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1.2　空间向量基本定理
第1课时　空间向量基本定理
1.理解空间向量基本定理及其意义并会简单应用.2.会用基底表示空间向量.
3.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的方法.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　空间向量基本定理
1.定理
条件 三个 的向量a,b,c和 空间向量p
结论 存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得 p=
不共面
任意一个
xa+yb+zc
2.基底
三个向量a ,b,c ,把 叫做空间的一个基底, 都叫做基向量.
不共面
{a,b,c}
a ,b,c
·疑难解惑·
(1)基底中不能有零向量.因为零向量与任意一个非零向量都为共线向量,与任意两个非零向量都共面.
(2)空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
知识点二　空间向量的正交分解
1.单位正交基底
特别地,如果空间的一个基底中的三个基向量 ,且长度都为 ,那么这个基底叫做单位正交基底,常用{i,j,k}表示.
2.正交分解
把一个空间向量分解为三个 的向量,叫做把空间向量进行正交分解.
两两垂直
1
两两垂直
·疑难解惑·
“单位”是指三个基向量的长度都是1,“正交”是指三个基向量两两垂直.
基础自测
1.下列说法正确的是(　　)
[A] 任何三个不共线的向量可构成空间的一个基底
[B]空间的基底有且仅有一个
[C]两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
[D]任意一个空间向量p在基底{a,b,c}下的分解式与在基底{e,f,g}下的分解式相同
C
【解析】 任何三个不共面的向量可构成空间的一个基底,故A错误;
空间的基底有无数个,故B错误;
两两垂直的三个非零向量不共面,故可构成空间的一个基底,故C正确;
由于基底不唯一,故分解式不一定相同,故D错误.故选C.
2.(人教A版选择性必修第一册P15习题1.2 T2改编)若{a,b,c}构成空间的一个基底,则下列向量不共面的是(　　)
[A] b+c,b,b-c [B]a+b,a,a-b
[C]a+b,a-2b,c [D]a+b,a+b+c,c
C
关键能力·素养培优
[例1] 已知{a,b,c}是空间的一个基底,则可以和 a+b,c构成空间的另一个基底的向量为(　　)
[A] a+b+c [B]a+b-c
[C]2a+2b+c [D]2a+b+c
题型一　对空间向量基本定理的理解
D
【解析】 因为{a,b,c}是空间的一个基底,可知向量a,b,c不共面,
因为a+b+c=(a+b)+c,可知a+b,c,a+b+c为共面向量,不能作为基底,故A错误;
因为a+b-c=(a+b)-c,可知a+b,c,a+b-c为共面向量,不能作为基底,故B错误;
因为2a+2b+c=2(a+b)+c,可知a+b,c,2a+2b+c为共面向量,不能作为基底,
故C错误;
·解题策略·
判断基底的基本思路
(1)判断三个向量能否构成空间的一个基底,实质是判断这三个向量是否共面,若不共面,就可以构成一个基底.
(2)判断基底时,常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体,用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底,并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.
[变式训练] 若{e1,e2,e3}是空间的一个基底,且 {e1+e2,e2+e3,e1+te3}不能构成空间的一个基底,则t等于(　　)
[A] -1 [B]1 [C]0 [D]-2
A
题型二　用基底表示空间向量
·解题策略·
用基底表示向量的步骤
感谢观看第2课时　空间向量基本定理的应用
题型一　证明空间位置关系
[例1] 如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD是边长为3的菱形,PC=4,∠ABC=∠BCP=
∠DCP=120°.
利用空间向量证明PA⊥BD.
则{a,b,c}构成空间的一个基底,
=-=b-a,
=++=a+b+c,
所以·=(b-a)·(a+b+c)
=b2-a2+b·c-a·c
=32-32+3×4×cos 60°-3×4×cos 60°=0,
所以PA⊥BD.
证明平行、垂直问题的思路
(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或两直线平行.
(2)把要证的线面垂直转化为线线垂直,再转化为两直线的方向向量的数量积为0.
[变式训练] 如图,在长方体OAEB-O1A1E1B1中,点P在棱AA1上,且AP=2PA1,点S在棱BB1上,且SB1=2BS,点Q,R分别是O1B1,AE的中点.求证:PQ∥RS.
=++=-+=-a+b+c,
=+++=--++=-a+b+c.
所以=,∥.
又因为R PQ,
所以PQ∥RS.
题型二　求空间角
[例2] 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=B1B=1,M,N分别是AD,DC的中点.求MN与BC1所成角的余弦值.
=+=-+,
所以·=(-)·(-+)==.
又||=||==,||==,
所以cos<,>===.
故MN与BC1所成角的余弦值为.
基向量法求空间角的基本思路:将空间角转化为两条直线的方向向量的夹角(或其补角),再用基向量表示两方向向量,并借助向量的运算求出角.
[变式训练] 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则AB1与BC1所成角的余弦值为　　　　.
=b,=c,
则=120°,c⊥a,c⊥b,
因为=+=-a+c,
=+=b+c,
| cos<,>|=
=
=
=
=
=.
题型三　求空间距离(长度)
[例3] 如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱PA的长为2,且PA与AB,AD的夹角都等于60°,M是PC的中点,设=a,=b,=c.
(1)试用a,b,c表示向量 ;
(2)求BM的长.
(2)=(b-a+c)2=b2+a2+c2-
a·b+c·b-a·c=++1-0+×2×1×-×1×2×=,
所以||=,则BM的长为.
求空间距离(长度)问题的步骤
(1)选取空间基向量,将待求线段对应的向量用基向量表示.
(2)求该向量的模,利用空间向量的数量积运算求得线段的长度.
[变式训练] 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BC1与B1C相交于点O,∠A1AB=∠A1AC=60°,∠BAC=90°,A1A=3,AB=AC=2,则线段AO的长度为(　　)
[A] [B] [C] [D]
所以==(+),
所以=+=++=++,
因为∠A1AB=∠A1AC=60°,∠BAC=90°,A1A=3,AB=AC=2,所以==4,=9,·=0,·=·=3×2×cos 60°=3,
所以=(++)2=(+++2·+2·+2·)=,所以||=,即AO=.故选A.
