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1.1.1　空间向量及其线性运算
第1课时　空间向量及其线性运算
【课程标准要求】　1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程,了解空间向量的概念.2.经历平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.3.掌握空间向量的线性运算及其运算律,体会数学运算在研究几何问题中的作用.
知识点一　空间向量的有关概念
1.在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量,空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.空间向量用字母a,b,c,…表示,也用有向线段表示,有向线段的长度表示空间向量的模,若向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作,其模记为|a|或||.
2.几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 长度为0的向量叫做零向量,记为0
单位 向量 模为1的向量叫做单位向量
相反 向量 与向量a长度相等而方向相反的向量,叫做a的相反向量,记为-a
共线 向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量a,都有0∥a
相等 向量 方向相同且模相等的向量叫做相等向量.在空间,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量
(1)零向量长度为0,并规定零向量的方向是任意的.当有向线段的起点A与终点B重合时,=0.
(2)单位向量的模为1.这里的1表示一个单位长度.根据实际情况,“1”可以是1 m,也可以是 1 mm 等.
知识点二　空间向量的加、减运算
加法 运算 三角形 法则 语言 叙述 首尾顺次相接,首指向尾为和
图形 叙述
平行四 边形 法则 语言叙述 以共起点的两边为邻边作平行四边形,共起点对角线为和
图形 叙述
减法 运算 三角形 法则 语言 叙述 共起点,连终点,方向指向被减向量
图形 叙述
运算 律 交换律 a+b=b+a
结合律 (a+b)+c=a+(b+c)
知识拓展
(1)首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量,即+++…+=.
(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形,则它们的和为零向量,即+++…+=0.
知识点三　空间向量的数乘运算
名称 代数形式 几何形式 运算律
数乘运算 当λ>0时,λa=λ=; 当λ<0时,λa=λ=; 当λ=0时,λa=0 结合律: λ(μ a)=(λμ)a; 分配律: (λ+μ)a=λa+μ a, λ(a+b)=λa+λb
(1)当λ=0或a=0时,λa=0.
(2)λ的正负影响向量λa的方向,λ的绝对值的大小影响λa的长度.
(3)向量λa与向量a一定是共线向量.
基础自测
1.下列说法正确的是(　　)
[A] 若|a|<|b|,则a[B]若a,b互为相反向量,则a+b=0
[C]在空间中,两平行向量相等
[D]在四边形ABCD中,-=
2.(多选题)(人教A版选择性必修第一册P5练习T2改编)如图,E,F分别是长方体ABCD-A′B′C′D′ 的棱AB,CD的中点,化简下列表达式结果正确的是(　　)
[A] -=
[B]-+=
[C]-+=0
[D]+=
对于B,-+=+=,因此本选项正确;
对于C,-+=-=≠0,因此本选项不正确;
对于D,+=+=≠,因此本选项不正确.故选AB.
3.已知空间向量a,b,c,化简(a-2b-3c)+(-a+3b+3c)=　　 　　.
题型一　空间向量的概念
[例1] 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,以长方体的八个顶点中的两点作为起点和终点的向量中.
(1)单位向量有　　　　个;
(2)模为 的向量有　;
(3)与相等的向量有　;
(4)的相反向量有　　　　　　　　.
(2),,,,,,,　
(3),,　
(4),,,
(2)由题图可知,AD1=A1D=BC1=B1C=,所以模为 的向量有 ,,,,,,,.
(3)由题图可知,AB=A1B1=DC=D1C1,所以与相等的向量有,,.
(4)由题图可知,AA1=BB1=CC1=DD1=1,所以的相反向量有,,,.
空间向量的概念辨析
在空间中,向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致,两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同且模相等.两向量互为相反向量的充要条件是模相等而方向相反.
[变式训练] (多选题)下列命题中为真命题的是(　　)
[A] 向量与的长度相等
[B]将空间中所有单位向量的起点移到同一点,则它们的终点构成一个圆
[C]空间向量就是空间中的一条有向线段
[D]方向相同且模相等的两个向量是相等向量
将空间中所有单位向量的起点移到同一点,则它们的终点构成一个球面,故B为假命题;
空间向量可以用有向线段表示,但不是有向线段,故C为假命题;
方向相同且模相等的两个向量是相等向量,符合相等向量的定义,故D为真命题.故选AD.
题型二　空间向量的加、减运算
[例2] (湘教版选择性必修第二册P65例2)如图,已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′,化简下列各式:
(1)++;
(2)-+.
所以++=++=.
(2)因为=,所以-+=-+=+=.
空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量:灵活运用相反向量可使向量首尾相接.
(2)巧用平移:务必注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.
[变式训练] 如图,已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,E,F,G分别是BC,CD,DB的中点,化简下列各式,并在图中标出化简结果.
(1)+-;
(2)--.
(2)连接AG,GF,--=++=++=+=,如图中向量.
题型三　空间向量的数乘运算
[例3] 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是BB1的中点,化简下列各式,并在图中标出化简结果.
(1)++;
(2)---.
如图中向量.
(2)---
=(+)-(+)
=-=,如图中向量.
利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合:利用数乘运算解题时,要结合具体图形,利用三角形法则、平行四边形法则,将目标向量转化为已知向量.
(2)明确目标:在化简过程中,要有目标意识,巧妙运用中点性质.
[变式训练] 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.
(1)化简:--=　　 　　;
(2)用,,表示,则=　 .
(2)++
(2)因为=,所以=+=+,又==(+),
所以=+=++.
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.向量a,b互为相反向量,已知|b|=3,则下列结论正确的是(　　)
[A] a=b [B]a+b为实数0
[C]a与b方向相同 [D]|a|=3
故选D.
2.在正方体ABCDA1B1C1D1中,++等于(　　)
[A] [B] [C] [D]
3.如图,在四面体ABCD中,设E,F分别是BC,CD的中点,则 +(+)等于(　　)
[A]
[B]
[C]
[D]
4.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,E,F分别为棱AB,A1C1的中点.设=a,=b,=c,则等于(　　)
[A] a+b+c
[B]a+b+c
[C]a+b+c
[D]b+c
5.(多选题)下列命题为真命题的是(　　)
[A] 若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b
[B]在正方体ABCDA1B1C1D1中,必有 =
[C]若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则 m=p
[D]在空间中,a∥b,b∥c,则a∥c
对于B,与的方向相同,模也相等,故=,故B为真命题;
对于C,向量的相等满足传递性,故C为真命题;
对于D,平行向量不一定具有传递性,当b=0时,a与c不一定平行,故D为假命题.
