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(共46张PPT)
专题强化8　功能关系及其应用
1.掌握常见的功能关系，理解功与能的关系。
2.能够灵活选用功能关系，分析实际问题。
3.会计算两物体间摩擦力做功和因滑动摩擦力做功产生的热量。
学习目标
01
强化点一　几种典型的功能关系
02
强化点二　摩擦力做功与热量的产生
03
课时作业
目 录
01
PART
强化点一　几种典型的功能关系
1. 功能关系：功是能量转化的量度。
2. 对功能关系的理解
（1）做功的过程就是能量转化的过程。不同形式的能量发生相互转化必
须通过力做功来实现；不同的力做功，对应不同形式的能的转化。
（2）做功的多少与能量转化的多少在数值上相等。
3. 几种常见的功能关系理解
功能关系 表达式 物理意义 正功、负功含义 重力做功与
重力势能 WG＝Ep1－Ep2＝－ΔEp 重力做功是重力势能变化的原因 WG＞0 重力势能减少
WG＜0 重力势能增加
WG＝0 重力势能不变
弹簧弹力做
功与弹性势
能 W弹＝Ep1－Ep2＝－ΔEp 弹力做功是弹性势能变化的原因 W弹＞0 弹性势能减少
W弹＜0 弹性势能增加
W弹＝0 弹性势能不变
功能关系 表达式 物理意义 正功、负功含义 合力做功与
动能 W合＝Ek2－Ek1＝
ΔEk 合外力做
功是物体
动能变化
的原因 W合＞0 动能
增加
W合＜0 动能
减少
W合＝0 动能
不变
功能关系 表达式 物理意义 正功、负功含义 除重力或系
统内弹力外
其他力做功
与机械能 W非G＝ΔE机 除重力或
系统内弹
力外其他
力做功是
机械能变
化的原因 W非G＞0 机械能增加
W非G＜0 机械能减少
W非G＝0 机械能守恒
【例1】　（功能关系的理解）〔多选〕如图所示，在抗洪救灾中，一架
直升机通过绳索，用恒力F竖直向上拉起一个漂在水面上的木箱，使其由
水面开始加速上升到某一高度，若考虑空气阻力而不考虑空气浮力，则在
此过程中，以下说法正确的有（　BCD　）
BCD
A. 力F所做的功减去克服阻力所做的功等于重力势能
的增量
B. 木箱克服重力所做的功等于重力势能的增量
C. 力F、重力、阻力，三者合力所做的功等于木箱动能
的增量
D. 力F和阻力的合力所做的功等于木箱机械能的增量
解析：木箱上升时受到重力、恒力F和阻力，根据动能定理，有WF－mgh
－W阻＝ΔEk，重力势能的增加量等于木箱克服重力做的功，故A错误，
B、C正确；除重力外其余力做的功等于机械能的增加量，除重力外，木箱
只受力F和阻力，故D正确。
【例2】　（功能关系的应用）〔多选〕如图所示，一质量为m的小球固定
于轻质弹簧的一端，弹簧的另一端固定于O点，将小球拉至A处，弹簧恰好
无形变。由静止释放小球，它运动到O点正下方B点的竖直高度差为h，速
度为v，则（　AD　）
AD
A. 小球在B点的动能小于mgh
B. 由A点到B点小球重力势能减少了mv2
C. 由A点到B点小球克服弹力做的功为mgh
D. 小球到达位置B时弹簧的弹性势能为mgh－
解析：小球由A点到B点的过程中，重力势能减少了mgh，减少的重力势能
转化为小球的动能和弹簧的弹性势能，所以小球运动到B点时的动能小于
mgh，故A正确，B错误；根据动能定理得mgh－W弹＝mv2，所以小球由A
点至B点克服弹力做的功为W弹＝mgh－mv2，故C错误；根据弹簧弹力做功
与弹性势能变化的关系，可知小球到达位置B时弹簧的弹性势能为mgh－
mv2，故D正确。
02
PART
强化点二　
摩擦力做功与热量的产生
1. 系统内一对静摩擦力对物体做功时，由于相对位移为零，故没有内能产
生，只有物体间机械能的转移。
2. 作用于系统的滑动摩擦力和物体间相对滑动的距离的乘积，在数值上等
于滑动过程因摩擦产生的内能，即Q＝F滑x相对，其中F滑必须是滑动摩擦
力，x相对必须是两个接触面的相对滑动距离（或相对路程）。
【例3】　（摩擦力做功情况分析）（2025·江苏省无锡市高一期中）某次
