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第2课时　直线、圆的方程的实际应用
【课程标准要求】　1.理解并掌握直线与圆的方程在生活中的应用.2.会用“数形结合”的数学思想解决直线与圆相关的问题.
知识点　直线、圆的方程的实际应用
1.解决实际问题的一般程序
仔细读题(审题)→建立数学模型→解答数学模型→检验→给出实际问题的答案.
2.用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”
第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,如点、直线,将平面几何问题转化为代数问题.
第二步:通过代数运算,解决代数问题.
第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论.
基础自测
1.y=|x|的图象和圆x2+y2=4在x轴上方所围成的图形的面积是(　　)
[A] [B]
[C] [D]π
【答案】 D
【解析】 y=|x|的图象和圆 x2+y2=4在x轴上方所围成的图形,如图所示,
由图得,所求面积是圆 x2+y2=4面积的,
又圆x2+y2=4的半径为2,
所以y=|x|的图象和圆x2+y2=4在x轴上方所围成的图形的面积是×π×22=π.故选D.
2.(人教A版选择性必修第一册P95练习T1改编)一座圆拱桥,当水面在如图所示位置时,拱顶离水面2 m,水面宽12 m,当水面下降2 m后,水面宽是(　　)
[A]13 m [B]14 m
[C]15 m [D]16 m
【答案】 D
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,则
A(-6,-2),B(6,-2),
设圆的方程为x2+(y+m)2=m2(m>0),代入A,则有m=10,
故圆的方程为x2+(y+10)2=100,令y=-4,则x=±8,故|EF|=16.
故选D.
3.设某村庄外围成圆形,其所在曲线的方程可用(x-2)2+(y+3)2=4表示,村外一小路方程可用x-y+2=0表示,则从村庄外围到小路的最短距离是　　　　　　　.
【答案】 -2
【解析】 因为圆(x-2)2+(y+3)2=4的圆心坐标为C(2,-3),半径r=2,
所以圆心C到直线x-y+2=0的距离d==,则圆上的点到直线距离的最小值为d-r=-2,
即从村庄外围到小路的最短距离为-2.
题型一　圆的方程的实际应用
[例1] (人教B版选择性必修第一册P105例3)赵州桥位于我国河北省,是我国现存最早、保存最好的巨大石拱桥.赵州桥是一座空腹式的圆弧形石拱桥,利用解析几何的方法,用赵州桥的跨度a和圆拱高b表示出赵州桥圆弧所在圆的半径.
【解】作出示意图如图所示,其中AB表示跨度,O为AB中点,OC为圆拱高.以O为原点,AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系,根据已知条件有B(,0),C(0,b).
可以看出,圆弧所在圆的圆心在y轴的负半轴上,因此可设圆心的坐标为(0,t),半径为r,则因为B,C都在圆上,所以
由此可解得r=.
建立适当的直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何要素,通过代数运算,解决几何
问题.
[变式训练] 如图,某圆拱桥的平面示意图,已知圆拱跨度AB=30 m,拱高OP=5 m,建造时每间隔6 m需要用一根支柱支撑,则支柱A1P1的高度等于　　　　 m(结果保留一位小数,≈23.3).
【答案】 3.3
【解析】 设拱形所在圆的圆心为H,半径为r,由题意圆心H在y轴上,如图,
则|HA|2=|HO|2+|AO|2 r2=(r-5)2+152 r=25,所以|HO|=20,
则圆的标准方程为x2+(y+20)2=252.
由题意设P1(-9,y),y>0,代入圆的方程得(-9)2+(y+20)2=252,解得y=-20≈3.3(负值已舍去),所以支柱A1P1的高度约为 3.3 m.
题型二　直线与圆的方程的实际应用
[例2] 如图,某海面上有O,A,B三个小岛(面积大小忽略不计),A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40 km处,B岛在O岛的正东方向距O岛 20 km 处.以O为坐标原点,O的正东方向为x轴的正方向,1 km为单位长度,建立平面直角坐标系.圆C经过O,A,B三点.
(1)求圆C的方程;
(2)若圆C区域内有未知暗礁,现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40 km处,正沿着北偏东45°方向行驶,若不改变方向,试问该船有没有触礁的危险.
【解】 (1)由题意,得A(40,40),B(20,0),设过O,A,B三点的圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,
则
解得
所以圆C的方程为x2+y2-20x-60y=0.
(2)该船初始位置为点D,则D(-20,-20),
且该船航线所在直线l的斜率为1,
故该船航行方向为直线l:x-y+20-20=0,
由(1)得圆C的圆心为C(10,30),半径r=10,
由于圆心C到直线l的距离
d==10<10,
故该船有触礁的危险.
解决直线与圆的应用题的步骤
(1)审题:从题目中抽象出几何模型,明确已知和未知.
(2)建系:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示几何模型中的基本元素.
(3)求解:利用直线与圆的有关知识求出未知.
(4)还原:将运算结果还原到实际问题中去.
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.如图,圆弧形拱桥的跨度 |AB|=12 m,拱高|CD|=4 m,则拱桥的直径为(　　)
[A]15 m [B]13 m
[C]9 m [D]6.5 m
【答案】 B
【解析】设圆心为O,半径为r,连接OB,OC,如图所示,
|AD|=|BD|=6,|OD|=r-4,则由勾股定理得|OB|2=|OD|2+|BD|2,即r2=62+(r-4)2,解得r=,所以拱桥的直径为13 m.
故选B.
2.如图,为测量金属材料的硬度,用一定压力把一个高强度钢珠压向该种材料的表面,在材料表面留下一个凹坑,现测得凹坑AB为10 mm,若所用钢珠的直径为 26 mm,则凹坑深度为(　　)
[A]1 mm [B]2 mm
[C]3 mm [D]4 mm
【答案】 A
【解析】 依题意得,OA2=AM2+OM2,从而OM=12 mm,故CM=13-12=1 (mm).
故选A.
3.如图所示是某主题公园的部分景观平面示意图,圆形池塘以O为圆心,以45 m为半径,B为公园入口,道路AB为东西方向,道路AC经过点O且向正北方向延伸,OA=10 m,
AB=100 m,现计划从B处起修一条新路与道路AC相连,且新路在池塘的外围,假设路宽忽略不计,则新路的最小长度为(单位:m)(　　)
[A]100 [B]100
[C]150 [D]150
【答案】 A
【解析】以O为原点建立如图所示的直角坐标系,可得点B坐标为(-100,-10),
若要新路的长度最短,则新路和圆相切,
设过点B且与圆相切的直线方程为y=k(x+100)-10,
根据圆心到直线的距离等于半径可得119k2-40k-79=0,
根据图可得k>0,所以k=1,
所以y=x+90,所以直线BD和OC的交点为 D(0,90),所以AD=100,
根据勾股定理可得BD==100.故选A.
4.为了适应市场需要,某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图),它的附近有一条公路,从基地中心O处向东走 1 km是储备基地边界上的点A,接着向东再走7 km到达公路上的点B;从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D,修建一条由D通往公路BC的专线DE,则DE的最短距离为(　　)
[A]6 km [B](4-1) km
[C](4+1) km [D]4 km
【答案】 B
【解析】 以O为坐标原点,过OB,OC的直线分别为x轴和y轴,
建立平面直角坐标系(图略),则圆O的方程为 x2+y2=1,因为点B(8,0),C(0,8),
所以直线BC的方程为x+y=8.当点D所在直线(距BC较近的一条)与直线BC平行且与圆O相切时,DE为最短距离,此时DE的最小值为-1=(4-1) km.故选B.
