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(共49张PPT)
专题强化3　
竖直平面内圆周运动的两种模型及水平面内的临界问题
1.建立竖直平面内圆周运动的轻绳模型和轻杆模型，会应用动力学知识
分析轻绳和轻杆模型问题。
2.会分析水平面内圆周运动的临界问题，找到临界条件，列方程解决。
学习目标
01
强化点一　竖直平面内圆周运动的两种模型
02
强化点二　水平面内圆周运动的临界问题
03
课时作业
目 录
01
PART
强化点一　
竖直平面内圆周运动的两种模型
1. 轻绳模型：竖直（光滑）圆弧内侧的圆周运动、水流星的运动等，类似
轻绳一端的物体以轻绳另一端为圆心的竖直平面内的圆周运动。其特点是
在最高点无支撑。
2. 轻杆模型：竖直（光滑）圆管内的圆周运动、小球套在竖直圆环上的运
动等，类似轻杆一端的物体以轻杆另一端为圆心的竖直平面内的圆周运
动。其特点是在最高点有支撑。
项目 轻绳模型 轻杆模型
情境图示
最
高
点 受力特征 除重力外，物体可能
受到向下的弹力 除重力，物体可能受到向下
或向上的弹力
受力示意图
3. 两种基本模型的比较
项目 轻绳模型 轻杆模型
最
高
点 力学方程 mg＋FN＝m mg±FN＝m
临界特征 FN＝0，即mg＝
m，即vmin＝ v＝0时F向＝0，即FN＝mg
v＝的意义 物体能否过最高点的
临界速度 FN表现为拉力（压力）还是
支持力的临界速度
项目 轻绳模型 轻杆模型
过最高点的条件　 最高点的速度v≥ 最高点的速度v≥0
过最低点受力分析 FN－mg＝m 轻绳或圆轨道受拉力
或压力最大，存在绳
断的临界条件 FN－mg＝m
存在对杆拉力或对管压力的
最大值
【例1】　（轻绳模型）（10分）如图所示，长度为L＝1.6 m的轻绳，系
一小球在竖直平面内做圆周运动①，小球的质量为m＝0.5 kg，小球半径
不计，g取10 m/s2，求：
（1）小球刚好通过最高点②时的速度大小；
（2）小球通过最高点时的速度大小为8 m/s时③，轻绳的拉力大小；
（3）若轻绳能承受的最大张力为45 N④，小球速度的最大值。
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①长度为L＝1.6 m的轻绳，系一
小球在竖直平面内做圆周运动 小球用轻绳固定，在竖直平面内做圆周
运动，属于轻绳模型
②小球刚好通过最高点 小球通过最高点时轻绳的拉力为零
③小球通过最高点时的速度大小
为8 m/s时 小球通过最高点时的速度大于临界速度
时，轻绳对小球施加竖直向下的拉力
④轻绳能承受的最大张力为45 N 小球通过最低点时轻绳的拉力最大，最
容易达到轻绳能承受的最大张力
答案：（1）4 m/s　（2）15 N　（3）8 m/s
规范解答：（1）小球刚好通过最高点时，重力恰好提供向心力有mg＝
m　（2分）
得v1＝＝4 m/s。　（1分）
（3）分析可知小球通过最低点时轻绳的张力最大，在最低点，由牛顿第
二定律得
FT'－mg＝m　（2分）
将FT'＝45 N，代入解得v3＝8 m/s　（1分）
即小球的速度不能超过8 m/s。　（1分）
（2）小球通过最高点时的速度大小为8 m/s时，拉力和重力的合力提供向
心力
有FT＋mg＝m　（2分）
得FT＝15 N。　（1分）
方法技巧
流程法分析绳模型的临界问题：
【例2】　（轻杆模型）（2025·内蒙古呼和浩特高一期中）如图所示，可
视为质点、质量为m的小球，在半径为R的竖直放置的光滑圆形管道内做圆
周运动，重力加速度为g。下列说法中正确的是（　A　）
A
A. 小球能够到达最高点时的最小速度为0
B. 小球能够通过最高点时的最小速度为
C. 如果小球在最低点时的速度大小为5，则小球通过
