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3.2.1　双曲线及其标准方程
【课程标准要求】　1.了解双曲线的实际背景,感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形.3.掌握双曲线的标准方程及其求法.
知识点一　双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
对双曲线定义中限制条件的理解
(1)当||MF1|-|MF2||=2a>|F1F2|时,M的轨迹不存在.
(2)当||MF1|-|MF2||=2a=|F1F2|时,M的轨迹是分别以F1,F2为端点的两条射线.
(3)当||MF1|-|MF2||=0,即|MF1|=|MF2|时,M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
(4)若将定义中的绝对值去掉,其余条件不变,则动点的轨迹为双曲线的一支.
知识点二　双曲线的标准方程
项目 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准 方程 -=1 (a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0)
图形
焦点 坐标 F1(-c,0), F2(c,0) F1(0,-c), F2(0,c)
a,b,c 的关系 c2=a2+b2
双曲线焦点位置与方程的关系
焦点跟着正项走,即若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,则焦点在y轴上.
基础自测
1.已知F1(-8,3),F2(2,3),动点P满足|PF1|-|PF2|=10,则点P的轨迹是(　　)
[A] 双曲线 [B]双曲线的一支
[C]直线 [D]一条射线
2.已知双曲线-=1的一个焦点坐标为(4,0),则m的值为(　　)
[A] 24 [B]25 [C]7 [D]8
所以c2=a2+b2=m+8=16,则m=8.故选D.
3.双曲线经过点(-1,0),焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),则双曲线的方程为(　　)
[A] -y2=1 [B]x2-=1
[C]-y2=1 [D]x2-=1
4.(人教A版选择性必修第一册P121练习T3改编)已知方程+=1表示焦点在y轴上的双曲线,则实数k的取值范围是　 .
即实数k的取值范围为(-∞,).
题型一　双曲线的定义
[例1] (1)若双曲线E:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且 |PF1|=3,则 |PF2| 等于(　　)
[A] 11 [B]9
[C]5 [D]3
(2)已知F1,F2是双曲线-=1的两个焦点,P是双曲线上的一点,且∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为　　　　.
||PF1|-|PF2||=2a=6,即|3-|PF2||=6.
因为|PF2|>0,所以|PF2|=9.故选B.
(2)由-=1,得a=3,b=4,c=5.
由双曲线的定义和余弦定理,得
|PF1|-|PF2|=±6,
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cos 60°,
所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,
所以|PF1|·|PF2|=64,
所以=|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2=×64×=16.
双曲线的定义的应用
(1)已知双曲线上一点的坐标,可以求得该点到某一焦点的距离,进而根据定义求该点到另一焦点的距离.
(2)一般地,在解与焦点三角形(△PF1F2)有关的问题时,可由双曲线的定义,得|PF1|,|PF2| 的关系式,或利用正弦定理、余弦定理,得 |PF1|,|PF2|的关系式,从而求出|PF1|,|PF2|.但是,一般我们不直接求解出|PF1|,|PF2|,而是根据需要,把|PF1|+|PF2|,|PF1|-|PF2|,|PF1|·|PF2|看作一个整体来处理.
[变式训练] (1)已知双曲线x2-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2| 的值为(　　)
[A] 2 [B]2 [C]2 [D]2
(2)已知F1,F2是双曲线x2-=1的左、右焦点,C是双曲线上的一点,3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2的面积等于(　　)
[A] 4 [B]8 [C]24 [D]48
由题意,得a=1,c=,
|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=8.①
又由双曲线的定义,得|PF1|-|PF2|=2a=2.②
联立①②,得|PF1|+|PF2|=2.故选C.
(2)由题意得F1(-5,0),F2(5,0),
则|F1F2|=10.设|PF2|=x,则|PF1|=x.
由双曲线的定义知x-x=2,解得x=6,所以 |PF1|=8,|PF2|=6,故|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以∠F1PF2=90°.所以△PF1F2的面积是×8×6=24.故选C.
题型二　双曲线标准方程的认识
[例2] 已知-=-1,当k为何值时:
(1)方程表示双曲线
(2)方程表示焦点在x轴上的双曲线
(1)要使方程表示双曲线,必须满足(|k|-3)(1-k)>0,即或解得k<-3或1(2)若方程表示焦点在x轴上的双曲线,则解得1方程表示双曲线的条件
(1)对于方程+=1,当mn<0时,表示双曲线.进一步,当m>0,n<0时,表示焦点在x轴上的双曲线;当m<0,n>0时,表示焦点在y轴上的双曲线.