5.(多选题)如图所示,已知直线l的方程是y=x-4,并且与 x轴,y轴分别交于A,B两点,一个半径为1.5的圆C,圆心C从点(0,1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动,当圆C与直线l相切时,该圆运动的时间可以为(　　)
[A]6 s [B]8 s
[C]10 s [D]16 s
【答案】 AD
【解析】 设当圆与直线l相切时圆心坐标为(0,m),
则圆心到直线l的距离为=,
解得m=-或m=-,
所以该圆运动的时间为=6(s)或=16(s).故选AD.
6.(多选题)某市为了改善城市中心环境,计划将市区某工厂向城市外围迁移,同时拆除工厂内一个高塔.施工单位在某平台O的北偏东45°方向 40 m 处设立观测点A,在平台O的正西方向240 m处设立观测点B,已知经过O,A,B三点的圆为圆C,规定圆C及其内部区域为安全预警区.以O为坐标原点,O的正东方向为x轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.经观测发现,在平台O的正南方向200 m的P处(图中未画出),有一辆小汽车沿北偏西45°方向行驶,则(　　)
[A]观测点A,B之间的距离是280 m
[B]圆C的方程为x2+y2+240x-320y=0
[C]小汽车行驶路线所在直线的方程为y=-x+200
[D]小汽车会进入安全预警区
【答案】 BD
【解析】 由题意,得A(40,40),B(-240,0),
所以|AB|==200,
即观测点A,B之间的距离是200 m,故A错误;
设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,因为圆C经过O,A,B三点,
所以
解得
所以圆C的方程为x2+y2+240x-320y=0,故B正确;
小汽车行驶路线所在直线的斜率为-1,又点P的坐标是(0,-200),
所以小汽车行驶路线所在直线的方程为y=-x-200,故C错误;
圆C化成标准方程为(x+120)2+(y-160)2=40 000,圆心为C(-120,160),半径r=200,
圆心C到直线y=-x-200的距离d==120所以直线y=-x-200与圆C相交,即小汽车会进入安全预警区,故D正确.故选BD.
7.(5分)某圆弧形拱桥的水面跨度是20 m,拱高为 4 m.现有一船宽9 m,水面以上部分高
3 m,通行无阻.近日水位暴涨了 1.5 m,为此,必须加重船载,降低船身,当船身至少降低
　　　　 m时,船才能安全通过桥洞.(结果精确到0.01 m)
【答案】 1.22
【解析】以水位未涨前的水面AB的中点O为原点,建立平面直角坐标系,如图所示,
设圆拱所在圆的方程为x2+(y-b)2=r2,
因为圆经过点B(10,0),C(0,4),
所以解得
所以圆的方程是x2+(y+10.5)2=14.52,
当y>0时,令x=4.5,得y≈3.28,
故当水位暴涨1.5 m后,船身至少应降低1.5-(3.28-3)=1.22(m),船才能安全通过桥洞.
8.(5分)
如图,公路MN和PQ在P处交汇,且∠QPN=30°,在A处有一所中学,AP=160 m,假设拖拉机行驶时,周围100 m以内会受到噪声的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校受影响,已知拖拉机的速度为 18 km/h,那么学校受影响的时间为　　　　s.
【答案】 24
【解析】如图,过A作AB⊥MN,交MN于B,
由于∠QPN=30°,
|AP|=160 m,
所以|AB|=80 m,
以A为圆心,半径为100 m作圆A,交MN于C,D两点,
所以|CD|=2|CB|=2×=2×60=120 (m),
又拖拉机的速度为18 km/h=5 m/s,
所以学校受影响的时间为=24 s.
9.(12分)在一个平面上,机器人从距离点C(5,-3)为9的地方绕点C顺时针而行,在行进过程中保持与点C的距离不变.它在行进过程中到过点 A(-10,0)与B(0,12)的直线的最近距离和最远距离分别是多少
【解】 因为机器人到与点C(5,-3)距离为9的地方绕点C顺时针而行,在行进过程中保持与点C的距离不变,
所以机器人的运行轨迹为(x-5)2+(y+3)2=81,
因为A(-10,0)与B(0,12),
所以直线AB的方程为y=(x+10),
即为6x-5y+60=0,
则圆心C到直线AB的距离为d==>9,
所以最近距离和最远距离分别是-9,+9.
10.(14分)某台风中心位于某地A处,距离台风中心A正西方向150 km的B处有一人,正以北偏东θ角(θ为锐角)方向骑摩托车行进,速度为50 km/h,已知距离台风中心75 km以内会受其影响.
(1)若此人刚好不被台风影响,求tan θ的最大值;
(2)若此人骑行方向为北偏东45°,(速度保持不变)求此人受台风影响持续多少时间.
【解】 (1)由题意,如图,圆A是以坐标原点为圆心,75 为半径的圆,
要使此人不被台风影响,骑行路线正好与圆A相切时,角θ最大,
由|AB|=150,r=75,
则cos θ=,知θ=30°,则tan θ最大值为.
(2)由题意,骑行路线所在直线方程为x-y+150=0,圆心A到直线的距离为d==75,
该直线与圆A相交的弦长为2=150,
即此人被台风影响持续时间为=3 h.
11.设某公园外围成圆形,其所在曲线的方程可用x2+y2-2x=0表示,在公园外两点 A(-2,0),B(0,2)与公园边上任意一点修建一处舞台,则舞台面积的最小值为(　　)
[A] 3- [B]3+
[C]3- [D]
【答案】 A
【解析】 由题知曲线方程可化为(x-1)2+y2=1,又lAB:x-y+2=0,圆心(1,0)到l的距离d==,|AB|==2,
所以AB边上的高的最小值为-1.
所以Smin=×2×(-1)=3-.故选A.
12.(5分)某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图(单位:cm)所示,四边形AFED为矩形,AB,CD,FE均与圆O相切,B,C为切点,零件的截面BC段为圆O的一段弧,已知 tan α=,tan β=,则该零件的截面的周长为　　　　 cm.(结果保留π)
【答案】 84+6π
【解析】以A为原点,为 x轴正方向建立平面直角坐标系如图所示,
可知kAB=-,kCD=,则直线AB的方程为 4x+3y=0,直线CD的方程为3x-4y-105=0,直线EF的方程为y=12,设圆心为O(a,b),则圆心到直线AB、直线CD、直线 y=12的距离均相等且等于r,则r===|12-b|,解得a=15,b=0,r=12,易得AB==9,CD==16,对应弧长为圆的周长,故该零件的截面的周长为9+16+24+35+=84+6π.
13.(17分)某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物,该建筑物底面直径为8 m,在其南面有一条东西走向的观景直道,建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道,观景直道与辅道距离10 m.在建筑物底面中心O的东北方向 20 m 的点A处,有一360°全景摄像头,其安装高度低于建筑物的高度.
(1)在西辅道上距离建筑物地面中心O 5 m处的游客,是否在该摄像头的监控范围内
(2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度.
【解】 (1)以O为原点,正东方向为x轴正方向建立直角坐标系(图略),
则O(0,0),A(20,20),观景直道所在直线的方程为y=-10,依题意得,游客所在点为B(-5,0),
则直线AB的方程为=,
化简得4x-5y+20=0,
所以圆心O到直线AB的距离d1==<4,故直线AB与圆O相交,
所以游客不在该摄像头监控范围内.
