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(共28张PPT)
第2课时　直线与双曲线的位置关系
1.理解直线与双曲线的位置关系.2.会求解有关弦长的问题.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　直线与双曲线的位置关系
把直线与双曲线的方程联立成方程组,通过消元后化为ax2+bx+c=0的形式,在a≠0的情况下考察方程的判别式.
(1)当Δ>0时,直线与双曲线有 个不同的公共点.
(2)当Δ=0时,直线与双曲线只有 个切点.
(3)当Δ<0时,直线与双曲线 公共点.
当a=0时,若直线与双曲线的渐近线平行,则直线与双曲线有 个公共点.
两
一
没有
一
直线与双曲线的关系中:一解不一定相切,相交不一定两解,两解不一定同支.
·温馨提示·
知识点二　弦长及中点弦
1.直线与双曲线弦长问题
2.直线与双曲线的中点弦问题
用点差法,设弦端点A(x1,y1),B(x2,y2),代入双曲线方程相减,结合中点坐标得直线斜率,验证中点存在性后得直线方程.注意讨论直线斜率不存在的情况.
基础自测
[A] 6 [B]9
[C]14 [D]18
A
3.(人教A版选择性必修第一册P128习题 3.2 T13改编)若双曲线x2-y2=1的弦被点(2,1)平分,则此弦所在的直线方程为　　　　　　　　.
2x-y-3=0　
关键能力·素养培优
题型一　双曲线第二定义及应用
2
·解题策略·
题型二　直线与双曲线的位置关系
[例2] 已知双曲线x2-y2=4,直线l:y=k(x-1),直线l与双曲线有两个不同的公共点,求满足条件的实数k的取值范围.
·解题策略·
(1)解决直线与双曲线的公共点问题,不仅要考虑判别式,更要注意二次项系数为0时,直线与渐近线平行或重合的特殊情况.
(2)双曲线与直线只有一个公共点的题目,应分两种情况讨论:直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.
(3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论.
题型三　弦长公式及中点弦问题
B
·解题策略·
双曲线中有关弦长问题的解决方法与椭圆中类似.中点弦问题常用判别式法和点差法,注意所求参数的取值范围.
[变式训练] 已知双曲线C:x2-y2=2,过右焦点的直线交双曲线于A,B两点,若A,B中点的横坐标为4,求弦AB的长.
感谢观看3.2.2　双曲线的简单几何性质
第1课时　双曲线的简单几何性质
【课程标准要求】　1.掌握双曲线的简单几何性质.2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.
知识点一　双曲线的几何性质
项目 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准 方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0)
图形
焦点 F1(-c,0), F2(c,0) F1(0,-c), F2(0,c)
焦距 |F1F2|=2c
范围 x≤-a,或 x≥a;y∈R y≤-a,或 y≥a;x∈R
对称性 对称轴:坐标轴,对称中心:原点
顶点 A1(-a,0), A2(a,0) A1(0,-a), A2(0,a)
轴 实轴:线段A1A2,长:2a; 虚轴:线段B1B2,长:2b, 实半轴长:a,虚半轴长:b
离心率 e=∈(1,+∞)
渐近线 y=±x y=±x
知识点二　等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,它的渐近线方程是y=±x,离心率 e=.
知识拓展
(1)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小,e越大,开口越大.
(2)求渐近线方程要注意双曲线的开口方向,准确辨析a,b的位置和符号.
(3)焦点到渐近线的距离为b.
基础自测
1.若双曲线C:-=1(a>0,b>0)满足 a=2b,则C的离心率为(　　)
[A] [B] [C] [D]
得a2+a2=c2,
即e==.
故选C.
2.(多选题)已知双曲线方程为x2-8y2=32,则(　　)
[A] 实轴长为8
[B]虚轴长为4
[C]焦距为6
[D]离心率为
所以双曲线的实轴长为8,虚轴长为4,焦距为12,离心率为.
故选ABD.
3.(苏教版选择性必修第一册P99练习T2改编)中心在原点,实轴长为10,虚轴长为6的双曲线的标准方程是　　　　.
4.已知双曲线E:-=1(b>0)的离心率为 ,则b=　　　　.
从而双曲线-=1(b>0)的离心率为
e====,
结合b>0,解得b=2,满足题意.
题型一　由双曲线的标准方程研究几何性质
[例1] (湘教版选择性必修第一册P135例4)求双曲线-=1的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程和离心率,并画出该双曲线的草图.
则c===5,
于是焦点坐标为(-5,0),(5,0).
渐近线方程为y=±x=±x,
离心率e==.
为画出双曲线的草图,在坐标系中画出渐近线y=±x,
顶点(±3,0).算出双曲线在第一象限内一点的坐标,例如取x=5,算出y=≈5.33,
可见点(5,±5.33)在双曲线上.
将y轴右边已知的三点(5,5.33),(3,0),(5,-5.33)依次连成光滑曲线并让它逐步接近渐近线,就画出了双曲线的一支.
由对称性可画出位于y轴左边的另一支,如图.
由双曲线的方程研究几何性质
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键.
(2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值.
(3)由c2=a2+b2求出c的值,从而写出双曲线的几何性质.
[变式训练] 求双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
由此可知,实半轴长a=;
虚半轴长b=;c=,
焦点坐标为(,0),(-,0);
离心率e===;
顶点坐标为(-,0),(,0);
渐近线方程为y=± x,即y=±x.
题型二　由双曲线的几何性质求标准方程
[例2] 求满足下列条件的双曲线的方程:
(1)双曲线的焦点在x轴上,离心率为,且经过点M(-3,2);
(2)渐近线方程为y=±x,且经过点 A(2,-3).
-=1(a>0,b>0).
因为e=,
所以e2===1+=,
所以=.
由题意得解得
所以所求的双曲线方程为-=1.
(2)当焦点在x轴上时,设所求双曲线的标准方程为 -=1(a>0,b>0),则=.①
因为点A(2,-3)在双曲线上,
所以-=1.②
联立①②,无解.
当焦点在y轴上时,设所求方程为
-=1(a>0,b>0),
则=.③
因为点A(2,-3)在双曲线上,
所以-=1.④
联立③④,解得a2=8,b2=32.
所以所求双曲线的标准方程为-=1.
巧设双曲线方程的技巧
渐近线方程为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
[变式训练] 求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)焦点在x轴上,虚轴长为8,离心率为;
(2)过点(2,0),与双曲线-=1的离心率相等.
-=1(a>0,b>0).
由题意知2b=8,e==,
从而b=4,c=a,
代入c2=a2+b2,得a2=9,
故双曲线的标准方程为-=1.
(2)当所求双曲线的焦点在x轴上时,可设其方程为 -=λ(λ>0),
将点(2,0)的坐标代入方程得λ=,
故所求双曲线的标准方程为-y2=1;
当所求双曲线的焦点在y轴上时,可设其方程为-=λ(λ>0),
将点(2,0)的坐标代入方程得λ=-<0(舍去).
综上可知,所求双曲线的标准方程为-y2=1.
题型三　双曲线的离心率
[例3] 已知双曲线-=1(a>)的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为(　　)
[A] [B]2
[C]或2 [D]
所以a=或a=(舍去).又b=,
所以c=2,所以双曲线的离心率e==.故选A.
求双曲线离心率的两种方法
(1)直接法:若已知a,c,可直接利用e=求解;若已知a,b,可利用e=求解.
(2)方程法:若无法求出a,b,c的具体值,但根据条件可确定a,b,c之间的关系,可通过b2=c2-a2,将关系式转化为关于a,c的齐次方程(不等式),借助e=,转化为关于e的n次方程(不等式)
求解.
培优拓展6　等轴双曲线与共轭双曲线
1.等轴双曲线的性质
(1)方程形式为x2-y2=λ(λ≠0),当λ>0时,焦点在x轴上;当λ<0时,焦点在y轴上.当不确定焦点所在坐标轴时,千万注意不要设成x2-y2=a2.
(2)渐近线方程为y=±x,它们互相垂直,并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角.
(3)实轴长和虚轴长相等,离心率e=.
2.共轭双曲线
(1)定义:以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线与原双曲线是一对共轭双曲线.
