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3.1.2　椭圆的简单几何性质
第1课时　椭圆的简单几何性质
【课程标准要求】　1.掌握椭圆的简单几何性质,了解椭圆标准方程中a,b,c的几何意义.2.会求椭圆的离心率.3.通过椭圆与方程的学习,了解椭圆的简单应用,进一步体会数形结合的思想.
知识点　椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0)
范围 -a≤x≤a且-b≤y≤b -b≤x≤b且-a≤y≤a
顶点 A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0)
轴长 长轴长=2a,短轴长=2b
焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
焦距 |F1F2|=2c
对称性 对称轴为x轴和y轴,对称中心为(0,0)
离心率 e=(0知识拓展
(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上.
(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点,到中心的距离最大的点是长轴的两个端点.
(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点,最大值为a+c,最小值为a-c.
基础自测
1.(人教A版选择性必修第一册P112例4改编)如果椭圆的方程是+=1,那么它的焦点坐标是(　　)
[A] (±2,0) [B](0,±2)
[C](±,0) [D](0,±)
【答案】 C
【解析】 因为椭圆的标准方程为+=1,
所以椭圆的焦点在x轴上,且a2=4,b2=2,所以 c===.
所以椭圆的焦点为(±,0).故选C.
2.椭圆9x2+25y2=225上的点P(x,y)的横、纵坐标的范围分别为(　　)
[A]|x|≤3,|y|≤5 [B]|x|≤,|y|≤
[C]|x|≤5,|y|≤3 [D]|x|≤,|y|≤
【答案】 C
【解析】 由9x2+25y2=225,得+=1,
所以椭圆的标准方程为+=1,
则a=5,b=3,
因为点P(x,y)在椭圆上,所以|x|≤5,|y|≤3.故选C.
3.若椭圆短轴的两个端点与一个焦点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 D
【解析】如图,当焦点在x轴上时,若椭圆短轴的两个端点与一个焦点构成一个正三角形,则 a=2b,所以椭圆的离心率为 e====.当焦点在y轴上时同理可得e=.故选D.
4.若椭圆C:+=1的一个焦点坐标为(0,1),则C的长轴长为　　　　.
【答案】 2
【解析】 由题意可知,椭圆的焦点在y轴上,且 c=1,所以a2-b2=m2-1-m=1,且m>0,m2-1>0,解得m=2,所以椭圆的标准方程为+=1,
所以a2=3,即a=,所以长轴长2a=2.
题型一　由椭圆标准方程研究几何性质
[例1] (苏教版选择性必修第一册P89例1)求椭圆 +=1的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标,并用描点法画出这个椭圆.
【解】 根据椭圆的方程+=1,得
a=5,b=3,c==4,
所以,椭圆的长轴长2a=10,短轴长2b=6,离心率e==,焦点为F1(-4,0),F2(4,0),
顶点为A1(-5,0),A2(5,0),B1(0,-3),B2(0,3).
将方程变形为y=±,
根据y= 算出椭圆在第一象限内的几个点的坐标(如下表所示).
x 1 2 3 4
y 2.94 2.75 2.4 1.8
先描点画出在第一象限内的图形,再利用椭圆的对称性画出整个椭圆(如图).
用标准方程研究椭圆几何性质的步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式.
(2)确定焦点位置.(焦点位置不确定的要分类讨论)
(3)求出a,b,c.
(4)写出椭圆的几何性质.
[变式训练] (1)(多选题)已知椭圆C:+=1,则椭圆C的(　　)
[A]焦点在x轴上 [B]长轴长为10
[C]短轴长为4 [D]离心率为
(2)若焦点在y轴上的椭圆+=1的离心率为,则m的值为　　　　.
【答案】 (1)BD　(2)
【解析】 (1)在椭圆C:+=1中,a=5,b=4,c===3,
对于A选项,椭圆C的焦点在y轴上,A错误;
对于B选项,椭圆C的长轴长为10,B正确;
对于C选项,椭圆C的短轴长为8,C错误;
对于D选项,椭圆C的离心率为e==,D正确.故选BD.
(2)由题知a=,c=,所以=,解得m=.
题型二　利用几何性质求标准方程
[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为6;
(2)过点(3,0),离心率e=.
【解】 (1)依题意可设椭圆方程为+=1(a>b>0).
如图所示,△A1FA2为等腰直角三角形,OF为斜边A1A2的中线(高),
且|OF|=c,|A1A2|=2b,
所以c=b=3,
所以a2=b2+c2=18,
故所求椭圆的标准方程为+=1.
(2)当椭圆的焦点在x轴上时,设椭圆的标准方程为 +=1(a>b>0),
由题意,得a=3,
因为e=,所以c=,从而b2=a2-c2=3,所以椭圆的标准方程为+=1;
当椭圆的焦点在y轴上时,设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),
由题意,得b=3,
因为e=,所以=,把b=3代入,得a2=27,所以椭圆的标准方程为+=1.
综上可知,所求椭圆的标准方程为+=1或+=1.
利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤
(1)确定焦点位置.
(2)设出相应椭圆的标准方程.
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式,利用方程(组)求参数.
(4)写出椭圆的标准方程.
[变式训练] (1)焦点在x轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是(　　)
[A]+=1 [B]+y2=1
[C]+=1 [D]x2+=1
(2)已知椭圆的对称中心为坐标原点O,一个焦点为直线l:x-2y-4=0与x轴的交点,离心率为,则椭圆的标准方程为　　　　　　　.
【答案】 (1)A　(2)+=1
【解析】 (1)依题意,得a=2,a+c=3,故c=1,b==,故所求椭圆的标准方程是 +=1.故选A.
(2)直线l:x-2y-4=0与x轴的交点为(4,0),
即c=4.
又椭圆的离心率为,
所以=,
故a=,所以b2=a2-c2=-16=,
故椭圆的标准方程为+=1.
题型三　椭圆的离心率问题
[例3] 设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 D
【解析】 由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c,将x=c代入椭圆方程可解得y=±,
所以|PF2|=.又由∠PF1F2=30°可得 |F1F2|=|PF2|,故2c=·,变形可得 (a2-c2)=2ac,等式两边同除以a2,得(1-e2)=2e,解得e=或e=-(舍去).故选D.
[典例迁移1] 已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点,过点F且与长轴垂直的直线交C于A,B两点.若△OAB为直角三角形,则椭圆C的离心率为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 D
【解析】 由F(c,0),将x=c代入方程可求得
A(c,),B(c,-),所以|AB|=.
因为△OAB为直角三角形,所以=2c,
则a2-c2=ac,即e2+e-1=0,
解得e=.故选D.
[典例迁移2] 如图所示,椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,A,B是椭圆的顶点,P是椭圆上一点,且PF1⊥x轴, PF2∥AB,则此椭圆的离心率是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 因为椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在 x轴上,故可设椭圆方程为+=1(a>b>0),
因为PF1⊥x轴,则点P的坐标为(-c,),
又A(a,0),B(0,b),F2(c,0),于是kAB=-,=-,因为PF2∥AB,所以kAB=,
得-=-,即b=2c,所以b2=4c2,a2=5c2,故a=c,e==.故选B.
求椭圆的离心率及离心率的取值范围的两种方法
(1)直接法:若已知a,c,可直接利用e=求解.若已知a,b或b,c可借助于a2=b2+c2求出c或a,再代入公式e=求解.
(2)方程法或不等式法:若a,c的值不可求,则可根据条件建立a,b,c的关系式,借助于a2=b2+c2,转化为关于a,c的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂,得到关于e的方程或不等式,即可求得e的值或取值范围.
培优拓展5　椭圆第二定义及其焦半径公式
1.椭圆的第二定义
平面内动点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到定直线l:x=的距离的比是常数 e=(a>c>0)的点的轨迹是椭圆.
2.椭圆的焦半径公式
设M(x0,y0)是椭圆+=1(a>b>0)上的一点,点M与点F1(-c,0),F2(c,0)的距离分别叫做左焦半径与右焦半径.那么 |MF1|=a+ex0,|MF2|=a-ex0(其中e是离心率).
【题型演绎】
[典例1] 已知动点M(x,y)与定点F(1,0)的距离和M到定直线l:x=4的距离的比是常数.求动点M的轨迹方程.
【解】 因为|MF|=,点M(x,y)到定直线l:x=4的距离为|x-4|,
根据题意,可得=,
整理得+=1,
所以点M的轨迹方程为+=1.
