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3.1.1　椭圆及其标准方程
【课程标准要求】　1.理解并掌握椭圆的定义.2.掌握椭圆的标准方程的推导.3.会求简单的椭圆的标准方程.
知识点一　椭圆的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
(1)椭圆上的点到两焦点距离的和为定值.
(2)定值必须大于两定点间的距离.
(3)当距离的和等于|F1F2|时,点的轨迹是线段.
(4)当距离的和小于|F1F2|时,点的轨迹不存在.
知识点二　椭圆的标准方程
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0)
图形
焦点坐标 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
a,b,c的关系 c2=a2-b2
椭圆的标准方程的特征
(1)几何特征:椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x轴或y轴上.
(2)代数特征:方程右边为1,左边是关于与(与)的平方和,并且分母为不相等的正值.
基础自测
1.设P是椭圆+=1上的动点,则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为(　　)
[A]2 [B]2
[C]2 [D]10
【答案】 C
【解析】 椭圆+=1中a=,所以P到该椭圆的两个焦点的距离之和2a=2.故选C.
2.(人教A版选择性必修第一册P109练习T2改编)若椭圆焦点在x轴上且椭圆经过点(0,2),c=3,则该椭圆的标准方程为(　　)
[A]+=1 [B]+=1
[C]+=1 [D]+=1
【答案】 B
【解析】 椭圆焦点在x轴上且椭圆经过点(0,2),所以b=2,又c=3,所以a2=b2+c2=4+9=13,所以椭圆方程为+=1.故选B.
3.若方程x2+=1表示椭圆,则k的取值范围为(　　)
[A](2,+∞) [B](2,3)
[C](3,+∞) [D](2,3)∪(3,+∞)
【答案】 D
【解析】 因为方程x2+=1表示椭圆,所以k-2>0,且 1≠k-2,
解得k∈(2,3)∪(3,+∞).故选D.
4.椭圆的焦点坐标为(-3,0)和(3,0),椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10的椭圆的标准方程为　　　　　　.
【答案】 +=1
【解析】 依题意,2a=10,则a=5,而椭圆半焦距c=3,因此b===4,所以所求椭圆标准方程是+=1.
题型一　椭圆的定义
[例1] 如图所示,已知过椭圆 +=1的右焦点F2的直线AB交椭圆于A,B两点,F1是椭圆的左焦点.若 |F1A|+|F1B|=12,试求弦AB的长.
【解】 由椭圆方程+=1可得a=5,
故由椭圆定义有|AF1|+|AF2|=2a=10,
|BF1|+|BF2|=2a=10,
又|AF2|+|BF2|=|AB|,
所以|AB|=(|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|)-(|F1A|+|F1B|)=20-12=8.
故弦AB的长为8.
椭圆定义的双向运用
判断 (正用) 符合定义中到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)这一条件的点的轨迹为椭圆
求值 (逆用) 椭圆上的点一定满足定义中的条件即到两定点的距离之和为2a
[变式训练] 椭圆+=1上的一点M到左焦点F1的距离为2,点N是MF1的中点,则|ON|等于　　　　.
【答案】 3
【解析】 设椭圆的右焦点为F2,则由|MF1|+|MF2|=8,知|MF2|=8-2=6.
又因为点O为F1F2的中点,点N为MF1的中点,所以|ON|=|MF2|=3.
题型二　求椭圆的标准方程
[例2] (北师大版选择性必修第一册P51例2)已知椭圆的两个焦点分别为F1(0,-2),F2(0,2),并且经过点P(-,),求椭圆的标准方程.
【解】因为椭圆的焦点在y轴上,所以可设它的标准方程为+=1(a>b>0).
根据椭圆的定义知
2a=+
=+
=2.
从而a=.
又c=2,所以b2=a2-c2=10-4=6.
所以椭圆的标准方程为+=1.
其图形如图.
[典例迁移1] 经过P1(,1),P2(-,-)两点的椭圆的标准方程为　　　　　　　　　　　　.
【答案】 +=1
【解析】 ①当焦点在x轴上时,设椭圆方程为+=1(a>b>0).
由已知,得
即所求椭圆的标准方程是+=1.