(2)性质:
①一对共轭双曲线有相同的渐近线;
②一对共轭双曲线有相同的焦距;
③共轭双曲线的渐近线与直线x=±a及 y=±b的四个交点,以及两双曲线的四个焦点,八点共圆,圆心为坐标原点,半径为c(半焦距);
④由于e1=,e2=,则+=()2+()2=1,可知共轭双曲线的离心率虽不同,但离心率倒数的平方和等于常数1.
【题型演绎】
一、等轴双曲线
[典例1] 中心在原点,焦点在x轴上,且一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是(　　)
[A] x2-y2=8 [B]x2-y2=4
[C]y2-x2=8 [D]y2-x2=4
所以等轴双曲线的一个焦点为(-4,0),即c=4.
所以a2=b2=c2=8,故等轴双曲线的方程为 x2-y2=8.故选A.
[跟踪训练] 已知双曲线x2-y2=1的左支上一点 P(a,b)到其渐近线y=x的距离为,则a+b=　　　　.
因为==,故b-a=2.
又a2-b2=1,故a+b==-.
二、共轭双曲线
[典例2] 共轭双曲线-=1与-=1,有(　　)
[A] 相同的离心率 [B]公共焦点
[C]公共顶点 [D]公共渐近线
所以B,C选项错误.
在双曲线-=1中,
a1=2,b1=,c1==,
离心率为,渐近线方程为y=±x.
在双曲线-=1中,
a2=,b2=2,c2=,
离心率为=,渐近线方程为y=±x.所以A选项错误,D选项正确.
故选D.
[跟踪训练] 定义:以双曲线的实轴为虚轴、虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线.已知双曲线C:-x2=1,则其共轭双曲线的离心率为　　　　.
所以a=2,b=1,所以双曲线C的实轴长为4,双曲线C的虚轴长为2.
因为以双曲线的实轴为虚轴、虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线,
所以双曲线C的共轭双曲线实轴长为2,虚轴长为4,此时a1=1,b1=2.
故c1==,离心率e===.
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.已知等轴双曲线C的一个焦点为(-2,0),则它的实轴长为(　　)
[A] [B]2
[C]4 [D]2
注意到双曲线的焦点在x轴上,则λ>0,双曲线方程可化为-=1.
由焦点(-2,0),得λ+λ=4,则λ=2,
于是实半轴长为=,实轴长为2.故选D.
2.已知双曲线-=1的焦距为8,则该双曲线的渐近线方程为(　　)
[A] y=±x [B]y=±3x
[C]y=±x [D]y=±x
所以该双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.故选C.
3.与双曲线-y2=1有相同离心率和相同渐近线的双曲线方程是(　　)
[A] x2-=1 [B]y2-=1
[C]-=1 [D]-=1
e=,渐近线方程为y=±x.
对于A,a=1,b=,c=2,e=2,
渐近线方程为y=±x,故A错误;
对于B,a=1,b=,c=2,e=2,
渐近线方程为y=±x,故B错误;
对于C,a=3,b=,c=2,e=,渐近线方程为y=±x,故C正确;
对于D,a=3,b=,c=2,e=,渐近线方程为y=±x,故D错误.故选C.
4.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F(6,0),点P(6,5)在C上,则C的离心率为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
所以
解得
所以离心率为e===.
故选A.
5.(多选题)已知双曲线Γ:-=1(a>0)的右焦点为F,直线l:ax+y=0是Γ的一条渐近线,P是Γ右支上的一点,O为坐标原点,则(　　)
[A] F到l的距离为3
[B]Γ的渐近线方程为3x±y=0
[C]Γ的离心率为2
[D]|PF|min=
对于A,由双曲线Γ:-=1知右焦点F(2,0),l:x+y=0,
所以F到l的距离为=3,故A正确;
对于B,Γ的渐近线方程为y=±x,即x±y=0,故B错误;
对于C,Γ的离心率为e===2,故C正确;
对于D,当点P是双曲线的右支与x轴的交点,即P(,0)时,|PF|min=,故D正确.
故选ACD.
6.(多选题)已知椭圆的方程为+=1,双曲线的方程为-=1,则(　　)
[A] 双曲线的一条渐近线方程为y=-x
[B]椭圆和双曲线共焦点
[C]椭圆的离心率e=
[D]椭圆和双曲线的图象有4个公共点
对于B,椭圆+=1的焦点在x轴上,双曲线-=1的焦点在y轴上,B错误;
对于C,在椭圆+=1中,长半轴长a=4,半焦距c==2,离心率e=,C错误;
对于D,由解得此方程组有4个解,因此椭圆和双曲线有4个公共点,D正确.
故选AD.
7.(5分)已知双曲线C1过点(,4),且与双曲线C2:-=1有相同的渐近线,则双曲线C1的方程为　　　　　　　　　.
将(,4)代入可得-=-7=λ,故双曲线C1:-=1.
8.(5分)已知双曲线C:-y2=1(m>0)的离心率为,则焦点到渐近线的距离为　　　　.
解得m=4.
所以焦点坐标为F1(-,0),F2(,0),渐近线方程为 y=±x,
所以焦点到渐近线的距离d==1.
9.(13分)已知双曲线E:-=1(m>0).
(1)若m=4,求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程;
(2)若双曲线E的离心率e∈(,),求实数m的取值范围.
所以a=2,b=,c=3.
所以双曲线E的焦点坐标为(-3,0),(3,0),顶点坐标为(-2,0),(2,0),渐近线方程为y=±x.
(2)因为e2===1+,e∈(,),
所以<1+<2,解得5所以实数m的取值范围是(5,10).
10.(15分)求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)两顶点间的距离是6,两焦点所连线段被两顶点和中心四等分;
(2)渐近线方程为2x±3y=0,且两顶点间的距离是6.
即a=3.
由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分,
得2c=4a=12,即c=6,
所以b2=c2-a2=62-32=27.
由于焦点所在的坐标轴不确定,故所求双曲线的标准方程为-=1或-=1.
(2)设双曲线方程为4x2-9y2=λ(λ≠0),
即-=1(λ≠0).由题意得a=3.
当λ>0时,=9,λ=36,
双曲线方程为-=1;
当λ<0时,=9,λ=-81,双曲线方程为 -=1.
故所求双曲线的标准方程为-=1或-=1.
11.从某个角度观察篮球(如图①),可以得到一个对称的平面图形,如图②所示,篮球的轮廓形为圆O,将篮球表面的黏合线看成坐标轴和双曲线,若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分,|AB|=|BC|=|CD|,则该双曲线的离心率为(　　)
[A] [B] [C] [D]
设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).
不妨设|AB|=|BO|=|OC|=|CD|=1,则该双曲线过点(,),且a=1,
所以-=1,解得b2=2,
所以c2=a2+b2=3,得c=,
所以双曲线的离心率e==.故选C.
12.(5分)过双曲线E的两个焦点分别作实轴的垂线,交E于四个点,若这四个点恰为一个正方形的顶点,则E的离心率为　　　　.
令x=-c,可得y=±,所以|AB|=.
依题意可得,|AB|=|F1F2|,所以=2c.
又b2=c2-a2,所以c2-ac-a2=0,
解得=.
又因为c>a>0,所以e==.
13.(15分)已知以坐标轴为对称轴的双曲线C经过点P(1,1),离心率e=,求双曲线C的方程及其焦点坐标和渐近线方程.
依题意可得
解得
所以双曲线的方程为-y2=1,
所以双曲线的焦点坐标为(±,0),渐近线方程为 y=±x;
当双曲线的焦点在y轴上时,设双曲线方程为 -=1(a>0,b>0),
依题意可得
解得
所以双曲线的方程为-x2=1,
所以双曲线的焦点坐标为(0,±),渐近线方程为 y=±x.
综上可得,若双曲线的焦点在x轴上,则双曲线的方程为
-y2=1,焦点坐标为(±,0),渐近线方程为y=±x;
若双曲线的焦点在y轴上,则双曲线的方程为 -x2=1,焦点坐标为(0,±),渐近线方程为 y=±x.