班级例行换座位，小明开始用与水平面夹角30°斜向上大小为F 的拉力沿
直线向前拉动课桌，移动距离x后换用与水平面夹角30°斜向下大小仍为F
的推力沿直线向前推动课桌，移动距离也是x，运动过程中接触面粗糙程度
不变。以下判断正确的是（　B　）
A. 两次摩擦力做功相同
B. 两次F做功相同
C. 两次摩擦产生热量相同
D. 两次课桌动能变化相同
B
解析：两次拉力F做功相同，均为WF＝Fxcos 30°，故B正确；设课桌与接
触面的动摩擦因数为μ，课桌的质量为m，则两次克服摩擦力做的功分别为
Wf1＝Ff1x＝μ（mg－Fsin 30°）x，Wf2＝Ff2x＝μ（mg＋Fsin 30°）x，可
知两次摩擦力做功不相同，则两次摩擦产生热量不相同，故A、C错误；根
据动能定理可得WF－Wf＝ΔEk，由于两次拉力F做功相同，但两次摩擦力
做功不相同，所以两次课桌动能变化不相同，故D错误。
【例4】　（滑块—滑板模型中的摩擦热问题）（2025·山东青岛高一下期
末）如图甲所示，长木板A放在光滑的水平面上，质量为m＝2 kg的另一物
体B（可看成质点）以水平速度v0＝2 m/s滑上原来静止的长木板A的上表
面。由于A、B间存在摩擦力，之后A、B速度随时间变化情况如图乙所
示。下列说法正确的是（g取10 m/s2）（　D　）
D
A. 木板A最终获得的动能为2 J
B. 系统产生的内能为4 J
C. 木板A的最小长度为2 m
D. A、B间的动摩擦因数为0.1
解析：由题图乙可知，0～1 s内，A、B的加速度大小都为a＝1 m/s2，物体
B和木板A水平方向均受滑动摩擦力，根据牛顿第二定律知二者质量相等，
则木板最终动能为EkA＝mv2＝1 J，故A错误；系统产生的内能为ΔE＝
m－×2mv2＝2 J，故B错误；题图乙可得二者相对位移为1 m，即木板
A的最小长度为1 m，故C错误；对B受力分析，根据牛顿第二定律，可得
μmg＝ma，解得μ＝0.1，故D正确。
【例5】　（传送带模型中的摩擦热问题）（2025·广西省贺州市高一阶段
练习）如图为某建筑工地的传送装置， 传送带倾斜地固定在水平面上，
以恒定的速度v0＝2 m/s向下运动， 质量为m＝1 kg的工件无初速度地放在
传送带的顶端P， 经时间t1＝0.2 s，工件的速度达到2 m/s，此后再经过t2＝
1.0 s时间工件运动到Q点， 工件运动速度为v＝4 m/s，重力加速度g＝10
m/s2，工件可视为质点。求：
（1）传送带与工件间的动摩擦因数μ；
答案： 0.5　
解析： 工件在传送带上先加速运动，受到沿斜面向下的摩擦力，设
斜面与水平面夹角为θ，有mgsin θ＋μmgcos θ＝ma1，v0＝a1t1
速度达到2 m/s后工件继续加速，受到沿斜面向上的摩擦力，有
mgsin θ－μmgcos θ＝ma2，v＝v0＋a2t2
联立可得cos θ＝，μ＝0.5。
（2）工件由P运动到Q的过程中， 因摩擦而产生的热量Q。
答案： 4.8 J
解析： 工件两次加速与传送带的相对位移分别为
x1＝v0t1－t1＝0.2 m
x2＝t2－v0t2＝1 m
因摩擦产生的热量Q＝μmgcos θ·＝4.8 J。
03
PART
课时作业
1. （2025·宁夏固原市高一期末）关于功能关系，下列说法正确的是
（　　）
A. 重力做正功，重力势能增加
B. 弹力做负功，弹性势能减少
C. 系统除重力或弹力做功外其他力做的功等于系统机械能的变化量
D. 摩擦力做的功等于过程中产生的内能
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√
解析： 　由重力做功与重力势能变化的关系可得WG＝－ΔEp，可知重力
做正功，重力势能减少，A错误；由弹力做功与弹性势能变化的关系可得
W弹＝－ΔEp弹，可知弹力做负功，弹性势能增加，B错误；系统除重力或弹
力做功外其他力做的功等于系统机械能的变化量，C正确；若是滑动摩擦
力做的功就可能等于过程中产生的内能和物体动能变化量之和，若是静摩
擦力做功，就不会产生内能，D错误。