(2)由图易知,过点A的直线l与圆O相切或相离时,摄像头监控不会被建筑物遮挡,
所以设直线l过A且恰与圆O相切,
①若直线l垂直于x轴,则l不可能与圆O相切;
②若直线l不垂直于x轴,设l:y-20=k(x-20),整理得kx-y-20k+20=0,
所以圆心O到直线l的距离为d2==4,解得k=或k=,
所以直线l的方程为y-20=(x-20)或y-20=(x-20),
即3x-4y+20=0或4x-3y-20=0,
设这两条直线与直线y=-10交于D,E,
由解得x=-20,
由解得x=-2.5,
所以|DE|=17.5,观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为17.5 m.
14.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起,故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”,图中曲线为圆或半圆,已知点P(x,y)是阴影部分(包括边界)的动点,则的最小值为(　　)
[A]- [B]-
[C]- [D]
【答案】 C
【解析】 记A(2,0),则k=为直线AP的斜率,
故当直线AP与半圆x2+(y-1)2=1,x>0相切时,斜率k最小,
设lAP:y=k(x-2),则=1,
解得k=-或k=0(舍去),
即的最小值为-.
故选C.2.5.1　直线与圆的位置关系
第1课时　直线与圆的位置关系
【课程标准要求】　1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的三种位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题,体会用代数方法处理几何问题的思想.
知识点　直线与圆的位置关系
1.直线与圆有三种位置关系
位置关系 公共点个数
相交 有两个公共点
相切 只有一个公共点
相离 没有公共点
2.直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系的判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 两个 一个 零个
判 定 方 法 几何法: 设圆心到直线的距离为d,则d= dr
代数法:由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ>0 Δ=0 Δ<0
知识拓展
圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.
(2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.
基础自测
1.(人教A版选择性必修第一册P93练习T3改编)直线3x+4y-25=0与圆x2+y2=4的位置关系是(　　)
[A]相交且直线过圆心 [B]相交但直线不过圆心
[C]相切 [D]相离
【答案】 D
【解析】 圆x2+y2=4的圆心为(0,0),半径为2,(0,0)到直线3x+4y-25=0的距离=5>2,所以直线与圆相离.故选D.
2.已知直线x+y=0与圆C:x2+(y-2)2=8相交于A,B两点,则|AB|等于(　　)
[A]2 [B]4
[C] [D]2
【答案】 A
【解析】 圆C:x2+(y-2)2=8的圆心C(0,2),半径r=2,圆心C到直线x+y=0的距离=,则弦AB的长|AB|=2=2.故选A.
3.已知圆2x2+2y2+3x-4y-λ=0与x轴相切,则λ=　　　　.
【答案】 -
【解析】 由圆的方程整理可得圆(x+)2+(y-1)2=+,则圆心(-,1),半径r=,由圆与 x轴相切,则=1,解得λ=-.
题型一　直线与圆位置关系的判断
[例1] 已知直线l:x-2y+5=0与圆C:(x-7)2+(y-1)2=36,判断直线l与圆C的位置关系.
【解】 由方程组
消去y并整理,得5x2-50x+61=0.
因为Δ=(-50)2-4×5×61=1 280>0,
所以该方程组有两组不同的实数解,
即直线l与圆C相交.
直线与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.
(2)代数法:根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断.
(3)直线系法:若直线恒过定点,可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系,但有一定的局限性,必须是过定点的直线系.
[变式训练] 直线kx-y-2k+2=0(k∈R)与圆x2+y2-6x-8y=0的位置关系是(　　)
[A]相离 [B]相切
[C]相交 [D]都有可能
【答案】 C
【解析】 将圆的方程化为标准方程(x-3)2+(y-4)2=25,所以圆心坐标为(3,4),圆的半径为5,直线 kx-y-2k+2=0恒过定点(2,2),(2-3)2+(2-4)2=5<25,点(2,2)在圆内,所以直线与圆相交.故选C.
题型二　圆的弦长问题
[例2] 已知圆的方程为x2+y2=8,圆内有一点 P(-1,2),AB为过点P且倾斜角为α的弦.
(1)当α=135°时,求AB的长;
(2)当弦AB被点P平分时,求直线AB的方程.
【解】 (1)如图①所示,
过点O作OC⊥AB.
由已知条件得直线的斜率为 k=tan 135°=-1,所以直线AB的方程为y-2=-(x+1),即x+y-1=0.
因为圆心为(0,0),
所以|OC|==.
因为r=2,所以|BC|==.
所以|AB|=2|BC|=.
(2)如图②,当弦AB被点P平分时,OP⊥AB,
因为kOP=-2,
所以kAB=.
所以直线AB的方程为
y-2=(x+1),即x-2y+5=0.
求弦长的两种方法
(1)几何法:由于半径r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形,所以利用d2+()2=r2求解,这是常用解法.
(2)代数法:联立直线方程和圆的方程,消元转化为关于x的一元二次方程,运用根与系数的关系即可求得弦AB的长|AB|=|x1-x2|=·.
[变式训练] 已知直线l:mx-y+1=0与☉C:x2+(y+1)2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC面积为”的m的一个值为　　　　.
【答案】 (答案不唯一)
【解析】 由题知,☉C:x2+(y+1)2=4,圆心为(0,-1),半径为r=2.
则C到直线l的距离为d=,
|AB|=2=2.
则S△ABC=|AB|d=·= =或=,
得m=±或m=±.
题型三　圆的切线问题
[例3] (苏教版选择性必修第一册P64例2)自点 A(-1,4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1的切线l,求切线l的方程.
【解】 当直线l垂直于x轴时,直线l:x=-1与圆相离,不满足条件.
当直线l不垂直于x轴时,可设直线l的方程为 y-4=k(x+1),
即kx-y+(k+4)=0.
如图,因为直线与圆相切,所以圆心(2,3)到直线l的距离等于圆的半径,从而=1,
解得k=0或k=-.
因此,所求直线l的方程是y=4或3x+4y-13=0.
[典例迁移] 过点P(1,1)作圆E:x2+y2-4y+2=0的切线,则切线方程为(　　)
[A] x-y+1=0 [B]x+y=0
[C]x+y+1=0 [D]x-y=0
【答案】 D
【解析】 由圆E:x2+y2-4y+2=0的方程,可得圆心E坐标为(0,2),
将P(1,1)的坐标代入圆的方程,得12+12-4×1+2=0,则点P在圆上,
又kPE==-1,所以过点P与圆相切的直线的斜率为1,所以过点P的切线方程为y-1=x-1,
即x-y=0.故选D.
(1)求过已知点的圆的切线的方法
①如果已知点在圆上,那么圆心和已知点的连线和切线垂直,从而求得切线的斜率,用直线的点斜式方程可求得切线方程.
②如果已知点在圆外,过这点的切线将有两条,但在设斜率解题时可能求出的切线只有一条,这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在.
(2)圆的切线长的求法
过圆外一点的圆的切线长的求解要抓住圆心到切线的距离等于半径这一几何性质.设切线长为l,点到圆心的距离为d,半径为r,运用勾股定理可得l=.
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.直线l:xcos α+ysin α=1(α∈R)与曲线C:x2+y2=1的交点个数为(　　)
[A]0 [B]1
[C]2 [D]无法确定
【答案】 B
【解析】 曲线C:x2+y2=1是圆心在(0,0)上,半径r=1的圆,
则圆心与直线l的距离d==1,
因为d=r,所以曲线C与直线l相切,即只有一个交点.故选B.
2.经过点M(1,2)作圆x2+y2=5的切线,则切线方程为(　　)
[A]2x+y-5=0 [B]2x-y-5=0
[C]x+2y-5=0 [D]x-2y-5=0
【答案】 C
【解析】 易知点M在圆O上,又kOM=2,则切线的斜率k=-,
故该切线方程为y=-(x-1)+2,即x+2y-5=0.故选C.