14.已知双曲线-y2=1,A(3,0),O为坐标原点,M为双曲线上任意一点,则·的最小值是(　　)
[A] - [B]-2 [C]- [D]
且有-y2=1,
即y2=-1,
则 =(x-3,y),=(x,y),
所以 ·=x(x-3)+y2=x2-3x+-1=-3x-1.
令f(x)=-3x-1,
其中x≤-2或x≥2,
二次函数f(x)的图象开口向上,对称轴为直线x==.
当x≤-2时,函数f(x)单调递减,此时 f(x)≥f(-2)=10;
当x≥2时,函数f(x)单调递增,此时f(x)≥f(2)=-2.
综上所述,函数f(x)在(-∞,-2]∪[2,+∞)上的值域为[-2,+∞).
因此,·的最小值是-2.故选B.第2课时　直线与双曲线的位置关系
【课程标准要求】　1.理解直线与双曲线的位置关系.2.会求解有关弦长的问题.
知识点一　直线与双曲线的位置关系
把直线与双曲线的方程联立成方程组,通过消元后化为ax2+bx+c=0的形式,在a≠0的情况下考察方程的判别式.
(1)当Δ>0时,直线与双曲线有两个不同的公共点.
(2)当Δ=0时,直线与双曲线只有一个切点.
(3)当Δ<0时,直线与双曲线没有公共点.
当a=0时,若直线与双曲线的渐近线平行,则直线与双曲线有一个公共点.
直线与双曲线的关系中:一解不一定相切,相交不一定两解,两解不一定同支.
知识点二　弦长及中点弦
1.直线与双曲线弦长问题
联立方程消元,应用根与系数的关系得交点横(纵)坐标的和与积,代入弦长公式|AB|=·=·
(k≠0)求解.
2.直线与双曲线的中点弦问题
用点差法,设弦端点A(x1,y1),B(x2,y2),代入双曲线方程相减,结合中点坐标得直线斜率,验证中点存在性后得直线方程.注意讨论直线斜率不存在的情况.
基础自测
1.在双曲线-=1的两支上各取一点A,B,则|AB|的最小值为(　　)
[A] 6 [B]9
[C]14 [D]18
所以|AB|min=2a=6.故选A.
2.若直线y=kx与双曲线-=1相交,则k的取值范围是　　　　.
当4-9k2=0,即k=±时,直线和双曲线的渐近线重合,所以直线与双曲线没有公共点.
当4-9k2≠0,即k≠±时,x2=>0,
解得-即k的取值范围是(-,).
3.(人教A版选择性必修第一册P128习题 3.2 T13改编)若双曲线x2-y2=1的弦被点(2,1)平分,则此弦所在的直线方程为　　　　　　　　.
则两式作差,有-=-,
故===2,
所以弦所在的直线的斜率为2,故所求直线方程为 y-1=2(x-2),整理得2x-y-3=0.
题型一　双曲线第二定义及应用
[例1] 双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,P为双曲线上任意一点,则点P到右焦点F2的距离与到直线x=的距离之比为　　　　.
所以c=2a,b2=c2-a2=3a2,
所以b=a,
所以右焦点F2(2a,0),直线x===.
设点P(x0,y0),则-=1,
即-=1,
所以点P到F2的距离与点P到直线x=的距离之比为=
===2.
(1)双曲线的第二定义:当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=(e>1)时,这个点的轨迹是双曲线,其中定直线叫做准线,常数e叫做离心率.
(2)双曲线上任意一点到左焦点的距离与到直线x=-的距离的比或者是到右焦点的距离与到直线x=的距离的比是该双曲线的离心率.
[变式训练] 双曲线-=1上一点P到右焦点的距离为3,则P到直线x=的距离为　　　　.
得a2=9,b2=4,
即a=3,b=2,c==,
所以双曲线的离心率e==.
设右焦点为F2,
因为双曲线-=1上一点P到右焦点的距离为3,即|PF2|=3,
所以点P到直线x=的距离为d==.
题型二　直线与双曲线的位置关系
[例2] 已知双曲线x2-y2=4,直线l:y=k(x-1),直线l与双曲线有两个不同的公共点,求满足条件的实数k的取值范围.
得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0.(*)
当1-k2≠0,即k≠±1时,
Δ=(2k2)2-4(1-k2)(-k2-4)=4(4-3k2).
由得-此时方程(*)有两个不同的实数解,即直线l与双曲线有两个不同的公共点.故满足条件的实数k的取值范围为(-,-1)∪(-1,1)∪(1,).
(1)解决直线与双曲线的公共点问题,不仅要考虑判别式,更要注意二次项系数为0时,直线与渐近线平行或重合的特殊情况.
(2)双曲线与直线只有一个公共点的题目,应分两种情况讨论:直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.
(3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论.
[变式训练] 若过点P(1,1)且斜率为k的直线l与双曲线x2-=1只有一个公共点,求k的值.
当4-k2=0,即k=±2时,直线l与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线只有一个公共点;
当4-k2≠0时,由Δ=4(k-k2)2-4(4-k2)·(-k2+2k-5)=0,解得k=.
综上,当k=或k=±2时,直线l与双曲线只有一个公共点.
题型三　弦长公式及中点弦问题
[例3] (1)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),过点P(3,6)的直线l与C相交于A,B两点,且AB的中点为N(12,15),则双曲线C的离心率为(　　)
[A] 2 [B]
[C] [D]
(2)斜率为2的直线l在双曲线-=1上截得的弦长为,则l的方程为　　　　　　　.
由两式相减,得
=,
则==.
因为直线AB的斜率k==1,
所以=1,则=,
双曲线的离心率e===,
所以双曲线C的离心率为.故选B.
(2)设直线l的方程为y=2x+m,
由
得10x2+12mx+3(m2+2)=0.(*)
设直线l与双曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,由根与系数的关系,
得x1+x2=-,x1x2=,
所以|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=5(x1-x2)2=5[(x1+x2)2-4x1x2]=
5[-4×].
由|AB|=,得5[-4×]=6,
解得m=±,
由(*)式,得Δ=24m2-240,
把m=±代入上式,得Δ>0,
所以m的值为±,
所以所求直线l的方程为y=2x±.
双曲线中有关弦长问题的解决方法与椭圆中类似.中点弦问题常用判别式法和点差法,注意所求参数的取值范围.
[变式训练] 已知双曲线C:x2-y2=2,过右焦点的直线交双曲线于A,B两点,若A,B中点的横坐标为4,求弦AB的长.
根据题意得过F的直线斜率存在,
设为y=k(x-2),A(xA,yA),B(xB,yB),
由
化简,得(1-k2)x2+4k2x-4k2-2=0,
所以xA+xB=,xAxB=.
因为A,B中点横坐标为4,
所以xA+xB==8,
解得k2=2.
所以xAxB==10.
所以(xA-xB)2=(xA+xB)2-4xAxB=82-4×10=24.
所以|AB|===6.
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.“直线与双曲线有唯一公共点”是“直线与双曲线相切”的(　　)
[A] 充分不必要条件
[B]必要不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分也不必要条件
2.已知等轴双曲线的中心在原点,焦点在 x轴上,与直线y=x交于A,B两点,若 |AB|=2,则该双曲线的方程为(　　)
[A] x2-y2=6 [B]x2-y2=9
[C]x2-y2=16 [D]x2-y2=25
所以|AB|=×a=2,
所以a=3.
故选B.
3.已知双曲线C:-=1(a>0),过左焦点F的直线l与双曲线交于A,B两点.若存在4条直线l满足|AB|=8,则实数a的取值范围是(　　)
[A] (1,16) [B](1,8)
[C](1,4) [D](1,2)
因为存在4条直线l满足|AB|=8,所以<8,且2a<8,解得a∈(1,4).故选C.
4.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)与直线 y=2x+1相交于A,B两点,若弦AB的中点M的横坐标为1,则双曲线C的渐近线方程为(　　)
[A] y=±x [B]y=±6x
[C]y=±x [D]y=±x
由题意知xA+xB==2,故=,则渐近线方程为y=±x.故选A.
5.(多选题)已知直线l:y=k(x+),双曲线C:x2-y2=1,则(　　)
[A] 当k=1时,l与C只有一个公共点
[B]当k=-1时,l与C只有一个公共点
[C]当k=时,l与C的左支有两个公共点
[D]当k=2时,l与C的左支有两个公共点
当k=±1时,l与C的渐近线平行,l与C只有一个公共点;
当k=时,l与C的左支和右支各有一个公共点;
当k=2时,l与C的左支有两个公共点.