最低点时对管道的外壁的作用力为6mg
D. 如果小球在最高点时的速度大小为2，则此时小球对管道的内壁的
作用力为3mg
解析：圆形管道内壁能支撑小球，小球能够通过最高点时的最小速度为
0，A正确，B错误； 根据牛顿第二定律得N1－mg＝m，解得N1＝26mg，
如果小球在最低点时的速度大小为5，则小球通过最低点时对管道的
外壁的作用力为26mg，C错误；根据牛顿第二定律得N2＋mg＝m，解得
N2＝3mg，如果小球在最高点时的速度大小为2，则此时小球对管道的
外壁的作用力为3mg，D错误。
02
PART
强化点二　
水平面内圆周运动的临界问题
1. 水平面内圆周运动常见的4类临界问题
（1）物体恰好（没有）发生相对滑动，静摩擦力达到最大值。
（2）物体恰好要离开接触面，物体与接触面之间的弹力为0。
（3）绳子恰好断裂，绳子的张力达到最大承受值。
（4）绳子刚好伸直，绳子的张力恰好为0。
2. 解题关键
（1）在圆周运动问题中，当出现“恰好”“最大”“至少”“取值范
围”等字眼时，说明运动过程中存在临界点。
（2）分析临界状态的受力，列出临界条件下的牛顿第二定律方程。
【例3】　（恰好不发生相对滑动的情形）如图所示，甲、乙两个物体放
在旋转圆台上，它们的质量均为m，它们与圆台之间的动摩擦因数均为μ，
甲物体离轴心距离为2R，乙物体离轴心距离为R。若滑动摩擦力等于最大
静摩擦力，重力加速度为g，当圆台旋转时，甲、乙两个物体都没有滑
动，则下列说法中正确的是（　D　）
D
A. 乙物体的向心加速度大
B. 乙物体受到的静摩擦力大
C. ω＝是甲物体开始滑动的临界角速度
D. 当圆台转速增加时，甲物体先滑动
解析：甲、乙两个物体随旋转圆台转动时，角速度相同，乙物体的旋转半
径小于甲物体的旋转半径，根据an＝ω2r可知，乙物体的向心加速度小于甲
物体的向心加速度，A错误；根据牛顿第二定律得Ff甲＝mω2·2R，Ff乙＝
mω2·R，可知甲受到的静摩擦力大，B错误；对甲物体，最大静摩擦力提供
向心力时，角速度达到临界值，则μmg＝m·2R，得ω甲＝，C错
误；对乙物体，最大静摩擦力提供向心力时，角速度达到临界值，则μmg
＝m·R，得ω乙＝，因为ω甲＜ω乙，当圆台转速增加时，甲物体先滑
动，D正确。
　（2025·四川绵阳高一下期末）如图所示，一圆盘可以绕其竖直轴在水平
面内转动，水平轻绳连接两个物体M和m，物体M在转轴位置上，绳刚好被
拉直且无拉力。两物体均看作质点，两物体与圆盘之间的动摩擦因数相
等。在圆盘转动的角速度从零慢慢增大的过程中（　　）
A. 绳中一直有拉力，且逐渐最大
B. 物体m一直受到圆盘的摩擦力
C. 物体M一直受到圆盘的摩擦力
D. 物体m和M受到圆盘的摩擦力大小相等
√
解析： 　m的向心力F向＝mrω2，当角速度从0开始增大，m由静摩擦力提
供向心力，且所受的静摩擦力开始增大；当m达到最大静摩擦力，角速度
继续增大，此时m靠拉力和静摩擦力的合力提供向心力，此时M开始受到
圆盘的静摩擦力作用，且随着角速度继续增大，拉力和M受到的圆盘的静
摩擦力都逐渐增大；随着角速度继续增大，拉力增大，当拉力和M的最大
静摩擦力相等时，角速度达到最大值。故选B。
03
PART
课时作业
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1. 〔多选〕在如图所示光滑轨道上，小球滑下经平直部分冲上圆弧部分的
最高点A时，对圆弧的压力为mg，已知圆弧的半径为R，则（　　）
A. 在最高点A，小球受重力和向心力
B. 在最高点A，小球受重力和圆弧轨道向下的弹力
C. 在最高点A，小球的速度为
D. 在最高点A，小球的向心加速度为2g
√
√
解析： 　小球在最高点A，受重力和圆弧轨道向下的弹力，由牛顿第二
