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(共58张PPT)
专题强化2　
平抛运动与斜面相结合的问题及临界极值问题
1.掌握平抛运动与斜面结合问题的解题方法。
2.会分析有关平抛运动的临界和极值问题。
3.会用平抛运动的分析方法分析类平抛运动。
学习目标
01
强化点一　与斜面关联的平抛运动
02
强化点二　平抛运动的临界极值问题
03
强化点三　类平抛运动
目 录
04
课时作业
01
PART
强化点一　与斜面关联的平抛运动
两类常见的运动情景及解题策略
已知条件 情景示例 解题策略
已知速 度方向 从斜面外水平抛出，垂直落在斜面
上，如图所示，已知速度的方向垂直
于斜面 分解速度，构建速
度矢量三角形：
vx＝v0
vy＝gt
tan θ＝＝
已知条件 情景示例 解题策略
已知速 度方向 从斜面外水平抛出，恰好无碰撞地进
入斜面轨道，如图所示，已知该点速
度沿斜面方向 分解速度：
vx＝v0
vy＝gt
tan α＝＝
已知条件 情景示例 解题策略
已知 位移 方向 从斜面上水平抛出又落到斜面上，如
图所示，已知位移的方向沿斜面向下 分解位移，构建位
移矢量三角形：
x＝v0t
y＝gt2
tan θ＝＝
已知条件 情景示例 解题策略
已知 位移 方向 在斜面外水平抛出，落在斜面上位移
最小，如图所示，已知位移方向垂直
斜面 分解位移：
x＝v0t
y＝gt2
tan θ＝＝
【例1】　（从斜面上水平抛出的情形）（2025·江苏省徐州市高一阶段练
习）如图所示，AB为固定斜面，倾角为30°，小球从A点以初速度v0水平
抛出，恰好落到B点。求：（空气阻力不计，重力加速度为g）
（1）小球在空中飞行的时间及A、B间的距离；
答案： 　　
解析： 位移与水平方向的夹角为30°，设小球在空中飞行时间为t1，
则有
tan 30°＝＝
解得运动的时间t1＝
AB间的距离：s＝
解得s＝。
（2）从抛出开始，经过多长时间小球与斜面间的距离最大？最大距离为
多大？
答案： 　
解析： 当小球的速度方向与斜面平行，距离斜面最远，根据tan 30°
＝＝
则经历的时间：t2＝
将小球的速度和加速度分解为沿斜面方向和垂直斜面方向，则有vy'＝v0sin
θ，ay＝gcos θ
则最大距离H＝＝
解得H＝。
【例2】　（对着斜面水平抛出的情形）一水平抛出的小球落到一倾角为θ
的斜面上时，其速度方向与斜面垂直，运动轨迹如图所示。小球在竖直方
向下落的距离与在水平方向通过的距离之比为（　D　）
A. tan θ B. 2tan θ
C. D.
D
解析：如图所示，设小球抛出时的初速度为v0，运动时间为
t，则vx＝v0，vy＝，vy＝gt，x＝v0t，y＝，联立可得
＝，故D正确。
【例3】　（对着曲面水平抛出的情形）（2025·云南省玉溪三中高一期
末）如图所示，AB为一半径为R的圆弧，圆心位置O，一小球从与圆心等
高的某点沿半径方向水平抛出，恰好垂直落在AB面上的Q点，且速度与水
平方向夹角为53°，则小球从抛出点到Q点的水平距离为（　D　）
A. 0.6R B. 0.8R
C. R D. 1.2R
D
解析：如图所示，小球恰好垂直落在AB面上的Q点，作速
度的反向延长线，交于O点，由平抛运动的推论可知，速
度反向延长线通过水平位移的中点，故tan 53°＝，结合
圆的几何关系可得＋y2＝R2，联立可解得x＝1.2R，D正确。
02
PART
强化点二　平抛运动的临界极值问题
1. 常见的“三种”临界特征
（1）有些题目中有“刚好”“恰好”“正好”等字眼，明显表明题述的
过程中存在着临界点。
（2）若题目中有“取值范围”“多长时间”“多大距离”等词语，表明
题述的过程中存在着“起、止”点，而这些起、止点往往就是临界点。
（3）若题目中有“最大”“最小”“至多”“至少”等字眼，表明题述
的过程中存在着极值点，这个极值点往往是临界点。
2. 平抛运动临界问题的分析方法
（1）确定研究对象的运动性质。
（2）根据题意确定临界状态。
（3）确定临界轨迹，画出轨迹示意图。
