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专题强化3　竖直平面内圆周运动的两种模型及水平面内的临界问题
1.建立竖直平面内圆周运动的轻绳模型和轻杆模型，会应用动力学知识分析轻绳和轻杆模型问题。 2.会分析水平面内圆周运动的临界问题，找到临界条件，列方程解决。
强化点一　竖直平面内圆周运动的两种模型
1.轻绳模型：竖直（光滑）圆弧内侧的圆周运动、水流星的运动等，类似轻绳一端的物体以轻绳另一端为圆心的竖直平面内的圆周运动。其特点是在最高点无支撑。
2.轻杆模型：竖直（光滑）圆管内的圆周运动、小球套在竖直圆环上的运动等，类似轻杆一端的物体以轻杆另一端为圆心的竖直平面内的圆周运动。其特点是在最高点有支撑。
3.两种基本模型的比较
项目 轻绳模型 轻杆模型
情境图示
最高点 受力 特征 除重力外，物体可能受到向下的弹力 除重力，物体可能受到向下或向上的弹力
最高点 受力 示意图
力学 方程 mg＋FN＝m mg±FN＝m
临界 特征 FN＝0，即mg＝m，即vmin＝ v＝0时F向＝0，即FN＝mg
v＝ 的意义 物体能否过最高点的临界速度 FN表现为拉力（压力）还是支持力的临界速度
过最高点 的条件　 最高点的速度v≥ 最高点的速度v≥0
过最低点 受力分析 FN－mg＝m 轻绳或圆轨道受拉力或压力最大，存在绳断的临界条件 FN－mg＝m 存在对杆拉力或对管压力的最大值
（轻绳模型）（10分）如图所示，长度为L＝1.6 m的轻绳，系一小球在竖直平面内做圆周运动①，小球的质量为m＝0.5 kg，小球半径不计，g取10 m/s2，求：
（1）小球刚好通过最高点②时的速度大小；
（2）小球通过最高点时的速度大小为8 m/s时③，轻绳的拉力大小；
（3）若轻绳能承受的最大张力为45 N④，小球速度的最大值。
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①长度为L＝1.6 m的轻绳，系一小球在竖直平面内做圆周运动 小球用轻绳固定，在竖直平面内做圆周运动，属于轻绳模型
②小球刚好通过最高点 小球通过最高点时轻绳的拉力为零
③小球通过最高点时的速度大小为8 m/s时 小球通过最高点时的速度大于临界速度时，轻绳对小球施加竖直向下的拉力
④轻绳能承受的最大张力为45 N 小球通过最低点时轻绳的拉力最大，最容易达到轻绳能承受的最大张力
答案：（1）4 m/s　（2）15 N　（3）8 m/s
规范解答：（1）小球刚好通过最高点时，重力恰好提供向心力有mg＝m（2分）
得v1＝＝4 m/s。（1分）
（2）小球通过最高点时的速度大小为8 m/s时，拉力和重力的合力提供向心力
有FT＋mg＝m（2分）
得FT＝15 N。（1分）
（3）分析可知小球通过最低点时轻绳的张力最大，在最低点，由牛顿第二定律得
FT'－mg＝m（2分）
将FT'＝45 N，代入解得v3＝8 m/s（1分）
即小球的速度不能超过8 m/s。（1分）
方法技巧
流程法分析绳模型的临界问题：
【例2】　（轻杆模型）（2025·内蒙古呼和浩特高一期中）如图所示，可视为质点、质量为m的小球，在半径为R的竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，重力加速度为g。下列说法中正确的是（　　）
A.小球能够到达最高点时的最小速度为0
B.小球能够通过最高点时的最小速度为
C.如果小球在最低点时的速度大小为5，则小球通过最低点时对管道的外壁的作用力为6mg
D.如果小球在最高点时的速度大小为2，则此时小球对管道的内壁的作用力为3mg
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
强化点二　水平面内圆周运动的临界问题
1.水平面内圆周运动常见的4类临界问题