定律得FN＋mg＝ma＝m，又FN＝mg，所以a＝2g，v＝，故B、D正
确，A、C错误。
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2. 水流星是一项中国传统民间杂技艺术。杂技演员用一根绳子兜着两个
碗，里面倒上水，迅速地旋转着做各种精彩表演，即使碗口朝下，碗里的
水也不会洒出来。用可视为质点的小球替代水碗，可将水流星抽象为竖直
平面内的圆周运动，轻质细绳长为L，重力加速度为g，则下列说法中正确
的是（　　）
A. 小球在最高点时的向心力一定等于重力
B. 小球在最高点时绳子的拉力不可能为零
C. 绳子越长，小球恰好通过最高点时的速度越大
D. 小球质量越大，小球恰好通过最高点时的速度越大
√
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解析： 　小球在最高点时的向心力不一定等于重力，可能是重力与拉力
的合力提供向心力，故A错误；小球恰好通过最高点时，绳子的拉力为
零，重力提供向心力，此时的速度满足Fn＝mg＝m，解得v＝，显然
绳子越长，速度越大，与小球质量无关，故C正确，B、D错误。
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3. （2025·江西宜春高一阶段练习）如图所示，用长为L的轻杆连着质量为
m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是（　　）
A. 小球在最高点时轻杆受到作用力可能为零
B. 小球在圆周最高点的向心力只由重力提供
C. 小球过最低点轻杆对小球的拉力可能等于小球的重力
D. 若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速
率为
√
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解析： 　当小球在最高点时的速度为v＝，此时小球靠重力提供向心
力，轻杆受到的作用力为零，故A正确；小球在圆周最高点的向心力可能
由重力和轻杆作用力的合力来提供，不一定只由重力提供，故B错误；在
最低点，小球靠拉力和重力的合力提供向心力，合力向上，则拉力大于重
力，故C错误；轻杆在最高点可以表现为拉力，可以表现为支持力，在最
高点的最小速度为零，可知小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，最高点
的速率为零，故D错误。
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4. （2025·四川省攀枝花市高一期末）如图所示，长为0.4 m的轻质杆OP的
P端与质量为0.2 kg、可视为质点的小球相连，小球以轻质杆的O端为圆心
在竖直平面内做圆周运动。小球通过最高点时的速率为3 m/s，重力加速度
g取10 m/s2，则此时轻杆受到的作用力为（　　）
A. 2.5 N的拉力 B. 2.5 N的压力
C. 4.5 N的拉力 D. 4.5 N的压力
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解析： 　小球通过最高点时的速率为3 m/s，设此时轻杆对小球的作用力
向下，以小球为对象，根据牛顿第二定律可得mg＋F＝m，解得F＝m
－mg＝0.2× N－0.2×10 N＝2.5 N，假设成立，根据牛顿第三定律可
知，此时轻杆受到的作用力为2.5 N的拉力。故选A。
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5. （2025·四川省绵阳市高一期中）在光滑水平面上，有一转轴垂直于此
