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(共45张PPT)
专题强化7　系统机械能守恒定律的综合应用
1.能应用机械能守恒定律解决轻绳连接的物体系统机械能守恒问题。
2.能应用机械能守恒定律解决轻杆连接的物体系统机械能守恒问题。
3.能应用机械能守恒定律解决轻弹簧连接的物体系统机械能守恒问题。
学习目标
01
强化点一　轻绳连接的物体系统机械能守恒问题
02
强化点二　轻杆连接的物体系统机械能守恒问题
03
强化点三　轻弹簧连接的系统机械能守恒问题
目 录
04
课时作业
01
PART
强化点一　
轻绳连接的物体系统机械能守恒问题
1. 常见情境如图所示
2. 三个关键
（1）明确两物体的速度关系：图甲、乙、丙中的物体A、B的速度大小相
等，图丁中物体A沿绳方向的分速度大小等于物体B的速度大小。
（2）明确两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
（3）明确机械能守恒定律的对象：绳上的拉力对单个物体做正功或负
功，所以单个物体的机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能
守恒。
【例1】　（2025·吉林长春高一期末）如图所示，在固定的光滑水平杆
上，质量为m的物体P用细线跨过光滑的定滑轮连接质量为2m的物体Q，用
手托住Q使整个系统静止，此时轻绳刚好拉直，且AO＝L，OB＝h，AB＜
BO'，重力加速度为g；释放Q，让二者开始运动，则下列说法正确的是
（　C　）
C
A. Q始终比P运动的快
B. 在物体P从A滑到B的过程中，P的机械能减小，
Q的机械能增加
C. P运动的最大速度为2
D. 开始运动后，当P速度再次为零时，Q下降了2（L－h）
解析：设AO与水平方向的夹角为θ，根据速度关联可得vQ＝vPcos θ＜vP，故
A错误；当物体P滑到B点时，Q下降到最低点，速度为零，所以在该过程
中，根据系统机械能守恒定律可知，Q的机械能减小，P的机械能增大，故
B错误；当P运动到B处时，P的速度最大，根据系统机械能守恒定律可得
2mg（L－h）＝m，解得P运动的最大速度为vP＝2，故C
正确；开始运动后，当P速度再次为零时，即P的机械能不变，则Q的机械
能也不变，说明此时Q回到初始释放的位置，故D错误。
（2025·江苏省连云港高一期中）如图所示，轻质定滑轮固定在天花板上，
物体P和Q用不可伸长的轻绳相连，悬挂在定滑轮上，物体P和Q的质量分
别为m、3m，两物体由静止释放。重力加速度大小为g，不计摩擦和空气阻
力，两物体均可视为质点。在Q下降距离h（未落地）过程中，下列说法正
确的是（　　）
A. 绳子拉力的大小为3mg
B. 物体P增加的机械能为1.5mgh
C. 物体P运动的加速度大小为2g
D. Q下降距离h时，P的速度大小为
√
解析： 　对两物体应用整体法可得3mg－mg＝4ma，对物体P应用隔离法
可得FT－mg＝ma，联立解得a＝g，FT＝mg，故A、C错误；物体P上升
的高度为h，增加的机械能为ΔE＝W其他＝FTh＝1.5mgh，故B正确；Q下降
距离h过程，由系统机械能守恒可得3mgh－mgh＝×4mv2，解得v＝，
故D错误。
02
PART
强化点二　
轻杆连接的物体系统机械能守恒问题
1. 常见情境如图所示
2. 三大特点
（1）平动时两物体线速度大小相等，转动时两物体角速度相等。
（2）杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物
体机械能不守恒。
（3）对于杆和物体组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力
对系统做功，则系统机械能守恒。
【例2】　如图所示，A、B两小球分别固定在一刚性轻杆的两端，两球球
心间相距L＝1.0 m，两球质量分别为mA＝4.0 kg，mB＝1.0 kg，杆上距A
球球心0.40 m处有一水平轴O，杆可绕轴无摩擦转动，现先使杆保持水
平，然后从静止释放，当杆转到竖直位置，则：（g取10 m/s2）
（1）两球的速度大小各是多少？
答案： m/s　 m/s　
解析： 对A、B组成的系统，在转动过程中A、B两球的角速度相同且
系统机械能守恒，有mAgLA－mBgLB＝mA＋mB
其中vA∶vB＝ωLA∶ωLB＝LA∶LB，LB＝L－LA
代入数据解得vA＝ m/s，vB＝ m/s。
（2）转动过程中杆对A球做功为多少？
答案： －9.6 J
解析： 对A球应用动能定理，有mAgLA＋W＝mA－0，
解得W＝－9.6 J。
〔多选〕（2025·广西柳州市高一阶段练习）一质量不计的直角形支架两
端分别连接质量均为m的小球A和B，支架的两直角边长度分别为2l和l，支
架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图所示。开始时OA边处于水