(2)对于方程-=1,当mn>0时,表示双曲线,且当m>0,n>0时,表示焦点在x轴上的双曲线;当m<0,n<0时,表示焦点在y轴上的双曲线.
[变式训练] (1)若ax2+by2=b(ab<0),则该曲线是(　　)
[A] 焦点在x轴上的双曲线
[B]焦点在y轴上的双曲线
[C]焦点在x轴上的椭圆
[D]焦点在y轴上的椭圆
(2)已知椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,则a的值为　　　　.
(2)由双曲线方程知焦点在x轴上,且c2=a+2(a>0).
由椭圆方程知c2=4-a2,所以a+2=4-a2,
即a2+a-2=0,解得a=1或a=-2(舍去),所以a的值为1.
题型三　求双曲线的标准方程
[例3] (苏教版选择性必修第一册P97例2)求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)a=3,b=4,焦点在x轴上;
(2)a=2,经过点A(2,-5),焦点在y 轴上.
(2)因为焦点在y轴上,所以可设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).
由a=2,且点A(2,-5)在双曲线上,可得解得b2=16.
因此,所求双曲线的标准方程为-=1.
[典例迁移] 求过点P(3,),Q(-,5),且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程.
所以解得
所以双曲线的标准方程为-=1.
求双曲线的标准方程的两个关注点
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.已知点M为双曲线C:-=1左支上的一点,F1,F2分别为C的左、右焦点,则 |MF1|+|F1F2|-|MF2|等于(　　)
[A] 2 [B]4
[C]6 [D]8
所以|MF2|-|MF1|=2a,故|MF1|+|F1F2|-|MF2|=2c-2a.
因为a=3,b=4,c==5,
所以|MF1|+|F1F2|-|MF2|=2c-2a=10-6=4.故选B.
2.若椭圆+=1的焦点与双曲线-=1的焦点重合,则m的值为(　　)
[A] 4 [B]-4 [C]-2 [D]2
所以=2,解得m=2.故选D.
3.已知方程+=1表示双曲线,则m的取值范围是(　　)
[A] (3,+∞)
[B](-2,3)
[C](-∞,-2)
[D](-∞,-2)∪(3,+∞)
解得m>3或m<-2.故选D.
4.已知双曲线经过点A(2,),B(-2,-),则其标准方程为(　　)
[A] -=1
[B]-=1
[C]-=1
[D]-=1或 -=1
则
解得
所以双曲线的标准方程为-=1.故选A.
5.(多选题)已知曲线C:mx2-ny2=1,下列说法正确的是(　　)
[A] 若mn>0,则C为双曲线
[B]若m>0,且m+n<0,则C为焦点在 x轴上的椭圆
[C]若m>0,n<0,则C不可能表示圆
[D]若m>0,n>0,则C为两条直线
若m>0,且m+n<0,则n<0,|n|>m>0,所以C为焦点在x轴上的椭圆,所以B正确;
因为m>0,n<0,当m=1,n=-1时,C是单位圆,所以C不正确;
若m>0,n>0,则C为双曲线,所以D不正确.故选AB.
6.(多选题)过点(1,1),且=的双曲线的方程是(　　)
[A] 2x2-y2=1 [B]x2-2y2=1
[C]2y2-x2=1 [D]y2-2x2=1
将点(1,1)代入方程可得-=1,
解得a2=,
所以双曲线的方程为2x2-y2=1或2y2-x2=1.
故选AC.
7.(5分)若双曲线x2-ky2=1的一个焦点是(2,0),则k=　　　　.
依题意1+=4,
所以k=.
8.(5分)已知O为坐标原点,M在双曲线C:-=1的左支上,F是该双曲线的左焦点,|MF|=2,N为MF的中点,则 |ON|=　　　　.
又M在双曲线C:-=1的左支上,所以|MF′|-|MF|=2a=8.
又|MF|=2,所以|MF′|=10.
又N为MF的中点,O为FF′的中点,
所以|ON|=|MF′|=5.
9.(13分)分别求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)两个焦点的坐标分别是(-5,0),(5,0),且双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8;
(2)双曲线的一个焦点坐标是(0,-6),且双曲线经过点A(-5,6).
因此a=4,且b2=c2-a2=52-42=9.