故选ABD.
6.(多选题)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,且其右顶点为A(2,0),左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线C上,则下列结论正确的是(　　)
[A] 双曲线C的方程为-=1
[B]点A到双曲线C的渐近线的距离为
[C]若|PF1|=6,则|PF2|=2
[D]若·=0,则△PF1A的外接圆半径为
所以b==,故双曲线C的方程为 -=1,故A正确;
由A可知双曲线的渐近线方程为y=±x,故点A到双曲线C的渐近线的距离为=,故B正确;
由双曲线的定义知||PF1|-|PF2||=2a=4,
因为|PF1|=6,且c-a=1,
所以|PF2|=2或|PF2|=10,故C错误;
因为·=0,
所以⊥,
即∠APF1=,所以Rt△PF1A的外接圆半径为 =,故D正确.
故选ABD.
7.(5分)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线 -=1上一点M的横坐标是3,则点M到此双曲线的右焦点的距离为　　　　.
8.(5分)已知双曲线-=1上的点P到点(5,0)的距离为10,则点P到直线x=的距离为　　　　.
右焦点为(5,0),右准线方程为x==.
因为点P到点(5,0)的距离为10,
双曲线上的点到焦点的距离与到相应准线的距离的比等于离心率,
所以点P到直线x=的距离为=10×=8.
9.(12分)已知直线l:x-y+m=0与双曲线x2-=1交于不同的两点A,B,若线段AB的中点在圆x2+y2=5上,求m的值.
由得x2-2mx-m2-2=0(判别式Δ>0).
因为x1+x2=2m,
所以x0==m,y0=x0+m=2m.
因为点M(x0,y0)在圆x2+y2=5上,
所以m2+(2m)2=5,故m=±1.
10.(14分)双曲线的两条渐近线的方程为 y=±x,且经过点(3,-2).
(1)求双曲线的标准方程;
(2)过右焦点F,且倾斜角为60°的直线交双曲线于A,B两点,求|AB|.
所以可设双曲线的方程为2x2-y2=λ(λ≠0).
又因为双曲线经过点(3,-2),代入方程可得 λ=6,
所以所求双曲线的标准方程为-=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得过点F,且倾斜角为60°的直线方程为y=(x-3).
由
得x2-18x+33=0,
由根与系数的关系,得x1+x2=18,x1x2=33,
则弦长|AB|=|x1-x2|=2
=16.
11.若F(c,0)是双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点,过F作双曲线的一条渐近线的垂线与两条渐近线交于A,B两点(A为垂足,F在线段AB上),且满足|BF|=8|AF|,则该双曲线的离心率e等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
设过点F(c,0)与渐近线垂直的方程为y=-(x-c).
由得xA=.
由得xB=.
因为|BF|=8|AF|,
所以=8,
则c-xB=8(xA-c).
所以c-=8(-c),
化简得9c4-25a2c2+16a4=0,
即9e4-25e2+16=0,
解得e2=1(舍去)或e2=,则e=(负值已舍去).故选D.
12.(5分)若双曲线-=1(a>0,b>0)与直线 y=3x无交点,则离心率e的取值范围是　　　　.
所以双曲线的渐近线y=x的斜率≤3,即b≤3a,
即b2≤9a2,即c2-a2≤9a2,即c2≤10a2,则c≤a,则e≤.
又e>1,所以离心率满足1即双曲线离心率的取值范围是(1,].
13.(17分)已知双曲线的方程为x2-=1,是否存在被点B(1,1)平分的弦 如果存在,求出弦所在的直线方程;如果不存在,请说明理由.
由题意知直线的斜率存在,设被点B(1,1)平分的弦所在的直线方程为y=k(x-1)+1,
代入双曲线方程x2-=1,得
(k2-2)x2-2k(k-1)x+k2-2k+3=0,
所以k2-2≠0,
且Δ=[-2k(k-1)]2-4(k2-2)(k2-2k+3)>0,
解得k<,且k≠±.
设直线与双曲线的两个交点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=.
因为B(1,1)是弦的中点,
所以=1,
所以k=2.
因为2>,
所以不存在被点B(1,1)平分的弦.
14.(5分)已知点A(3,1),双曲线x2-=1,F为双曲线的右焦点,P是双曲线右支上的动点,则 2|PA|+|PF|的最小值为　　　　,此时点P的坐标为　　　　　　　　. 3.2.2　双曲线的简单几何性质
第1课时　双曲线的简单几何性质
【课程标准要求】　1.掌握双曲线的简单几何性质.2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.
知识点一　双曲线的几何性质
项目 焦点在x轴上 焦点在y轴上
标准 方程 -=1(a>0,b>0) -=1(a>0,b>0)
图形
焦点 F1(-c,0), F2(c,0) F1(0,-c), F2(0,c)
焦距 |F1F2|=2c
范围 x≤-a,或 x≥a;y∈R y≤-a,或 y≥a;x∈R
对称性 对称轴:坐标轴,对称中心:原点
顶点 A1(-a,0), A2(a,0) A1(0,-a), A2(0,a)
轴 实轴:线段A1A2,长:2a; 虚轴:线段B1B2,长:2b, 实半轴长:a,虚半轴长:b
离心率 e=∈(1,+∞)
渐近线 y=±x y=±x
知识点二　等轴双曲线
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线,它的渐近线方程是y=±x,离心率 e=.
知识拓展
(1)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小,e越大,开口越大.
(2)求渐近线方程要注意双曲线的开口方向,准确辨析a,b的位置和符号.
(3)焦点到渐近线的距离为b.
基础自测
1.若双曲线C:-=1(a>0,b>0)满足 a=2b,则C的离心率为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 C
【解析】 由a2+b2=c2,a=2b,
得a2+a2=c2,
即e==.
故选C.
2.(多选题)已知双曲线方程为x2-8y2=32,则(　　)
[A] 实轴长为8
[B]虚轴长为4
[C]焦距为6
[D]离心率为
【答案】 ABD
【解析】 由双曲线方程x2-8y2=32化为标准方程-=1,得a=4,b=2,c=6,
所以双曲线的实轴长为8,虚轴长为4,焦距为12,离心率为.
故选ABD.
3.(苏教版选择性必修第一册P99练习T2改编)中心在原点,实轴长为10,虚轴长为6的双曲线的标准方程是　　　　.
【答案】 -=1或-=1
【解析】 由题可知a=5,b=3,所以双曲线的标准方程为-=1或-=1.
4.已知双曲线E:-=1(b>0)的离心率为 ,则b=　　　　.
【答案】 2　
【解析】 由题意a2=4,c2=a2+b2=4+b2,
从而双曲线-=1(b>0)的离心率为
e====,
结合b>0,解得b=2,满足题意.
题型一　由双曲线的标准方程研究几何性质
[例1] (湘教版选择性必修第一册P135例4)求双曲线-=1的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、渐近线方程和离心率,并画出该双曲线的草图.
【解】 由双曲线方程可得实半轴长a=3,虚半轴长 b=4,
则c===5,
于是焦点坐标为(-5,0),(5,0).
渐近线方程为y=±x=±x,
离心率e==.
为画出双曲线的草图,在坐标系中画出渐近线y=±x,
顶点(±3,0).算出双曲线在第一象限内一点的坐标,例如取x=5,算出y=≈5.33,
可见点(5,±5.33)在双曲线上.
将y轴右边已知的三点(5,5.33),(3,0),(5,-5.33)依次连成光滑曲线并让它逐步接近渐近线,就画出了双曲线的一支.
由对称性可画出位于y轴左边的另一支,如图.
由双曲线的方程研究几何性质
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键.
(2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值.
(3)由c2=a2+b2求出c的值,从而写出双曲线的几何性质.
[变式训练] 求双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
【解】 把方程nx2-my2=mn(m>0,n>0)化为标准方程-=1(m>0,n>0),
由此可知,实半轴长a=;
虚半轴长b=;c=,
焦点坐标为(,0),(-,0);
离心率e===;
顶点坐标为(-,0),(,0);
渐近线方程为y=± x,即y=±x.
