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一、行星或卫星运行参量的比较
1.定量分析法
（1）列出五个连等式
G＝ma＝m＝mω2r＝mr。
（2）导出四个表达式
a＝，v＝，ω＝，T＝。
（3）结合r大小关系，比较得出a、v、ω、T的大小关系。
2.定性结论法
将下述结论牢记于心：r越大，向心加速度、线速度、动能、角速度均越小，而周期越大。
【例1】　〔多选〕（2024·福建高考真题）据报道，我国计划发射的“巡天号”望远镜将运行在离地面约400 km的轨道上，其视场比“哈勃”望远镜的更大。已知“哈勃”运行在离地面约550 km的轨道上，若两望远镜绕地球近似做匀速圆周运动，则“巡天号”（　　）
A.角速度大小比“哈勃”的小
B.线速度大小比“哈勃”的小
C.运行周期比“哈勃”的小
D.向心加速度大小比“哈勃”的大
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【例2】　〔多选〕（2024·天津高考真题）卫星未发射时静置在赤道上随地球转动，地球半径为R。卫星发射后在地球同步轨道上做匀速圆周运动，轨道半径为r。则卫星未发射时和在轨道上运行时（　　）
A.角速度之比为1∶1
B.线速度之比为∶
C.向心加速度之比为R∶r
D.受到地球的万有引力之比为R2∶r2
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、天体质量和密度的估算
1.利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。
（1）由G＝mg，得天体质量M＝。
（2）天体密度ρ＝＝＝。
（3）GM＝gR2称为黄金代换公式。
2.测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r。
（1）由G＝mr，得天体的质量M＝。
（2）若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。
（3）若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
【例3】　（2024·海南高考6题）嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为（　　）
A. B.
C. D.
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【例4】　（2024·新课标卷16题）天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的（　　）
A.0.001倍 B.0.1倍 C.10倍 D.1 000倍
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、卫星的变轨
1.制动变轨：卫星的速率变小时，使得万有引力大于所需向心力，即G＞m，卫星做向心运动，轨道半径将变小，所以要使卫星的轨道半径变小，需开动反冲发动机。使卫星做减速运动。
2.加速变轨：卫星速率增大时，使得万有引力小于所需向心力，即G＜m，卫星做离心运动，轨道半径将变大。所以要使卫星的轨道半径变大。需开动反冲发动机，使卫星做加速运动。
【例5】　（2024·浙江6月选考8题）与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，小行星甲的远日点到太阳的距离为R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，则（　　）
A.小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度
B.小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度
C.小行星甲与乙的运行周期之比＝
D.甲、乙两星从远日点到近日点的时间之比＝
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【考教衔接】
真题探源 本题源于人教版必修第二册P58·练习与应用T4的情境： 地球的公转轨道接近圆，哈雷彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆（如图）。天文学家哈雷成功预言了哈雷彗星的回归。…… （1）…… （2）若哈雷彗星在近日点与太阳中心的距离为r1，线速度的大小为v1；在远日点与太阳中心的距离为r2，线速度大小为v2，请比较哪个速度大，并求得哈雷彗星在近日点和远日点的加速度大小之比
衔接分析 （1）“教材习题”以地球和哈雷彗星围绕太阳的公转为情境，第（2）问考查了哈雷彗星在近日点和远日点线速度大小和加速度大小的比较。 （2）2024年浙江高考真题以地球和小行星甲、乙围绕太阳公转为情境，除考查小行星甲、乙在近日点和远日点线速度、加速度大小的比较外，还考查了小行星甲、乙的运动周期之比和运动时间之比。 （3）两题题设情境相似，问题设置相似
解题通法 （1）由开普勒第二定律比较近日点和远日点、线速度的大小。 （2）由开普勒第三定律求运动周期之比。 （3）由万有引力定律和牛顿第二定律比较加速度的大小
2 / 3章末整合提升 体系构建 素养提升
一、行星或卫星运行参量的比较
1.定量分析法
（1）列出五个连等式
G＝ma＝m＝mω2r＝mr。
（2）导出四个表达式
a＝，v＝，ω＝，T＝。
（3）结合r大小关系，比较得出a、v、ω、T的大小关系。
2.定性结论法
