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第2课时　直线与抛物线的位置关系
【课程标准要求】　1.会判断直线与抛物线的位置关系.2.会求解抛物线中的弦长问题.3.会解决直线与抛物线的综合问题.
知识点　直线与抛物线的位置关系
设直线l:y=kx+m,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0.
(1)若k≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个公共点;
当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个切点;
当Δ<0时,直线与抛物线相离,没有公共点.
(2)若k=0,直线与抛物线有一个公共点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.
知识拓展
(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
(2)研究直线与抛物线的位置关系时要注意直线斜率不存在的情况.
基础自测
1.已知直线l与抛物线x2=2py(p>0)只有一个公共点,则直线l与抛物线的位置关系是(　　)
[A] 相交 [B]相切
[C]相离 [D]相交或相切
【答案】 D
【解析】 当直线l与y轴平行或重合时,直线l与抛物线x2=2py(p>0)有一个公共点,此时直线l与抛物线是相交的;当直线l的斜率存在,直线l与抛物线x2=2py(p>0)只有一个公共点时,直线l与抛物线相切.故选D.
2.(人教A版选择性必修第一册P135例4改编)过抛物线C:y2=12x的焦点作直线l交C于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,则|AB|等于(　　)
[A] 16 [B]12 [C]10 [D]8
【答案】 B
【解析】 由题意得p=6,所以|AB|=x1+x2+p=6+6=12.故选B.
3.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,A为C上一点,AF中点的横坐标为2,则|AF|等于(　　)
[A] 3 [B]4
[C]5 [D]6
【答案】 B
【解析】 由题意得F(1,0),准线方程为x=-1.
设A(m,n),则AF中点的横坐标为,
故=2,解得m=3.
由抛物线的定义可知|AF|=3+1=4.故选B.
4.已知抛物线C:y2=2px(p>0)与直线l:x-2y+6=0相切,则p=　　　　.
【答案】 3
【解析】 由方程组
得y2-4py+12p=0.
因为C与l相切,
所以Δ=16p2-48p=0,
解得p=3或p=0(舍去).
题型一　弦长问题
[例1] 设直线y=k(x-2)(k>0)与抛物线 y2=2x相交于A,B两点,若|AB|=2,求k的值.
【解】 设A(x1,y1),B(x2,y2),
将y=k(x-2)代入y2=2x,消去y,
得k2x2-2(2k2+1)x+4k2=0,
Δ=4(2k2+1)2-4k2·4k2=16k2+4>0,
x1+x2==,x1x2=4,
则|AB|=|x1-x2|=·==2,
化简得(1+k2)(16k2+4)=40k4,
解得k2=1(负值已舍去).
又k>0,故k=1.
求弦长问题的方法
(1)一般弦长:|AB|=|x1-x2|或 |AB|=|y1-y2|(k≠0).
(2)焦点弦长:在抛物线y2=2px(p>0)中,设过焦点的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p.
[变式训练] 过抛物线y2=4x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,求弦长|AB|.
【解】 设A(x1,y1),B(x2,y2),易得抛物线的焦点F(1,0),p=2,
所以直线AB的方程是y=x-1.
由消去y,得x2-6x+1=0.
因为Δ>0,
所以x1+x2=6,
所以|AB|=x1+x2+p=6+2=8.
题型二　抛物线的中点弦问题
[例2] 过点Q(4,1)作抛物线y2=8x的弦AB,恰被点Q平分,求AB所在直线的方程.
【解】 设以Q为中点的弦AB的端点坐标为 A(x1,y1),B(x2,y2),
则有=8x1,=8x2,
两式作差得(y1+y2)(y1-y2)=8(x1-x2).
又y1+y2=2,
所以y1-y2=4(x1-x2),
即=4(x1≠x2),
所以kAB=4,
所以AB所在直线的方程为y-1=4(x-4),
即4x-y-15=0.
解决中点弦问题的常用方法
[变式训练] 已知直线l过点M(3,2),且与抛物线 y2=4x交于A,B两点,若M为线段AB的中点,求△AOB的面积.
【解】 设A(x1,y1),B(x2,y2).因为M(3,2)为线段AB的中点,
所以x1+x2=6,y1+y2=4.
由题意,得直线AB的斜率
k====1,
所以直线AB的方程为y-2=x-3,
即y=x-1,它与x轴的交点坐标为C(1,0).
因为+=4(x1+x2)=24,y1+y2=4,
所以|y1-y2|==4.故△AOB的面积为|OC|·|y1-y2|=×1×4=2.
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.直线y=k(x-1)+2与抛物线x2=4y的位置关系为(　　)
[A]相交 [B]相切
[C]相离 [D]不能确定
【答案】 A
【解析】 直线y=k(x-1)+2过定点(1,2),
因为12<4×2,所以(1,2)在抛物线x2=4y内部,
所以直线y=k(x-1)+2与抛物线x2=4y相交.故选A.
2.已知抛物线y2=4x与直线2x+y-4=0交于A,B两点,F是抛物线的焦点,则 |FA|+|FB|等于(　　)
[A] 2 [B]3 [C]5 [D]7
【答案】 D
【解析】 设A(x1,y1),B(x2,y2),由题知p=2,
则|FA|+|FB|=x1+x2+2.
由得x2-5x+4=0,
所以x1+x2=5,
所以|FA|+|FB|=7.故选D.
3.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F作倾斜角为的直线l交抛物线C于M,N两点.若 |MN|=8,则p等于(　　)
[A] 6 [B]3
[C] [D]
【答案】 B
【解析】 由题意得抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F(,0),直线l的方程为y=(x-).
由消去y,得3x2-5px+p2=0,显然Δ=25p2-4×3×p2>0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=p,
|MN|=x1++x2+=p=8,
所以p=3.
故选B.
4.已知A,B是抛物线y2=2x上的两点,且线段AB的中点为(1,1),则直线AB的方程为(　　)
[A] 2x-y-1=0 [B]x+y-1=0
[C]x-y=0 [D]x-2y+1=0
【答案】 C
【解析】 设A(x1,y1),B(x2,y2),
则=2x1,=2x2,
故-=2x1-2x2 =.
由于AB的中点为(1,1),故y1+y2=2,因此kAB===1,
故直线方程为y=x-1+1,即x-y=0,
经检验,直线x-y=0满足条件.故选C.
