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3.3　抛物线
3.3.1　抛物线及其标准方程
1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握抛物线焦点、准线及抛物线方程中参数p的几何意义.3.会求简单的抛物线方程,并能应用它解决有关问题.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的 的点的轨迹叫做抛物线. 叫做抛物线的焦点, 叫做抛物线的准线.
距离相等
点F
直线l
(1)“一动三定”:一动点M;一定点F(即焦点),一定直线l(即准线),一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1).
(2)若点F在直线l上,则点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线.
·温馨提示·
知识点二　抛物线标准方程的几种形式
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2=-2px (p>0)
y2=2px
(p>0)
x2=-2py (p>0)
x2=2py
(p>0)
(1)“p”是抛物线的焦点到准线的距离.
(2)抛物线的焦点所在轴(x轴、y轴)由标准方程中的一次项来确定,图象的开口方向(向左、向右、向上、向下)由一次项系数的符号来确定,可简记为“焦点位置要看一次项,符号决定开口方向”.
·疑难解惑·
基础自测
1.抛物线x2=4y的焦点坐标是(　　)
[A] (-1,0) [B](1,0)
[C](0,-1) [D](0,1)
D
【解析】 x2=4y的焦点坐标是(0,1).故选D.
2.(人教A版选择性必修第一册P133练习T2改编)抛物线y2=-8x的准线方程为(　　)
[A] y=-2 [B]x=-4
[C]x=2 [D]x=-2
【解析】 因为抛物线y2=-8x的焦点坐标为(-2,0),所以其准线方程为x=2.
故选C.
C
3.已知抛物线C关于x轴对称,且焦点在直线3x+2y-6=0上,则抛物线C的标准方程为(　　)
[A] y2=-4x [B]y2=4x
[C]y2=-8x [D]y2=8x
D
4.已知抛物线E:y2=2px(p>0)上一点P到E的焦点F的距离比P到y轴的距离大4,则 p=　　　　.
8
关键能力·素养培优
题型一　求抛物线标准方程
[例1] 根据下列条件写出抛物线的标准方程:
(1)经过点(-3,-5);
(2)焦点在x轴的负半轴上,且焦点到准线的距离是6.
【解】(2)由焦点到准线的距离为6,知p=6.
又焦点在x轴的负半轴上,所以抛物线的标准方程为 y2=-12x.
·解题策略·
用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
提醒:当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0),这样可以减少讨论情况的个数.
B
(2)已知抛物线C的焦点F关于其准线的对称点为(0,-6),则抛物线C的标准方程为　　　　.
x2=8y
题型二　抛物线定义的应用
B
·解题策略·
抛物线定义的两种应用
(1)实现距离转化.根据抛物线的定义,抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离,因此,由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化,从而简化某些问题.
(2)解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时,往往用抛物线的定义进行转化,即化折线为直线解决最值问题.
[变式训练] 已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又点A(3,2),求 |PA|+|PF|的最小值,并求此时点P的坐标.
题型三　抛物线的实际应用问题
[例3] (苏教版选择性必修第一册P112例3)已知探照灯的轴截面是抛物线y2=x(如图),平行于x轴的光线照射到抛物线上的点P(1,-1),反射光线经过抛物线的焦点后又照射到抛物线上的Q点.试确定点Q的坐标.
·解题策略·
求解抛物线实际应用题的步骤
[变式训练] 如图是抛物线形拱桥,设水面宽 |AB|=18 m,拱顶距离水面8 m,一货船在水面上的部分的横截面为一矩形CDEF.若|CD|=9 m,那么|DE|不超过多少m才能使货船通过拱桥
感谢观看3.3.1　抛物线及其标准方程
【课程标准要求】　1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握抛物线焦点、准线及抛物线方程中参数p的几何意义.3.会求简单的抛物线方程,并能应用它解决有关问题.
知识点一　抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.
(1)“一动三定”:一动点M;一定点F(即焦点),一定直线l(即准线),一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1).
(2)若点F在直线l上,则点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线.