[典例2] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F1,过左焦点F1作倾斜角为的直线交椭圆于A,B两点,且=3,则椭圆C的离心率为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 因为=3,
所以3(1-ecos )=1+ecos e=.
故选C.
[跟踪训练]
1.已知P是椭圆+=1上的一点,若P到椭圆右准线的距离是,则点P到左焦点的距离是　　　　.
【答案】
【解析】 P是椭圆+=1上的一点,设椭圆的左、右两焦点分别为F1,F2.
若P到椭圆右准线的距离是,
则=e===.
解得|PF2|=.
由椭圆的定义可得
|PF1|=2a-|PF2|=20-=.
2.F1,F2是椭圆+y2=1的两个焦点,P是椭圆上的动点,求|PF1|·|PF2|的最大值和最小值.
【解】 设P(x0,y0),则|PF1|=2+x0,|PF2|=2-x0,|PF1|·|PF2|=4-,因为P在椭圆上,所以-2≤x0≤2,|PF1|·|PF2| 的最大值为4,最小值为1.
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.椭圆4x2+9y2=36的长轴长为(　　)
[A]3 [B]4
[C]6 [D]2
【答案】 C
【解析】 椭圆4x2+9y2=36化为标准方程+=1,
所以a2=9,a=3,所以椭圆的长轴长为2a=6.故选C.
2.若椭圆C:+=1(a>b>0)的短轴长是焦距的2倍,则C的离心率为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 设椭圆的焦距为2c(c>0),因为短轴长是焦距的2倍,所以2b=2×2c,即b=2c,
所以a==c,所以离心率e===.故选B.
3.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为,且它的长轴长等于4,则椭圆的标准方程是(　　)
[A]+=1 [B]+=1
[C]+y2=1 [D]+=1
【答案】 A
【解析】 设椭圆方程为+=1(a>b>0),则解得a=2,c=1,b=,
故椭圆方程为+=1.
故选A.
4.已知椭圆C:+=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,P为椭圆上一点,且|PF1|=2|PF2|,若∠F1PF2=60°,则椭圆离心率为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 D
【解析】设|PF2|=x,
则|PF1|=2x,
因为∠F1PF2=60°,由余弦定理得,
|F1F2|2=|PF2|2+|PF1|2-|PF2|·|PF1|=x2+4x2-2x2=3x2 |F1F2|=x,
则2a=|PF1|+|PF2|=3x,|F1F2|=2c=x,则 e====.
故选D.
5.(多选题)已知椭圆C1:+=1,C2:+=1,则下列说法不正确的是(　　)
[A]C1与C2顶点相同
[B]C1与C2长轴长相等
[C]C1与C2短轴长相等
[D]C1与C2焦距相等
【答案】 ABC
【解析】 设椭圆C1的长轴长为2a1,短轴长为2b1,焦距为2c1,椭圆C2的长轴长为2a2,短轴长为2b2,焦距为2c2,
由题意得,a1=2,b1=2,c1==2,a2=4,b2=2,c2==2.
对于A,C1的顶点坐标为(±2,0),(0,±2),C2的顶点坐标为(±4,0),(0,±2),选项A错误;
对于B,C1的长轴长为4,C2的长轴长为8,选项B错误;
对于C,C1的短轴长为4,C2的短轴长为4,选项C错误;
对于D,C1和C2的焦距都为4,选项D正确.故选ABC.
6.(多选题)已知F1,F2分别是椭圆C:+=1的左、右焦点,P为椭圆C上异于长轴端点的动点,则下列结论正确的是(　　)
[A]椭圆C的焦距为6
[B]△PF1F2的周长为10
[C]椭圆C的离心率为
[D]△PF1F2面积的最大值为2
【答案】 BD
【解析】 因为椭圆C:+=1,
所以a=3,b=,c=2,
所以椭圆C的焦距为2c=4,故A错误;
由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a=6,
所以△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=6+4=10,故B正确;
椭圆C的离心率为=,故C错误;
当点P为椭圆的短轴的一个端点时,点P到 x轴的距离最大,
此时△PF1F2面积取得最大值,为|F1F2|·b=×4×=2,故D正确.故选BD.
7.(5分)已知椭圆C:+=1上的点M到右焦点的距离为2,则点M到左准线的距离为　　　　.
【答案】 4
【解析】 由椭圆C:+=1,得a2=4,b2=3,
故c2=a2-b2=1,
所以a=2,b=,c=1,
不妨设椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,
则由|MF2|=2,|MF1|+|MF2|=2a=4,
得|MF1|=4-|MF2|=2,
所以M的横坐标为0,
又因为椭圆C的左准线方程为x=-=-4,
所以点M到左准线的距离为0-(-4)=4.
8.(5分)已知点A(-1,1)和椭圆C:+=1,M是椭圆C上的动点,F是椭圆C的右焦点,则 |MA|+2|MF| 的最小值为　　　　.
【答案】 5
【解析】椭圆C:+=1的右准线方程为x=4,离心率 e=,
过点M作右准线x=4的垂线MN,如图,垂足为N,
根据椭圆的第二定义可得=e=,
则|MN|=2|MF|,
则|MA|+2|MF|=|MA|+|MN|,
当M,A,N三点共线时取得最小值,
此时|AN|=5,
所以|MA|+2|MF|的最小值为5.
9.(12分)如图,已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率.
(2)若椭圆的焦距为2,且=,求椭圆的方程.
【解】 (1)因为∠F1AB=90°,A为上顶点,
所以F1A⊥F2A,|F1A|=|F2A|,
所以|OF1|=|OA|,
所以c=b.
又a2=b2+c2=2c2,
所以e==.
(2)因为椭圆的焦距为2c,
所以c=1,
所以F2=(1,0).
设A(0,b),B(x0,y0),
所以=(1,-b),=(x0-1,y0).
又=,
所以所以
又点B在椭圆上,所以·+·b2=1,
所以a2=5,
又c2=1,所以b2=4,
所以椭圆的标准方程为+=1.
10.(14分)已知椭圆:+=1(a>),M(,),若对于椭圆上任意两个关于原点对称的点P1(x1,y1),P2(x2,y2),有·≥1恒成立,求实数a的取值范围.
【解】 由题意可得P1(x1,y1)(-a≤x1≤a,-≤y1≤),且
则P2(-x1,-y1),
所以=(x1-,y1-),=(-x1-,-y1-),
所以·=(x1-,y1-)·(-x1-,-y1-)=3-+6-=9-a2(1-)-≥1恒成立,
即8-≥a2·恒成立,
当=5时,恒成立;
当<5时,不等式等价于a2≤恒成立,设t=5-(0又因为函数y=5+在(0,5]上单调递减,
所以5+≥5+=8,所以a2≤8,即a≤2.
11.已知椭圆C:+y2=1,则“m=2”是“椭圆C的离心率为”的(　　)
[A]充要条件
[B]充分不必要条件
[C]必要不充分条件
[D]既不充分也不必要条件
【答案】 B
【解析】 由m=2可得椭圆C:+y2=1,此时离心率为e===,充分性成立;
当0综上可知,“m=2”是“椭圆C的离心率为”的充分不必要条件.故选B.
12.(5分)如图,把椭圆 +=1的长轴AB分成4等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P3,3个点,F是椭圆的一个焦点,则|P1F|+|P2F|+|P3F|=　　　　.
【答案】 15
【解析】如图,设椭圆的右焦点为F',连接P2F',P3F'.
由题意得,a=5.
由图形对称得,
|P1F|=|P3F'|,
|P2F|=|P2F'|.
由椭圆定义得,
|P3F|+|P3F'|=|P3F|+|P1F|=2a=10,
|P2F|+|P2F'|=10,故|P2F|=5,
所以|P1F|+|P2F|+|P3F|=|P3F'|+|P3F|+|P2F|=10+5=15.
13.(17分)已知椭圆C的中心在原点,一个焦点 F(-2,0),且长轴长与短轴长的比为 2∶,
(1)求椭圆C的方程;
(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上,设点P是椭圆上的任意一点,若当||最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点,求实数m的取值范围.
【解】 (1)由题意知解得
所以椭圆方程为+=1.
(2)设P(x0,y0),且+=1,
所以|PM|2=(x0-m)2+=-2mx0+m2+12(1-)=-2mx0+m2+12=(x0-4m)2-3m2+12(-4≤x0≤4),
所以|PM|2为关于x0的二次函数,开口向上,对称轴为x0=4m.