（4）应用平抛运动的规律，结合临界条件列方程求解。
【例4】　如图所示，窗子上、下沿间的高度H＝1.6 m，墙的厚度d＝0.4
m，某人在离墙壁距离L＝1.4 m、距窗子上沿h＝0.2 m处的P点，将可视
为质点的小物件以大小为v的速度水平抛出，小物件直接穿过窗口并落在水
平地面上，取g＝10 m/s2。则v的取值范围是（　C　）
C
A. v≥7 m/s
B. v≤2.3 m/s
C. 3 m/s≤v≤7 m/s
D. 2.3 m/s≤v≤3 m/s
解析：小物件做平抛运动，恰好擦着窗口上沿右侧穿过时v最大，此时有L
＝vmaxt，h＝gt2，代入数据解得vmax＝7 m/s；恰好擦着窗口下沿左侧穿过
时速度v最小，则有L＋d＝vmint'，H＋h＝gt'2，代入数据解得vmin＝3 m/s，
故v的取值范围是3 m/s≤v≤7 m/s，故C正确，A、B、D错误。
【例5】　（平抛运动的临界极值问题）〔多选〕如图所
示，水平面上放置一个直径d＝1 m、高h＝1 m的无盖薄油
桶，沿油桶底面直径AB距左桶壁x＝2 m处的正上方有一点
P，P点的高度H＝3 m，从P点沿直径AB方向水平抛出一
小球，不考虑小球的反弹和空气阻力，下列说法正确的是
（取g＝10 m/s2，CD为桶顶平行AB的直径）（　ACD　）
ACD
A. 小球的速度范围为 m/s＜v＜ m/s时，小球击中油桶的内壁
B. 小球的速度范围为 m/s＜v＜ m/s时，小球击中油桶的下底
C. 小球的速度范围为 m/s＜v＜ m/s时，小球击中油桶外壁
D. 若P点的高度变为1.8 m，则小球无论初速度多大，均不能直接落在桶
底（桶边沿除外）
解析：当小球落在A点时，有H＝gt2，x＝vAt，联立解得vA＝x＝
m/s，同理可知，当小球落在D点时，vD＝x＝ m/s；当小球
落在B点时，vB＝（x＋d）＝ m/s，当小球落在C点时，vC＝（x＋
d）＝ m/s，小球要击中油桶内壁，速度范围满足vB＜v＜
vC，小球击中油桶下底，速度范围满足vD＜v＜vB，小球击中油桶外壁，速
度范围满足vA＜v＜vD，故选项A、C正确，B错误；若P点的高度变为H0，运动轨迹同时过D点和B点，则此时初速度v'＝x＝（x＋d），解得H0＝1.8 m，在此高度上，小球无论初速度多大，都不能直接落在桶底（桶边沿除外），故选项D正确。
03
PART
强化点三　类平抛运动
1. 类平抛运动的概念
凡是合外力恒定且垂直于初速度方向的运动都可以称为类平抛运动。
2. 类平抛运动的特点
（1）初速度的方向不一定是水平方向，合力的方向也不一定是竖直向
下，但合力的方向应与初速度方向垂直。
（2）加速度不一定等于重力加速度g，但应恒定不变。
3. 类平抛运动的分析方法
（1）类平抛运动可看成是沿初速度方向的匀速直线运动和垂直初速度方
向的由静止开始的匀加速直线运动的合运动。
（2）处理类平抛运动的方法和处理平抛运动的方法类似，但要分析清楚
加速度的大小和方向。
【例6】　（斜面上的类平抛运动问题）如图所示，将质量为m的小球从倾
角为θ的光滑斜面上A点以初速度v0水平抛出（即v0∥CD），小球运动到B
点，已知A点的高度为h，重力加速度为g，求：
（1）小球加速度的大小；
答案： gsin θ　
解析： 小球从A点抛出后在斜面上做类平抛运动。由牛顿第二定律得
mgsin θ＝ma
解得a＝gsin θ。
（2）小球到达B点的时间；
答案： 　
解析： 小球在沿斜面向下的方向做初速度为零的匀加速直线运动，
有＝at2
解得t＝。
（3）小球到达B点时的速度大小。
答案：
解析： 小球沿水平方向做匀速直线运动，有vx＝v0，小球在沿斜面向
下的方向做初速度为零的匀加速直线运动，有vy＝at
则小球到达B点时的速度大小为
vB＝＝。
【例7】　（12分）（风洞）（2025·广东深圳高一下期末）
风洞，被称为飞行器的摇篮，我国的风洞技术世界领先。
如图所示，在一次实验中，风洞竖直放置且足够长，质量
为m的小球从A点以速度v0＝10 m/s沿直径水平进入风洞①。
小球在风洞中运动时受到的风力F恒定，方向竖直向上，风
力大小F可在0～3mg间调节②。小球可视作质点，碰壁后不