知识点二　抛物线标准方程的几种形式
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2=2px (p>0) (,0) x=-
y2=-2px (p>0) (-,0) x=
x2=2py (p>0) (0,) y=-
x2=-2py (p>0) (0,-) y=
(1)“p”是抛物线的焦点到准线的距离.
(2)抛物线的焦点所在轴(x轴、y轴)由标准方程中的一次项来确定,图象的开口方向(向左、向右、向上、向下)由一次项系数的符号来确定,可简记为“焦点位置要看一次项,符号决定开口方向”.
基础自测
1.抛物线x2=4y的焦点坐标是(　　)
[A] (-1,0) [B](1,0)
[C](0,-1) [D](0,1)
2.(人教A版选择性必修第一册P133练习T2改编)抛物线y2=-8x的准线方程为(　　)
[A] y=-2 [B]x=-4
[C]x=2 [D]x=-2
故选C.
3.已知抛物线C关于x轴对称,且焦点在直线3x+2y-6=0上,则抛物线C的标准方程为(　　)
[A] y2=-4x [B]y2=4x
[C]y2=-8x [D]y2=8x
4.已知抛物线E:y2=2px(p>0)上一点P到E的焦点F的距离比P到y轴的距离大4,则 p=　　　　.
题型一　求抛物线标准方程
[例1] 根据下列条件写出抛物线的标准方程:
(1)经过点(-3,-5);
(2)焦点在x轴的负半轴上,且焦点到准线的距离是6.
当抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0)时,将点(-3,-5)代入,得p=,即所求抛物线的标准方程为 x2=-y.
综上,抛物线的标准方程为y2=-x或x2=-y.
(2)由焦点到准线的距离为6,知p=6.
又焦点在x轴的负半轴上,所以抛物线的标准方程为 y2=-12x.
用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
提醒:当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0),这样可以减少讨论情况的个数.
[变式训练] (1)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F与椭圆E:+=1的一个焦点重合,则抛物线的标准方程为(　　)
[A] y2=2x [B]y2=4x
[C]y2=8x [D]y2=16x
(2)已知抛物线C的焦点F关于其准线的对称点为(0,-6),则抛物线C的标准方程为　　　　.
则c==1,
所以椭圆E:+=1的焦点坐标为(-1,0)和(1,0).
因为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F与椭圆E:+=1的一个焦点重合,
抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的坐标为(,0),
所以=1,
解得p=2,
所以抛物线的标准方程为y2=4x.
故选B.
(2)根据题意可知抛物线C的焦点在y轴的正半轴上,
不妨设抛物线C的标准方程为x2=2py,p>0,可知焦点坐标为(0,),准线方程为y=-.
由焦点F关于其准线的对称点为(0,-6)可知-6+=-×2,
解得p=4,
所以抛物线C的标准方程为x2=8y.
题型二　抛物线定义的应用
[例2] 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P(4,-4)为C上一点,则|PF|等于(　　)
[A] [B]5
[C]6 [D]4
故选B.
抛物线定义的两种应用
(1)实现距离转化.根据抛物线的定义,抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离,因此,由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化,从而简化某些问题.
(2)解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时,往往用抛物线的定义进行转化,即化折线为直线解决最值问题.
[变式训练] 已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又点A(3,2),求 |PA|+|PF|的最小值,并求此时点P的坐标.
因为>2,所以点A在抛物线内部,如图所示.
由题知准线l:x=-,设抛物线上点P到准线l的距离为d,
由定义知
|PA|+|PF|=|PA|+d.
由图可知,当PA⊥l时,|PA|+d最小,最小值为,
即|PA|+|PF|的最小值为,
此时点P纵坐标为2,代入y2=2x,解得x=2.
所以此时点P的坐标为(2,2).
题型三　抛物线的实际应用问题
[例3] (苏教版选择性必修第一册P112例3)已知探照灯的轴截面是抛物线y2=x(如图),平行于x轴的光线照射到抛物线上的点P(1,-1),反射光线经过抛物线的焦点后又照射到抛物线上的Q点.试确定点Q的坐标.
