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2.5.2　圆与圆的位置关系
【课程标准要求】　1.能根据给定圆的方程,判断圆与圆的位置关系.2.能用圆和圆的方程解决一些简单的问题,体会用代数方法处理几何问题的思想.
知识点　圆与圆的位置关系
1.圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有五种,分别为外离、外切、相交、内切、内含.
2.圆与圆位置关系的判定
(1)几何法
若两圆的半径分别为r1,r2,两圆圆心距的长为d,则两圆的位置关系的判断方法如下:
位置 关系 图示 d与r1,r2的关系
外离 d>r1+r2
外切 d=r1+r2
相交 |r1-r2|内切 d=|r1-r2|
内含 d<|r1-r2|
(2)代数法
设两圆的一般方程分别为C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(+-4F1>0),C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=
0(+-4F2>0),联立方程得则方程组解的个数与两圆的位置关系如下:
方程组解的个数 2组 1组 0组
两圆的公共点个数 2个 1个 0个
两圆的位置关系 相交 内切 或外切 外离 或内含
(1)利用代数法判断两圆位置关系时,当方程组无解或有一组解时,无法判断两圆的位置关系,应优先使用几何法.
(2)两圆相交时,其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到.
基础自测
1.圆(x-4)2+y2=9和圆x2+(y-3)2=4的位置关系是(　　)
[A]外离 [B]相交
[C]外切 [D]内含
【答案】 C
【解析】 圆(x-4)2+y2=9的圆心为(4,0),半径为3,
圆x2+(y-3)2=4的圆心为(0,3),半径为2,两圆的圆心距为=5=2+3,
即两圆的圆心距等于半径和,所以两圆外切.故选C.
2.已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-8x+6y+m=0相内切,则实数m的值为(　　)
[A]-9 [B]-11
[C]9 [D]11
【答案】 B
【解析】 圆C1:x2+y2=1的圆心及半径为C1(0,0),r1=1,圆C2:x2+y2-8x+6y+m=0可化为(x-4)2+(y+3)2=25-m(m<25),
则其圆心及半径为C2(4,-3),r2=,C2(4,-3)在圆C1:x2+y2=1的外面,
因为圆C1与圆C2相内切,
所以|C1C2|=r2-r1,
即r2=+1=6=,
解得m=-11.故选B.
3.(人教A版选择性必修第一册P98练习T2改编)圆C1:x2+y2-1=0与圆C2:x2+y2-2x+4y=0的公共弦所在直线的方程是　　　　　　　　　.
【答案】 2x-4y-1=0
【解析】 由题意,因为圆C1:x2+y2-1=0①,圆C2:x2+y2-2x+4y=0②,
由①-②得,2x-4y-1=0,
所以两圆的公共弦所在的直线方程为2x-4y-1=0.
题型一　圆与圆位置关系的判定
[例1] 已知圆C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0(a>0),圆C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0).试求a为何值时,两圆C1,C2的位置关系为:
(1)相切;(2)相交;(3)外离;(4)内含.
【解】 圆C1,C2的方程,经配方后可得
C1:(x-a)2+(y-1)2=16,
C2:(x-2a)2+(y-1)2=1,
所以圆心C1(a,1),C2(2a,1),半径r1=4,r2=1.
所以|C1C2|==a.
(1)当|C1C2|=r1+r2=5,即a=5时,两圆外切;
当|C1C2|=r1-r2=3,即a=3时,两圆内切.
(2)当3<|C1C2|<5,即3(3)当|C1C2|>5,即a>5时,两圆外离.
(4)当|C1C2|<3,即0判断两圆的位置关系的两种方法
(1)几何法:将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较,进而判断出两圆的位置关系,这是解析几何中主要使用的方法.
(2)代数法:将两圆的方程组成方程组,根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系.
[变式训练] 圆A:x2+y2=1与圆B:x2-4x+y2-5=0的公共点个数为(　　)
[A]0 [B]3
[C]2 [D]1
【答案】 D
【解析】 因为圆B:(x-2)2+y2=9,其圆心为 B(2,0),半径为3,圆A的圆心为A(0,0),半径为1,
所以圆心距为|AB|=2,半径之差为2,所以两圆内切,只有一个公共点.故选D.
题型二　两圆相交问题
[例2] 已知圆C1:x2+y2+6x-4=0和圆C2:x2+y2+6y-28=0.
(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长;
(2)求经过两圆交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.
【解】 (1)设两圆交点为A(x1,y1),B(x2,y2),则A,B两点坐标是方程组
的解.
①-②,得x-y+4=0.
因为A,B两点坐标都满足此方程,所以x-y+4=0即为两圆公共弦所在直线的方程.
又圆C1的圆心(-3,0),r=,
C1到直线AB的距离为d==,
所以|AB|=2=2=5,
即两圆的公共弦长为5.
(2)解方程组
得两圆的交点A(-1,3),B(-6,-2).
设所求圆的圆心为(a,b),因为圆心在直线x-y-4=0上,故b=a-4.
则
=,
解得a=,故圆心为(,-),半径为.
故圆的方程为(x-)2+(y+)2=,
即x2+y2-x+7y-32=0.
(1)公共弦所在直线的方程
若圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(+-4F1>0)与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(+-4F2>0)相交,则两圆公共弦所在的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.
(2)公共弦长的求法
①代数法:将两圆的方程联立,解出交点坐标,利用两点间的距离公式求出弦长.
②几何法:求出公共弦所在直线的方程,利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形,根据勾股定理求解.
[变式训练] 已知圆C1:x2+y2-2x+4y-4=0与圆C2:x2+y2+4x-2y-4=0的交点为A,B,则 |AB|=　　　　.
【解】 圆C1:x2+y2-2x+4y-4=0,
即(x-1)2+(y+2)2=9,
则圆心C1(1,-2),半径r1=3;
圆C2:x2+y2+4x-2y-4=0,
即(x+2)2+(y-1)2=9,
则圆心C2(-2,1),半径r2=3;
由两圆相交,则两圆公共弦方程为x2+y2-2x+4y-4-(x2+y2+4x-2y-4)=0,
即x-y=0,
则圆心C1(1,-2)到直线x-y=0的距离d==,
所以公共弦长|AB|=2=2=3.