（1）物体恰好（没有）发生相对滑动，静摩擦力达到最大值。
（2）物体恰好要离开接触面，物体与接触面之间的弹力为0。
（3）绳子恰好断裂，绳子的张力达到最大承受值。
（4）绳子刚好伸直，绳子的张力恰好为0。
2.解题关键
（1）在圆周运动问题中，当出现“恰好”“最大”“至少”“取值范围”等字眼时，说明运动过程中存在临界点。
（2）分析临界状态的受力，列出临界条件下的牛顿第二定律方程。
【例3】　（恰好不发生相对滑动的情形）如图所示，甲、乙两个物体放在旋转圆台上，它们的质量均为m，它们与圆台之间的动摩擦因数均为μ，甲物体离轴心距离为2R，乙物体离轴心距离为R。若滑动摩擦力等于最大静摩擦力，重力加速度为g，当圆台旋转时，甲、乙两个物体都没有滑动，则下列说法中正确的是（　　）
A.乙物体的向心加速度大
B.乙物体受到的静摩擦力大
C.ω＝是甲物体开始滑动的临界角速度
D.当圆台转速增加时，甲物体先滑动
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　（2025·四川绵阳高一下期末）如图所示，一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，水平轻绳连接两个物体M和m，物体M在转轴位置上，绳刚好被拉直且无拉力。两物体均看作质点，两物体与圆盘之间的动摩擦因数相等。在圆盘转动的角速度从零慢慢增大的过程中（　　）
A.绳中一直有拉力，且逐渐最大
B.物体m一直受到圆盘的摩擦力
C.物体M一直受到圆盘的摩擦力
D.物体m和M受到圆盘的摩擦力大小相等
提示：完成课后作业　第六章　专题强化3
2 / 3专题强化3　竖直平面内圆周运动的两种模型及水平面内的临界问题
1.建立竖直平面内圆周运动的轻绳模型和轻杆模型，会应用动力学知识分析轻绳和轻杆模型问题。 2.会分析水平面内圆周运动的临界问题，找到临界条件，列方程解决。
强化点一　竖直平面内圆周运动的两种模型
1.轻绳模型：竖直（光滑）圆弧内侧的圆周运动、水流星的运动等，类似轻绳一端的物体以轻绳另一端为圆心的竖直平面内的圆周运动。其特点是在最高点无支撑。
2.轻杆模型：竖直（光滑）圆管内的圆周运动、小球套在竖直圆环上的运动等，类似轻杆一端的物体以轻杆另一端为圆心的竖直平面内的圆周运动。其特点是在最高点有支撑。
3.两种基本模型的比较
项目 轻绳模型 轻杆模型
情境图示
最高点 受力特征 除重力外，物体可能受到向下的弹力 除重力，物体可能受到向下或向上的弹力
受力示意图
项目 轻绳模型 轻杆模型
最高点 力学方程 mg＋FN＝m mg±FN＝m
临界特征 FN＝0，即mg＝m，即vmin＝ v＝0时F向＝0，即FN＝mg
v＝的意义 物体能否过最高点的临界速度 FN表现为拉力（压力）还是支持力的临界速度
项目 轻绳模型 轻杆模型
过最高点的条件　 最高点的速度v≥ 最高点的速度v≥0
过最低点受力分析 FN－mg＝m 轻绳或圆轨道受拉力或压力最大，存在绳断的临界条件 FN－mg＝m 存在对杆拉力或对管压力的最大值
【例1】　（轻绳模型）（10分）如图所示，长度为L＝1.6 m的轻绳，系一小球在竖直平面内做圆周运动①，小球的质量为m＝0.5 kg，小球半径不计，g取10 m/s2，求：
（1）小球刚好通过最高点②时的速度大小；
（2）小球通过最高点时的速度大小为8 m/s时③，轻绳的拉力大小；
（3）若轻绳能承受的最大张力为45 N④，小球速度的最大值。
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①长度为L＝1.6 m的轻绳，系一小球在竖直平面内做圆周运动 小球用轻绳固定，在竖直平面内做圆周运动，属于轻绳模型
②小球刚好通过最高点 小球通过最高点时轻绳的拉力为零
③小球通过最高点时的速度大小为8 m/s时 小球通过最高点时的速度大于临界速度时，轻绳对小球施加竖直向下的拉力
