资源简介

(共55张PPT)
专题强化4　
应用万有引力定律解决“三个”热点问题
1.理解卫星变轨和对接过程，会分析变轨过程中各物理量的变化。
2.理解天体运动中的追及与相遇问题。
3.掌握双星和多星模型的特点，会分析相关问题。
学习目标
01
强化点一　卫星的变轨和对接
02
强化点二　卫星的追及与相遇
03
强化点三　“双星”和“多星”模型
目 录
04
课时作业
01
PART
强化点一　卫星的变轨和对接
1. 卫星的稳定运行与变轨
（1）稳定运行
卫星绕天体稳定运行时，万有引力提供卫星做圆周运动的向心力，即
G＝m。
（2）变轨运行
当卫星由于某种原因，其速度v突然变化时，F引和m不再相等，会出现以
下两种情况：
①当F引＞m时，卫星做近心运动；
②当F引＜m时，卫星做离心运动。
2. 变轨过程中各物理量的分析（如图所示）
（1）两个不同轨道的“切点”处线速度v不相等，图中vⅢB＞vⅡB，vⅡA＞
vⅠA。
（2）同一个椭圆轨道上近地点和远地点线速度大小不相等，从远地点到
近地点线速度逐渐增大。
（3）两个不同圆轨道上的线速度v不相等，轨道半径越大，v越小，图中vⅠ
＞vⅢ。
（4）不同轨道上的运行周期T不相等。根据开普勒第三定律＝k知，内侧
轨道的周期小于外侧轨道的周期。图中TⅠ＜TⅡ＜TⅢ。
（5）两个不同轨道的“切点”处向心加速度an相同，图中aⅢB＝aⅡB，aⅡA
＝aⅠA。
3. 飞船对接问题
（1）低轨道飞船与高轨道空间站对接
如图甲所示，低轨道飞船通过合理的加速，沿椭圆轨道（做离心运动）追
上高轨道空间站与其完成对接。
（2）同一轨道飞船与空间站对接
如图乙所示，后面的飞船先减速降低高度，再加速提升高度，通过适当控
制，使飞船追上空间站时恰好具有相同的速度。
【例1】　（卫星的稳定运行与变轨）〔多选〕（2025·山东枣庄高一下期
中）稳定运行在轨道3的飞船需要变轨返回地球，其中轨道1和轨道3为圆
轨道，半径分别为r1和r3，椭圆轨道2为飞船的转移轨道。轨道1和2、2和3
分别相切于P、Q两点。关于变轨过程，下列说法正确的是（　CD　）
CD
A. 在Q点，a3＞a2Q，在P点，a2P＞a1
B. 飞船在椭圆轨道2上经过P、Q两点时，vP＜vQ
C. 在Q点，v3＞v2Q，在P点，v2P＞v1
D. 进入轨道1后，会有稀薄大气阻力，则飞船在无动力
情况下，速度会逐渐减小而降轨
解析：根据万有引力提供向心力，有G＝ma，在轨道2和3的Q点上a3＝
a2Q，同理在P点，a2P＝a1，A错误；飞船在椭圆轨道2上经过P、Q两点
时，近地点速度大于远地点速度， vP＞vQ，B错误；在圆形轨道3的Q点，
减速会进入椭圆轨道2，所以v3＞v2Q，在轨道2的P点减速进入圆形轨道1
中，v2P＞v1，C正确；进入轨道1后，会有稀薄大气阻力，则飞船在无动力
情况下，速度逐渐减小，由于万有引力F引＞，卫星做近心运动，故轨
道降低，D正确。
【例2】　（卫星的变轨与对接）（2025·湖北省十
一校联考）北京时间2025年1月7日04时00分，我国
在西昌卫星发射中心使用长征三号乙运载火箭，成
功将实践25号卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨
道，该卫星主要用于卫星燃料补加与延寿服务技术
验证。经过一个月的时间，实践25号卫星抵达同步轨道，并成功给北斗三号G7星加注了142公斤肼类燃料，实现了全球首次卫星在轨加注燃料。若后期还要给同轨道上的另一颗卫星A加注燃料，加注前两卫星的位置如图所示，则是要想实现加注燃料，对实践25号卫星操作正确的是（　B　）
B
A. 实践25号卫星直接加速与卫星A对接即可
B. 实践25号卫星和卫星A对接时具有相同的速度
C. 实践25号卫星受到地球的万有引力一定大于卫星A受到地球的万有引力