3.已知两条直线l1:x-y+2=0与l2:x-y+6=0被圆C截得的线段长均为2,则圆C的面积为(　　)
[A]2π [B]3π
[C]4π [D]5π
【答案】 A
【解析】 因为两条直线l1:x-y+2=0与l2:x-y+6=0,所以l1∥l2,所以l1与l2间的距离为 h==2,
所以圆心C到直线l1的距离为1,
因为直线l1被圆截得的弦长为2,
所以圆的半径为r==,
所以圆C的面积为πr2=2π.故选A.
4.若过点(2,0)与圆x2+y2=4相切的两条直线的夹角为α,则cos α等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 点(2,0)到圆心(0,0)的距离为d=2,圆的半径为r=2,
所以sin ===,
于是cos α=1-2sin2=1-2×()2=.故选A.
5.(多选题)与圆x2+(y-2)2=2相切,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为(　　)
[A]x+y=0 [B]x-y=0
[C]x-y-4=0 [D]x+y-4=0
【答案】 ABD
【解析】 若所求直线过原点,可设所求直线为y=kx,因为该直线与圆x2+(y-2)2=2相切,所以圆心(0,2)到直线的距离等于半径,
即=,解得k=±1,所以y=±x;
若所求直线不过原点,因为该直线在两坐标轴上的截距相等,所以可设该直线方程为x+y=m(m≠0),
又该直线与圆x2+(y-2)2=2相切,所以=,解得m=4或m=0(舍去),
所以x+y-4=0.
综上,满足条件的直线的方程为y=±x,x+y-4=0.故选ABD.
6.(多选题)已知圆(x-1)2+(y-2)2=4与直线x+my-m-2=0,下列选项正确的是(　　)
[A]直线过定点(-2,1)
[B]圆的圆心坐标为(1,2)
[C]直线与圆必相交
[D]直线与圆相交所截的最短弦长为2
【答案】 BCD
【解析】 对于A,由直线x+my-m-2=0,整理可得(y-1)m+x-2=0,
可得解得则直线x+my-m-2=0过定点(2,1),故A错误;
对于B,由圆(x-1)2+(y-2)2=4,则圆心为(1,2),半径r=2,故B正确;
对于C,由定点(2,1)到圆心(1,2)的距离=<2=r,故C正确;
对于D,当定点与圆心的连线垂直于直线x+my-m-2=0时,所截的弦长是最短的,
则弦长为2=2,故D正确.故选BCD.
7.(5分)若点P(1,1)为圆C:(x-3)2+y2=9的弦MN的中点,则弦MN所在直线的方程为　　　　　　　.
【答案】 2x-y-1=0
【解析】 由题意可知,C(3,0),且PC⊥MN,kPC==-,所以kMN=2,
所以弦MN所在直线的方程为y-1=2(x-1),整理为2x-y-1=0.
8.(5分)已知圆心在x轴上的圆C与倾斜角为的直线相切于点N(3,),则圆C的方程为　　　　　　　　.
【答案】 (x-4)2+y2=4
【解析】 设圆心为(a,0),半径为r(r>0),
依题意可得cos ==,可得r=2.
直线的方程为y-=(x-3),
整理得x-y=0,
因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离d==2,
解得a=4,a=-4(舍去).
所以圆C的方程为(x-4)2+y2=4.
9.(12分)k取什么值时,圆x2+y2=5与直线y=kx+5相切
【解】 由圆的方程可知圆心坐标为(0,0),半径 r=.
圆心到直线kx-y+5=0的距离d=.
圆与直线相切 d=r = k=±2.
10.(14分)已知圆C经过A(4,0),B(0,2)两点和坐标原点O.
(1)求圆C的方程;
(2)斜率为1的直线l与圆C相交于M,N两点,且|MN|=2,求直线l的方程.
【解】 (1)由已知设圆C的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,r>0,
则解得
所以圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
(2)由(1)得圆心C(2,1),半径r=,
设直线l:y=x+m,即x-y+m=0,则圆心到直线l的距离d==,
弦长为2=2=2,
解得m=-3或m=1,符合题意,
则直线方程为y=x-3或y=x+1,
即x-y-3=0或x-y+1=0.
11.已知直线y=k(x+2)与曲线y=有公共点,则实数k的取值范围是(　　)
[A][-,] [B][0,]
[C][-,0] [D][-,]
【答案】 B
【解析】曲线y=是圆x2+y2=1的上半部分,且含端点,
又y=k(x+2)过定点(-2,0),如图,
由图知,当y=k(x+2)与半圆左上部相切时,=1且k>0,可得k=,
结合图知0≤k≤,故实数k的取值范围为[0,].故选B.
12.(5分)设函数f(x)=x2-8x,若点P(x,y)满足 f(x)+f(-y)≤32,f(y)≤0,记点P构成的图形为Ω,则Ω的面积是　　　　　.
【答案】 -16
【解析】 依题意
即
即
不等式(x-4)2+(y+4)2≤64表示的点(x,y)位于圆(x-4)2+(y+4)2=64的圆上和圆内,
由此画出图形Ω如图中阴影部分所示,
由于|CD|=4,|AC|=|BC|=8,
所以∠ACB=+=,
|AB|=2=8,
所以图形Ω的面积为π×82×-×8×4=-16.
13.(17分)已知圆C:x2+y2-2x-4y+2=0和直线l:ax+y-1-a=0.
(1)判断直线l与圆C的位置关系;
(2)求直线l被圆C截得的最短弦长及此时直线l的方程.
【解】 (1)因为直线l:ax+y-1-a=0,
即a(x-1)+y-1=0恒过定点M(1,1).
又因为圆C:x2+y2-2x-4y+2=0,
即(x-1)2+(y-2)2=3,
即圆心C(1,2),半径为r=,
因为|CM|==1<,
所以点M在圆内,即直线l与圆C相交.
(2)当直线l⊥CM时,直线l被圆C截得的弦长最短,此时可得弦长的一半为==,
即最短弦长为2.
又因为点M,C横坐标相同,故直线MC⊥x轴,
则直线l的斜率为0,所以直线l的方程为y=1.
14.已知A(2,0),B(10,0),若直线tx-4y+2=0上存在点P,使得·=0,则t的取值范围为(　　)
[A][-3,]
[B][-,3]
[C][-∞,-]∪[3,+∞)
[D](-∞,-7]∪[,+∞)
【答案】 B
【解析】 设P(x,y),
则=(2-x,-y),=(10-x,-y),
因为·=0,所以(2-x)·(10-x)+(-y)2=0,即(x-6)2+y2=16,所以点P在以(6,0)为圆心,4为半径的圆上.
又点P在直线tx-4y+2=0上,
所以直线tx-4y+2=0与圆(x-6)2+y2=16有公共点,则≤4,解得-≤t≤3,故t的取值范围为[-,3].故选B.第2课时　直线、圆的方程的实际应用
【课程标准要求】　1.理解并掌握直线与圆的方程在生活中的应用.2.会用“数形结合”的数学思想解决直线与圆相关的问题.
知识点　直线、圆的方程的实际应用
1.解决实际问题的一般程序
2.用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”
第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,如点、直线,将平面几何问题转化为代数问题.
第二步:通过代数运算,解决代数问题.
第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论.
基础自测
1.y=|x|的图象和圆x2+y2=4在x轴上方所围成的图形的面积是(　　)
[A] [B]
[C] [D]π
由图得,所求面积是圆 x2+y2=4面积的,
又圆x2+y2=4的半径为2,
所以y=|x|的图象和圆x2+y2=4在x轴上方所围成的图形的面积是×π×22=π.故选D.