题型三　两圆相切问题
[例3] (北师大版选择性必修第一册P38例10)已知圆C与x轴和y轴都相切,且与圆O:x2+y2=1相外切,求圆C的方程.
【解】 设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2.
因为圆C与x轴和y轴都相切,
所以|a|=|b|=r.①
因为圆C与圆O:x2+y2=1相外切,
所以=1+r.②
由方程①化简方程②,得 r=1+r,
所以r=+1.
所以|b|=|a|=+1=r.
所以圆C的方程为
C1:(x--1)2+(y--1)2=(+1)2或
C2:(x++1)2+(y--1)2=(+1)2或
C3:(x++1)2+(y++1)2=(+1)2或
C4:(x--1)2+(y++1)2=(+1)2.
如图.
处理两圆相切问题的两个步骤
[变式训练] 已知圆C1:x2+y2=1,圆C2:(x-2)2+y2=1,则C1,C2的公切线方程为　　　　.(写出一条即可)
【答案】 y=1,y=-1,x=1(三个方程写出一个即可)
【解析】 如图,因为 |C1C2|=2,C1,C2的半径均为1,则C1,C2外切,结合图象可知,C1,C2的公切线方程为 y=1,y=-1,x=1.
培优拓展4　圆系方程
曲线系也叫曲线族或曲线束,是指具有某种性质的曲线的集合;曲线系方程是指含有参数的二元方程,当参数在其取值范围内变化时分别对应的所有曲线,圆系是曲线系的一类.
【题型演绎】
一、直线与圆有交点的圆系方程
[典例1] 已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,问:是否存在斜率为1的直线l,使直线l被圆C截得的弦AB为直径的圆经过原点 若存在,写出直线l的方程;若不存在,说明理由.
【解】 存在.假设存在直线l,其方程为 y=x+b,则以AB为弦的圆系方程为
x2+y2-2x+4y-4+λ(x-y+b)=0,
整理得 x2+y2+(λ-2)x+(4-λ)y+λb-4=0.
因为圆过原点,所以λb-4=0.①
又因为圆心(,)在直线y=x+b上,
所以-+b=0,②
由①②解得b=-4或b=1,
经检验,y=x+1和y=x-4都和圆C相交,故存在满足条件的直线l,其方程为y=x+1或 y=x-4.
过圆O:x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l:Ax+By+C=0交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ为参数).
[跟踪训练] 求经过直线y=1与圆x2-2x+y2-4y+1=0的交点,且面积最小的圆的一般方程.
【解】 由题意设所求圆的方程为x2-2x+y2-4y+1+λ(y-1)=0,
即x2+y2-2x+(λ-4)y+1-λ=0,此时圆心为(1,),当圆心在直线y=1上时,圆的半径最小,此时圆的面积最小,
所以=1,得λ=2,所以所求的圆的一般方程为x2+y2-2x-2y-1=0.
二、两圆相交的圆系方程
[典例2] 求过两圆x2+y2-4=0和x2-4x+y2=0的交点,且圆心在直线x-y-6=0上的圆的
方程.
【解】 联立得
解得 或
所以点(1,)和(1,-)都在所求圆上,所以所求圆的圆心在x轴上.
又圆心在直线x-y-6=0上,
所以所求圆的圆心为(6,0),
半径r==,
所以所求圆的方程为(x-6)2+y2=28.
过圆O1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆O2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(不包括圆O2,λ为参数.当λ=-1时,为一条直线,即过两圆交点的直线).
[跟踪训练] 已知圆M:x2+(y-)2=与圆 x2+y2=m的公共弦经过点M,则m等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 因为圆M:x2+(y-)2=的圆心为 M(0,),又圆x2+y2=m,
所以两圆的公共弦所在直线的方程为x2+y2-3y-4-(x2+y2-m)=0,
即m-3y-4=0,又过点M(0,),
所以m-3×-4=0,所以m=.故选B.
三、与圆相切的圆系方程
[典例3] 求与圆x2+y2-4x-8y+15=0切于点A(3,6),且过点B(5,6)的圆的方程.
【解】 设与圆x2+y2-4x-8y+15=0切于点 A(3,6)的圆系方程为x2+y2-4x-8y+15+λ[(x-3)2+(y-6)2]=0.
把点B(5,6)代入,求得λ=-2.
所以x2+y2-4x-8y+15-2(x2-6x+9+y2-12y+36)=0,
化简即得所求圆的方程为x2+y2-8x-16y+75=0.
若(x0,y0)表示圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0上任意一点,则曲线系方程(x2+y2+Dx+Ey+F)+λ[(x-x0)2+(y-y0)2]=0(λ为参数)表示与C相切于点(x0,y0)的所有圆.
[跟踪训练] 过点A(1,-1),且与圆O:x2+y2=100切于点B(8,6)的圆的方程为
　　　　.
【答案】 (x-4)2+(y-3)2=25
【解析】 设所求圆的圆心为C(a,b),由题意可得CA=CB,kOB=kOC,
所以(a-1)2+(b+1)2=(a-8)2+(b-6)2,
且=,
解得半径r==5,
故所求圆的方程为(x-4)2+(y-3)2=25.
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.已知圆C1:(x-1)2+y2=1,圆C2:(x-4)2+y2=16,则圆C1与圆C2的位置关系为(　　)
[A]外离 [B]相交
[C]外切 [D]内切
【答案】 D
【解析】 由题意知,C1(1,0),r1=1,C2(4,0),r2=4,所以|C1C2|=3,r2-r1=3,则|C1C2|=r2-r1,
所以两圆内切.故选D.
2.圆O1:(x-1)2+(y-1)2=28与圆O2:x2+(y-4)2=18的公共弦长为(　　)
[A]2 [B]2
[C]3 [D]6
【答案】 D
【解析】 已知圆O1:(x-1)2+(y-1)2=28,圆O2:x2+(y-4)2=18,
两圆方程作差,得到其公共弦AB的方程为x-3y+12=0,
而圆心O1到直线AB所在直线的距离为
d==,
圆O1的半径为2,
所以|AB|==3,
所以|AB|=6.故选D.