题型二　由双曲线的几何性质求标准方程
[例2] 求满足下列条件的双曲线的方程:
(1)双曲线的焦点在x轴上,离心率为,且经过点M(-3,2);
(2)渐近线方程为y=±x,且经过点 A(2,-3).
【解】 (1)设所求双曲线方程为
-=1(a>0,b>0).
因为e=,
所以e2===1+=,
所以=.
由题意得解得
所以所求的双曲线方程为-=1.
(2)当焦点在x轴上时,设所求双曲线的标准方程为 -=1(a>0,b>0),则=.①
因为点A(2,-3)在双曲线上,
所以-=1.②
联立①②,无解.
当焦点在y轴上时,设所求方程为
-=1(a>0,b>0),
则=.③
因为点A(2,-3)在双曲线上,
所以-=1.④
联立③④,解得a2=8,b2=32.
所以所求双曲线的标准方程为-=1.
巧设双曲线方程的技巧
渐近线方程为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
[变式训练] 求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)焦点在x轴上,虚轴长为8,离心率为;
(2)过点(2,0),与双曲线-=1的离心率相等.
【解】 (1)设所求双曲线的标准方程为
-=1(a>0,b>0).
由题意知2b=8,e==,
从而b=4,c=a,
代入c2=a2+b2,得a2=9,
故双曲线的标准方程为-=1.
(2)当所求双曲线的焦点在x轴上时,可设其方程为 -=λ(λ>0),
将点(2,0)的坐标代入方程得λ=,
故所求双曲线的标准方程为-y2=1;
当所求双曲线的焦点在y轴上时,可设其方程为-=λ(λ>0),
将点(2,0)的坐标代入方程得λ=-<0(舍去).
综上可知,所求双曲线的标准方程为-y2=1.
题型三　双曲线的离心率
[例3] 已知双曲线-=1(a>)的两条渐近线的夹角为,则双曲线的离心率为(　　)
[A] [B]2
[C]或2 [D]
【答案】 A
【解析】 由已知得双曲线的渐近线方程为 y=±x,=tan 或=tan ,
所以a=或a=(舍去).又b=,
所以c=2,所以双曲线的离心率e==.故选A.
求双曲线离心率的两种方法
(1)直接法:若已知a,c,可直接利用e=求解;若已知a,b,可利用e=求解.
(2)方程法:若无法求出a,b,c的具体值,但根据条件可确定a,b,c之间的关系,可通过b2=c2-a2,将关系式转化为关于a,c的齐次方程(不等式),借助e=,转化为关于e的n次方程(不等式)
求解.
培优拓展6　等轴双曲线与共轭双曲线
1.等轴双曲线的性质
(1)方程形式为x2-y2=λ(λ≠0),当λ>0时,焦点在x轴上;当λ<0时,焦点在y轴上.当不确定焦点所在坐标轴时,千万注意不要设成x2-y2=a2.
(2)渐近线方程为y=±x,它们互相垂直,并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角.
(3)实轴长和虚轴长相等,离心率e=.
2.共轭双曲线
(1)定义:以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线与原双曲线是一对共轭双曲线.
(2)性质:
①一对共轭双曲线有相同的渐近线;
②一对共轭双曲线有相同的焦距;
③共轭双曲线的渐近线与直线x=±a及 y=±b的四个交点,以及两双曲线的四个焦点,八点共圆,圆心为坐标原点,半径为c(半焦距);
④由于e1=,e2=,则+=()2+()2=1,可知共轭双曲线的离心率虽不同,但离心率倒数的平方和等于常数1.
【题型演绎】
一、等轴双曲线
[典例1] 中心在原点,焦点在x轴上,且一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是(　　)
[A] x2-y2=8 [B]x2-y2=4
[C]y2-x2=8 [D]y2-x2=4
【答案】 A
【解析】 令y=0,得x=-4.又因为双曲线焦点在x轴上,
所以等轴双曲线的一个焦点为(-4,0),即c=4.
所以a2=b2=c2=8,故等轴双曲线的方程为 x2-y2=8.故选A.
[跟踪训练] 已知双曲线x2-y2=1的左支上一点 P(a,b)到其渐近线y=x的距离为,则a+b=　　　　.
【答案】 -　
【解析】 由于双曲线x2-y2=1的左支位于渐近线y=±x之间,故a因为==,故b-a=2.
又a2-b2=1,故a+b==-.
二、共轭双曲线
[典例2] 共轭双曲线-=1与-=1,有(　　)
[A] 相同的离心率 [B]公共焦点
[C]公共顶点 [D]公共渐近线
【答案】 D
【解析】 双曲线-=1的焦点在x轴上,双曲线-=1的焦点在y轴上,
所以B,C选项错误.
在双曲线-=1中,
a1=2,b1=,c1==,
离心率为,渐近线方程为y=±x.
在双曲线-=1中,
a2=,b2=2,c2=,
离心率为=,渐近线方程为y=±x.所以A选项错误,D选项正确.
故选D.
[跟踪训练] 定义:以双曲线的实轴为虚轴、虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线.已知双曲线C:-x2=1,则其共轭双曲线的离心率为　　　　.
【答案】 　
【解析】 因为双曲线C的方程为-x2=1,
所以a=2,b=1,所以双曲线C的实轴长为4,双曲线C的虚轴长为2.
因为以双曲线的实轴为虚轴、虚轴为实轴的双曲线与原双曲线互为共轭双曲线,
所以双曲线C的共轭双曲线实轴长为2,虚轴长为4,此时a1=1,b1=2.
故c1==,离心率e===.
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.已知等轴双曲线C的一个焦点为(-2,0),则它的实轴长为(　　)
[A] [B]2
[C]4 [D]2
【答案】 D
【解析】 由题意,设等轴双曲线的方程为x2-y2=λ,
注意到双曲线的焦点在x轴上,则λ>0,双曲线方程可化为-=1.
由焦点(-2,0),得λ+λ=4,则λ=2,
于是实半轴长为=,实轴长为2.故选D.
2.已知双曲线-=1的焦距为8,则该双曲线的渐近线方程为(　　)
[A] y=±x [B]y=±3x
[C]y=±x [D]y=±x
【答案】 C
【解析】 由题意可知2c=8,b2=12,且焦点在y轴上,所以c=4,b=2,m==2,
所以该双曲线的渐近线方程为y=±x=±x.故选C.
3.与双曲线-y2=1有相同离心率和相同渐近线的双曲线方程是(　　)
[A] x2-=1 [B]y2-=1
[C]-=1 [D]-=1
【答案】 C
【解析】 在双曲线-y2=1中,a=,b=1,c=2,
e=,渐近线方程为y=±x.
对于A,a=1,b=,c=2,e=2,
渐近线方程为y=±x,故A错误;
对于B,a=1,b=,c=2,e=2,
渐近线方程为y=±x,故B错误;
对于C,a=3,b=,c=2,e=,渐近线方程为y=±x,故C正确;
对于D,a=3,b=,c=2,e=,渐近线方程为y=±x,故D错误.故选C.
4.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的右焦点为F(6,0),点P(6,5)在C上,则C的离心率为(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 因为点P(6,5)在C上,右焦点为F(6,0),a>0,b>0,
所以
解得
所以离心率为e===.
故选A.
5.(多选题)已知双曲线Γ:-=1(a>0)的右焦点为F,直线l:ax+y=0是Γ的一条渐近线,P是Γ右支上的一点,O为坐标原点,则(　　)
[A] F到l的距离为3
[B]Γ的渐近线方程为3x±y=0
[C]Γ的离心率为2
[D]|PF|min=
【答案】 ACD
【解析】 因为双曲线Γ:-=1(a>0)的渐近线方程为y=±x,又l:ax+y=0是Γ的一条渐近线,所以y=-x=-ax.因为a>0,所以a=,所以c=2,所以双曲线的方程为Γ:-=1.
对于A,由双曲线Γ:-=1知右焦点F(2,0),l:x+y=0,
所以F到l的距离为=3,故A正确;
对于B,Γ的渐近线方程为y=±x,即x±y=0,故B错误;
对于C,Γ的离心率为e===2,故C正确;
对于D,当点P是双曲线的右支与x轴的交点,即P(,0)时,|PF|min=,故D正确.