平位置，由静止释放OA，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确
的是（　　）
A. 运动过程中，A、B两球的速度大小总相等
B. 运动过程中，A、B和支架组成的系统机械能守恒
C. A运动至最低点时速度大小为
D. A运动至最低点的过程中，杆对B做功为mgl
√
√
解析： 　A、B两球同轴转动，角速度相等，根据v＝ωr，可得＝
＝2，故运动过程中，A、B两球的速度大小不相等，故A错误；运动
过程中，系统中只有重力做功，A、B和支架组成的系统机械能守恒，
故B正确；A运动至最低点时，根据机械能守恒定律，有mg·2l－mgl＝
m＋m，联立解得vA＝，vB＝，故C正确；A运动至最
低点的过程中，对B，根据动能定理有W－mgl＝m－0，解得W＝
mgl，故D错误。
03
PART
强化点三　
轻弹簧连接的系统机械能守恒问题
1. 题型特点
由轻质弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功，又有弹簧弹力做功，这
时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械
能守恒。
2. 两点提醒
（1）对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量决定，无论弹簧伸长
还是压缩。
（2）物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量往往有关联。
【例3】　（2025·陕西西安期中）如图所示，光滑硬直杆与
水平面成53°角固定放置，劲度系数为k、原长为L的轻质弹
簧一端固定在O点，另一端与圆环（视为质点）相连，圆环
套在杆上。现让圆环从与O点等高的A点由静止释放，当圆环
运动到O点的正下方B点时，圆环的动能正好等于圆环在A处时弹簧的弹性势能。已知A、B两点间的距离为5L，重力加速度大小为g，对劲度系数为k的轻质弹簧，其弹性势能Ep与弹簧的形变量x的关系式为Ep＝kx2，弹簧始终在弹性限度内，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，求：
（1）圆环在B点时的动能；
答案： 2kL2　
解析： 由几何关系有OA＝3L，OB＝4L
弹簧的原长为L，则圆环在A点时弹簧的伸长量为2L，弹簧的弹性势能EpA
＝k＝2kL2
圆环在B点时的动能EkB＝EpA＝2kL2。
（2）圆环的质量。
答案：
解析： 圆环在B点时弹簧的伸长量为3L，弹簧的弹性势能EpB＝
k＝4.5kL2
圆环从A点运动到B点，由机械能守恒定律，有mg·4L＝EpB－EpA＋EkB
解得圆环的质量m＝。
04
PART
课时作业
1. （2025·北京西城高一期末）如图所示，在两个质量分别为m和2m的小
球A和B之间用一根长为L的轻杆连接，轻杆可绕中心O的水平轴无摩擦转
动，现让杆处于水平位置无初速度释放，在杆转至竖直的过程中（轻杆质
量不计）（　　）
A. A球机械能减小
B. 杆对B球不做功，B球机械能守恒
C. A球和B球总机械能守恒
D. A球和B球总机械能不守恒
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√
解析： 　释放后，A球向上运动，速度增大，高度增大，所以A球的动能
和势能都增大，即A球的机械能增大，故A错误；在杆从水平位置转至竖直
的过程中，A球和B球组成的系统只有重力做功，所以系统的机械能守恒，
又根据机械能守恒定律可得EA增＝EB减，所以A球的机械能增大，B球的机
械能减少，杆对B球做负功，故B、D错误，C正确。
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2. 〔多选〕如图所示，轻质弹簧的一端与固定的竖直板P拴接，另一端与
A物体相连，A物体静止于光滑水平桌面上，右端接一细线，细线绕过光滑
的定滑轮与B物体相连。开始时用手托住B，让细线恰好伸直，然后由静止
释放B，直至B获得最大速度。下列有关该过程的分析正确的是（　　）
A. B物体的机械能一直减小
B. B物体的动能增加量等于B物体重力势能的减少量
C. B物体机械能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量
D. 细线拉力对A物体做的功等于A物体与弹簧组成的系统机械能的增加量
√
√
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解析： 　根据题意可知，从B开始运动到获得最大速度的过程中，细线
拉力一直对B物体做负功，则B物体的机械能一直减小，故A正确；根据题
意可知，A物体、B物体和弹簧组成的系统机械能守恒，则B物体重力势能
的减少量等于A、B物体动能的增加量和弹簧弹性势能的增加量之和，B物