②当焦点在y轴上时,
设椭圆方程为+=1(a>b>0),
由已知,得
与a>b>0矛盾,此种情况不存在.
综上,所求椭圆的标准方程是+=1.
[典例迁移2] 已知M为圆P:(x+2)2+y2=36上的一个动点,定点Q(2,0),线段MQ的垂直平分线交线段PM于N点,则N点的轨迹方程为(　　)
[A]+=1 [B]+=1
[C]+=1 [D]+=1
【答案】 C
【解析】 根据题意,作图,
易知|NM|=|NQ|,
则|NP|+|NM|=6,
即|NP|+|NQ|=6>|PQ|=4,
故点N的轨迹是以P,Q为焦点的椭圆,
设其方程为+=1(a>b>0),
则c=2,2a=6,
则a=3,
故b==,则椭圆方程为+=1.
故选C.
利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤
(1)作判断:依据条件判断椭圆的焦点是在 x轴上还是在y轴上,还是两个坐标轴上都有
可能.
(2)设方程:依据上述判断设出椭圆的方程.
(3)寻关系:依据已知条件,建立关于a,b,c的方程组.
(4)解方程组:将求得的结果代入所设方程即为所求.
【提醒】 在求椭圆的标准方程时,若焦点的位置不确定,一般可设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),不必考虑焦点位置,用待定系数法求出m,n的值即可.
题型三　椭圆方程的简单应用
[例3] (1)已知方程+=1表示一个焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围为(　　)
[A](3,4) [B](2,3)
[C](2,3)∪(3,4) [D](2,4)
(2)已知椭圆+=1的焦点在x轴上且焦距为4,则m的值为　　　　.
【答案】 (1)B　(2)8
【解析】 (1)因为方程+=1表示一个焦点在y轴上的椭圆,
所以有解得2(2)由题意知m>4,且2c=4,则c=2,
所以m-4=4,解得m=8.
(1)判断焦点所在坐标轴的依据是看x2项,y2项的分母哪个大,焦点在分母大的坐标轴上.
(2)对于方程+=1(m>0,n>0),当m>n>0时,方程表示焦点在x轴上的椭圆;当n>m>0时,方程表示焦点在y轴上的椭圆.特别地,当 n=m>0时,方程表示圆心在原点的圆.
[变式训练] (1)已知椭圆4x2+ky2=4的一个焦点坐标是(0,1),则实数k的值是(　　)
[A]1 [B]2
[C]3 [D]4
(2)方程(k-3)x2+(7-k)y2=1表示焦点在 x轴上的椭圆,则实数k的取值范围是　　　　.
【答案】 (1)B　(2)(3,5)
【解析】 (1)椭圆方程可化为x2+=1,椭圆的一个焦点坐标是(0,1),则焦点在y轴上,
所以a2=,b2=1,c2=1,
由题意知解得k=2.故选B.
(2)方程(k-3)x2+(7-k)y2=1可化为
+=1,由题意得解得3(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.平面内与两定点F1(-6,0),F2(6,0)的距离之和为14的点的轨迹是(　　)
[A]直线 [B]椭圆
[C]圆 [D]线段
【答案】 B
【解析】 设动点为P,则|PF1|+|PF2|=14>|F1F2|,所以动点P的轨迹是椭圆.故选B.
2.已知椭圆C:+=1的一个焦点为(7,0),且C过点A(0,24),则m+n等于(　　)
[A]10 [B]49
[C]50 [D]1 201
【答案】 D
【解析】 椭圆C:+=1的一个焦点为(7,0),过点A(0,24),
所以所以所以m+n=1 201.故选D.
3.平面内动点P(x,y)满足方程+=2,则动点P的轨迹方程为(　　)
[A]+=1 [B]+=1
[C]-=1 [D]-=1
【答案】 A
【解析】 由题意,点P(x,y)到两个定点(-1,0),(1,0)的距离之和等于2>2,
根据椭圆的定义可知,点P(x,y)的轨迹是焦点为(-1,0),(1,0)的椭圆,
且2a=2,2c=2,即a=,c=1,
则b2=a2-c2=2,
所以动点P的轨迹方程为+=1.故选A.