故选ACD.
6.(多选题)已知椭圆的方程为+=1,双曲线的方程为-=1,则(　　)
[A] 双曲线的一条渐近线方程为y=-x
[B]椭圆和双曲线共焦点
[C]椭圆的离心率e=
[D]椭圆和双曲线的图象有4个公共点
【答案】 AD
【解析】 对于A,双曲线-=1的渐近线方程为y=±x,A正确;
对于B,椭圆+=1的焦点在x轴上,双曲线-=1的焦点在y轴上,B错误;
对于C,在椭圆+=1中,长半轴长a=4,半焦距c==2,离心率e=,C错误;
对于D,由解得此方程组有4个解,因此椭圆和双曲线有4个公共点,D正确.
故选AD.
7.(5分)已知双曲线C1过点(,4),且与双曲线C2:-=1有相同的渐近线,则双曲线C1的方程为　　　　　　　　　.
【答案】 -=1
【解析】 设双曲线C1:-=λ(λ≠0,且 λ≠1),
将(,4)代入可得-=-7=λ,故双曲线C1:-=1.
8.(5分)已知双曲线C:-y2=1(m>0)的离心率为,则焦点到渐近线的距离为　　　　.
【答案】 1
【解析】 因为双曲线C:-y2=1(m>0)的离心率为,所以e==,
解得m=4.
所以焦点坐标为F1(-,0),F2(,0),渐近线方程为 y=±x,
所以焦点到渐近线的距离d==1.
9.(13分)已知双曲线E:-=1(m>0).
(1)若m=4,求双曲线E的焦点坐标、顶点坐标和渐近线方程;
(2)若双曲线E的离心率e∈(,),求实数m的取值范围.
【解】 (1)当m=4时,双曲线方程为-=1,
所以a=2,b=,c=3.
所以双曲线E的焦点坐标为(-3,0),(3,0),顶点坐标为(-2,0),(2,0),渐近线方程为y=±x.
(2)因为e2===1+,e∈(,),
所以<1+<2,解得5所以实数m的取值范围是(5,10).
10.(15分)求适合下列条件的双曲线的标准方程:
(1)两顶点间的距离是6,两焦点所连线段被两顶点和中心四等分;
(2)渐近线方程为2x±3y=0,且两顶点间的距离是6.
【解】 (1)由两顶点间的距离是6,得2a=6,
即a=3.
由两焦点所连线段被两顶点和中心四等分,
得2c=4a=12,即c=6,
所以b2=c2-a2=62-32=27.
由于焦点所在的坐标轴不确定,故所求双曲线的标准方程为-=1或-=1.
(2)设双曲线方程为4x2-9y2=λ(λ≠0),
即-=1(λ≠0).由题意得a=3.
当λ>0时,=9,λ=36,
双曲线方程为-=1;
当λ<0时,=9,λ=-81,双曲线方程为 -=1.
故所求双曲线的标准方程为-=1或-=1.
11.从某个角度观察篮球(如图①),可以得到一个对称的平面图形,如图②所示,篮球的轮廓形为圆O,将篮球表面的黏合线看成坐标轴和双曲线,若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分,|AB|=|BC|=|CD|,则该双曲线的离心率为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 C
【解析】 以O为原点,AD所在直线为x轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).
不妨设|AB|=|BO|=|OC|=|CD|=1,则该双曲线过点(,),且a=1,
所以-=1,解得b2=2,
所以c2=a2+b2=3,得c=,
所以双曲线的离心率e==.故选C.
12.(5分)过双曲线E的两个焦点分别作实轴的垂线,交E于四个点,若这四个点恰为一个正方形的顶点,则E的离心率为　　　　.
【答案】
【解析】 不妨设双曲线E的标准方程为-=1(a>0,b>0),左、右焦点分别为F1,F2,过F1的垂线与左支交于A,B两点,
令x=-c,可得y=±,所以|AB|=.
依题意可得,|AB|=|F1F2|,所以=2c.
又b2=c2-a2,所以c2-ac-a2=0,
解得=.
又因为c>a>0,所以e==.
13.(15分)已知以坐标轴为对称轴的双曲线C经过点P(1,1),离心率e=,求双曲线C的方程及其焦点坐标和渐近线方程.
【解】 当双曲线的焦点在x轴上时,设双曲线方程为 -=1(a>0,b>0),
依题意可得
解得
所以双曲线的方程为-y2=1,
所以双曲线的焦点坐标为(±,0),渐近线方程为 y=±x;
当双曲线的焦点在y轴上时,设双曲线方程为 -=1(a>0,b>0),
依题意可得
解得
所以双曲线的方程为-x2=1,
所以双曲线的焦点坐标为(0,±),渐近线方程为 y=±x.
综上可得,若双曲线的焦点在x轴上,则双曲线的方程为
-y2=1,焦点坐标为(±,0),渐近线方程为y=±x;
若双曲线的焦点在y轴上,则双曲线的方程为 -x2=1,焦点坐标为(0,±),渐近线方程为 y=±x.
14.已知双曲线-y2=1,A(3,0),O为坐标原点,M为双曲线上任意一点,则·的最小值是(　　)
[A] - [B]-2 [C]- [D]
【答案】 B
【解析】 设点M(x,y),则x≤-2或x≥2,
且有-y2=1,
即y2=-1,
则 =(x-3,y),=(x,y),
所以 ·=x(x-3)+y2=x2-3x+-1=-3x-1.
令f(x)=-3x-1,
其中x≤-2或x≥2,
二次函数f(x)的图象开口向上,对称轴为直线x==.
当x≤-2时,函数f(x)单调递减,此时 f(x)≥f(-2)=10;
当x≥2时,函数f(x)单调递增,此时f(x)≥f(2)=-2.
综上所述,函数f(x)在(-∞,-2]∪[2,+∞)上的值域为[-2,+∞).
因此,·的最小值是-2.故选B.第2课时　直线与双曲线的位置关系
【课程标准要求】　1.理解直线与双曲线的位置关系.2.会求解有关弦长的问题.
知识点一　直线与双曲线的位置关系
把直线与双曲线的方程联立成方程组,通过消元后化为ax2+bx+c=0的形式,在a≠0的情况下考察方程的判别式.
(1)当Δ>0时,直线与双曲线有两个不同的公共点.
(2)当Δ=0时,直线与双曲线只有一个切点.
(3)当Δ<0时,直线与双曲线没有公共点.
当a=0时,若直线与双曲线的渐近线平行,则直线与双曲线有一个公共点.
直线与双曲线的关系中:一解不一定相切,相交不一定两解,两解不一定同支.
知识点二　弦长及中点弦
1.直线与双曲线弦长问题
联立方程消元,应用根与系数的关系得交点横(纵)坐标的和与积,代入弦长公式|AB|=·=·
(k≠0)求解.
2.直线与双曲线的中点弦问题
用点差法,设弦端点A(x1,y1),B(x2,y2),代入双曲线方程相减,结合中点坐标得直线斜率,验证中点存在性后得直线方程.注意讨论直线斜率不存在的情况.
基础自测
1.在双曲线-=1的两支上各取一点A,B,则|AB|的最小值为(　　)
[A] 6 [B]9
[C]14 [D]18
【答案】 A
【解析】 由-=1,得a2=9,即a=3,
所以|AB|min=2a=6.故选A.
2.若直线y=kx与双曲线-=1相交,则k的取值范围是　　　　.
【答案】 (-,)
【解析】 联立直线和双曲线的方程得4x2-9k2x2=36,所以(4-9k2)x2=36,
当4-9k2=0,即k=±时,直线和双曲线的渐近线重合,所以直线与双曲线没有公共点.
当4-9k2≠0,即k≠±时,x2=>0,
解得-即k的取值范围是(-,).
3.(人教A版选择性必修第一册P128习题 3.2 T13改编)若双曲线x2-y2=1的弦被点(2,1)平分,则此弦所在的直线方程为　　　　　　　　.