2.(人教A版选择性必修第一册P95练习T1改编)一座圆拱桥,当水面在如图所示位置时,拱顶离水面2 m,水面宽12 m,当水面下降2 m后,水面宽是(　　)
[A]13 m [B]14 m
[C]15 m [D]16 m
A(-6,-2),B(6,-2),
设圆的方程为x2+(y+m)2=m2(m>0),代入A,则有m=10,
故圆的方程为x2+(y+10)2=100,令y=-4,则x=±8,故|EF|=16.
故选D.
3.设某村庄外围成圆形,其所在曲线的方程可用(x-2)2+(y+3)2=4表示,村外一小路方程可用x-y+2=0表示,则从村庄外围到小路的最短距离是　　　　　　　.
所以圆心C到直线x-y+2=0的距离d==,则圆上的点到直线距离的最小值为d-r=-2,
即从村庄外围到小路的最短距离为-2.
题型一　圆的方程的实际应用
可以看出,圆弧所在圆的圆心在y轴的负半轴上,因此可设圆心的坐标为(0,t),半径为r,则因为B,C都在圆上,所以
由此可解得r=.
建立适当的直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何要素,通过代数运算,解决几何
问题.
[变式训练] 如图,某圆拱桥的平面示意图,已知圆拱跨度AB=30 m,拱高OP=5 m,建造时每间隔6 m需要用一根支柱支撑,则支柱A1P1的高度等于　　　　 m(结果保留一位小数,≈23.3).
则|HA|2=|HO|2+|AO|2 r2=(r-5)2+152 r=25,所以|HO|=20,
则圆的标准方程为x2+(y+20)2=252.
由题意设P1(-9,y),y>0,代入圆的方程得(-9)2+(y+20)2=252,解得y=-20≈3.3(负值已舍去),所以支柱A1P1的高度约为 3.3 m.
题型二　直线与圆的方程的实际应用
[例2] 如图,某海面上有O,A,B三个小岛(面积大小忽略不计),A岛在O岛的北偏东45°方向距O岛40 km处,B岛在O岛的正东方向距O岛 20 km 处.以O为坐标原点,O的正东方向为x轴的正方向,1 km为单位长度,建立平面直角坐标系.圆C经过O,A,B三点.
(1)求圆C的方程;
(2)若圆C区域内有未知暗礁,现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40 km处,正沿着北偏东45°方向行驶,若不改变方向,试问该船有没有触礁的危险.
则
解得
所以圆C的方程为x2+y2-20x-60y=0.
(2)该船初始位置为点D,则D(-20,-20),
且该船航线所在直线l的斜率为1,
故该船航行方向为直线l:x-y+20-20=0,
由(1)得圆C的圆心为C(10,30),半径r=10,
由于圆心C到直线l的距离
d==10<10,
故该船有触礁的危险.
解决直线与圆的应用题的步骤
(1)审题:从题目中抽象出几何模型,明确已知和未知.
(2)建系:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示几何模型中的基本元素.
(3)求解:利用直线与圆的有关知识求出未知.
(4)还原:将运算结果还原到实际问题中去.
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.如图,圆弧形拱桥的跨度 |AB|=12 m,拱高|CD|=4 m,则拱桥的直径为(　　)
[A]15 m [B]13 m
[C]9 m [D]6.5 m
|AD|=|BD|=6,|OD|=r-4,则由勾股定理得|OB|2=|OD|2+|BD|2,即r2=62+(r-4)2,解得r=,所以拱桥的直径为13 m.
故选B.
2.如图,为测量金属材料的硬度,用一定压力把一个高强度钢珠压向该种材料的表面,在材料表面留下一个凹坑,现测得凹坑AB为10 mm,若所用钢珠的直径为 26 mm,则凹坑深度为(　　)
[A]1 mm [B]2 mm
[C]3 mm [D]4 mm
故选A.
3.如图所示是某主题公园的部分景观平面示意图,圆形池塘以O为圆心,以45 m为半径,B为公园入口,道路AB为东西方向,道路AC经过点O且向正北方向延伸,OA=10 m,
AB=100 m,现计划从B处起修一条新路与道路AC相连,且新路在池塘的外围,假设路宽忽略不计,则新路的最小长度为(单位:m)(　　)
[A]100 [B]100
[C]150 [D]150
若要新路的长度最短,则新路和圆相切,
设过点B且与圆相切的直线方程为y=k(x+100)-10,
根据圆心到直线的距离等于半径可得119k2-40k-79=0,
根据图可得k>0,所以k=1,
所以y=x+90,所以直线BD和OC的交点为 D(0,90),所以AD=100,
根据勾股定理可得BD==100.故选A.
4.为了适应市场需要,某地准备建一个圆形生猪储备基地(如图),它的附近有一条公路,从基地中心O处向东走 1 km是储备基地边界上的点A,接着向东再走7 km到达公路上的点B;从基地中心O向正北走8 km到达公路的另一点C.现准备在储备基地的边界上选一点D,修建一条由D通往公路BC的专线DE,则DE的最短距离为(　　)
[A]6 km [B](4-1) km
[C](4+1) km [D]4 km
建立平面直角坐标系(图略),则圆O的方程为 x2+y2=1,因为点B(8,0),C(0,8),
所以直线BC的方程为x+y=8.当点D所在直线(距BC较近的一条)与直线BC平行且与圆O相切时,DE为最短距离,此时DE的最小值为-1=(4-1) km.故选B.
5.(多选题)如图所示,已知直线l的方程是y=x-4,并且与 x轴,y轴分别交于A,B两点,一个半径为1.5的圆C,圆心C从点(0,1.5)开始以每秒0.5个单位的速度沿着y轴向下运动,当圆C与直线l相切时,该圆运动的时间可以为(　　)
[A]6 s [B]8 s
[C]10 s [D]16 s
则圆心到直线l的距离为=,
解得m=-或m=-,
所以该圆运动的时间为=6(s)或=16(s).故选AD.
6.(多选题)某市为了改善城市中心环境,计划将市区某工厂向城市外围迁移,同时拆除工厂内一个高塔.施工单位在某平台O的北偏东45°方向 40 m 处设立观测点A,在平台O的正西方向240 m处设立观测点B,已知经过O,A,B三点的圆为圆C,规定圆C及其内部区域为安全预警区.以O为坐标原点,O的正东方向为x轴正方向,建立如图所示的平面直角坐标系.经观测发现,在平台O的正南方向200 m的P处(图中未画出),有一辆小汽车沿北偏西45°方向行驶,则(　　)
[A]观测点A,B之间的距离是280 m
[B]圆C的方程为x2+y2+240x-320y=0
[C]小汽车行驶路线所在直线的方程为y=-x+200
[D]小汽车会进入安全预警区
所以|AB|==200,
即观测点A,B之间的距离是200 m,故A错误;
设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,因为圆C经过O,A,B三点,
所以
解得
所以圆C的方程为x2+y2+240x-320y=0,故B正确;
小汽车行驶路线所在直线的斜率为-1,又点P的坐标是(0,-200),
所以小汽车行驶路线所在直线的方程为y=-x-200,故C错误;
圆C化成标准方程为(x+120)2+(y-160)2=40 000,圆心为C(-120,160),半径r=200,
圆心C到直线y=-x-200的距离d==120所以直线y=-x-200与圆C相交,即小汽车会进入安全预警区,故D正确.故选BD.