故选BC.
6.(多选题)如图,在四面体ABCD中,E,F分别为BC,CD的中点,则(　　)
[A] =
[B]+=
[C]++=
[D]-(+)=
若+=,可得=-=,由题图可知,不共线,矛盾,故B错误;
因为++=+=,故C正确;
因为-(+)=-×2=-=,故D正确.
故选ACD.
7.(5分)如图,在三棱柱ABCA′B′C′中,与是　　　　向量,与是　　　　向量(用“相等”“相反”填空).
四边形ABB′A′是平行四边形,==-,即与是相反向量.
8.(5分)如图,在正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1中,
(1)化简:--+++=　　　　;
(2)化简:++++=　　　　.
(2)++++
=++++
=++=0+=.
9.(15分)构造起点、终点都是平行六面体ABCDA′B′C′D′顶点的向量,使它与下列各式所表示的向量分别相等:
(1)++;
(2)++;
(3)+-.
(2)在平行六面体ABCDA′B′C′D′中,=,=,所以++=++=.
(3)在平行六面体ABCDA′B′C′D′中,
=,所以+-=+-=-=.
10.(13分)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,点E,F分别是上底面A1B1C1D1和侧面CDD1C1的中心,求下列各题中m,n 的值:
(1)=m+n+;
(2)=m++n.
所以m=n=.
(2)因为点F是正方形CDD1C1的中心,
所以=,且=,
故=+=+=+=+(+)=++,
故m=n=.
11.在四面体OABC中,=a,=b,=c,点M在OA上,=,点N为BC的中点,则等于(　　)
[A] a-b+c
[B]-a+b+c
[C]a+b-c
[D]a+b-c
如图,连接ON,因为点N为BC的中点,
所以=(+),
所以=-=(+)-=-a+b+c.故选B.
12.如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,AC,BD相交于点O,M为OC1的中点,已知 =a,=b,=c,则等于(　　)
[A] a+b-c
[B]a-b-c
[C]-a-b+c　
[D]-a+b-c
则=+=+(+)=--=c-b-a.故选C.
13.(15分)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,
(1)化简++;
(2)若+x+++=0,则x可以是图中有向线段所示向量中的哪一个 (至少写出两个)
(2)因为=,=,
所以+x+++=+x+++=0.
所以+x+=0,所以x=.
又因为===,
所以x可以是,,,中的任一个.
14. (5分)光岳楼,又称“余木楼”“东昌楼”,位于山东省聊城市,始建于公元1374年,在《中国名楼》站台票纪念册中,光岳楼与鹳雀楼、岳阳楼、黄鹤楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇海楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼.其墩台为砖石砌成的正四棱台,直观图如图所示,其上底面边长与下底面边长的比值约为,则 ++=　　　　.
所以++=++=++=+=+=.(共36张PPT)
第一章　空间向量与立体几何
1.1　空间向量及其运算
1.1.1　空间向量及其线性运算
第1课时　空间向量及其
线性运算
1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程,了解空间向量的概念.2.经历平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.3.掌握空间向量的线性运算及其运算律,体会数学运算在研究几何问题中的作用.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　空间向量的有关概念
大小
方向
大小
长度
|a|
2.几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 长度为 的向量叫做零向量,记为
单位 向量 的向量叫做单位向量
相反 向量 与向量a长度 而方向 的向量,叫做a的相反向量,记为
0
0
模为1
相等
相反
-a
共线 向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线 ,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定:零向量与任意向量
,即对于任意向量a,都有0 a
相等 向量 方向 且模 的向量叫做相等向量.在空间, 且
的有向线段表示同一向量或相等向量
互相平行或重合
平行
∥
相同
相等
同向
等长
·疑难解惑·
(2)单位向量的模为1.这里的1表示一个单位长度.根据实际情况,“1”可以是
1 m,也可以是 1 mm 等.
知识点二　空间向量的加、减运算
加法 运算 三角形 法则 语言叙述 首尾顺次相接, 为和
图形 叙述
平行四 边形 法则 语言叙述 以共起点的两边为邻边作平行四边形,
为和
图形 叙述
首指向尾
共起点对角线
减法 运算 三角形 法则 语言 叙述 共起点,连终点,方向指向 向量
图形 叙述
运算 律 交换律 a+b= 结合律 (a+b)+c= 被减
b+a
a+(b+c)
『知识拓展』
知识点三　空间向量的数乘运算
(λμ)a
λa+μa
λa+λb
·疑难解惑·
(1)当λ=0或a=0时,λa=0.
(2)λ的正负影响向量λa的方向,λ的绝对值的大小影响λa的长度.
(3)向量λa与向量a一定是共线向量.
基础自测
1.下列说法正确的是(　　)
[A] 若|a|<|b|,则a[B]若a,b互为相反向量,则a+b=0
[C]在空间中,两平行向量相等
D
2.(多选题)(人教A版选择性必修第一册P5练习T2改编)如图,E,F分别是长方体ABCD-A′B′C′D′ 的棱AB,CD的中点,化简下列表达式结果正确的是
(　 　)
AB
3.已知空间向量a,b,c,化简(a-2b-3c)+(-a+3b+3c)=　　 　　.
b
【解析】 (a-2b-3c)+(-a+3b+3c)=(1-1)·a+(-2+3)b+(-3+3)c=b.
关键能力·素养培优
[例1] 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,以长方体的八个顶点中的两点作为起点和终点的向量中.
题型一　空间向量的概念
(1)单位向量有　　　　个;
8
【解析】 (1)由题图可知,AA1=BB1=CC1=DD1=1,所以单位向量有4×2=8(个).
·解题策略·
空间向量的概念辨析
在空间中,向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致,两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同且模相等.两向量互为相反向量的充要条件是模相等而方向相反.