D. 实践25号卫星对卫星A加注燃料时处于静止状态
解析：航天器对接，后面的航天器应先减速降低高度，再加速提升高度，
通过适当控制，使后面的航天器追上前面的航天器时恰好具有相同的速
度，相对静止，故B正确，A、D错误；由于不知道实践25号卫星和卫星A
的质量大小，故无法比较受到地球的万有引力大小，故C错误。
02
PART
强化点二　卫星的追及与相遇
1. 天体运动中的“追及相遇”问题：指有些星体绕同一中心天体做圆周运
动，他们的轨道共面，绕行方向一致，在运行中会出现相距“最近”与
“最远”的问题：
（1）当它们在中心天体同侧与中心天体共线时相距最近，称为“相
遇”。
（2）当它们在中心天体异侧与中心天体共线时相距最远。
2. 处理方法：绕同一中心天体做圆周运动的两颗星体之间的距离最近或最
远时，它们都处在同一条直线上，可通过星体运动转过的圆心角来比较。
从两个星体的位置在中心天体同侧且与中心天体共线时开始计时，内侧轨
道的星体所转过的圆心角与外侧轨道的星体所转过的圆心角之差：
（1）等于2π的整数倍时就是相距最近的时刻，即ω内t－ω外t＝k·2π ，k＝
1，2，3，…
（2）等于π的奇数倍时就是相距最远的时刻，即ω内t－ω外t＝（2k－
1）·π ，k＝1，2，3，…
【例3】　（卫星相距最近与最远问题）（2025·江苏省常州
市高一阶段练习）如图所示，有A、B两颗行星绕同一恒星O
做圆周运动，运行方向相反。A行星的周期为TA，B行星的周
期为TB，在某一时刻两行星相距最近，则（　A　）
A
A. 经过时间t＝，两行星将再次相距最近
B. 经过时间t＝，两行星将再次相距最近
C. 经过时间t＝（n＝1，2，3，4，5，…），两行星相距最远
D. 经过时间t＝（n＝1，3，5，…），两行星相距最远
解析：有A、B两颗行星绕同一恒星O做圆周运动，运行方向相反，当A、
B再次相距最近时，即A、B转过的角度之和为2π，即t＝2π，解
得t＝，故A正确，B错误；经过时间t，A、B相距最远，则有
t＝nπ（n＝1，3，5，…），解得t＝（n＝1，3，5…），故
C、D错误。
〔多选〕（2025·山东省泰安市新泰一中月考）随着科技的发展，人类的脚
步已经踏入太空，并不断向太空发射人造卫星以探索地球和太空的奥秘。
如图为绕地球旋转的两颗人造地球卫星，它们绕地球旋转的角速度分别为
ω1、ω2。关于它们的运动，下列说法正确的是（　　）
A. 卫星1绕地球旋转的周期小于卫星2
B. 卫星1绕地球旋转的角速度小于卫星2
C. 卫星1绕地球旋转的向心加速度小于卫星2
D. 若某一时刻卫星1、2以及地心处在同一直线上，我们说此时两颗卫星
相距最近。从此时开始计时，两卫星要再次相距最近，需要的时间为t
＝
√
√
解析： 　根据G＝mr＝mω2r＝ma得T＝，ω＝，a＝
，卫星1的运动半径小于卫星2的运动半径，则卫星1绕地球旋转的周期
小于卫星2，卫星1绕地球旋转的角速度大于卫星2，卫星1绕地球旋转的向
心加速度大于卫星2，A正确，B、C错误；两卫星要再次相距最近，卫星1
比卫星2多转动一周，则有ω1t－ω2t＝2π，可得t＝，D正确。
03
PART
强化点三　“双星”和“多星”模型
1. “双星”模型
（1）如图所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离
其他星球都较远，其他星球对它们的万有引力可以忽略不计。在这种情况
下，它们将围绕其连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，通
常，我们把这样的两个星球称为“双星”。
（2）处理方法：双星间的万有引力提供了它们做圆周运动的向心力，即