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.在棱长为1的正四面体ABCD中,直线AB与CD(　　)
[A] 相交 [B]平行
[C]垂直 [D]无法判断位置关系
因为=-,
所以·=·(-)=·-·=||·||·cos 60°-||·||·cos 60°=1×1×-1×1×=0.
所以⊥,即BA⊥CD.所以直线AB与CD垂直.故选C.
2.如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,E,F,G分别是DC,AB,CC1的中点,则A1E与GF所成角的余弦值是(　　)
[A] 0 [B] [C] [D]
·=(++)·(++)
=(-++)·(---)
=--=×4-1-×4=0,
从而得到和垂直,故其所成角的余弦值为0.故选A.
3.在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AA1=AB=AC=BC=1,M是B1C1的中点,则AM等于(　　)
[A] [B] [C] [D]
=++=++(-)=++,
故=(++)2=||2+++·+·+·,
在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,所以AA1⊥AC,AA1⊥AB,
在△ABC中,由AB=AC=BC,则∠BAC=60°,
由AA1=AB=AC=1,则=+1++×1×1×=,
则AM=.
故选C.
4.在四面体ABCD中,M为棱CD的中点,E为线段AM的中点,若=a+b+c,则等于(　　)
[A] [B]1 [C]2 [D]3
=+=+=+(-)=+(+)-
=++=++×
=++(-)=++,
又=a+b+c,
所以a=,b=,c=,则=2.
故选C.
5.(多选题)在三棱锥PABC中,三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,且PA=PB=PC=3,G是△PAB的重心,E,F分别为BC,PB上的点,且BE∶EC=PF∶FB=1∶2,则下列说法正确的是(　　)
[A] EG⊥PG [B]EG⊥BC
[C]FG∥BC [D]FG⊥EF
则a·b=a·c=b·c=0,取AB的中点H,连接PH,PE,
则==×(a+b)=a+b,
=+=+(-)=b+c,
故=-=a+b-b-c=a-b-c,
=c-b,
=-=a+b-b=a,
=-=b-(b+c)=-b-c,
所以·=0,所以EG⊥PG,A正确;·=0,所以EG⊥BC,B正确;≠λ(λ∈R),C不正确;·=0,所以FG⊥EF,D正确.故选ABD.
6.(多选题)如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,若平行六面体的各棱长均相等,给出以下结论:
①A1M∥D1P;②A1M∥B1Q;③A1M∥平面DCC1D1;④A1M∥平面D1PQB1.
其中正确的是(　　)
[A] ① [B]② [C]③ [D]④
所以=+=-,
=+=-,
=++=--=-,
所以∥,与不共线,
所以A1M∥D1P,A1M与B1Q不平行,所以①正确,②错误;
因为A1M∥D1P,A1M 平面DCC1D1,D1P 平面DCC1D1,
所以A1M∥平面DCC1D1,所以③正确;
因为A1M∥D1P,A1M 平面D1PQB1,D1P 平面D1PQB1,
所以A1M∥平面D1PQB1,所以④正确.
故选ACD.
7. (5分)如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,∠BAD=∠BAA1=120°,∠DAA1=60°,则线段AC1的长是　　　　.
所以=(++)2=+++2·+2·+2·
=+++2||·||cos 120°+2||·||cos 60°+2||·||cos 120°
=1+1+4-1+2-2=5,
所以||=,
即线段AC1的长是.
8. (5分)如图,在空间四边形ABCD 中,∠ABD=∠CBD=,∠ABC=,BC=BD=1,AB=,则AB与CD所成角的大小是　　　　.
·=·(-)=·-·=0+·=||||cos =1.
设AB与CD所成角的大小为α,则cos α===,
因为α∈(0,],
故α=.
9. (12分)如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,
∠A1AB=∠A1AD=120°,求的长.
则|a|=|b|=1,|c|=2,a·b=0,a·c=b·c=1×2×cos 120°=-1,
因为=++=a-b+c,
所以||=|a-b+c|===.
10.(14分)如图,在底面 ABCD为菱形的平行六面体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别在棱AA1,CC1上,且A1M=AA1,CN=CC1,且∠A1AD=∠A1AB=∠DAB=60°.
(1)用向量,,表示向量;
(2)当为何值时,AC1⊥A1B.
=-+++
=+-.
(2)当=1时,AC1⊥A1B.
理由如下.
设=a,=b,=c,
因为底面ABCD为菱形,
则当=1时,|a|=|b|=|c|,
因为=++=a+b+c,
=-=a-c,
∠A1AD=∠A1AB=∠DAB=60°,
所以·=(a+b+c)·(a-c)=a2+a·b-b·c-c2=0,
所以AC1⊥A1B.
11.在如图所示的斜三棱柱ABCA1B1C1中,AC=BC=CC1=2,∠BCC1=∠ACC1=,则“0<
∠ACB<”是“·(+)>10”的(　　)
[A] 充分不必要条件
[B]必要不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分也不必要条件
所以·(+)=(+)·(+)
=·+·+·+
=2×2×cos +2×2×cos +2×2×cos∠ACB+22=8+4cos∠ACB,
由·(+)>10,
得cos∠ACB>,
因为∠ACB∈(0,π),
所以0<∠ACB<,必要性得证.
反之,若0<∠ACB<,
则cos∠ACB>,
则8+4cos∠ACB>10,
即·(+)>10,充分性得证.
所以“0<∠ACB<”是“·(+)>10”的充要条件.
故选C.
12.(5分)已知正四面体PABC的棱长为6,空间中一点M满足=x+y+z,其中x,y,z∈R,且x+y+z=1.则||的最小值为　　　　.
所以=(1-y-z)+y+z,
=-y-z+y+z,
所以-=y(-)+z(-),
所以=y+z,
因为,不共线,所以,,共面,
所以点M在平面ABC内,
所以当PM⊥平面ABC时,||取得最小值,
如图,取BC的中点D,连接AD,则点M在AD上,且AM=AD=×=2,
所以PM===2,
即||的最小值为2.
13.(17分)如图,在矩形 ABCD 和矩形ABEF中,AB=4,AD=AF=3,∠DAF=,=
λ,=λ,0<λ<1,记=a,=b,=c.
