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2.4.2　圆的一般方程
【课程标准要求】　1.在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的一般方程.2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化方法.3.能根据某些具体条件,运用待定系数法求圆的方程.
知识点　圆的一般方程
1.圆的一般方程:当D2+E2-4F>0时,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程.
2.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形
条件 图形
D2+E2-4F<0 不表示任何图形
D2+E2-4F=0 表示一个点(-,-)
D2+E2-4F>0 表示以(-,-)为圆心,以为半径的圆
(1)二元二次方程要想表示圆,需x2和y2的系数相同且不为0,没有xy这样的二次项.
(2)二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D2+E2-4F>0.
基础自测
1.(人教A版选择性必修第一册P88练习T1改编)已知圆的方程为x2+y2-2x+4y+1=0,则圆心坐标为(　　)
[A](-2,4) [B](-1,2)
[C](2,-4) [D](1,-2)
2.点(2,2)在圆x2+y2-6x+8y=0的(　　)
[A]外部 [B]内部
[C]圆周上 [D]无法确定
3.若方程x2+y2+mx+4y+m2+1=0表示圆,则实数m的取值范围为　　　　.
题型一　圆的一般方程的辨析
[例1] 若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求:
(1)实数m的取值范围;
(2)圆心坐标和半径.
所以(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0,
即4m2+4-4m2-20m>0,解得m<,
故m的取值范围为(-∞,).
(2)将方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0化成标准方程为(x+m)2+(y-1)2=1-5m,
可得圆心坐标为(-m,1),半径r=.
圆的一般方程的辨析
(1)由圆的一般方程的定义知,若D2+E2-4F>0成立,则表示圆,否则不表示圆.
(2)将方程配方后,根据圆的标准方程的特征求解.
[变式训练] 如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)所表示的曲线关于y=x对称,则必有(　　)
[A]D=E [B]D+E=0
[C]D=F [D]F=E
由题意可知,圆心(-,-)在直线y=x上,
则-=-,即D=E,故选A.
题型二　求圆的一般方程
[例2] (湘教版选择性必修第一册P92例4)已知 A(0,0),B(6,0),C(-1,7),求△ABC的外接圆的圆心坐标和半径.
将圆上三点的坐标依次代入方程①,得到一个关于D,E,F的三元一次方程组
解这个方程组,得D=-6,E=-8,F=0.
因此,外接圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,
整理得(x-3)2+(y-4)2=52,
所以外接圆的圆心坐标为(3,4),半径为5.
[典例迁移] 已知A(2,2),B(5,3),圆C过A,B两点且圆关于直线y=-x对称,求圆C的一般方程.
因为圆C关于直线y=-x对称,所以直线y=-x 经过圆心,即圆心在直线y=-x上,
可得-=,即D=-E.
又圆过点A(2,2),B(5,3),
由此可得
解得
故圆C的一般方程是x2+y2-13x+13y-8=0.
待定系数法求圆的一般方程的步骤
(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
(2)根据已知条件,建立关于D,E,F的方程组.
(3)解此方程组,求出D,E,F的值.
(4)将所得的值代回所设的圆的方程中,就得到所求的圆的一般方程.
题型三　求动点的轨迹方程
[例3] 已知Rt△ABC的斜边为AB,且 A(-1,0),B(3,0),求:
(1)直角顶点C的轨迹方程;
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
因为AC⊥BC,且A,B,C三点不共线,
所以x≠3,且x≠-1.
又kAC=,kBC=,且kAC·kBC=-1,
所以·=-1,
化简得x2+y2-2x-3=0.
因此,直角顶点C的轨迹方程为
(x-1)2+y2=4(x≠3,且x≠-1).
(2)(相关点法)设点M(a,b),点C(x0,y0),
因为B(3,0),M是线段BC的中点,
由中点坐标公式得a=,b=,
于是有x0=2a-3,y0=2b.
由(1)知,点C在圆(x-1)2+y2=4(x≠3,且x≠-1)上运动,
将x0,y0代入该方程得(2a-4)2+(2b)2=4,
即(a-2)2+b2=1.
因此动点M的轨迹方程为
(x-2)2+y2=1(x≠3,且x≠1).
求轨迹方程的三种常用方法
注意:(1)求出轨迹方程后应说明最后是什么样的图形.
(2)要考虑轨迹上应去掉的点及轨迹不存在的情形.