3.已知☉C1:(x+1)2+(y+)2=与☉C2:x2+y2+4x+3y+m=0有且只有两条公切线,则m的取值范围是(　　)
[A](0,6) [B](,)
[C](,6) [D](1,4)
【答案】 A
【解析】 由☉C2:x2+y2+4x+3y+m=0 (x+2)2+(y+)2=-m,>m,
则可得C1(-1,-),C2(-2,-),且两圆的半径分别为r1=,r2=,
又两圆只有两条公切线,故该两圆相交,
即|C1C2|=1∈(|r1-r2|,r1+r2),
显然r1+r2>1,
则-14.已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是(　　)
[A](x-5)2+(y-7)2=25
[B](x-5)2+(y-7)2=17或(x-5)2+(y+7)2=15
[C](x-5)2+(y-7)2=9
[D](x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9
【答案】 D
【解析】 由(x-5)2+(y+7)2=16,圆心为(5,-7),半径为4,
设动圆圆心为(x,y),若动圆与已知圆外切,则=4+1,
即(x-5)2+(y+7)2=25;
若动圆与已知圆内切,则=4-1,即(x-5)2+(y+7)2=9.
综上所述,动圆圆心的轨迹方程是(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9.故选D.
5.(多选题)点P在圆C1:x2+y2=1上,点Q在圆C2:x2+y2-6x+8y+24=0上,则(　　)
[A] 两个圆的公切线有2条
[B]两个圆上任意一点关于直线4x+3y=0的对称点仍在该圆上
[C]|PQ|的取值范围为[3,7]
[D]两个圆的公共弦所在直线的方程为 6x-8y-25=0
【答案】 BC
【解析】 圆C1:x2+y2=1的圆心C1(0,0),半径 r1=1,圆C2:(x-3)2+(y+4)2=1的圆心 C2(3,-4),半径r2=1,
由|C1C2|=5>r1+r2,得圆C1,C2外离,这两个圆有4条公切线,A错误;
因为直线C1C2的方程为4x+3y=0,所以直线 4x+3y=0为两圆的公共对称轴,B正确;
|PQ|min=|C1C2|-r1-r2=3,|PQ|max=|C1C2|+r1+r2=7,则|PQ|的取值范围为[3,7],C正确;
由圆C1,C2外离,得圆C1,C2不存在公共弦,D错误.
故选BC.
6.(多选题)若圆C1:x2+y2=1,圆C2:(x-3)2+(y-b)2=r2(r>0),则(　　)
[A] 当b=4时,若圆C1与圆C2有且仅有三条公切线,则r=4
[B]当r=4时,若圆C1与圆C2有且仅有两条公切线,则b∈(-4,4)
[C]当r=5时,存在实数b,使得圆C1与圆C2无公切线
[D]若存在实数b,使得圆C1与圆C2有且仅有三条公切线,则r∈[2,+∞)
【答案】 ACD
【解析】 当b=4时,两圆有三条公切线,所以两圆外切,所以|C1C2|=r+1,
=r+1,得r=4,故A正确;
当r=4时,若两圆有两条公切线,则两圆相交,
所以4-1<|C1C2|<4+1,
即3<<5,解得-4当r=5时,若两圆无公切线,则两圆内含,所以|C1C2|<5-1,
即<4,解得b2<7,得-若两圆有三条公切线,则两圆外切,
所以|C1C2|=r+1,即=r+1,
若存在b使两圆有三条公切线,则r+1=≥3,即r≥2,故D正确.
故选ACD.
7.(5分)圆x2+y2=4与圆x2+y2-4x+4y-12=0交于A,B两点,则线段AB的垂直平分线的方程为　　　　　　　　.
【答案】 x+y=0
【解析】 圆x2+y2=4圆心坐标为O(0,0),
圆x2+y2-4x+4y-12=0化成标准方程为(x-2)2+(y+2)2=20,圆心坐标为C(2,-2),
两圆公共弦的垂直平分线恰为过两圆圆心的直线CO,由kCO==-1,
则直线CO的方程为y=-x,即x+y=0.
8.(5分)写出与圆(x-1)2+(y-2)2=和圆(x-2)2+(y-1)2=都相切的一条直线方程　　　　　.
【答案】 y=x或x+y-4=0或x+y-2=0(写出其中一条即可)
【解析】圆(x-1)2+(y-2)2=的圆心为 M(1,2),
半径为r1=,
圆(x-2)2+(y-1)2=的圆心为N(2,1),半径为 r2=,
则|MN|===r1+r2,即两圆外切,故共有3条公切线(如图).
又r1=r2,且M(1,2)与N(2,1)关于直线y=x对称,故直线y=x即为两圆的一条公切线;
由图知,另两条公切线与直线MN平行,
又kMN==-1,
故可设公切线方程为y=-x+b,
即x+y-b=0,
由圆心M(1,2)到直线x+y-b=0的距离d==,解得b=4或b=2,
则另两条切线方程为x+y-4=0或x+y-2=0.
综上,与两圆都相切的直线方程为y=x或x+y-4=0或x+y-2=0.
9.(13分)已知圆C1:x2+y2-6x+2my+m2+8=0,圆C2:x2+y2=16,直线l:y=kx-5(k>0).
(1)若圆C1与圆C2外切,求实数m的值;
(2)若l与圆C1,C2都相切,求实数m的值.
【解】 (1)化为标准方程C1:
(x-3)2+(y+m)2=1,
两圆的圆心和半径分别为C1(3,-m),r1=1,C2(0,0),r2=4,则|C1C2|==r1+r2=5,
解得m=-4或m=4.
(2)圆心C2到直线l的距离d2==4,
解得k=或k=-(舍去),
圆心C1到直线l的距离d1==1,
解得m=4或m=.
综上所述,m的值为4或.
10.(15分)设a,b为实数,已知圆P:x2+y2=9,点 Q(a,b)在圆P外,以线段PQ为直径作圆M,与圆P相交于A,B两点.
(1)试分别确定直线QA,QB与圆P的位置关系.