反弹，重力加速度g取10 m/s2，风洞横截面直径L＝10 m。
（1）当F＝0时③，求小球撞击右壁的速度大小和方向；
（2）保持v0不变，调节F的大小④，求小球撞击右壁的区域长度。
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①沿直径水平进入风洞 ①小球初速度方向水平
②风力F恒定，方向竖直
向上，风力大小F可在0～
3mg间调节 ②小球在竖直方向除受重力外，还受大小可
调的恒定风力
信息读取 信息加工
③当F＝0时 ③小球做平抛运动
④调节F的大小 ④0≤F＜mg时小球向下做类平抛；F＝mg
时，小球匀速直线运动；mg＜F≤3mg时，小
球向上做类平抛运动
答案：（1）10 m/s，速度方向与水平方向夹角为45°　
（2）15 m
规范解答：（1）当F＝0时，小球做平抛运动，水平方向有L＝v0t1　
（1分）
解得t1＝1 s　（1分）
竖直分速度为vy1＝gt1　（1分）
小球撞击右壁的速度大小v＝　（1分）
令速度方向与水平方向夹角为θ，则tan θ＝　（1分）
则有v＝10 m/s，θ＝45°。　（1分）
（2）结合上述，当F＝0时，小球做平抛运动，竖直方向的分位移y1＝
g　（1分）
解得y1＝5 m　（1分）
当F＝3mg时，根据牛顿第二定律有3mg－mg＝ma，故a＝2g　（1分）
小球做类平抛运动，则有L＝v0t1，y2＝a　（1分）
解得y2＝10 m　（1分）
则小球撞击右壁的区域长度L0＝y1＋y2＝15 m。　（1分）
04
PART
课时作业
1. 滑雪运动员在训练过程中，从斜坡顶端以5.0 m/s的速度水平飞出，落在
斜坡上，然后继续沿斜坡下滑。已知斜坡倾角为45°，空气阻力忽略不
计，g取10 m/s2，则他在该斜坡上方做平抛运动的时间为（　　）
A. 0.5 s B. 1.0 s
C. 1.5 s D. 5.0 s
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√
解析： 　滑雪运动员做平抛运动，在水平方向有x＝v0t，竖直方向有y＝
gt2，根据题意有tan 45°＝＝，解得t＝1.0 s，故B正确。
2. （2025·上海市静安区高一期末）如图，在某次飞行演习中，以v0水平匀
速飞行的飞机，某时释放一颗模拟弹，经时间t后炸弹垂直击中倾角为θ的
山坡。则时间t为（　　）
A. B.
C. D.
√
解析： 　炸弹垂直击中倾角为θ的山坡，则有tan θ＝，又vy＝gt，联立
可得t＝，故选D。
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3. （2025·天津市南开区高一期末）某中学举办“套圈”活动。如图所
示，小明同学站在标志线后以v0＝4 m/s的速度水平抛出一铁丝圈，正好套
中静放在正前方水平地面上的饮料罐A。抛出时，铁丝圈位于标志线的正
上方h＝0.45 m处，若铁丝圈、饮料罐均可视为质点，不计空气阻力，重
力加速度g＝10 m/s2，下列说法错误的是（　　）
A. 铁丝圈在空中运动的时间为0.3 s
B. 饮料罐A与标志线的距离x＝1.2 m
C. 铁丝圈落地前瞬间，速度大小为5 m/s
D. 保持铁丝圈抛出位置不变，若要套中饮料罐B，水平抛出速度应变为6 m/s
√
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解析： 　铁丝圈在空中做平抛运动，竖直方向有h＝gt2，则运动的
时间为t＝＝ s＝0.3 s，选项A正确；饮料罐A与标志线的距
离x＝v0t＝1.2 m，选项B正确；铁丝圈落地前瞬间，速度大小为v＝
＝＝5 m/s，选项C正确；保持铁丝圈抛出位
置不变，若要套中饮料罐B，水平抛出速度应变为v0'＝＝ m/s
＝5 m/s，选项D错误。
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4. 如图所示，倾角θ＝30°的斜面体放在水平面上，斜面ABCD为边长为L