[变式训练] 已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半.
(1)求动点M的轨迹方程;
(2)若N为线段AM的中点,试求点N的轨迹.
因为A(2,0),B(8,0),|MA|=|MB|,
所以(x-2)2+y2=[(x-8)2+y2].
化简得x2+y2=16,
即动点M的轨迹方程为x2+y2=16.
(2)设点N的坐标为(x0,y0),
因为A(2,0),N为线段AM的中点,
所以点M的坐标为(2x0-2,2y0).
又点M在圆x2+y2=16上,
所以(2x0-2)2+4=16,
即得(x0-1)2+=4.所以点N的轨迹是以(1,0)为圆心,2为半径的圆.
培优拓展3　阿波罗尼斯圆
　　阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一.
1.若点A,B为两定点,动点P满足|PA|=λ|PB|,则λ=1时,动点P的轨迹为直线;当λ>0且λ≠1时,动点P的轨迹为圆,此圆称之为阿波罗尼斯圆.
2.阿波罗尼斯圆问题受到高考命题者的青睐,此类题目题设中没有明确给出圆的相关信息,而是隐含在题目中,要通过分析、转化发现圆(或圆的方程),从而最终利用圆的知识来求解.
【题型演绎】
[典例] (1)已知A(1,0),B(4,0),D(0,3),若动点P满足=,则2|PD|+|PB|的最小值是　　　　.
(2)已知动点M到点A(-1,0)与点B(2,0)的距离之比为2,记动点M的轨迹为曲线C,则曲线C的方程为　 .
=,
即|PB|=2|PA|,
则2|PD|+|PB|=2|PD|+2|PA|≥2|AD|(当且仅当A,P,D三点按顺序共线时,等号成立),
又因为|AD|==,
所以2|PD|+|PB|的最小值为2.
(2)设动点M的坐标为(x,y),
则|MA|=,
|MB|=,所以=2,
化简得(x-3)2+y2=4,
因此,动点M的轨迹方程为(x-3)2+y2=4.
[跟踪训练] 在平面直角坐标系中,点A(-1,0),B(1,0),动点P到点A,B的距离之比为,当P,A,B不共线时,△PAB面积的最大值是(　　)
[A]2 [B]
[C] [D]
整理得(x+3)2+y2=8,即轨迹为以(-3,0)为圆心,半径为2的圆,
当点P到x轴距离最大时,△PAB的面积最大,
所以△PAB面积的最大值是S=×2×2=2.故选A.
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.曲线x2+y2+2x-4y-4=0所围成的区域的面积为(　　)
[A]π [B]7π
[C]3π [D]9π
故该曲线围成区域的图形是半径为3的圆,所以面积为S=πr2=9π.故选D.
2.若圆x2+y2-4ax+2y-1=0的圆心到两坐标轴的距离相等,则a等于(　　)
[A]±1 [B]1
[C]± [D]
则圆心为(2a,-1),半径r=,由题意得|2a|=1,解得a=±.故选C.
3.已知圆C经过点(-1,1)和点(1,3),且圆心在y轴上,则圆C的方程为(　　)
[A](x+2)2+y2=2 [B](x-2)2+y2=10
[C]x2+(y-2)2=2 [D]x2+(y+2)2=10
则有解得
则圆C的方程为x2+y2-4y+2=0,即x2+(y-2)2=2.
故选C.
4.已知点A(3,0),点P为圆x2+y2=1上的动点,则AP的中点的轨迹方程是(　　)
[A](x+3)2+y2=4 [B](x-3)2+y2=1
[C](x+)2+y2= [D](x-)2+y2=
因为点P为圆x2+y2=1上的动点,
所以(2x-3)2+4y2=1,
即(x-)2+y2=.故选D.
5.(多选题)已知方程x2+y2-2x+4y+a=0,则下列说法正确的是(　　)
[A]当方程表示圆,且圆的半径为1时,a=4
[B]当a=5时,方程表示圆心为(1,-2)的圆
[C]当a=0时,方程表示圆且圆的半径为
[D]当a<5时,方程表示圆心为(1,-2)的圆
可化为(x-1)2+(y+2)2=5-a,
若方程表示圆,则圆的圆心坐标为(1,-2),半径r=,
当=1时,可得a=4,所以A正确;
当a=5时,此时半径为5-a=0,所以B错误;
当a=0时,表示的圆的半径为r=,所以C正确.