由题意知,当x0=4时,|PM|2最小,
所以4m≥4,所以m≥1.
又点M(m,0)在椭圆长轴上,所以1≤m≤4.
故实数m的取值范围为[1,4].
14.已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,点M在C上,且|MF1|·|MF2|的最大值是它的最小值的 2倍,则椭圆的离心率为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 因为|MF1|+|MF2|=2a,
所以|MF1|·|MF2|=|MF1|·(2a-|MF1|)=-|MF1|2+2a|MF1|=-(|MF1|-a)2+a2,
所以当|MF1|=a时,|MF1|·|MF2|取得最大值a2,因为|MF1|∈[a-c,a+c],
所以|MF1|·|MF2|的最小值为-c2+a2=b2,
因为|MF1|·|MF2|的最大值是它的最小值的 2倍,所以a2=2b2,所以c2=a2-b2=b2,
所以a=b,c=b,所以椭圆的离心率为e===.故选A.(共37张PPT)
3.1.2　椭圆的
简单几何性质
第1课时　椭圆的简单几何性质
1.掌握椭圆的简单几何性质,了解椭圆标准方程中a,b,c的几何意义.2.会求椭圆的离心率.3.通过椭圆与方程的学习,了解椭圆的简单应用,进一步体会数形结合的思想.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点　椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程
范围
顶点 A1 ,A2 , B1 ,B2 A1 ,A2 ,
B1 ,B2
轴长 长轴长= ,短轴长= 焦点 F1 ,F2 F1 ,F2
焦距 |F1F2|= 对称性 对称轴为x轴和y轴,对称中心为 离心率 -a≤x≤a且-b≤y≤b
-b≤x≤b且-a≤y≤a
(-a,0)
(a,0)
(0,-b)
(0,b)
(0,-a)
(0,a)
(-b,0)
(b,0)
2a
2b
(-c,0)
(c,0)
(0,-c)
(0,c)
2c
(0,0)
e= (0(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上.
(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点,到中心的距离最大的点是长轴的两个端点.
(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点,最大值为a+c,最小值为a-c.
『知识拓展』
基础自测
C
2.椭圆9x2+25y2=225上的点P(x,y)的横、纵坐标的范围分别为(　　)
C
3.若椭圆短轴的两个端点与一个焦点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为(　　)
C
关键能力·素养培优
题型一　由椭圆标准方程研究几何性质
x 1 2 3 4
y 2.94 2.75 2.4 1.8
先描点画出在第一象限内的图形,再利用椭圆的对称性画出整个椭圆(如图).
·解题策略·
用标准方程研究椭圆几何性质的步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式.
(2)确定焦点位置.(焦点位置不确定的要分类讨论)
(3)求出a,b,c.
(4)写出椭圆的几何性质.
BD
题型二　利用几何性质求标准方程
[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为6;
·解题策略·
利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤
(1)确定焦点位置.
(2)设出相应椭圆的标准方程.
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式,利用方程(组)求参数.
(4)写出椭圆的标准方程.
[变式训练] (1)焦点在x轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是(　　)
A
题型三　椭圆的离心率问题
D
D
B
[典例迁移2] 如图所示,椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,A,B是椭圆的顶点,P是椭圆上一点,且PF1⊥x轴, PF2∥AB,则此椭圆的离心率是(　　)
·解题策略·
求椭圆的离心率及离心率的取值范围的两种方法
(2)方程法或不等式法:若a,c的值不可求,则可根据条件建立a,b,c的关系式,借助于a2=b2+c2,转化为关于a,c的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂,得到关于e的方程或不等式,即可求得e的值或取值范围.
培优拓展5　椭圆第二定义及其焦半径公式
1.椭圆的第二定义
2.椭圆的焦半径公式
【题型演绎】
C
[跟踪训练]
感谢观看第2课时　直线与椭圆的位置关系
【课程标准要求】　1.了解椭圆在实际生活中的应用.2.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用,会判断直线与椭圆的位置关系.3.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长问题.
知识点一　直线与椭圆的位置关系
直线y=kx+m与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系的判断方法:
联立消y得一元二次方程,
当Δ>0时,方程有两个解,直线与椭圆相交;
当Δ=0时,方程有一个解,直线与椭圆相切;
当Δ<0时,方程无解,直线与椭圆相离.
设直线方程时,容易忽略斜率不存在的情况.
知识点二　求解直线与椭圆相交弦问题的策略
1.定义
连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦.
2.求弦长的方法
(1)利用弦长公式|AB|=·=·
(k≠0)求解的关键是根与系数关系的正确应用,整理时要始终保持两根之和、两根之积的形式.
(2)涉及弦的中点问题,常用“点差法”,设而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化,同时还应充分挖掘题目的隐含条件,寻找等量关系,灵活转化.
(1)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的,不要忽略判别式.
(2)不确定直线斜率是否存在的情况下,要分类讨论.
基础自测
1.直线x=1与椭圆x2+=1的位置关系是(　　)
[A]相离 [B]相切
[C]相交 [D]无法确定
【答案】 B
【解析】 由椭圆的方程x2+=1,得a=,b=1,即椭圆的短轴的右顶点坐标为(1,0),
所以直线x=1与椭圆x2+=1相切.故选B.
2.某同学在做光学试验时,发现了一个有趣的现象:从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题.如图,已知椭圆C的方程为 +=1,其左、右焦点分别是F1,F2,直线l与椭圆C切于点P,且|PF1|=6,过点P且与直线l垂直的直线m与椭圆长轴交于点Q,则等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 C
【解析】 由椭圆定义可得|PF2|=2a-|PF1|=10-6=4.
由椭圆的光学性质可知,PQ为∠F1PF2的平分线,所以===.故选C.
3.若直线l与椭圆+=1交于A,B两点,线段AB的中点为P(1,1),则直线l的方程为(　　)
[A] x+3y-4=0 [B]x-3y+2=0
[C]3x-y-2=0 [D]3x+y-4=0
【答案】 A
【解析】 设A(x1,y1),B(x2,y2),
则+=1,+=1,
两式相减得
+=0,
即+··=0.
因为线段AB的中点为P(1,1),
所以y1+y2=2,x1+x2=2,
所以kAB==-.
所以直线l的方程为y-1=-(x-1),
即x+3y-4=0.故选A.
4.(人教A版选择性必修第一册P114练习T2改编)已知直线x-2y+1=0与椭圆+y2=1交于A,B两点,则|AB|=　　　　.
【答案】
【解析】 联立x-2y+1=0与+y2=1,
得2x2+2x-3=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-1,x1x2=,
故|AB|==×=.
题型一　直线与椭圆的位置关系
[例1] 已知直线l:y=2x+m,椭圆C:+=1.m取何值时,直线l与椭圆C:
(1)有两个不同的公共点
(2)有且只有一个公共点
(3)没有公共点
【解】 直线l的方程与椭圆C的方程联立,得方程组
将①代入②,整理得
9x2+8mx+2m2-4=0.③
方程③的根的判别式
Δ=(8m)2-4×9×(2m2-4)=-8m2+144.
(1)由Δ>0,
得-3从而当-3(2)由Δ=0,
得m=±3.
从而当m=±3时,方程③有两个相等的实数根,即原方程组有一组实数解,这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
(3)由Δ<0,
得m<-3或m>3.
从而当m<-3或m>3时,方程③没有实数根,即原方程组没有实数解,这时直线l与椭圆C没有公共点.
研究直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题,实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题.
[变式训练] 直线y=kx-k与椭圆+=1的位置关系为(　　)
[A]相交 [B]相切
[C]相离 [D]不确定
【答案】 A
【解析】 由
消去y,得(4+9k2)x2-18k2x+9k2-36=0,
Δ=(-18k2)2-4(4+9k2)(9k2-36)=576(2k2+1),
易知Δ>0恒成立,
所以直线y=kx-k与椭圆+=1的位置关系为相交.
故选A.
题型二　中点弦问题
[例2] 已知椭圆+=1的弦AB的中点M的坐标为(2,1),求直线AB的方程.
【解】 由题意可知直线AB的斜率存在,
故设直线AB的方程为y-1=k(x-2),
将其代入椭圆方程并整理,得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0,
易知Δ>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个根,于是x1+x2=.
又M为线段AB的中点,
所以==2,
解得k=-.
