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2.4.1　圆的标准方程
【课程标准要求】　1.掌握圆的定义及标准方程.2.会用待定系数法求圆的标准方程,能准确判断点与圆的位置关系.
知识点一　圆的标准方程
1.条件:圆心为C(a,b),半径长为r.
2.方程:(x-a)2+(y-b)2=r2.
3.特例:圆心为坐标原点,半径长为r的圆的方程是x2+y2=r2.
圆的标准方程中含有三个参数a,b,r,只要求出a,b,r,圆的方程就确定了,因此,确定圆的标准方程需要三个独立条件,其中圆心是定位条件,半径是定形条件.
知识点二　点与圆的位置关系
圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圆心为C(a,b),半径为r,点P(x0,y0),
设d=|PC|=.
位置关系 利用距离判断 利用方程判断
点在圆外 d>r (x0-a)2+(y0-b)2>r2
点在圆上 d=r (x0-a)2+(y0-b)2=r2
点在圆内 d基础自测
1.圆(x-2)2+(y+1)2=1的圆心坐标为(　　)
[A](-2,1) [B](2,-1)
[C](-4,2) [D](4,-2)
2.点P(1,3)与圆x2+y2=24的位置关系是(　　)
[A]点在圆外 [B]点在圆内
[C]点在圆上 [D]不确定
3.(人教A版选择性必修第一册P85练习T1改编)以(1,-2)为圆心,为半径的圆的标准方程是　　　　　　　.
题型一　判断点与圆的位置关系
[例1] 已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=1,则下列点在圆C内的是(　　)
[A](0,0) [B](1,0)
[C](2,1) [D](,)
因为(1-1)2+(0-1)2=1,所以点(1,0)在圆上,所以B错误;
因为(2-1)2+(1-1)2=1,所以点(2,1)在圆上,所以C错误;
因为(-1)2+(-1)2=<1,所以(,)在圆内,所以D正确.故选D.
[典例迁移] 若点(1,a)在圆(x-1)2+y2=1的内部,则实数a的取值范围是(　　)
[A] (-1,1) [B](-∞,1)
[C][0,1) [D](1,+∞)
所以(1-1)2+a2<1,
即a2<1,
解得-1即实数a的取值范围是(-1,1).
故选A.
判断点与圆的位置关系的方法
(1)只需计算该点与圆心的距离,与半径作比较即可.
(2)把点的坐标代入圆的标准方程,判断式子两边的大小,并作出判断.
题型二　求圆的标准方程
角度1　直接法
[例2] (1)圆心坐标为(2,1),且与y轴相切,则该圆的标准方程是(　　)
[A](x-2)2+(y-1)2=1
[B](x-1)2+(y-2)2=1
[C](x-2)2+(y-1)2=4
[D](x-1)2+(y-2)2=4
(2)以两点A(1,0)和B(3,0)为直径端点的圆的标准方程是　　　　　　　.
故选C.
(2)圆心坐标为(,),
即(2,0).
|AB|==2,所以圆的半径为1,
所以所求的圆的标准方程为(x-2)2+y2=1.
直接法求圆的标准方程的策略
确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径,常用到中点坐标公式、两点间距离公式,有时还用到平面几何知识,如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等.
[变式训练] 求满足下列条件的圆的标准方程:
(1)圆心为(2,3),经过点(1,-1);
(2)圆心在直线x=-1上,且与y轴交于点A(0,4),B(0,2);
(3)经过直线2x+y+1=0与x-2y+3=0的交点,圆心为点C(-2,1).
r==,
故圆的标准方程为(x-2)2+(y-3)2=17.
(2)因为圆与y轴交于点A(0,4),B(0,2),所以圆心在直线y=3上.
又圆心在直线x=-1上,所以圆心的坐标为(-1,3),
所以圆的半径r==,
故圆的标准方程为(x+1)2+(y-3)2=2.
(3)联立2x+y+1=0与x-2y+3=0,
解得
所以交点为(-1,1),
则圆的半径为=1,所以圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=1.