当a<5时,此时半径大于0,表示圆心为(1,-2)的圆,所以D正确.故选ACD.
6.(多选题)已知三点A(4,3),B(5,2),C(1,0),下列结论正确的是(　　)
[A]AB的距离为2
[B]直线BC的一般式方程为x-2y-1=0
[C]以BC为直径的圆方程为x2+y2-6x-2y+5=0
[D]△ABC外接圆的方程为x2+y2-6x-2y+5=0
=,故A错误;
直线BC的方程为=,即x-2y-1=0,故B正确;
以BC为直径的圆,圆心为(3,1),半径为,
所以圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5,
即x2+y2-6x-2y+5=0,故C正确;
设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
代入A(4,3),B(5,2),C(1,0)三点坐标得,
解得
所以△ABC外接圆的方程为x2+y2-6x-2y+5=0,故D正确.
故选BCD.
7.(5分)若点(1,3)在圆x2+y2-ax-2ay+5a=0的外部,则正实数a的取值范围是　　　　.
解得4故正实数a的取值范围是(4,5).
8.(5分)希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名,他发现:平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点所形成的图形是圆.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中,A(-2,0),B(4,0),点P满足=,则点P的轨迹方程为　　　　　　　　.
化简得x2+y2+8x=0,即(x+4)2+y2=16.
9.(12分)已知圆C的圆心在直线y=2x+5上,且过A(-2,4),B(2,6)两点,求圆C的方程.
则b=2a+5,①
又|CA|=|CB|,
所以=,
即2a+b-5=0,②
由①②,解得a=0,b=5,
所以圆C的半径r=|AC|=,
所以圆C的方程是x2+(y-5)2=5(或x2+y2-10y+20=0).
10.(14分)已知M(-3,0),N(0,-3),点P在y轴上,满足PM⊥MN.
(1)求点P的坐标;
(2)若动点Q与P,M的距离的比为1∶2,求动点Q的轨迹方程.
则=(-3,-y),=(3,-3),
由PM⊥MN,则·=0,
即-3×3+3y=0,解得y=3,
故点P的坐标为(0,3).
(2)设Q(x,y),P(0,3),M(-3,0).
由=,得|MQ|=2|PQ|,
即|MQ|2=4|PQ|2,
则|PQ|=
=,
|MQ|==,
则有x2+6x+9+y2=4(x2+y2-6y+9),
化简得x2+y2-2x-8y+9=0,
即(x-1)2+(y-4)2=8.
则动点Q的轨迹方程为(x-1)2+(y-4)2=8.
11.曲线x2+y2=|x|+|y|围成的图形面积为(　　)
[A]π+2 [B]π+4
[C] [D]π
当x>0>y时,曲线为(x-)2+(y+)2=,
当x<0,y<0时,曲线为(x+)2+(y+)2=,
当x<0同时点(0,0),(±1,0),(0,±1)均在曲线上,如图,
所以围成的图形是4个半径均为的半圆,与1个边长为的正方形组成,
故图形面积为
4××π×()2+()2=π+2.
故选A.
12.(5分)已知圆C:x2+y2+2x-2my-4-4m=0(m∈R),则当圆C的面积最小时,圆上的点到坐标原点的距离的最大值为　　　　　.
因为由x2+y2+2x-2my-4-4m=0得
(x+1)2+(y-m)2=m2+4m+5,
所以圆心为C(-1,m),
半径为r==≥1,
当且仅当m=-2时,半径最小,则面积也最小,
所以圆心为C(-1,-2),半径为r=1,
所以圆心到坐标原点的距离为d==>r,
即原点在圆C外,根据圆的性质,圆上的点到坐标原点的距离的最大值为d+r=+1
13.(17分)在平面直角坐标系xOy中,二次函数 f(x)=x2+ax+b(a,b∈R,b>0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,经过A,B,C三点的圆记为☉M.
(1)当a=4,b=2时,求△ABC的面积;
(2)求☉M的方程;
(3)☉M是否经过定点(其坐标与a,b的值无关) 请证明你的结论.
不妨设A(-2+,0),B(-2-,0),则 AB=2,令x=0,得C(0,2),所以三角形ABC的面积为S=×2×2=2.
(2)设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
由题意得f(x)=x2+ax+b(a,b∈R,b>0)的图象与两坐标轴的三个交点即为圆x2+y2+Dx+Ey+F=0和坐标轴的交点,
令y=0得,x2+Dx+F=0,由题意可得,这与x2+ax+b=0是同一个方程,故D=a,F=b.