[变式训练] (多选题)下列命题中为真命题的是(　 　)
[B]将空间中所有单位向量的起点移到同一点,则它们的终点构成一个圆
[C]空间向量就是空间中的一条有向线段
[D]方向相同且模相等的两个向量是相等向量
AD
将空间中所有单位向量的起点移到同一点,则它们的终点构成一个球面,
故B为假命题;
空间向量可以用有向线段表示,但不是有向线段,故C为假命题;
方向相同且模相等的两个向量是相等向量,符合相等向量的定义,
故D为真命题.故选AD.
[例2] (湘教版选择性必修第二册P65例2)如图,已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′,化简下列各式:
题型二　空间向量的加、减运算
·解题策略·
空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量:灵活运用相反向量可使向量首尾相接.
(2)巧用平移:务必注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.
[变式训练] 如图,已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,E,F,G分别是BC,CD,
DB的中点,化简下列各式,并在图中标出化简结果.
[例3] 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是BB1的中点,化简下列各式,并在图中标出化简结果.
题型三　空间向量的数乘运算
·解题策略·
利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合:利用数乘运算解题时,要结合具体图形,利用三角形法则、平行四边形法则,将目标向量转化为已知向量.
(2)明确目标:在化简过程中,要有目标意识,巧妙运用中点性质.
[变式训练] 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.
感谢观看(共27张PPT)
第2课时　共线向量与共面向量
1.理解向量共线、向量共面的定义.2.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件(重点).3.会证明空间三点共线、四点共面.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　共线向量
1.共线向量
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线 或 ,那么这些向量叫做共线向量.
2.两个空间向量共线的充要条件
对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使 .
互相平行
重合
a=λb
3.直线的方向向量
(1)定义:在直线l上取 ,把与向量a 的非零向量称为直线l的方向向量.
(2)空间直线的确定:空间直线可以由其上一点和它的 确定.
非零向量a
平行
方向向量
·温馨提示·
(1)0与空间任意向量a都是共线向量.
(2)向量共线的充要条件中的b≠0不可去掉,否则实数λ可能不唯一.
平行于平面α
知识点二　共面向量
1.向量与平面平行
在平面α内
2.共面向量
定义 平行于同一个 的向量
三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a,b共面的充要条件是存在 的有序实数对(x,y),使p=
平面
唯一
xa+yb
『知识拓展』
基础自测
1.(人教A版选择性必修第一册P9习题1.1 T3改编)对于空间中任意三个向量a,b,3a-b,它们一定是(　　)
[A] 共面向量
[B]共线向量
[C]不共面向量
[D]既不共线也不共面的向量
A
【解析】 若a,b不共线,则由三个向量共面的充要条件知,a,b,3a-b共面;若a,b共线,则a,b,3a-b共线,也共面.故选A.
2.在下列条件中,一定能使空间中的四点M,A,B,C共面的是(　　)
C
关键能力·素养培优
题型一　空间向量共线问题
·解题策略·
向量共线的判定及应用
(1)判断或证明两向量a,b(b≠0)共线,就是寻找实数λ,使a=λb成立.
-3
题型二　空间向量共面问题
C
·解题策略·
向量共面的判定及应用
(1)证明三个向量共面或四点共面时,可以通过以下几个条件进行证明.
感谢观看1.1.1　空间向量及其线性运算
第1课时　空间向量及其线性运算
【课程标准要求】　1.经历向量及其运算由平面向空间推广的过程,了解空间向量的概念.2.经历平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程.3.掌握空间向量的线性运算及其运算律,体会数学运算在研究几何问题中的作用.
知识点一　空间向量的有关概念
1.在空间,把具有大小和方向的量叫做空间向量,空间向量的大小叫做空间向量的长度或模.空间向量用字母a,b,c,…表示,也用有向线段表示,有向线段的长度表示空间向量的模,若向量a的起点是A,终点是B,则向量a也可以记作,其模记为|a|或||.
2.几类特殊的空间向量
名称 定义及表示
零向量 长度为0的向量叫做零向量,记为0
单位 向量 模为1的向量叫做单位向量
相反 向量 与向量a长度相等而方向相反的向量,叫做a的相反向量,记为-a
共线 向量 如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.规定:零向量与任意向量平行,即对于任意向量a,都有0∥a
相等 向量 方向相同且模相等的向量叫做相等向量.在空间,同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量
(1)零向量长度为0,并规定零向量的方向是任意的.当有向线段的起点A与终点B重合时,=0.
(2)单位向量的模为1.这里的1表示一个单位长度.根据实际情况,“1”可以是1 m,也可以是 1 mm 等.
知识点二　空间向量的加、减运算
加法 运算 三角形 法则 语言 叙述 首尾顺次相接,首指向尾为和
图形 叙述
平行四 边形 法则 语言叙述 以共起点的两边为邻边作平行四边形,共起点对角线为和
图形 叙述
减法 运算 三角形 法则 语言 叙述 共起点,连终点,方向指向被减向量
图形 叙述
运算 律 交换律 a+b=b+a
结合律 (a+b)+c=a+(b+c)
知识拓展
(1)首尾相接的若干向量之和,等于由起始向量的起点指向末尾向量的终点的向量,即+++…+=.
(2)首尾相接的若干向量若构成一个封闭图形,则它们的和为零向量,即+++…+=0.
知识点三　空间向量的数乘运算
名称 代数形式 几何形式 运算律
数乘运算 当λ>0时,λa=λ=; 当λ<0时,λa=λ=; 当λ=0时,λa=0 结合律: λ(μ a)=(λμ)a; 分配律: (λ+μ)a=λa+μ a, λ(a+b)=λa+λb
(1)当λ=0或a=0时,λa=0.
(2)λ的正负影响向量λa的方向,λ的绝对值的大小影响λa的长度.
(3)向量λa与向量a一定是共线向量.
基础自测
1.下列说法正确的是(　　)
[A] 若|a|<|b|,则a[B]若a,b互为相反向量,则a+b=0
[C]在空间中,两平行向量相等
[D]在四边形ABCD中,-=
【答案】 D
【解析】 向量不可以比较大小,故A错误;若a,b互为相反向量,则a+b=0,故B错误;两向量相等需要向量的方向相同且长度相等,故C错误;在四边形ABCD中,-=,故D正确.故选D.