(2)当QA=QB=4时,点Q在什么曲线上运动
(3)当a=-2,b=-3时,求直线AB的方程.
【解】 (1)因为PQ是圆M的直径,
所以PA⊥AQ,
又因为AP是圆P的半径,
所以根据圆的切线判定定理,可得AQ与圆P相切,同理BQ也相切.
(2)在△APQ中,∠PAQ=90°,
所以AQ2+AP2=PQ2,
因为QA=4,AP=3,
所以PQ=5,
由此可得Q在以P为圆心,半径为5的圆上.
(3)P(0,0),Q(-2,-3),
则圆M的方程为 x2+y2+2x+3y=0,
两圆联立得到公共弦所在直线方程2x+3y+9=0,
所以直线AB的方程为2x+3y+9=0.
11.设两圆C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点(1,2),则两圆心的距离|C1C2|等于(　　)
[A]4 [B]4
[C]8 [D]8
【答案】 B
【解析】 依题意设两圆方程分别为(x-a)2+(y-a)2=a2,(x-b)2+(y-b)2=b2,
分别将(1,2)代入得
所以a+b=6,ab=5,
圆心距==4.故选B.
12.两圆相交于两点(k,1)和(1,3),两圆的圆心都在直线x-y+=0上,则k+c等于(　　)
[A]1 [B]2
[C]3 [D]0
【答案】 C
【解析】 由圆的相交弦的性质得,相交两圆的圆心的连线垂直平分相交弦,
设A(k,1)和B(1,3),
可得AB与直线x-y+=0垂直,
且AB的中点在直线x-y+=0上,
由AB与直线x-y+=0垂直,可得=-1,解得k=3,即A(3,1),
所以AB的中点(2,2),代入直线x-y+=0,
可得c=0,
所以k+c=3.故选C.
13.(15分)设a为实数,圆M的方程为x2+y2+2x-6y+a=0.
(1)若圆x2+y2=9和圆M的公共弦长为,求a的值;
(2)若过点(4,-1)的圆N与圆M相切,切点为(1,2),求圆N的标准方程.
【解】 (1)由题知两圆相交,
将圆M:x2+y2+2x-6y+a=0与圆O:x2+y2=9相减可得2x-6y+a+9=0,
即两圆公共弦所在直线方程为2x-6y+a+9=0,
圆心O到直线2x-6y+a+9=0的距离为 d==,
所以9=()2+()2,
解得a=1或-19,
所以实数a的值为1或-19.
(2)将点A(1,2)代入圆M:x2+y2+2x-6y+a=0,可得a=5,
所以圆M的方程为x2+y2+2x-6y+5=0,
即(x+1)2+(y-3)2=5,
所以圆M的圆心为(-1,3),半径为,
设圆N的标准方程为(x-m)2+(y-n)2=r2,
因为圆N与圆M相切于点A,所以A,M,N三点共线,
所以直线AM的方程为y-2=(x-1),
即x+2y-5=0,
将点N(m,n)代入得m=5-2n,①
又点B(4,-1)在圆N上,
所以|BN|=|AN|=r,
即
=,②
由①②两式解得,m=3,n=1,r=,
所以圆N的标准方程为(x-3)2+(y-1)2=5.
14.已知A(-2,0),B(2,0),若圆(x-a-1)2+(y-3a+2)2=4上存在点P满足·=5,则a的取值范围是(　　)
[A][-1,2] [B][-2,1]
[C][-2,3] [D][-3,2]
【答案】 A
【解析】 设点P(x,y),
则=(-2-x,-y),
=(2-x,-y),
所以·=(-2-x)(2-x)+y2=5,
则x2+y2=9,
所以点P的轨迹方程为x2+y2=9,圆心为(0,0),半径为3,
由此可知圆(x-a-1)2+(y-3a+2)2=4与x2+y2=9有公共点,
又圆(x-a-1)2+(y-3a+2)2=4的圆心为(a+1,3a-2),半径为2,
所以1≤≤5,解得-1≤a≤2,即a的取值范围是[-1,2].
故选A.2.5.2　圆与圆的位置关系
【课程标准要求】　1.能根据给定圆的方程,判断圆与圆的位置关系.2.能用圆和圆的方程解决一些简单的问题,体会用代数方法处理几何问题的思想.
知识点　圆与圆的位置关系
1.圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有五种,分别为外离、外切、相交、内切、内含.
2.圆与圆位置关系的判定
(1)几何法
若两圆的半径分别为r1,r2,两圆圆心距的长为d,则两圆的位置关系的判断方法如下:
位置 关系 图示 d与r1,r2的关系
外离 d>r1+r2
外切 d=r1+r2
相交 |r1-r2|内切 d=|r1-r2|
内含 d<|r1-r2|
(2)代数法
设两圆的一般方程分别为C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(+-4F1>0),C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=
0(+-4F2>0),联立方程得则方程组解的个数与两圆的位置关系如下:
方程组解的个数 2组 1组 0组
两圆的公共点个数 2个 1个 0个
两圆的位置关系 相交 内切 或外切 外离 或内含
(1)利用代数法判断两圆位置关系时,当方程组无解或有一组解时,无法判断两圆的位置关系,应优先使用几何法.
(2)两圆相交时,其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到.
基础自测
1.圆(x-4)2+y2=9和圆x2+(y-3)2=4的位置关系是(　　)
[A]外离 [B]相交
[C]外切 [D]内含
圆x2+(y-3)2=4的圆心为(0,3),半径为2,两圆的圆心距为=5=2+3,
即两圆的圆心距等于半径和,所以两圆外切.故选C.
2.已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-8x+6y+m=0相内切,则实数m的值为(　　)
[A]-9 [B]-11
[C]9 [D]11
则其圆心及半径为C2(4,-3),r2=,C2(4,-3)在圆C1:x2+y2=1的外面,
因为圆C1与圆C2相内切,
所以|C1C2|=r2-r1,
即r2=+1=6=,
解得m=-11.故选B.
3.(人教A版选择性必修第一册P98练习T2改编)圆C1:x2+y2-1=0与圆C2:x2+y2-2x+4y=0的公共弦所在直线的方程是　　　　　　　　　.