令x=0得,y2+Ey+F=0,由题意可得,此方程有一个根为b,代入此方程得出E=-b-1,
所以☉M的方程为x2+y2+ax-(b+1)y+b=0.
(3)把☉M的方程改写为x2+y2-y+ax+b(1-y)=0,令
解得故☉M过定点(0,1).
14.若圆x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上的所有点都在第二象限,则a的取值范围为(　　)
[A] (-∞,2) [B](-∞,-1)
[C](1,+∞) [D](2,+∞)(共29张PPT)
2.4.2　圆的一般方程
1.在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的一般方程.2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化方法.3.能根据某些具体条件,运用待定系数法求圆的方程.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点　圆的一般方程
1.圆的一般方程:当D2+E2-4F>0时,二元二次方程 叫做圆的一般方程.
x2+y2+Dx+Ey+F=0
2.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形
(1)二元二次方程要想表示圆,需x2和y2的系数相同且不为0,没有xy这样的二次项.
(2)二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D2+E2-4F>0.
·温馨提示·
基础自测
1.(人教A版选择性必修第一册P88练习T1改编)已知圆的方程为x2+y2-2x+4y+1=0,则圆心坐标为(　　)
[A](-2,4) [B](-1,2)
[C](2,-4) [D](1,-2)
D
【解析】 易知圆方程x2+y2-2x+4y+1=0可化为(x-1)2+(y+2)2=4,因此圆心坐标为(1,-2).故选D.
2.点(2,2)在圆x2+y2-6x+8y=0的(　　)
[A]外部 [B]内部
[C]圆周上 [D]无法确定
【解析】 因为22+22-6×2+8×2>0,所以点(2,2)在圆 x2+y2-6x+8y=0的外部.
故选A.
A
(-2,2)
【解析】 若方程x2+y2+mx+4y+m2+1=0表示圆,则m2+16-4(m2+1)>0,即m2<4,可得 -23.若方程x2+y2+mx+4y+m2+1=0表示圆,则实数m的取值范围为　　　 　.
关键能力·素养培优
[例1] 若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求:
(1)实数m的取值范围;
题型一　圆的一般方程的辨析
(2)圆心坐标和半径.
·解题策略·
圆的一般方程的辨析
(1)由圆的一般方程的定义知,若D2+E2-4F>0成立,则表示圆,否则不表示圆.
(2)将方程配方后,根据圆的标准方程的特征求解.
[变式训练] 如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)所表示的曲线关于y=x对称,则必有(　　)
[A]D=E [B]D+E=0
[C]D=F [D]F=E
A
[例2] (湘教版选择性必修第一册P92例4)已知 A(0,0),B(6,0),C(-1,7),求△ABC的外接圆的圆心坐标和半径.
题型二　求圆的一般方程
解这个方程组,得D=-6,E=-8,F=0.
因此,外接圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,
整理得(x-3)2+(y-4)2=52,
所以外接圆的圆心坐标为(3,4),半径为5.
[典例迁移] 已知A(2,2),B(5,3),圆C过A,B两点且圆关于直线y=-x对称,求圆C的一般方程.
·解题策略·
待定系数法求圆的一般方程的步骤
(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
(2)根据已知条件,建立关于D,E,F的方程组.
(3)解此方程组,求出D,E,F的值.
(4)将所得的值代回所设的圆的方程中,就得到所求的圆的一般方程.
[例3] 已知Rt△ABC的斜边为AB,且 A(-1,0),B(3,0),求:
(1)直角顶点C的轨迹方程;
题型三　求动点的轨迹方程
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
·解题策略·
求轨迹方程的三种常用方法
注意:(1)求出轨迹方程后应说明最后是什么样的图形.
(2)要考虑轨迹上应去掉的点及轨迹不存在的情形.
[变式训练] 已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半.
(1)求动点M的轨迹方程;
(2)若N为线段AM的中点,试求点N的轨迹.
培优拓展3　阿波罗尼斯圆
阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一.
1.若点A,B为两定点,动点P满足|PA|=λ|PB|,则λ=1时,动点P的轨迹为直线;当λ>0且λ≠1时,动点P的轨迹为圆,此圆称之为阿波罗尼斯圆.