(1)将用a,b,c表示出来;
(2)当λ等于多少时,线段MN的长度取得最小值 求此时MN与AE夹角的余弦值.
(2)由题意知|a|=4,|b|=|c|=3,a·b=a·c=0,b·c=3×3×cos=,
由(1)知=[(λ-1)b+λc]2
=(λ-1)2b2+2λ(λ-1)b·c+λ2c2
=9(λ-1)2+9λ(λ-1)+9λ2
=9(3λ2-3λ+1),
所以当λ=-=时,取得最小值,
即||取得最小值.
此时=-b+c,=a+c,
故||=,
||=
=
==5,
且·=(-b+c)·(a+c)=-a·b-b·c+a·c+|c|2=-×+×9=,
设MN与AE的夹角为θ,则cos θ=|cos<,>|===.
14.(5分)如图,已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱AD,B1C1的中点.若点P为侧面正方形ADD1A1内(含边)的动点,且存在x,y∈R,使=x+y 成立,则点P的轨迹长度为　　　　.
所以,,共面,
即B1P∥平面BEF,
如图,取A1D1中点Q,
连接B1Q,B1A,AQ,EF,
根据正方体的性质得,
B1Q∥BE,B1Q 平面BEF,BE 平面BEF,
所以B1Q∥平面BEF,
同理可证B1A∥平面BEF,
又B1Q∩B1A=B1,
所以平面B1AQ∥平面BEF,
所以点P在AQ上运动,点P的轨迹为线段AQ,
因为A1A=1,A1Q=,
所以QA==.第1课时　空间向量基本定理
【课程标准要求】　1.理解空间向量基本定理及其意义并会简单应用.2.会用基底表示空间向量.3.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的方法.
知识点一　空间向量基本定理
1.定理
条件 三个不共面的向量a,b,c和任意一个空间向量p
结论 存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得 p=xa+yb+zc
2.基底
三个向量a ,b,c不共面,把{a,b,c}叫做空间的一个基底,a ,b,c都叫做基向量.
(1)基底中不能有零向量.因为零向量与任意一个非零向量都为共线向量,与任意两个非零向量都共面.
(2)空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
知识点二　空间向量的正交分解
1.单位正交基底
特别地,如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用{i,j,k}表示.
2.正交分解
把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解.
“单位”是指三个基向量的长度都是1,“正交”是指三个基向量两两垂直.
基础自测
1.下列说法正确的是(　　)
[A] 任何三个不共线的向量可构成空间的一个基底
[B]空间的基底有且仅有一个
[C]两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
[D]任意一个空间向量p在基底{a,b,c}下的分解式与在基底{e,f,g}下的分解式相同
空间的基底有无数个,故B错误;
两两垂直的三个非零向量不共面,故可构成空间的一个基底,故C正确;
由于基底不唯一,故分解式不一定相同,故D错误.故选C.
2.(人教A版选择性必修第一册P15习题1.2 T2改编)若{a,b,c}构成空间的一个基底,则下列向量不共面的是(　　)
[A] b+c,b,b-c [B]a+b,a,a-b
[C]a+b,a-2b,c [D]a+b,a+b+c,c
B选项,a+b=2a-(a-b),共面;
C选项,假设存在x,y∈R,使得c=x(a+b)+y(a-2b)=(x+y)a+(x-2y)b,则a,b,c共面,与已知矛盾,所以假设不成立,不共面;
D选项,a+b+c=(a+b)+c,共面.
故选C.
3.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是BB1,AC的中点,设=a,=b,=c,则 =　 .
题型一　对空间向量基本定理的理解
[例1] 已知{a,b,c}是空间的一个基底,则可以和 a+b,c构成空间的另一个基底的向量为(　　)
[A] a+b+c [B]a+b-c
[C]2a+2b+c [D]2a+b+c
因为a+b+c=(a+b)+c,可知a+b,c,a+b+c为共面向量,不能作为基底,故A错误;
因为a+b-c=(a+b)-c,可知a+b,c,a+b-c为共面向量,不能作为基底,故B错误;
因为2a+2b+c=2(a+b)+c,可知a+b,c,2a+2b+c为共面向量,不能作为基底,故C错误;
假设a+b,c,2a+b+c共面,
则2a+b+c=x(a+b)+yc=xa+xb+yc,
可得方程组无解,可知a+b,c,2a+b+c为不共面向量,可以作为基底,故D正确.
故选D.
判断基底的基本思路
(1)判断三个向量能否构成空间的一个基底,实质是判断这三个向量是否共面,若不共面,就可以构成一个基底.
(2)判断基底时,常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体,用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底,并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.
[变式训练] 若{e1,e2,e3}是空间的一个基底,且 {e1+e2,e2+e3,e1+te3}不能构成空间的一个基底,则t等于(　　)
[A] -1 [B]1 [C]0 [D]-2
若不能构成空间的一个基底,则存在x,y∈R,使得e1+te3=x(e1+e2)+y(e2+e3),
可得
解得t=-1.
故选A.
题型二　用基底表示空间向量
[例2] 如图,在三棱柱ABC-A′B′C′ 中,已知=a,=b,=c,点M,N分别是BC′,B′C′的中点,试用基底{a,b,c}表示向量,.
所以=(+)=a+b.
=(+)=(++)
=++
=+(-)+
=+-=a+b-c.
所以=a+b,=a+b-c.
用基底表示向量的步骤
[变式训练] (北师大版选择性必修第一册P111例1)如图,在平行六面体ABCD -A′B′C′D′ 中,点M是 A′B′C′D′的对角线的交点,点N是棱BC的中点.如果=a,=b,=c,试用a,b,c表示 .
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.下列可使a,b,c构成空间的一个基底的条件是(　　)
[A] a=mb+nc
[B]a,b,c两两垂直
[C]|a|=|b|=|c|=1
[D]a+b+c=0
2.若p:a,b,c是三个非零向量;q:{a,b,c}为空间的一个基底,则p是q的(　　)
[A] 充分不必要条件
[B]必要不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分也不必要条件
若{a,b,c}为空间的一个基底,则a,b,c不共面,即a,b,c是三个非零向量,
所以p是q的必要不充分条件.