由于Q(x,y)是抛物线与直线PF的公共点,解方程组得或(舍去).故点Q的坐标为(,).
求解抛物线实际应用题的步骤
[变式训练] 如图是抛物线形拱桥,设水面宽 |AB|=18 m,拱顶距离水面8 m,一货船在水面上的部分的横截面为一矩形CDEF.若|CD|=9 m,那么|DE|不超过多少m才能使货船通过拱桥
则B(9,-8).设抛物线方程为 x2=-2py(p>0).
因为点B在抛物线上,
所以81=-2p·(-8),所以p=,
所以抛物线的方程为x2=-y.
当x=时,y=-2,即|DE|=8-2=6(m).
所以|DE|不超过6 m才能使货船通过拱桥.
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.若抛物线x2=2py(p>0)的焦点到直线x+y+2=0的距离为2,则p等于(　　)
[A] 2 [B]4
[C]4 [D]12
所以焦点到直线x+y+2=0的距离d==2,解得p=4或p=-12(舍去),
所以p=4.故选B.
2.若抛物线y=x2的准线方程是y=1,则实数a的值是(　　)
[A] -4 [B]4
[C]- [D]
因为抛物线y=x2的准线方程是y=1,所以-=1,解得a=-4.故选A.
3.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上,若点M到直线x=-3的距离为5,则|MF|等于(　　)
[A] 3 [B]4
[C]5 [D]6
4.图①为一种卫星接收天线,其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分,已知该卫星接收天线的口径 |AB|=6,深度|MO|=1,信号处理中心F位于焦点处,以顶点O为坐标原点,建立如图②所示的平面直角坐标系xOy,则焦点F的坐标为(　　)
[A] (,0) [B](,0)
[C](,0) [D](,0)
5.(多选题)对标准形式的抛物线给出下列条件,其中满足抛物线y2=10x的有(　　)
[A] 焦点在y轴上
[B]焦点在x轴上
[C]抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6
[D]由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐标为(2,1)
对于C,设M(1,y0)是抛物线y2=10x上一点,F为焦点,
则|MF|=1+=1+=≠6,所以C不满足;
对于D,由于抛物线y2=10x的焦点坐标为F(,0),若由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足为(2,1),设过该焦点的直线方程为y=k(x-),则k=-2,此时该直线存在,所以D满足.故选BD.
6.(多选题)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,O为坐标原点,点M(x0,y0)在抛物线C上,若 |MF|=5,则(　　)
[A] F的坐标为(1,0) [B]y0=4
[C]|OM|=2 [D]S△OFM=2
则焦点F的坐标为(0,1),所以A错误;
由抛物线的定义,得|MF|=y0+1=5,解得y0=4,所以B正确;
由y0=4可得=16,所以x0=±4,则|OM|==4,所以C错误;
因为S△OFM=|OF|·|x0|=2,所以D正确.故选BD.
7.(5分)已知点(1,2)在抛物线C:y=ax2上,则抛物线C的准线方程为　　　　.
所以a=2.所以抛物线的方程为y=2x2,
即x2=y.
所以2p=,则p=.所以抛物线C的准线方程为y=-=-.
8.(5分)已知抛物线x2=2py(p>0)上一点M(m,1)到焦点的距离为,则其焦点坐标为　　　　.
9.(13分)根据下列条件写出抛物线的标准方程:
(1)准线方程是4y+1=0;
(2)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点;
(3)抛物线的焦点F在x轴上,直线y=-3与抛物线交于点A,|AF|=5.
得p=,所以抛物线方程是x2=y.
(2)由双曲线方程-=1,
得左顶点为(-3,0),
所以抛物线的焦点坐标为(-3,0),抛物线的开口向左,=3,p=6,
所以抛物线方程是y2=-12x.