又因为双曲线的焦点在x轴上,所以所求的双曲线的标准方程是-=1.
(2)由已知得双曲线的焦点在y轴上,且c=6,所以另一个焦点的坐标为(0,6).
因为点A(-5,6)在双曲线上,所以点A与两焦点的距离的差的绝对值为
2a=|-|
=|13-5|
=8,
因此a=4,从而b2=62-42=20.
因此,所求双曲线的标准方程是-=1.
10.(15分)在周长为48的Rt△MPN中,∠MPN=90°,tan∠PMN=,求以M,N为焦点,且过点P的双曲线的方程.
且tan∠PMN=,
所以设|PN|=3k,|PM|=4k,则|MN|=5k.
由3k+4k+5k=48,得k=4.
所以|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20.
若焦点在x轴上,以MN所在直线为x轴,以MN的中点O为原点,建立直角坐标系,如图所示.
设所求双曲线的方程为-=1(a>0,b>0).
由|PM|-|PN|=4,
得2a=4,a=2,a2=4.
由|MN|=20,得2c=20,c=10,c2=100,
所以b2=c2-a2=100-4=96,
故所求方程为-=1.
若焦点在y轴上,同理可得双曲线的方程为 -=1.
故过点P的双曲线的方程为-=1或 -=1.
11.设双曲线x2-y2=4的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且∠F1PF2=90°,则点P的横坐标为(　　)
[A] [B]2 [C] [D]6
设P(m,n)(m>0),
由题意可得,m2-n2=4,
且·=-1,
两方程联立解得m2=6.又m>0,所以m=.故选C.
12.(5分)如图,椭圆 +=1和双曲线-y2=1的公共焦点分别为F1,F2,A是椭圆与双曲线的一个交点,则|AF1|·|AF2|=　　　　.
解得|AF1|=-,|AF2|=+,
所以|AF1|·|AF2|=6-3=3.
13.(15分)已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2.
(1)若点M在双曲线上,且·=0,求点M到x轴的距离;
(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点,且过点(3,2),求双曲线C的方程.
因为·=0,
所以MF1⊥MF2.
设|MF1|=m,|MF2|=n,
由双曲线定义,知m-n=2a=8.①
又m2+n2=(2c)2=80,②
由①②得m·n=8,
所以mn=4=|F1F2|·h,
解得h=.
所以点M到x轴的距离为.
(2)设所求双曲线C的方程为-=1(-4<λ<16).因为双曲线C过点(3,2),
所以-=1,
解得λ=4或λ=-14(舍去).
所以所求双曲线C的方程为-=1.
14.(5分)已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交该双曲线于A,B两点,且·=0,+2=0,则△F1AB的面积为　　　　.
|AB|=3t,
所以|AF1|=t+2a,|BF1|=2t+2a.
又由·=0,知AF1⊥AB,
所以在Rt△F1AB中,由勾股定理可得(t+2a)2+(3t)2=(2t+2a)2,
解得t=或t=0(舍去).
又a=3,则t==2,
所以|AF1|=t+2a=2+6=8,|AB|=3t=6,
所以△F1AB的面积为×8×6=24.3.2.1　双曲线及其标准方程
【课程标准要求】　1.了解双曲线的实际背景,感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形.3.掌握双曲线的标准方程及其求法.
知识点一　双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的差的绝对值等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距.
对双曲线定义中限制条件的理解
(1)当||MF1|-|MF2||=2a>|F1F2|时,M的轨迹不存在.
(2)当||MF1|-|MF2||=2a=|F1F2|时,M的轨迹是分别以F1,F2为端点的两条射线.
(3)当||MF1|-|MF2||=0,即|MF1|=|MF2|时,M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
(4)若将定义中的绝对值去掉,其余条件不变,则动点的轨迹为双曲线的一支.
知识点二　双曲线的标准方程
项目 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准 方程 -=1 (a>0,b>0) -=1 (a>0,b>0)
图形
焦点 坐标 F1(-c,0), F2(c,0) F1(0,-c), F2(0,c)
a,b,c 的关系 c2=a2+b2
双曲线焦点位置与方程的关系
焦点跟着正项走,即若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,则焦点在y轴上.
基础自测
1.已知F1(-8,3),F2(2,3),动点P满足|PF1|-|PF2|=10,则点P的轨迹是(　　)
[A] 双曲线 [B]双曲线的一支
[C]直线 [D]一条射线
【答案】 D
【解析】 因为F1,F2是定点,且|F1F2|=10,所以满足条件 |PF1|-|PF2|=10的点P的轨迹应为一条射线.故选D.