4.与椭圆+=1有相同焦点,且经过点(2,0)的椭圆的方程是(　　)
[A]+=1 [B]+=1
[C]+=1 [D]+=1
【答案】 C
【解析】 因为椭圆+=1的焦点坐标为(-,0),(,0),所以所求椭圆的焦点在x轴上,且c2=5.因为所求椭圆经过点(2,0),即2a=4,所以a2=20,所以b2=15,所以所求椭圆的方程是 +=1.故选C.
5.已知椭圆C:+=1,A(0,-4),B(0,4),过A作直线PQ与C交于P,Q两点,则△BPQ的周长为(　　)
[A]24 [B]20
[C]16 [D]12
【答案】 A
【解析】由椭圆方程可知 a=6,b=2,则c==4,所以 A(0,-4),B(0,4)是椭圆C的焦点,所以△BPQ的周长为l=|AP|+|BP|+|AQ|+|BQ|=4a=24.故选A.
6.(多选题)对于曲线C:+=1,下面四个说法正确的是(　　)
[A]曲线C不可能是椭圆
[B]“1[C]“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3[D]“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1【答案】 CD
【解析】 若曲线C为椭圆,则
解得1因为{k|1所以,“1若曲线C是焦点在y轴上的椭圆,则解得2.5又因为{k|3所以,“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,则解得1所以,“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1故选CD.
7.(5分)已知椭圆的标准方程为+=1(m>0),并且焦距为6,则实数m的值为　　　　.
【答案】 4或
【解析】 因为2c=6,所以c=3,
①当焦点在x轴上时,由椭圆的标准方程知 25-m2=9,解得m=4;
②当焦点在y轴上时,由椭圆的标准方程知 m2-25=9,解得m=.
综上,m=4或.
8.(5分)点M在椭圆+=1上,F是椭圆的一个焦点,N为MF的中点,|ON|=3,则 |MF|=　　　　.
【答案】 4
【解析】如图,根据椭圆的对称性,不妨设F为左焦点,F'为右焦点,
由椭圆+=1,
得a=5,2a=10,
因为N是MF的中点,O是FF'的中点,
所以ON为△FMF'的中位线,
所以|MF'|=2|ON|=6,
所以由椭圆的定义得|MF|=2a-|MF'|=10-6=4.
9.(12分)求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)已知椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,点M(3,1)在椭圆上,且|MF1|+|MF2|=4;
(2)焦点在坐标轴上,且经过两个点(,2),(-,1).
【解】 (1)由题设椭圆方程为+=1(a>b>0),
|MF1|+|MF2|=4,
所以2a=4,
即a=2,
将点M(3,1)代入方程+=1,
可得b2=4,
所以椭圆方程为+=1.
(2)设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B),
将点(,2),(-,1)代入椭圆的方程,
得
解得
所以椭圆的标准方程为+=1.
10.(15分)已知方程+=1.
(1)若上述方程表示焦点在x轴上的椭圆,求实数m的取值范围;
(2)若上述方程表示焦点在y轴上的椭圆,求实数m的取值范围;
(3)若上述方程表示焦点在坐标轴上的椭圆,求实数m的取值范围.
【解】 (1)依题意,有
解得8故实数m的取值范围为(8,25).
(2)依题意,有
解得-9故实数m的取值范围为(-9,8).
(3)依题意,有
解得-9故实数m的取值范围是(-9,8)∪(8,25).
11.椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P在此椭圆上,如果线段PF1的中点在y轴上,那么的值为(　　)
[A] [B]
[C]2 [D]3
【答案】 D
【解析】由+=1可知 a2=16,b2=8,
即a=4,b=2,
所以c2=a2-b2=16-8=8,故不妨设
F1(-2,0),F2(2,0),如图,
因为线段PF1的中点M在y轴上,且原点O为线段F1F2的中点,所以PF2∥MO,所以PF2⊥x轴,
设P(2,m),将P(2,m)代入椭圆方程,
得+=1,得m2=4,
所以|PF2|=|m|=2,|PF1|=2a-2=6,所以=3.故选D.