平面，交点O的上方h处固定一细绳，绳的另一端连接一质量为m的小球
B，绳长l＞h，重力加速度为g，小球可随转轴转动在光滑水平面上做匀速
圆周运动，如图所示，要使小球不离开水平面，转轴角速度的最大值是
（　　）
A. B.
C. D.
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解析： 　小球不离开水平面的临界条件是水平面对小球的支持力为零，
设此时细绳与转轴的夹角为θ，有mgtan θ＝mω2lsin θ，有几何关系有h＝
lcos θ，整理有ω＝，故选B。
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6. （2025·河北省邯郸市高一期末）如图所示，桌面上放置一内壁光滑的
固定竖直圆环轨道，质量为M，半径为R。可视为质点的小球在轨道内做圆
周运动，其质量为m。小球在轨道最高点的速度大小为v0，重力加速度为
g，不计空气阻力，则（　　）
A. 当v0＝时，轨道对小球无支持力
B. 当v0＝时，轨道对桌面的压力为（M－m）g
C. 小球做圆周运动的过程中，合外力提供向心力
D. 小球在最高点时处于超重状态
√
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解析： 　当v0＝时，对小球受力分析，得mg＋FNm＝m＝2mg，得
FNm＝mg，根据牛顿第三定律，小球对圆环轨道的作用力与圆环轨道对小
球的作用力大小相等方向相反，对圆环轨道受力分析，得FNM＋FNm'＝
Mg，则FNM＝（M－m）g，A错误，B正确；小球做变速圆周运动，在小球
运动的过程中，除最高点和最低点由合外力提供向心力，其他位置都是由
合外力的分力提供向心力， C错误；小球在最高点时加速度向下，则处于
失重状态，D错误。
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7. （2025·四川遂宁高一阶段练习）某汽车厂利用下列方式来测量干燥情
况下汽车轮胎和地面间的动摩擦因数。如图所示，在一辆车内顶部用细线
悬挂一个小球P，使该车在水平路面上沿半径R＝8 m的圆弧弯道转弯。某
次转弯测试时，测试车辆在弯道上做匀速圆周运动，从车正后面看，车内
小球位置如图所示，此时细线与竖直线夹角为θ＝37°，转弯过程中，小
球和车辆保持相对静止，测试车辆刚好不发生侧滑，最大静摩擦力等于滑
动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6。求：
（1）此时车辆向左转还是向右转；
答案： 向左转　
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解析： 小球和车辆保持相对静止，对球进行受力分
析，如图所示
可知小球的向心力水平向左，所以车辆向左转。
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（2）车辆轮胎和地面之间的动摩擦因数μ和小车速度v。
答案： 0.75　2 m/s
解析：对小球有mgtan θ＝m
对车有μ（M＋m）g＝（M＋m）
解得μ＝0.75，v＝2 m/s。
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8. 如图所示，在匀速转动的圆盘圆心处通过一个光滑小孔把质量相等（均
为m）的两物块用轻绳连接，物块A到转轴的距离为R＝20 cm，与圆盘间
的动摩擦因数为μ＝0.2，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力（已知π2＝g），
则（　　）
A. 物块A一定会受圆盘的摩擦力
B. 当转速n＝0.5 r/s时，物块A不受摩擦力
C. 物块A所受摩擦力方向一定与线速度方向在一条直线上
D. 当圆盘转速n＝1 r/s时，物块A所受摩擦力方向沿半径背离圆心
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解析： 　若mg＝mω2R，则物块A不受摩擦力，A错误；当摩擦力为零
时，mg＝mω2R＝m（2πn）2R，代入数据解得n＝ r/s，B错误；物块A所
受摩擦力方向与半径在一条直线上，指向圆心或背离圆心，C错误；当圆
盘转速n＝1 r/s＜ r/s时，物块A有沿半径向内运动的趋势，所受摩擦力方
向沿半径背离圆心，D正确。
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9. 如图所示，水平转盘上的A、B、C三处有三块可视为质点的由同一种材