的正方形，在斜面左上角A点沿AB方向水平抛出一个小球，结果恰好落在
斜面体的右下角C点。不计空气阻力，重力加速度为g，则小球水平抛出的
初速度大小为（　　）
A. B.
C. D.
√
解析： 　小球从A点开始做类平抛运动到C点，沿斜面向下有L＝gsin
θ·t2，水平方向有L＝v0t，联立解得v0＝，A正确，B、C、D错误。
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5. （2025·浙江省杭州市高一期中）如图所示，倾角为45°的斜面末端与
水平地面相连，在斜面上距水平面高h＝5.0 m的P处将一小球（可看成质
点）以v＝6 m/s的初速度水平抛出，不计空气阻力，取g＝10 m/s2，则小球
抛出后第一次落在接触面（斜面或者地面）上的时间为（　　）
A. 0.8 s B. 1.0 s
C. 1.6 s D. 2.0 s
√
解析： 　如果落在斜面上，有tan 45°＝＝＝，解得t＝1.2 s，因
为gt2＞h，则小球不能落在斜面上，所以落在水平面上，则h＝gt'2，解得
t'＝1.0 s，故选B。
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6. （2024·浙江1月选考8题）如图所示，小明取山泉水时发现水平细水管
到水平地面的距离为水桶高的两倍，在地面上平移水桶，水恰好从桶口中
心无阻挡地落到桶底边沿A。已知桶高为h，直径为D，则水离开出水口的
速度大小为（　　）
A. B.
C. D. （＋1）D
√
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解析： 　设出水孔到水桶中心距离为x，则x＝v0，落到桶底A点时x＋
＝v0，解得v0＝，故选C。
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7. 如图所示，小球以速度v0正对倾角为θ的斜面水平抛出，若小球到达斜
面的位移最小，则以下说法正确的是（重力加速度为g）（　　）
A. 小球在空中的运动时间为
B. 小球的水平位移大小为
C. 小球的竖直位移大小为
D. 由于不知道抛出点位置，位移大小无法求解
√
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解析： 　如图所示，过抛出点作斜面的垂线与斜面交于B
点，当小球落在斜面上的B点时，位移最小。设运动的时间
为t，则水平方向有x＝v0t，竖直方向有y＝gt2。根据几何关
系有＝tan θ，联立解得t＝，小球的水平位移大小为x＝v0t＝，竖直位移大小为y＝gt2＝，由水平位移和竖直位移可求解总位移的大小，故A、C、D错误，B正确。
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8. 〔多选〕（2025·河北邯郸高二下学业考试）如图所示，某同学将一小
球从A点水平抛出，初速度与挡板所在的竖直平面垂直，小球下落5 cm时
恰好通过挡板顶端B点，最终落在水平地面上的C点。已知A、C两点与B点
之间的水平距离相等，不计空气阻力，g取10 m/s2，下列说法正确的是
（　　）
A. 挡板的高度h为0.15 m
B. 挡板的高度h为0.20 m
C. 小球在空中运动的时间为0.10 s
D. 小球在空中运动的时间为0.20 s
√
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解析： 　设小球从A到B时间为t1，从B到C时间为t2。小球在竖直方向做
自由落体运动，则有h'＝g，h'＋h＝g（t1＋t2）2，因为A、C两点与挡
板的水平距离相等，根据x＝v0t可知t1＝t2，解得h＝0.15 m，小球在空中运
动的时间为t总＝t1＋t2＝0.20 s，故选A、D。
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9. （2025·吉林省延边高一阶段练习）如图所示，某人从同一位置O以不同
的水平速度投出三枚飞镖A、B、C，最后都插在竖直墙壁上，它们与墙面
的夹角分别为60°、45°、30°，图中飞镖的方向可认为是击中墙面时的
速度方向，不计空气阻力，则下列说法正确的是（　　）
A. 三只飞镖做平抛运动的初速度一定满足v0A＜v0B＜v0C
B. 三只飞镖击中墙面的速度满足vA＞vB＞vC
C. 三只飞镖击中墙面的速度满足vA＝vC＞vB
D. 插在墙上的三只飞镖的反向延长线不会交于同一点
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解析： 　飞镖做平抛运动，水平分运动是匀速直线运动，有x＝v0t，飞镖
