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专题强化7　系统机械能守恒定律的综合应用
1.能应用机械能守恒定律解决轻绳连接的物体系统机械能守恒问题。 2.能应用机械能守恒定律解决轻杆连接的物体系统机械能守恒问题。 3.能应用机械能守恒定律解决轻弹簧连接的物体系统机械能守恒问题。
强化点一　轻绳连接的物体系统机械能守恒问题
　　
1.常见情境如图所示
2.三个关键
（1）明确两物体的速度关系：图甲、乙、丙中的物体A、B的速度大小相等，图丁中物体A沿绳方向的分速度大小等于物体B的速度大小。
（2）明确两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
（3）明确机械能守恒定律的对象：绳上的拉力对单个物体做正功或负功，所以单个物体的机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。
【例1】　（2025·吉林长春高一期末）如图所示，在固定的光滑水平杆上，
质量为m的物体P用细线跨过光滑的定滑轮连接质量为2m的物体Q，用手托住Q使整个系统静止，此时轻绳刚好拉直，且AO＝L，OB＝h，AB＜BO'，重力加速度为g；释放Q，让二者开始运动，则下列说法正确的是（　　）
A.Q始终比P运动的快
B.在物体P从A滑到B的过程中，P的机械能减小，Q的机械能增加
C.P运动的最大速度为2
D.开始运动后，当P速度再次为零时，Q下降了2（L－h）
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（2025·江苏省连云港高一期中）
如图所示，轻质定滑轮固定在天花板上，物体P和Q用不可伸长的轻绳相连，悬挂在定滑轮上，物体P和Q的质量分别为m、3m，两物体由静止释放。重力加速度大小为g，不计摩擦和空气阻力，两物体均可视为质点。在Q下降距离h（未落地）过程中，下列说法正确的是（　　）
A.绳子拉力的大小为3mg
B.物体P增加的机械能为1.5mgh
C.物体P运动的加速度大小为2g
D.Q下降距离h时，P的速度大小为
强化点二　轻杆连接的物体系统机械能守恒问题
　　
1.常见情境如图所示
2.三大特点
（1）平动时两物体线速度大小相等，转动时两物体角速度相等。
（2）杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
（3）对于杆和物体组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。
　　
【例2】　
如图所示，A、B两小球分别固定在一刚性轻杆的两端，两球球心间相距L＝1.0 m，两球质量分别为mA＝4.0 kg，mB＝1.0 kg，杆上距A球球心0.40 m处有一水平轴O，杆可绕轴无摩擦转动，现先使杆保持水平，然后从静止释放，当杆转到竖直位置，则：（g取10 m/s2）
（1）两球的速度大小各是多少？
（2）转动过程中杆对A球做功为多少？
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
〔多选〕（2025·广西柳州市高一阶段练习）一质量不计的直角形支架两端分别连接质量均为m的小球A和B，支架的两直角边长度分别为2l和l，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图所示。开始时OA边处于水平位置，由静止释放OA，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A.运动过程中，A、B两球的速度大小总相等
B.运动过程中，A、B和支架组成的系统机械能守恒
C.A运动至最低点时速度大小为
D.A运动至最低点的过程中，杆对B做功为mgl
强化点三　轻弹簧连接的系统机械能守恒问题
　　
1.题型特点
由轻质弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功，又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。
2.两点提醒
（1）对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量决定，无论弹簧伸长还是压缩。