故选B.
3.如图,在四面体OABC中,=a,=b,=c.点M,N分别为棱OC,AB的中点,则等于(　　)
[A] -a-b+c
[B]-a-b-c
[C]a+b+c
[D]a+b-c
4.若{e1,e2,e3}是空间的一个基底,且向量=e1+e2+e3,=e1-2e2+2e3,=ke1+3e2+2e3,若{,,}不能构成空间的一个基底,则k等于(　　)
[A] [B] [C]- [D]
则存在实数x,y,使得=x+y,
于是ke1+3e2+2e3=x(e1+e2+e3)+y(e1-2e2+2e3)=(x+y)e1+(x-2y)e2+(x+2y)e3,
因此解得
故选D.
5.(多选题)已知A,B,C,D,E是空间五点,且任何三点不共线.若,,与,,均不能构成空间的一个基底,则下列结论中正确的有(　　)
[A] ,,不能构成空间的一个基底
[B],,不能构成空间的一个基底
[C],,不能构成空间的一个基底
[D],,能构成空间的一个基底
所以空间五点A,B,C,D,E共面,
所以这五点A,B,C,D,E中,任意两个点组成的三个向量都不能构成空间的一个基底,所以A,B,C正确,D错误.故选ABC.
6.(多选题)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,若M为A1C1与B1D1的交点,则下列等式正确的是(　　)
[A] =a+b+c
[B] =a+b
[C]=a+b-c
[D] =a+b+c
==(+)=a+b,故B正确;
=+=c+a+b,故C错误;
=++=a+b+c,故D正确.
故选BD.
7.(5分)已知{a,b,c}是空间的一个单位正交基底,向量 p=a-2b-4c,{a+b,a-b,c}是空间的另一个基底,用基底{a+b,a-b,c}表示向量p=　　　　　　　　　　　.
依题意,p=(x+y)a+(x-y)b+zc=a-2b-4c,
而{a,b,c}是空间的一个单位正交基底,
则
解得
所以p=-(a+b)+(a-b)-4c.
8. (5分)《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算,其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图,在堑堵ABCA1B1C1中,M,N分别是A1C1,BB1的中点,G是MN的中点,若 =2x+y+z,则x+y+z=　　　　.
所以解得
所以x+y+z=1.
9.(13分)如图,在平行六面体ABCDA′B′C′D′中,已知=a,=b,=c,点G是侧面B′BCC′ 的中心,试用向量a,b,c表示向量:,,,.
=+=-+=-b+c,
=++=-++=a-b+c,
=(+)=(a+b+c+b)=a+b+c.
10.(15分)已知{a,b,c}是空间的一个基底,且 =2a+b-c,=3a+3b,=2a+4b+2c,=-a+2b+3c.
(1)求证:M,A,B,C四点共面.
(2){,,}能否构成空间的一个基底 若能,试用这一基底表示;若不能,请说明理由.
所以M,A,B,C四点共面.
假设,,共面,
则存在实数m,n,使得=m+n,
即3a+3b=m(2a+4b+2c)+n(-a+2b+3c),
所以3a+3b=(2m-n)a+(4m+2n)b+(2m+3n)c,则
可得
所以=-,故{,,}不能构成空间的一个基底.
11.已知{a,b,c}是空间的一个基底,其中 =2a+3b,=a-c,=2b+λc.若A,B,C,D四点共面,则λ等于(　　)
[A] - [B] [C] [D]-
即2a+3b=x(a-c)+y(2b+λc),
则2a+3b=xa+2yb+(λy-x)c,
则x=2,y=,λy-x=0,
解得λ=.
故选C.
12.如图,在正四棱台ABCDA1B1C1D1中,2AB=3A1B1,AC与BD的交点为M.设=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是(　　)
[A] -a+b+c [B]-a+b+c
[C]-a-b+c [D]-a+b+c
=-a+c+a+(-a+b)=-a+b+c.故选D.
13.(15分)在正方体ABCDA1B1C1D1中,设 =a,=b,=c,E,F分别是AD1,BD的中点.
(1)用向量a,b,c表示,;
(2)若=xa+yb+zc,求实数x,y,z的值.
=+=-+-=a-b-c,
=+=+=-(+)+(+)=-=a-c.
(2)=(+)
=(-+)
=(-c+a-b-c)
=a-b-c,
又=xa+yb+zc,
所以x=,y=-,z=-1.
14.给定一向量组A={a1,a2,…,an}和向量c,若存在一组实数k1,k2,…,kn,使得c=k1a1+k2a2+…+knan,则称向量c能由向量组A线性表示,或称向量c是向量组A的一个线性组合.若A={e1+e2,e2-e3},c=e1+me3,e1,e2,e3为三个不共面的空间向量,且向量c是向量组A的线性组合,则m等于(　　)
[A] -4 [B]-3 [C]1 [D]2
由题意可知,存在λ,μ∈R,
使得c=λ(e1+e2)+μ(e2-e3),
即e1+me3=λe1+(λ+μ)e2-μe3,
所以解得
故选C.(共20张PPT)
第2课时　空间向量
基本定理的应用
关键能力·素养培优
[例1] 如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD是边长为3的菱形,PC=4,
∠ABC=∠BCP=∠DCP=120°.
利用空间向量证明PA⊥BD.
题型一　证明空间位置关系
·解题策略·
证明平行、垂直问题的思路
(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或两直线平行.
(2)把要证的线面垂直转化为线线垂直,再转化为两直线的方向向量的数量积为0.
[变式训练] 如图,在长方体OAEB-O1A1E1B1中,点P在棱AA1上,且AP=2PA1,点S在棱BB1上,且SB1=2BS,点Q,R分别是O1B1,AE的中点.求证:PQ∥RS.
[例2] 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=B1B=1,M,N分别是AD,
DC的中点.求MN与BC1所成角的余弦值.
题型二　求空间角
·解题策略·
基向量法求空间角的基本思路:将空间角转化为两条直线的方向向量的夹角(或其补角),再用基向量表示两方向向量,并借助向量的运算求出角.
[变式训练] 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=
1,则AB1与BC1所成角的余弦值为　　　　.
题型三　求空间距离(长度)
(2)求BM的长.