12.如图,已知直线经过椭圆 +=1(a>b>0)的左焦点 F(-1,0),且与y轴的正半轴交于点A(0,),若满足=的点B恰好在椭圆上,则2a的值为(　　)
[A]2-2 [B]-1
[C] [D]+1
【答案】 D
【解析】 因为=,故B为AF的中点,
故B(-,),故+=1,而a2=b2+1,
故+=1,其中a>1,
整理得,4a4-8a2+1=0,故a2=1+,
故a=,故2a的值为+1.故选D.
13.(17分)已知椭圆M与椭圆N:+=1有相同的焦点,且椭圆M过点(-1,).
(1)求椭圆M的标准方程;
(2)设椭圆M的焦点为F1,F2,点P在椭圆M上,且△PF1F2的面积为1,求点P的坐标.
【解】 (1)N的焦点为(-2,0),(2,0),设M方程为+=1(a>b>0),焦距为2,则把a2=b2+4代入+=1,则有+=1,整理得 5b4+11b2-16=0,故 b2=1或b2=-(舍去),a2=5,故椭圆方程为+y2=1.
(2)由(1)知,F1(-2,0),F2(2,0),设P(x0,y0),则△PF1F2面积为×4×|y0|=1,
则y0=±,而+=1,
所以=,x0=±,
所以P点有4个,它们的坐标分别为(,),(-,),(,-),(-,-).
14.在平面直角坐标系Oxy中,已知△ABC的顶点 A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆+=1上,则等于(　　)
[A] [B]
[C]5 [D]无法确定
【答案】 A
【解析】 由题意知A,C为椭圆的左、右焦点,且 |AC|=8,|AB|+|BC|=10,
由正弦定理得===.故选A.3.1.1　椭圆及其标准方程
【课程标准要求】　1.理解并掌握椭圆的定义.2.掌握椭圆的标准方程的推导.3.会求简单的椭圆的标准方程.
知识点一　椭圆的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.
(1)椭圆上的点到两焦点距离的和为定值.
(2)定值必须大于两定点间的距离.
(3)当距离的和等于|F1F2|时,点的轨迹是线段.
(4)当距离的和小于|F1F2|时,点的轨迹不存在.
知识点二　椭圆的标准方程
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0)
图形
焦点坐标 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
a,b,c的关系 c2=a2-b2
椭圆的标准方程的特征
(1)几何特征:椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x轴或y轴上.
(2)代数特征:方程右边为1,左边是关于与(与)的平方和,并且分母为不相等的正值.
基础自测
1.设P是椭圆+=1上的动点,则P到该椭圆的两个焦点的距离之和为(　　)
[A]2 [B]2
[C]2 [D]10
2.(人教A版选择性必修第一册P109练习T2改编)若椭圆焦点在x轴上且椭圆经过点(0,2),c=3,则该椭圆的标准方程为(　　)
[A]+=1 [B]+=1
[C]+=1 [D]+=1
3.若方程x2+=1表示椭圆,则k的取值范围为(　　)
[A](2,+∞) [B](2,3)
[C](3,+∞) [D](2,3)∪(3,+∞)
解得k∈(2,3)∪(3,+∞).故选D.
4.椭圆的焦点坐标为(-3,0)和(3,0),椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10的椭圆的标准方程为　　　　　　.
题型一　椭圆的定义
[例1] 如图所示,已知过椭圆 +=1的右焦点F2的直线AB交椭圆于A,B两点,F1是椭圆的左焦点.若 |F1A|+|F1B|=12,试求弦AB的长.
故由椭圆定义有|AF1|+|AF2|=2a=10,
|BF1|+|BF2|=2a=10,
又|AF2|+|BF2|=|AB|,
所以|AB|=(|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|)-(|F1A|+|F1B|)=20-12=8.
故弦AB的长为8.
椭圆定义的双向运用
判断 (正用) 符合定义中到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)这一条件的点的轨迹为椭圆
求值 (逆用) 椭圆上的点一定满足定义中的条件即到两定点的距离之和为2a
[变式训练] 椭圆+=1上的一点M到左焦点F1的距离为2,点N是MF1的中点,则|ON|等于　　　　.