2.阿波罗尼斯圆问题受到高考命题者的青睐,此类题目题设中没有明确给出圆的相关信息,而是隐含在题目中,要通过分析、转化发现圆(或圆的方程),从而最终利用圆的知识来求解.
【题型演绎】
(2)已知动点M到点A(-1,0)与点B(2,0)的距离之比为2,记动点M的轨迹为曲线C,则曲线C的方程为　 .
(x-3)2+y2=4
A
感谢观看2.4.2　圆的一般方程
【课程标准要求】　1.在平面直角坐标系中,探索并掌握圆的一般方程.2.掌握圆的一般方程和标准方程的互化方法.3.能根据某些具体条件,运用待定系数法求圆的方程.
知识点　圆的一般方程
1.圆的一般方程:当D2+E2-4F>0时,二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0叫做圆的一般方程.
2.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的图形
条件 图形
D2+E2-4F<0 不表示任何图形
D2+E2-4F=0 表示一个点(-,-)
D2+E2-4F>0 表示以(-,-)为圆心,以为半径的圆
(1)二元二次方程要想表示圆,需x2和y2的系数相同且不为0,没有xy这样的二次项.
(2)二元二次方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件是D2+E2-4F>0.
基础自测
1.(人教A版选择性必修第一册P88练习T1改编)已知圆的方程为x2+y2-2x+4y+1=0,则圆心坐标为(　　)
[A](-2,4) [B](-1,2)
[C](2,-4) [D](1,-2)
【答案】 D
【解析】 易知圆方程x2+y2-2x+4y+1=0可化为(x-1)2+(y+2)2=4,因此圆心坐标为(1,-2).故选D.
2.点(2,2)在圆x2+y2-6x+8y=0的(　　)
[A]外部 [B]内部
[C]圆周上 [D]无法确定
【答案】 A
【解析】 因为22+22-6×2+8×2>0,所以点(2,2)在圆 x2+y2-6x+8y=0的外部.故选A.
3.若方程x2+y2+mx+4y+m2+1=0表示圆,则实数m的取值范围为　　　　.
【答案】 (-2,2)
【解析】 若方程x2+y2+mx+4y+m2+1=0表示圆,则m2+16-4(m2+1)>0,即m2<4,可得 -2题型一　圆的一般方程的辨析
[例1] 若方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,求:
(1)实数m的取值范围;
(2)圆心坐标和半径.
【解】 (1)因为方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0表示圆,
所以(2m)2+(-2)2-4(m2+5m)>0,
即4m2+4-4m2-20m>0,解得m<,
故m的取值范围为(-∞,).
(2)将方程x2+y2+2mx-2y+m2+5m=0化成标准方程为(x+m)2+(y-1)2=1-5m,
可得圆心坐标为(-m,1),半径r=.
圆的一般方程的辨析
(1)由圆的一般方程的定义知,若D2+E2-4F>0成立,则表示圆,否则不表示圆.
(2)将方程配方后,根据圆的标准方程的特征求解.
[变式训练] 如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)所表示的曲线关于y=x对称,则必有(　　)
[A]D=E [B]D+E=0
[C]D=F [D]F=E
【答案】 A
【解析】 方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)表示圆心为(-,-)的圆,
由题意可知,圆心(-,-)在直线y=x上,
则-=-,即D=E,故选A.
题型二　求圆的一般方程
[例2] (湘教版选择性必修第一册P92例4)已知 A(0,0),B(6,0),C(-1,7),求△ABC的外接圆的圆心坐标和半径.
【解】 设外接圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.①
将圆上三点的坐标依次代入方程①,得到一个关于D,E,F的三元一次方程组
解这个方程组,得D=-6,E=-8,F=0.
因此,外接圆的方程为x2+y2-6x-8y=0,
整理得(x-3)2+(y-4)2=52,
所以外接圆的圆心坐标为(3,4),半径为5.
[典例迁移] 已知A(2,2),B(5,3),圆C过A,B两点且圆关于直线y=-x对称,求圆C的一般方程.
【解】 设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心为(-,-),
因为圆C关于直线y=-x对称,所以直线y=-x 经过圆心,即圆心在直线y=-x上,
可得-=,即D=-E.
又圆过点A(2,2),B(5,3),
由此可得
解得
故圆C的一般方程是x2+y2-13x+13y-8=0.