④轻绳能承受的最大张力为45 N 小球通过最低点时轻绳的拉力最大，最容易达到轻绳能承受的最大张力
答案：（1）4 m/s　（2）15 N　（3）8 m/s
规范解答：（1）小球刚好通过最高点时，重力恰好提供向心力有mg＝m　（2分）
得v1＝＝4 m/s。　（1分）
（2）小球通过最高点时的速度大小为8 m/s时，拉力和重力的合力提供向心力
有FT＋mg＝m　（2分）
得FT＝15 N。　（1分）
（3）分析可知小球通过最低点时轻绳的张力最大，在最低点，由牛顿第二定律得
FT'－mg＝m　（2分）
将FT'＝45 N，代入解得v3＝8 m/s　（1分）
即小球的速度不能超过8 m/s。　（1分）
方法技巧
流程法分析绳模型的临界问题：
【例2】　（轻杆模型）（2025·内蒙古呼和浩特高一期中）如图所示，可视为质点、质量为m的小球，在半径为R的竖直放置的光滑圆形管道内做圆周运动，重力加速度为g。下列说法中正确的是（　A　）
A.小球能够到达最高点时的最小速度为0
B.小球能够通过最高点时的最小速度为
C.如果小球在最低点时的速度大小为5，则小球通过最低点时对管道的外壁的作用力为6mg
D.如果小球在最高点时的速度大小为2，则此时小球对管道的内壁的作用力为3mg
解析：圆形管道内壁能支撑小球，小球能够通过最高点时的最小速度为0，A正确，B错误； 根据牛顿第二定律得N1－mg＝m，解得N1＝26mg，如果小球在最低点时的速度大小为5，则小球通过最低点时对管道的外壁的作用力为26mg，C错误；根据牛顿第二定律得N2＋mg＝m，解得N2＝3mg，如果小球在最高点时的速度大小为2，则此时小球对管道的外壁的作用力为3mg，D错误。
强化点二　水平面内圆周运动的临界问题
1.水平面内圆周运动常见的4类临界问题
（1）物体恰好（没有）发生相对滑动，静摩擦力达到最大值。
（2）物体恰好要离开接触面，物体与接触面之间的弹力为0。
（3）绳子恰好断裂，绳子的张力达到最大承受值。
（4）绳子刚好伸直，绳子的张力恰好为0。
2.解题关键
（1）在圆周运动问题中，当出现“恰好”“最大”“至少”“取值范围”等字眼时，说明运动过程中存在临界点。
（2）分析临界状态的受力，列出临界条件下的牛顿第二定律方程。
【例3】　（恰好不发生相对滑动的情形）如图所示，甲、乙两个物体放在旋转圆台上，它们的质量均为m，它们与圆台之间的动摩擦因数均为μ，甲物体离轴心距离为2R，乙物体离轴心距离为R。若滑动摩擦力等于最大静摩擦力，重力加速度为g，当圆台旋转时，甲、乙两个物体都没有滑动，则下列说法中正确的是（　D　）
A.乙物体的向心加速度大
B.乙物体受到的静摩擦力大
C.ω＝是甲物体开始滑动的临界角速度
D.当圆台转速增加时，甲物体先滑动
解析：甲、乙两个物体随旋转圆台转动时，角速度相同，乙物体的旋转半径小于甲物体的旋转半径，根据an＝ω2r可知，乙物体的向心加速度小于甲物体的向心加速度，A错误；根据牛顿第二定律得Ff甲＝mω2·2R，Ff乙＝mω2·R，可知甲受到的静摩擦力大，B错误；对甲物体，最大静摩擦力提供向心力时，角速度达到临界值，则μmg＝m·2R，得ω甲＝，C错误；对乙物体，最大静摩擦力提供向心力时，角速度达到临界值，则μmg＝m·R，得ω乙＝，因为ω甲＜ω乙，当圆台转速增加时，甲物体先滑动，D正确。
　（2025·四川绵阳高一下期末）如图所示，一圆盘可以绕其竖直轴在水平面内转动，水平轻绳连接两个物体M和m，物体M在转轴位置上，绳刚好被拉直且无拉力。两物体均看作质点，两物体与圆盘之间的动摩擦因数相等。在圆盘转动的角速度从零慢慢增大的过程中（　　）
A.绳中一直有拉力，且逐渐最大
B.物体m一直受到圆盘的摩擦力
C.物体M一直受到圆盘的摩擦力
D.物体m和M受到圆盘的摩擦力大小相等