（2）物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量往往有关联。
【例3】　（2025·陕西西安期中）如图所示，光滑硬直杆与水平面成53°角固定放置，劲度系数为k、原长为L的轻质弹簧一端固定在O点，
另一端与圆环（视为质点）相连，圆环套在杆上。现让圆环从与O点等高的A点由静止释放，当圆环运动到O点的正下方B点时，圆环的动能正好等于圆环在A处时弹簧的弹性势能。已知A、B两点间的距离为5L，重力加速度大小为g，对劲度系数为k的轻质弹簧，其弹性势能Ep与弹簧的形变量x的关系式为Ep＝kx2，弹簧始终在弹性限度内，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，求：
（1）圆环在B点时的动能；
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
（2）圆环的质量。
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
提示：完成课后作业　第八章　专题强化7
3 / 3专题强化7　系统机械能守恒定律的综合应用
1.能应用机械能守恒定律解决轻绳连接的物体系统机械能守恒问题。 2.能应用机械能守恒定律解决轻杆连接的物体系统机械能守恒问题。 3.能应用机械能守恒定律解决轻弹簧连接的物体系统机械能守恒问题。
强化点一　轻绳连接的物体系统机械能守恒问题
1.常见情境如图所示
2.三个关键
（1）明确两物体的速度关系：图甲、乙、丙中的物体A、B的速度大小相等，图丁中物体A沿绳方向的分速度大小等于物体B的速度大小。
（2）明确两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
（3）明确机械能守恒定律的对象：绳上的拉力对单个物体做正功或负功，所以单个物体的机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。
【例1】　（2025·吉林长春高一期末）如图所示，在固定的光滑水平杆上，质量为m的物体P用细线跨过光滑的定滑轮连接质量为2m的物体Q，用手托住Q使整个系统静止，此时轻绳刚好拉直，且AO＝L，OB＝h，AB＜BO'，重力加速度为g；释放Q，让二者开始运动，则下列说法正确的是（　C　）
A.Q始终比P运动的快
B.在物体P从A滑到B的过程中，P的机械能减小，Q的机械能增加
C.P运动的最大速度为2
D.开始运动后，当P速度再次为零时，Q下降了2（L－h）
解析：设AO与水平方向的夹角为θ，根据速度关联可得vQ＝vPcos θ＜vP，故A错误；当物体P滑到B点时，Q下降到最低点，速度为零，所以在该过程中，根据系统机械能守恒定律可知，Q的机械能减小，P的机械能增大，故B错误；当P运动到B处时，P的速度最大，根据系统机械能守恒定律可得2mg（L－h）＝m，解得P运动的最大速度为vP＝2，故C正确；开始运动后，当P速度再次为零时，即P的机械能不变，则Q的机械能也不变，说明此时Q回到初始释放的位置，故D错误。
（2025·江苏省连云港高一期中）如图所示，轻质定滑轮固定在天花板上，物体P和Q用不可伸长的轻绳相连，悬挂在定滑轮上，物体P和Q的质量分别为m、3m，两物体由静止释放。重力加速度大小为g，不计摩擦和空气阻力，两物体均可视为质点。在Q下降距离h（未落地）过程中，下列说法正确的是（　　）
A.绳子拉力的大小为3mg
B.物体P增加的机械能为1.5mgh
C.物体P运动的加速度大小为2g
D.Q下降距离h时，P的速度大小为
解析：B　对两物体应用整体法可得3mg－mg＝4ma，对物体P应用隔离法可得FT－mg＝ma，联立解得a＝g，FT＝mg，故A、C错误；物体P上升的高度为h，增加的机械能为ΔE＝W其他＝FTh＝1.5mgh，故B正确；Q下降距离h过程，由系统机械能守恒可得3mgh－mgh＝×4mv2，解得v＝，故D错误。
强化点二　轻杆连接的物体系统机械能守恒问题
1.常见情境如图所示
2.三大特点
（1）平动时两物体线速度大小相等，转动时两物体角速度相等。
（2）杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