7.(5分)某圆弧形拱桥的水面跨度是20 m,拱高为 4 m.现有一船宽9 m,水面以上部分高
3 m,通行无阻.近日水位暴涨了 1.5 m,为此,必须加重船载,降低船身,当船身至少降低
　　　　 m时,船才能安全通过桥洞.(结果精确到0.01 m)
设圆拱所在圆的方程为x2+(y-b)2=r2,
因为圆经过点B(10,0),C(0,4),
所以解得
所以圆的方程是x2+(y+10.5)2=14.52,
当y>0时,令x=4.5,得y≈3.28,
故当水位暴涨1.5 m后,船身至少应降低1.5-(3.28-3)=1.22(m),船才能安全通过桥洞.
8.(5分)
如图,公路MN和PQ在P处交汇,且∠QPN=30°,在A处有一所中学,AP=160 m,假设拖拉机行驶时,周围100 m以内会受到噪声的影响,那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时,学校受影响,已知拖拉机的速度为 18 km/h,那么学校受影响的时间为　　　　s.
由于∠QPN=30°,
|AP|=160 m,
所以|AB|=80 m,
以A为圆心,半径为100 m作圆A,交MN于C,D两点,
所以|CD|=2|CB|=2×=2×60=120 (m),
又拖拉机的速度为18 km/h=5 m/s,
所以学校受影响的时间为=24 s.
9.(12分)在一个平面上,机器人从距离点C(5,-3)为9的地方绕点C顺时针而行,在行进过程中保持与点C的距离不变.它在行进过程中到过点 A(-10,0)与B(0,12)的直线的最近距离和最远距离分别是多少
所以机器人的运行轨迹为(x-5)2+(y+3)2=81,
因为A(-10,0)与B(0,12),
所以直线AB的方程为y=(x+10),
即为6x-5y+60=0,
则圆心C到直线AB的距离为d==>9,
所以最近距离和最远距离分别是-9,+9.
10.(14分)某台风中心位于某地A处,距离台风中心A正西方向150 km的B处有一人,正以北偏东θ角(θ为锐角)方向骑摩托车行进,速度为50 km/h,已知距离台风中心75 km以内会受其影响.
(1)若此人刚好不被台风影响,求tan θ的最大值;
(2)若此人骑行方向为北偏东45°,(速度保持不变)求此人受台风影响持续多少时间.
要使此人不被台风影响,骑行路线正好与圆A相切时,角θ最大,
由|AB|=150,r=75,
则cos θ=,知θ=30°,则tan θ最大值为.
(2)由题意,骑行路线所在直线方程为x-y+150=0,圆心A到直线的距离为d==75,
该直线与圆A相交的弦长为2=150,
即此人被台风影响持续时间为=3 h.
11.设某公园外围成圆形,其所在曲线的方程可用x2+y2-2x=0表示,在公园外两点 A(-2,0),B(0,2)与公园边上任意一点修建一处舞台,则舞台面积的最小值为(　　)
[A] 3- [B]3+
[C]3- [D]
所以AB边上的高的最小值为-1.
所以Smin=×2×(-1)=3-.故选A.
12.(5分)某中学开展劳动实习,学生加工制作零件,零件的截面如图(单位:cm)所示,四边形AFED为矩形,AB,CD,FE均与圆O相切,B,C为切点,零件的截面BC段为圆O的一段弧,已知 tan α=,tan β=,则该零件的截面的周长为　　　　 cm.(结果保留π)
可知kAB=-,kCD=,则直线AB的方程为 4x+3y=0,直线CD的方程为3x-4y-105=0,直线EF的方程为y=12,设圆心为O(a,b),则圆心到直线AB、直线CD、直线 y=12的距离均相等且等于r,则r===|12-b|,解得a=15,b=0,r=12,易得AB==9,CD==16,对应弧长为圆的周长,故该零件的截面的周长为9+16+24+35+=84+6π.
13.(17分)某公园有一形状可抽象为圆柱的标志性景观建筑物,该建筑物底面直径为8 m,在其南面有一条东西走向的观景直道,建筑物的东西两侧有与观景直道平行的两段辅道,观景直道与辅道距离10 m.在建筑物底面中心O的东北方向 20 m 的点A处,有一360°全景摄像头,其安装高度低于建筑物的高度.
(1)在西辅道上距离建筑物地面中心O 5 m处的游客,是否在该摄像头的监控范围内
(2)求观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度.
则O(0,0),A(20,20),观景直道所在直线的方程为y=-10,依题意得,游客所在点为B(-5,0),
则直线AB的方程为=,
化简得4x-5y+20=0,
所以圆心O到直线AB的距离d1==<4,故直线AB与圆O相交,
所以游客不在该摄像头监控范围内.
(2)由图易知,过点A的直线l与圆O相切或相离时,摄像头监控不会被建筑物遮挡,
所以设直线l过A且恰与圆O相切,
①若直线l垂直于x轴,则l不可能与圆O相切;
②若直线l不垂直于x轴,设l:y-20=k(x-20),整理得kx-y-20k+20=0,
所以圆心O到直线l的距离为d2==4,解得k=或k=,
所以直线l的方程为y-20=(x-20)或y-20=(x-20),
即3x-4y+20=0或4x-3y-20=0,
设这两条直线与直线y=-10交于D,E,
由解得x=-20,
由解得x=-2.5,
所以|DE|=17.5,观景直道不在该摄像头的监控范围内的长度为17.5 m.
14.“太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起,故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”,图中曲线为圆或半圆,已知点P(x,y)是阴影部分(包括边界)的动点,则的最小值为(　　)
[A]- [B]-
[C]- [D]
故当直线AP与半圆x2+(y-1)2=1,x>0相切时,斜率k最小,
设lAP:y=k(x-2),则=1,
解得k=-或k=0(舍去),
即的最小值为-.
故选C.(共23张PPT)
2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系
2.5.1　直线与圆的位置关系
　第1课时　直线与圆的位置关系
1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的三种位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题,体会用代数方法处理几何问题的思想.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点　直线与圆的位置关系
1.直线与圆有三种位置关系
位置关系 公共点个数
相交 有 个公共点
相切 只有一个公共点
相离
两
没有公共点
2.直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系的判断
两
一
零
圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.
(2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.
『知识拓展』
基础自测
1.(人教A版选择性必修第一册P93练习T3改编)直线3x+4y-25=0与圆x2+y2=4的位置关系是(　　)
[A]相交且直线过圆心 [B]相交但直线不过圆心
[C]相切 [D]相离
D
2.已知直线x+y=0与圆C:x2+(y-2)2=8相交于A,B两点,则|AB|等于(　　)
A
3.已知圆2x2+2y2+3x-4y-λ=0与x轴相切,则λ=　　　　.
关键能力·素养培优
[例1] 已知直线l:x-2y+5=0与圆C:(x-7)2+(y-1)2=36,判断直线l与圆C的位置关系.
题型一　直线与圆位置关系的判断
·解题策略·
直线与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.
(2)代数法:根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断.
(3)直线系法:若直线恒过定点,可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系,但有一定的局限性,必须是过定点的直线系.
[变式训练] 直线kx-y-2k+2=0(k∈R)与圆x2+y2-6x-8y=0的位置关系是(　　)
[A]相离 [B]相切
[C]相交 [D]都有可能
C
【解析】 将圆的方程化为标准方程(x-3)2+(y-4)2=25,所以圆心坐标为(3,4),圆的半径为5,直线 kx-y-2k+2=0恒过定点(2,2),(2-3)2+(2-4)2=5<25,点(2,2)在圆内,所以直线与圆相交.故选C.
[例2] 已知圆的方程为x2+y2=8,圆内有一点 P(-1,2),AB为过点P且倾斜角为α的弦.
(1)当α=135°时,求AB的长;
题型二　圆的弦长问题
【解】 (1)如图①所示,
过点O作OC⊥AB.