5.(多选题)已知抛物线y=x2,焦点为F,准线为l,弦PQ过点F,则下列说法正确的是(　　)
[A] 焦点F的坐标为(0,)
[B]准线l的方程为x=-
[C]若P(x0,y0),则|FP|=y0+
[D]弦PQ的长度|PQ|≥1
【答案】 CD
【解析】 由x2=y可得2p=1,故p=,所以焦点坐标为(0,),A错误;
准线l的方程为y=-,B错误;
根据焦半径公式可得若P(x0,y0),
则|FP|=y0+,C正确;
设过点F(0,)的直线方程为y=kx+,与抛物线的方程联立可得x2-kx-=0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则Δ=k2+1>0,x1+x2=k,则y1+y2=k(x1+x2)+=k2+,
故|PQ|=y1+y2+p=k2+1≥1,
故当k=0时,弦PQ最短长度为1,
即|PQ|≥1,故D正确.故选CD.
6.(多选题)已知F是抛物线C:y2=16x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则(　　)
[A] C的准线方程为x=-4
[B]点F的坐标为(0,4)
[C]|FN|=12
[D]三角形ONF的面积为8(O为坐标原点)
【答案】 AC
【解析】 如图,不妨设点M位于第一象限,
设抛物线的准线l与x轴交于点F′,作MB⊥l于点B,
NA⊥l于点A.
由抛物线的解析式可得准线方程为 x=-4,点F的坐标为(4,0),
则|AN|=4,|FF′|=8.
在直角梯形ANFF′中,
中位线|BM|==6,
由抛物线的定义有|MF|=|MB|=6,结合题意,有
|MN|=|MF|=6,
故|FN|=|FM|+|NM|=6+6=12,|ON|==8,S△ONF=×8×4=16.
故选AC.
7.(5分)过点(0,-1)与抛物线y2=x只有一个公共点的直线有　　　　条.
【答案】 3
【解析】 如图,①当斜率不存在时,过点(0,-1)的直线为y轴,显然符合题意.
②当斜率存在时,设直线方程为 y=kx-1.
联立y2=x得k2x2-(2k+1)x+1=0,
当k=0时,解得x=1,此时方程有唯一实数解,符合题意;
当k≠0时,由Δ=(2k+1)2-4k2=0,解得k=-,此时方程有唯一实数解,符合题意.
综上,共有3条直线.
8.(5分)已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点为 F(1,0),直线l与抛物线C相交于A,B两点,若弦AB的中点为(2,2),则抛物线的方程为　　　　,直线l的方程为　　　　　.
【答案】 y2=4x　x-y=0
【解析】 由题意知抛物线的方程为y2=4x,设直线l与抛物线C的交点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),
则有且x1≠x2,
两式相减得-=4(x1-x2).
因为AB的中点为(2,2),所以y1+y2=4.
所以==1.所以直线l的方程为y-2=x-2,即x-y=0.
9.(13分)已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,且 |AB|=4,求p.
【解】 如图,设A(xA,yA),B(xB,yB),
由
得y2-4py+2p=0,
所以yA+yB=4p,yAyB=2p.
又直线x-2y+1=0的斜率为k=,
所以|AB|=·=×=4,
即2p2-p-6=0.因为p>0,解得p=2.
经检验,p=2满足Δ>0,故p=2.
10.(15分)已知y=x+m与抛物线y2=8x交于A,B两点.
(1)若|AB|=10,求实数m的值;
(2)若OA⊥OB(O为坐标原点),求实数m的值.
【解】 由得x2+(2m-8)x+m2=0.
由Δ=(2m-8)2-4m2=64-32m>0,得m<2.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=8-2m,x1x2=m2,
y1y2=m(x1+x2)+x1x2+m2=8m.
(1)因为|AB|==·=10,
所以m=,经检验符合题意.
(2)因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=m2+8m=0,解得m=-8或m=0(舍去).
所以m=-8,经检验符合题意.
11.抛物线y=x2上到直线2x-y=4距离最近的点的坐标是(　　)
[A] (,) [B](1,1)
[C](,) [D](2,4)
【答案】 B
【解析】 设P(x,y)为抛物线y=x2上任一点,
则点P到直线2x-y=4的距离d===,
所以当x=1时,d取最小值,此时点P(1,1).故选B.
12.已知点A,B为抛物线y2=2x上异于原点的两个动点,若|AB|=4,则线段AB中点的横坐标的最小值为(　　)
[A] 1 [B] [C] [D]2
【答案】 B
【解析】 设AB的中点M(x0,y0),抛物线y2=2x的准线为l,
如图,作AE⊥l,MH⊥l,
BG⊥l,垂足分别为E,H,G.
由直角梯形的性质可得|MH|=x0+=(|AE|+|BG|).
取抛物线焦点为F,由抛物线定义可得|AE|+|BG|=|AF|+|BF|≥|AB|=4,
即x0+≥2,x0≥,当且仅当直线AB经过点F时,等号成立,所以线段AB中点的横坐标的最小值为.故选B.
13.(15分)已知直线l经过抛物线y2=8x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点.
(1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值;
(2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离.
【解】 (1)因为直线l的倾斜角为60°,
所以其斜率k=tan 60°=.
又F(2,0),
所以直线l的方程为y=(x-2).
由消去y,得3x2-20x+12=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,
所以|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+p=+4=.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由抛物线定义知|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=x1+x2+4=9,
所以x1+x2=5,于是线段AB的中点M的横坐标是.又准线方程是x=-2,
所以M到准线的距离为2+=.
14.已知F为抛物线y2=2x的焦点,斜率为的直线与抛物线交于A,B两点,且位于 x轴的两侧(A在B的上方),·=0(其中O为坐标原点),则等于(　　)
[A] 4 [B]5 [C] [D]
【答案】 B
【解析】 如图,设点A(x1,y1),B(x2,y2),
直线AB:x=y+m,
由
得y2-3y-2m=0,Δ=9+8m>0,
y1+y2=3,y1y2=-2m.
因为·=0,所以x1x2+y1y2=0.
又 (y1y2)2=4x1x2,
所以x1x2=m2,m2-2m=0,
解得m=2或m=0(舍去).
所以y2-3y-4=0,y1=4,y2=-1,
直线AB:x=y+2.
又F(,0),直线与x轴交点的横坐标为2,
所以S△AOB=×2×(|y1|+|y2|)=×2×5=5,S△AOF=|OF|·|y1|=××4=1,
则=5.故选B.第2课时　直线与抛物线的位置关系
【课程标准要求】　1.会判断直线与抛物线的位置关系.2.会求解抛物线中的弦长问题.3.会解决直线与抛物线的综合问题.