解析：B　m的向心力F向＝mrω2，当角速度从0开始增大，m由静摩擦力提供向心力，且所受的静摩擦力开始增大；当m达到最大静摩擦力，角速度继续增大，此时m靠拉力和静摩擦力的合力提供向心力，此时M开始受到圆盘的静摩擦力作用，且随着角速度继续增大，拉力和M受到的圆盘的静摩擦力都逐渐增大；随着角速度继续增大，拉力增大，当拉力和M的最大静摩擦力相等时，角速度达到最大值。故选B。
1.〔多选〕在如图所示光滑轨道上，小球滑下经平直部分冲上圆弧部分的最高点A时，对圆弧的压力为mg，已知圆弧的半径为R，则（　　）
A.在最高点A，小球受重力和向心力
B.在最高点A，小球受重力和圆弧轨道向下的弹力
C.在最高点A，小球的速度为
D.在最高点A，小球的向心加速度为2g
解析：BD　小球在最高点A，受重力和圆弧轨道向下的弹力，由牛顿第二定律得FN＋mg＝ma＝m，又FN＝mg，所以a＝2g，v＝，故B、D正确，A、C错误。
2.水流星是一项中国传统民间杂技艺术。杂技演员用一根绳子兜着两个碗，里面倒上水，迅速地旋转着做各种精彩表演，即使碗口朝下，碗里的水也不会洒出来。用可视为质点的小球替代水碗，可将水流星抽象为竖直平面内的圆周运动，轻质细绳长为L，重力加速度为g，则下列说法中正确的是（　　）
A.小球在最高点时的向心力一定等于重力
B.小球在最高点时绳子的拉力不可能为零
C.绳子越长，小球恰好通过最高点时的速度越大
D.小球质量越大，小球恰好通过最高点时的速度越大
解析：C　小球在最高点时的向心力不一定等于重力，可能是重力与拉力的合力提供向心力，故A错误；小球恰好通过最高点时，绳子的拉力为零，重力提供向心力，此时的速度满足Fn＝mg＝m，解得v＝，显然绳子越长，速度越大，与小球质量无关，故C正确，B、D错误。
3.（2025·江西宜春高一阶段练习）如图所示，用长为L的轻杆连着质量为m的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中正确的是（　　）
A.小球在最高点时轻杆受到作用力可能为零
B.小球在圆周最高点的向心力只由重力提供
C.小球过最低点轻杆对小球的拉力可能等于小球的重力
D.若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为
解析：A　当小球在最高点时的速度为v＝，此时小球靠重力提供向心力，轻杆受到的作用力为零，故A正确；小球在圆周最高点的向心力可能由重力和轻杆作用力的合力来提供，不一定只由重力提供，故B错误；在最低点，小球靠拉力和重力的合力提供向心力，合力向上，则拉力大于重力，故C错误；轻杆在最高点可以表现为拉力，可以表现为支持力，在最高点的最小速度为零，可知小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，最高点的速率为零，故D错误。
4.（2025·四川省攀枝花市高一期末）如图所示，长为0.4 m的轻质杆OP的P端与质量为0.2 kg、可视为质点的小球相连，小球以轻质杆的O端为圆心在竖直平面内做圆周运动。小球通过最高点时的速率为3 m/s，重力加速度g取10 m/s2，则此时轻杆受到的作用力为（　　）
A.2.5 N的拉力 B.2.5 N的压力
C.4.5 N的拉力 D.4.5 N的压力
解析：A　小球通过最高点时的速率为3 m/s，设此时轻杆对小球的作用力向下，以小球为对象，根据牛顿第二定律可得mg＋F＝m，解得F＝m－mg＝0.2× N－0.2×10 N＝2.5 N，假设成立，根据牛顿第三定律可知，此时轻杆受到的作用力为2.5 N的拉力。故选A。
5.（2025·四川省绵阳市高一期中）在光滑水平面上，有一转轴垂直于此平面，交点O的上方h处固定一细绳，绳的另一端连接一质量为m的小球B，绳长l＞h，重力加速度为g，小球可随转轴转动在光滑水平面上做匀速圆周运动，如图所示，要使小球不离开水平面，转轴角速度的最大值是（　　）