故所求直线的方程为x+2y-4=0.
处理中点弦问题的常用方法
(1)根与系数的关系法:联立直线与椭圆的方程,将其转化为一元二次方程后,由根与系数的关系求解.
(2)点差法:设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有x1+x2,
y1+y2,三个未知量,这样就直接联系了中点坐标和直线的斜率.
[变式训练] 过点M(1,1)作斜率为 - 的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,B两点,若点M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为　　　　.
【答案】
【解析】 设A(x1,y1),B(x2,y2),
则+=1,①
+=1.②
因为点M是线段AB的中点,
所以=1,=1.
因为直线AB的方程是y=-(x-1)+1,
所以y1-y2=-(x1-x2).
将①②两式相减,可得+=0,
即+(-)·=0.
所以a=b.所以c=b.
所以e==.
题型三　弦长问题
[例3] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,短轴的一个端点到右焦点的距离为2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l:y=x+m交椭圆C于A,B两点,且|AB|=,求m的值.
【解】 (1)由题意可得
解得所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).
由方程组消去y,得
x2+2mx+2m2-2=0,
易知Δ>0,即(2m)2-4(2m2-2)>0,
解得-所以x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2.
所以|AB|=|x1-x2|
=×
=×=,
解得m=±1.
在解决直线与椭圆相交问题时,一般要消元化为一元二次方程,利用根与系数的关系求解.此时易忽视对所化一元二次方程判别式大于0的判断.
[变式训练] 已知斜率为2的直线l经过椭圆+=1的右焦点F1,与椭圆相交于A,B两点,则弦AB的长度为　　　　.
【答案】
【解析】 因为直线l过椭圆+=1的右焦点 F1(1,0),直线斜率为2,
所以直线l的方程为y=2(x-1),
即2x-y-2=0.
解方程组
得交点A(0,-2),B(,),
所以|AB|=
=
==.
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.直线y=x+1与椭圆+=1的位置关系是(　　)
[A]相交 [B]相切
[C]相离 [D]无法判断
【答案】 A
【解析】 法一　因为直线过点(0,1),而0+<1,即点(0,1)在椭圆内部,所以可推断直线与椭圆相交.故选A.
法二　由方程组消去y,
得9x2+10x-15=0.
因为Δ=100-4×9×(-15)=640>0,所以直线与椭圆相交.故选A.
2.经过椭圆+=1(a>b>0)的焦点,且垂直于椭圆长轴的弦长为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 D
【解析】 将x=c或x=-c代入椭圆的标准方程得+=1,所以=1-==,解得y=±.因此,过椭圆的焦点,且垂直于椭圆长轴的弦长是.故选D.
3.若直线y=kx+2与椭圆+=1有且只有一个公共点,则k的值是(　　)
[A] [B]-
[C]± [D]±
【答案】 C
【解析】 由
得(2+3k2)x2+12kx+6=0.
由题意知Δ=(12k)2-4×6×(2+3k2)=0,解得 k=±.故选C.
4.已知椭圆4x2+9y2=144内有一点P(3,2),过点P的弦恰好以P为中点,那么此弦所在直线的方程为(　　)
[A]3x+2y-13=0 [B]2x+3y-12=0
[C]4x+9y-30=0 [D]9x+4y-39=0
【答案】 B
【解析】 设弦的两个端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则4+9=144,4+9=144,
两式作差可得4(-)+9(-)=0,
所以4+9·=0,
所以4+9·kAB·=0,解得kAB=-.
又直线过点P(3,2),
故直线方程为2x+3y-12=0.故选B.
5.(多选题)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心(简称“地心”)F为一个焦点的椭圆.如图,已知它的近地点A(长轴端点中离地面最近的点)距地面m km,远地点B(长轴端点中离地面最远的点)距地面n km,并且F,A,B三点在同一直线上,地球半径约为R km,设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c,则(　　)
[A]a-c=m+R
[B]a+c=n+R
[C]2a=m+n
[D]2b=2
【答案】 ABD
【解析】 由题设知,m=a-c-R,n=a+c-R,
所以a-c=m+R,a+c=n+R,m+n=2a-2R,故A,B正确,C错误,
而2b=2=2,故D正确.
故选ABD.
6.(多选题)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的长轴长为4,离心率为 ,设点P是椭圆C上的任意一点,若点P到点(2,0)的距离与点P到定直线 x=t(t>0)的距离之比为定值λ,则(　　)
[A]椭圆C的标准方程为+=1
[B]t=2
[C]λ=
[D]若直线y=x+2与椭圆C相交于M,N两点,则|MN|=
【答案】 ACD
【解析】 对于A,由题意知
所以则b2=a2-c2=4.
所以椭圆C的标准方程为+=1,A正确.
对于B,C,设P(x0,y0),依题意得
=λ,又=4(1-),
所以(x0-2)2+4(1-)=λ2(x0-t)2.
所以(-λ2)+(2tλ2-4)x0+8-t2λ2=0恒成立,
可得
显然λ>0,解得B错误,C正确.
对于D,由
解得或
所以交点分别为M(0,2),N(-,-),
则|MN|==,D正确.
故选ACD.
7.(5分)已知以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个公共点,则椭圆的长轴长为　　　　.
【答案】 2
【解析】 由题意可设椭圆的方程为+=1(a>2),
与直线方程x+y+4=0联立,
得4(a2-3)y2+8(a2-4)y+(16-a2)(a2-4)=0.
由Δ=0,得a=,
所以椭圆的长轴长为2.
8.(5分)已知直线y=x+m(m∈R)被椭圆2x2+y2=2截得的线段的中点的横坐标为,则中点的纵坐标为　　　　.
【答案】 -
【解析】 由方程组消去y,得
3x2+2mx+m2-2=0.
由Δ>0,得-设线段的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-,
所以-=,
解得m=-.
由截得的线段的中点在直线y=x-上,得中点的纵坐标y=-=-.
9.(13分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的长轴长为2,且点M(,)在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程;
(2)直线y=x+与椭圆E相交于不同的两点P和Q,求|PQ|的值.
【解】 (1)由题意得解得
所以椭圆E的方程为+y2=1.
(2)如图,由方程组
消去y,得
x2+3(x+)2=3,
化简得4x2+6x+3=0,
则Δ=(6)2-4×4×3=24,x1+x2=-,x1·x2=,
所以|PQ|==×=.
10.(15分)已知点A,B的坐标分别是(-1,0),(1,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积为-2.
(1)求动点M的轨迹方程;
(2)若过点N(,1)的直线l交动点M的轨迹于C,D两点,且N为线段CD的中点,求直线l的方程.
【解】 (1)设M(x,y).
因为kAM·kBM=-2,
所以·=-2(x≠±1),
化简得2x2+y2=2(x≠±1).
故动点M的轨迹方程为2x2+y2=2(x≠±1).
(2)设C(x1,y1),D(x2,y2).
当直线l⊥x轴时,直线l的方程为x=,易知此时线段CD的中点不是N,不符合题意.
当直线l不与x轴垂直时,设直线l的方程为 y-1=k(x-).
将点C(x1,y1),D(x2,y2)的坐标代入2x2+y2=2(x≠±1),
得2+=2,①
2+=2,②
①-②整理得
k==-=-=-1,
故直线l的方程为y-1=-(x-),
即所求直线l的方程为2x+2y-3=0.
11.椭圆mx2+ny2=1与直线y=1-x交于M,N两点,过原点与线段MN中点的直线的斜率为,则的值是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 由方程组消去y,
得(m+n)x2-2nx+n-1=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点坐标为(x0,y0),
则x1+x2=,
所以x0=,
代入y=1-x,得y0=.
由题意知=,所以=.
故选A.
12.经过椭圆x2+2y2=2的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于M,N两点,设O为坐标原点,则 ·等于(　　)
[A] -3 [B]±
[C]- [D]-
【答案】 C
【解析】 由题意得椭圆的方程为+y2=1,
所以a=,b=1,所以c=1,
所以椭圆的焦点坐标分别为(-1,0),(1,0).
不妨设直线l过点(1,0),
则其方程为y=x-1.
由
消去y,得3x2-4x=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),
解得x1=0,x2=.
当x1=0时,y1=-1;
当x2=时,y2=.
所以·=x1x2+y1y2=-.
故选C.
13.(15分)已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在 x轴上,左顶点为A(-2,0),离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)斜率为1的直线l与椭圆C相交于P,Q两点,求|PQ|的最大值.