(3)设抛物线方程为y2=2px(p>0),
当y=-3时,x=,
|AF|=+=5,即p2-10p+9=0,
解得 p=1或p=9,
抛物线方程为y2=2x或y2=18x;
设抛物线方程为y2=-2px(p>0),
当y=-3时,x=-,
|AF|=+=5,解得p=1或p=9,
抛物线方程为y2=-2x或y2=-18x.
综上可知,抛物线方程为y2=±2x或y2=±18x.
10.(15分)已知抛物线C:y=x2,焦点为F.
(1)求F的坐标及抛物线C的准线方程;
(2)已知点P是抛物线C上的一个动点,定点 A(1,2),则当点P在抛物线C上移动时,求 |PA|+|PF|的最小值.
其焦点坐标为(0,1),准线方程为y=-1.
(2)由抛物线的定义知,点P到焦点F的距离即为点P到准线的距离,如图,
|PA|+|PF|为点P到定点A(1,2)的距离与点P到准线的距离之和,
要使得|PA|+|PF|最小,
则点P,A在一条垂直于准线的直线上,
故最小值即为点A(1,2)到准线y=-1的距离,
所以|PA|+|PF|的最小值为3.
11.已知抛物线x2=4y的焦点为F,点P为抛物线上动点,点Q为圆(x-1)2+(y-4)2=1上动点,则|PQ|+|PF|的最小值为(　　)
[A] 5 [B]4 [C]3 [D]2
半径r=1,
过点P作PM垂直于抛物线的准线于点M,如图.
由抛物线的定义知,|PF|=|PM|,
所以|PQ|+|PF|=|PQ|+|PM|≥|MQ|≥|CM|-r,当且仅当C,Q,P,M四点共线时,等号成立,
而|CM|=4+=4+=5,
所以|PQ|+|PF|≥|CM|-r=5-1=4,
即|PQ|+|PF|的最小值为4.
故选B.
12.设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点.若++=0,则||+||+||等于(　　)
[A] 9 [B]6
[C]4 [D]3
因为p=2,F(1,0),所以=(x1-1,y1),
=(x2-1,y2),=(x3-1,y3).
因为++=0,所以x1-1+x2-1+x3-1=0,所以x1+x2+x3=3.
由抛物线的定义可得,||=x1+,||=x2+,||=x3+,
所以||+||+||=x1+x2+x3+=3+3=6.故选B.
13.(15分)如图,花坛水池中央有一喷泉,水管 O′P=1 m,水从喷头P喷出后呈抛物线状,先向上至最高点后落下.若最高点距水面2 m,P距抛物线的对称轴1 m,则水池的直径至少应设计多长(精确到整数,参考数据:≈1.4)
设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),则P(-1,-1),代入方程得p=,
所以抛物线的方程为x2=-y.又B(x,-2),
令y=-2,则x=±,故|O′B|=+1,
所以根据对称性知,水池直径为2(+1)m,约为5 m.
14.古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥,将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线.如图所示的圆锥中,AB为底面圆的直径,M为PB的中点,某同学用平行于母线PA且过点M的平面去截圆锥,所得截口曲线为抛物线.若该圆锥的高 |PO|=2,底面半径|OA|=2,则该抛物线焦点到准线的距离为(　　)
[A] 2 [B] [C]2 [D]4
所以AP∥OM,
|OM|=|AP|=,
因为截圆锥的平面平行于母线PA,且过母线PB的中点M,所以点O也在截面上,根据对称性可知抛物线的对称轴为OM,焦点在OM上.以M为原点,OM所在直线为x轴,过点M,且垂直于OM的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
设抛物线与底面交点为E,
则xE=|OM|=,yE=|OA|=2,
设抛物线的方程为y2=2px(p>0),
则4=2p·,解得p=,
即该抛物线焦点(,0)到准线x=-的距离为p,即为.故选B.3.3.1　抛物线及其标准方程
【课程标准要求】　1.了解抛物线的定义、几何图形和标准方程.2.掌握抛物线焦点、准线及抛物线方程中参数p的几何意义.3.会求简单的抛物线方程,并能应用它解决有关问题.