知识点　直线与抛物线的位置关系
设直线l:y=kx+m,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0.
(1)若k≠0,当Δ>0时,直线与抛物线相交,有两个公共点;
当Δ=0时,直线与抛物线相切,有一个切点;
当Δ<0时,直线与抛物线相离,没有公共点.
(2)若k=0,直线与抛物线有一个公共点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.
知识拓展
(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
(2)研究直线与抛物线的位置关系时要注意直线斜率不存在的情况.
基础自测
1.已知直线l与抛物线x2=2py(p>0)只有一个公共点,则直线l与抛物线的位置关系是(　　)
[A] 相交 [B]相切
[C]相离 [D]相交或相切
2.(人教A版选择性必修第一册P135例4改编)过抛物线C:y2=12x的焦点作直线l交C于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,则|AB|等于(　　)
[A] 16 [B]12 [C]10 [D]8
3.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,A为C上一点,AF中点的横坐标为2,则|AF|等于(　　)
[A] 3 [B]4
[C]5 [D]6
设A(m,n),则AF中点的横坐标为,
故=2,解得m=3.
由抛物线的定义可知|AF|=3+1=4.故选B.
4.已知抛物线C:y2=2px(p>0)与直线l:x-2y+6=0相切,则p=　　　　.
得y2-4py+12p=0.
因为C与l相切,
所以Δ=16p2-48p=0,
解得p=3或p=0(舍去).
题型一　弦长问题
[例1] 设直线y=k(x-2)(k>0)与抛物线 y2=2x相交于A,B两点,若|AB|=2,求k的值.
将y=k(x-2)代入y2=2x,消去y,
得k2x2-2(2k2+1)x+4k2=0,
Δ=4(2k2+1)2-4k2·4k2=16k2+4>0,
x1+x2==,x1x2=4,
则|AB|=|x1-x2|=·==2,
化简得(1+k2)(16k2+4)=40k4,
解得k2=1(负值已舍去).
又k>0,故k=1.
求弦长问题的方法
(1)一般弦长:|AB|=|x1-x2|或 |AB|=|y1-y2|(k≠0).
(2)焦点弦长:在抛物线y2=2px(p>0)中,设过焦点的弦的端点为A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=x1+x2+p.
[变式训练] 过抛物线y2=4x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,求弦长|AB|.
所以直线AB的方程是y=x-1.
由消去y,得x2-6x+1=0.
因为Δ>0,
所以x1+x2=6,
所以|AB|=x1+x2+p=6+2=8.
题型二　抛物线的中点弦问题
[例2] 过点Q(4,1)作抛物线y2=8x的弦AB,恰被点Q平分,求AB所在直线的方程.
则有=8x1,=8x2,
两式作差得(y1+y2)(y1-y2)=8(x1-x2).
又y1+y2=2,
所以y1-y2=4(x1-x2),
即=4(x1≠x2),
所以kAB=4,
所以AB所在直线的方程为y-1=4(x-4),
即4x-y-15=0.
解决中点弦问题的常用方法
[变式训练] 已知直线l过点M(3,2),且与抛物线 y2=4x交于A,B两点,若M为线段AB的中点,求△AOB的面积.
所以x1+x2=6,y1+y2=4.
由题意,得直线AB的斜率
k====1,
所以直线AB的方程为y-2=x-3,
即y=x-1,它与x轴的交点坐标为C(1,0).
因为+=4(x1+x2)=24,y1+y2=4,
所以|y1-y2|==4.故△AOB的面积为|OC|·|y1-y2|=×1×4=2.
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.直线y=k(x-1)+2与抛物线x2=4y的位置关系为(　　)
[A]相交 [B]相切
[C]相离 [D]不能确定
因为12<4×2,所以(1,2)在抛物线x2=4y内部,
所以直线y=k(x-1)+2与抛物线x2=4y相交.故选A.
2.已知抛物线y2=4x与直线2x+y-4=0交于A,B两点,F是抛物线的焦点,则 |FA|+|FB|等于(　　)
[A] 2 [B]3 [C]5 [D]7
则|FA|+|FB|=x1+x2+2.
由得x2-5x+4=0,
所以x1+x2=5,
所以|FA|+|FB|=7.故选D.
3.已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过F作倾斜角为的直线l交抛物线C于M,N两点.若 |MN|=8,则p等于(　　)
[A] 6 [B]3
[C] [D]
由消去y,得3x2-5px+p2=0,显然Δ=25p2-4×3×p2>0.
设M(x1,y1),N(x2,y2),则x1+x2=p,
|MN|=x1++x2+=p=8,
所以p=3.
故选B.
4.已知A,B是抛物线y2=2x上的两点,且线段AB的中点为(1,1),则直线AB的方程为(　　)
[A] 2x-y-1=0 [B]x+y-1=0
[C]x-y=0 [D]x-2y+1=0
则=2x1,=2x2,
故-=2x1-2x2 =.
由于AB的中点为(1,1),故y1+y2=2,因此kAB===1,
故直线方程为y=x-1+1,即x-y=0,
经检验,直线x-y=0满足条件.故选C.
5.(多选题)已知抛物线y=x2,焦点为F,准线为l,弦PQ过点F,则下列说法正确的是(　　)
[A] 焦点F的坐标为(0,)
[B]准线l的方程为x=-
[C]若P(x0,y0),则|FP|=y0+
[D]弦PQ的长度|PQ|≥1
准线l的方程为y=-,B错误;
根据焦半径公式可得若P(x0,y0),
则|FP|=y0+,C正确;
设过点F(0,)的直线方程为y=kx+,与抛物线的方程联立可得x2-kx-=0,
设P(x1,y1),Q(x2,y2),则Δ=k2+1>0,x1+x2=k,则y1+y2=k(x1+x2)+=k2+,
故|PQ|=y1+y2+p=k2+1≥1,
故当k=0时,弦PQ最短长度为1,
即|PQ|≥1,故D正确.故选CD.
6.(多选题)已知F是抛物线C:y2=16x的焦点,M是C上一点,FM的延长线交y轴于点N.若M为FN的中点,则(　　)
[A] C的准线方程为x=-4
[B]点F的坐标为(0,4)
[C]|FN|=12
[D]三角形ONF的面积为8(O为坐标原点)
设抛物线的准线l与x轴交于点F′,作MB⊥l于点B,
NA⊥l于点A.
则|AN|=4,|FF′|=8.