2.已知双曲线-=1的一个焦点坐标为(4,0),则m的值为(　　)
[A] 24 [B]25 [C]7 [D]8
【答案】 D
【解析】 由题意可知,a2=m-1,b2=9,
所以c2=a2+b2=m+8=16,则m=8.故选D.
3.双曲线经过点(-1,0),焦点分别为F1(-2,0),F2(2,0),则双曲线的方程为(　　)
[A] -y2=1 [B]x2-=1
[C]-y2=1 [D]x2-=1
【答案】 D
【解析】 由题意知a=1,c=2,所以b2=c2-a2=4-1=3,所以双曲线的方程为x2-=1.故选D.
4.(人教A版选择性必修第一册P121练习T3改编)已知方程+=1表示焦点在y轴上的双曲线,则实数k的取值范围是　 .
【答案】 (-∞,)
【解析】 因为方程+=1表示焦点在 y轴上的双曲线,所以解得k<,
即实数k的取值范围为(-∞,).
题型一　双曲线的定义
[例1] (1)若双曲线E:-=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线E上,且 |PF1|=3,则 |PF2| 等于(　　)
[A] 11 [B]9
[C]5 [D]3
(2)已知F1,F2是双曲线-=1的两个焦点,P是双曲线上的一点,且∠F1PF2=60°,则△F1PF2的面积为　　　　.
【答案】 (1)B　(2)16
【解析】 (1)由双曲线的定义,得
||PF1|-|PF2||=2a=6,即|3-|PF2||=6.
因为|PF2|>0,所以|PF2|=9.故选B.
(2)由-=1,得a=3,b=4,c=5.
由双曲线的定义和余弦定理,得
|PF1|-|PF2|=±6,
|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|·cos 60°,
所以102=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,
所以|PF1|·|PF2|=64,
所以=|PF1|·|PF2|sin∠F1PF2=×64×=16.
双曲线的定义的应用
(1)已知双曲线上一点的坐标,可以求得该点到某一焦点的距离,进而根据定义求该点到另一焦点的距离.
(2)一般地,在解与焦点三角形(△PF1F2)有关的问题时,可由双曲线的定义,得|PF1|,|PF2| 的关系式,或利用正弦定理、余弦定理,得 |PF1|,|PF2|的关系式,从而求出|PF1|,|PF2|.但是,一般我们不直接求解出|PF1|,|PF2|,而是根据需要,把|PF1|+|PF2|,|PF1|-|PF2|,|PF1|·|PF2|看作一个整体来处理.
[变式训练] (1)已知双曲线x2-y2=1的左、右焦点分别为F1,F2,点P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2| 的值为(　　)
[A] 2 [B]2 [C]2 [D]2
(2)已知F1,F2是双曲线x2-=1的左、右焦点,C是双曲线上的一点,3|PF1|=4|PF2|,则△PF1F2的面积等于(　　)
[A] 4 [B]8 [C]24 [D]48
【答案】 (1)C　(2)C
【解析】 (1)不妨设P为双曲线右支上一点,
由题意,得a=1,c=,
|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2=(2c)2=8.①
又由双曲线的定义,得|PF1|-|PF2|=2a=2.②
联立①②,得|PF1|+|PF2|=2.故选C.
(2)由题意得F1(-5,0),F2(5,0),
则|F1F2|=10.设|PF2|=x,则|PF1|=x.
由双曲线的定义知x-x=2,解得x=6,所以 |PF1|=8,|PF2|=6,故|PF1|2+|PF2|2=|F1F2|2,所以∠F1PF2=90°.所以△PF1F2的面积是×8×6=24.故选C.
题型二　双曲线标准方程的认识
[例2] 已知-=-1,当k为何值时:
(1)方程表示双曲线
(2)方程表示焦点在x轴上的双曲线
【解】 原方程可变形为-=1.
(1)要使方程表示双曲线,必须满足(|k|-3)(1-k)>0,即或解得k<-3或1(2)若方程表示焦点在x轴上的双曲线,则解得1方程表示双曲线的条件
(1)对于方程+=1,当mn<0时,表示双曲线.进一步,当m>0,n<0时,表示焦点在x轴上的双曲线;当m<0,n>0时,表示焦点在y轴上的双曲线.