【答案】 2x-y-3=0　
【解析】 令弦所在的直线与双曲线的交点分别为 A(x1,y1),B(x2,y2),显然x1≠x2,
则两式作差,有-=-,
故===2,
所以弦所在的直线的斜率为2,故所求直线方程为 y-1=2(x-2),整理得2x-y-3=0.
题型一　双曲线第二定义及应用
[例1] 双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率为2,P为双曲线上任意一点,则点P到右焦点F2的距离与到直线x=的距离之比为　　　　.
【答案】 2
【解析】 因为离心率e==2,
所以c=2a,b2=c2-a2=3a2,
所以b=a,
所以右焦点F2(2a,0),直线x===.
设点P(x0,y0),则-=1,
即-=1,
所以点P到F2的距离与点P到直线x=的距离之比为=
===2.
(1)双曲线的第二定义:当点M与一个定点的距离和它到一条定直线的距离的比是常数e=(e>1)时,这个点的轨迹是双曲线,其中定直线叫做准线,常数e叫做离心率.
(2)双曲线上任意一点到左焦点的距离与到直线x=-的距离的比或者是到右焦点的距离与到直线x=的距离的比是该双曲线的离心率.
[变式训练] 双曲线-=1上一点P到右焦点的距离为3,则P到直线x=的距离为　　　　.
【答案】
【解析】 由双曲线-=1,
得a2=9,b2=4,
即a=3,b=2,c==,
所以双曲线的离心率e==.
设右焦点为F2,
因为双曲线-=1上一点P到右焦点的距离为3,即|PF2|=3,
所以点P到直线x=的距离为d==.
题型二　直线与双曲线的位置关系
[例2] 已知双曲线x2-y2=4,直线l:y=k(x-1),直线l与双曲线有两个不同的公共点,求满足条件的实数k的取值范围.
【解】 由消去y,
得(1-k2)x2+2k2x-k2-4=0.(*)
当1-k2≠0,即k≠±1时,
Δ=(2k2)2-4(1-k2)(-k2-4)=4(4-3k2).
由得-此时方程(*)有两个不同的实数解,即直线l与双曲线有两个不同的公共点.故满足条件的实数k的取值范围为(-,-1)∪(-1,1)∪(1,).
(1)解决直线与双曲线的公共点问题,不仅要考虑判别式,更要注意二次项系数为0时,直线与渐近线平行或重合的特殊情况.
(2)双曲线与直线只有一个公共点的题目,应分两种情况讨论:直线与双曲线相切或直线与双曲线的渐近线平行.
(3)注意对直线的斜率是否存在进行讨论.
[变式训练] 若过点P(1,1)且斜率为k的直线l与双曲线x2-=1只有一个公共点,求k的值.
【解】 由题意可得l:y=k(x-1)+1,代入双曲线方程得(4-k2)x2-2(k-k2)x-k2+2k-5=0.
当4-k2=0,即k=±2时,直线l与双曲线的渐近线平行,直线与双曲线只有一个公共点;
当4-k2≠0时,由Δ=4(k-k2)2-4(4-k2)·(-k2+2k-5)=0,解得k=.
综上,当k=或k=±2时,直线l与双曲线只有一个公共点.
题型三　弦长公式及中点弦问题
[例3] (1)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0),过点P(3,6)的直线l与C相交于A,B两点,且AB的中点为N(12,15),则双曲线C的离心率为(　　)
[A] 2 [B]
[C] [D]
(2)斜率为2的直线l在双曲线-=1上截得的弦长为,则l的方程为　　　　　　　.
【答案】 (1)B　(2)y=2x±　
【解析】 (1)设A(x1,y1),B(x2,y2),由AB的中点为 N(12,15),得x1+x2=24,y1+y2=30.
由两式相减,得
=,
则==.
因为直线AB的斜率k==1,
所以=1,则=,
双曲线的离心率e===,
所以双曲线C的离心率为.故选B.
(2)设直线l的方程为y=2x+m,
由
得10x2+12mx+3(m2+2)=0.(*)
设直线l与双曲线交于A(x1,y1),B(x2,y2)两点,由根与系数的关系,
得x1+x2=-,x1x2=,
所以|AB|2=(x1-x2)2+(y1-y2)2=5(x1-x2)2=5[(x1+x2)2-4x1x2]=
5[-4×].
由|AB|=,得5[-4×]=6,
解得m=±,
由(*)式,得Δ=24m2-240,
把m=±代入上式,得Δ>0,
所以m的值为±,
所以所求直线l的方程为y=2x±.
双曲线中有关弦长问题的解决方法与椭圆中类似.中点弦问题常用判别式法和点差法,注意所求参数的取值范围.
[变式训练] 已知双曲线C:x2-y2=2,过右焦点的直线交双曲线于A,B两点,若A,B中点的横坐标为4,求弦AB的长.
【解】 由双曲线C:-=1,得c2=4,所以右焦点F(2,0).
根据题意得过F的直线斜率存在,
设为y=k(x-2),A(xA,yA),B(xB,yB),
由
化简,得(1-k2)x2+4k2x-4k2-2=0,
所以xA+xB=,xAxB=.
因为A,B中点横坐标为4,
所以xA+xB==8,
解得k2=2.
所以xAxB==10.
所以(xA-xB)2=(xA+xB)2-4xAxB=82-4×10=24.
所以|AB|===6.
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.“直线与双曲线有唯一公共点”是“直线与双曲线相切”的(　　)
[A] 充分不必要条件
[B]必要不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分也不必要条件
【答案】 B
【解析】 当直线与双曲线有唯一公共点时,直线与双曲线不一定相切(当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交);当直线与双曲线相切时,直线与双曲线一定有唯一公共点.故选B.
2.已知等轴双曲线的中心在原点,焦点在 x轴上,与直线y=x交于A,B两点,若 |AB|=2,则该双曲线的方程为(　　)
[A] x2-y2=6 [B]x2-y2=9
[C]x2-y2=16 [D]x2-y2=25
【答案】 B
【解析】 设等轴双曲线的方程为x2-y2=a2(a>0),与y=x联立,得x2=a2,
所以|AB|=×a=2,
所以a=3.
故选B.
3.已知双曲线C:-=1(a>0),过左焦点F的直线l与双曲线交于A,B两点.若存在4条直线l满足|AB|=8,则实数a的取值范围是(　　)
[A] (1,16) [B](1,8)
[C](1,4) [D](1,2)
【答案】 C
【解析】 由题意,若A,B在同一支上,则|AB|min=;若A,B分别在两支上,则有|AB|min=2a.
因为存在4条直线l满足|AB|=8,所以<8,且2a<8,解得a∈(1,4).故选C.
4.已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)与直线 y=2x+1相交于A,B两点,若弦AB的中点M的横坐标为1,则双曲线C的渐近线方程为(　　)
[A] y=±x [B]y=±6x
[C]y=±x [D]y=±x
【答案】 A
【解析】 将直线方程代入双曲线方程有-=1,则(4a2-b2)x2+4a2x+a2+a2b2=0,
由题意知xA+xB==2,故=,则渐近线方程为y=±x.故选A.
5.(多选题)已知直线l:y=k(x+),双曲线C:x2-y2=1,则(　　)
[A] 当k=1时,l与C只有一个公共点
[B]当k=-1时,l与C只有一个公共点
[C]当k=时,l与C的左支有两个公共点
[D]当k=2时,l与C的左支有两个公共点
【答案】 ABD
【解析】 由题意知直线l:y=k(x+)过定点(-,0),即双曲线的左焦点.
当k=±1时,l与C的渐近线平行,l与C只有一个公共点;
当k=时,l与C的左支和右支各有一个公共点;
当k=2时,l与C的左支有两个公共点.
故选ABD.
6.(多选题)已知双曲线C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,且其右顶点为A(2,0),左、右焦点分别为F1,F2,点P在双曲线C上,则下列结论正确的是(　　)
[A] 双曲线C的方程为-=1
[B]点A到双曲线C的渐近线的距离为
[C]若|PF1|=6,则|PF2|=2
[D]若·=0,则△PF1A的外接圆半径为
【答案】 ABD
【解析】 因为双曲线的离心率为,右顶点为 A(2,0),所以解得
所以b==,故双曲线C的方程为 -=1,故A正确;
由A可知双曲线的渐近线方程为y=±x,故点A到双曲线C的渐近线的距离为=,故B正确;
由双曲线的定义知||PF1|-|PF2||=2a=4,
因为|PF1|=6,且c-a=1,
所以|PF2|=2或|PF2|=10,故C错误;
因为·=0,
所以⊥,
即∠APF1=,所以Rt△PF1A的外接圆半径为 =,故D正确.