待定系数法求圆的一般方程的步骤
(1)根据题意设所求的圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
(2)根据已知条件,建立关于D,E,F的方程组.
(3)解此方程组,求出D,E,F的值.
(4)将所得的值代回所设的圆的方程中,就得到所求的圆的一般方程.
题型三　求动点的轨迹方程
[例3] 已知Rt△ABC的斜边为AB,且 A(-1,0),B(3,0),求:
(1)直角顶点C的轨迹方程;
(2)直角边BC的中点M的轨迹方程.
【解】 (1)设顶点C(x,y),
因为AC⊥BC,且A,B,C三点不共线,
所以x≠3,且x≠-1.
又kAC=,kBC=,且kAC·kBC=-1,
所以·=-1,
化简得x2+y2-2x-3=0.
因此,直角顶点C的轨迹方程为
(x-1)2+y2=4(x≠3,且x≠-1).
(2)(相关点法)设点M(a,b),点C(x0,y0),
因为B(3,0),M是线段BC的中点,
由中点坐标公式得a=,b=,
于是有x0=2a-3,y0=2b.
由(1)知,点C在圆(x-1)2+y2=4(x≠3,且x≠-1)上运动,
将x0,y0代入该方程得(2a-4)2+(2b)2=4,
即(a-2)2+b2=1.
因此动点M的轨迹方程为
(x-2)2+y2=1(x≠3,且x≠1).
求轨迹方程的三种常用方法
注意:(1)求出轨迹方程后应说明最后是什么样的图形.
(2)要考虑轨迹上应去掉的点及轨迹不存在的情形.
[变式训练] 已知动点M到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半.
(1)求动点M的轨迹方程;
(2)若N为线段AM的中点,试求点N的轨迹.
【解】 (1)设动点M的坐标为(x,y),
因为A(2,0),B(8,0),|MA|=|MB|,
所以(x-2)2+y2=[(x-8)2+y2].
化简得x2+y2=16,
即动点M的轨迹方程为x2+y2=16.
(2)设点N的坐标为(x0,y0),
因为A(2,0),N为线段AM的中点,
所以点M的坐标为(2x0-2,2y0).
又点M在圆x2+y2=16上,
所以(2x0-2)2+4=16,
即得(x0-1)2+=4.所以点N的轨迹是以(1,0)为圆心,2为半径的圆.
培优拓展3　阿波罗尼斯圆
　　阿波罗尼斯是古希腊著名数学家,与欧几里得、阿基米德被称为亚历山大时期数学三巨匠,他对圆锥曲线有深刻而系统的研究,主要研究成果集中在他的代表作《圆锥曲线论》一书,阿波罗尼斯圆是他的研究成果之一.
1.若点A,B为两定点,动点P满足|PA|=λ|PB|,则λ=1时,动点P的轨迹为直线;当λ>0且λ≠1时,动点P的轨迹为圆,此圆称之为阿波罗尼斯圆.
2.阿波罗尼斯圆问题受到高考命题者的青睐,此类题目题设中没有明确给出圆的相关信息,而是隐含在题目中,要通过分析、转化发现圆(或圆的方程),从而最终利用圆的知识来求解.
【题型演绎】
[典例] (1)已知A(1,0),B(4,0),D(0,3),若动点P满足=,则2|PD|+|PB|的最小值是　　　　.
(2)已知动点M到点A(-1,0)与点B(2,0)的距离之比为2,记动点M的轨迹为曲线C,则曲线C的方程为　 .
【答案】 (1)2　(2)(x-3)2+y2=4
【解析】 (1)如图,由题意知,
=,
即|PB|=2|PA|,
则2|PD|+|PB|=2|PD|+2|PA|≥2|AD|(当且仅当A,P,D三点按顺序共线时,等号成立),
又因为|AD|==,
所以2|PD|+|PB|的最小值为2.
(2)设动点M的坐标为(x,y),
则|MA|=,
|MB|=,所以=2,
化简得(x-3)2+y2=4,
因此,动点M的轨迹方程为(x-3)2+y2=4.
[跟踪训练] 在平面直角坐标系中,点A(-1,0),B(1,0),动点P到点A,B的距离之比为,当P,A,B不共线时,△PAB面积的最大值是(　　)
[A]2 [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 以AB所在的直线为x轴,以线段AB垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,如图所示,由A(-1,0),B(1,0),设P(x,y),则=,
整理得(x+3)2+y2=8,即轨迹为以(-3,0)为圆心,半径为2的圆,
当点P到x轴距离最大时,△PAB的面积最大,
所以△PAB面积的最大值是S=×2×2=2.故选A.