(2)对于方程-=1,当mn>0时,表示双曲线,且当m>0,n>0时,表示焦点在x轴上的双曲线;当m<0,n<0时,表示焦点在y轴上的双曲线.
[变式训练] (1)若ax2+by2=b(ab<0),则该曲线是(　　)
[A] 焦点在x轴上的双曲线
[B]焦点在y轴上的双曲线
[C]焦点在x轴上的椭圆
[D]焦点在y轴上的椭圆
(2)已知椭圆+=1与双曲线-=1有相同的焦点,则a的值为　　　　.
【答案】 (1)B　(2)1
【解析】 (1)原方程可化为+y2=1.因为 ab<0,所以<0,所以曲线是焦点在y轴上的双曲线.故选B.
(2)由双曲线方程知焦点在x轴上,且c2=a+2(a>0).
由椭圆方程知c2=4-a2,所以a+2=4-a2,
即a2+a-2=0,解得a=1或a=-2(舍去),所以a的值为1.
题型三　求双曲线的标准方程
[例3] (苏教版选择性必修第一册P97例2)求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)a=3,b=4,焦点在x轴上;
(2)a=2,经过点A(2,-5),焦点在y 轴上.
【解】 (1)依题意a=3,b=4,且焦点在x轴上,所以双曲线的标准方程为-=1.
(2)因为焦点在y轴上,所以可设双曲线的标准方程为-=1(a>0,b>0).
由a=2,且点A(2,-5)在双曲线上,可得解得b2=16.
因此,所求双曲线的标准方程为-=1.
[典例迁移] 求过点P(3,),Q(-,5),且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程.
【解】 设双曲线的方程为Ax2+By2=1,AB<0.因为点P,Q在双曲线上,
所以解得
所以双曲线的标准方程为-=1.
求双曲线的标准方程的两个关注点
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.已知点M为双曲线C:-=1左支上的一点,F1,F2分别为C的左、右焦点,则 |MF1|+|F1F2|-|MF2|等于(　　)
[A] 2 [B]4
[C]6 [D]8
【答案】 B
【解析】 因为M为双曲线C:-=1左支上的一点,F1,F2分别为C的左、右焦点,
所以|MF2|-|MF1|=2a,故|MF1|+|F1F2|-|MF2|=2c-2a.
因为a=3,b=4,c==5,
所以|MF1|+|F1F2|-|MF2|=2c-2a=10-6=4.故选B.
2.若椭圆+=1的焦点与双曲线-=1的焦点重合,则m的值为(　　)
[A] 4 [B]-4 [C]-2 [D]2
【答案】 D
【解析】 由题知,椭圆+=1的半焦距为2,
所以=2,解得m=2.故选D.
3.已知方程+=1表示双曲线,则m的取值范围是(　　)
[A] (3,+∞)
[B](-2,3)
[C](-∞,-2)
[D](-∞,-2)∪(3,+∞)
【答案】 D
【解析】 因为方程+=1表示双曲线,所以(m+2)(3-m)<0,
解得m>3或m<-2.故选D.
4.已知双曲线经过点A(2,),B(-2,-),则其标准方程为(　　)
[A] -=1
[B]-=1
[C]-=1
[D]-=1或 -=1
【答案】 A
【解析】 设双曲线方程为mx2+ny2=1(mn<0),
则
解得
所以双曲线的标准方程为-=1.故选A.
5.(多选题)已知曲线C:mx2-ny2=1,下列说法正确的是(　　)
[A] 若mn>0,则C为双曲线
[B]若m>0,且m+n<0,则C为焦点在 x轴上的椭圆
[C]若m>0,n<0,则C不可能表示圆
[D]若m>0,n>0,则C为两条直线
【答案】 AB
【解析】 若mn>0,则C为双曲线,所以A正确;
若m>0,且m+n<0,则n<0,|n|>m>0,所以C为焦点在x轴上的椭圆,所以B正确;
因为m>0,n<0,当m=1,n=-1时,C是单位圆,所以C不正确;
若m>0,n>0,则C为双曲线,所以D不正确.故选AB.
6.(多选题)过点(1,1),且=的双曲线的方程是(　　)
[A] 2x2-y2=1 [B]x2-2y2=1
[C]2y2-x2=1 [D]y2-2x2=1
【答案】 AC
【解析】 因为=,所以设双曲线方程为-=1或-=1.