又因为点O为F1F2的中点,点N为MF1的中点,所以|ON|=|MF2|=3.
题型二　求椭圆的标准方程
[例2] (北师大版选择性必修第一册P51例2)已知椭圆的两个焦点分别为F1(0,-2),F2(0,2),并且经过点P(-,),求椭圆的标准方程.
根据椭圆的定义知
2a=+
=+
=2.
从而a=.
又c=2,所以b2=a2-c2=10-4=6.
所以椭圆的标准方程为+=1.
其图形如图.
[典例迁移1] 经过P1(,1),P2(-,-)两点的椭圆的标准方程为　　　　　　　　　　　　.
由已知,得
即所求椭圆的标准方程是+=1.
②当焦点在y轴上时,
设椭圆方程为+=1(a>b>0),
由已知,得
与a>b>0矛盾,此种情况不存在.
综上,所求椭圆的标准方程是+=1.
[典例迁移2] 已知M为圆P:(x+2)2+y2=36上的一个动点,定点Q(2,0),线段MQ的垂直平分线交线段PM于N点,则N点的轨迹方程为(　　)
[A]+=1 [B]+=1
[C]+=1 [D]+=1
易知|NM|=|NQ|,
则|NP|+|NM|=6,
即|NP|+|NQ|=6>|PQ|=4,
故点N的轨迹是以P,Q为焦点的椭圆,
设其方程为+=1(a>b>0),
则c=2,2a=6,
则a=3,
故b==,则椭圆方程为+=1.
故选C.
利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤
(1)作判断:依据条件判断椭圆的焦点是在 x轴上还是在y轴上,还是两个坐标轴上都有
可能.
(2)设方程:依据上述判断设出椭圆的方程.
(3)寻关系:依据已知条件,建立关于a,b,c的方程组.
(4)解方程组:将求得的结果代入所设方程即为所求.
【提醒】 在求椭圆的标准方程时,若焦点的位置不确定,一般可设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),不必考虑焦点位置,用待定系数法求出m,n的值即可.
题型三　椭圆方程的简单应用
[例3] (1)已知方程+=1表示一个焦点在y轴上的椭圆,则实数m的取值范围为(　　)
[A](3,4) [B](2,3)
[C](2,3)∪(3,4) [D](2,4)
(2)已知椭圆+=1的焦点在x轴上且焦距为4,则m的值为　　　　.
所以有解得2(2)由题意知m>4,且2c=4,则c=2,
所以m-4=4,解得m=8.
(1)判断焦点所在坐标轴的依据是看x2项,y2项的分母哪个大,焦点在分母大的坐标轴上.
(2)对于方程+=1(m>0,n>0),当m>n>0时,方程表示焦点在x轴上的椭圆;当n>m>0时,方程表示焦点在y轴上的椭圆.特别地,当 n=m>0时,方程表示圆心在原点的圆.
[变式训练] (1)已知椭圆4x2+ky2=4的一个焦点坐标是(0,1),则实数k的值是(　　)
[A]1 [B]2
[C]3 [D]4
(2)方程(k-3)x2+(7-k)y2=1表示焦点在 x轴上的椭圆,则实数k的取值范围是　　　　.
所以a2=,b2=1,c2=1,
由题意知解得k=2.故选B.
(2)方程(k-3)x2+(7-k)y2=1可化为
+=1,由题意得解得3(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.平面内与两定点F1(-6,0),F2(6,0)的距离之和为14的点的轨迹是(　　)
[A]直线 [B]椭圆
[C]圆 [D]线段
2.已知椭圆C:+=1的一个焦点为(7,0),且C过点A(0,24),则m+n等于(　　)
[A]10 [B]49
[C]50 [D]1 201
所以所以所以m+n=1 201.故选D.
3.平面内动点P(x,y)满足方程+=2,则动点P的轨迹方程为(　　)
[A]+=1 [B]+=1
[C]-=1 [D]-=1
根据椭圆的定义可知,点P(x,y)的轨迹是焦点为(-1,0),(1,0)的椭圆,
且2a=2,2c=2,即a=,c=1,
则b2=a2-c2=2,
所以动点P的轨迹方程为+=1.故选A.