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2. （2025·山东临沂期中）2024年10月19日，泰山盘道上出现了一道独特
的爬山身影——身负重物和清运垃圾的机器狗，引发网民关注。关于机器
狗运送货物向上爬山的过程中，下列说法正确的是（　　）
A. 机器狗对货物的作用力大于货物对机器狗的作用力
B. 机器狗对货物的作用力小于货物对机器狗的作用力
C. 机器狗消耗的电能等于货物增加的机械能
D. 机器狗消耗的电能大于货物增加的机械能
√
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解析： 　机器狗对货物的作用力与货物对机器狗的作用力为一对相互作
用力，二者大小是相等的，故A、B错误；机器狗运送货物向上爬山的过程
中，根据能量守恒定律，可知机器狗消耗的电能等于货物与机械狗增加的
机械能以及该过程中产生的所有内能之和，故C错误，D正确。
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3. （2025·四川泸州高二下期末）风能是一种洁净、无污染、可再生的能
源，临海括苍山山顶上建有全国第四大风力发电场，如图所示。已知该地
区的风速约为6 m/s，空气密度约1.3 kg/m3，已知风力发电机的风叶叶片长
度为40 m，且风能的30％可转化为电能，则一台发电机发电功率约为
（　　）
A. 3.6×103 W B. 2.1×105 W
C. 1.5×107 W D. 3×109 W
√
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解析： 　在1 s内经过叶片的空气体积为V＝Svt＝πR2vt＝3.14×402×6×1
m3＝30 144 m3，空气的质量为m＝ρV＝1.3×30 144 kg＝39 187.2 kg，空
气的动能为Ek＝mv2＝×39 187.2×62 J＝705 369.6 J，风能的30％可转化
为电能，则E电＝Ek×30％＝705 369.6×0.3 J＝211 610.88 J，1 s的电能就
是发电功率，约为2.1×105 W。故选B。
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4. 〔多选〕（2025·河南周口高一下期末）如图所示，木块静止在光滑的
水平面上，一子弹沿水平方向射入木块并留在其中。在此过程中，子弹钻
入木块的深度为d，木块的位移为L，木块对子弹的阻力大小为F。则下列
说法正确的是（　　）
A. 木块动能的增加量为FL
B. 子弹动能的减少量为F（L＋d）
C. 系统机械能的减少量为Fd
D. 系统机械能的减少量为F（L＋d）
√
√
√
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解析： 　子弹对木块的作用力大小为F，木块相对于地的位移为L，则
子弹对木块做功为FL，根据动能定理得知，木块动能的增加量等于子弹对
木块做的功，即为FL，A正确；木块对子弹的阻力做功为－F（L＋d），
根据动能定理得知，子弹动能的减少量等于子弹克服阻力做功，大小为F
（L＋d），B正确；子弹相对于木块的位移大小为d，则系统克服阻力做功
为Fd，根据功能关系可知，系统机械能的减少量为Fd，C正确，D错误。
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5. （2025·江苏省连云港市高一期中）一长木板静止于光滑水平面上，一
小物块（可视为质点）从左侧以某一速度滑上木板，最终和木板相对静止
一起向右做匀速直线运动。在物块从滑上木板到和木板相对静止的过程
中，物块的位移是木板位移的4倍，设板块间滑动摩擦力大小不变，则
（　　）
A. 物块动能的减少量等于木板动能的增加量
B. 摩擦力对木板做的功大于木板动能的增加量
C. 因摩擦而产生的内能是木板动能增量的3倍