将点(1,1)代入方程可得-=1,
解得a2=,
所以双曲线的方程为2x2-y2=1或2y2-x2=1.
故选AC.
7.(5分)若双曲线x2-ky2=1的一个焦点是(2,0),则k=　　　　.
【答案】
【解析】 原方程可变形为x2-=1,
依题意1+=4,
所以k=.
8.(5分)已知O为坐标原点,M在双曲线C:-=1的左支上,F是该双曲线的左焦点,|MF|=2,N为MF的中点,则 |ON|=　　　　.
【答案】 5
【解析】 设F′是双曲线C:-=1的右焦点,如图,连接MF′.
又M在双曲线C:-=1的左支上,所以|MF′|-|MF|=2a=8.
又|MF|=2,所以|MF′|=10.
又N为MF的中点,O为FF′的中点,
所以|ON|=|MF′|=5.
9.(13分)分别求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)两个焦点的坐标分别是(-5,0),(5,0),且双曲线上的点与两焦点的距离之差的绝对值等于8;
(2)双曲线的一个焦点坐标是(0,-6),且双曲线经过点A(-5,6).
【解】 (1)由已知得c=5,2a=8.
因此a=4,且b2=c2-a2=52-42=9.
又因为双曲线的焦点在x轴上,所以所求的双曲线的标准方程是-=1.
(2)由已知得双曲线的焦点在y轴上,且c=6,所以另一个焦点的坐标为(0,6).
因为点A(-5,6)在双曲线上,所以点A与两焦点的距离的差的绝对值为
2a=|-|
=|13-5|
=8,
因此a=4,从而b2=62-42=20.
因此,所求双曲线的标准方程是-=1.
10.(15分)在周长为48的Rt△MPN中,∠MPN=90°,tan∠PMN=,求以M,N为焦点,且过点P的双曲线的方程.
【解】 因为Rt△MPN的周长为48,
且tan∠PMN=,
所以设|PN|=3k,|PM|=4k,则|MN|=5k.
由3k+4k+5k=48,得k=4.
所以|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20.
若焦点在x轴上,以MN所在直线为x轴,以MN的中点O为原点,建立直角坐标系,如图所示.
设所求双曲线的方程为-=1(a>0,b>0).
由|PM|-|PN|=4,
得2a=4,a=2,a2=4.
由|MN|=20,得2c=20,c=10,c2=100,
所以b2=c2-a2=100-4=96,
故所求方程为-=1.
若焦点在y轴上,同理可得双曲线的方程为 -=1.
故过点P的双曲线的方程为-=1或 -=1.
11.设双曲线x2-y2=4的左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线的右支上,且∠F1PF2=90°,则点P的横坐标为(　　)
[A] [B]2 [C] [D]6
【答案】 C
【解析】 由题意可得,F2(2,0),F1(-2,0).
设P(m,n)(m>0),
由题意可得,m2-n2=4,
且·=-1,
两方程联立解得m2=6.又m>0,所以m=.故选C.
12.(5分)如图,椭圆 +=1和双曲线-y2=1的公共焦点分别为F1,F2,A是椭圆与双曲线的一个交点,则|AF1|·|AF2|=　　　　.
【答案】 3
【解析】 由椭圆定义可知,|AF1|+|AF2|=2,由双曲线定义可知,|AF2|-|AF1|=2,
解得|AF1|=-,|AF2|=+,
所以|AF1|·|AF2|=6-3=3.
13.(15分)已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2.
(1)若点M在双曲线上,且·=0,求点M到x轴的距离;
(2)若双曲线C与已知双曲线有相同焦点,且过点(3,2),求双曲线C的方程.
【解】 (1)如图,不妨设点M在双曲线的右支上,点M到x轴的距离为h.
因为·=0,
所以MF1⊥MF2.
设|MF1|=m,|MF2|=n,
由双曲线定义,知m-n=2a=8.①
又m2+n2=(2c)2=80,②
由①②得m·n=8,
所以mn=4=|F1F2|·h,
解得h=.
所以点M到x轴的距离为.
(2)设所求双曲线C的方程为-=1(-4<λ<16).因为双曲线C过点(3,2),
所以-=1,
解得λ=4或λ=-14(舍去).
所以所求双曲线C的方程为-=1.
14.(5分)已知双曲线-=1的左、右焦点分别为F1,F2,过F2的直线交该双曲线于A,B两点,且·=0,+2=0,则△F1AB的面积为　　　　.