2.(多选题)(人教A版选择性必修第一册P5练习T2改编)如图,E,F分别是长方体ABCD-A′B′C′D′ 的棱AB,CD的中点,化简下列表达式结果正确的是(　　)
[A] -=
[B]-+=
[C]-+=0
[D]+=
【答案】 AB
【解析】 对于A,-=+=,因此本选项正确;
对于B,-+=+=,因此本选项正确;
对于C,-+=-=≠0,因此本选项不正确;
对于D,+=+=≠,因此本选项不正确.故选AB.
3.已知空间向量a,b,c,化简(a-2b-3c)+(-a+3b+3c)=　　 　　.
【答案】 b
【解析】 (a-2b-3c)+(-a+3b+3c)=(1-1)·a+(-2+3)b+(-3+3)c=b.
题型一　空间向量的概念
[例1] 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,AD=2,AA1=1,以长方体的八个顶点中的两点作为起点和终点的向量中.
(1)单位向量有　　　　个;
(2)模为 的向量有　;
(3)与相等的向量有　;
(4)的相反向量有　　　　　　　　.
【答案】 (1)8　
(2),,,,,,,　
(3),,　
(4),,,
【解析】 (1)由题图可知,AA1=BB1=CC1=DD1=1,所以单位向量有4×2=8(个).
(2)由题图可知,AD1=A1D=BC1=B1C=,所以模为 的向量有 ,,,,,,,.
(3)由题图可知,AB=A1B1=DC=D1C1,所以与相等的向量有,,.
(4)由题图可知,AA1=BB1=CC1=DD1=1,所以的相反向量有,,,.
空间向量的概念辨析
在空间中,向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相关概念完全一致,两向量相等的充要条件是两个向量的方向相同且模相等.两向量互为相反向量的充要条件是模相等而方向相反.
[变式训练] (多选题)下列命题中为真命题的是(　　)
[A] 向量与的长度相等
[B]将空间中所有单位向量的起点移到同一点,则它们的终点构成一个圆
[C]空间向量就是空间中的一条有向线段
[D]方向相同且模相等的两个向量是相等向量
【答案】 AD
【解析】 向量与是相反向量,长度相等,故A为真命题;
将空间中所有单位向量的起点移到同一点,则它们的终点构成一个球面,故B为假命题;
空间向量可以用有向线段表示,但不是有向线段,故C为假命题;
方向相同且模相等的两个向量是相等向量,符合相等向量的定义,故D为真命题.故选AD.
题型二　空间向量的加、减运算
[例2] (湘教版选择性必修第二册P65例2)如图,已知平行六面体ABCD-A′B′C′D′,化简下列各式:
(1)++;
(2)-+.
【解】 (1)因为=,=,
所以++=++=.
(2)因为=,所以-+=-+=+=.
空间向量加法、减法运算的两个技巧
(1)巧用相反向量:灵活运用相反向量可使向量首尾相接.
(2)巧用平移:务必注意和向量、差向量的方向,必要时可采用空间向量的自由平移获得运算结果.
[变式训练] 如图,已知空间四边形ABCD,连接AC,BD,E,F,G分别是BC,CD,DB的中点,化简下列各式,并在图中标出化简结果.
(1)+-;
(2)--.
【解】 (1)+-=++=+=,如图中向量.
(2)连接AG,GF,--=++=++=+=,如图中向量.
题型三　空间向量的数乘运算
[例3] 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M是BB1的中点,化简下列各式,并在图中标出化简结果.
(1)++;
(2)---.
【解】 (1)因为M是BB1的中点,所以=.又=,所以++=+=,
如图中向量.
(2)---
=(+)-(+)
=-=,如图中向量.
利用数乘运算进行向量表示的技巧
(1)数形结合:利用数乘运算解题时,要结合具体图形,利用三角形法则、平行四边形法则,将目标向量转化为已知向量.
(2)明确目标:在化简过程中,要有目标意识,巧妙运用中点性质.
[变式训练] 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O为AC的中点.
(1)化简:--=　　 　　;
(2)用,,表示,则=　 .
【答案】 (1)　
(2)++
【解析】 (1)--=-(+)=-=-=+=.
(2)因为=,所以=+=+,又==(+),
所以=+=++.
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.向量a,b互为相反向量,已知|b|=3,则下列结论正确的是(　　)
[A] a=b [B]a+b为实数0
[C]a与b方向相同 [D]|a|=3
【答案】 D
【解析】 向量a,b互为相反向量,则向量a,b模相等而方向相反,所以a=-b,故A错误;a+b=0,故B错误;a与b方向相反,故C错误;|a|=|b|=3,故D正确.
故选D.
2.在正方体ABCDA1B1C1D1中,++等于(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 A
【解析】 如图,++=++=.故选A.
3.如图,在四面体ABCD中,设E,F分别是BC,CD的中点,则 +(+)等于(　　)
[A]
[B]
[C]
[D]
【答案】 C
【解析】 因为E,F分别是BC,CD的中点,由向量的平行四边形法则,得出+=2,再由向量的三角形加法法则,得出+(+)=+×2=+=.故选C.
4.如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,E,F分别为棱AB,A1C1的中点.设=a,=b,=c,则等于(　　)
[A] a+b+c
[B]a+b+c
[C]a+b+c
[D]b+c
【答案】 D
【解析】 由题知=++=++=++(-)=b+c.故选D.
5.(多选题)下列命题为真命题的是(　　)
[A] 若空间向量a,b满足|a|=|b|,则a=b
[B]在正方体ABCDA1B1C1D1中,必有 =
[C]若空间向量m,n,p满足m=n,n=p,则 m=p
[D]在空间中,a∥b,b∥c,则a∥c
【答案】 BC
【解析】 对于A,根据相等向量的定义知,两向量相等,不仅模相等,而且方向相同,而A中向量a与b的方向不一定相同,故A为假命题;
对于B,与的方向相同,模也相等,故=,故B为真命题;
对于C,向量的相等满足传递性,故C为真命题;
对于D,平行向量不一定具有传递性,当b=0时,a与c不一定平行,故D为假命题.
故选BC.