（3）对于杆和物体组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。
【例2】　如图所示，A、B两小球分别固定在一刚性轻杆的两端，两球球心间相距L＝1.0 m，两球质量分别为mA＝4.0 kg，mB＝1.0 kg，杆上距A球球心0.40 m处有一水平轴O，杆可绕轴无摩擦转动，现先使杆保持水平，然后从静止释放，当杆转到竖直位置，则：（g取10 m/s2）
（1）两球的速度大小各是多少？
答案：（1） m/s　 m/s　
解析：（1）对A、B组成的系统，在转动过程中A、B两球的角速度相同且系统机械能守恒，有mAgLA－mBgLB＝mA＋mB
其中vA∶vB＝ωLA∶ωLB＝LA∶LB，LB＝L－LA
代入数据解得vA＝ m/s，vB＝ m/s。
（2）转动过程中杆对A球做功为多少？
答案：（2）－9.6 J
解析：（2）对A球应用动能定理，有mAgLA＋W＝mA－0，
解得W＝－9.6 J。
〔多选〕（2025·广西柳州市高一阶段练习）一质量不计的直角形支架两端分别连接质量均为m的小球A和B，支架的两直角边长度分别为2l和l，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图所示。开始时OA边处于水平位置，由静止释放OA，不计空气阻力，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A.运动过程中，A、B两球的速度大小总相等
B.运动过程中，A、B和支架组成的系统机械能守恒
C.A运动至最低点时速度大小为
D.A运动至最低点的过程中，杆对B做功为mgl
解析：BC　A、B两球同轴转动，角速度相等，根据v＝ωr，可得＝＝2，故运动过程中，A、B两球的速度大小不相等，故A错误；运动过程中，系统中只有重力做功，A、B和支架组成的系统机械能守恒，故B正确；A运动至最低点时，根据机械能守恒定律，有mg·2l－mgl＝m＋m，联立解得vA＝，vB＝，故C正确；A运动至最低点的过程中，对B，根据动能定理有W－mgl＝m－0，解得W＝mgl，故D错误。
强化点三　轻弹簧连接的系统机械能守恒问题
1.题型特点
由轻质弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功，又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。
2.两点提醒
（1）对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量决定，无论弹簧伸长还是压缩。
（2）物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量往往有关联。
【例3】　（2025·陕西西安期中）如图所示，光滑硬直杆与水平面成53°角固定放置，劲度系数为k、原长为L的轻质弹簧一端固定在O点，另一端与圆环（视为质点）相连，圆环套在杆上。现让圆环从与O点等高的A点由静止释放，当圆环运动到O点的正下方B点时，圆环的动能正好等于圆环在A处时弹簧的弹性势能。已知A、B两点间的距离为5L，重力加速度大小为g，对劲度系数为k的轻质弹簧，其弹性势能Ep与弹簧的形变量x的关系式为Ep＝kx2，弹簧始终在弹性限度内，sin 53°＝0.8，cos 53°＝0.6，求：
（1）圆环在B点时的动能；
答案：（1）2kL2　
解析：（1）由几何关系有OA＝3L，OB＝4L
弹簧的原长为L，则圆环在A点时弹簧的伸长量为2L，弹簧的弹性势能EpA＝k＝2kL2
圆环在B点时的动能EkB＝EpA＝2kL2。
（2）圆环的质量。
答案：（2）
解析：（2）圆环在B点时弹簧的伸长量为3L，弹簧的弹性势能EpB＝k＝4.5kL2
圆环从A点运动到B点，由机械能守恒定律，有mg·4L＝EpB－EpA＋EkB
解得圆环的质量m＝。
1.（2025·北京西城高一期末）如图所示，在两个质量分别为m和2m的小球A和B之间用一根长为L的轻杆连接，轻杆可绕中心O的水平轴无摩擦转动，现让杆处于水平位置无初速度释放，在杆转至竖直的过程中（轻杆质量不计）（　　）
A.A球机械能减小
B.杆对B球不做功，B球机械能守恒