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.曲线x2+y2+2x-4y-4=0所围成的区域的面积为(　　)
[A]π [B]7π
[C]3π [D]9π
【答案】 D
【解析】 由x2+y2+2x-4y-4=0,得(x+1)2+(y-2)2=9,
故该曲线围成区域的图形是半径为3的圆,所以面积为S=πr2=9π.故选D.
2.若圆x2+y2-4ax+2y-1=0的圆心到两坐标轴的距离相等,则a等于(　　)
[A]±1 [B]1
[C]± [D]
【答案】 C
【解析】 圆x2+y2-4ax+2y-1=0化为标准方程为(x-2a)2+(y+1)2=4a2+2,
则圆心为(2a,-1),半径r=,由题意得|2a|=1,解得a=±.故选C.
3.已知圆C经过点(-1,1)和点(1,3),且圆心在y轴上,则圆C的方程为(　　)
[A](x+2)2+y2=2 [B](x-2)2+y2=10
[C]x2+(y-2)2=2 [D]x2+(y+2)2=10
【答案】 C
【解析】 设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,则圆心(-,-),
则有解得
则圆C的方程为x2+y2-4y+2=0,即x2+(y-2)2=2.
故选C.
4.已知点A(3,0),点P为圆x2+y2=1上的动点,则AP的中点的轨迹方程是(　　)
[A](x+3)2+y2=4 [B](x-3)2+y2=1
[C](x+)2+y2= [D](x-)2+y2=
【答案】 D
【解析】 设AP的中点B(x,y),则P(2x-3,2y),
因为点P为圆x2+y2=1上的动点,
所以(2x-3)2+4y2=1,
即(x-)2+y2=.故选D.
5.(多选题)已知方程x2+y2-2x+4y+a=0,则下列说法正确的是(　　)
[A]当方程表示圆,且圆的半径为1时,a=4
[B]当a=5时,方程表示圆心为(1,-2)的圆
[C]当a=0时,方程表示圆且圆的半径为
[D]当a<5时,方程表示圆心为(1,-2)的圆
【答案】 ACD
【解析】 由题意,方程x2+y2-2x+4y+a=0,
可化为(x-1)2+(y+2)2=5-a,
若方程表示圆,则圆的圆心坐标为(1,-2),半径r=,
当=1时,可得a=4,所以A正确;
当a=5时,此时半径为5-a=0,所以B错误;
当a=0时,表示的圆的半径为r=,所以C正确.
当a<5时,此时半径大于0,表示圆心为(1,-2)的圆,所以D正确.故选ACD.
6.(多选题)已知三点A(4,3),B(5,2),C(1,0),下列结论正确的是(　　)
[A]AB的距离为2
[B]直线BC的一般式方程为x-2y-1=0
[C]以BC为直径的圆方程为x2+y2-6x-2y+5=0
[D]△ABC外接圆的方程为x2+y2-6x-2y+5=0
【答案】 BCD
【解析】 由题意知,AB的距离为
=,故A错误;
直线BC的方程为=,即x-2y-1=0,故B正确;
以BC为直径的圆,圆心为(3,1),半径为,
所以圆的方程为(x-3)2+(y-1)2=5,
即x2+y2-6x-2y+5=0,故C正确;
设△ABC外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
代入A(4,3),B(5,2),C(1,0)三点坐标得,
解得
所以△ABC外接圆的方程为x2+y2-6x-2y+5=0,故D正确.
故选BCD.
7.(5分)若点(1,3)在圆x2+y2-ax-2ay+5a=0的外部,则正实数a的取值范围是　　　　.
【答案】 (4,5)
【解析】 由题意可得
解得4故正实数a的取值范围是(4,5).
8.(5分)希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名,他发现:平面内到两个定点A,B的距离之比为定值λ(λ≠1)的点所形成的图形是圆.后来,人们将这个圆以他的名字命名,称为阿波罗尼斯圆,简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系中,A(-2,0),B(4,0),点P满足=,则点P的轨迹方程为　　　　　　　　.
【答案】 (x+4)2+y2=16
【解析】 由题意可设点P(x,y),由A(-2,0),B(4,0),=,得=,
化简得x2+y2+8x=0,即(x+4)2+y2=16.