6.(多选题)如图,在四面体ABCD中,E,F分别为BC,CD的中点,则(　　)
[A] =
[B]+=
[C]++=
[D]-(+)=
【答案】 ACD
【解析】 因为E,F分别为BC,CD的中点,所以由中位线性质可知=,故A正确;
若+=,可得=-=,由题图可知,不共线,矛盾,故B错误;
因为++=+=,故C正确;
因为-(+)=-×2=-=,故D正确.
故选ACD.
7.(5分)如图,在三棱柱ABCA′B′C′中,与是　　　　向量,与是　　　　向量(用“相等”“相反”填空).
【答案】 相等　相反
【解析】 在三棱柱ABCA′B′C′中,四边形 ACC′A′ 是平行四边形,则=,即与是相等向量;
四边形ABB′A′是平行四边形,==-,即与是相反向量.
8.(5分)如图,在正六棱柱ABCDEFA1B1C1D1E1F1中,
(1)化简:--+++=　　　　;
(2)化简:++++=　　　　.
【答案】 (1)　(2)
【解析】 (1)--+++=+++++=++0=+=.
(2)++++
=++++
=++=0+=.
9.(15分)构造起点、终点都是平行六面体ABCDA′B′C′D′顶点的向量,使它与下列各式所表示的向量分别相等:
(1)++;
(2)++;
(3)+-.
【解】 (1)在平行六面体ABCDA′B′C′D′中,=,=,所以++=++=.
(2)在平行六面体ABCDA′B′C′D′中,=,=,所以++=++=.
(3)在平行六面体ABCDA′B′C′D′中,
=,所以+-=+-=-=.
10.(13分)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,点E,F分别是上底面A1B1C1D1和侧面CDD1C1的中心,求下列各题中m,n 的值:
(1)=m+n+;
(2)=m++n.
【解】 (1)因为点E是正方形A1B1C1D1的中心,所以=,且=,故=+=+=+=+(+)=++,
所以m=n=.
(2)因为点F是正方形CDD1C1的中心,
所以=,且=,
故=+=+=+=+(+)=++,
故m=n=.
11.在四面体OABC中,=a,=b,=c,点M在OA上,=,点N为BC的中点,则等于(　　)
[A] a-b+c
[B]-a+b+c
[C]a+b-c
[D]a+b-c
【答案】 B
【解析】
如图,连接ON,因为点N为BC的中点,
所以=(+),
所以=-=(+)-=-a+b+c.故选B.
12.如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,AC,BD相交于点O,M为OC1的中点,已知 =a,=b,=c,则等于(　　)
[A] a+b-c
[B]a-b-c
[C]-a-b+c　
[D]-a+b-c
【答案】 C
【解析】 在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,M为OC1的中点,
则=+=+(+)=--=c-b-a.故选C.
13.(15分)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,
(1)化简++;
(2)若+x+++=0,则x可以是图中有向线段所示向量中的哪一个 (至少写出两个)
【解】 (1)++=++=+=.
(2)因为=,=,
所以+x+++=+x+++=0.
所以+x+=0,所以x=.
又因为===,
所以x可以是,,,中的任一个.
14. (5分)光岳楼,又称“余木楼”“东昌楼”,位于山东省聊城市,始建于公元1374年,在《中国名楼》站台票纪念册中,光岳楼与鹳雀楼、岳阳楼、黄鹤楼、太白楼、滕王阁、蓬莱阁、镇海楼、甲秀楼、大观楼共同组成中国十大名楼.其墩台为砖石砌成的正四棱台,直观图如图所示,其上底面边长与下底面边长的比值约为,则 ++=　　　　.
【答案】
【解析】如图,延长EA,FB,GC,HD相交于点O,则=,=,且=,
所以++=++=++=+=+=.第2课时　共线向量与共面向量
【课程标准要求】　1.理解向量共线、向量共面的定义.2.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件(重点).3.会证明空间三点共线、四点共面.
知识点一　共线向量
1.共线向量
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量.
2.两个空间向量共线的充要条件
对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb.
3.直线的方向向量
(1)定义:在直线l上取非零向量a,把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.
(2)空间直线的确定:空间直线可以由其上一点和它的方向向量确定.
(1)0与空间任意向量a都是共线向量.
(2)向量共线的充要条件中的b≠0不可去掉,否则实数λ可能不唯一.
知识点二　共面向量
1.向量与平面平行
如果表示向量a的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内,那么称向量a平行于平面α.
2.共面向量
定义 平行于同一个平面的向量
三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb
知识拓展
　证明空间四点P,A,B,C共面的方法:对空间任一点O,=x+y+z(x+y+z=1)即可.
基础自测
1.(人教A版选择性必修第一册P9习题1.1 T3改编)对于空间中任意三个向量a,b,3a-b,它们一定是(　　)
[A] 共面向量
[B]共线向量
[C]不共面向量
[D]既不共线也不共面的向量
2.在下列条件中,一定能使空间中的四点M,A,B,C共面的是(　　)
[A] =2--
[B]=++
[C]+2+=0
[D]+++=0
B选项,++=≠1,所以B错误;
C选项,原式可整理为=-2-,所以C正确;
D选项,原式可整理为=---,-1-1-1=-3≠1,所以D错误.
故选C.
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是底面A1B1C1D1和侧面CC1D1D的中心,若 +λ=0(λ∈R),则λ=　　 　　.
则点E在A1C1上,点F在C1D上,
易知EF∥A1D,
且EF=A1D,
所以=,
即-=0,
所以λ=-.
题型一　空间向量共线问题
[例1] (苏教版选择性必修第二册P7例2)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别在线段A1B,D1B1上,且BM=BA1,B1N=B1D1,P为棱B1C1的中点.求证:MN∥BP.
因为BM=BA1,B1N=B1D1,
所以=-++
=-(+)++(+)
=+=+.
又因为P为B1C1的中点,
所以 =+=+
=(+)=,
从而与为共线向量.
因为直线MN与BP不重合,所以MN∥BP.
向量共线的判定及应用
(1)判断或证明两向量a,b(b≠0)共线,就是寻找实数λ,使a=λb成立.
(2)判断或证明空间中的三点(如P,A,B)共线的方法:若存在实数λ,使=λ,则P,A,B三点共线.
[变式训练] 设a,b是空间中两个不共线的向量,已知 =9a+mb,=-2a-b,=-a+2b,且A,B,D三点共线,则实数m=　　　　.