体机械能的减少量等于A物体动能的增加量和弹簧弹性势能的增加量之
和，故B、C错误；根据功能关系，除重力和系统内弹力以外的力，即细线
的拉力做的功等于A物体与弹簧组成的系统机械能的增加量，故D正确。
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3. （2025·辽宁省朝阳市高一期末）如图所示，B物体的质量是A物体质量
的一半，不计所有摩擦，A物体从离地面高H处由静止开始下落，以地面为
参考平面，当A物体的动能与其重力势能相等时，A物体距地面的高度为
（设该过程中B物体未与滑轮相碰）（　　）
A. 0.4H B. 0.2H
C. 0.8H D. H
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解析： 　对A、B两物体组成的系统，只有重力做功，系统机械能守恒，
B的重力势能不变，所以A重力势能的减小量等于系统动能的增加量，有
mAg＝v2，又因为A物体的动能与其重力势能相等，有
mAgh＝mAv2，又因为B物体的质量是A物体质量的一半，解得h＝0.4H，
故选A。
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4. 如图，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定
在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的3倍。当B位于地面时，A
恰与圆柱轴心等高，将A由静止释放，B上升的最大高度是（　　）
A. R B. R
C. R D. R
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解析： 　当A刚下落到地面时，由机械能守恒定律得3mgR－mgR＝
×3mv2＋mv2，A落地后B将继续上升到速度为零，设继续上升的高度为
h，有mv2＝mgh，联立解得h＝R，则B上升的最大高度是h＋R＝R，故
选D。
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5. 〔多选〕如图所示，光滑细杆AB、AC在A点连接，AB竖直放置，AC水
平放置，两相同的中心有小孔的小球M、N，分别套在AB和AC上，并用一
细绳相连，细绳恰好被拉直，现由静止释放M、N，在运动过程中下列说
法中正确的是（　　）
A. M球的机械能守恒
B. M球的机械能减小
C. M和N组成的系统的机械能守恒
D. 绳的拉力对N做负功
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解析： 　因M下落的过程中细绳的拉力对M球做负功，对N球做正功，
故M球的机械能减小，N球的机械能增加，但M和N组成的系统的机械能守
恒，故B、C正确，A、D错误。
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6. （2025·福建省福州市高一期末）如图所示，一条轻绳跨过光滑定滑
轮，两端与质量分别为2m和m的物体P、Q连接，劲度系数为k的轻弹簧竖
直放置，上端与物体Q相连，下端固定在水平面上。用手托住物体P，当轻
绳刚好被拉直时，物体P离地的高度为L，重力加速度大小为g。物体P由静
止释放后，落地时的速度恰好为0，则物体P下落过程中（　　）
A. 物体P、Q组成的系统机械能守恒
B. 物体P、Q组成的系统机械能一直减少
C. 当物体P下降 时具有最大速度
D. 弹簧的弹性势能增加了mgL
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解析： 　物体P下落过程中，物体P、Q和弹簧组成的系统机械能守恒；
弹簧先处于压缩状态后处于伸长状态，弹性势能先减小后增加，则物体
P、Q组成的系统机械能先增加后减小，故A、B错误；用手托住物体P，当
轻绳刚好被拉直时，弹簧压缩量为Δx＝，当物体P下降时，弹簧恰好
恢复原长，此时P仍有向下的加速度，速度不是最大，故C错误；物体P下
落过程中，物体P、Q组成的系统重力势能减少了gL，则弹簧的
弹性势能增加了mgL，故D正确。
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7. 如图所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，固定质量为
2m的小球A，固定质量为m的小球B，支架悬挂在O点，可绕过O点与支架
所在平面相垂直的固定轴转动。开始时OB与地面相垂直，放手后开始运
动。在无任何阻力的情况下，下列说法中正确的是（　　）
A. A球到达最低点时速度为零
B. A球重力势能减少量等于B球机械能增加量
C. B球向左摆动所能达到的最高位置高于A球开始运动的高度
D. 当支架从左向右回摆时，A球不能回到起始高度