C.A球和B球总机械能守恒
D.A球和B球总机械能不守恒
解析：C　释放后，A球向上运动，速度增大，高度增大，所以A球的动能和势能都增大，即A球的机械能增大，故A错误；在杆从水平位置转至竖直的过程中，A球和B球组成的系统只有重力做功，所以系统的机械能守恒，又根据机械能守恒定律可得EA增＝EB减，所以A球的机械能增大，B球的机械能减少，杆对B球做负功，故B、D错误，C正确。
2.〔多选〕如图所示，轻质弹簧的一端与固定的竖直板P拴接，另一端与A物体相连，A物体静止于光滑水平桌面上，右端接一细线，细线绕过光滑的定滑轮与B物体相连。开始时用手托住B，让细线恰好伸直，然后由静止释放B，直至B获得最大速度。下列有关该过程的分析正确的是（　　）
A.B物体的机械能一直减小
B.B物体的动能增加量等于B物体重力势能的减少量
C.B物体机械能的减少量等于弹簧弹性势能的增加量
D.细线拉力对A物体做的功等于A物体与弹簧组成的系统机械能的增加量
解析：AD　根据题意可知，从B开始运动到获得最大速度的过程中，细线拉力一直对B物体做负功，则B物体的机械能一直减小，故A正确；根据题意可知，A物体、B物体和弹簧组成的系统机械能守恒，则B物体重力势能的减少量等于A、B物体动能的增加量和弹簧弹性势能的增加量之和，B物体机械能的减少量等于A物体动能的增加量和弹簧弹性势能的增加量之和，故B、C错误；根据功能关系，除重力和系统内弹力以外的力，即细线的拉力做的功等于A物体与弹簧组成的系统机械能的增加量，故D正确。
3.（2025·辽宁省朝阳市高一期末）如图所示，B物体的质量是A物体质量的一半，不计所有摩擦，A物体从离地面高H处由静止开始下落，以地面为参考平面，当A物体的动能与其重力势能相等时，A物体距地面的高度为（设该过程中B物体未与滑轮相碰）（　　）
A.0.4H B.0.2H
C.0.8H D.H
解析：A　对A、B两物体组成的系统，只有重力做功，系统机械能守恒，B的重力势能不变，所以A重力势能的减小量等于系统动能的增加量，有mAg＝v2，又因为A物体的动能与其重力势能相等，有mAgh＝mAv2，又因为B物体的质量是A物体质量的一半，解得h＝0.4H，故选A。
4.如图，可视为质点的小球A、B用不可伸长的细软轻线连接，跨过固定在地面上、半径为R的光滑圆柱，A的质量为B的3倍。当B位于地面时，A恰与圆柱轴心等高，将A由静止释放，B上升的最大高度是（　　）
A.R B.R
C.R D.R
解析：D　当A刚下落到地面时，由机械能守恒定律得3mgR－mgR＝×3mv2＋mv2，A落地后B将继续上升到速度为零，设继续上升的高度为h，有mv2＝mgh，联立解得h＝R，则B上升的最大高度是h＋R＝R，故选D。
5.〔多选〕如图所示，光滑细杆AB、AC在A点连接，AB竖直放置，AC水平放置，两相同的中心有小孔的小球M、N，分别套在AB和AC上，并用一细绳相连，细绳恰好被拉直，现由静止释放M、N，在运动过程中下列说法中正确的是（　　）
A.M球的机械能守恒
B.M球的机械能减小
C.M和N组成的系统的机械能守恒
D.绳的拉力对N做负功
解析：BC　因M下落的过程中细绳的拉力对M球做负功，对N球做正功，故M球的机械能减小，N球的机械能增加，但M和N组成的系统的机械能守恒，故B、C正确，A、D错误。
6.（2025·福建省福州市高一期末）如图所示，一条轻绳跨过光滑定滑轮，两端与质量分别为2m和m的物体P、Q连接，劲度系数为k的轻弹簧竖直放置，上端与物体Q相连，下端固定在水平面上。用手托住物体P，当轻绳刚好被拉直时，物体P离地的高度为L，重力加速度大小为g。物体P由静止释放后，落地时的速度恰好为0，则物体P下落过程中（　　）
A.物体P、Q组成的系统机械能守恒
B.物体P、Q组成的系统机械能一直减少
C.当物体P下降 时具有最大速度
D.弹簧的弹性势能增加了mgL
解析：D　物体P下落过程中，物体P、Q和弹簧组成的系统机械能守恒；弹簧先处于压缩状态后处于伸长状态，弹性势能先减小后增加，则物体P、Q组成的系统机械能先增加后减小，故A、B错误；用手托住物体P，当轻绳刚好被拉直时，弹簧压缩量为Δx＝，当物体P下降时，弹簧恰好恢复原长，此时P仍有向下的加速度，速度不是最大，故C错误；物体P下落过程中，物体P、Q组成的系统重力势能减少了gL，则弹簧的弹性势能增加了mgL，故D正确。