角度2　待定系数法与几何性质法
[例3] (北师大版选择性必修第一册P30例3)求经过 A(1,3),B(4,2)两点,且圆心C在直线l:x+y-3=0上的圆的标准方程.
由圆经过A,B两点且圆心C在直线l上,可得方程组
①-②,得
(1-a)2+(3-b)2=(4-a)2+(2-b)2,④
化简,整理得3a-b-5=0,⑤
联立③⑤,
解得
代入①,得r2=5.
故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
(1)待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
(2)几何法即是利用平面几何知识,求出圆心和半径,然后写出圆的标准方程.
[变式训练] (1)已知圆过点A(1,-2),B(-1,4),且圆心的纵坐标为2,求圆的标准方程.
(2)经过M(1,0),N(2,1)两点,且圆心C在直线x+2y-2=0上,求圆C的方程.
则有
解得所以所求圆的标准方程为(x-3)2+(y-2)2=20.
所以kMN==1,MN中点为(,),
所以MN中垂线方程为y-=-(x-),
整理得x+y-2=0,
联立
解得
所以C(2,0),
又|CM|==1,
所以圆C的方程为(x-2)2+y2=1.
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.圆(x+2)2+(y+2)2=2的圆心坐标和半径分别为(　　)
[A](2,2), [B](-2,-2),
[C](2,2),2 [D](-2,-2),2
2.若直线x+y+a=0过圆(x-1)2+(y+2)2=2的圆心,则实数a的值为(　　)
[A]-1 [B]1
[C]0 [D]2
因为直线x+y+a=0过圆心(1,-2),所以1-2+a=0,解得a=1.故选B.
3.点M(a,a+1)与圆C:(x-1)2+y2=1的位置关系是(　　)
[A]M在C外
[B]M在C上
[C]M在C内
[D]不确定,与a的取值有关
所以M在C外.故选A.
4.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,1)的圆的标准方程是(　　)
[A]x2+(y-2)2=1 [B]x2+(y+2)2=1
[C]x2+(y-1)2=1 [D]x2+(y+1)2=1
可设圆的标准方程为x2+(y-b)2=1,
由圆过(1,1)可得1+(1-b)2=1,解得b=1,
则所求圆的标准方程为x2+(y-1)2=1.故选C.
5.(多选题)已知P1(4,9),P2(6,3)两点,以线段P1P2为直径的圆为圆P,则(　　)
[A]M(6,9)在圆P上 [B]N(3,3)在圆P内
[C]Q(5,3)在圆P内 [D]R(2,7)在圆P外
易知|MP|==r,|NP|=>r,|QP|=3所以M,R点在圆P上,点N在圆P外,点Q在圆P内.
故选AC.
6.(多选题)以直线2x+y-4=0与两坐标轴的一个交点为圆心,过另一个交点的圆的方程可能为(　　)
[A]x2+(y-4)2=20
[B](x-4)2+y2=20
[C]x2+(y-2)2=20
[D](x-2)2+y2=20
则|AB|==2,
以A为圆心,过B点的圆的方程为x2+(y-4)2=20,所以以B为圆心,过A点的圆的方程为(x-2)2+y2=20.
故选AD.
7.(5分)与圆C:(x-1)2+y2=36同圆心,且面积等于圆C面积的一半的圆的标准方程为　　　　　　　　　.
又圆心坐标为(1,0),则所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=18.
8.(5分)过点O(0,0),A(2,0),B(0,2)的圆的标准方程为　　　　　　　　.
即x=1,
也在OB的垂直平分线上,即y=1,
所以圆心坐标为(1,1),r2=(1-0)2+(1-0)2=2,
所以圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.
9.(12分)已知某圆圆心在x轴上,半径长为5,且截y轴所得线段长为8,求该圆的标准方程.
所以|AO|=4.
在Rt△AOC中,
|OC|===3.
设点C坐标为(a,0),
则|OC|=|a|=3,所以a=±3.