【解】 (1)设椭圆C的标准方程为+=1(a>b>0).
由题意得
解得c=1,
所以b2=a2-c2=3.
所以椭圆C的标准方程为+=1.
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线l的方程为 y=x+t.
由消去y,
得7x2+8tx+4(t2-3)=0.
由Δ=(8t)2-112(t2-3)>0,
得0≤t2<7,
则x1+x2=-t,x1x2=,
所以|PQ|=·|x1-x2|
=·
=·
=·.
又0≤t2<7,
所以当t=0时,|PQ|max=.
14.如图,若以椭球的中心为原点,建立空间直角坐标系,半椭球面的方程为++=1(z≥0,a,b,c>0,且a,b,c不全相等).若该建筑的室内地面是面积为m2π(m>0)的圆,给出下列结论:①a=b;②c=m;③ac=m2;④若ac>m,则c>1,其中正确结论的个数为(　　)
[A]1 [B]2
[C]3 [D]4
【答案】 B
【解析】 在++=1中,令z=0可得该建筑的室内地面对应的曲线方程为+=1.
由室内地面是面积为m2π(m>0)的圆,故a=b,①正确;
由①知πa2=m2π,则a=b=m,又a,b,c不全相等,故c≠m,②错误;
若ac=m2,则mc=m2,可得c=m,与a,b,c不全相等矛盾,③错误;
若ac>m,则mc>m>0,故c>1,④正确.
故选B.(共34张PPT)
第2课时　直线与椭圆的位置关系
1.了解椭圆在实际生活中的应用.2.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用,会判断直线与椭圆的位置关系.3.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长问题.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　直线与椭圆的位置关系
当Δ>0时,方程有 个解,直线与椭圆相交;
当Δ=0时,方程有 个解,直线与椭圆相切;
当Δ<0时,方程 ,直线与椭圆相离.
两
一
无解
设直线方程时,容易忽略斜率不存在的情况.
·温馨提示·
知识点二　求解直线与椭圆相交弦问题的策略
1.定义
连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦.
2.求弦长的方法
(2)涉及弦的中点问题,常用“点差法”,设而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化,同时还应充分挖掘题目的隐含条件,寻找等量关系,灵活转化.
(1)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的,不要忽略判别式.
(2)不确定直线斜率是否存在的情况下,要分类讨论.
·温馨提示·
基础自测
B
[A]相离 [B]相切
[C]相交 [D]无法确定
C
[A] x+3y-4=0 [B]x-3y+2=0
[C]3x-y-2=0 [D]3x+y-4=0
A
关键能力·素养培优
题型一　直线与椭圆的位置关系
(1)有两个不同的公共点
(2)有且只有一个公共点
(3)没有公共点
·解题策略·
研究直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题,实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题.
[A]相交 [B]相切
[C]相离 [D]不确定
A
题型二　中点弦问题
·解题策略·
处理中点弦问题的常用方法
(1)根与系数的关系法:联立直线与椭圆的方程,将其转化为一元二次方程后,由根与系数的关系求解.
题型三　弦长问题
(1)求椭圆C的方程;
·解题策略·
在解决直线与椭圆相交问题时,一般要消元化为一元二次方程,利用根与系数的关系求解.此时易忽视对所化一元二次方程判别式大于0的判断.
感谢观看第2课时　直线与椭圆的位置关系
【课程标准要求】　1.了解椭圆在实际生活中的应用.2.进一步掌握椭圆的方程及其性质的应用,会判断直线与椭圆的位置关系.3.能运用直线与椭圆的位置关系解决相关的弦长问题.
知识点一　直线与椭圆的位置关系
直线y=kx+m与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系的判断方法:
联立消y得一元二次方程,
当Δ>0时,方程有两个解,直线与椭圆相交;
当Δ=0时,方程有一个解,直线与椭圆相切;
当Δ<0时,方程无解,直线与椭圆相离.
设直线方程时,容易忽略斜率不存在的情况.
知识点二　求解直线与椭圆相交弦问题的策略
1.定义
连接椭圆上两个点的线段称为椭圆的弦.
2.求弦长的方法
(1)利用弦长公式|AB|=·=·
(k≠0)求解的关键是根与系数关系的正确应用,整理时要始终保持两根之和、两根之积的形式.
(2)涉及弦的中点问题,常用“点差法”,设而不求,将弦所在直线的斜率、弦的中点坐标联系起来,相互转化,同时还应充分挖掘题目的隐含条件,寻找等量关系,灵活转化.
(1)利用公式计算直线被椭圆截得的弦长是在方程有解的情况下进行的,不要忽略判别式.
(2)不确定直线斜率是否存在的情况下,要分类讨论.
基础自测
1.直线x=1与椭圆x2+=1的位置关系是(　　)
[A]相离 [B]相切
[C]相交 [D]无法确定
所以直线x=1与椭圆x2+=1相切.故选B.
2.某同学在做光学试验时,发现了一个有趣的现象:从椭圆的一个焦点发出的光线经椭圆形的反射面反射后将汇聚到另一个焦点处.根据椭圆的光学性质解决下面问题.如图,已知椭圆C的方程为 +=1,其左、右焦点分别是F1,F2,直线l与椭圆C切于点P,且|PF1|=6,过点P且与直线l垂直的直线m与椭圆长轴交于点Q,则等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
由椭圆的光学性质可知,PQ为∠F1PF2的平分线,所以===.故选C.
3.若直线l与椭圆+=1交于A,B两点,线段AB的中点为P(1,1),则直线l的方程为(　　)
[A] x+3y-4=0 [B]x-3y+2=0
[C]3x-y-2=0 [D]3x+y-4=0
则+=1,+=1,
两式相减得
+=0,
即+··=0.
因为线段AB的中点为P(1,1),
所以y1+y2=2,x1+x2=2,
所以kAB==-.
所以直线l的方程为y-1=-(x-1),
即x+3y-4=0.故选A.
4.(人教A版选择性必修第一册P114练习T2改编)已知直线x-2y+1=0与椭圆+y2=1交于A,B两点,则|AB|=　　　　.
得2x2+2x-3=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-1,x1x2=,
故|AB|==×=.
题型一　直线与椭圆的位置关系
[例1] 已知直线l:y=2x+m,椭圆C:+=1.m取何值时,直线l与椭圆C:
(1)有两个不同的公共点
(2)有且只有一个公共点
(3)没有公共点
将①代入②,整理得
9x2+8mx+2m2-4=0.③
方程③的根的判别式
Δ=(8m)2-4×9×(2m2-4)=-8m2+144.
(1)由Δ>0,
得-3从而当-3(2)由Δ=0,
得m=±3.
从而当m=±3时,方程③有两个相等的实数根,即原方程组有一组实数解,这时直线l与椭圆C有且只有一个公共点.
(3)由Δ<0,
得m<-3或m>3.
从而当m<-3或m>3时,方程③没有实数根,即原方程组没有实数解,这时直线l与椭圆C没有公共点.
研究直线与椭圆有无公共点或有几个公共点的问题,实际上是研究它们的方程组成的方程组是否有实数解或实数解的个数问题.
[变式训练] 直线y=kx-k与椭圆+=1的位置关系为(　　)
[A]相交 [B]相切
[C]相离 [D]不确定
消去y,得(4+9k2)x2-18k2x+9k2-36=0,
Δ=(-18k2)2-4(4+9k2)(9k2-36)=576(2k2+1),
易知Δ>0恒成立,
所以直线y=kx-k与椭圆+=1的位置关系为相交.
故选A.
题型二　中点弦问题
[例2] 已知椭圆+=1的弦AB的中点M的坐标为(2,1),求直线AB的方程.
故设直线AB的方程为y-1=k(x-2),
将其代入椭圆方程并整理,得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0,
易知Δ>0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1,x2是上述方程的两个根,于是x1+x2=.
又M为线段AB的中点,
所以==2,
解得k=-.
故所求直线的方程为x+2y-4=0.
处理中点弦问题的常用方法
(1)根与系数的关系法:联立直线与椭圆的方程,将其转化为一元二次方程后,由根与系数的关系求解.
(2)点差法:设出弦的两端点坐标后,代入圆锥曲线方程,并将两式相减,式中含有x1+x2,
y1+y2,三个未知量,这样就直接联系了中点坐标和直线的斜率.