·解题策略·
求空间距离(长度)问题的步骤
(1)选取空间基向量,将待求线段对应的向量用基向量表示.
(2)求该向量的模,利用空间向量的数量积运算求得线段的长度.
[变式训练] 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BC1与B1C相交于点O,∠A1AB=
∠A1AC=60°,∠BAC=90°,A1A=3,AB=AC=2,则线段AO的长度为(　　)
A
感谢观看第1课时　空间向量基本定理
【课程标准要求】　1.理解空间向量基本定理及其意义并会简单应用.2.会用基底表示空间向量.3.初步体会利用空间向量基本定理求解立体几何问题的方法.
知识点一　空间向量基本定理
1.定理
条件 三个不共面的向量a,b,c和任意一个空间向量p
结论 存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得 p=xa+yb+zc
2.基底
三个向量a ,b,c不共面,把{a,b,c}叫做空间的一个基底,a ,b,c都叫做基向量.
(1)基底中不能有零向量.因为零向量与任意一个非零向量都为共线向量,与任意两个非零向量都共面.
(2)空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
知识点二　空间向量的正交分解
1.单位正交基底
特别地,如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,那么这个基底叫做单位正交基底,常用{i,j,k}表示.
2.正交分解
把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量进行正交分解.
“单位”是指三个基向量的长度都是1,“正交”是指三个基向量两两垂直.
基础自测
1.下列说法正确的是(　　)
[A] 任何三个不共线的向量可构成空间的一个基底
[B]空间的基底有且仅有一个
[C]两两垂直的三个非零向量可构成空间的一个基底
[D]任意一个空间向量p在基底{a,b,c}下的分解式与在基底{e,f,g}下的分解式相同
【答案】 C
【解析】 任何三个不共面的向量可构成空间的一个基底,故A错误;
空间的基底有无数个,故B错误;
两两垂直的三个非零向量不共面,故可构成空间的一个基底,故C正确;
由于基底不唯一,故分解式不一定相同,故D错误.故选C.
2.(人教A版选择性必修第一册P15习题1.2 T2改编)若{a,b,c}构成空间的一个基底,则下列向量不共面的是(　　)
[A] b+c,b,b-c [B]a+b,a,a-b
[C]a+b,a-2b,c [D]a+b,a+b+c,c
【答案】 C
【解析】 A选项,b=(b+c)+(b-c),共面;
B选项,a+b=2a-(a-b),共面;
C选项,假设存在x,y∈R,使得c=x(a+b)+y(a-2b)=(x+y)a+(x-2y)b,则a,b,c共面,与已知矛盾,所以假设不成立,不共面;
D选项,a+b+c=(a+b)+c,共面.
故选C.
3.如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N分别是BB1,AC的中点,设=a,=b,=c,则 =　 .
【答案】 a-b+c
【解析】 =+=-++=-++=a-b+c.
题型一　对空间向量基本定理的理解
[例1] 已知{a,b,c}是空间的一个基底,则可以和 a+b,c构成空间的另一个基底的向量为(　　)
[A] a+b+c [B]a+b-c
[C]2a+2b+c [D]2a+b+c
【答案】 D
【解析】 因为{a,b,c}是空间的一个基底,可知向量a,b,c不共面,
因为a+b+c=(a+b)+c,可知a+b,c,a+b+c为共面向量,不能作为基底,故A错误;
因为a+b-c=(a+b)-c,可知a+b,c,a+b-c为共面向量,不能作为基底,故B错误;
因为2a+2b+c=2(a+b)+c,可知a+b,c,2a+2b+c为共面向量,不能作为基底,故C错误;
假设a+b,c,2a+b+c共面,
则2a+b+c=x(a+b)+yc=xa+xb+yc,
可得方程组无解,可知a+b,c,2a+b+c为不共面向量,可以作为基底,故D正确.
故选D.
判断基底的基本思路
(1)判断三个向量能否构成空间的一个基底,实质是判断这三个向量是否共面,若不共面,就可以构成一个基底.
(2)判断基底时,常常依托正方体、长方体、平行六面体、四面体等几何体,用它们从同一顶点出发的三条棱对应的方向向量为基底,并在此基础上构造其他向量进行相关的判断.
[变式训练] 若{e1,e2,e3}是空间的一个基底,且 {e1+e2,e2+e3,e1+te3}不能构成空间的一个基底,则t等于(　　)
[A] -1 [B]1 [C]0 [D]-2
【答案】 A
【解析】 因为{e1,e2,e3}是空间的一个基底,可知 e1+e2,e2+e3,e1+te3均不为零向量,
若不能构成空间的一个基底,则存在x,y∈R,使得e1+te3=x(e1+e2)+y(e2+e3),
可得
解得t=-1.
故选A.
题型二　用基底表示空间向量
[例2] 如图,在三棱柱ABC-A′B′C′ 中,已知=a,=b,=c,点M,N分别是BC′,B′C′的中点,试用基底{a,b,c}表示向量,.
【解】 因为M为BC′的中点,N为B′C′的中点,
所以=(+)=a+b.
=(+)=(++)
=++
=+(-)+
=+-=a+b-c.
所以=a+b,=a+b-c.
用基底表示向量的步骤
[变式训练] (北师大版选择性必修第一册P111例1)如图,在平行六面体ABCD -A′B′C′D′ 中,点M是 A′B′C′D′的对角线的交点,点N是棱BC的中点.如果=a,=b,=c,试用a,b,c表示 .
【解】 因为点M为 A′B′C′D′的对角线的交点,所以=-=-(+)=-(b+a).又=-c,=a,==b,所以=+++=-(b+a)-c+a+b=a-c.
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.下列可使a,b,c构成空间的一个基底的条件是(　　)
[A] a=mb+nc
[B]a,b,c两两垂直
[C]|a|=|b|=|c|=1
[D]a+b+c=0
【答案】 B
【解析】 选项A,D中,三个向量a,b,c一定共面;选项C中,a,b,c可能共面;选项B中,a,b,c一定不共面.故选B.