所以=(-2a-b)+(-a+2b)=-3a+b.
又A,B,D三点共线,所以与共线,即存在实数λ,使得=λ.
已知=9a+mb,=-3a+b,
则9a+mb=λ(-3a+b).
根据相等向量的定义,a和b前面的系数分别相等,可得
由9=-3λ,解得λ=-3,又因为m=λ,
所以m=-3.
题型二　空间向量共面问题
[例2] O为空间任意一点,=-++t,若A,B,C,P四点共面,则t等于(　　)
[A] 1 [B] [C] [D]
即=++t,
又A,B,C,P四点共面,则++t=1,解得 t=.故选C.
向量共面的判定及应用
(1)证明三个向量共面或四点共面时,可以通过以下几个条件进行证明.
①=x+y;
②对于空间任意一点O,=x+y+z(x+y+z=1).
(2)若已知点P在平面ABC内,则=x+y,然后利用指定向量表示出已知向量,用待定系数法求出参数.
[变式训练] 如图,已知矩形 ABCD 和矩形ADEF所在的平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE上,且 BM=BD,AN=AE.求证:向量,, 共面.
所以==+.
同理=+.
所以=++
=(+)++(+)
=+=+.
又与不共线,根据三个向量共面的充要条件可知,,共面.
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.在正方体ABCDA1B1C1D1中,下列向量与平行的是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
在正方体ABCDA1B1C1D1中,∥.
故选A.
2.在正方体ABCDA1B1C1D1中,下列各组向量共面的是(　　)
[A] ,, [B],,
[C],, [D],,
3.已知P为空间内任意一点,A,B,C,D四点共面,且任意三点不共线,若=++x,则x等于(　　)
[A] [B] [C] [D]
4.设空间四点O,A,B,P满足=m+n,其中m+n=1,则(　　)
[A] 点P一定在直线AB上
[B]点P一定不在直线AB上
[C]点P不一定在直线AB上
故=(1-n)+n,所以-=n(-),
所以=n,则点P一定在直线AB上,故A正确.故选A.
5.(多选题)下列命题是真命题的是(　　)
[A] 若A,B,C,D在一条直线上,则与是共线向量
[B]若A,B,C,D不在一条直线上,则与不是共线向量
[C]若向量与是共线向量,则A,B,C,D四点必在一条直线上
[D]若向量与是共线向量,则A,B,C三点必在一条直线上
则向量,的方向相同或相反,因此与是共线向量;
B项为假命题,若A,B,C,D不在一条直线上,
则,的方向不确定,不能判断与是否共线;
C项为假命题,因为,两个向量所在的直线可能没有公共点,
所以A,B,C,D四点不一定在一条直线上;
D项为真命题,因为,两个向量所在的直线有公共点A,且与是共线向量,
所以A,B,C三点必在一条直线上.故选AD.
6.(多选题)下列说法正确的是(　　)
[A] 若a∥b,b∥c,则a与c所在直线不一定平行
[B]若,共线,则AB∥CD
[C]A,B,C三点不共线,对空间中任意一点O,若=++,则P,A,B,C四点共面
[D]若P,A,B,C为空间四点,且=λ+μ(,不共线),则λ+μ=1是A,B,C三点共线的充要条件
对于B,若,共线,则直线AB,CD可能重合,故B错误;
对于C,由++=1,
且=++,
根据空间向量共面的推论知P,A,B,C四点共面,故C正确;
对于D,=λ+μ(,不共线),
若λ+μ=1,
则=λ+(1-λ)=+λ(-),所以 -=λ(-),即=λ,所以A,B,C三点共线,反之也成立,
所以λ+μ=1是A,B,C三点共线的充要条件,故D正确.
故选ACD.
7.(5分)已知三个不共面的空间向量a,b,c,若 m=a-b+c与n=x a+y b+c共线,则x+y的值为　　　　.
则有n=λm(m≠0),
即xa+yb+c=λ(a-b+c),
所以x=λ,y=-λ,λ=1,
则x+y=λ-λ=0.
8.(5分)若e1,e2,e3是三个不共面的非零向量,a=2e1-e2+e3,b=-e1+4e2-2e3,c=e1+2e2+λe3,若向量a,b,c共面,则λ=　　　　.
又向量a,b,c共面,所以存在实数m,n,使得 c=ma+nb,
则e1+2e2+λe3=(2m-n)e1+(-m+4n)e2+(m-2n)e3,
则解得
9.(13分)已知A,B,C三点不共线,对于平面ABC外的任意一点O,分别根据下列条件,判断点M是否与点A,B,C共面:
(1)=++;
(2)=3--.
所以---=0,
所以-+-+-=0,
可得++=0,
所以=-3-2,
所以点M与点A,B,C共面.
(2)由=3--可得
-3++=0,
所以-+-+-=0,
所以++=0,
所以=+,
所以点M与点A,B,C共面.
10.(15分)如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,点E在A1D1上,且=2,点F在体对角线A1C上,且=.求证:E,F,B三点共线.
因为=-
=-
=(++)-
=(++)-
=+-,
=-=+-(++)=+-,
所以=,所以∥,
又EF∩FB=F,所以E,F,B三点共线.
11.已知点D在△ABC确定的平面内,O是平面ABC外任意一点,正数x,y满足=x+2y-3,则+的最小值为(　　)
[A] [B] [C]1 [D]2
又=x+2y-3,
则=-x-2y+3,
所以-x-2y+3=1,即x+2y=2,
因为x>0,y>0,
所以+=(x+2y)(+)=(5++)≥(5+2)=,
当且仅当=,即x=y=时,等号成立,
所以+的最小值为.
故选B.
12.(5分)已知A,B,C三点共线,则对空间任意一点O,存在三个不全为0的实数a,b,c使 a+b+c=0,那么a+b+c的值为　　　　.
否则点A,B重合或点B,C重合,
则-=k(-),
整理得(k-1)+-k=0,存在三个不全为0的实数a,b,c,
使a+b+c=0,
此时a+b+c=(k-1)+1+(-k)=0.
13.(15分)如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别在B1B和D1D上,且BE=BB1,DF=DD1.
(1)求证:A,E,C1,F四点共面.