所以所求圆的方程为(x+3)2+y2=25或(x-3)2+y2=25.
10.(14分)已知点A(1,-2),B(-1,4),求:
(1)过点A,B且周长最小的圆的标准方程;
(2)过点A,B且圆心在直线2x-y-4=0上的圆的标准方程.
即AB的中点(0,1)为圆心,
半径r=|AB|=,
则圆的标准方程为x2+(y-1)2=10.
(2)AB的斜率为k=-3,则AB的垂直平分线的方程是y-1=x,即x-3y+3=0,
由圆心在直线2x-y-4=0上,得两直线交点为圆心,即圆心坐标是C(3,2).
r=|AC|==2.
故所求圆的标准方程是(x-3)2+(y-2)2=20.
11.已知圆M:(x+1)2+(y+2)2=1,则圆M关于直线l:2x-y-5=0的对称圆的方程为(　　)
[A](x-4)2+(y+3)2=1
[B](x+4)2+(y+3)2=1
[C](x-3)2+(y-4)2=1
[D](x-3)2+(y+4)2=1
设对称圆的圆心为(a,b),
依题意得
解得
又圆M的半径与对称圆的半径相等,
所以对称圆的方程为(x-3)2+(y+4)2=1.
故选D.
12.设点P(x,y)为圆(x-2)2+(y-1)2=1上任一点,点A(-1,5),则|AP|的最小值是(　　)
[A] [B]4
[C]6 [D]3
则点A在圆外,所以|AP|min=5-1=4.故选B.
13.(17分)已知矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0),AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,点T(-1,1)在AD边所在的直线上.
(1)求AD边所在直线的方程;
(2)求矩形ABCD外接圆的标准方程.
所以直线AD的斜率为-3.
又因为点T(-1,1)在直线AD上,所以AD边所在直线的方程为y-1=-3(x+1),
即3x+y+2=0.
(2)由
解得点A的坐标为(0,-2).
因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0).
所以M为矩形ABCD外接圆的圆心.
又|AM|==2,
从而矩形ABCD外接圆的方程为(x-2)2+y2=8.
14.(5分)方程|y|-1=所表示的曲线的长度是　　　　.
所以y≥1或y≤-1.
将原式变形可得(x-2)2+(|y|-1)2=3,所以曲线为两个半圆,半径为,
所以曲线的长度为C=2π×=2π.2.4.1　圆的标准方程
【课程标准要求】　1.掌握圆的定义及标准方程.2.会用待定系数法求圆的标准方程,能准确判断点与圆的位置关系.
知识点一　圆的标准方程
1.条件:圆心为C(a,b),半径长为r.
2.方程:(x-a)2+(y-b)2=r2.
3.特例:圆心为坐标原点,半径长为r的圆的方程是x2+y2=r2.
圆的标准方程中含有三个参数a,b,r,只要求出a,b,r,圆的方程就确定了,因此,确定圆的标准方程需要三个独立条件,其中圆心是定位条件,半径是定形条件.
知识点二　点与圆的位置关系
圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圆心为C(a,b),半径为r,点P(x0,y0),
设d=|PC|=.
位置关系 利用距离判断 利用方程判断
点在圆外 d>r (x0-a)2+(y0-b)2>r2
点在圆上 d=r (x0-a)2+(y0-b)2=r2
点在圆内 d基础自测
1.圆(x-2)2+(y+1)2=1的圆心坐标为(　　)
[A](-2,1) [B](2,-1)
[C](-4,2) [D](4,-2)
【答案】 B
【解析】 由题可知圆心坐标为(2,-1).故选B.
2.点P(1,3)与圆x2+y2=24的位置关系是(　　)
[A]点在圆外 [B]点在圆内
[C]点在圆上 [D]不确定
【答案】 B
【解析】 因为12+32=10<24,所以点P(1,3)在圆x2+y2=24内.故选B.