故选ABD.
7.(5分)在平面直角坐标系xOy中,已知双曲线 -=1上一点M的横坐标是3,则点M到此双曲线的右焦点的距离为　　　　.
【答案】 4　
【解析】 由题意知e===2,右准线方程为x===1,点M到右准线的距离为3-1=2,故点M到右焦点的距离d=2×2=4.
8.(5分)已知双曲线-=1上的点P到点(5,0)的距离为10,则点P到直线x=的距离为　　　　.
【答案】 8　
【解析】 在双曲线-=1中,a=4,b=3,c==5,离心率e==,
右焦点为(5,0),右准线方程为x==.
因为点P到点(5,0)的距离为10,
双曲线上的点到焦点的距离与到相应准线的距离的比等于离心率,
所以点P到直线x=的距离为=10×=8.
9.(12分)已知直线l:x-y+m=0与双曲线x2-=1交于不同的两点A,B,若线段AB的中点在圆x2+y2=5上,求m的值.
【解】 设点A(x1,y1),B(x2,y2),线段AB的中点 M(x0,y0).
由得x2-2mx-m2-2=0(判别式Δ>0).
因为x1+x2=2m,
所以x0==m,y0=x0+m=2m.
因为点M(x0,y0)在圆x2+y2=5上,
所以m2+(2m)2=5,故m=±1.
10.(14分)双曲线的两条渐近线的方程为 y=±x,且经过点(3,-2).
(1)求双曲线的标准方程;
(2)过右焦点F,且倾斜角为60°的直线交双曲线于A,B两点,求|AB|.
【解】 (1)因为双曲线的两条渐近线方程为y=±x,
所以可设双曲线的方程为2x2-y2=λ(λ≠0).
又因为双曲线经过点(3,-2),代入方程可得 λ=6,
所以所求双曲线的标准方程为-=1.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),由题意得过点F,且倾斜角为60°的直线方程为y=(x-3).
由
得x2-18x+33=0,
由根与系数的关系,得x1+x2=18,x1x2=33,
则弦长|AB|=|x1-x2|=2
=16.
11.若F(c,0)是双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点,过F作双曲线的一条渐近线的垂线与两条渐近线交于A,B两点(A为垂足,F在线段AB上),且满足|BF|=8|AF|,则该双曲线的离心率e等于(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 D
【解析】 由题意知双曲线的渐近线方程为y=±x,
设过点F(c,0)与渐近线垂直的方程为y=-(x-c).
由得xA=.
由得xB=.
因为|BF|=8|AF|,
所以=8,
则c-xB=8(xA-c).
所以c-=8(-c),
化简得9c4-25a2c2+16a4=0,
即9e4-25e2+16=0,
解得e2=1(舍去)或e2=,则e=(负值已舍去).故选D.
12.(5分)若双曲线-=1(a>0,b>0)与直线 y=3x无交点,则离心率e的取值范围是　　　　.
【答案】 (1,]　
【解析】 因为双曲线-=1(a>0,b>0)与直线y=3x无公共点,
所以双曲线的渐近线y=x的斜率≤3,即b≤3a,
即b2≤9a2,即c2-a2≤9a2,即c2≤10a2,则c≤a,则e≤.
又e>1,所以离心率满足1即双曲线离心率的取值范围是(1,].
13.(17分)已知双曲线的方程为x2-=1,是否存在被点B(1,1)平分的弦 如果存在,求出弦所在的直线方程;如果不存在,请说明理由.
【解】 不存在.理由如下:
由题意知直线的斜率存在,设被点B(1,1)平分的弦所在的直线方程为y=k(x-1)+1,
代入双曲线方程x2-=1,得
(k2-2)x2-2k(k-1)x+k2-2k+3=0,
所以k2-2≠0,
且Δ=[-2k(k-1)]2-4(k2-2)(k2-2k+3)>0,
解得k<,且k≠±.
设直线与双曲线的两个交点坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则x1+x2=.
因为B(1,1)是弦的中点,
所以=1,
所以k=2.
因为2>,
所以不存在被点B(1,1)平分的弦.
14.(5分)已知点A(3,1),双曲线x2-=1,F为双曲线的右焦点,P是双曲线右支上的动点,则 2|PA|+|PF|的最小值为　　　　,此时点P的坐标为　　　　　　　　.
【答案】 5　(,1)
【解析】 由已知得双曲线的离心率e==2,双曲线右准线的方程为x==,所以点P到右准线的距离 d=|PF|,从而2|PA|+|PF|=2(|PA|+d),|PA|+d的最小值为点A到右准线的距离,即3-=,所以 2|PA|+|PF|的最小值为5,将y=1代入双曲线方程,得此时点P坐标为(,1).(共37张PPT)
3.2.2　双曲线的简单几何性质
第1课时　双曲线的简单几何性质
1.掌握双曲线的简单几何性质.2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　双曲线的几何性质
焦点 F1 , F2 F1 ,
F2
焦距 |F1F2|= 范围 x≤-a,或 x≥a;y∈R y≤-a,或
y≥a;x∈R
对称性 对称轴: ,对称中心: (-c,0)
(c,0)
(0,-c)
(0,c)
2c
坐标轴
原点
(-a,0)
(0,-a)
(a,0)
(0,a)
A1A2
2a
B1B2
2b
a
b
(1,+∞)
知识点二　等轴双曲线
等长
y=±x
『知识拓展』
(1)双曲线的离心率刻画了双曲线的“张口”大小,e越大,开口越大.
(2)求渐近线方程要注意双曲线的开口方向,准确辨析a,b的位置和符号.
(3)焦点到渐近线的距离为b.
基础自测
C
ABD
3.(苏教版选择性必修第一册P99练习T2改编)中心在原点,实轴长为10,虚轴长为6的双曲线的标准方程是　　 　　.
关键能力·素养培优
题型一　由双曲线的标准方程研究几何性质
·解题策略·
由双曲线的方程研究几何性质
(1)把双曲线方程化为标准形式是解决此类题的关键.
(2)由标准方程确定焦点位置,确定a,b的值.
(3)由c2=a2+b2求出c的值,从而写出双曲线的几何性质.
[变式训练] 求双曲线nx2-my2=mn(m>0,n>0)的实半轴长、虚半轴长、焦点坐标、离心率、顶点坐标和渐近线方程.
题型二　由双曲线的几何性质求标准方程
·解题策略·
巧设双曲线方程的技巧
渐近线方程为ax±by=0的双曲线方程可设为a2x2-b2y2=λ(λ≠0).
题型三　双曲线的离心率
A
·解题策略·
求双曲线离心率的两种方法
培优拓展6　等轴双曲线与共轭双曲线
1.等轴双曲线的性质
(1)方程形式为x2-y2=λ(λ≠0),当λ>0时,焦点在x轴上;当λ<0时,焦点在y轴上.当不确定焦点所在坐标轴时,千万注意不要设成x2-y2=a2.
(2)渐近线方程为y=±x,它们互相垂直,并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角.
2.共轭双曲线
(1)定义:以已知双曲线的虚轴为实轴、实轴为虚轴的双曲线与原双曲线是一对共轭双曲线.
(2)性质:
①一对共轭双曲线有相同的渐近线;
②一对共轭双曲线有相同的焦距;
③共轭双曲线的渐近线与直线x=±a及 y=±b的四个交点,以及两双曲线的四个焦点,八点共圆,圆心为坐标原点,半径为c(半焦距);
【题型演绎】
一、等轴双曲线
[典例1] 中心在原点,焦点在x轴上,且一个焦点在直线3x-4y+12=0上的等轴双曲线的方程是(　 　)
[A] x2-y2=8 [B]x2-y2=4
[C]y2-x2=8 [D]y2-x2=4
A
二、共轭双曲线
D
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