知识点一　抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.
(1)“一动三定”:一动点M;一定点F(即焦点),一定直线l(即准线),一定值1(即动点M到定点F的距离与到定直线l的距离之比为1).
(2)若点F在直线l上,则点的轨迹是过点F且垂直于直线l的直线.
知识点二　抛物线标准方程的几种形式
图形 标准方程 焦点坐标 准线方程
y2=2px (p>0) (,0) x=-
y2=-2px (p>0) (-,0) x=
x2=2py (p>0) (0,) y=-
x2=-2py (p>0) (0,-) y=
(1)“p”是抛物线的焦点到准线的距离.
(2)抛物线的焦点所在轴(x轴、y轴)由标准方程中的一次项来确定,图象的开口方向(向左、向右、向上、向下)由一次项系数的符号来确定,可简记为“焦点位置要看一次项,符号决定开口方向”.
基础自测
1.抛物线x2=4y的焦点坐标是(　　)
[A] (-1,0) [B](1,0)
[C](0,-1) [D](0,1)
【答案】 D
【解析】 x2=4y的焦点坐标是(0,1).故选D.
2.(人教A版选择性必修第一册P133练习T2改编)抛物线y2=-8x的准线方程为(　　)
[A] y=-2 [B]x=-4
[C]x=2 [D]x=-2
【答案】 C
【解析】 因为抛物线y2=-8x的焦点坐标为(-2,0),所以其准线方程为x=2.
故选C.
3.已知抛物线C关于x轴对称,且焦点在直线3x+2y-6=0上,则抛物线C的标准方程为(　　)
[A] y2=-4x [B]y2=4x
[C]y2=-8x [D]y2=8x
【答案】 D
【解析】 因为直线3x+2y-6=0与x轴的交点为(2,0),所以抛物线C的焦点坐标为(2,0),故=2,解得p=4.所以抛物线的标准方程为y2=8x.故选D.
4.已知抛物线E:y2=2px(p>0)上一点P到E的焦点F的距离比P到y轴的距离大4,则 p=　　　　.
【答案】 8
【解析】 因为点P到E的焦点F的距离比到 y轴的距离大4,所以点P到准线的距离比到 y轴的距离大4,即 =4,即p=8.
题型一　求抛物线标准方程
[例1] 根据下列条件写出抛物线的标准方程:
(1)经过点(-3,-5);
(2)焦点在x轴的负半轴上,且焦点到准线的距离是6.
【解】 (1)当抛物线的标准方程为y2=-2px(p>0)时,将点(-3,-5)代入,得p=,即所求抛物线的标准方程为y2=-x;
当抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0)时,将点(-3,-5)代入,得p=,即所求抛物线的标准方程为 x2=-y.
综上,抛物线的标准方程为y2=-x或x2=-y.
(2)由焦点到准线的距离为6,知p=6.
又焦点在x轴的负半轴上,所以抛物线的标准方程为 y2=-12x.
用待定系数法求抛物线标准方程的步骤
提醒:当抛物线的类型没有确定时,可设方程为y2=mx(m≠0)或x2=ny(n≠0),这样可以减少讨论情况的个数.
[变式训练] (1)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F与椭圆E:+=1的一个焦点重合,则抛物线的标准方程为(　　)
[A] y2=2x [B]y2=4x
[C]y2=8x [D]y2=16x
(2)已知抛物线C的焦点F关于其准线的对称点为(0,-6),则抛物线C的标准方程为　　　　.
【答案】 (1)B　(2)x2=8y
【解析】 (1)对于椭圆E,a=2,b=,
则c==1,
所以椭圆E:+=1的焦点坐标为(-1,0)和(1,0).
因为抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F与椭圆E:+=1的一个焦点重合,
抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的坐标为(,0),
所以=1,
解得p=2,
所以抛物线的标准方程为y2=4x.
故选B.
(2)根据题意可知抛物线C的焦点在y轴的正半轴上,
不妨设抛物线C的标准方程为x2=2py,p>0,可知焦点坐标为(0,),准线方程为y=-.