[变式训练] 过点M(1,1)作斜率为 - 的直线与椭圆C:+=1(a>b>0)相交于A,B两点,若点M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率为　　　　.
则+=1,①
+=1.②
因为点M是线段AB的中点,
所以=1,=1.
因为直线AB的方程是y=-(x-1)+1,
所以y1-y2=-(x1-x2).
将①②两式相减,可得+=0,
即+(-)·=0.
所以a=b.所以c=b.
所以e==.
题型三　弦长问题
[例3] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,短轴的一个端点到右焦点的距离为2.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设直线l:y=x+m交椭圆C于A,B两点,且|AB|=,求m的值.
解得所以椭圆C的方程为+y2=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).
由方程组消去y,得
x2+2mx+2m2-2=0,
易知Δ>0,即(2m)2-4(2m2-2)>0,
解得-所以x1+x2=-2m,x1x2=2m2-2.
所以|AB|=|x1-x2|
=×
=×=,
解得m=±1.
在解决直线与椭圆相交问题时,一般要消元化为一元二次方程,利用根与系数的关系求解.此时易忽视对所化一元二次方程判别式大于0的判断.
[变式训练] 已知斜率为2的直线l经过椭圆+=1的右焦点F1,与椭圆相交于A,B两点,则弦AB的长度为　　　　.
所以直线l的方程为y=2(x-1),
即2x-y-2=0.
解方程组
得交点A(0,-2),B(,),
所以|AB|=
=
==.
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.直线y=x+1与椭圆+=1的位置关系是(　　)
[A]相交 [B]相切
[C]相离 [D]无法判断
法二　由方程组消去y,
得9x2+10x-15=0.
因为Δ=100-4×9×(-15)=640>0,所以直线与椭圆相交.故选A.
2.经过椭圆+=1(a>b>0)的焦点,且垂直于椭圆长轴的弦长为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
3.若直线y=kx+2与椭圆+=1有且只有一个公共点,则k的值是(　　)
[A] [B]-
[C]± [D]±
得(2+3k2)x2+12kx+6=0.
由题意知Δ=(12k)2-4×6×(2+3k2)=0,解得 k=±.故选C.
4.已知椭圆4x2+9y2=144内有一点P(3,2),过点P的弦恰好以P为中点,那么此弦所在直线的方程为(　　)
[A]3x+2y-13=0 [B]2x+3y-12=0
[C]4x+9y-30=0 [D]9x+4y-39=0
两式作差可得4(-)+9(-)=0,
所以4+9·=0,
所以4+9·kAB·=0,解得kAB=-.
又直线过点P(3,2),
故直线方程为2x+3y-12=0.故选B.
5.(多选题)某颗人造地球卫星的运行轨道是以地球的中心(简称“地心”)F为一个焦点的椭圆.如图,已知它的近地点A(长轴端点中离地面最近的点)距地面m km,远地点B(长轴端点中离地面最远的点)距地面n km,并且F,A,B三点在同一直线上,地球半径约为R km,设该椭圆的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c,则(　　)
[A]a-c=m+R
[B]a+c=n+R
[C]2a=m+n
[D]2b=2
所以a-c=m+R,a+c=n+R,m+n=2a-2R,故A,B正确,C错误,
而2b=2=2,故D正确.
故选ABD.
6.(多选题)已知椭圆C:+=1(a>b>0)的长轴长为4,离心率为 ,设点P是椭圆C上的任意一点,若点P到点(2,0)的距离与点P到定直线 x=t(t>0)的距离之比为定值λ,则(　　)
[A]椭圆C的标准方程为+=1
[B]t=2
[C]λ=
[D]若直线y=x+2与椭圆C相交于M,N两点,则|MN|=
所以则b2=a2-c2=4.
所以椭圆C的标准方程为+=1,A正确.
对于B,C,设P(x0,y0),依题意得
=λ,又=4(1-),
所以(x0-2)2+4(1-)=λ2(x0-t)2.
所以(-λ2)+(2tλ2-4)x0+8-t2λ2=0恒成立,
可得
显然λ>0,解得B错误,C正确.
对于D,由
解得或
所以交点分别为M(0,2),N(-,-),
则|MN|==,D正确.
故选ACD.
7.(5分)已知以F1(-2,0),F2(2,0)为焦点的椭圆与直线x+y+4=0有且仅有一个公共点,则椭圆的长轴长为　　　　.
与直线方程x+y+4=0联立,
得4(a2-3)y2+8(a2-4)y+(16-a2)(a2-4)=0.
由Δ=0,得a=,
所以椭圆的长轴长为2.
8.(5分)已知直线y=x+m(m∈R)被椭圆2x2+y2=2截得的线段的中点的横坐标为,则中点的纵坐标为　　　　.
3x2+2mx+m2-2=0.
由Δ>0,得-设线段的两端点为A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=-,
所以-=,
解得m=-.
由截得的线段的中点在直线y=x-上,得中点的纵坐标y=-=-.
9.(13分)已知椭圆E:+=1(a>b>0)的长轴长为2,且点M(,)在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程;
(2)直线y=x+与椭圆E相交于不同的两点P和Q,求|PQ|的值.
所以椭圆E的方程为+y2=1.
(2)如图,由方程组
消去y,得
x2+3(x+)2=3,
化简得4x2+6x+3=0,
则Δ=(6)2-4×4×3=24,x1+x2=-,x1·x2=,
所以|PQ|==×=.
10.(15分)已知点A,B的坐标分别是(-1,0),(1,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积为-2.
(1)求动点M的轨迹方程;
(2)若过点N(,1)的直线l交动点M的轨迹于C,D两点,且N为线段CD的中点,求直线l的方程.
因为kAM·kBM=-2,
所以·=-2(x≠±1),
化简得2x2+y2=2(x≠±1).
故动点M的轨迹方程为2x2+y2=2(x≠±1).
(2)设C(x1,y1),D(x2,y2).
当直线l⊥x轴时,直线l的方程为x=,易知此时线段CD的中点不是N,不符合题意.
当直线l不与x轴垂直时,设直线l的方程为 y-1=k(x-).
将点C(x1,y1),D(x2,y2)的坐标代入2x2+y2=2(x≠±1),
得2+=2,①
2+=2,②
①-②整理得
k==-=-=-1,
故直线l的方程为y-1=-(x-),
即所求直线l的方程为2x+2y-3=0.
11.椭圆mx2+ny2=1与直线y=1-x交于M,N两点,过原点与线段MN中点的直线的斜率为,则的值是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
得(m+n)x2-2nx+n-1=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的中点坐标为(x0,y0),
则x1+x2=,
所以x0=,
代入y=1-x,得y0=.
由题意知=,所以=.
故选A.
12.经过椭圆x2+2y2=2的一个焦点作倾斜角为45°的直线l,交椭圆于M,N两点,设O为坐标原点,则 ·等于(　　)
[A] -3 [B]±
[C]- [D]-
所以a=,b=1,所以c=1,
所以椭圆的焦点坐标分别为(-1,0),(1,0).
不妨设直线l过点(1,0),
则其方程为y=x-1.
由
消去y,得3x2-4x=0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),
解得x1=0,x2=.
当x1=0时,y1=-1;
当x2=时,y2=.
所以·=x1x2+y1y2=-.
故选C.
13.(15分)已知椭圆C的中心在坐标原点,焦点在 x轴上,左顶点为A(-2,0),离心率为.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)斜率为1的直线l与椭圆C相交于P,Q两点,求|PQ|的最大值.
由题意得
解得c=1,
所以b2=a2-c2=3.
所以椭圆C的标准方程为+=1.
(2)设P(x1,y1),Q(x2,y2),直线l的方程为 y=x+t.
由消去y,
得7x2+8tx+4(t2-3)=0.
由Δ=(8t)2-112(t2-3)>0,
得0≤t2<7,
则x1+x2=-t,x1x2=,
所以|PQ|=·|x1-x2|
=·
=·
=·.
又0≤t2<7,
所以当t=0时,|PQ|max=.
14.如图,若以椭球的中心为原点,建立空间直角坐标系,半椭球面的方程为++=1(z≥0,a,b,c>0,且a,b,c不全相等).若该建筑的室内地面是面积为m2π(m>0)的圆,给出下列结论:①a=b;②c=m;③ac=m2;④若ac>m,则c>1,其中正确结论的个数为(　　)
[A]1 [B]2
[C]3 [D]4
由室内地面是面积为m2π(m>0)的圆,故a=b,①正确;
由①知πa2=m2π,则a=b=m,又a,b,c不全相等,故c≠m,②错误;
若ac=m2,则mc=m2,可得c=m,与a,b,c不全相等矛盾,③错误;
若ac>m,则mc>m>0,故c>1,④正确.