7.如图所示，长度相同的三根轻杆构成一个正三角形支架，固定质量为2m的小球A，固定质量为m的小球B，支架悬挂在O点，可绕过O点与支架所在平面相垂直的固定轴转动。开始时OB与地面相垂直，放手后开始运动。在无任何阻力的情况下，下列说法中正确的是（　　）
A.A球到达最低点时速度为零
B.A球重力势能减少量等于B球机械能增加量
C.B球向左摆动所能达到的最高位置高于A球开始运动的高度
D.当支架从左向右回摆时，A球不能回到起始高度
解析：C　在整个过程中，A球、B球组成的系统机械能守恒，则当A球到达最低点时，A球减少的重力势能大于B球增加的重力势能，根据系统机械能守恒知，此时系统动能不为零，A球的速度不为零，故A错误；因为系统机械能守恒，即A、B两球的机械能总量保持不变，A球重力势能的减少量等于B球机械能的增加量和A球动能的增加量之和，故B错误；因为B球质量小于A球质量，当A球到达最低点时，A球重力势能的减少量大于B球的重力势能增加量，说明此时系统仍有速度，故B球要继续上升，则B球向左摆动所能达到的最高位置高于A球开始运动的高度，故C正确；因为不计一切阻力，系统机械能守恒，故当支架从左向右摆动时，A球一定能回到起始高度，故D错误。
8.〔多选〕（2025·黑龙江省牡丹江市高一阶段练习）轻杆AB长2L，A端连在固定轴上，B端固定一个质量为2m的小球，中点C固定一个质量为m的小球。AB杆可以绕A端在竖直平面内自由转动。现将杆置于水平位置，如图所示，然后由静止释放，重力加速度为g，不计各处摩擦与空气阻力，则下列说法正确的是（　　）
A.AB杆转到竖直位置时，角速度为
B.AB杆转到竖直位置的过程中，B端小球的机械能的增量为mgL
C.杆AC对C端小球做正功
D.AB杆转动过程中，C端小球机械能守恒
解析：AB　在AB杆由静止释放到转到竖直位置的过程中，以B端小球的最低点为零势能点，根据机械能守恒定律有mg·2L＋2mg＝mgL＋×2m＋m，解得角速度ω＝，故A正确；在此过程中，B端小球机械能的增量为ΔEB＝E末－E初＝×2m－2mg·＝mgL，故B正确；AB杆转动过程中，杆AC对C端小球不做功，杆CB对C端小球做负功，对B端小球做正功，故C错误；由C选项分析可知C端小球机械能不守恒，B、C端小球系统机械能守恒，故D错误。
9.如图所示，将运动员在单杠上的运动等效为“L”形物体绕直角顶点O在单杠上转动。运动员的上身质量等效在A点，质量为3m，运动员的腿部质量等效在B点，质量为2m，其中AO⊥BO，OA长为L，OB长为2L。起始时运动员身体上部直立，腿部水平，之后使身体保持形态不变绕单杠自由转动起来，重力加速度为g，不计一切阻力。求：
（1）B点转到最低点时的速度大小；
（2）B点由初始位置转到最低点的过程中，B的机械能增量。
答案：（1）2　
（2）mgL
解析：（1）当B点转到最低点时，根据机械能守恒定律有
2mg×2L＋3mg·L＝×3m＋×2m
由于运动员在转动过程中各部分的角速度相同，故有v1＝v2
联立以上两式解得v1＝，v2＝2。
（2）设B在最低点的位置为零势能位置，则开始时B的总机械能E1＝4mgL
转到最低点时，B的总机械能E2＝×2m＝
故机械能增量ΔE＝E2－E1＝mgL。
10.（2025·连云港市高一期中）如图所示，物体A的质量为M，圆环B的质量为m，通过足够长且不可伸长的轻绳连接在一起，圆环套在光滑的竖直杆上，开始时连接圆环的绳子处于水平，长度l＝4 m，现由静止释放圆环，不计定滑轮的大小和摩擦，忽略空气的阻力，取重力加速度g＝10 m/s2。
（1）若M＝2m，求圆环能下降的最大高度；
（2）若圆环下降h＝3 m时的速度v＝5 m/s，则M与m应满足什么关系。
答案：（1） m　
（2）＝
解析：（1）若M＝2m，设圆环能下降的最大高度为hm，根据系统机械能守恒可得
mghm－MghA＝0
由几何关系可得hA＝－l
联立解得hm＝ m。
（2）圆环下降h＝3 m时的速度为vB＝v＝5 m/s
把圆环速度分解，如图所示。
由几何关系可得vA＝vBcos θ
cos θ＝
由系统机械能守恒可得mgh－MghA'＝m＋M
又有hA'＝－l
联立解得A和B的质量关系为＝。
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