4.与椭圆+=1有相同焦点,且经过点(2,0)的椭圆的方程是(　　)
[A]+=1 [B]+=1
[C]+=1 [D]+=1
5.已知椭圆C:+=1,A(0,-4),B(0,4),过A作直线PQ与C交于P,Q两点,则△BPQ的周长为(　　)
[A]24 [B]20
[C]16 [D]12
6.(多选题)对于曲线C:+=1,下面四个说法正确的是(　　)
[A]曲线C不可能是椭圆
[B]“1[C]“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3[D]“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1解得1因为{k|1所以,“1若曲线C是焦点在y轴上的椭圆,则解得2.5又因为{k|3所以,“曲线C是焦点在y轴上的椭圆”是“3若曲线C是焦点在x轴上的椭圆,则解得1所以,“曲线C是焦点在x轴上的椭圆”是“1故选CD.
7.(5分)已知椭圆的标准方程为+=1(m>0),并且焦距为6,则实数m的值为　　　　.
①当焦点在x轴上时,由椭圆的标准方程知 25-m2=9,解得m=4;
②当焦点在y轴上时,由椭圆的标准方程知 m2-25=9,解得m=.
综上,m=4或.
8.(5分)点M在椭圆+=1上,F是椭圆的一个焦点,N为MF的中点,|ON|=3,则 |MF|=　　　　.
由椭圆+=1,
得a=5,2a=10,
因为N是MF的中点,O是FF'的中点,
所以ON为△FMF'的中位线,
所以|MF'|=2|ON|=6,
所以由椭圆的定义得|MF|=2a-|MF'|=10-6=4.
9.(12分)求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)已知椭圆的左、右焦点分别为F1,F2,点M(3,1)在椭圆上,且|MF1|+|MF2|=4;
(2)焦点在坐标轴上,且经过两个点(,2),(-,1).
|MF1|+|MF2|=4,
所以2a=4,
即a=2,
将点M(3,1)代入方程+=1,
可得b2=4,
所以椭圆方程为+=1.
(2)设椭圆的方程为Ax2+By2=1(A>0,B>0,A≠B),
将点(,2),(-,1)代入椭圆的方程,
得
解得
所以椭圆的标准方程为+=1.
10.(15分)已知方程+=1.
(1)若上述方程表示焦点在x轴上的椭圆,求实数m的取值范围;
(2)若上述方程表示焦点在y轴上的椭圆,求实数m的取值范围;
(3)若上述方程表示焦点在坐标轴上的椭圆,求实数m的取值范围.
解得8故实数m的取值范围为(8,25).
(2)依题意,有
解得-9故实数m的取值范围为(-9,8).
(3)依题意,有
解得-9故实数m的取值范围是(-9,8)∪(8,25).
11.椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P在此椭圆上,如果线段PF1的中点在y轴上,那么的值为(　　)
[A] [B]
[C]2 [D]3
即a=4,b=2,
所以c2=a2-b2=16-8=8,故不妨设
F1(-2,0),F2(2,0),如图,
因为线段PF1的中点M在y轴上,且原点O为线段F1F2的中点,所以PF2∥MO,所以PF2⊥x轴,
设P(2,m),将P(2,m)代入椭圆方程,
得+=1,得m2=4,
所以|PF2|=|m|=2,|PF1|=2a-2=6,所以=3.故选D.
12.如图,已知直线经过椭圆 +=1(a>b>0)的左焦点 F(-1,0),且与y轴的正半轴交于点A(0,),若满足=的点B恰好在椭圆上,则2a的值为(　　)
[A]2-2 [B]-1
[C] [D]+1
故B(-,),故+=1,而a2=b2+1,
故+=1,其中a>1,
整理得,4a4-8a2+1=0,故a2=1+,
故a=,故2a的值为+1.故选D.
13.(17分)已知椭圆M与椭圆N:+=1有相同的焦点,且椭圆M过点(-1,).
(1)求椭圆M的标准方程;
(2)设椭圆M的焦点为F1,F2,点P在椭圆M上,且△PF1F2的面积为1,求点P的坐标.