(2)试用,,表示.
(+)+(+)=+,
所以,,共面,
又,,过同一点A,所以A,E,C1,F四点共面.
=+--
=-++.
14.(5分)在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,点M和N分别是正方形ABCD和BB1C1C
的中心,点P为正方体表面上及内部的点,若点P满足 =m+n+k,其中m,n,k∈R,且m+n+k=1,则满足条件的所有点P构成的图形的面积是　 　　　.
且m+n+k=1,
所以P,A,M,N四点共面,如图,
连接相关线段,易知过A,M,N的截面是正三角形ACB1,
则可知满足条件的所有点P构成的图形为正三角形ACB1,
因为正方体的棱长为1,则正三角形ACB1边长为,
所以满足条件的所有点P构成的图形的面积为×=.第2课时　共线向量与共面向量
【课程标准要求】　1.理解向量共线、向量共面的定义.2.掌握向量共线的充要条件和向量共面的充要条件(重点).3.会证明空间三点共线、四点共面.
知识点一　共线向量
1.共线向量
如果表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量.
2.两个空间向量共线的充要条件
对任意两个空间向量a,b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使a=λb.
3.直线的方向向量
(1)定义:在直线l上取非零向量a,把与向量a平行的非零向量称为直线l的方向向量.
(2)空间直线的确定:空间直线可以由其上一点和它的方向向量确定.
(1)0与空间任意向量a都是共线向量.
(2)向量共线的充要条件中的b≠0不可去掉,否则实数λ可能不唯一.
知识点二　共面向量
1.向量与平面平行
如果表示向量a的有向线段所在的直线OA平行于平面α或在平面α内,那么称向量a平行于平面α.
2.共面向量
定义 平行于同一个平面的向量
三个向量共面的充要条件 向量p与不共线向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb
知识拓展
　证明空间四点P,A,B,C共面的方法:对空间任一点O,=x+y+z(x+y+z=1)即可.
基础自测
1.(人教A版选择性必修第一册P9习题1.1 T3改编)对于空间中任意三个向量a,b,3a-b,它们一定是(　　)
[A] 共面向量
[B]共线向量
[C]不共面向量
[D]既不共线也不共面的向量
【答案】 A
【解析】 若a,b不共线,则由三个向量共面的充要条件知,a,b,3a-b共面;若a,b共线,则a,b,3a-b共线,也共面.故选A.
2.在下列条件中,一定能使空间中的四点M,A,B,C共面的是(　　)
[A] =2--
[B]=++
[C]+2+=0
[D]+++=0
【答案】 C
【解析】 A选项,2-1-1=0≠1,所以A错误;
B选项,++=≠1,所以B错误;
C选项,原式可整理为=-2-,所以C正确;
D选项,原式可整理为=---,-1-1-1=-3≠1,所以D错误.
故选C.
3.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别是底面A1B1C1D1和侧面CC1D1D的中心,若 +λ=0(λ∈R),则λ=　　 　　.
【答案】 -
【解析】 如图,连接A1C1,C1D,
则点E在A1C1上,点F在C1D上,
易知EF∥A1D,
且EF=A1D,
所以=,
即-=0,
所以λ=-.
题型一　空间向量共线问题
[例1] (苏教版选择性必修第二册P7例2)如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别在线段A1B,D1B1上,且BM=BA1,B1N=B1D1,P为棱B1C1的中点.求证:MN∥BP.
【证明】 =++.
因为BM=BA1,B1N=B1D1,
所以=-++
=-(+)++(+)
=+=+.
又因为P为B1C1的中点,
所以 =+=+
=(+)=,
从而与为共线向量.
因为直线MN与BP不重合,所以MN∥BP.
向量共线的判定及应用
(1)判断或证明两向量a,b(b≠0)共线,就是寻找实数λ,使a=λb成立.
(2)判断或证明空间中的三点(如P,A,B)共线的方法:若存在实数λ,使=λ,则P,A,B三点共线.
[变式训练] 设a,b是空间中两个不共线的向量,已知 =9a+mb,=-2a-b,=-a+2b,且A,B,D三点共线,则实数m=　　　　.
【答案】 -3
【解析】 因为=+,已知=-2a-b,=-a+2b,
所以=(-2a-b)+(-a+2b)=-3a+b.
又A,B,D三点共线,所以与共线,即存在实数λ,使得=λ.
已知=9a+mb,=-3a+b,
则9a+mb=λ(-3a+b).
根据相等向量的定义,a和b前面的系数分别相等,可得
由9=-3λ,解得λ=-3,又因为m=λ,
所以m=-3.
题型二　空间向量共面问题
[例2] O为空间任意一点,=-++t,若A,B,C,P四点共面,则t等于(　　)
[A] 1 [B] [C] [D]
【答案】 C
【解析】 因为=-,且=-++t,所以-=-++t,
即=++t,
又A,B,C,P四点共面,则++t=1,解得 t=.故选C.
向量共面的判定及应用
(1)证明三个向量共面或四点共面时,可以通过以下几个条件进行证明.
①=x+y;
②对于空间任意一点O,=x+y+z(x+y+z=1).
(2)若已知点P在平面ABC内,则=x+y,然后利用指定向量表示出已知向量,用待定系数法求出参数.
[变式训练] 如图,已知矩形 ABCD 和矩形ADEF所在的平面互相垂直,点M,N分别在对角线BD,AE上,且 BM=BD,AN=AE.求证:向量,, 共面.
【证明】 因为M在BD上,且BM=BD,
所以==+.
同理=+.
所以=++
=(+)++(+)
=+=+.
又与不共线,根据三个向量共面的充要条件可知,,共面.
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.在正方体ABCDA1B1C1D1中,下列向量与平行的是(　　)
[A] [B]
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 如图,
在正方体ABCDA1B1C1D1中,∥.
故选A.
2.在正方体ABCDA1B1C1D1中,下列各组向量共面的是(　　)
[A] ,, [B],,
[C],, [D],,
【答案】 C
【解析】 由正方体的性质可得,=,由图形(图略)易知,,共面,故,,共面.故选C.
3.已知P为空间内任意一点,A,B,C,D四点共面,且任意三点不共线,若=++x,则x等于(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 B
【解析】 由四点共面的推论可知++x=1,故x=.故选B.