在直角梯形ANFF′中,
中位线|BM|==6,
由抛物线的定义有|MF|=|MB|=6,结合题意,有
|MN|=|MF|=6,
故|FN|=|FM|+|NM|=6+6=12,|ON|==8,S△ONF=×8×4=16.
故选AC.
7.(5分)过点(0,-1)与抛物线y2=x只有一个公共点的直线有　　　　条.
②当斜率存在时,设直线方程为 y=kx-1.
联立y2=x得k2x2-(2k+1)x+1=0,
当k=0时,解得x=1,此时方程有唯一实数解,符合题意;
当k≠0时,由Δ=(2k+1)2-4k2=0,解得k=-,此时方程有唯一实数解,符合题意.
综上,共有3条直线.
8.(5分)已知抛物线C的顶点为坐标原点,焦点为 F(1,0),直线l与抛物线C相交于A,B两点,若弦AB的中点为(2,2),则抛物线的方程为　　　　,直线l的方程为　　　　　.
则有且x1≠x2,
两式相减得-=4(x1-x2).
因为AB的中点为(2,2),所以y1+y2=4.
所以==1.所以直线l的方程为y-2=x-2,即x-y=0.
9.(13分)已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,且 |AB|=4,求p.
由
得y2-4py+2p=0,
所以yA+yB=4p,yAyB=2p.
又直线x-2y+1=0的斜率为k=,
所以|AB|=·=×=4,
即2p2-p-6=0.因为p>0,解得p=2.
经检验,p=2满足Δ>0,故p=2.
10.(15分)已知y=x+m与抛物线y2=8x交于A,B两点.
(1)若|AB|=10,求实数m的值;
(2)若OA⊥OB(O为坐标原点),求实数m的值.
由Δ=(2m-8)2-4m2=64-32m>0,得m<2.
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=8-2m,x1x2=m2,
y1y2=m(x1+x2)+x1x2+m2=8m.
(1)因为|AB|==·=10,
所以m=,经检验符合题意.
(2)因为OA⊥OB,所以x1x2+y1y2=m2+8m=0,解得m=-8或m=0(舍去).
所以m=-8,经检验符合题意.
11.抛物线y=x2上到直线2x-y=4距离最近的点的坐标是(　　)
[A] (,) [B](1,1)
[C](,) [D](2,4)
则点P到直线2x-y=4的距离d===,
所以当x=1时,d取最小值,此时点P(1,1).故选B.
12.已知点A,B为抛物线y2=2x上异于原点的两个动点,若|AB|=4,则线段AB中点的横坐标的最小值为(　　)
[A] 1 [B] [C] [D]2
如图,作AE⊥l,MH⊥l,
BG⊥l,垂足分别为E,H,G.
由直角梯形的性质可得|MH|=x0+=(|AE|+|BG|).
取抛物线焦点为F,由抛物线定义可得|AE|+|BG|=|AF|+|BF|≥|AB|=4,
即x0+≥2,x0≥,当且仅当直线AB经过点F时,等号成立,所以线段AB中点的横坐标的最小值为.故选B.
13.(15分)已知直线l经过抛物线y2=8x的焦点F,且与抛物线相交于A,B两点.
(1)若直线l的倾斜角为60°,求|AB|的值;
(2)若|AB|=9,求线段AB的中点M到准线的距离.
所以其斜率k=tan 60°=.
又F(2,0),
所以直线l的方程为y=(x-2).
由消去y,得3x2-20x+12=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,
所以|AB|=|AF|+|BF|=x1++x2+=x1+x2+p=+4=.
(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),
由抛物线定义知|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+p=x1+x2+4=9,
所以x1+x2=5,于是线段AB的中点M的横坐标是.又准线方程是x=-2,
所以M到准线的距离为2+=.
14.已知F为抛物线y2=2x的焦点,斜率为的直线与抛物线交于A,B两点,且位于 x轴的两侧(A在B的上方),·=0(其中O为坐标原点),则等于(　　)
[A] 4 [B]5 [C] [D]
直线AB:x=y+m,
由
得y2-3y-2m=0,Δ=9+8m>0,
y1+y2=3,y1y2=-2m.
因为·=0,所以x1x2+y1y2=0.
又 (y1y2)2=4x1x2,
所以x1x2=m2,m2-2m=0,
解得m=2或m=0(舍去).
所以y2-3y-4=0,y1=4,y2=-1,
直线AB:x=y+2.
又F(,0),直线与x轴交点的横坐标为2,
所以S△AOB=×2×(|y1|+|y2|)=×2×5=5,S△AOF=|OF|·|y1|=××4=1,
则=5.故选B.(共24张PPT)
3.3.2　抛物线的简单几何性质
第1课时　抛物线的简单几何性质
1.了解抛物线的简单几何性质.2.通过抛物线方程的学习,进一步体会数形结合的思想,了解抛物线的简单应用.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点　抛物线的简单几何性质
标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
图形
性质 焦点坐标
准线方程
范围
x≥0,y∈R
x≤0,y∈R
x∈R,y≥0
x∈R,y≤0
性质 对称轴 轴 轴 顶点 离心率 开口方向
x
y
O(0,0)
e=1
向右
向左
向上
向下
只有焦点在坐标轴上,顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程.
·温馨提示·
基础自测
1.对于抛物线y=4x2,下列描述正确的是(　　)
B
2.设抛物线的焦点到顶点的距离为3,则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是(　　)
[A] (6,+∞) [B][6,+∞)
[C](3,+∞) [D][3,+∞)
D
3.(多选题)若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为(　　 )
BD
4.(湘教版选择性必修第一册P144例3改编)请写出一个以(0,1)为焦点且以坐标轴为对称轴的抛物线的方程:　　 　　　　.
x2=4y(答案不唯一)
关键能力·素养培优
题型一　由抛物线的几何性质求标准方程
[典例迁移1] 求以x轴为对称轴,顶点为坐标原点,焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程.
[典例迁移2] 抛物线的顶点在原点,对称轴与椭圆9x2+4y2=36短轴所在的直线重合,抛物线焦点到顶点的距离为3,求抛物线的标准方程.
·解题策略·
由抛物线的几何性质求标准方程的步骤
(1)确定抛物线的开口方向.
(2)顶点在原点.
(3)由焦点或准线确定参数p.
(4)写出对应的标准方程(如y2=2px).
题型二　抛物线的几何性质的应用
[例2] 设P是抛物线y2=4x上任意一点,A(3,0),则|PA|的最小值为　　　　.
·解题策略·
研究抛物线几何性质的要点
(1)开口方向:由抛物线标准方程看其图象的开口方向,关键是看准二次项是x2还是y2,一次项的系数是正还是负.