【答案】 24
【解析】 如图,设|AF2|=t>0,由+2=0知A,B在双曲线的右支上,可得|BF2|=2t,
|AB|=3t,
所以|AF1|=t+2a,|BF1|=2t+2a.
又由·=0,知AF1⊥AB,
所以在Rt△F1AB中,由勾股定理可得(t+2a)2+(3t)2=(2t+2a)2,
解得t=或t=0(舍去).
又a=3,则t==2,
所以|AF1|=t+2a=2+6=8,|AB|=3t=6,
所以△F1AB的面积为×8×6=24.(共31张PPT)
3.2　双曲线
3.2.1　双曲线及其标准方程
1.了解双曲线的实际背景,感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用.2.了解双曲线的定义、几何图形.3.掌握双曲线的标准方程及其求法.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　双曲线的定义
平面内与两个定点F1,F2的距离的 等于非零常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个 叫做双曲线的焦点, 叫做双曲线的焦距.
差的绝对值
定点
两焦点间的距离
对双曲线定义中限制条件的理解
(1)当||MF1|-|MF2||=2a>|F1F2|时,M的轨迹不存在.
(2)当||MF1|-|MF2||=2a=|F1F2|时,M的轨迹是分别以F1,F2为端点的两条射线.
(3)当||MF1|-|MF2||=0,即|MF1|=|MF2|时,M的轨迹是线段F1F2的垂直平分线.
(4)若将定义中的绝对值去掉,其余条件不变,则动点的轨迹为双曲线的一支.
·疑难解惑·
知识点二　双曲线的标准方程
项目 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准 方程 (a>0,b>0)
(a>0,b>0)
图形
焦点 坐标
a,b,c 的关系 c2= F1(-c,0),
F2(c,0)
F1(0,-c),
F2(0,c)
a2+b2
·温馨提示·
双曲线焦点位置与方程的关系
焦点跟着正项走,即若x2项的系数为正,则焦点在x轴上;若y2项的系数为正,则焦点在y轴上.
基础自测
1.已知F1(-8,3),F2(2,3),动点P满足|PF1|-|PF2|=10,则点P的轨迹是(　　)
[A] 双曲线 [B]双曲线的一支
[C]直线 [D]一条射线
D
【解析】 因为F1,F2是定点,且|F1F2|=10,所以满足条件 |PF1|-|PF2|=10的点P的轨迹应为一条射线.故选D.
D
【解析】 由题意可知,a2=m-1,b2=9,
所以c2=a2+b2=m+8=16,则m=8.故选D.
D
关键能力·素养培优
[A] 11 [B]9
[C]5 [D]3
题型一　双曲线的定义
B
【解析】 (1)由双曲线的定义,
得||PF1|-|PF2||=2a=6,即|3-|PF2||=6.
因为|PF2|>0,所以|PF2|=9.故选B.
·解题策略·
双曲线的定义的应用
(1)已知双曲线上一点的坐标,可以求得该点到某一焦点的距离,进而根据定义求该点到另一焦点的距离.
(2)一般地,在解与焦点三角形(△PF1F2)有关的问题时,可由双曲线的定义,得|PF1|,|PF2| 的关系式,或利用正弦定理、余弦定理,得 |PF1|,|PF2|的关系式,从而求出|PF1|,|PF2|.但是,一般我们不直接求解出|PF1|,|PF2|,而是根据需要,把|PF1|+|PF2|,|PF1|-|PF2|,|PF1|·|PF2|看作一个整体来处理.
C
C
题型二　双曲线标准方程的认识
(2)方程表示焦点在x轴上的双曲线
·解题策略·
方程表示双曲线的条件
[变式训练] (1)若ax2+by2=b(ab<0),则该曲线是(　　)
[A] 焦点在x轴上的双曲线
[B]焦点在y轴上的双曲线
[C]焦点在x轴上的椭圆
[D]焦点在y轴上的椭圆
B
1
【解析】(2)由双曲线方程知焦点在x轴上,且c2=a+2(a>0).
由椭圆方程知c2=4-a2,所以a+2=4-a2,
即a2+a-2=0,解得a=1或a=-2(舍去),所以a的值为1.
[例3] (苏教版选择性必修第一册P97例2)求适合下列条件的双曲线的标准
方程:
(1)a=3,b=4,焦点在x轴上;
题型三　求双曲线的标准方程
·解题策略·
求双曲线的标准方程的两个关注点
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