由已知条件得直线的斜率为 k=tan 135°=-1,
所以直线AB的方程为y-2=-(x+1),即x+y-1=0.
(2)当弦AB被点P平分时,求直线AB的方程.
·解题策略·
求弦长的两种方法
[例3] (苏教版选择性必修第一册P64例2)自点 A(-1,4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1的切线l,求切线l的方程.
题型三　圆的切线问题
【解】 当直线l垂直于x轴时,直线l:x=-1与圆相离,不满足条件.
当直线l不垂直于x轴时,可设直线l的方程为 y-4=k(x+1),
即kx-y+(k+4)=0.
[典例迁移] 过点P(1,1)作圆E:x2+y2-4y+2=0的切线,则切线方程为(　　)
[A] x-y+1=0 [B]x+y=0
[C]x+y+1=0 [D]x-y=0
D
·解题策略·
(1)求过已知点的圆的切线的方法
①如果已知点在圆上,那么圆心和已知点的连线和切线垂直,从而求得切线的斜率,用直线的点斜式方程可求得切线方程.
②如果已知点在圆外,过这点的切线将有两条,但在设斜率解题时可能求出的切线只有一条,这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在.
感谢观看(共19张PPT)
第2课时　直线、圆的方程的实际应用
1.理解并掌握直线与圆的方程在生活中的应用.2.会用“数形结合”的数学思想解决直线与圆相关的问题.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点　直线、圆的方程的实际应用
1.解决实际问题的一般程序
仔细读题(审题)→建立数学模型→解答数学模型→检验→给出实际问题的答案.
2.用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”
第一步:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何元素,如点、直线,将平面几何问题转化为代数问题.
第二步:通过代数运算,解决代数问题.
第三步:把代数运算结果“翻译”成几何结论.
基础自测
1.y=|x|的图象和圆x2+y2=4在x轴上方所围成的图形的面积是(　　)
D
2.(人教A版选择性必修第一册P95练习T1改编)一座圆拱桥,当水面在如图所示位置时,拱顶离水面2 m,水面宽12 m,当水面下降2 m后,水面宽是(　　)
[A]13 m [B]14 m
[C]15 m [D]16 m
D
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系,则A(-6,-2),B(6,-2),
设圆的方程为x2+(y+m)2=m2(m>0),代入A,则有m=10,
故圆的方程为x2+(y+10)2=100,令y=-4,则x=±8,故|EF|=16.
故选D.
3.设某村庄外围成圆形,其所在曲线的方程可用(x-2)2+(y+3)2=4表示,村外一小路方程可用x-y+2=0表示,则从村庄外围到小路的最短距离是
　　　　　　.
关键能力·素养培优
[例1] (人教B版选择性必修第一册P105例3)赵州桥位于我国河北省,是我国现存最早、保存最好的巨大石拱桥.赵州桥是一座空腹式的圆弧形石拱桥,利用解析几何的方法,用赵州桥的跨度a和圆拱高b表示出赵州桥圆弧所在圆的半径.
题型一　圆的方程的实际应用
·解题策略·
建立适当的直角坐标系,用坐标和方程表示问题中的几何要素,通过代数运算,解决几何问题.
3.3
题型二　直线与圆的方程的实际应用
(1)求圆C的方程;
(2)若圆C区域内有未知暗礁,现有一船D在O岛的南偏西30°方向距O岛40 km处,正沿着北偏东45°方向行驶,若不改变方向,试问该船有没有触礁的危险.
·解题策略·
解决直线与圆的应用题的步骤
(1)审题:从题目中抽象出几何模型,明确已知和未知.
(2)建系:建立适当的平面直角坐标系,用坐标和方程表示几何模型中的基本元素.
(3)求解:利用直线与圆的有关知识求出未知.
(4)还原:将运算结果还原到实际问题中去.
感谢观看2.5.1　直线与圆的位置关系
第1课时　直线与圆的位置关系
【课程标准要求】　1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆的三种位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题,体会用代数方法处理几何问题的思想.
知识点　直线与圆的位置关系
1.直线与圆有三种位置关系
位置关系 公共点个数
相交 有两个公共点
相切 只有一个公共点
相离 没有公共点
2.直线Ax+By+C=0与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系的判断
位置关系 相交 相切 相离
公共点个数 两个 一个 零个
判 定 方 法 几何法: 设圆心到直线的距离为d,则d= dr
代数法:由 消元得到一元二次方程的判别式Δ Δ>0 Δ=0 Δ<0
知识拓展
圆的切线方程常用结论
(1)过圆x2+y2=r2上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.
(2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.
基础自测
1.(人教A版选择性必修第一册P93练习T3改编)直线3x+4y-25=0与圆x2+y2=4的位置关系是(　　)
[A]相交且直线过圆心 [B]相交但直线不过圆心
[C]相切 [D]相离
2.已知直线x+y=0与圆C:x2+(y-2)2=8相交于A,B两点,则|AB|等于(　　)
[A]2 [B]4
[C] [D]2
3.已知圆2x2+2y2+3x-4y-λ=0与x轴相切,则λ=　　　　.
题型一　直线与圆位置关系的判断
[例1] 已知直线l:x-2y+5=0与圆C:(x-7)2+(y-1)2=36,判断直线l与圆C的位置关系.
消去y并整理,得5x2-50x+61=0.
因为Δ=(-50)2-4×5×61=1 280>0,
所以该方程组有两组不同的实数解,
即直线l与圆C相交.
直线与圆的位置关系的判断方法
(1)几何法:由圆心到直线的距离d与圆的半径r的大小关系判断.
(2)代数法:根据直线方程与圆的方程组成的方程组的解的个数来判断.
(3)直线系法:若直线恒过定点,可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系,但有一定的局限性,必须是过定点的直线系.
[变式训练] 直线kx-y-2k+2=0(k∈R)与圆x2+y2-6x-8y=0的位置关系是(　　)
[A]相离 [B]相切
[C]相交 [D]都有可能
题型二　圆的弦长问题
[例2] 已知圆的方程为x2+y2=8,圆内有一点 P(-1,2),AB为过点P且倾斜角为α的弦.
(1)当α=135°时,求AB的长;
(2)当弦AB被点P平分时,求直线AB的方程.
过点O作OC⊥AB.
由已知条件得直线的斜率为 k=tan 135°=-1,所以直线AB的方程为y-2=-(x+1),即x+y-1=0.
因为圆心为(0,0),
所以|OC|==.
因为r=2,所以|BC|==.
所以|AB|=2|BC|=.
(2)如图②,当弦AB被点P平分时,OP⊥AB,
因为kOP=-2,
所以kAB=.
所以直线AB的方程为
y-2=(x+1),即x-2y+5=0.
求弦长的两种方法
(1)几何法:由于半径r、弦心距d、弦长l的一半构成直角三角形,所以利用d2+()2=r2求解,这是常用解法.
(2)代数法:联立直线方程和圆的方程,消元转化为关于x的一元二次方程,运用根与系数的关系即可求得弦AB的长|AB|=|x1-x2|=·.
[变式训练] 已知直线l:mx-y+1=0与☉C:x2+(y+1)2=4交于A,B两点,写出满足“△ABC面积为”的m的一个值为　　　　.
则C到直线l的距离为d=,
|AB|=2=2.
则S△ABC=|AB|d=·= =或=,
得m=±或m=±.
题型三　圆的切线问题
[例3] (苏教版选择性必修第一册P64例2)自点 A(-1,4)作圆(x-2)2+(y-3)2=1的切线l,求切线l的方程.
当直线l不垂直于x轴时,可设直线l的方程为 y-4=k(x+1),
即kx-y+(k+4)=0.