G＝m1ω2r1，G＝m2ω2r2，可得m1r1＝m2r2。
（3）特点
①两星围绕它们之间连线上的某一点做匀速圆周运动，两星的运行周期、
角速度相同。
②两星所需的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供。
③两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1＋r2＝L，轨道半径与两
星质量成反比。
2. “多星”模型
三星模型 四星模型
（1）运动特点
转动方向、周期、角速度、线速度大小均相同。
（2）受力特点
圆周运动半径都相等，各星所受万有引力的合力提供其做圆周运动所需的
向心力。
【例4】　（双星模型）（2025·江苏省镇江市高一期中）宇宙中两颗相距
较近的天体称为“双星”，它们以二者连线上的某一点为圆心做匀速圆周
运动，而不至因为万有引力的作用而吸引到一起。如图所示，某双星系统
中A、B两颗天体绕O点做匀速圆周运动，它们的轨道半径之比rA∶rB＝
1∶2，则两颗天体的（　A　）
A
A. 质量之比mA∶mB＝2∶1
B. 角速度之比ωA∶ωB＝1∶2
C. 线速度大小之比vA∶vB＝2∶1
D. 双星间距离一定，双星的质量之和越大，其转动周期越大
解析：双星运动的角速度大小相等，即ωA∶ωB＝1∶1，故B错误；由万有
引力提供向心力有＝mAω2rA＝mBω2rB，解得mA∶mB＝rB∶rA＝
2∶1，故A正确；由公式v＝ωr可得，线速度大小之比vA∶vB＝rA∶rB＝
1∶2，故C错误；由万有引力提供向心力有＝mArA＝mBrB，解
得mA＝，mB＝，则T＝，可知，双星间距离一
定，双星的质量之和越大，其转动周期越小，故D错误。
【例5】　（多星模型）（2025·甘肃省白银市高一期末）如图所示，宇宙
中存在着离其他恒星较远、由质量均为m的三颗星组成的三星系统，可忽
略其他星体对三星系统的影响。三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央
星在同一半径为R的轨道上运行，引力常量为G。则这两颗星绕中央星运行
的周期为（　C　）
C
A. πR B. 2πR
C. 4πR D. 6πR
解析：左边星体受到中央星和右边星体的两个万有引力作用，其向心
力由它们的合力充当，则G＋G＝mR，解得T＝
4πR，故选C。
04
PART
课时作业
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1. （2025·广东深圳期末）2024年3月20日，长征八号火箭成功发射，将鹊
桥二号直接送入预定地月转移轨道。如图所示，鹊桥二号在进入近月点
P、远月点A的月球捕获椭圆轨道，开始绕月球飞行。经过多次轨道控制，
鹊桥二号最终进入近月点P和远月点B、周期为24小时的环月椭圆轨道。关
于鹊桥二号的说法正确的是（　　）
A. 离开火箭时速度大于地球的第三宇宙速度
B. 在捕获轨道运行的周期大于24小时
C. 在捕获轨道上经过P点时，需要点火加速，才可能
进入环月轨道
D. 经过A点的加速度比经过B点时大
√
解析： 　鹊桥二号离开火箭时速度要大于第一宇宙速度小于第二宇宙速
度，才能进入环月轨道，A错误；由开普勒第三定律＝k，鹊桥二号在捕
获轨道上运行的周期大于在环月轨道上运行的周期，B正确；在P点要由捕
获轨道变轨到环月轨道，做近心运动，必须降低速度，经过P点时，需要
点火减速，C错误；根据万有引力提供向心力知G＝ma，解得a＝，
则经过A点的加速度比经过B点时小，D错误。
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2. 银河系的恒星中大约四分之一是双星，某双星由质量不等的星体S1和S2