2.若p:a,b,c是三个非零向量;q:{a,b,c}为空间的一个基底,则p是q的(　　)
[A] 充分不必要条件
[B]必要不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分也不必要条件
【答案】 B
【解析】 空间不共面的三个向量可以构成空间的一个基底,若a,b,c是三个共面的非零向量,则{a,b,c}不能构成空间的一个基底,不满足充分性;
若{a,b,c}为空间的一个基底,则a,b,c不共面,即a,b,c是三个非零向量,
所以p是q的必要不充分条件.
故选B.
3.如图,在四面体OABC中,=a,=b,=c.点M,N分别为棱OC,AB的中点,则等于(　　)
[A] -a-b+c
[B]-a-b-c
[C]a+b+c
[D]a+b-c
【答案】 D
【解析】 =-=(+)-=a+b-c.故选D.
4.若{e1,e2,e3}是空间的一个基底,且向量=e1+e2+e3,=e1-2e2+2e3,=ke1+3e2+2e3,若{,,}不能构成空间的一个基底,则k等于(　　)
[A] [B] [C]- [D]
【答案】 D
【解析】 依题意,,,共面,且,,均不为零向量,
则存在实数x,y,使得=x+y,
于是ke1+3e2+2e3=x(e1+e2+e3)+y(e1-2e2+2e3)=(x+y)e1+(x-2y)e2+(x+2y)e3,
因此解得
故选D.
5.(多选题)已知A,B,C,D,E是空间五点,且任何三点不共线.若,,与,,均不能构成空间的一个基底,则下列结论中正确的有(　　)
[A] ,,不能构成空间的一个基底
[B],,不能构成空间的一个基底
[C],,不能构成空间的一个基底
[D],,能构成空间的一个基底
【答案】 ABC
【解析】 因为,,与,,均不能构成空间的一个基底,且A,B,C,D,E是空间五点,且任何三点不共线,
所以空间五点A,B,C,D,E共面,
所以这五点A,B,C,D,E中,任意两个点组成的三个向量都不能构成空间的一个基底,所以A,B,C正确,D错误.故选ABC.
6.(多选题)如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,若M为A1C1与B1D1的交点,则下列等式正确的是(　　)
[A] =a+b+c
[B] =a+b
[C]=a+b-c
[D] =a+b+c
【答案】 BD
【解析】 =+=+(-)=c+(b-a)=-a+b+c,故A错误;
==(+)=a+b,故B正确;
=+=c+a+b,故C错误;
=++=a+b+c,故D正确.
故选BD.
7.(5分)已知{a,b,c}是空间的一个单位正交基底,向量 p=a-2b-4c,{a+b,a-b,c}是空间的另一个基底,用基底{a+b,a-b,c}表示向量p=　　　　　　　　　　　.
【答案】 -(a+b)+(a-b)-4c
【解析】 设p=x(a+b)+y(a-b)+zc,
依题意,p=(x+y)a+(x-y)b+zc=a-2b-4c,
而{a,b,c}是空间的一个单位正交基底,
则
解得
所以p=-(a+b)+(a-b)-4c.
8. (5分)《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算,其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.如图,在堑堵ABCA1B1C1中,M,N分别是A1C1,BB1的中点,G是MN的中点,若 =2x+y+z,则x+y+z=　　　　.
【答案】 1
【解析】 =(+)=(+++)=++=2x+y+z,
所以解得
所以x+y+z=1.
9.(13分)如图,在平行六面体ABCDA′B′C′D′中,已知=a,=b,=c,点G是侧面B′BCC′ 的中心,试用向量a,b,c表示向量:,,,.
【解】 =++=++=a+b+c,
=+=-+=-b+c,
=++=-++=a-b+c,
=(+)=(a+b+c+b)=a+b+c.
10.(15分)已知{a,b,c}是空间的一个基底,且 =2a+b-c,=3a+3b,=2a+4b+2c,=-a+2b+3c.
(1)求证:M,A,B,C四点共面.
(2){,,}能否构成空间的一个基底 若能,试用这一基底表示;若不能,请说明理由.
(1)【证明】 由=-=-a+b+2c,=-=-4a-b+3c,=-=-a-2b-c,可得=-+,
所以M,A,B,C四点共面.
(2)【解】 不能.
假设,,共面,
则存在实数m,n,使得=m+n,
即3a+3b=m(2a+4b+2c)+n(-a+2b+3c),
所以3a+3b=(2m-n)a+(4m+2n)b+(2m+3n)c,则
可得
所以=-,故{,,}不能构成空间的一个基底.
11.已知{a,b,c}是空间的一个基底,其中 =2a+3b,=a-c,=2b+λc.若A,B,C,D四点共面,则λ等于(　　)
[A] - [B] [C] [D]-
【答案】 C
【解析】 由题意,设存在唯一的有序实数组(x,y),使得=x+y,
即2a+3b=x(a-c)+y(2b+λc),
则2a+3b=xa+2yb+(λy-x)c,
则x=2,y=,λy-x=0,
解得λ=.
故选C.
12.如图,在正四棱台ABCDA1B1C1D1中,2AB=3A1B1,AC与BD的交点为M.设=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是(　　)
[A] -a+b+c [B]-a+b+c
[C]-a-b+c [D]-a+b+c
【答案】 D
【解析】 =+=+++=-+++(-+)
=-a+c+a+(-a+b)=-a+b+c.故选D.
13.(15分)在正方体ABCDA1B1C1D1中,设 =a,=b,=c,E,F分别是AD1,BD的中点.
(1)用向量a,b,c表示,;
(2)若=xa+yb+zc,求实数x,y,z的值.
【解】 (1)如图,连接相关线段,则AC,BD交于点F,
=+=-+-=a-b-c,
=+=+=-(+)+(+)=-=a-c.
(2)=(+)
=(-+)
=(-c+a-b-c)
=a-b-c,
又=xa+yb+zc,
所以x=,y=-,z=-1.