故选B.3.1.2　椭圆的简单几何性质
第1课时　椭圆的简单几何性质
【课程标准要求】　1.掌握椭圆的简单几何性质,了解椭圆标准方程中a,b,c的几何意义.2.会求椭圆的离心率.3.通过椭圆与方程的学习,了解椭圆的简单应用,进一步体会数形结合的思想.
知识点　椭圆的简单几何性质
焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上
图形
标准方程 +=1(a>b>0) +=1(a>b>0)
范围 -a≤x≤a且-b≤y≤b -b≤x≤b且-a≤y≤a
顶点 A1(-a,0),A2(a,0), B1(0,-b),B2(0,b) A1(0,-a),A2(0,a), B1(-b,0),B2(b,0)
轴长 长轴长=2a,短轴长=2b
焦点 F1(-c,0),F2(c,0) F1(0,-c),F2(0,c)
焦距 |F1F2|=2c
对称性 对称轴为x轴和y轴,对称中心为(0,0)
离心率 e=(0知识拓展
(1)椭圆的焦点一定在它的长轴上.
(2)椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点,到中心的距离最大的点是长轴的两个端点.
(3)椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点,最大值为a+c,最小值为a-c.
基础自测
1.(人教A版选择性必修第一册P112例4改编)如果椭圆的方程是+=1,那么它的焦点坐标是(　　)
[A] (±2,0) [B](0,±2)
[C](±,0) [D](0,±)
所以椭圆的焦点在x轴上,且a2=4,b2=2,所以 c===.
所以椭圆的焦点为(±,0).故选C.
2.椭圆9x2+25y2=225上的点P(x,y)的横、纵坐标的范围分别为(　　)
[A]|x|≤3,|y|≤5 [B]|x|≤,|y|≤
[C]|x|≤5,|y|≤3 [D]|x|≤,|y|≤
所以椭圆的标准方程为+=1,
则a=5,b=3,
因为点P(x,y)在椭圆上,所以|x|≤5,|y|≤3.故选C.
3.若椭圆短轴的两个端点与一个焦点构成一个正三角形,则该椭圆的离心率为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
4.若椭圆C:+=1的一个焦点坐标为(0,1),则C的长轴长为　　　　.
所以a2=3,即a=,所以长轴长2a=2.
题型一　由椭圆标准方程研究几何性质
[例1] (苏教版选择性必修第一册P89例1)求椭圆 +=1的长轴长、短轴长、离心率、焦点坐标和顶点坐标,并用描点法画出这个椭圆.
a=5,b=3,c==4,
所以,椭圆的长轴长2a=10,短轴长2b=6,离心率e==,焦点为F1(-4,0),F2(4,0),
顶点为A1(-5,0),A2(5,0),B1(0,-3),B2(0,3).
将方程变形为y=±,
根据y= 算出椭圆在第一象限内的几个点的坐标(如下表所示).
x 1 2 3 4
y 2.94 2.75 2.4 1.8
先描点画出在第一象限内的图形,再利用椭圆的对称性画出整个椭圆(如图).
用标准方程研究椭圆几何性质的步骤
(1)将椭圆方程化为标准形式.
(2)确定焦点位置.(焦点位置不确定的要分类讨论)
(3)求出a,b,c.
(4)写出椭圆的几何性质.
[变式训练] (1)(多选题)已知椭圆C:+=1,则椭圆C的(　　)
[A]焦点在x轴上 [B]长轴长为10
[C]短轴长为4 [D]离心率为
(2)若焦点在y轴上的椭圆+=1的离心率为,则m的值为　　　　.
对于A选项,椭圆C的焦点在y轴上,A错误;
对于B选项,椭圆C的长轴长为10,B正确;
对于C选项,椭圆C的短轴长为8,C错误;
对于D选项,椭圆C的离心率为e==,D正确.故选BD.
(2)由题知a=,c=,所以=,解得m=.
题型二　利用几何性质求标准方程
[例2] 求适合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直,且焦距为6;
(2)过点(3,0),离心率e=.
如图所示,△A1FA2为等腰直角三角形,OF为斜边A1A2的中线(高),
且|OF|=c,|A1A2|=2b,
所以c=b=3,
所以a2=b2+c2=18,
故所求椭圆的标准方程为+=1.
(2)当椭圆的焦点在x轴上时,设椭圆的标准方程为 +=1(a>b>0),
由题意,得a=3,
因为e=,所以c=,从而b2=a2-c2=3,所以椭圆的标准方程为+=1;
当椭圆的焦点在y轴上时,设椭圆的标准方程为+=1(a>b>0),
由题意,得b=3,
因为e=,所以=,把b=3代入,得a2=27,所以椭圆的标准方程为+=1.
综上可知,所求椭圆的标准方程为+=1或+=1.
利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤
(1)确定焦点位置.
(2)设出相应椭圆的标准方程.
(3)根据已知条件构造关于参数的关系式,利用方程(组)求参数.
(4)写出椭圆的标准方程.
[变式训练] (1)焦点在x轴上,右焦点到短轴端点的距离为2,到左顶点的距离为3的椭圆的标准方程是(　　)
[A]+=1 [B]+y2=1
[C]+=1 [D]x2+=1
(2)已知椭圆的对称中心为坐标原点O,一个焦点为直线l:x-2y-4=0与x轴的交点,离心率为,则椭圆的标准方程为　　　　　　　.
(2)直线l:x-2y-4=0与x轴的交点为(4,0),
即c=4.
又椭圆的离心率为,
所以=,
故a=,所以b2=a2-c2=-16=,
故椭圆的标准方程为+=1.
题型三　椭圆的离心率问题
[例3] 设椭圆C:+=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P是C上的点,PF2⊥F1F2,∠PF1F2=30°,则C的离心率为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
所以|PF2|=.又由∠PF1F2=30°可得 |F1F2|=|PF2|,故2c=·,变形可得 (a2-c2)=2ac,等式两边同除以a2,得(1-e2)=2e,解得e=或e=-(舍去).故选D.
[典例迁移1] 已知O为坐标原点,F是椭圆C:+=1(a>b>0)的右焦点,过点F且与长轴垂直的直线交C于A,B两点.若△OAB为直角三角形,则椭圆C的离心率为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
A(c,),B(c,-),所以|AB|=.
因为△OAB为直角三角形,所以=2c,
则a2-c2=ac,即e2+e-1=0,
解得e=.故选D.
[典例迁移2] 如图所示,椭圆的中心在原点,焦点F1,F2在x轴上,A,B是椭圆的顶点,P是椭圆上一点,且PF1⊥x轴, PF2∥AB,则此椭圆的离心率是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
因为PF1⊥x轴,则点P的坐标为(-c,),
又A(a,0),B(0,b),F2(c,0),于是kAB=-,=-,因为PF2∥AB,所以kAB=,
得-=-,即b=2c,所以b2=4c2,a2=5c2,故a=c,e==.故选B.
求椭圆的离心率及离心率的取值范围的两种方法
(1)直接法:若已知a,c,可直接利用e=求解.若已知a,b或b,c可借助于a2=b2+c2求出c或a,再代入公式e=求解.
(2)方程法或不等式法:若a,c的值不可求,则可根据条件建立a,b,c的关系式,借助于a2=b2+c2,转化为关于a,c的齐次方程或不等式,再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂,得到关于e的方程或不等式,即可求得e的值或取值范围.
培优拓展5　椭圆第二定义及其焦半径公式
1.椭圆的第二定义
平面内动点M(x,y)与定点F(c,0)的距离和它到定直线l:x=的距离的比是常数 e=(a>c>0)的点的轨迹是椭圆.
2.椭圆的焦半径公式
设M(x0,y0)是椭圆+=1(a>b>0)上的一点,点M与点F1(-c,0),F2(c,0)的距离分别叫做左焦半径与右焦半径.那么 |MF1|=a+ex0,|MF2|=a-ex0(其中e是离心率).
【题型演绎】
[典例1] 已知动点M(x,y)与定点F(1,0)的距离和M到定直线l:x=4的距离的比是常数.求动点M的轨迹方程.