构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速
圆周运动。由天文观察测得其运动周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2之
间的距离为r，已知引力常量为G。由此可求出S2的质量为（　　）
A. B.
C. D.
解析： 以S1为研究对象，S1做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得G
＝m1r1，解得m2＝，故选D。
√
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3. （2025·安徽省马鞍山市高一期中）某卫星在赤道上空飞行，轨道平面
与赤道平面重合，轨道半径为r（约600公里的高度），飞行方向与地球的
自转方向相同。设地球的自转角速度为ω0，地球半径为R，地球表面重力
加速度为g，在某时刻该卫星通过赤道上某建筑物的正上方，则到它下次
通过该建筑物正上方所需的时间可能为（　　）
A. B. 2π
C. 2π D.
√
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解析： 　人造卫星绕地球做匀速圆周运动，根据万有引力提供向心力，
设卫星的质量为m、轨道半径为r、地球质量为M，有F＝F向，因而G＝
mω2r，解得ω＝，卫星再次经过某建筑物的上空，卫星多转动一圈，
有（ω－ω0）t＝2π，根据mg＝，可知地球表面的重力加速度为g＝
，联立解得t＝，故选A。
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4. （2025·江西省宜春市高一阶段练习）一个由恒星A和B组成的双星系
统，现在它们间的距离为L，并以两者连线上的某点为圆心做匀速圆周运
动，运动周期为T。已知恒星A的质量小于恒星B的质量，引力常量为G，
则（　　）
A. A的质量为
B. A做圆周运动的周期比B的大
C. A做圆周运动的半径比B的小
D. A做圆周运动的线速度比B的大
√
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解析： 　双星围绕同一圆心转动，则周期相同，角速度相同，根据
G＝mArA＝mBrB，可得mA＋mB＝，mArA＝mBrB，已知恒星
A的质量小于恒星B的，可知A做圆周运动的半径比B的大；根据v＝ωr，可
知，A做圆周运动的线速度比B的大，故D项正确，A、B、C错误。
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5. 2024年6月2日上午6时23分，嫦娥六号成功着陆月球背面。设想嫦娥六
号被月球俘获后进入椭圆轨道Ⅰ上运行，周期为T1；当经过近月点M点时启
动点火装置，完成变轨后进入圆形轨道Ⅱ上运行，周期为T2。已知月球半
径为R，圆形轨道Ⅱ距月球表面的距离为R，椭圆轨道Ⅰ远月点距月球表面的
距离为5R，如图所示，引力常量为G。忽略其他天体对嫦娥六号的影响，
则下列说法正确的是（　　）
A. T2＞T1
B. 嫦娥六号在椭圆轨道上近月点与远月点速率之比为
3∶1
C. 月球第一宇宙速度小于轨道Ⅱ上的运行速度
D. 嫦娥六号想进入轨道Ⅱ需要在M点点火使其加速才能完成
√
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解析： 　轨道Ⅰ的半长轴比轨道Ⅱ的半径大，根据开普勒第三定律可知T2
＜T1，故A错误；根据开普勒第二定律v1×2R＝v2×6R，得到速率之比
v1∶v2＝3∶1，故B正确；根据万有引力提供向心力G＝m，可得v＝
，月球第一宇宙速度为月球表面的环绕速度，可知月球第一宇宙速度
大于轨道Ⅱ上的运行速度，故C错误；嫦娥六号由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ，半径减
小，做近心运动，需要点火减速，故D错误。
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6. （2025·河南安阳开学考试）“双星系统”由两颗相距较近的恒星组
成，每个恒星的直径远小于两个星体之间的距离，而且双星系统一般远离
其他天体。如图所示，两颗星球组成的双星，在相互之间的万有引力作用