3.(人教A版选择性必修第一册P85练习T1改编)以(1,-2)为圆心,为半径的圆的标准方程是　　　　　　　.
【答案】 (x-1)2+(y+2)2=2
【解析】 由题设圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=2.
题型一　判断点与圆的位置关系
[例1] 已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=1,则下列点在圆C内的是(　　)
[A](0,0) [B](1,0)
[C](2,1) [D](,)
【答案】 D
【解析】 因为(0-1)2+(0-1)2=2>1,所以点(0,0)在圆外,所以A错误;
因为(1-1)2+(0-1)2=1,所以点(1,0)在圆上,所以B错误;
因为(2-1)2+(1-1)2=1,所以点(2,1)在圆上,所以C错误;
因为(-1)2+(-1)2=<1,所以(,)在圆内,所以D正确.故选D.
[典例迁移] 若点(1,a)在圆(x-1)2+y2=1的内部,则实数a的取值范围是(　　)
[A] (-1,1) [B](-∞,1)
[C][0,1) [D](1,+∞)
【答案】 A
【解析】 因为点(1,a)在圆(x-1)2+y2=1的内部,
所以(1-1)2+a2<1,
即a2<1,
解得-1即实数a的取值范围是(-1,1).
故选A.
判断点与圆的位置关系的方法
(1)只需计算该点与圆心的距离,与半径作比较即可.
(2)把点的坐标代入圆的标准方程,判断式子两边的大小,并作出判断.
题型二　求圆的标准方程
角度1　直接法
[例2] (1)圆心坐标为(2,1),且与y轴相切,则该圆的标准方程是(　　)
[A](x-2)2+(y-1)2=1
[B](x-1)2+(y-2)2=1
[C](x-2)2+(y-1)2=4
[D](x-1)2+(y-2)2=4
(2)以两点A(1,0)和B(3,0)为直径端点的圆的标准方程是　　　　　　　.
【答案】 (1)C　(2)(x-2)2+y2=1
【解析】 (1)根据题意知圆心为(2,1),半径为2,故圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.
故选C.
(2)圆心坐标为(,),
即(2,0).
|AB|==2,所以圆的半径为1,
所以所求的圆的标准方程为(x-2)2+y2=1.
直接法求圆的标准方程的策略
确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径,常用到中点坐标公式、两点间距离公式,有时还用到平面几何知识,如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等.
[变式训练] 求满足下列条件的圆的标准方程:
(1)圆心为(2,3),经过点(1,-1);
(2)圆心在直线x=-1上,且与y轴交于点A(0,4),B(0,2);
(3)经过直线2x+y+1=0与x-2y+3=0的交点,圆心为点C(-2,1).
【解】 (1)由两点间的距离公式可得圆的半径
r==,
故圆的标准方程为(x-2)2+(y-3)2=17.
(2)因为圆与y轴交于点A(0,4),B(0,2),所以圆心在直线y=3上.
又圆心在直线x=-1上,所以圆心的坐标为(-1,3),
所以圆的半径r==,
故圆的标准方程为(x+1)2+(y-3)2=2.
(3)联立2x+y+1=0与x-2y+3=0,
解得
所以交点为(-1,1),
则圆的半径为=1,所以圆的方程为(x+2)2+(y-1)2=1.
角度2　待定系数法与几何性质法
[例3] (北师大版选择性必修第一册P30例3)求经过 A(1,3),B(4,2)两点,且圆心C在直线l:x+y-3=0上的圆的标准方程.
【解】 设该圆的标准方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,
由圆经过A,B两点且圆心C在直线l上,可得方程组
①-②,得
(1-a)2+(3-b)2=(4-a)2+(2-b)2,④
化简,整理得3a-b-5=0,⑤
联立③⑤,
解得
代入①,得r2=5.
故所求圆的标准方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
(1)待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
(2)几何法即是利用平面几何知识,求出圆心和半径,然后写出圆的标准方程.
[变式训练] (1)已知圆过点A(1,-2),B(-1,4),且圆心的纵坐标为2,求圆的标准方程.