由①-②得,2x-4y-1=0,
所以两圆的公共弦所在的直线方程为2x-4y-1=0.
题型一　圆与圆位置关系的判定
[例1] 已知圆C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0(a>0),圆C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0).试求a为何值时,两圆C1,C2的位置关系为:
(1)相切;(2)相交;(3)外离;(4)内含.
C1:(x-a)2+(y-1)2=16,
C2:(x-2a)2+(y-1)2=1,
所以圆心C1(a,1),C2(2a,1),半径r1=4,r2=1.
所以|C1C2|==a.
(1)当|C1C2|=r1+r2=5,即a=5时,两圆外切;
当|C1C2|=r1-r2=3,即a=3时,两圆内切.
(2)当3<|C1C2|<5,即3(3)当|C1C2|>5,即a>5时,两圆外离.
(4)当|C1C2|<3,即0判断两圆的位置关系的两种方法
(2)代数法:将两圆的方程组成方程组,根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系.
[变式训练] 圆A:x2+y2=1与圆B:x2-4x+y2-5=0的公共点个数为(　　)
[A]0 [B]3
[C]2 [D]1
所以圆心距为|AB|=2,半径之差为2,所以两圆内切,只有一个公共点.故选D.
题型二　两圆相交问题
[例2] 已知圆C1:x2+y2+6x-4=0和圆C2:x2+y2+6y-28=0.
(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长;
(2)求经过两圆交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.
的解.
①-②,得x-y+4=0.
因为A,B两点坐标都满足此方程,所以x-y+4=0即为两圆公共弦所在直线的方程.
又圆C1的圆心(-3,0),r=,
C1到直线AB的距离为d==,
所以|AB|=2=2=5,
即两圆的公共弦长为5.
(2)解方程组
得两圆的交点A(-1,3),B(-6,-2).
设所求圆的圆心为(a,b),因为圆心在直线x-y-4=0上,故b=a-4.
则
=,
解得a=,故圆心为(,-),半径为.
故圆的方程为(x-)2+(y+)2=,
即x2+y2-x+7y-32=0.
(1)公共弦所在直线的方程
若圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(+-4F1>0)与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(+-4F2>0)相交,则两圆公共弦所在的直线方程为(D1-D2)x+(E1-E2)y+F1-F2=0.
(2)公共弦长的求法
①代数法:将两圆的方程联立,解出交点坐标,利用两点间的距离公式求出弦长.
②几何法:求出公共弦所在直线的方程,利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形,根据勾股定理求解.
[变式训练] 已知圆C1:x2+y2-2x+4y-4=0与圆C2:x2+y2+4x-2y-4=0的交点为A,B,则 |AB|=　　　　.
即(x-1)2+(y+2)2=9,
则圆心C1(1,-2),半径r1=3;
圆C2:x2+y2+4x-2y-4=0,
即(x+2)2+(y-1)2=9,
则圆心C2(-2,1),半径r2=3;
由两圆相交,则两圆公共弦方程为x2+y2-2x+4y-4-(x2+y2+4x-2y-4)=0,
即x-y=0,
则圆心C1(1,-2)到直线x-y=0的距离d==,
所以公共弦长|AB|=2=2=3.
题型三　两圆相切问题
[例3] (北师大版选择性必修第一册P38例10)已知圆C与x轴和y轴都相切,且与圆O:x2+y2=1相外切,求圆C的方程.
因为圆C与x轴和y轴都相切,
所以|a|=|b|=r.①
因为圆C与圆O:x2+y2=1相外切,
所以=1+r.②
由方程①化简方程②,得 r=1+r,
所以r=+1.
所以|b|=|a|=+1=r.
所以圆C的方程为
C1:(x--1)2+(y--1)2=(+1)2或
C2:(x++1)2+(y--1)2=(+1)2或
C3:(x++1)2+(y++1)2=(+1)2或
C4:(x--1)2+(y++1)2=(+1)2.
如图.
处理两圆相切问题的两个步骤
[变式训练] 已知圆C1:x2+y2=1,圆C2:(x-2)2+y2=1,则C1,C2的公切线方程为　　　　.(写出一条即可)
培优拓展4　圆系方程
曲线系也叫曲线族或曲线束,是指具有某种性质的曲线的集合;曲线系方程是指含有参数的二元方程,当参数在其取值范围内变化时分别对应的所有曲线,圆系是曲线系的一类.
【题型演绎】
一、直线与圆有交点的圆系方程
[典例1] 已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,问:是否存在斜率为1的直线l,使直线l被圆C截得的弦AB为直径的圆经过原点 若存在,写出直线l的方程;若不存在,说明理由.
x2+y2-2x+4y-4+λ(x-y+b)=0,
整理得 x2+y2+(λ-2)x+(4-λ)y+λb-4=0.
因为圆过原点,所以λb-4=0.①
又因为圆心(,)在直线y=x+b上,
所以-+b=0,②
由①②解得b=-4或b=1,
经检验,y=x+1和y=x-4都和圆C相交,故存在满足条件的直线l,其方程为y=x+1或 y=x-4.
过圆O:x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l:Ax+By+C=0交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ为参数).
[跟踪训练] 求经过直线y=1与圆x2-2x+y2-4y+1=0的交点,且面积最小的圆的一般方程.
即x2+y2-2x+(λ-4)y+1-λ=0,此时圆心为(1,),当圆心在直线y=1上时,圆的半径最小,此时圆的面积最小,
所以=1,得λ=2,所以所求的圆的一般方程为x2+y2-2x-2y-1=0.
二、两圆相交的圆系方程
[典例2] 求过两圆x2+y2-4=0和x2-4x+y2=0的交点,且圆心在直线x-y-6=0上的圆的
方程.
解得 或
所以点(1,)和(1,-)都在所求圆上,所以所求圆的圆心在x轴上.
又圆心在直线x-y-6=0上,
所以所求圆的圆心为(6,0),
半径r==,
所以所求圆的方程为(x-6)2+y2=28.
过圆O1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆O2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(不包括圆O2,λ为参数.当λ=-1时,为一条直线,即过两圆交点的直线).