下，绕连线上的O点做周期相同的匀速圆周运动。现测得两颗星之间的距
离为L，质量之比为m1∶m2＝3∶2。则可知（　　）
A. m1、m2做圆周运动的角速度之比为3∶2
B. m1、m2做圆周运动的向心力之比为3∶2
C. m1、m2做圆周运动的半径之比为3∶2
D. m1、m2做圆周运动的线速度之比为2∶3
√
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解析： 　根据双星系统的特点可知，m1、m2做圆周运动的角速度相同，
即角速度之比为1∶1，故A错误；万有引力提供向心力，由于相互作用的
万有引力大小相等，所以m1、m2做圆周运动的向心力大小相等，即向心力
之比为1∶1，故B错误；由于m1、m2做圆周运动的向心力大小相等，则有
m1ω2r1＝m2ω2r2，可得m1、m2做圆周运动的半径之比为r1∶r2＝m2∶m1＝
2∶3，根据v＝ωr，由于角速度相等，则m1、m2做圆周运动的线速度之比
为v1∶v2＝r1∶r2＝2∶3，故C错误，D正确。
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7. 〔多选〕如图所示，甲、乙、丙是位于同一直线上的离其他恒星较远的
三颗恒星，甲、丙围绕乙在半径为R的圆轨道上运行，若三颗星质量均为
M，万有引力常量为G，则（　　）
A. 甲星所受合外力为
B. 乙星所受合外力为
C. 甲星和丙星的线速度相同
D. 甲星和丙星的角速度相同
√
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解析： 　甲星所受合外力为乙、丙对甲星的万有引力的合力，则有F甲
＝G＋G＝，故A正确；根据对称性可知，甲、丙对乙星的
万有引力等大反向，乙星所受合外力为零，故B错误；结合上述分析，根
据牛顿第二定律有＝M，解得v＝，由于甲、丙的轨道半径相
等，所以线速度大小相等，但方向不同，故线速度不同，故C错误；根据v
＝ωR，可知，甲、丙角速度相同，故D正确。
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8. 〔多选〕“嫦娥五号”从地球发射到月球过程的路线示意图如图所示。关于“嫦娥五号”的说法正确的是（　　）
A. 在P点由a轨道转变到b轨道时，速度必须变小
B. 在Q点由d轨道转变到c轨道时，要加速才能实现（不计“嫦娥五号”的
质量变化）
C. 在b轨道上，“嫦娥五号”在P点的速度比在R点的速度大
D. “嫦娥五号”在a、b轨道上正常运行时，通过同一点P时，加速度相等
√
√
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解析： 　“嫦娥五号”在a轨道上的P点进入b轨道，需加速，使其做圆
周运动所需的向心力大于万有引力而做离心运动，选项A错误；在Q点由d
轨道转变到c轨道时，必须减速，使其做圆周运动所需的向心力小于万有引
力而做近心运动，选项B错误；根据开普勒第二定律可知，在b轨道上，
“嫦娥五号”在P点的速度比在R点的速度大，选项C正确；根据G＝
man可知，“嫦娥五号”在a、b轨道上正常运行时，通过同一点P时，加速
度相等，选项D正确。
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9. 〔多选〕（2025·山师大附中高一月考）三颗人造卫星A、B、C都在赤
道正上方同方向绕地球做匀速圆周运动，A、C为地球同步卫星，某时刻
A、B相距最近，如图所示。已知地球自转周期为T1，B的运行周期为T2，
则下列说法正确的是（　　）
A. C加速可追上同一轨道上的A
B. 经过时间，A、B首次相距最远
C. A、C向心加速度大小相等，且小于B的向心加速度
D. 在相同时间内，C与地心连线扫过的面积等于B与地心连线
扫过的面积
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解析： 　卫星C加速后做离心运动，轨道变高，不可能追上卫星A，A错
误；A、B两卫星由相距最近至相距最远时，两卫星转的圈数至少差半圈，
设经历时间为t，有－＝，解得t＝，B正确；由a＝及rA＝
rC＞rB，可知A、C向心加速度大小相等，且小于B的向心加速度，C正确；
轨道半径为r的卫星，其周期T＝2π，则该卫星在单位时间内扫过的面