(2)经过M(1,0),N(2,1)两点,且圆心C在直线x+2y-2=0上,求圆C的方程.
(1)【解】 设所求圆的标准方程为(x-m)2+(y-2)2=n2(n>0),
则有
解得所以所求圆的标准方程为(x-3)2+(y-2)2=20.
(2)【解】 因为M(1,0),N(2,1),
所以kMN==1,MN中点为(,),
所以MN中垂线方程为y-=-(x-),
整理得x+y-2=0,
联立
解得
所以C(2,0),
又|CM|==1,
所以圆C的方程为(x-2)2+y2=1.
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.圆(x+2)2+(y+2)2=2的圆心坐标和半径分别为(　　)
[A](2,2), [B](-2,-2),
[C](2,2),2 [D](-2,-2),2
【答案】 B
【解析】 根据圆的标准方程(x+2)2+(y+2)2=2,即可得圆心坐标为(-2,-2),半径为.故选B.
2.若直线x+y+a=0过圆(x-1)2+(y+2)2=2的圆心,则实数a的值为(　　)
[A]-1 [B]1
[C]0 [D]2
【答案】 B
【解析】 由圆的标准方程(x-1)2+(y+2)2=2,可得圆心坐标为(1,-2),
因为直线x+y+a=0过圆心(1,-2),所以1-2+a=0,解得a=1.故选B.
3.点M(a,a+1)与圆C:(x-1)2+y2=1的位置关系是(　　)
[A]M在C外
[B]M在C上
[C]M在C内
[D]不确定,与a的取值有关
【答案】 A
【解析】 由圆心C(1,0),M(a,a+1)可得|MC|==≥>1,
所以M在C外.故选A.
4.圆心在y轴上,半径为1,且过点(1,1)的圆的标准方程是(　　)
[A]x2+(y-2)2=1 [B]x2+(y+2)2=1
[C]x2+(y-1)2=1 [D]x2+(y+1)2=1
【答案】 C
【解析】 由题意,设圆心坐标为(0,b),半径r=1,
可设圆的标准方程为x2+(y-b)2=1,
由圆过(1,1)可得1+(1-b)2=1,解得b=1,
则所求圆的标准方程为x2+(y-1)2=1.故选C.
5.(多选题)已知P1(4,9),P2(6,3)两点,以线段P1P2为直径的圆为圆P,则(　　)
[A]M(6,9)在圆P上 [B]N(3,3)在圆P内
[C]Q(5,3)在圆P内 [D]R(2,7)在圆P外
【答案】 AC
【解析】 以线段P1P2为直径的圆的圆心P的坐标为(5,6),半径r=|PP1|=,
易知|MP|==r,|NP|=>r,|QP|=3所以M,R点在圆P上,点N在圆P外,点Q在圆P内.
故选AC.
6.(多选题)以直线2x+y-4=0与两坐标轴的一个交点为圆心,过另一个交点的圆的方程可能为(　　)
[A]x2+(y-4)2=20
[B](x-4)2+y2=20
[C]x2+(y-2)2=20
[D](x-2)2+y2=20
【答案】 AD
【解析】 令x=0,则y=4;令y=0,则x=2.设直线2x+y-4=0与两坐标轴的交点分别为 A(0,4),B(2,0),
则|AB|==2,
以A为圆心,过B点的圆的方程为x2+(y-4)2=20,所以以B为圆心,过A点的圆的方程为(x-2)2+y2=20.
故选AD.
7.(5分)与圆C:(x-1)2+y2=36同圆心,且面积等于圆C面积的一半的圆的标准方程为　　　　　　　　　.
【答案】 (x-1)2+y2=18
【解析】 圆C的半径R=6,设所求圆的半径为r,则=,所以r2=18,
又圆心坐标为(1,0),则所求圆的标准方程为(x-1)2+y2=18.
8.(5分)过点O(0,0),A(2,0),B(0,2)的圆的标准方程为　　　　　　　　.