14.给定一向量组A={a1,a2,…,an}和向量c,若存在一组实数k1,k2,…,kn,使得c=k1a1+k2a2+…+knan,则称向量c能由向量组A线性表示,或称向量c是向量组A的一个线性组合.若A={e1+e2,e2-e3},c=e1+me3,e1,e2,e3为三个不共面的空间向量,且向量c是向量组A的线性组合,则m等于(　　)
[A] -4 [B]-3 [C]1 [D]2
【答案】 C
【解析】 因为e1,e2,e3为三个不共面的空间向量,
由题意可知,存在λ,μ∈R,
使得c=λ(e1+e2)+μ(e2-e3),
即e1+me3=λe1+(λ+μ)e2-μe3,
所以解得
故选C.第2课时　空间向量基本定理的应用
题型一　证明空间位置关系
[例1] 如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD是边长为3的菱形,PC=4,∠ABC=∠BCP=
∠DCP=120°.
利用空间向量证明PA⊥BD.
【证明】 设=a,=b,=c,
则{a,b,c}构成空间的一个基底,
=-=b-a,
=++=a+b+c,
所以·=(b-a)·(a+b+c)
=b2-a2+b·c-a·c
=32-32+3×4×cos 60°-3×4×cos 60°=0,
所以PA⊥BD.
证明平行、垂直问题的思路
(1)利用向量共线的充要条件来证明点共线或两直线平行.
(2)把要证的线面垂直转化为线线垂直,再转化为两直线的方向向量的数量积为0.
[变式训练] 如图,在长方体OAEB-O1A1E1B1中,点P在棱AA1上,且AP=2PA1,点S在棱BB1上,且SB1=2BS,点Q,R分别是O1B1,AE的中点.求证:PQ∥RS.
【证明】 设=a,=b,=c,则
=++=-+=-a+b+c,
=+++=--++=-a+b+c.
所以=,∥.
又因为R PQ,
所以PQ∥RS.
题型二　求空间角
[例2] 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,BC=B1B=1,M,N分别是AD,DC的中点.求MN与BC1所成角的余弦值.
【解】 =-=(-),
=+=-+,
所以·=(-)·(-+)==.
又||=||==,||==,
所以cos<,>===.
故MN与BC1所成角的余弦值为.
基向量法求空间角的基本思路:将空间角转化为两条直线的方向向量的夹角(或其补角),再用基向量表示两方向向量,并借助向量的运算求出角.
[变式训练] 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠ABC=120°,AB=2,BC=CC1=1,则AB1与BC1所成角的余弦值为　　　　.
【答案】
【解析】如图,设=a,
=b,=c,
则=120°,c⊥a,c⊥b,
因为=+=-a+c,
=+=b+c,
| cos<,>|=
=
=
=
=
=.
题型三　求空间距离(长度)
[例3] 如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面ABCD是边长为1的正方形,侧棱PA的长为2,且PA与AB,AD的夹角都等于60°,M是PC的中点,设=a,=b,=c.
(1)试用a,b,c表示向量 ;
(2)求BM的长.
【解】 (1)=+=+=+(++)=--+=b-a+c.
(2)=(b-a+c)2=b2+a2+c2-
a·b+c·b-a·c=++1-0+×2×1×-×1×2×=,
所以||=,则BM的长为.
求空间距离(长度)问题的步骤
(1)选取空间基向量,将待求线段对应的向量用基向量表示.
(2)求该向量的模,利用空间向量的数量积运算求得线段的长度.
[变式训练] 如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,BC1与B1C相交于点O,∠A1AB=∠A1AC=60°,∠BAC=90°,A1A=3,AB=AC=2,则线段AO的长度为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 A
【解析】 因为四边形BCC1B1是平行四边形,
所以==(+),
所以=+=++=++,
因为∠A1AB=∠A1AC=60°,∠BAC=90°,A1A=3,AB=AC=2,所以==4,=9,·=0,·=·=3×2×cos 60°=3,
所以=(++)2=(+++2·+2·+2·)=,所以||=,即AO=.故选A.
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.在棱长为1的正四面体ABCD中,直线AB与CD(　　)
[A] 相交 [B]平行
[C]垂直 [D]无法判断位置关系
【答案】 C
【解析】如图,
因为=-,
所以·=·(-)=·-·=||·||·cos 60°-||·||·cos 60°=1×1×-1×1×=0.
所以⊥,即BA⊥CD.所以直线AB与CD垂直.故选C.
2.如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,AA1=AB=2,AD=1,E,F,G分别是DC,AB,CC1的中点,则A1E与GF所成角的余弦值是(　　)
[A] 0 [B] [C] [D]
【答案】 A
【解析】 根据题意可得,
·=(++)·(++)
=(-++)·(---)
=--=×4-1-×4=0,
从而得到和垂直,故其所成角的余弦值为0.故选A.
3.在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1⊥平面ABC,AA1=AB=AC=BC=1,M是B1C1的中点,则AM等于(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 C
【解析】 如图所示,
=++=++(-)=++,
故=(++)2=||2+++·+·+·,
在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面ABC,所以AA1⊥AC,AA1⊥AB,
在△ABC中,由AB=AC=BC,则∠BAC=60°,
由AA1=AB=AC=1,则=+1++×1×1×=,
则AM=.
故选C.
4.在四面体ABCD中,M为棱CD的中点,E为线段AM的中点,若=a+b+c,则等于(　　)
[A] [B]1 [C]2 [D]3
【答案】 C
【解析】如图,
=+=+=+(-)=+(+)-
=++=++×
=++(-)=++,
又=a+b+c,
所以a=,b=,c=,则=2.
故选C.
5.(多选题)在三棱锥PABC中,三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,且PA=PB=PC=3,G是△PAB的重心,E,F分别为BC,PB上的点,且BE∶EC=PF∶FB=1∶2,则下列说法正确的是(　　)
[A] EG⊥PG [B]EG⊥BC
[C]FG∥BC [D]FG⊥EF
【答案】 ABD
【解析】如图,设=a,=b,=c,则{a,b,c}是空间的一个正交基底,
则a·b=a·c=b·c=0,取AB的中点H,连接PH,PE,
则==×(a+b)=a+b,
=+=+(-)=b+c,
故=-=a+b-b-c=a-b-c,
=c-b,
=-=a+b-b=a,
=-=b-(b+c)=-b-c,
所以·=0,所以EG⊥PG,A正确;·=0,所以EG⊥BC,B正确;≠λ(λ∈R),C不正确;·=0,所以FG⊥EF,D正确.故选ABD.
