
（2）写出不等式x≤3的所有非负整数解： ；
（3）写出不等式x大于-2的最小整数解： ．
2、根据图所示，把x所表示的解集用不等式表示出来（ ）．
A. x> 1 B. x<0 C. x≤2 D. x<2
，
x=1、2、3
x=0、1、2、3
x=-1
C
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
3. 下列结论：
① 3 是不等式 x 1>1 的一个解；
② x>5 是不等式 x+4>8 的解集；
③ 1 是不等式 x+1≥0 的一个解；
④不等式 x<11 的正整数解有无数个，
其中正确的个数有（ ）
A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个
B
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
4.将下面给出的数，填入它所在的解集中：
7， 5，3.2， ，0，2005， 20．
（1）x≥ 5： ．
（2）x<5： ．
7， 5，3.2， ，0，2005
5，3.2， ，0， 20
06
作业布置
【知识技能类作业】必做题：
5.试写出一个不等式，同时满足以下两个条件：①解为 x< 2；② x 的系数不大于 3．
6.式子 6≤x<7 的所有整数解之和为 。
7.不等式 2 x≤1 的解集为 ．
答案不唯一，如 4x>8．
0
x≥1
06
作业布置
【知识技能类作业】选做题：
8.一种药品的说明书上写着：“每日用量 120 180 mg，分 3 4 次服完．”一次服用这种药的剂量在什么范围
解：∵120÷3=40，120÷4=30，180÷3=60，180÷4=45，
∴ 若每天服用 3 次，则所需剂量为 40 60 mg 之间，
若每天服用 4 次，则所需剂量为 30 45 mg 之间，
∴ 一次服用这种药的剂量为 30 60 mg 之间．
06
作业布置
【综合拓展类作业】
9.已知不等式 a（1）当 a，b 为整数时，求 a，b 的值；
（2）当 a，b 为实数时，求 a，b 的取值范围．
10.满足和小于 13 的三个连续正整数有（ ）
A. 1 组 B. 2 组 C. 3 组 D. 4 组
解：（1） a=4，b=7
（2） 4≤a<5，7≤b<8
C
Thanks!
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