(2)由(1)知,F1(-2,0),F2(2,0),设P(x0,y0),则△PF1F2面积为×4×|y0|=1,
则y0=±,而+=1,
所以=,x0=±,
所以P点有4个,它们的坐标分别为(,),(-,),(,-),(-,-).
14.在平面直角坐标系Oxy中,已知△ABC的顶点 A(-4,0)和C(4,0),顶点B在椭圆+=1上,则等于(　　)
[A] [B]
[C]5 [D]无法确定
由正弦定理得===.故选A.(共30张PPT)
3.1　椭圆
3.1.1　椭圆及其标准方程
第三章　圆锥曲线的方程
1.理解并掌握椭圆的定义.2.掌握椭圆的标准方程的推导.3.会求简单的椭圆的标准方程.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　椭圆的定义
平面内与两个定点F1,F2的 等于 (大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点, 叫做椭圆的焦距.
距离的和
常数
两焦点间的距离
(1)椭圆上的点到两焦点距离的和为定值.
(2)定值必须大于两定点间的距离.
(3)当距离的和等于|F1F2|时,点的轨迹是线段.
(4)当距离的和小于|F1F2|时,点的轨迹不存在.
·疑难解惑·
知识点二　椭圆的标准方程
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准方程
图形
焦点坐标 F1 ,F2 F1 ,F2
a,b,c的关系 c2= (-c,0)
(c,0)
(0,-c)
(0,c)
a2-b2
椭圆的标准方程的特征
(1)几何特征:椭圆的中心在坐标原点,焦点在 x轴或y轴上.
·温馨提示·
基础自测
C
2.(人教A版选择性必修第一册P109练习T2改编)若椭圆焦点在x轴上且椭圆经过点(0,2),c=3,则该椭圆的标准方程为(　　)
B
D
[A](2,+∞) [B](2,3)
[C](3,+∞) [D](2,3)∪(3,+∞)
4.椭圆的焦点坐标为(-3,0)和(3,0),椭圆上任一点到两个焦点的距离之和为10的椭圆的标准方程为　　　　　　.
关键能力·素养培优
题型一　椭圆的定义
·解题策略·
椭圆定义的双向运用
判断 (正用) 符合定义中到两定点的距离之和为常数(大于两定点的距离)这一条件的点的轨迹为椭圆
求值 (逆用) 椭圆上的点一定满足定义中的条件即到两定点的距离之和为2a
3
题型二　求椭圆的标准方程
[典例迁移2] 已知M为圆P:(x+2)2+y2=36上的一个动点,定点Q(2,0),线段MQ的垂直平分线交线段PM于N点,则N点的轨迹方程为(　　)
C
【解析】 根据题意,作图,
易知|NM|=|NQ|,
则|NP|+|NM|=6,
·解题策略·
利用待定系数法求椭圆标准方程的步骤
(1)作判断:依据条件判断椭圆的焦点是在 x轴上还是在y轴上,还是两个坐标轴上都有可能.
(2)设方程:依据上述判断设出椭圆的方程.
(3)寻关系:依据已知条件,建立关于a,b,c的方程组.
(4)解方程组:将求得的结果代入所设方程即为所求.
【提醒】 在求椭圆的标准方程时,若焦点的位置不确定,一般可设所求椭圆的方程为mx2+ny2=1(m>0,n>0,m≠n),不必考虑焦点位置,用待定系数法求出m,n的值即可.
题型三　椭圆方程的简单应用
[A](3,4) [B](2,3)
[C](2,3)∪(3,4) [D](2,4)
B
8
【解析】(2)由题意知m>4,且2c=4,则c=2,
所以m-4=4,解得m=8.
·解题策略·
(1)判断焦点所在坐标轴的依据是看x2项,y2项的分母哪个大,焦点在分母大的坐标轴上.
[变式训练] (1)已知椭圆4x2+ky2=4的一个焦点坐标是(0,1),则实数k的值是
(　　)
[A]1 [B]2
[C]3 [D]4
B
(2)方程(k-3)x2+(7-k)y2=1表示焦点在 x轴上的椭圆,则实数k的取值范围是
　　　　.
(3,5)
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