D. 因摩擦而产生的内能等于物块克服摩擦力所做的功
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解析： 　根据能量守恒定律可知，物块动能减少量等于木板动能增加量
与因摩擦产生的内能之和，故A错误；根据动能定理可知，摩擦力对木板
做的功等于木板动能的增加量，故B错误；设物块与木板之间的摩擦力为
Ff，木板的位移为x，则物块的位移为4x；物块克服摩擦力所做的功为Wf＝
Ff·4x，对木板，根据动能定理可得木板动能的增加量为ΔEk＝Ffx，因摩擦
产生的内能为Q＝Ffx相＝Ff·3x，可知因摩擦而产生的内能小于物块克服摩
擦力所做的功；因摩擦而产生的内能是木板动能增量的3倍，故C正确，D
错误。
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6. （2025·贵州省毕节市高一期末）如图，静止的水平传送带A、B两端相
距8 m，一工件从A端以10 m/s的速度向左滑上传送带，其质量为1 kg，与
传送带间的动摩擦因数为0.6，取g＝10 m/s2。则（　　）
A. 工件到达B端时速度大小为4 m/s
B. 工件从A端运动到B端的过程中产生的内能为48 J
C. 若传送带顺时针转动，工件到达B端的时间将增加
D. 若传送带逆时针转动，工件在传送带上一定做匀加速直线运动
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解析： 　工件在传送带上做匀减速直线运动的加速度大小a＝＝6
m/s2，根据运动学公式可得－＝－2aL，解得工件到达B端时速度大
小vB＝＝ m/s＝2 m/s，故A错误；工件从A端
运动到B端的过程中产生的内能Q＝μmgL＝0.6×1×10×8 J＝48 J，故B正
确；若传送带顺时针转动，工件从A到B仍做加速度大小为6 m/s2的匀减速
直线运动，所以工件到达B端的时间不变，故C错误；若传送带逆时针转
动，如果传送带速度小于工件速度，则工件在传送带上做匀减速直线运
动，故D错误。
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7. 〔多选〕（2025·福建省厦门市高一阶段练习）如图所示，一固定斜面
的倾角为30°，一质量为m的小物块自斜面底端以一定的初速度沿斜面向
上做匀减速运动，加速度大小等于g（g为重力加速度大小），物块上升的
最大高度为H，则此过程中（　　）
A. 物块的重力势能减少了mgH
B. 物块的动能损失了mgH
C. 物块的机械能损失了mgH
D. 物块克服摩擦力做功mgH
√
√
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解析： 　物块上升，重力势能增大，增大量为mgH，A错误；根据牛顿
第二定律可得物块在运动过程中所受力的合力为mg，则合力所做的功为W
＝－mg·x＝－mg·＝－2mgH，根据动能定理可得物块动能减少了
2mgH，B错误；物块重力势能增加了mgH，动能减少了2mgH，则机械能
减小了mgH，C正确；根据功能关系，可得物块机械能的减少量等于克服
摩擦力所做的功，即物块克服摩擦力做功mgH，D正确。
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8. 〔多选〕（2025·广东惠州高一阶段练习）如图所示，质量为m0、长度
为l的小车静止在光滑的水平面上。质量为m的小物块（可视为质点）放在
小车的最左端。现有一水平恒力F作用在小物块上，使物块从静止开始做
匀加速直线运动，物块和小车之间的摩擦力为Ff。经过时间t，小车运动的
位移为x，物块刚好滑到小车的最右端（　　）
A. 此时物块的动能为
B. 这一过程中，物块对小车所做的功为Ff（x＋l）
C. 这一过程中，物块和小车增加的机械能为Fx
D. 这一过程中，物块和小车产生的内能为Ffl
√