由焦点F关于其准线的对称点为(0,-6)可知-6+=-×2,
解得p=4,
所以抛物线C的标准方程为x2=8y.
题型二　抛物线定义的应用
[例2] 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,P(4,-4)为C上一点,则|PF|等于(　　)
[A] [B]5
[C]6 [D]4
【答案】 B
【解析】 将P(4,-4)代入C,解得p=2.由抛物线的定义可知|PF|=4+=5.
故选B.
抛物线定义的两种应用
(1)实现距离转化.根据抛物线的定义,抛物线上任意一点到焦点的距离等于它到准线的距离,因此,由抛物线定义可以实现点点距与点线距的相互转化,从而简化某些问题.
(2)解决最值问题.在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时,往往用抛物线的定义进行转化,即化折线为直线解决最值问题.
[变式训练] 已知抛物线y2=2x的焦点是F,点P是抛物线上的动点,又点A(3,2),求 |PA|+|PF|的最小值,并求此时点P的坐标.
【解】 将x=3代入抛物线方程y2=2x,得y=±.
因为>2,所以点A在抛物线内部,如图所示.
由题知准线l:x=-,设抛物线上点P到准线l的距离为d,
由定义知
|PA|+|PF|=|PA|+d.
由图可知,当PA⊥l时,|PA|+d最小,最小值为,
即|PA|+|PF|的最小值为,
此时点P纵坐标为2,代入y2=2x,解得x=2.
所以此时点P的坐标为(2,2).
题型三　抛物线的实际应用问题
[例3] (苏教版选择性必修第一册P112例3)已知探照灯的轴截面是抛物线y2=x(如图),平行于x轴的光线照射到抛物线上的点P(1,-1),反射光线经过抛物线的焦点后又照射到抛物线上的Q点.试确定点Q的坐标.
【解】 因为抛物线y2=x的焦点为F(,0),所以直线PF的方程为y=-(x-).
由于Q(x,y)是抛物线与直线PF的公共点,解方程组得或(舍去).故点Q的坐标为(,).
求解抛物线实际应用题的步骤
[变式训练] 如图是抛物线形拱桥,设水面宽 |AB|=18 m,拱顶距离水面8 m,一货船在水面上的部分的横截面为一矩形CDEF.若|CD|=9 m,那么|DE|不超过多少m才能使货船通过拱桥
【解】 如图,以O为坐标原点,过点O且平行于AB的直线为 x轴,线段AB的垂直平分线为 y轴,建立平面直角坐标系,
则B(9,-8).设抛物线方程为 x2=-2py(p>0).
因为点B在抛物线上,
所以81=-2p·(-8),所以p=,
所以抛物线的方程为x2=-y.
当x=时,y=-2,即|DE|=8-2=6(m).
所以|DE|不超过6 m才能使货船通过拱桥.
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.若抛物线x2=2py(p>0)的焦点到直线x+y+2=0的距离为2,则p等于(　　)
[A] 2 [B]4
[C]4 [D]12
【答案】 B
【解析】 由题意得,抛物线的焦点坐标为(0,),
所以焦点到直线x+y+2=0的距离d==2,解得p=4或p=-12(舍去),
所以p=4.故选B.
2.若抛物线y=x2的准线方程是y=1,则实数a的值是(　　)
[A] -4 [B]4
[C]- [D]
【答案】 A
【解析】 因为抛物线的标准方程为x2=ay,所以其准线方程为y=-.
因为抛物线y=x2的准线方程是y=1,所以-=1,解得a=-4.故选A.
3.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,点M在C上,若点M到直线x=-3的距离为5,则|MF|等于(　　)
[A] 3 [B]4
[C]5 [D]6
【答案】 B
【解析】 因为抛物线C:y2=8x的准线方程为x=-2,且点M到直线x=-3的距离为5,所以点M到准线x=-2的距离为4,则|MF|=4.故选B.