根据题意,可得=,
整理得+=1,
所以点M的轨迹方程为+=1.
[典例2] 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的左焦点为F1,过左焦点F1作倾斜角为的直线交椭圆于A,B两点,且=3,则椭圆C的离心率为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
所以3(1-ecos )=1+ecos e=.
故选C.
[跟踪训练]
1.已知P是椭圆+=1上的一点,若P到椭圆右准线的距离是,则点P到左焦点的距离是　　　　.
若P到椭圆右准线的距离是,
则=e===.
解得|PF2|=.
由椭圆的定义可得
|PF1|=2a-|PF2|=20-=.
2.F1,F2是椭圆+y2=1的两个焦点,P是椭圆上的动点,求|PF1|·|PF2|的最大值和最小值.
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.椭圆4x2+9y2=36的长轴长为(　　)
[A]3 [B]4
[C]6 [D]2
所以a2=9,a=3,所以椭圆的长轴长为2a=6.故选C.
2.若椭圆C:+=1(a>b>0)的短轴长是焦距的2倍,则C的离心率为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
所以a==c,所以离心率e===.故选B.
3.已知焦点在x轴上的椭圆的离心率为,且它的长轴长等于4,则椭圆的标准方程是(　　)
[A]+=1 [B]+=1
[C]+y2=1 [D]+=1
故椭圆方程为+=1.
故选A.
4.已知椭圆C:+=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,P为椭圆上一点,且|PF1|=2|PF2|,若∠F1PF2=60°,则椭圆离心率为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
则|PF1|=2x,
因为∠F1PF2=60°,由余弦定理得,
|F1F2|2=|PF2|2+|PF1|2-|PF2|·|PF1|=x2+4x2-2x2=3x2 |F1F2|=x,
则2a=|PF1|+|PF2|=3x,|F1F2|=2c=x,则 e====.
故选D.
5.(多选题)已知椭圆C1:+=1,C2:+=1,则下列说法不正确的是(　　)
[A]C1与C2顶点相同
[B]C1与C2长轴长相等
[C]C1与C2短轴长相等
[D]C1与C2焦距相等
由题意得,a1=2,b1=2,c1==2,a2=4,b2=2,c2==2.
对于A,C1的顶点坐标为(±2,0),(0,±2),C2的顶点坐标为(±4,0),(0,±2),选项A错误;
对于B,C1的长轴长为4,C2的长轴长为8,选项B错误;
对于C,C1的短轴长为4,C2的短轴长为4,选项C错误;
对于D,C1和C2的焦距都为4,选项D正确.故选ABC.
6.(多选题)已知F1,F2分别是椭圆C:+=1的左、右焦点,P为椭圆C上异于长轴端点的动点,则下列结论正确的是(　　)
[A]椭圆C的焦距为6
[B]△PF1F2的周长为10
[C]椭圆C的离心率为
[D]△PF1F2面积的最大值为2
所以a=3,b=,c=2,
所以椭圆C的焦距为2c=4,故A错误;
由椭圆的定义可知|PF1|+|PF2|=2a=6,
所以△PF1F2的周长为|PF1|+|PF2|+|F1F2|=6+4=10,故B正确;
椭圆C的离心率为=,故C错误;
当点P为椭圆的短轴的一个端点时,点P到 x轴的距离最大,
此时△PF1F2面积取得最大值,为|F1F2|·b=×4×=2,故D正确.故选BD.
7.(5分)已知椭圆C:+=1上的点M到右焦点的距离为2,则点M到左准线的距离为　　　　.
故c2=a2-b2=1,
所以a=2,b=,c=1,
不妨设椭圆C的左、右焦点分别为F1,F2,
则由|MF2|=2,|MF1|+|MF2|=2a=4,
得|MF1|=4-|MF2|=2,
所以M的横坐标为0,
又因为椭圆C的左准线方程为x=-=-4,
所以点M到左准线的距离为0-(-4)=4.
8.(5分)已知点A(-1,1)和椭圆C:+=1,M是椭圆C上的动点,F是椭圆C的右焦点,则 |MA|+2|MF| 的最小值为　　　　.
过点M作右准线x=4的垂线MN,如图,垂足为N,
根据椭圆的第二定义可得=e=,
则|MN|=2|MF|,
则|MA|+2|MF|=|MA|+|MN|,
当M,A,N三点共线时取得最小值,
此时|AN|=5,
所以|MA|+2|MF|的最小值为5.
9.(12分)如图,已知椭圆+=1(a>b>0),F1,F2分别为椭圆的左、右焦点,A为椭圆的上顶点,直线AF2交椭圆于另一点B.
(1)若∠F1AB=90°,求椭圆的离心率.
(2)若椭圆的焦距为2,且=,求椭圆的方程.
所以F1A⊥F2A,|F1A|=|F2A|,
所以|OF1|=|OA|,
所以c=b.
又a2=b2+c2=2c2,
所以e==.
(2)因为椭圆的焦距为2c,
所以c=1,
所以F2=(1,0).
设A(0,b),B(x0,y0),
所以=(1,-b),=(x0-1,y0).
又=,
所以所以
又点B在椭圆上,所以·+·b2=1,
所以a2=5,
又c2=1,所以b2=4,
所以椭圆的标准方程为+=1.
10.(14分)已知椭圆:+=1(a>),M(,),若对于椭圆上任意两个关于原点对称的点P1(x1,y1),P2(x2,y2),有·≥1恒成立,求实数a的取值范围.
则P2(-x1,-y1),
所以=(x1-,y1-),=(-x1-,-y1-),
所以·=(x1-,y1-)·(-x1-,-y1-)=3-+6-=9-a2(1-)-≥1恒成立,
即8-≥a2·恒成立,
当=5时,恒成立;
当<5时,不等式等价于a2≤恒成立,设t=5-(0又因为函数y=5+在(0,5]上单调递减,
所以5+≥5+=8,所以a2≤8,即a≤2.
11.已知椭圆C:+y2=1,则“m=2”是“椭圆C的离心率为”的(　　)
[A]充要条件
[B]充分不必要条件
[C]必要不充分条件
[D]既不充分也不必要条件
当0综上可知,“m=2”是“椭圆C的离心率为”的充分不必要条件.故选B.
12.(5分)如图,把椭圆 +=1的长轴AB分成4等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P3,3个点,F是椭圆的一个焦点,则|P1F|+|P2F|+|P3F|=　　　　.
由题意得,a=5.
由图形对称得,
|P1F|=|P3F'|,
|P2F|=|P2F'|.
由椭圆定义得,
|P3F|+|P3F'|=|P3F|+|P1F|=2a=10,
|P2F|+|P2F'|=10,故|P2F|=5,
所以|P1F|+|P2F|+|P3F|=|P3F'|+|P3F|+|P2F|=10+5=15.
13.(17分)已知椭圆C的中心在原点,一个焦点 F(-2,0),且长轴长与短轴长的比为 2∶,
(1)求椭圆C的方程;
(2)设点M(m,0)在椭圆C的长轴上,设点P是椭圆上的任意一点,若当||最小时,点P恰好落在椭圆的右顶点,求实数m的取值范围.
所以椭圆方程为+=1.
(2)设P(x0,y0),且+=1,
所以|PM|2=(x0-m)2+=-2mx0+m2+12(1-)=-2mx0+m2+12=(x0-4m)2-3m2+12(-4≤x0≤4),
所以|PM|2为关于x0的二次函数,开口向上,对称轴为x0=4m.
由题意知,当x0=4时,|PM|2最小,
所以4m≥4,所以m≥1.
又点M(m,0)在椭圆长轴上,所以1≤m≤4.
故实数m的取值范围为[1,4].
14.已知F1,F2是椭圆C的两个焦点,点M在C上,且|MF1|·|MF2|的最大值是它的最小值的 2倍,则椭圆的离心率为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
所以|MF1|·|MF2|=|MF1|·(2a-|MF1|)=-|MF1|2+2a|MF1|=-(|MF1|-a)2+a2,
所以当|MF1|=a时,|MF1|·|MF2|取得最大值a2,因为|MF1|∈[a-c,a+c],
所以|MF1|·|MF2|的最小值为-c2+a2=b2,
因为|MF1|·|MF2|的最大值是它的最小值的 2倍,所以a2=2b2,所以c2=a2-b2=b2,
所以a=b,c=b,所以椭圆的离心率为e===.故选A.

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