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1.3　空间向量及其
运算的坐标表示
1.3.1　空间直角坐标系
1.在平面直角坐标系的基础上,了解空间直角坐标系,感受建立空间直角坐标系的必要性,会用空间直角坐标系刻画点的位置.2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　空间直角坐标系
1.空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}.以点O为原点,分别以 的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴: 、 、
,它们都叫做坐标轴.这时就建立了一个空间直角坐标系 .
i,j,k
x轴
y轴
z轴
Oxyz
2.相关概念
叫做原点,i,j,k都叫做 向量,通过 的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面,它们把空间分成 个部分.
3.右手直角坐标系
在空间直角坐标系中,让右手拇指指向 的正方向,食指指向 的正方向,如果中指指向 的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.
O
坐标
每两条坐标轴
八
x轴
y轴
z轴
·疑难解惑·
(1)单位正交基向量:|i|=|j|=|k|=1,i·j=i·k=j·k=0.
(2)画空间直角坐标系Oxyz时,一般使 ∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°.
『知识拓展』
空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标的特点
点的位置 x轴上 y轴上 z轴上
坐标的形式 (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z)
点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内
坐标的形式 (x,y,0) (0,y,z) (x,0,z)
知识点二　空间向量的坐标
(x,y,z)
x
y
z
(x,y,z)
『知识拓展』
与向量坐标有关的重要结论
(1)向量a的坐标实质是向量a的单位正交分解的系数.
(2)两向量相等等价于它们对应的坐标相等,即设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则a=b x1=x2,y1=y2,z1=z2.
基础自测
1.已知点A(-3,0,-4),点A关于原点的对称点为B,则点B的坐标是(　　)
[A] (3,0,-4) [B](-3,0,4)
[C](-4,0,-3) [D](3,0,4)
D
【解析】 因为点(x,y,z)关于原点的对称点的坐标为(-x,-y,-z),
所以点A(-3,0,-4)关于原点的对称点B的坐标是(3,0,4).故选D.
2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=3,AA1=1.以这个长方体的顶点A为原点,射线AB,AD,AA1分别为 x轴,y轴,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系,则长方体顶点C1的坐标是(　　)
[A] (2,3,1)
[B](3,2,1)
[C](2,-3,1)
[D](-3,2,1)
A
【解析】如图,建立空间直角坐标系.
因为AB=2,AD=3,AA1=1,
所以C(2,3,0),A1(0,0,1),
因为点C1在Axy平面上的射影是C,
点C1的横坐标、纵坐标和点C的横坐标、纵坐标相同,
又点C1在z轴上的射影是A1,
它的竖坐标与点A1的竖坐标相同,
所以点C1的坐标为(2,3,1).
故选A.
关键能力·素养培优
[例1] (湘教版选择性必修第二册P59例2)长方体ABCD-A'B'C'D'的长、宽、高分别为|AB|=8,|AD|=3,|AA'|=5.建立适当的空间直角坐标系,并求顶点A,B,
C,D,A',B',C',D'的坐标.
题型一　空间中点的坐标
【解】如图,以A为原点,分别以有向直线AB,AD,AA'为x轴,y轴,z轴的正方向,以1为单位长度,建立空间直角坐标系A-xyz,则点A,B,C,D都在平面 xAy 内,因而其竖坐标z都为0.
因此A,B,C,D的坐标分别是A(0,0,0),B(8,0,0),C(8,3,0),D(0,3,0).
由于点A′,B′,C′,D′都在一个垂直于z轴的平面A′B′C′D′内,又|AA′|=5,
所以这四点的竖坐标z都是5.
又过A′,B′,C′,D′分别作xAy平面的垂线,垂足分别为A,B,C,D,
因此A′,B′,C′,D′的横坐标x、纵坐标y分别与A,B,C,D的横坐标x、纵坐标y
相同.
因此,A′,B′,C′,D′的坐标分别是A′(0,0,5),B′(8,0,5),C′(8,3,5),D′(0,3,5).
·解题策略·
求空间一点P的坐标的两种方法
(1)利用点在坐标轴上的射影求解.
[变式训练] 如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,若PA=3,
AB=2,AC=2,建立适当的空间直角坐标系.