6.(多选题)如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,若平行六面体的各棱长均相等,给出以下结论:
①A1M∥D1P;②A1M∥B1Q;③A1M∥平面DCC1D1;④A1M∥平面D1PQB1.
其中正确的是(　　)
[A] ① [B]② [C]③ [D]④
【答案】 ACD
【解析】 因为在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,点M,P,Q分别为棱AB,CD,BC的中点,
所以=+=-,
=+=-,
=++=--=-,
所以∥,与不共线,
所以A1M∥D1P,A1M与B1Q不平行,所以①正确,②错误;
因为A1M∥D1P,A1M 平面DCC1D1,D1P 平面DCC1D1,
所以A1M∥平面DCC1D1,所以③正确;
因为A1M∥D1P,A1M 平面D1PQB1,D1P 平面D1PQB1,
所以A1M∥平面D1PQB1,所以④正确.
故选ACD.
7. (5分)如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,AB=AD=1,AA1=2,∠BAD=∠BAA1=120°,∠DAA1=60°,则线段AC1的长是　　　　.
【答案】
【解析】 由题知=++,
所以=(++)2=+++2·+2·+2·
=+++2||·||cos 120°+2||·||cos 60°+2||·||cos 120°
=1+1+4-1+2-2=5,
所以||=,
即线段AC1的长是.
8. (5分)如图,在空间四边形ABCD 中,∠ABD=∠CBD=,∠ABC=,BC=BD=1,AB=,则AB与CD所成角的大小是　　　　.
【答案】
【解析】 依题意可知CD==,
·=·(-)=·-·=0+·=||||cos =1.
设AB与CD所成角的大小为α,则cos α===,
因为α∈(0,],
故α=.
9. (12分)如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,底面ABCD是边长为1的正方形,AA1=2,
∠A1AB=∠A1AD=120°,求的长.
【解】 设=a,=b,=c,
则|a|=|b|=1,|c|=2,a·b=0,a·c=b·c=1×2×cos 120°=-1,
因为=++=a-b+c,
所以||=|a-b+c|===.
10.(14分)如图,在底面 ABCD为菱形的平行六面体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别在棱AA1,CC1上,且A1M=AA1,CN=CC1,且∠A1AD=∠A1AB=∠DAB=60°.
(1)用向量,,表示向量;
(2)当为何值时,AC1⊥A1B.
【解】 (1)=+++
=-+++
=+-.
(2)当=1时,AC1⊥A1B.
理由如下.
设=a,=b,=c,
因为底面ABCD为菱形,
则当=1时,|a|=|b|=|c|,
因为=++=a+b+c,
=-=a-c,
∠A1AD=∠A1AB=∠DAB=60°,
所以·=(a+b+c)·(a-c)=a2+a·b-b·c-c2=0,
所以AC1⊥A1B.
11.在如图所示的斜三棱柱ABCA1B1C1中,AC=BC=CC1=2,∠BCC1=∠ACC1=,则“0<
∠ACB<”是“·(+)>10”的(　　)
[A] 充分不必要条件
[B]必要不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分也不必要条件
【答案】 C
【解析】 因为=+,
所以·(+)=(+)·(+)
=·+·+·+
=2×2×cos +2×2×cos +2×2×cos∠ACB+22=8+4cos∠ACB,
由·(+)>10,
得cos∠ACB>,
因为∠ACB∈(0,π),
所以0<∠ACB<,必要性得证.
反之,若0<∠ACB<,
则cos∠ACB>,
则8+4cos∠ACB>10,
即·(+)>10,充分性得证.
所以“0<∠ACB<”是“·(+)>10”的充要条件.
故选C.
12.(5分)已知正四面体PABC的棱长为6,空间中一点M满足=x+y+z,其中x,y,z∈R,且x+y+z=1.则||的最小值为　　　　.
【答案】 2
【解析】因为=x+y+z,x+y+z=1,
所以=(1-y-z)+y+z,
=-y-z+y+z,
所以-=y(-)+z(-),
所以=y+z,
因为,不共线,所以,,共面,
所以点M在平面ABC内,
所以当PM⊥平面ABC时,||取得最小值,
如图,取BC的中点D,连接AD,则点M在AD上,且AM=AD=×=2,
所以PM===2,
即||的最小值为2.
13.(17分)如图,在矩形 ABCD 和矩形ABEF中,AB=4,AD=AF=3,∠DAF=,=
λ,=λ,0<λ<1,记=a,=b,=c.
(1)将用a,b,c表示出来;
(2)当λ等于多少时,线段MN的长度取得最小值 求此时MN与AE夹角的余弦值.
【解】 (1)由题图知,=++=λ-+λ=λ(-)-+λ(+)=(λ-1)+λ=(λ-1)b+λc.
(2)由题意知|a|=4,|b|=|c|=3,a·b=a·c=0,b·c=3×3×cos=,
由(1)知=[(λ-1)b+λc]2
=(λ-1)2b2+2λ(λ-1)b·c+λ2c2
=9(λ-1)2+9λ(λ-1)+9λ2
=9(3λ2-3λ+1),
所以当λ=-=时,取得最小值,
即||取得最小值.
此时=-b+c,=a+c,
故||=,
||=
=
==5,
且·=(-b+c)·(a+c)=-a·b-b·c+a·c+|c|2=-×+×9=,
设MN与AE的夹角为θ,则cos θ=|cos<,>|===.
14.(5分)如图,已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为1,E,F分别是棱AD,B1C1的中点.若点P为侧面正方形ADD1A1内(含边)的动点,且存在x,y∈R,使=x+y 成立,则点P的轨迹长度为　　　　.
【答案】
【解析】因为=x+y 成立,
所以,,共面,
即B1P∥平面BEF,
如图,取A1D1中点Q,
连接B1Q,B1A,AQ,EF,
根据正方体的性质得,
B1Q∥BE,B1Q 平面BEF,BE 平面BEF,
所以B1Q∥平面BEF,
同理可证B1A∥平面BEF,
又B1Q∩B1A=B1,
所以平面B1AQ∥平面BEF,
所以点P在AQ上运动,点P的轨迹为线段AQ,
因为A1A=1,A1Q=,
所以QA==.

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