(2)定值:焦点到准线的距离为p,过焦点的垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p(p>0).
[变式训练] 设A,B是抛物线x2=4y上两点,O为原点,若|OA|=|OB|,且△AOB的面积为16,则∠AOB等于　　　　.
90°
感谢观看3.3.2　抛物线的简单几何性质
第1课时　抛物线的简单几何性质
【课程标准要求】　1.了解抛物线的简单几何性质.2.通过抛物线方程的学习,进一步体会数形结合的思想,了解抛物线的简单应用.
知识点　抛物线的简单几何性质
标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
图形
续　表
标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
性质 焦点坐标 (,0) (-,0) (0,) (0,-)
准线方程 x=- x= y=- y=
范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R x∈R,y≥0 x∈R,y≤0
对称轴 x轴 y轴
顶点 O(0,0)
离心率 e=1
开口方向 向右 向左 向上 向下
只有焦点在坐标轴上,顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程.
基础自测
1.对于抛物线y=4x2,下列描述正确的是(　　)
[A] 开口向上,焦点为(0,1)
[B]开口向上,焦点为(0,)
[C]开口向右,焦点为(1,0)
[D]开口向右,焦点为(,0)
【答案】 B
【解析】 由抛物线y=4x2,得抛物线的标准方程为 x2=y,2p=,
故抛物线的焦点在y轴上,开口向上,焦点坐标为(0,).故选B.
2.设抛物线的焦点到顶点的距离为3,则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是(　　)
[A] (6,+∞) [B][6,+∞)
[C](3,+∞) [D][3,+∞)
【答案】 D
【解析】 因为抛物线的焦点到顶点的距离为3,所以=3,即p=6.
又抛物线上的点到准线的距离的最小值为,所以抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3,+∞).故选D.
3.(多选题)若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为(　　)
[A] (,-) [B](,-)
[C](,) [D](,)
【答案】 BD
【解析】 设焦点为F,原点为O,P(x0,y0).由条件及抛物线的定义知,|PF|=|PO|.
又F(,0),
所以x0=,所以=,
所以y0=±.
故选BD.
4.(湘教版选择性必修第一册P144例3改编)请写出一个以(0,1)为焦点且以坐标轴为对称轴的抛物线的方程:　　　　　　.
【答案】 x2=4y(答案不唯一)
【解析】 不妨取顶点为原点,设x2=2py(p>0),则=1,解得p=2,则x2=4y.故可举例 x2=4y.
题型一　由抛物线的几何性质求标准方程
[例1] (北师大版选择性必修第一册P73例3)求顶点在原点,经过点(,-6),且以坐标轴为对称轴的抛物线的标准方程.
【解】 因为点(,-6)在第四象限,
所以若x轴是抛物线的对称轴,则设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0).
因为点(,-6)在抛物线上,
所以(-6)2=2p·.
解得2p=12,所求抛物线的标准方程为
y2=12x(如图①).
若y轴是抛物线的对称轴,同理可得抛物线的标准方程为x2=-y(如图②).
[典例迁移1] 求以x轴为对称轴,顶点为坐标原点,焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程.
【解】 依题意设抛物线的方程为y2=±2px(p>0).因为焦点与原点之间的距离为2,所以=2,所以2p=8,所以抛物线方程为y2=8x或y2=-8x.
[典例迁移2] 抛物线的顶点在原点,对称轴与椭圆9x2+4y2=36短轴所在的直线重合,抛物线焦点到顶点的距离为3,求抛物线的标准方程.
【解】 因为椭圆的方程可化为+=1,
其短轴所在直线为x轴,所以抛物线的对称轴为x轴,
所以设抛物线的方程为y2=2px(p>0)或 y2=-2px(p>0).
因为抛物线的焦点到顶点的距离为3,
即=3,
所以p=6,
所以所求抛物线的标准方程为y2=12x或 y2=-12x.
由抛物线的几何性质求标准方程的步骤
(1)确定抛物线的开口方向.
(2)顶点在原点.
(3)由焦点或准线确定参数p.
(4)写出对应的标准方程(如y2=2px).
题型二　抛物线的几何性质的应用
[例2] 设P是抛物线y2=4x上任意一点,A(3,0),则|PA|的最小值为　　　　.
【答案】 2
【解析】 设点P的坐标为(x,y),
因为y2=4x,x≥0,
所以|PA|2=(x-3)2+y2=x2-6x+9+4x=x2-2x+9=(x-1)2+8.当x=1时,|PA|取得最小值2.
研究抛物线几何性质的要点
(1)开口方向:由抛物线标准方程看其图象的开口方向,关键是看准二次项是x2还是y2,一次项的系数是正还是负.
(2)定值:焦点到准线的距离为p,过焦点的垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p(p>0).
[变式训练] 设A,B是抛物线x2=4y上两点,O为原点,若|OA|=|OB|,且△AOB的面积为16,则∠AOB等于　　　　.
【答案】 90°
【解析】 由|OA|=|OB|,知抛物线上点A,B关于y轴对称.
设A(-a,),B(a,),a>0,
则S△AOB=×2a·=16,
解得a=4,
所以|AB|=8,|OA|=|OB|=4,
所以∠AOB=90°.
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2,则点P到抛物线的焦点F的距离为(　　)
[A] 4 [B]5
[C]6 [D]7
【答案】 A
【解析】 由题意,知抛物线y2=4x的准线方程为 x=-1.因为抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2,
则P(3,±2),所以点P到抛物线的准线的距离为3+1=4.所以点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选A.
2.如图,在同一平面直角坐标系中,方程9x2+4y2=1与3x+2y2=0的曲线大致为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 D
【解析】 将方程9x2+4y2=1与3x+2y2=0化为标准方程,得+=1与y2=-x,
所以椭圆的焦点在y轴上,抛物线的焦点在x轴上,且开口向左.故选D.
3.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,A为抛物线上一点,且 |AF|=2|OF|,△OAF的面积为4,则抛物线方程为(　　)
[A] y2=8x [B]y2=4x
[C]y2=16x [D]y2=x
【答案】 A
【解析】 由题意可知,F(,0),设A(x0,y0),
则|AF|=x0+,
因为|AF|=2|OF|,即x0+=2×=p,解得x0=,所以=2px0=p2,即|y0|=p.
又因为△OAF的面积为××p==4,
且p>0,解得p=4,
所以抛物线的方程为y2=8x.故选A.