4.图①为一种卫星接收天线,其曲面与轴截面的交线为抛物线的一部分,已知该卫星接收天线的口径 |AB|=6,深度|MO|=1,信号处理中心F位于焦点处,以顶点O为坐标原点,建立如图②所示的平面直角坐标系xOy,则焦点F的坐标为(　　)
[A] (,0) [B](,0)
[C](,0) [D](,0)
【答案】 B
【解析】 由题意,设抛物线方程为y2=2px,且p>0,显然点(1,3)在抛物线上,所以2p=9,则=,故焦点F的坐标为(,0).故选B.
5.(多选题)对标准形式的抛物线给出下列条件,其中满足抛物线y2=10x的有(　　)
[A] 焦点在y轴上
[B]焦点在x轴上
[C]抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6
[D]由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足坐标为(2,1)
【答案】 BD
【解析】 对于A,B,由抛物线y2=10x的焦点坐标为F(,0),位于x轴上,所以A不满足,B满足;
对于C,设M(1,y0)是抛物线y2=10x上一点,F为焦点,
则|MF|=1+=1+=≠6,所以C不满足;
对于D,由于抛物线y2=10x的焦点坐标为F(,0),若由原点向过焦点的某直线作垂线,垂足为(2,1),设过该焦点的直线方程为y=k(x-),则k=-2,此时该直线存在,所以D满足.故选BD.
6.(多选题)已知抛物线C:x2=4y的焦点为F,O为坐标原点,点M(x0,y0)在抛物线C上,若 |MF|=5,则(　　)
[A] F的坐标为(1,0) [B]y0=4
[C]|OM|=2 [D]S△OFM=2
【答案】 BD
【解析】 由抛物线C:x2=4y,得p=2,所以=1,且焦点在y轴正半轴上,
则焦点F的坐标为(0,1),所以A错误;
由抛物线的定义,得|MF|=y0+1=5,解得y0=4,所以B正确;
由y0=4可得=16,所以x0=±4,则|OM|==4,所以C错误;
因为S△OFM=|OF|·|x0|=2,所以D正确.故选BD.
7.(5分)已知点(1,2)在抛物线C:y=ax2上,则抛物线C的准线方程为　　　　.
【答案】 y=-
【解析】 因为点(1,2)在抛物线C:y=ax2上,
所以a=2.所以抛物线的方程为y=2x2,
即x2=y.
所以2p=,则p=.所以抛物线C的准线方程为y=-=-.
8.(5分)已知抛物线x2=2py(p>0)上一点M(m,1)到焦点的距离为,则其焦点坐标为　　　　.
【答案】 (0,)
【解析】 由抛物线x2=2py(p>0),得焦点F(0,),准线l:y=-.由题意可得|MF|=1+=,解得p=1,所以焦点F(0,).
9.(13分)根据下列条件写出抛物线的标准方程:
(1)准线方程是4y+1=0;
(2)抛物线的焦点是双曲线16x2-9y2=144的左顶点;
(3)抛物线的焦点F在x轴上,直线y=-3与抛物线交于点A,|AF|=5.
【解】 (1)因为准线方程为y=-,所以抛物线的开口向上,且=,
得p=,所以抛物线方程是x2=y.
(2)由双曲线方程-=1,
得左顶点为(-3,0),
所以抛物线的焦点坐标为(-3,0),抛物线的开口向左,=3,p=6,
所以抛物线方程是y2=-12x.
(3)设抛物线方程为y2=2px(p>0),
当y=-3时,x=,
|AF|=+=5,即p2-10p+9=0,
解得 p=1或p=9,
抛物线方程为y2=2x或y2=18x;
设抛物线方程为y2=-2px(p>0),
当y=-3时,x=-,
|AF|=+=5,解得p=1或p=9,
抛物线方程为y2=-2x或y2=-18x.
综上可知,抛物线方程为y2=±2x或y2=±18x.
10.(15分)已知抛物线C:y=x2,焦点为F.