积S0＝＝，由于rC＞rB，所以在相同时间内，C与地心连线扫过
的面积大于B与地心连线扫过的面积，D错误。
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10. 〔多选〕天文学家首次在正常星系中发现的超大质量双黑洞如图所
示。若图中双黑洞的质量分别为M1和M2，双黑洞间距离为L，它们以两者
连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动。根据所学知识，下列选项正确的
是（　　）
A. 双黑洞的轨道半径之比r1∶r2＝M2∶M1
B. 双黑洞的线速度之比v1∶v2＝M1∶M2
C. 双黑洞的向心加速度之比a1∶a2＝M1∶M2
D. 它们的运动周期为T＝2π
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解析： 　双黑洞做圆周运动的向心力由它们之间的万有引力提供，向心
力大小相等，由G＝M1ω2r1＝M2ω2r2可得双黑洞的轨道半径之比r1∶r2
＝M2∶M1，选项A正确；由v＝ωr可得双黑洞的线速度之比v1∶v2＝r1∶r2
＝M2∶M1，选项B错误；由a＝ω2r可得双黑洞的向心加速度之比a1∶a2＝
r1∶r2＝M2∶M1，选项C错误；由G＝M1r1＝M2r2和r1＋r2＝
L可得T＝2π，选项D正确。
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11. （2025·江西九江阶段练习）北京时间2024年11月25日7时39分，我国
在酒泉卫星发射中心使用长征二号丙运载火箭，成功将四维高景二号03星
发射升空，卫星顺利送入预定轨道，发射任务获得圆满成功。发射可简化
为如图所示过程，先将卫星发射到半径为r的圆轨道Ⅰ上做匀速圆周运动，
卫星运动到A点时变轨进入椭圆轨道Ⅱ，运动到椭圆轨道Ⅱ的远地点B时，
再次变轨进入半径为2r的圆轨道Ⅲ做匀速圆周运动。下列判断正确的是
（　　）
A. 卫星在椭圆轨道A和B处的速度大小之比等于∶1
B. 卫星在椭圆轨道A和B处的加速度大小之比等于2∶1
C. 要实现从圆轨道Ⅰ上的A处进入椭圆轨道，发动机需要向
后喷气
D. 要实现从椭圆轨道B处进入圆轨道Ⅲ，发动机需要向前
喷气
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解析： 　根据开普勒第二定律有vA·Δt·rA＝vB·Δt·rB，解得vA∶vB＝rB∶rA
＝2r∶r＝2∶1，故A错误；根据牛顿第二定律有G＝ma，化简得a＝
，解得aA∶aB＝∶＝4∶1，故B错误；要实现从圆轨道Ⅰ上的A处进
入椭圆轨道，发动机需要向后喷气加速，故C正确；要实现从椭圆轨道B处
进入圆轨道Ⅲ，发动机需要向后喷气加速，故D错误。
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12. 如图所示，质量分别为mA和mB的两个星球A和B在万
有引力作用下都绕O点做匀速圆周运动，星球A和B两者中
心之间距离为L。已知A、B的中心和O三点始终共线，A
和B分别在O的两侧，引力常量为G。
（1）求A星球做圆周运动的半径rA和B星球做圆周运动的半径rB；
答案： L　L
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解析： 两星球做圆周运动的向心力由万有引力提供，
有G＝mArA，G＝mBrB
可得＝
又因为L＝rA＋rB
解得rA＝L，rB＝L。
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（2）求两星球做圆周运动的周期；
答案： 2π　
解析：由G＝mArA和rA＝L
两式联立解得T＝＝2π。
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（3）如果把星球A质量的搬运到B星球上，并保持A和B两者中心之间的
距离仍为L，那么组成新的稳定双星后星球A做圆周运动的半径和周期如何
变化？
答案： 半径变大　周期不变
解析：根据rA＝L，且总质量（mA＋mB）不变，知mB变大，rA变大
根据T＝2π，知周期不变。
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