将下述结论牢记于心：r越大，向心加速度、线速度、动能、角速度均越小，而周期越大。
【例1】　〔多选〕（2024·福建高考真题）据报道，我国计划发射的“巡天号”望远镜将运行在离地面约400 km的轨道上，其视场比“哈勃”望远镜的更大。已知“哈勃”运行在离地面约550 km的轨道上，若两望远镜绕地球近似做匀速圆周运动，则“巡天号”（　CD　）
A.角速度大小比“哈勃”的小
B.线速度大小比“哈勃”的小
C.运行周期比“哈勃”的小
D.向心加速度大小比“哈勃”的大
解析：根据万有引力提供向心力可得＝mω2r＝m＝mr＝ma，可得ω＝，v＝，T＝，a＝，由于“巡天号”的轨道半径小于“哈勃号”的轨道半径，则有ω巡＞ω哈，v巡＞v哈，T巡＜T哈 ，a巡＞a哈 ，故选C、D。
【例2】　〔多选〕（2024·天津高考真题）卫星未发射时静置在赤道上随地球转动，地球半径为R。卫星发射后在地球同步轨道上做匀速圆周运动，轨道半径为r。则卫星未发射时和在轨道上运行时（　AC　）
A.角速度之比为1∶1
B.线速度之比为∶
C.向心加速度之比为R∶r
D.受到地球的万有引力之比为R2∶r2
解析：卫星未发射时静置在赤道上随地球转动，角速度与地球自转角速度相等，卫星发射后在地球同步轨道上做匀速圆周运动，角速度与地球自转角速度相等，则卫星未发射时和在轨道上运行时角速度之比为1∶1，故A正确；根据题意，由公式v＝ωr可知，卫星未发射时和在轨道上运行时，由于角速度相等，则线速度之比为R∶r，故B错误；根据题意，由公式an＝ω2r可知，卫星未发射时和在轨道上运行时，由于角速度相等，则向心加速度之比为R∶r，故C正确；根据题意，由公式F＝可知，卫星未发射时和在轨道上运行时，受到地球的万有引力之比与轨道半径的平方成反比，即r2∶R2，故D错误。
二、天体质量和密度的估算
1.利用天体表面的重力加速度g和天体半径R。
（1）由G＝mg，得天体质量M＝。
（2）天体密度ρ＝＝＝。
（3）GM＝gR2称为黄金代换公式。
2.测出卫星绕天体做匀速圆周运动的周期T和半径r。
（1）由G＝mr，得天体的质量M＝。
（2）若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。
（3）若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，可见，只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度。
【例3】　（2024·海南高考6题）嫦娥六号进入环月圆轨道，周期为T，轨道高度与月球半径之比为k，引力常量为G，则月球的平均密度为（　D　）
A. B.
C. D.
解析：设轨道高度为h，月球半径为R，由万有引力提供向心力可知，
ρ＝，
D正确。
【例4】　（2024·新课标卷16题）天文学家发现，在太阳系外的一颗红矮星有两颗行星绕其运行，其中行星GJ1002c的轨道近似为圆，轨道半径约为日地距离的0.07倍，周期约为0.06年，则这颗红矮星的质量约为太阳质量的（　B　）
A.0.001倍 B.0.1倍
C.10倍 D.1 000倍
解析：＝mr→M＝→＝＝≈0.1，即这颗红矮星的质量约为太阳质量的0.1倍。B正确。
三、卫星的变轨
1.制动变轨：卫星的速率变小时，使得万有引力大于所需向心力，即G＞m，卫星做向心运动，轨道半径将变小，所以要使卫星的轨道半径变小，需开动反冲发动机。使卫星做减速运动。
2.加速变轨：卫星速率增大时，使得万有引力小于所需向心力，即G＜m，卫星做离心运动，轨道半径将变大。所以要使卫星的轨道半径变大。需开动反冲发动机，使卫星做加速运动。
【例5】　（2024·浙江6月选考8题）与地球公转轨道“外切”的小行星甲和“内切”的小行星乙的公转轨道如图所示，假设这些小行星与地球的公转轨道都在同一平面内，地球的公转半径为R，小行星甲的远日点到太阳的距离为R1，小行星乙的近日点到太阳的距离为R2，则（　D　）
A.小行星甲在远日点的速度大于近日点的速度
B.小行星乙在远日点的加速度小于地球公转加速度
C.小行星甲与乙的运行周期之比＝
D.甲、乙两星从远日点到近日点的时间之比＝
解析：由开普勒第二定律知小行星甲在远日点的速度小于在近日点的速度，A错误；小行星乙在远日点到太阳的距离与地球到太阳的距离相等，由G＝ma可知，小行星乙在远日点的加速度和地球的公转加速度相等，B错误；根据开普勒第三定律，有＝，解得＝，C错误；甲、乙两星从远日点到近日点的时间之比＝＝＝，D正确。
【考教衔接】
真题探源 本题源于人教版必修第二册P58·练习与应用T4的情境： 地球的公转轨道接近圆，哈雷彗星的运动轨道则是一个非常扁的椭圆（如图）。天文学家哈雷成功预言了哈雷彗星的回归。…… （1）…… （2）若哈雷彗星在近日点与太阳中心的距离为r1，线速度的大小为v1；在远日点与太阳中心的距离为r2，线速度大小为v2，请比较哪个速度大，并求得哈雷彗星在近日点和远日点的加速度大小之比
衔接分析 （1）“教材习题”以地球和哈雷彗星围绕太阳的公转为情境，第（2）问考查了哈雷彗星在近日点和远日点线速度大小和加速度大小的比较。 （2）2024年浙江高考真题以地球和小行星甲、乙围绕太阳公转为情境，除考查小行星甲、乙在近日点和远日点线速度、加速度大小的比较外，还考查了小行星甲、乙的运动周期之比和运动时间之比。 （3）两题题设情境相似，问题设置相似
解题通法 （1）由开普勒第二定律比较近日点和远日点、线速度的大小。 （2）由开普勒第三定律求运动周期之比。 （3）由万有引力定律和牛顿第二定律比较加速度的大小
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