如图,因为直线与圆相切,所以圆心(2,3)到直线l的距离等于圆的半径,从而=1,
解得k=0或k=-.
因此,所求直线l的方程是y=4或3x+4y-13=0.
[典例迁移] 过点P(1,1)作圆E:x2+y2-4y+2=0的切线,则切线方程为(　　)
[A] x-y+1=0 [B]x+y=0
[C]x+y+1=0 [D]x-y=0
将P(1,1)的坐标代入圆的方程,得12+12-4×1+2=0,则点P在圆上,
又kPE==-1,所以过点P与圆相切的直线的斜率为1,所以过点P的切线方程为y-1=x-1,
即x-y=0.故选D.
(1)求过已知点的圆的切线的方法
①如果已知点在圆上,那么圆心和已知点的连线和切线垂直,从而求得切线的斜率,用直线的点斜式方程可求得切线方程.
②如果已知点在圆外,过这点的切线将有两条,但在设斜率解题时可能求出的切线只有一条,这是因为有一条过这点的切线的斜率不存在.
(2)圆的切线长的求法
过圆外一点的圆的切线长的求解要抓住圆心到切线的距离等于半径这一几何性质.设切线长为l,点到圆心的距离为d,半径为r,运用勾股定理可得l=.
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.直线l:xcos α+ysin α=1(α∈R)与曲线C:x2+y2=1的交点个数为(　　)
[A]0 [B]1
[C]2 [D]无法确定
则圆心与直线l的距离d==1,
因为d=r,所以曲线C与直线l相切,即只有一个交点.故选B.
2.经过点M(1,2)作圆x2+y2=5的切线,则切线方程为(　　)
[A]2x+y-5=0 [B]2x-y-5=0
[C]x+2y-5=0 [D]x-2y-5=0
故该切线方程为y=-(x-1)+2,即x+2y-5=0.故选C.
3.已知两条直线l1:x-y+2=0与l2:x-y+6=0被圆C截得的线段长均为2,则圆C的面积为(　　)
[A]2π [B]3π
[C]4π [D]5π
所以圆心C到直线l1的距离为1,
因为直线l1被圆截得的弦长为2,
所以圆的半径为r==,
所以圆C的面积为πr2=2π.故选A.
4.若过点(2,0)与圆x2+y2=4相切的两条直线的夹角为α,则cos α等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
所以sin ===,
于是cos α=1-2sin2=1-2×()2=.故选A.
5.(多选题)与圆x2+(y-2)2=2相切,且在两坐标轴上的截距相等的直线方程为(　　)
[A]x+y=0 [B]x-y=0
[C]x-y-4=0 [D]x+y-4=0
即=,解得k=±1,所以y=±x;
若所求直线不过原点,因为该直线在两坐标轴上的截距相等,所以可设该直线方程为x+y=m(m≠0),
又该直线与圆x2+(y-2)2=2相切,所以=,解得m=4或m=0(舍去),
所以x+y-4=0.
综上,满足条件的直线的方程为y=±x,x+y-4=0.故选ABD.
6.(多选题)已知圆(x-1)2+(y-2)2=4与直线x+my-m-2=0,下列选项正确的是(　　)
[A]直线过定点(-2,1)
[B]圆的圆心坐标为(1,2)
[C]直线与圆必相交
[D]直线与圆相交所截的最短弦长为2
可得解得则直线x+my-m-2=0过定点(2,1),故A错误;
对于B,由圆(x-1)2+(y-2)2=4,则圆心为(1,2),半径r=2,故B正确;
对于C,由定点(2,1)到圆心(1,2)的距离=<2=r,故C正确;
对于D,当定点与圆心的连线垂直于直线x+my-m-2=0时,所截的弦长是最短的,
则弦长为2=2,故D正确.故选BCD.
7.(5分)若点P(1,1)为圆C:(x-3)2+y2=9的弦MN的中点,则弦MN所在直线的方程为　　　　　　　.
所以弦MN所在直线的方程为y-1=2(x-1),整理为2x-y-1=0.
8.(5分)已知圆心在x轴上的圆C与倾斜角为的直线相切于点N(3,),则圆C的方程为　　　　　　　　.
依题意可得cos ==,可得r=2.
直线的方程为y-=(x-3),
整理得x-y=0,
因为直线与圆相切,所以圆心到直线的距离d==2,
解得a=4,a=-4(舍去).
所以圆C的方程为(x-4)2+y2=4.
9.(12分)k取什么值时,圆x2+y2=5与直线y=kx+5相切
圆心到直线kx-y+5=0的距离d=.
圆与直线相切 d=r = k=±2.
10.(14分)已知圆C经过A(4,0),B(0,2)两点和坐标原点O.
(1)求圆C的方程;
(2)斜率为1的直线l与圆C相交于M,N两点,且|MN|=2,求直线l的方程.
则解得
所以圆的方程为(x-2)2+(y-1)2=5.
(2)由(1)得圆心C(2,1),半径r=,
设直线l:y=x+m,即x-y+m=0,则圆心到直线l的距离d==,
弦长为2=2=2,
解得m=-3或m=1,符合题意,
则直线方程为y=x-3或y=x+1,
即x-y-3=0或x-y+1=0.
11.已知直线y=k(x+2)与曲线y=有公共点,则实数k的取值范围是(　　)
[A][-,] [B][0,]
[C][-,0] [D][-,]
又y=k(x+2)过定点(-2,0),如图,
由图知,当y=k(x+2)与半圆左上部相切时,=1且k>0,可得k=,
结合图知0≤k≤,故实数k的取值范围为[0,].故选B.
12.(5分)设函数f(x)=x2-8x,若点P(x,y)满足 f(x)+f(-y)≤32,f(y)≤0,记点P构成的图形为Ω,则Ω的面积是　　　　　.
即
即
不等式(x-4)2+(y+4)2≤64表示的点(x,y)位于圆(x-4)2+(y+4)2=64的圆上和圆内,
由此画出图形Ω如图中阴影部分所示,
由于|CD|=4,|AC|=|BC|=8,
所以∠ACB=+=,
|AB|=2=8,
所以图形Ω的面积为π×82×-×8×4=-16.
13.(17分)已知圆C:x2+y2-2x-4y+2=0和直线l:ax+y-1-a=0.
(1)判断直线l与圆C的位置关系;
(2)求直线l被圆C截得的最短弦长及此时直线l的方程.
即a(x-1)+y-1=0恒过定点M(1,1).
又因为圆C:x2+y2-2x-4y+2=0,
即(x-1)2+(y-2)2=3,
即圆心C(1,2),半径为r=,
因为|CM|==1<,
所以点M在圆内,即直线l与圆C相交.
(2)当直线l⊥CM时,直线l被圆C截得的弦长最短,此时可得弦长的一半为==,
即最短弦长为2.
又因为点M,C横坐标相同,故直线MC⊥x轴,
则直线l的斜率为0,所以直线l的方程为y=1.
14.已知A(2,0),B(10,0),若直线tx-4y+2=0上存在点P,使得·=0,则t的取值范围为(　　)
[A][-3,]
[B][-,3]
[C][-∞,-]∪[3,+∞)
[D](-∞,-7]∪[,+∞)
则=(2-x,-y),=(10-x,-y),
因为·=0,所以(2-x)·(10-x)+(-y)2=0,即(x-6)2+y2=16,所以点P在以(6,0)为圆心,4为半径的圆上.
又点P在直线tx-4y+2=0上,
所以直线tx-4y+2=0与圆(x-6)2+y2=16有公共点,则≤4,解得-≤t≤3,故t的取值范围为[-,3].故选B.

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