料做成的正方体物块，B、C处物块的质量均为m，A处物块的质量为2m；
A、B到轴O的距离均为r，C到轴O的距离为2r，转盘以某一角速度匀速转
动时，A、B、C三处的物块都没有发生滑动现象，下列说法中正确的是
（　　）
A. A处物块的向心加速度最大
B. B处物块受到的静摩擦力最小
C. 当转速增大时，最先滑动起来的是A处的物块
D. 当转速继续增大时，最后滑动起来的是C处的物块
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解析： 　三物块的角速度相等，C处物块的半径最大，根据an＝ω2r知，
向心加速度最大，故A错误；因为B处物块的质量最小，半径最小，根据Ff
＝mω2r，可知B处物块受到的静摩擦力最小，故B正确；根据μmg＝mω2r，
可得ω＝，C处物块的半径最大，临界角速度最小，所以C处物块最先
滑动起来，故C、D错误。
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10. （2025·南通市高一期末）如图所示，一质量为m的小球用长度均为L的
两轻绳a、b连接，绳a的另一端固定在竖直细杆的P点，绳b的另一端固定
在杆上距P点为L的Q点。当杆绕其竖直中心轴匀速转动时，将带动小球在
水平面内做匀速圆周运动。不计空气阻力，重力加速度为g。
（1）当绳b刚好拉直（无弹力）时，求小球的线速度大小v；
答案： 　
解析： 圆周运动的半径r＝Lcos 30°
小球所受的合力提供向心力mgtan 60°＝m
解得v＝。
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（2）若两绳能承受的最大拉力均为4mg，求小球绕杆做圆周运动的最小周
期T。
答案： π
解析：竖直方向Fasin 30°＝Fbsin 30°＋mg
水平方向Facos 30°＋Fbcos 30°＝mr
当小球做圆周运动的周期减小时，a绳先达到最大拉力Fa＝4mg
解得T＝π。
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11. （2025·广东省东莞市高一期中）如图所示，竖直平面内有一圆弧管
道，其半径为R＝0.5 m，质量m＝0.8 kg的小球从平台边缘的A处水平射
出，恰能沿圆弧管道上P点的切线方向进入管道内侧，管道半径OP与竖直
线的夹角为53°，已知管道最高点Q与A点等高，sin 53°＝0.8，cos 53°
＝0.6，g取10 m/s2。
（1）求小球从平台上的A点射出时的速度大小v0；
答案： 3 m/s　
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解析： 小球从A到P的高度差为h＝R（1＋cos 53°）＝0.8 m
小球做平抛运动，竖直方向有h＝gt2
解得t＝0.4 s
则小球在P点的竖直分速度为vy＝gt＝4 m/s
把小球在P点的速度分解可得tan 53°＝
解得小球平抛运动初速度为v0＝3 m/s。
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（2）如果小球沿管道通过圆弧的最高点Q时的速度大小为3 m/s，求小球运
动到Q点时对管道的压力；
答案： 6.4 N，方向竖直向上
解析：小球到达Q时，速度为vQ＝3 m/s
设小球受到的弹力向下，根据牛顿第二定律可得FN＋mg＝m
解得FN＝6.4 N
由牛顿第三定律可知，小球通过管道的最高点Q时对管道的压力大小为6.4
N，方向竖直向上。
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（3）由于不同小球与管道的摩擦不同，从最高点Q飞出速度范围为0～3
m/s的小球，小球落在地面上最近的点为M，最远的点为N，求MN的距离
（计算结果可用根号表示）。
答案： m
解析：小球从Q点到地面做平抛运动，设小球在Q点速度为v1时，刚好经过P
点落到地面上，则竖直方向有R（1＋cos 53°）＝g
解得t1＝0.4 s
水平方向有v1＝＝1 m/s
小球从Q点到地面过程，竖直方向有2R＝g
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解得t2＝＝ s
水平方向有x＝vQt2
则小球落在地面上最近点M与最远点N的距离为
Δx＝（vmax－v1）t2＝（3－1）× m＝ m。
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THANKS
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