【答案】 (x-1)2+(y-1)2=2
【解析】 由题意圆心在OA的垂直平分线上,
即x=1,
也在OB的垂直平分线上,即y=1,
所以圆心坐标为(1,1),r2=(1-0)2+(1-0)2=2,
所以圆的标准方程为(x-1)2+(y-1)2=2.
9.(12分)已知某圆圆心在x轴上,半径长为5,且截y轴所得线段长为8,求该圆的标准方程.
【解】如图所示,由题设|AC|=r=5,|AB|=8,
所以|AO|=4.
在Rt△AOC中,
|OC|===3.
设点C坐标为(a,0),
则|OC|=|a|=3,所以a=±3.
所以所求圆的方程为(x+3)2+y2=25或(x-3)2+y2=25.
10.(14分)已知点A(1,-2),B(-1,4),求:
(1)过点A,B且周长最小的圆的标准方程;
(2)过点A,B且圆心在直线2x-y-4=0上的圆的标准方程.
【解】 (1)当AB为直径时,过A,B的圆的半径最小,从而周长最小.
即AB的中点(0,1)为圆心,
半径r=|AB|=,
则圆的标准方程为x2+(y-1)2=10.
(2)AB的斜率为k=-3,则AB的垂直平分线的方程是y-1=x,即x-3y+3=0,
由圆心在直线2x-y-4=0上,得两直线交点为圆心,即圆心坐标是C(3,2).
r=|AC|==2.
故所求圆的标准方程是(x-3)2+(y-2)2=20.
11.已知圆M:(x+1)2+(y+2)2=1,则圆M关于直线l:2x-y-5=0的对称圆的方程为(　　)
[A](x-4)2+(y+3)2=1
[B](x+4)2+(y+3)2=1
[C](x-3)2+(y-4)2=1
[D](x-3)2+(y+4)2=1
【答案】 D
【解析】 圆M的圆心为M(-1,-2),
设对称圆的圆心为(a,b),
依题意得
解得
又圆M的半径与对称圆的半径相等,
所以对称圆的方程为(x-3)2+(y+4)2=1.
故选D.
12.设点P(x,y)为圆(x-2)2+(y-1)2=1上任一点,点A(-1,5),则|AP|的最小值是(　　)
[A] [B]4
[C]6 [D]3
【答案】 B
【解析】 点A(-1,5)与圆(x-2)2+(y-1)2=1的圆心(2,1)的距离为=5,
则点A在圆外,所以|AP|min=5-1=4.故选B.
13.(17分)已知矩形ABCD的两条对角线相交于点M(2,0),AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,点T(-1,1)在AD边所在的直线上.
(1)求AD边所在直线的方程;
(2)求矩形ABCD外接圆的标准方程.
【解】 (1)因为AB边所在直线的方程为x-3y-6=0,且AD与AB垂直,
所以直线AD的斜率为-3.
又因为点T(-1,1)在直线AD上,所以AD边所在直线的方程为y-1=-3(x+1),
即3x+y+2=0.
(2)由
解得点A的坐标为(0,-2).
因为矩形ABCD两条对角线的交点为M(2,0).
所以M为矩形ABCD外接圆的圆心.
又|AM|==2,
从而矩形ABCD外接圆的方程为(x-2)2+y2=8.
14.(5分)方程|y|-1=所表示的曲线的长度是　　　　.
【答案】 2π
【解析】 由|y|-1=,得|y|-1≥0,
所以y≥1或y≤-1.
将原式变形可得(x-2)2+(|y|-1)2=3,所以曲线为两个半圆,半径为,
所以曲线的长度为C=2π×=2π.(共26张PPT)
2.4　圆的方程
2.4.1　圆的
标准方程
1.掌握圆的定义及标准方程.2.会用待定系数法求圆的标准方程,能准确判断点与圆的位置关系.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　圆的标准方程
1.条件:圆心为C(a,b),半径长为r.
2.方程: .