√
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解析： 　在整个过程中，A球、B球组成的系统机械能守恒，则当A球到
达最低点时，A球减少的重力势能大于B球增加的重力势能，根据系统机械
能守恒知，此时系统动能不为零，A球的速度不为零，故A错误；因为系统
机械能守恒，即A、B两球的机械能总量保持不变，A球重力势能的减少量
等于B球机械能的增加量和A球动能的增加量之和，故B错误；因为B球质
量小于A球质量，当A球到达最低点时，A球重力势能的减少量大于B球的
重力势能增加量，说明此时系统仍有速度，故B球要继续上升，则B球向左
摆动所能达到的最高位置高于A球开始运动的高度，故C正确；因为不计一
切阻力，系统机械能守恒，故当支架从左向右摆动时，A球一定能回到起
始高度，故D错误。
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8. 〔多选〕（2025·黑龙江省牡丹江市高一阶段练习）轻杆AB长2L，A端
连在固定轴上，B端固定一个质量为2m的小球，中点C固定一个质量为m的
小球。AB杆可以绕A端在竖直平面内自由转动。现将杆置于水平位置，如
图所示，然后由静止释放，重力加速度为g，不计各处摩擦与空气阻力，
则下列说法正确的是（　　）
A. AB杆转到竖直位置时，角速度为
B. AB杆转到竖直位置的过程中，B端小球的机械能的增量为mgL
C. 杆AC对C端小球做正功
D. AB杆转动过程中，C端小球机械能守恒
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解析： 　在AB杆由静止释放到转到竖直位置的过程中，以B端小球的最
低点为零势能点，根据机械能守恒定律有mg·2L＋2mg＝mgL＋
×2m＋m，解得角速度ω＝，故A正确；在此过程中，
B端小球机械能的增量为ΔEB＝E末－E初＝×2m－2mg·＝
mgL，故B正确；AB杆转动过程中，杆AC对C端小球不做功，杆CB对C端
小球做负功，对B端小球做正功，故C错误；由C选项分析可知C端小球机
械能不守恒，B、C端小球系统机械能守恒，故D错误。
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9. 如图所示，将运动员在单杠上的运动等效为“L”形物体绕直角顶点O
在单杠上转动。运动员的上身质量等效在A点，质量为3m，运动员的腿部
质量等效在B点，质量为2m，其中AO⊥BO，OA长为L，OB长为2L。起始
时运动员身体上部直立，腿部水平，之后使身体保持形态不变绕单杠自由
转动起来，重力加速度为g，不计一切阻力。求：
（1）B点转到最低点时的速度大小；
答案： 2　
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解析： 当B点转到最低点时，根据机械能守恒定律有
2mg×2L＋3mg·L＝×3m＋×2m
由于运动员在转动过程中各部分的角速度相同，故有v1＝v2
联立以上两式解得v1＝，v2＝2。
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（2）B点由初始位置转到最低点的过程中，B的机械能增量。
答案： mgL
解析：设B在最低点的位置为零势能位置，则开始时B的总机械能E1＝4mgL
转到最低点时，B的总机械能E2＝×2m＝
故机械能增量ΔE＝E2－E1＝mgL。
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10. （2025·连云港市高一期中）如图所示，物体A的质量为M，圆环B的质
量为m，通过足够长且不可伸长的轻绳连接在一起，圆环套在光滑的竖直
杆上，开始时连接圆环的绳子处于水平，长度l＝4 m，现由静止释放圆
环，不计定滑轮的大小和摩擦，忽略空气的阻力，取重力加速度g＝10
m/s2。
（1）若M＝2m，求圆环能下降的最大高度；
答案： m　
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解析： 若M＝2m，设圆环能下降的最大高度为hm，根据系统机械能
守恒可得
mghm－MghA＝0
由几何关系可得hA＝－l
联立解得hm＝ m。
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（2）若圆环下降h＝3 m时的速度v＝5 m/s，则M与m应满足什么关系。
答案： ＝
解析：圆环下降h＝3 m时的速度为vB＝v＝5 m/s
把圆环速度分解，如图所示。
由几何关系可得vA＝vBcos θ
cos θ＝
由系统机械能守恒可得mgh－MghA'＝m＋M
又有hA'＝－l
联立解得A和B的质量关系为＝。
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