(1)求F的坐标及抛物线C的准线方程;
(2)已知点P是抛物线C上的一个动点,定点 A(1,2),则当点P在抛物线C上移动时,求 |PA|+|PF|的最小值.
【解】 (1)将抛物线C:y=x2化为标准方程,得x2=4y,
其焦点坐标为(0,1),准线方程为y=-1.
(2)由抛物线的定义知,点P到焦点F的距离即为点P到准线的距离,如图,
|PA|+|PF|为点P到定点A(1,2)的距离与点P到准线的距离之和,
要使得|PA|+|PF|最小,
则点P,A在一条垂直于准线的直线上,
故最小值即为点A(1,2)到准线y=-1的距离,
所以|PA|+|PF|的最小值为3.
11.已知抛物线x2=4y的焦点为F,点P为抛物线上动点,点Q为圆(x-1)2+(y-4)2=1上动点,则|PQ|+|PF|的最小值为(　　)
[A] 5 [B]4 [C]3 [D]2
【答案】 B
【解析】 设圆(x-1)2+(y-4)2=1的圆心为C(1,4),
半径r=1,
过点P作PM垂直于抛物线的准线于点M,如图.
由抛物线的定义知,|PF|=|PM|,
所以|PQ|+|PF|=|PQ|+|PM|≥|MQ|≥|CM|-r,当且仅当C,Q,P,M四点共线时,等号成立,
而|CM|=4+=4+=5,
所以|PQ|+|PF|≥|CM|-r=5-1=4,
即|PQ|+|PF|的最小值为4.
故选B.
12.设F为抛物线y2=4x的焦点,A,B,C为该抛物线上三点.若++=0,则||+||+||等于(　　)
[A] 9 [B]6
[C]4 [D]3
【答案】 B
【解析】 设点A,B,C的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3).
因为p=2,F(1,0),所以=(x1-1,y1),
=(x2-1,y2),=(x3-1,y3).
因为++=0,所以x1-1+x2-1+x3-1=0,所以x1+x2+x3=3.
由抛物线的定义可得,||=x1+,||=x2+,||=x3+,
所以||+||+||=x1+x2+x3+=3+3=6.故选B.
13.(15分)如图,花坛水池中央有一喷泉,水管 O′P=1 m,水从喷头P喷出后呈抛物线状,先向上至最高点后落下.若最高点距水面2 m,P距抛物线的对称轴1 m,则水池的直径至少应设计多长(精确到整数,参考数据:≈1.4)
【解】 以抛物线的顶点为原点,过顶点与焦点的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
设抛物线的方程为x2=-2py(p>0),则P(-1,-1),代入方程得p=,
所以抛物线的方程为x2=-y.又B(x,-2),
令y=-2,则x=±,故|O′B|=+1,
所以根据对称性知,水池直径为2(+1)m,约为5 m.
14.古希腊的几何学家用一个不过顶点的平面去截一个圆锥,将所截得的不同的截口曲线统称为圆锥曲线.如图所示的圆锥中,AB为底面圆的直径,M为PB的中点,某同学用平行于母线PA且过点M的平面去截圆锥,所得截口曲线为抛物线.若该圆锥的高 |PO|=2,底面半径|OA|=2,则该抛物线焦点到准线的距离为(　　)
[A] 2 [B] [C]2 [D]4
【答案】 B
【解析】 因为M是PB的中点,O是AB的中点,
所以AP∥OM,
|OM|=|AP|=,
因为截圆锥的平面平行于母线PA,且过母线PB的中点M,所以点O也在截面上,根据对称性可知抛物线的对称轴为OM,焦点在OM上.以M为原点,OM所在直线为x轴,过点M,且垂直于OM的直线为y轴,建立如图所示的平面直角坐标系.
设抛物线与底面交点为E,
则xE=|OM|=,yE=|OA|=2,
设抛物线的方程为y2=2px(p>0),
则4=2p·,解得p=,
即该抛物线焦点(,0)到准线x=-的距离为p,即为.故选B.

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