4.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p的值为(　　)
[A] 2 [B]4
[C]6 [D]8
【答案】 C
【解析】 如图,抛物线的焦点坐标为(0,),准线方程为 y=-,
准线方程与双曲线联立可得,-=1,解得x=±,故|AB|=2.
因为△ABF为等边三角形,所以|AB|=p,
即有×2=p,解得p=6.故选C.
5.(多选题)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点 M(x0,y0)在抛物线C上,若|MF|=4,则(　　)
[A] x0=3 [B]y0=2
[C]|OM|= [D]F的坐标为(0,1)
【答案】 AC
【解析】 由题可知F(1,0).由|MF|=x0+1=4,=4x0,得x0=3,y0=±2,
|OM|===.故选AC.
6.(多选题)已知抛物线C与抛物线y2=4x关于y轴对称,则下列说法正确的是(　　)
[A] 抛物线C的焦点坐标是(-1,0)
[B]抛物线C关于y轴对称
[C]抛物线C的准线方程为x=1
[D]抛物线C的焦点到准线的距离为4
【答案】 AC
【解析】 因为抛物线C与抛物线y2=4x关于y轴对称,所以抛物线C的方程为y2=-4x,
则抛物线C的焦点坐标是(-1,0),准线方程为x=1,故A,C正确;
抛物线C关于x轴对称,故B错误;
抛物线C的焦点到准线的距离为2,故D错误.故选AC.
7.(5分)已知抛物线的焦点是圆x2+y2-3x-1=0的圆心,则该抛物线的标准方程为　 .
【答案】 y2=6x
【解析】 因为圆x2+y2-3x-1=0的标准方程为(x-)2+y2=,
所以圆心坐标为(,0),即焦点坐标为(,0),
所以p=3,所以抛物线的标准方程为y2=6x.
8.(5分)已知抛物线y2=8x的焦点为F,点M在抛物线上.若|MF|=6,则点M的横坐标为　　　　,△OMF的面积为　　　　.
【答案】 4　4
【解析】 因为抛物线的方程为y2=8x,所以p=4,F(2,0),准线方程为x=-2.
因为|MF|=6,所以xM+=6,即xM+2=6,
解得xM=4,
故=8×4,解得yM=±4,
所以S△OMF=×2×4=4.
9.(12分)已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,l是C的准线,N是C上一点,过点N作l的垂线,垂足为P,若|PF|=|PN|,求△PFN的面积.
【解】 如图,记l与x轴的交点为M,则|FM|=2.
因为|PF|=|PN|=|FN|,
所以△PFN是等边三角形,
∠NPF=∠PFM=,
|PF|=2|FM|=4,
所以△PFN的面积为×42=4.
10.(14分)已知抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交的公共弦长为 2,求抛物线的方程.
【解】 由题意,设所求抛物线的方程为y2=2px,交点 A(x1,y1),B(x2,y2)(y1>0,y2<0).
因为抛物线与圆x2+y2=4相交的公共弦长为2,
所以|y1|+|y2|=2,
即y1-y2=2.
由对称性知y2=-y1,代入上式,解得y1=,
把y1=代入x2+y2=4,解得x1=±1.
当x1=1时,点(1,)在抛物线y2=2px上,
所以p=;
当x1=-1时,点(-1,)在抛物线y2=2px上,所以p=-.
于是所求抛物线的方程为y2=3x或y2=-3x.
11.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,M为抛物线上一点,且 |MF|=4|OF|,
△MFO的面积为4,则抛物线的方程为(　　)
[A] y2=6x [B]y2=8x
[C]y2=16x [D]y2=x
【答案】 B
【解析】 设M(x1,y1),
则由|MF|=4|OF|,
得x1+=4×,
解得x1=p,则=3p2,则|y1|=p,则S△OMF=××p=4,解得p=4,即抛物线的方程为y2=8x.故选B.
12.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,P为C上一点,A(2,1),当△PAF的周长最小时,△PAF的面积为(　　)
[A] [B]1
[C] [D]2
【答案】 A
【解析】 如图,F(1,0),
过点P作PB垂直于C的准线x=-1,垂足为B.
由抛物线的定义知|PF|=|PB|,
所以△PAF的周长为|AF|+|PA|+|PF|=+|PA|+|PB|,要使周长最小,
则必须使得A,P,B三点共线,即点P在过点A垂直于 x=-1的直线上(图中点P1处).
将y=1代入C:y2=4x中,求得点P1(,1),
所以|AP1|=2-=,
△P1AF在AP1边上的高为1,故其面积为 ××1=.
故选A.
13.(17分)已知抛物线y2=8x.
(1)求出该抛物线的顶点坐标、焦点坐标、准线方程、对称轴、变量x的取值范围;
(2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,|OA|=|OB|,若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长.
【解】 (1)抛物线y2=8x的顶点坐标、焦点坐标、准线方程、对称轴、变量x的取值范围分别为(0,0),(2,0),x=-2,x轴,[0,+∞).
(2)设点A在第一象限,如图.由|OA|=|OB|可知AB⊥x轴,垂足为点M.
又焦点F是△OAB的重心,所以|OF|=|OM|.
因为F(2,0),
所以|OM|=|OF|=3.
所以M(3,0).
故设A(3,m),代入y2=8x,得m2=24,
所以m=2.
所以A(3,2),B(3,-2).
所以|OA|=|OB|=.
所以△OAB的周长为2+4.
14.在抛物线形内壁光滑的容器内放一个球,其通过中心轴的纵剖面图如图所示,圆心在y轴上,抛物线顶点在坐标原点.已知抛物线方程是x2=4y,圆的半径为r,若圆的大小变化时,圆上的点无法触及抛物线的顶点O,则圆的半径r的取值范围是(　　)
[A] (2,+∞) [B](1,+∞)
[C](,+∞) [D][1,+∞)
【答案】 A
【解析】 设圆心为P(0,a)(a>0),半径为r,Q(x,y)是抛物线上任一点,
则|PQ|2=x2+(y-a)2=4y+(y-a)2=(y-a+2)2+4a-4.
若|PQ|2的最小值不在O(0,0)处取得,则圆P不过原点,所以a-2>0,即a>2,此时圆半径为r==2>2.因此当r>2时,圆无法触及抛物线的顶点O.故选A.(共21张PPT)
第2课时　直线与抛物线的位置关系
1.会判断直线与抛物线的位置关系.2.会求解抛物线中的弦长问题.3.会解决直线与抛物线的综合问题.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点　直线与抛物线的位置关系
设直线l:y=kx+m,抛物线:y2=2px(p>0),将直线方程与抛物线方程联立整理成关于x的方程k2x2+2(km-p)x+m2=0.