3.特例:圆心为坐标原点,半径长为r的圆的方程是 .
(x-a)2+(y-b)2=r2
x2+y2=r2
圆的标准方程中含有三个参数a,b,r,只要求出a,b,r,圆的方程就确定了,因此,确定圆的标准方程需要三个独立条件,其中圆心是定位条件,半径是定形条件.
·疑难解惑·
知识点二　点与圆的位置关系
圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),其圆心为C(a,b),半径为r,点P(x0,y0),
位置关系 利用距离判断 利用方程判断
点在圆外 D r (x0-a)2+(y0-b)2 r2
点在圆上 D r (x0-a)2+(y0-b)2 r2
点在圆内 D r (x0-a)2+(y0-b)2 r2
>
>
=
=
<
<
基础自测
1.圆(x-2)2+(y+1)2=1的圆心坐标为(　　)
[A](-2,1) [B](2,-1)
[C](-4,2) [D](4,-2)
B
【解析】 由题可知圆心坐标为(2,-1).故选B.
2.点P(1,3)与圆x2+y2=24的位置关系是(　　)
[A]点在圆外 [B]点在圆内
[C]点在圆上 [D]不确定
【解析】 因为12+32=10<24,所以点P(1,3)在圆x2+y2=24内.故选B.
B
(x-1)2+(y+2)2=2
【解析】 由题设圆的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=2.
关键能力·素养培优
[例1] 已知圆C:(x-1)2+(y-1)2=1,则下列点在圆C内的是(　　)
题型一　判断点与圆的位置关系
D
[典例迁移] 若点(1,a)在圆(x-1)2+y2=1的内部,则实数a的取值范围是(　　)
[A] (-1,1) [B](-∞,1)
[C][0,1) [D](1,+∞)
A
【解析】 因为点(1,a)在圆(x-1)2+y2=1的内部,
所以(1-1)2+a2<1,
即a2<1,
解得-1即实数a的取值范围是(-1,1).
故选A.
·解题策略·
判断点与圆的位置关系的方法
(1)只需计算该点与圆心的距离,与半径作比较即可.
(2)把点的坐标代入圆的标准方程,判断式子两边的大小,并作出判断.
角度1　直接法
[例2] (1)圆心坐标为(2,1),且与y轴相切,则该圆的标准方程是(　　)
[A](x-2)2+(y-1)2=1
[B](x-1)2+(y-2)2=1
[C](x-2)2+(y-1)2=4
[D](x-1)2+(y-2)2=4
题型二　求圆的标准方程
C
【解析】 (1)根据题意知圆心为(2,1),半径为2,故圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=4.
故选C.
(2)以两点A(1,0)和B(3,0)为直径端点的圆的标准方程是　　　　　　　.
(x-2)2+y2=1
·解题策略·
直接法求圆的标准方程的策略
确定圆的标准方程只需确定圆心坐标和半径,常用到中点坐标公式、两点间距离公式,有时还用到平面几何知识,如“弦的中垂线必过圆心”“两条弦的中垂线的交点必为圆心”等.
[变式训练] 求满足下列条件的圆的标准方程:
(1)圆心为(2,3),经过点(1,-1);
(2)圆心在直线x=-1上,且与y轴交于点A(0,4),B(0,2);
(3)经过直线2x+y+1=0与x-2y+3=0的交点,圆心为点C(-2,1).
角度2　待定系数法与几何性质法
[例3] (北师大版选择性必修第一册P30例3)求经过 A(1,3),B(4,2)两点,且圆心C在直线l:x+y-3=0上的圆的标准方程.
·解题策略·
(1)待定系数法求圆的标准方程的一般步骤
(2)几何法即是利用平面几何知识,求出圆心和半径,然后写出圆的标准方程.
[变式训练] (1)已知圆过点A(1,-2),B(-1,4),且圆心的纵坐标为2,求圆的标准方程.
(2)经过M(1,0),N(2,1)两点,且圆心C在直线x+2y-2=0上,求圆C的方程.
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