[跟踪训练] 已知圆M:x2+(y-)2=与圆 x2+y2=m的公共弦经过点M,则m等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
所以两圆的公共弦所在直线的方程为x2+y2-3y-4-(x2+y2-m)=0,
即m-3y-4=0,又过点M(0,),
所以m-3×-4=0,所以m=.故选B.
三、与圆相切的圆系方程
[典例3] 求与圆x2+y2-4x-8y+15=0切于点A(3,6),且过点B(5,6)的圆的方程.
把点B(5,6)代入,求得λ=-2.
所以x2+y2-4x-8y+15-2(x2-6x+9+y2-12y+36)=0,
化简即得所求圆的方程为x2+y2-8x-16y+75=0.
若(x0,y0)表示圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0上任意一点,则曲线系方程(x2+y2+Dx+Ey+F)+λ[(x-x0)2+(y-y0)2]=0(λ为参数)表示与C相切于点(x0,y0)的所有圆.
[跟踪训练] 过点A(1,-1),且与圆O:x2+y2=100切于点B(8,6)的圆的方程为
　　　　.
所以(a-1)2+(b+1)2=(a-8)2+(b-6)2,
且=,
解得半径r==5,
故所求圆的方程为(x-4)2+(y-3)2=25.
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.已知圆C1:(x-1)2+y2=1,圆C2:(x-4)2+y2=16,则圆C1与圆C2的位置关系为(　　)
[A]外离 [B]相交
[C]外切 [D]内切
所以两圆内切.故选D.
2.圆O1:(x-1)2+(y-1)2=28与圆O2:x2+(y-4)2=18的公共弦长为(　　)
[A]2 [B]2
[C]3 [D]6
两圆方程作差,得到其公共弦AB的方程为x-3y+12=0,
而圆心O1到直线AB所在直线的距离为
d==,
圆O1的半径为2,
所以|AB|==3,
所以|AB|=6.故选D.
3.已知☉C1:(x+1)2+(y+)2=与☉C2:x2+y2+4x+3y+m=0有且只有两条公切线,则m的取值范围是(　　)
[A](0,6) [B](,)
[C](,6) [D](1,4)
则可得C1(-1,-),C2(-2,-),且两圆的半径分别为r1=,r2=,
又两圆只有两条公切线,故该两圆相交,
即|C1C2|=1∈(|r1-r2|,r1+r2),
显然r1+r2>1,
则-14.已知半径为1的动圆与圆(x-5)2+(y+7)2=16相切,则动圆圆心的轨迹方程是(　　)
[A](x-5)2+(y-7)2=25
[B](x-5)2+(y-7)2=17或(x-5)2+(y+7)2=15
[C](x-5)2+(y-7)2=9
[D](x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9
设动圆圆心为(x,y),若动圆与已知圆外切,则=4+1,
即(x-5)2+(y+7)2=25;
若动圆与已知圆内切,则=4-1,即(x-5)2+(y+7)2=9.
综上所述,动圆圆心的轨迹方程是(x-5)2+(y+7)2=25或(x-5)2+(y+7)2=9.故选D.
5.(多选题)点P在圆C1:x2+y2=1上,点Q在圆C2:x2+y2-6x+8y+24=0上,则(　　)
[A] 两个圆的公切线有2条
[B]两个圆上任意一点关于直线4x+3y=0的对称点仍在该圆上
[C]|PQ|的取值范围为[3,7]
[D]两个圆的公共弦所在直线的方程为 6x-8y-25=0
由|C1C2|=5>r1+r2,得圆C1,C2外离,这两个圆有4条公切线,A错误;
因为直线C1C2的方程为4x+3y=0,所以直线 4x+3y=0为两圆的公共对称轴,B正确;
|PQ|min=|C1C2|-r1-r2=3,|PQ|max=|C1C2|+r1+r2=7,则|PQ|的取值范围为[3,7],C正确;
由圆C1,C2外离,得圆C1,C2不存在公共弦,D错误.
故选BC.
6.(多选题)若圆C1:x2+y2=1,圆C2:(x-3)2+(y-b)2=r2(r>0),则(　　)
[A] 当b=4时,若圆C1与圆C2有且仅有三条公切线,则r=4
[B]当r=4时,若圆C1与圆C2有且仅有两条公切线,则b∈(-4,4)
[C]当r=5时,存在实数b,使得圆C1与圆C2无公切线
[D]若存在实数b,使得圆C1与圆C2有且仅有三条公切线,则r∈[2,+∞)
=r+1,得r=4,故A正确;
当r=4时,若两圆有两条公切线,则两圆相交,
所以4-1<|C1C2|<4+1,
即3<<5,解得-4当r=5时,若两圆无公切线,则两圆内含,所以|C1C2|<5-1,
即<4,解得b2<7,得-若两圆有三条公切线,则两圆外切,
所以|C1C2|=r+1,即=r+1,
若存在b使两圆有三条公切线,则r+1=≥3,即r≥2,故D正确.
故选ACD.
7.(5分)圆x2+y2=4与圆x2+y2-4x+4y-12=0交于A,B两点,则线段AB的垂直平分线的方程为　　　　　　　　.
圆x2+y2-4x+4y-12=0化成标准方程为(x-2)2+(y+2)2=20,圆心坐标为C(2,-2),
两圆公共弦的垂直平分线恰为过两圆圆心的直线CO,由kCO==-1,
则直线CO的方程为y=-x,即x+y=0.
8.(5分)写出与圆(x-1)2+(y-2)2=和圆(x-2)2+(y-1)2=都相切的一条直线方程　　　　　.
半径为r1=,
圆(x-2)2+(y-1)2=的圆心为N(2,1),半径为 r2=,
则|MN|===r1+r2,即两圆外切,故共有3条公切线(如图).
又r1=r2,且M(1,2)与N(2,1)关于直线y=x对称,故直线y=x即为两圆的一条公切线;
由图知,另两条公切线与直线MN平行,
又kMN==-1,
故可设公切线方程为y=-x+b,
即x+y-b=0,
由圆心M(1,2)到直线x+y-b=0的距离d==,解得b=4或b=2,
则另两条切线方程为x+y-4=0或x+y-2=0.