A. B.
C. D.
解析：B　小球不离开水平面的临界条件是水平面对小球的支持力为零，设此时细绳与转轴的夹角为θ，有mgtan θ＝mω2lsin θ，有几何关系有h＝lcos θ，整理有ω＝，故选B。
6.（2025·河北省邯郸市高一期末）如图所示，桌面上放置一内壁光滑的固定竖直圆环轨道，质量为M，半径为R。可视为质点的小球在轨道内做圆周运动，其质量为m。小球在轨道最高点的速度大小为v0，重力加速度为g，不计空气阻力，则（　　）
A.当v0＝时，轨道对小球无支持力
B.当v0＝时，轨道对桌面的压力为（M－m）g
C.小球做圆周运动的过程中，合外力提供向心力
D.小球在最高点时处于超重状态
解析：B　当v0＝时，对小球受力分析，得mg＋FNm＝m＝2mg，得FNm＝mg，根据牛顿第三定律，小球对圆环轨道的作用力与圆环轨道对小球的作用力大小相等方向相反，对圆环轨道受力分析，得FNM＋FNm'＝Mg，则FNM＝（M－m）g，A错误，B正确；小球做变速圆周运动，在小球运动的过程中，除最高点和最低点由合外力提供向心力，其他位置都是由合外力的分力提供向心力， C错误；小球在最高点时加速度向下，则处于失重状态，D错误。
7.（2025·四川遂宁高一阶段练习）某汽车厂利用下列方式来测量干燥情况下汽车轮胎和地面间的动摩擦因数。如图所示，在一辆车内顶部用细线悬挂一个小球P，使该车在水平路面上沿半径R＝8 m的圆弧弯道转弯。某次转弯测试时，测试车辆在弯道上做匀速圆周运动，从车正后面看，车内小球位置如图所示，此时细线与竖直线夹角为θ＝37°，转弯过程中，小球和车辆保持相对静止，测试车辆刚好不发生侧滑，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10 m/s2，sin 37°＝0.6。求：
（1）此时车辆向左转还是向右转；
（2）车辆轮胎和地面之间的动摩擦因数μ和小车速度v。
答案：（1）向左转　
（2）0.75　2 m/s
解析：（1）小球和车辆保持相对静止，对球进行受力分析，如图所示
可知小球的向心力水平向左，所以车辆向左转。
（2）对小球有mgtan θ＝m
对车有μ（M＋m）g＝（M＋m）
解得μ＝0.75，v＝2 m/s。
8.如图所示，在匀速转动的圆盘圆心处通过一个光滑小孔把质量相等（均为m）的两物块用轻绳连接，物块A到转轴的距离为R＝20 cm，与圆盘间的动摩擦因数为μ＝0.2，且最大静摩擦力等于滑动摩擦力（已知π2＝g），则（　　）
A.物块A一定会受圆盘的摩擦力
B.当转速n＝0.5 r/s时，物块A不受摩擦力
C.物块A所受摩擦力方向一定与线速度方向在一条直线上
D.当圆盘转速n＝1 r/s时，物块A所受摩擦力方向沿半径背离圆心
解析：D　若mg＝mω2R，则物块A不受摩擦力，A错误；当摩擦力为零时，mg＝mω2R＝m（2πn）2R，代入数据解得n＝ r/s，B错误；物块A所受摩擦力方向与半径在一条直线上，指向圆心或背离圆心，C错误；当圆盘转速n＝1 r/s＜ r/s时，物块A有沿半径向内运动的趋势，所受摩擦力方向沿半径背离圆心，D正确。
9.如图所示，水平转盘上的A、B、C三处有三块可视为质点的由同一种材料做成的正方体物块，B、C处物块的质量均为m，A处物块的质量为2m；A、B到轴O的距离均为r，C到轴O的距离为2r，转盘以某一角速度匀速转动时，A、B、C三处的物块都没有发生滑动现象，下列说法中正确的是（　　）