9.(12分)已知圆C的圆心在直线y=2x+5上,且过A(-2,4),B(2,6)两点,求圆C的方程.
【解】 设圆心C的坐标为(a,b),
则b=2a+5,①
又|CA|=|CB|,
所以=,
即2a+b-5=0,②
由①②,解得a=0,b=5,
所以圆C的半径r=|AC|=,
所以圆C的方程是x2+(y-5)2=5(或x2+y2-10y+20=0).
10.(14分)已知M(-3,0),N(0,-3),点P在y轴上,满足PM⊥MN.
(1)求点P的坐标;
(2)若动点Q与P,M的距离的比为1∶2,求动点Q的轨迹方程.
【解】 (1)由点P在y轴上,设P(0,y),
则=(-3,-y),=(3,-3),
由PM⊥MN,则·=0,
即-3×3+3y=0,解得y=3,
故点P的坐标为(0,3).
(2)设Q(x,y),P(0,3),M(-3,0).
由=,得|MQ|=2|PQ|,
即|MQ|2=4|PQ|2,
则|PQ|=
=,
|MQ|==,
则有x2+6x+9+y2=4(x2+y2-6y+9),
化简得x2+y2-2x-8y+9=0,
即(x-1)2+(y-4)2=8.
则动点Q的轨迹方程为(x-1)2+(y-4)2=8.
11.曲线x2+y2=|x|+|y|围成的图形面积为(　　)
[A]π+2 [B]π+4
[C] [D]π
【答案】 A
【解析】 当x>0,y>0时,曲线为(x-)2+(y-)2=,
当x>0>y时,曲线为(x-)2+(y+)2=,
当x<0,y<0时,曲线为(x+)2+(y+)2=,
当x<0同时点(0,0),(±1,0),(0,±1)均在曲线上,如图,
所以围成的图形是4个半径均为的半圆,与1个边长为的正方形组成,
故图形面积为
4××π×()2+()2=π+2.
故选A.
12.(5分)已知圆C:x2+y2+2x-2my-4-4m=0(m∈R),则当圆C的面积最小时,圆上的点到坐标原点的距离的最大值为　　　　　.
【答案】 +1
【解析】 由题意得,
因为由x2+y2+2x-2my-4-4m=0得
(x+1)2+(y-m)2=m2+4m+5,
所以圆心为C(-1,m),
半径为r==≥1,
当且仅当m=-2时,半径最小,则面积也最小,
所以圆心为C(-1,-2),半径为r=1,
所以圆心到坐标原点的距离为d==>r,
即原点在圆C外,根据圆的性质,圆上的点到坐标原点的距离的最大值为d+r=+1
13.(17分)在平面直角坐标系xOy中,二次函数 f(x)=x2+ax+b(a,b∈R,b>0)的图象与x轴交于A,B两点,与y轴交于C点,经过A,B,C三点的圆记为☉M.
(1)当a=4,b=2时,求△ABC的面积;
(2)求☉M的方程;
(3)☉M是否经过定点(其坐标与a,b的值无关) 请证明你的结论.
【解】 (1)当a=4,b=2时,f(x)=x2+4x+2,令f(x)=x2+4x+2=0,得x=-2±,
不妨设A(-2+,0),B(-2-,0),则 AB=2,令x=0,得C(0,2),所以三角形ABC的面积为S=×2×2=2.
(2)设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
由题意得f(x)=x2+ax+b(a,b∈R,b>0)的图象与两坐标轴的三个交点即为圆x2+y2+Dx+Ey+F=0和坐标轴的交点,
令y=0得,x2+Dx+F=0,由题意可得,这与x2+ax+b=0是同一个方程,故D=a,F=b.
令x=0得,y2+Ey+F=0,由题意可得,此方程有一个根为b,代入此方程得出E=-b-1,
所以☉M的方程为x2+y2+ax-(b+1)y+b=0.
(3)把☉M的方程改写为x2+y2-y+ax+b(1-y)=0,令
解得故☉M过定点(0,1).
14.若圆x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上的所有点都在第二象限,则a的取值范围为(　　)
[A] (-∞,2) [B](-∞,-1)
[C](1,+∞) [D](2,+∞)
【答案】 D
【解析】 由x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0,得(x+a)2+(y-2a)2=4,其圆心坐标为(-a,2a),半径为2,由题意知解得a>2.故选D.

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