综上,与两圆都相切的直线方程为y=x或x+y-4=0或x+y-2=0.
9.(13分)已知圆C1:x2+y2-6x+2my+m2+8=0,圆C2:x2+y2=16,直线l:y=kx-5(k>0).
(1)若圆C1与圆C2外切,求实数m的值;
(2)若l与圆C1,C2都相切,求实数m的值.
(x-3)2+(y+m)2=1,
两圆的圆心和半径分别为C1(3,-m),r1=1,C2(0,0),r2=4,则|C1C2|==r1+r2=5,
解得m=-4或m=4.
(2)圆心C2到直线l的距离d2==4,
解得k=或k=-(舍去),
圆心C1到直线l的距离d1==1,
解得m=4或m=.
综上所述,m的值为4或.
10.(15分)设a,b为实数,已知圆P:x2+y2=9,点 Q(a,b)在圆P外,以线段PQ为直径作圆M,与圆P相交于A,B两点.
(1)试分别确定直线QA,QB与圆P的位置关系.
(2)当QA=QB=4时,点Q在什么曲线上运动
(3)当a=-2,b=-3时,求直线AB的方程.
所以PA⊥AQ,
又因为AP是圆P的半径,
所以根据圆的切线判定定理,可得AQ与圆P相切,同理BQ也相切.
(2)在△APQ中,∠PAQ=90°,
所以AQ2+AP2=PQ2,
因为QA=4,AP=3,
所以PQ=5,
由此可得Q在以P为圆心,半径为5的圆上.
(3)P(0,0),Q(-2,-3),
则圆M的方程为 x2+y2+2x+3y=0,
两圆联立得到公共弦所在直线方程2x+3y+9=0,
所以直线AB的方程为2x+3y+9=0.
11.设两圆C1,C2都和两坐标轴相切,且都过点(1,2),则两圆心的距离|C1C2|等于(　　)
[A]4 [B]4
[C]8 [D]8
分别将(1,2)代入得
所以a+b=6,ab=5,
圆心距==4.故选B.
12.两圆相交于两点(k,1)和(1,3),两圆的圆心都在直线x-y+=0上,则k+c等于(　　)
[A]1 [B]2
[C]3 [D]0
设A(k,1)和B(1,3),
可得AB与直线x-y+=0垂直,
且AB的中点在直线x-y+=0上,
由AB与直线x-y+=0垂直,可得=-1,解得k=3,即A(3,1),
所以AB的中点(2,2),代入直线x-y+=0,
可得c=0,
所以k+c=3.故选C.
13.(15分)设a为实数,圆M的方程为x2+y2+2x-6y+a=0.
(1)若圆x2+y2=9和圆M的公共弦长为,求a的值;
(2)若过点(4,-1)的圆N与圆M相切,切点为(1,2),求圆N的标准方程.
将圆M:x2+y2+2x-6y+a=0与圆O:x2+y2=9相减可得2x-6y+a+9=0,
即两圆公共弦所在直线方程为2x-6y+a+9=0,
圆心O到直线2x-6y+a+9=0的距离为 d==,
所以9=()2+()2,
解得a=1或-19,
所以实数a的值为1或-19.
(2)将点A(1,2)代入圆M:x2+y2+2x-6y+a=0,可得a=5,
所以圆M的方程为x2+y2+2x-6y+5=0,
即(x+1)2+(y-3)2=5,
所以圆M的圆心为(-1,3),半径为,
设圆N的标准方程为(x-m)2+(y-n)2=r2,
因为圆N与圆M相切于点A,所以A,M,N三点共线,
所以直线AM的方程为y-2=(x-1),
即x+2y-5=0,
将点N(m,n)代入得m=5-2n,①
又点B(4,-1)在圆N上,
所以|BN|=|AN|=r,
即
=,②
由①②两式解得,m=3,n=1,r=,
所以圆N的标准方程为(x-3)2+(y-1)2=5.
14.已知A(-2,0),B(2,0),若圆(x-a-1)2+(y-3a+2)2=4上存在点P满足·=5,则a的取值范围是(　　)
[A][-1,2] [B][-2,1]
[C][-2,3] [D][-3,2]
则=(-2-x,-y),
=(2-x,-y),
所以·=(-2-x)(2-x)+y2=5,
则x2+y2=9,
所以点P的轨迹方程为x2+y2=9,圆心为(0,0),半径为3,
由此可知圆(x-a-1)2+(y-3a+2)2=4与x2+y2=9有公共点,
又圆(x-a-1)2+(y-3a+2)2=4的圆心为(a+1,3a-2),半径为2,
所以1≤≤5,解得-1≤a≤2,即a的取值范围是[-1,2].
故选A.(共40张PPT)
2.5.2　圆与圆的位置关系
1.能根据给定圆的方程,判断圆与圆的位置关系.2.能用圆和圆的方程解决一些简单的问题,体会用代数方法处理几何问题的思想.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点　圆与圆的位置关系
1.圆与圆的位置关系
圆与圆的位置关系有五种,分别为 、 、 、 、 .
外离
外切
相交
内切
内含
2.圆与圆位置关系的判定
(1)几何法
若两圆的半径分别为r1,r2,两圆圆心距的长为d,则两圆的位置关系的判断方法如下:
位置关系 图示 d与r1,r2的关系
外离 D r1+r2
外切 d r1+r2
>
=
相交 内切 d=
内含 d<|r1-r2|
|r1-r2|
r1+r2
|r1-r2|
方程组解的个数 2组 1组 0组
两圆的公共点个数 2个 1个 0个
两圆的位置关系
相交
内切或外切
外离或内含
(1)利用代数法判断两圆位置关系时,当方程组无解或有一组解时,无法判断两圆的位置关系,应优先使用几何法.
(2)两圆相交时,其公共弦所在的直线方程由两圆方程相减得到.