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解析：　对物块分析，物块的位移为x＋l，根据动能定理得
＝Ek－0，所以物块到达小车最右端时具有的动能为Ek ＝（F－
Ff）（x＋l），故A正确；对小车分析，小车的位移为x，所以物块对小车
所做的功为Ffx，故B错误；物块和小车增加的内能Q＝Ffx相对＝Ffl，故D正
确；根据功能关系，外力F做的功转化为小车和物块的机械能和摩擦产生
的内能，则有F（l＋x）＝ΔE＋Q，则ΔE＝F（l＋x）－Ffl，故C错误。
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9. （2025·湖北武汉高二上期末）如图所示，足够长的水平传送带以速率v0
＝1 m/s逆时针转动，左端与倾角θ＝37°、长L＝2 m的光滑斜面CD平滑相
接，现有质量为m＝2 kg的滑块（视为质点）在传送带右端由静止释放，
滑块与传送带共速后自C点处的小圆弧以大小不变的速度进入斜面，斜面
底部D点与光滑地面平滑相连，滑块经过D处时速度大小不变，地面上一根
轻弹簧一端固定在O点，自然状态下另一端恰好在D点，取g＝10 m/s2，sin
37°＝0.6，cos 37°＝0.8，不计空气阻力。
（1）求滑块在运动过程中弹簧的最大弹性势能；
答案： 25 J　
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解析： 由题意可知，滑块到达C点时的速度为vC＝v0＝1 m/s，由
能量守恒定律，滑块从C点到弹簧弹性势能最大时有Ep＝m＋
mgLsin θ＝25 J。
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（2）求滑块从释放至第一次运动到C点过程中与传送带之间因摩擦而产生
的热量。
答案： 1 J
解析：设滑块与传送带的滑动摩擦力为Ff，共速时间为t，滑块的位移x1
＝v0t，滑块和传送带之间的相对位移x2＝v0t－v0t＝v0t，由动能定理可
知，摩擦力对滑块做功Ffx1＝m，整个过程因摩擦产生的热量Q＝Ffx2
＝m＝1 J。
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10. （2025·福建省泉州市高一期末）如图所示，一质量m＝2 kg的滑块从
离传送带高为h的光滑圆弧形槽的顶端A处无初速度地滑下，槽的底端B与
水平传送带相接，传送带的运行速度恒为v0＝6 m/s，两轮轴心间距L＝5
m，滑块滑到传送带上后做匀加速运动，滑到传送带右端C时，恰好加速到
与传送带的速度相同，滑块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.2，重力加速度
g取10 m/s2，求：
（1）滑块到达B点时的速度大小；
答案： 4 m/s　
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解析： 滑块在传送带的加速度为a＝＝μg＝2 m/s2
滑块从B点到C点，根据运动学公式－＝2aL
解得滑块到达B点时的速度大小为vB＝4 m/s。
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（2）滑块最初与传送带的高度差h；
答案： 0.8 m　
解析：滑块从A点到B点，根据动能定理，有mgh＝m
解得滑块最初与传送带的高度差h＝0.8 m。
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解析：滑块从B到C的运动时间为t＝＝1 s
传送带的位移为x＝v0t＝6 m
相对位移为Δx＝x－L＝1 m
由于摩擦而产生的热量为Q＝FfΔx＝μmgΔx＝4 J。
（3）此过程中，由于摩擦而产生的热量Q。
答案： 4 J
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