4.设空间四点O,A,B,P满足=m+n,其中m+n=1,则(　　)
[A] 点P一定在直线AB上
[B]点P一定不在直线AB上
[C]点P不一定在直线AB上
[D]以上答案都不对
【答案】 A
【解析】 因为m+n=1,所以m=1-n,而=m+n,
故=(1-n)+n,所以-=n(-),
所以=n,则点P一定在直线AB上,故A正确.故选A.
5.(多选题)下列命题是真命题的是(　　)
[A] 若A,B,C,D在一条直线上,则与是共线向量
[B]若A,B,C,D不在一条直线上,则与不是共线向量
[C]若向量与是共线向量,则A,B,C,D四点必在一条直线上
[D]若向量与是共线向量,则A,B,C三点必在一条直线上
【答案】 AD
【解析】 A项为真命题,若A,B,C,D在一条直线上,
则向量,的方向相同或相反,因此与是共线向量;
B项为假命题,若A,B,C,D不在一条直线上,
则,的方向不确定,不能判断与是否共线;
C项为假命题,因为,两个向量所在的直线可能没有公共点,
所以A,B,C,D四点不一定在一条直线上;
D项为真命题,因为,两个向量所在的直线有公共点A,且与是共线向量,
所以A,B,C三点必在一条直线上.故选AD.
6.(多选题)下列说法正确的是(　　)
[A] 若a∥b,b∥c,则a与c所在直线不一定平行
[B]若,共线,则AB∥CD
[C]A,B,C三点不共线,对空间中任意一点O,若=++,则P,A,B,C四点共面
[D]若P,A,B,C为空间四点,且=λ+μ(,不共线),则λ+μ=1是A,B,C三点共线的充要条件
【答案】 ACD
【解析】 若a∥b,b∥c,当b=0时,a与c所在直线不一定平行,故A正确;
对于B,若,共线,则直线AB,CD可能重合,故B错误;
对于C,由++=1,
且=++,
根据空间向量共面的推论知P,A,B,C四点共面,故C正确;
对于D,=λ+μ(,不共线),
若λ+μ=1,
则=λ+(1-λ)=+λ(-),所以 -=λ(-),即=λ,所以A,B,C三点共线,反之也成立,
所以λ+μ=1是A,B,C三点共线的充要条件,故D正确.
故选ACD.
7.(5分)已知三个不共面的空间向量a,b,c,若 m=a-b+c与n=x a+y b+c共线,则x+y的值为　　　　.
【答案】 0
【解析】 由m与n共线,
则有n=λm(m≠0),
即xa+yb+c=λ(a-b+c),
所以x=λ,y=-λ,λ=1,
则x+y=λ-λ=0.
8.(5分)若e1,e2,e3是三个不共面的非零向量,a=2e1-e2+e3,b=-e1+4e2-2e3,c=e1+2e2+λe3,若向量a,b,c共面,则λ=　　　　.
【答案】 -
【解析】 因为e1,e2,e3是三个不共面的非零向量,
又向量a,b,c共面,所以存在实数m,n,使得 c=ma+nb,
则e1+2e2+λe3=(2m-n)e1+(-m+4n)e2+(m-2n)e3,
则解得
9.(13分)已知A,B,C三点不共线,对于平面ABC外的任意一点O,分别根据下列条件,判断点M是否与点A,B,C共面:
(1)=++;
(2)=3--.
【解】 (1)因为=++,
所以---=0,
所以-+-+-=0,
可得++=0,
所以=-3-2,
所以点M与点A,B,C共面.
(2)由=3--可得
-3++=0,
所以-+-+-=0,
所以++=0,
所以=+,
所以点M与点A,B,C共面.
10.(15分)如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,点E在A1D1上,且=2,点F在体对角线A1C上,且=.求证:E,F,B三点共线.
【证明】如图,连接EF,FB,A1B,
因为=-
=-
=(++)-
=(++)-
=+-,
=-=+-(++)=+-,
所以=,所以∥,
又EF∩FB=F,所以E,F,B三点共线.
11.已知点D在△ABC确定的平面内,O是平面ABC外任意一点,正数x,y满足=x+2y-3,则+的最小值为(　　)
[A] [B] [C]1 [D]2
【答案】 B
【解析】 由题意知,A,B,C,D四点共面,
又=x+2y-3,
则=-x-2y+3,
所以-x-2y+3=1,即x+2y=2,
因为x>0,y>0,
所以+=(x+2y)(+)=(5++)≥(5+2)=,
当且仅当=,即x=y=时,等号成立,
所以+的最小值为.
故选B.
12.(5分)已知A,B,C三点共线,则对空间任意一点O,存在三个不全为0的实数a,b,c使 a+b+c=0,那么a+b+c的值为　　　　.
【答案】 0
【解析】 因为A,B,C三点共线,则存在唯一实数k使 =k,显然k≠0且k≠1,
否则点A,B重合或点B,C重合,
则-=k(-),
整理得(k-1)+-k=0,存在三个不全为0的实数a,b,c,
使a+b+c=0,
此时a+b+c=(k-1)+1+(-k)=0.
13.(15分)如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别在B1B和D1D上,且BE=BB1,DF=DD1.
(1)求证:A,E,C1,F四点共面.
(2)试用,,表示.
(1)【证明】 因为=++=+++=(+)+(+)=
(+)+(+)=+,
所以,,共面,
又,,过同一点A,所以A,E,C1,F四点共面.
(2)【解】 =-=+-(+)
=+--
=-++.
14.(5分)在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,点M和N分别是正方形ABCD和BB1C1C
的中心,点P为正方体表面上及内部的点,若点P满足 =m+n+k,其中m,n,k∈R,且m+n+k=1,则满足条件的所有点P构成的图形的面积是　 　　　.
【答案】
【解析】因为=m+n+k,
且m+n+k=1,
所以P,A,M,N四点共面,如图,
连接相关线段,易知过A,M,N的截面是正三角形ACB1,
则可知满足条件的所有点P构成的图形为正三角形ACB1,
因为正方体的棱长为1,则正三角形ACB1边长为,
所以满足条件的所有点P构成的图形的面积为×=.

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