·温馨提示·
基础自测
1.圆(x-4)2+y2=9和圆x2+(y-3)2=4的位置关系是(　　)
[A]外离 [B]相交
[C]外切 [D]内含
C
2.已知圆C1:x2+y2=1与圆C2:x2+y2-8x+6y+m=0相内切,则实数m的值为(　　)
[A]-9 [B]-11
[C]9 [D]11
B
3.(人教A版选择性必修第一册P98练习T2改编)圆C1:x2+y2-1=0与圆C2:
x2+y2-2x+4y=0的公共弦所在直线的方程是　　　　　　　　　.
2x-4y-1=0
【解析】 由题意,因为圆C1:x2+y2-1=0①,圆C2:x2+y2-2x+4y=0②,
由①-②得,2x-4y-1=0,
所以两圆的公共弦所在的直线方程为2x-4y-1=0.
关键能力·素养培优
[例1] 已知圆C1:x2+y2-2ax-2y+a2-15=0(a>0),圆C2:x2+y2-4ax-2y+4a2=0(a>0).试求a为何值时,两圆C1,C2的位置关系为:
(1)相切;
题型一　圆与圆位置关系的判定
(2)相交;
(3)外离;
(4)内含.
【解】 (2)当3<|C1C2|<5,即3【解】 (3)当|C1C2|>5,即a>5时,两圆外离.
【解】 (4)当|C1C2|<3,即0·解题策略·
判断两圆的位置关系的两种方法
(1)几何法:将两圆的圆心距d与两圆的半径之差的绝对值、半径之和进行比较,进而判断出两圆的位置关系,这是解析几何中主要使用的方法.
(2)代数法:将两圆的方程组成方程组,根据方程组解的个数进而判断两圆的位置关系.
[变式训练] 圆A:x2+y2=1与圆B:x2-4x+y2-5=0的公共点个数为(　　)
[A]0 [B]3
[C]2 [D]1
D
【解析】 因为圆B:(x-2)2+y2=9,其圆心为 B(2,0),半径为3,圆A的圆心为A(0,0),半径为1,
所以圆心距为|AB|=2,半径之差为2,所以两圆内切,只有一个公共点.故选D.
题型二　两圆相交问题
[例2] 已知圆C1:x2+y2+6x-4=0和圆C2:x2+y2+6y-28=0.
(1)求两圆公共弦所在直线的方程及弦长;
(2)求经过两圆交点且圆心在直线x-y-4=0上的圆的方程.
·解题策略·
(2)公共弦长的求法
①代数法:将两圆的方程联立,解出交点坐标,利用两点间的距离公式求出弦长.
②几何法:求出公共弦所在直线的方程,利用圆的半径、半弦长、弦心距构成的直角三角形,根据勾股定理求解.
[变式训练] 已知圆C1:x2+y2-2x+4y-4=0与圆C2:x2+y2+4x-2y-4=0的交点为A,B,则 |AB|=　　　　.
【解】 圆C1:x2+y2-2x+4y-4=0,
即(x-1)2+(y+2)2=9,
则圆心C1(1,-2),半径r1=3;
圆C2:x2+y2+4x-2y-4=0,
即(x+2)2+(y-1)2=9,
则圆心C2(-2,1),半径r2=3;
题型三　两圆相切问题
[例3] (北师大版选择性必修第一册P38例10)已知圆C与x轴和y轴都相切,且与圆O:x2+y2=1相外切,求圆C的方程.
·解题策略·
处理两圆相切问题的两个步骤
[变式训练] 已知圆C1:x2+y2=1,圆C2:(x-2)2+y2=1,则C1,C2的公切线方程为
　　　 　.(写出一条即可)
【解析】 如图,因为 |C1C2|=2,C1,C2的半径均为1,则C1,C2外切,结合图象可知,C1,C2的公切线方程为 y=1,y=-1,x=1.
y=1,y=-1,x=1(三个方程写出一个即可)
培优拓展4　圆系方程
曲线系也叫曲线族或曲线束,是指具有某种性质的曲线的集合;曲线系方程是指含有参数的二元方程,当参数在其取值范围内变化时分别对应的所有曲线,圆系是曲线系的一类.
【题型演绎】
一、直线与圆有交点的圆系方程
[典例1] 已知圆C:x2+y2-2x+4y-4=0,问:是否存在斜率为1的直线l,使直线l被圆C截得的弦AB为直径的圆经过原点 若存在,写出直线l的方程;若不存在,说明理由.
【解】 存在.假设存在直线l,其方程为 y=x+b,则以AB为弦的圆系方程为
x2+y2-2x+4y-4+λ(x-y+b)=0,
整理得 x2+y2+(λ-2)x+(4-λ)y+λb-4=0.
因为圆过原点,所以λb-4=0.①
·反思总结·
过圆O:x2+y2+Dx+Ey+F=0与直线l:Ax+By+C=0交点的圆系方程为x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ为参数).
[跟踪训练] 求经过直线y=1与圆x2-2x+y2-4y+1=0的交点,且面积最小的圆的一般方程.
二、两圆相交的圆系方程
·反思总结·
过圆O1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0与圆O2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0交点的圆系方程为x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(不包括圆O2,λ为参数.当λ=-1时,为一条直线,即过两圆交点的直线).
B
三、与圆相切的圆系方程
[典例3] 求与圆x2+y2-4x-8y+15=0切于点A(3,6),且过点B(5,6)的圆的方程.
【解】 设与圆x2+y2-4x-8y+15=0切于点 A(3,6)的圆系方程为x2+y2-4x-8y+15+λ[(x-3)2+(y-6)2]=0.
把点B(5,6)代入,求得λ=-2.
所以x2+y2-4x-8y+15-2(x2-6x+9+y2-12y+36)=0,
化简即得所求圆的方程为x2+y2-8x-16y+75=0.
·反思总结·
若(x0,y0)表示圆C:x2+y2+Dx+Ey+F=0上任意一点,则曲线系方程(x2+y2+Dx+Ey+F)+λ[(x-x0)2+(y-y0)2]=0(λ为参数)表示与C相切于点(x0,y0)的所有圆.
[跟踪训练] 过点A(1,-1),且与圆O:x2+y2=100切于点B(8,6)的圆的方程为
　　 　　.
(x-4)2+(y-3)2=25
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