A.A处物块的向心加速度最大
B.B处物块受到的静摩擦力最小
C.当转速增大时，最先滑动起来的是A处的物块
D.当转速继续增大时，最后滑动起来的是C处的物块
解析：B　三物块的角速度相等，C处物块的半径最大，根据an＝ω2r知，向心加速度最大，故A错误；因为B处物块的质量最小，半径最小，根据Ff＝mω2r，可知B处物块受到的静摩擦力最小，故B正确；根据μmg＝mω2r，可得ω＝，C处物块的半径最大，临界角速度最小，所以C处物块最先滑动起来，故C、D错误。
10.（2025·南通市高一期末）如图所示，一质量为m的小球用长度均为L的两轻绳a、b连接，绳a的另一端固定在竖直细杆的P点，绳b的另一端固定在杆上距P点为L的Q点。当杆绕其竖直中心轴匀速转动时，将带动小球在水平面内做匀速圆周运动。不计空气阻力，重力加速度为g。
（1）当绳b刚好拉直（无弹力）时，求小球的线速度大小v；
（2）若两绳能承受的最大拉力均为4mg，求小球绕杆做圆周运动的最小周期T。
答案：（1）　
（2）π
解析：（1）圆周运动的半径r＝Lcos 30°
小球所受的合力提供向心力mgtan 60°＝m
解得v＝。
（2）竖直方向Fasin 30°＝Fbsin 30°＋mg
水平方向Facos 30°＋Fbcos 30°＝mr
当小球做圆周运动的周期减小时，a绳先达到最大拉力Fa＝4mg
解得T＝π。
11.（2025·广东省东莞市高一期中）如图所示，竖直平面内有一圆弧管道，其半径为R＝0.5 m，质量m＝0.8 kg的小球从平台边缘的A处水平射出，恰能沿圆弧管道上P点的切线方向进入管道内侧，管道半径OP与竖直线的夹角为53°，已知管道最高点Q与A点等高，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，g取10 m/s2。
（1）求小球从平台上的A点射出时的速度大小v0；
（2）如果小球沿管道通过圆弧的最高点Q时的速度大小为3 m/s，求小球运动到Q点时对管道的压力；
（3）由于不同小球与管道的摩擦不同，从最高点Q飞出速度范围为0～3 m/s的小球，小球落在地面上最近的点为M，最远的点为N，求MN的距离（计算结果可用根号表示）。
答案：（1）3 m/s　
（2）6.4 N，方向竖直向上
（3） m
解析：（1）小球从A到P的高度差为h＝R（1＋cos 53°）＝0.8 m
小球做平抛运动，竖直方向有h＝gt2
解得t＝0.4 s
则小球在P点的竖直分速度为vy＝gt＝4 m/s
把小球在P点的速度分解可得tan 53°＝
解得小球平抛运动初速度为v0＝3 m/s。
（2）小球到达Q时，速度为vQ＝3 m/s
设小球受到的弹力向下，根据牛顿第二定律可得FN＋mg＝m
解得FN＝6.4 N
由牛顿第三定律可知，小球通过管道的最高点Q时对管道的压力大小为6.4 N，方向竖直向上。
（3）小球从Q点到地面做平抛运动，设小球在Q点速度为v1时，刚好经过P点落到地面上，则竖直方向有R（1＋cos 53°）＝g
解得t1＝0.4 s
水平方向有v1＝＝1 m/s
小球从Q点到地面过程，竖直方向有2R＝g
解得t2＝＝ s
水平方向有x＝vQt2
则小球落在地面上最近点M与最远点N的距离为
Δx＝（vmax－v1）t2＝（3－1）× m＝ m。
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