击中墙面的速度与竖直方向夹角的正切值为tan α＝，联立，解得v0＝
，α越大，v0越大，故有v0A＞v0B＞v0C，故A错误；根据平行四边
形定则并结合几何关系，可得飞镖击中墙面的速度v＝＝＝
，故vA＝vC＞vB，故B错误，C正确；飞镖做平抛运动，速度的反向
延长线通过水平分位移的中点，而三只飞镖水平分位移的中点相同，故插
在墙上的三只飞镖的反向延长线一定交于同一点，故D错误。
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10. （2025·江苏无锡高一上期末）为了研究空气动力学问题，如图所示，
某人将质量为m的小球从距地面高h处以一定初速度水平抛出，在距抛出点
水平距离L处，有一根管口比小球直径略大的竖直细管，上管口距地面的
高度为。小球在水平方向上受恒定风力作用，在竖直方向上阻力不计，
且小球恰能无碰撞地通过细管，重力加速度为g，则下列说法正确的是
（　　）
A. 小球在管外运动的时间为
B. 小球的初速度大小为L
C. 风力的大小为2
D. 小球落地时的速度大小为2
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解析： 　小球在竖直方向上做自由落体运动，故从抛出点到上管口的运
动过程中，有＝gt2，解得小球在管外运动的时间为t＝，小球在水平
方向上做匀减速运动，因恰能无碰撞地通过管子，故小球到管口时水平速
度刚好减为零，设小球的初速度为v0，在水平方向上，有L＝t，解得小
球的初速度大小为v0＝2L，故A、B错误；设风力大小为F，水平方向根
据牛顿第二定律有F＝ma，由匀变速直线运动规律可得0－＝－2aL，联
立可得F＝2，故C正确；小球到达上管口时，水平速度减为零，进入管中后其不再受风力作用，只有竖直方向的运动，从抛出到落地全程，小球在竖直方向上做自由落体运动，所以有v2＝2gh，解得小球落地时的速度大小为v＝，故D错误。
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11. （2025·江苏省高邮市高一月考）某同学利用无人机玩投弹游戏。
无人机以v0＝6 m/s的速度水平向右匀速飞行，在某时刻释放一个可看
成质点的小球，小球刚好落到水平地面上半径为0.4 m的圆形区域的中
心，释放时无人机到水平地面的距离h＝3.2 m，空气阻力忽略不计，g
取10 m/s2。求：
（1）小球下落的时间；
答案： 0.8 s　
解析：（1）由平抛运动的规律得竖直方向位移满足h＝gt2
可得t＝＝0.8 s。
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（2）小球落地的速度大小；
答案： 10 m/s　
解析：小球在竖直方向的速度为vy＝gt＝8 m/s
水平方向的速度为vx＝v0
落地的速度为v＝＝10 m/s。
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（3）要使小球落入圆形区域，v0的取值范围。
答案： 5.5 m/s≤v0≤6.5 m/s
解析：平抛运动以v0＝6 m/s的速度抛出，水平的位移为x＝v0t＝4.8 m
故落入圆形区域水平方向的最小位移为x－R＝v1t
最小速度为v1＝5.5 m/s
落入圆形区域水平方向的最大位移为x＋R＝v2t
最大速度为v2＝6.5 m/s
综上所述，要使小球落入圆形区域，v0的取值范围为5.5 m/s≤v0≤6.5
m/s。
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12. 在真空环境内探测微粒在重力场中能量的简化
装置如图所示。P是个微粒源，能持续水平向右发
射质量相同、初速度不同的微粒，高度为h的探测
屏AB竖直放置，离P点的水平距离为L，上端A与P
点的高度差也为h，已知重力加速度为g。
（1）若微粒打在探测屏AB的中点，求微粒在空中飞行的时间；
答案： 　
解析： 对打在屏中点的微粒，有h＝gt2，解得t＝。
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（2）求能被探测屏探测到的微粒的初速度范围。
答案： L≤v≤L
解析：对打在B点的微粒，有L＝v1t1，2h＝g
解得v1＝L
对打在A点的微粒，有L＝v2t2，h＝g
解得v2＝L
故能被探测屏探测到的微粒初速度范围为L≤v≤L。
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