(1)若k≠0,当 时,直线与抛物线相交,有两个公共点;
当 时,直线与抛物线相切,有一个切点;
当 时,直线与抛物线相离,没有公共点.
(2)若k=0,直线与抛物线有 公共点,此时直线平行于抛物线的对称轴或与对称轴重合.
Δ>0
Δ=0
Δ<0
一个
『知识拓展』
(1)直线与抛物线有一个公共点是直线与抛物线相切的必要不充分条件.
(2)研究直线与抛物线的位置关系时要注意直线斜率不存在的情况.
基础自测
1.已知直线l与抛物线x2=2py(p>0)只有一个公共点,则直线l与抛物线的位置关系是(　　)
[A] 相交 [B]相切
[C]相离 [D]相交或相切
D
【解析】 当直线l与y轴平行或重合时,直线l与抛物线x2=2py(p>0)有一个公共点,此时直线l与抛物线是相交的;当直线l的斜率存在,直线l与抛物线x2=2py(p>0)只有一个公共点时,直线l与抛物线相切.故选D.
2.(人教A版选择性必修第一册P135例4改编)过抛物线C:y2=12x的焦点作直线l交C于 A(x1,y1),B(x2,y2)两点,若x1+x2=6,则|AB|等于(　　)
[A] 16 [B]12
[C]10 [D]8
B
【解析】 由题意得p=6,所以|AB|=x1+x2+p=6+6=12.故选B.
3.已知F为抛物线C:y2=4x的焦点,A为C上一点,AF中点的横坐标为2,则|AF|等于(　　)
[A] 3 [B]4
[C]5 [D]6
B
4.已知抛物线C:y2=2px(p>0)与直线l:x-2y+6=0相切,则p=　　　　.
3
关键能力·素养培优
题型一　弦长问题
·解题策略·
求弦长问题的方法
[变式训练] 过抛物线y2=4x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A,B两点,求弦长|AB|.
题型二　抛物线的中点弦问题
[例2] 过点Q(4,1)作抛物线y2=8x的弦AB,恰被点Q平分,求AB所在直线的方程.
·解题策略·
解决中点弦问题的常用方法
[变式训练] 已知直线l过点M(3,2),且与抛物线 y2=4x交于A,B两点,若M为线段AB的中点,求△AOB的面积.
感谢观看3.3.2　抛物线的简单几何性质
第1课时　抛物线的简单几何性质
【课程标准要求】　1.了解抛物线的简单几何性质.2.通过抛物线方程的学习,进一步体会数形结合的思想,了解抛物线的简单应用.
知识点　抛物线的简单几何性质
标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
图形
续　表
标准方程 y2=2px(p>0) y2=-2px(p>0) x2=2py(p>0) x2=-2py(p>0)
性质 焦点坐标 (,0) (-,0) (0,) (0,-)
准线方程 x=- x= y=- y=
范围 x≥0,y∈R x≤0,y∈R x∈R,y≥0 x∈R,y≤0
对称轴 x轴 y轴
顶点 O(0,0)
离心率 e=1
开口方向 向右 向左 向上 向下
只有焦点在坐标轴上,顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程.
基础自测
1.对于抛物线y=4x2,下列描述正确的是(　　)
[A] 开口向上,焦点为(0,1)
[B]开口向上,焦点为(0,)
[C]开口向右,焦点为(1,0)
[D]开口向右,焦点为(,0)
故抛物线的焦点在y轴上,开口向上,焦点坐标为(0,).故选B.
2.设抛物线的焦点到顶点的距离为3,则抛物线上的点到准线的距离的取值范围是(　　)
[A] (6,+∞) [B][6,+∞)
[C](3,+∞) [D][3,+∞)
又抛物线上的点到准线的距离的最小值为,所以抛物线上的点到准线的距离的取值范围为[3,+∞).故选D.
3.(多选题)若抛物线y2=x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离,则点P的坐标为(　　)
[A] (,-) [B](,-)
[C](,) [D](,)
又F(,0),
所以x0=,所以=,
所以y0=±.
故选BD.
4.(湘教版选择性必修第一册P144例3改编)请写出一个以(0,1)为焦点且以坐标轴为对称轴的抛物线的方程:　　　　　　.
题型一　由抛物线的几何性质求标准方程
[例1] (北师大版选择性必修第一册P73例3)求顶点在原点,经过点(,-6),且以坐标轴为对称轴的抛物线的标准方程.
所以若x轴是抛物线的对称轴,则设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0).
因为点(,-6)在抛物线上,
所以(-6)2=2p·.
解得2p=12,所求抛物线的标准方程为
y2=12x(如图①).
若y轴是抛物线的对称轴,同理可得抛物线的标准方程为x2=-y(如图②).
[典例迁移1] 求以x轴为对称轴,顶点为坐标原点,焦点与原点之间的距离为2的抛物线方程.
[典例迁移2] 抛物线的顶点在原点,对称轴与椭圆9x2+4y2=36短轴所在的直线重合,抛物线焦点到顶点的距离为3,求抛物线的标准方程.
其短轴所在直线为x轴,所以抛物线的对称轴为x轴,
所以设抛物线的方程为y2=2px(p>0)或 y2=-2px(p>0).
因为抛物线的焦点到顶点的距离为3,
即=3,
所以p=6,
所以所求抛物线的标准方程为y2=12x或 y2=-12x.
由抛物线的几何性质求标准方程的步骤
(1)确定抛物线的开口方向.
(2)顶点在原点.
(3)由焦点或准线确定参数p.
(4)写出对应的标准方程(如y2=2px).
题型二　抛物线的几何性质的应用
[例2] 设P是抛物线y2=4x上任意一点,A(3,0),则|PA|的最小值为　　　　.
因为y2=4x,x≥0,
所以|PA|2=(x-3)2+y2=x2-6x+9+4x=x2-2x+9=(x-1)2+8.当x=1时,|PA|取得最小值2.
研究抛物线几何性质的要点
(1)开口方向:由抛物线标准方程看其图象的开口方向,关键是看准二次项是x2还是y2,一次项的系数是正还是负.
(2)定值:焦点到准线的距离为p,过焦点的垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p(p>0).
[变式训练] 设A,B是抛物线x2=4y上两点,O为原点,若|OA|=|OB|,且△AOB的面积为16,则∠AOB等于　　　　.
设A(-a,),B(a,),a>0,
则S△AOB=×2a·=16,
解得a=4,
所以|AB|=8,|OA|=|OB|=4,
所以∠AOB=90°.
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.若抛物线y2=4x上一点P到x轴的距离为2,则点P到抛物线的焦点F的距离为(　　)
[A] 4 [B]5
[C]6 [D]7
则P(3,±2),所以点P到抛物线的准线的距离为3+1=4.所以点P到抛物线的焦点F的距离为4.故选A.
2.如图,在同一平面直角坐标系中,方程9x2+4y2=1与3x+2y2=0的曲线大致为(　　)
[A] [B] [C] [D]
所以椭圆的焦点在y轴上,抛物线的焦点在x轴上,且开口向左.故选D.
3.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,A为抛物线上一点,且 |AF|=2|OF|,△OAF的面积为4,则抛物线方程为(　　)
[A] y2=8x [B]y2=4x
[C]y2=16x [D]y2=x
则|AF|=x0+,
因为|AF|=2|OF|,即x0+=2×=p,解得x0=,所以=2px0=p2,即|y0|=p.
又因为△OAF的面积为××p==4,
且p>0,解得p=4,
所以抛物线的方程为y2=8x.故选A.
4.已知抛物线x2=2py(p>0)的焦点为F,其准线与双曲线-=1相交于A,B两点,若△ABF为等边三角形,则p的值为(　　)
[A] 2 [B]4
[C]6 [D]8
准线方程与双曲线联立可得,-=1,解得x=±,故|AB|=2.
因为△ABF为等边三角形,所以|AB|=p,
即有×2=p,解得p=6.故选C.
5.(多选题)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点 M(x0,y0)在抛物线C上,若|MF|=4,则(　　)
[A] x0=3 [B]y0=2
[C]|OM|= [D]F的坐标为(0,1)
|OM|===.故选AC.
6.(多选题)已知抛物线C与抛物线y2=4x关于y轴对称,则下列说法正确的是(　　)
[A] 抛物线C的焦点坐标是(-1,0)
[B]抛物线C关于y轴对称
[C]抛物线C的准线方程为x=1
[D]抛物线C的焦点到准线的距离为4
则抛物线C的焦点坐标是(-1,0),准线方程为x=1,故A,C正确;
抛物线C关于x轴对称,故B错误;
抛物线C的焦点到准线的距离为2,故D错误.故选AC.
7.(5分)已知抛物线的焦点是圆x2+y2-3x-1=0的圆心,则该抛物线的标准方程为　 .
所以圆心坐标为(,0),即焦点坐标为(,0),
所以p=3,所以抛物线的标准方程为y2=6x.
8.(5分)已知抛物线y2=8x的焦点为F,点M在抛物线上.若|MF|=6,则点M的横坐标为　　　　,△OMF的面积为　　　　.
因为|MF|=6,所以xM+=6,即xM+2=6,
解得xM=4,
故=8×4,解得yM=±4,
所以S△OMF=×2×4=4.
9.(12分)已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,l是C的准线,N是C上一点,过点N作l的垂线,垂足为P,若|PF|=|PN|,求△PFN的面积.
因为|PF|=|PN|=|FN|,
所以△PFN是等边三角形,
∠NPF=∠PFM=,
|PF|=2|FM|=4,
所以△PFN的面积为×42=4.
10.(14分)已知抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为x轴,且与圆x2+y2=4相交的公共弦长为 2,求抛物线的方程.
因为抛物线与圆x2+y2=4相交的公共弦长为2,
所以|y1|+|y2|=2,
即y1-y2=2.
由对称性知y2=-y1,代入上式,解得y1=,
把y1=代入x2+y2=4,解得x1=±1.
当x1=1时,点(1,)在抛物线y2=2px上,
所以p=;
当x1=-1时,点(-1,)在抛物线y2=2px上,所以p=-.
于是所求抛物线的方程为y2=3x或y2=-3x.
11.已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,O为坐标原点,M为抛物线上一点,且 |MF|=4|OF|,
△MFO的面积为4,则抛物线的方程为(　　)
[A] y2=6x [B]y2=8x
[C]y2=16x [D]y2=x
则由|MF|=4|OF|,
得x1+=4×,
解得x1=p,则=3p2,则|y1|=p,则S△OMF=××p=4,解得p=4,即抛物线的方程为y2=8x.故选B.
12.已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,P为C上一点,A(2,1),当△PAF的周长最小时,△PAF的面积为(　　)
[A] [B]1
[C] [D]2
过点P作PB垂直于C的准线x=-1,垂足为B.
由抛物线的定义知|PF|=|PB|,
所以△PAF的周长为|AF|+|PA|+|PF|=+|PA|+|PB|,要使周长最小,
则必须使得A,P,B三点共线,即点P在过点A垂直于 x=-1的直线上(图中点P1处).
将y=1代入C:y2=4x中,求得点P1(,1),
所以|AP1|=2-=,
△P1AF在AP1边上的高为1,故其面积为 ××1=.
故选A.
13.(17分)已知抛物线y2=8x.
(1)求出该抛物线的顶点坐标、焦点坐标、准线方程、对称轴、变量x的取值范围;
(2)以坐标原点O为顶点,作抛物线的内接等腰三角形OAB,|OA|=|OB|,若焦点F是△OAB的重心,求△OAB的周长.
(2)设点A在第一象限,如图.由|OA|=|OB|可知AB⊥x轴,垂足为点M.
又焦点F是△OAB的重心,所以|OF|=|OM|.
因为F(2,0),
所以|OM|=|OF|=3.
所以M(3,0).
故设A(3,m),代入y2=8x,得m2=24,
所以m=2.
所以A(3,2),B(3,-2).
所以|OA|=|OB|=.
所以△OAB的周长为2+4.
14.在抛物线形内壁光滑的容器内放一个球,其通过中心轴的纵剖面图如图所示,圆心在y轴上,抛物线顶点在坐标原点.已知抛物线方程是x2=4y,圆的半径为r,若圆的大小变化时,圆上的点无法触及抛物线的顶点O,则圆的半径r的取值范围是(　　)
[A] (2,+∞) [B](1,+∞)
[C](,+∞) [D][1,+∞)
则|PQ|2=x2+(y-a)2=4y+(y-a)2=(y-a+2)2+4a-4.
若|PQ|2的最小值不在O(0,0)处取得,则圆P不过原点,所以a-2>0,即a>2,此时圆半径为r==2>2.因此当r>2时,圆无法触及抛物线的顶点O.故选A.

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