(1)求各顶点的坐标;
【解】 (1)在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,
AB⊥AC,则射线AB,AC,AP两两垂直,
以A为原点,射线AB,AC,AP分别为 x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,所以A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,3).
(2)若点Q是PC的中点,求点Q的坐标.
[例2] 在空间直角坐标系Oxyz中,点M(-3,1,5)关于坐标平面Oxy对称的点的坐标是(　　)
[A] (-3,-1,-5) [B](-3,1,-5)
[C](3,1,-5) [D](3,-1,-5)
题型二　空间点的对称问题
B
【解析】 点M(-3,1,5)关于坐标平面Oxy对称的点的坐标的横、纵坐标不变,竖坐标变成相反数,所以坐标是(-3,1,-5).
故选B.
[典例迁移1] 在空间直角坐标系Oxyz中,点(-2,1,4)关于y轴对称的点的坐标是(　　)
[A] (2,1,-4) [B](2,1,4)
[C](-2,-1,-4) [D](2,-1,4)
A
【解析】 根据空间直角坐标系的特征,可得点(-2,1,4)关于y轴对称的点的坐标是(2,1,-4).故选A.
[典例迁移2] 在空间直角坐标系Oxyz中,点 P(1,2,3)关于点M(1,-2,0)对称的点的坐标是(　　)
C
·解题策略·
空间点的对称问题的解题策略
(1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题,要掌握对称点的变化规律,准确求解.
(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反”这个结论.
题型三　求空间向量的坐标
【解】由题意知 CC1⊥AC,CC1⊥BC,AC⊥BC,以C为原点,分别以CA,CB,CC1所在直线为 x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Cxyz,如图所示.
则A(1,0,0),B(0,1,0),A1(1,0,2),N(1,0,1),
·解题策略·
用坐标表示空间向量的步骤
感谢观看1.3.1　空间直角坐标系
【课程标准要求】　1.在平面直角坐标系的基础上,了解空间直角坐标系,感受建立空间直角坐标系的必要性,会用空间直角坐标系刻画点的位置.2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
知识点一　空间直角坐标系
1.空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}.以点O为原点,分别以 i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.
2.相关概念
O叫做原点,i,j,k都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面,它们把空间分成八个部分.
3.右手直角坐标系
在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.
(1)单位正交基向量:|i|=|j|=|k|=1,i·j=i·k=j·k=0.
(2)画空间直角坐标系Oxyz时,一般使 ∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°.
知识拓展
　空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标的特点
点的位置 x轴上 y轴上 z轴上
坐标的 形式 (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z)
点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内
坐标的 形式 (x,y,0) (0,y,z) (x,0,z)
知识点二　空间向量的坐标
在单位正交基底{i,j,k}下,=x i+y j +zk,其对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标.向量在空间直角坐标系Oxyz中的坐标可记作 =(x,y,z).
知识拓展
　与向量坐标有关的重要结论
(1)向量a的坐标实质是向量a的单位正交分解的系数.
(2)两向量相等等价于它们对应的坐标相等,即设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则a=b x1=x2,y1=y2,z1=z2.
基础自测
1.已知点A(-3,0,-4),点A关于原点的对称点为B,则点B的坐标是(　　)
[A] (3,0,-4) [B](-3,0,4)
[C](-4,0,-3) [D](3,0,4)
所以点A(-3,0,-4)关于原点的对称点B的坐标是(3,0,4).故选D.
2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=3,AA1=1.以这个长方体的顶点A为原点,射线AB,AD,AA1分别为 x轴,y轴,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系,则长方体顶点C1的坐标是(　　)
[A] (2,3,1) [B](3,2,1)
[C](2,-3,1) [D](-3,2,1)
因为AB=2,AD=3,AA1=1,
所以C(2,3,0),A1(0,0,1),
因为点C1在Axy平面上的射影是C,点C1的横坐标、纵坐标和点C的横坐标、纵坐标相同,
又点C1在z轴上的射影是A1,它的竖坐标与点A1的竖坐标相同,
所以点C1的坐标为(2,3,1).
故选A.
题型一　空间中点的坐标
[例1] (湘教版选择性必修第二册P59例2)长方体ABCD-A′B′C′D′的长、宽、高分别为|AB|=8,|AD|=3,|AA′|=5.建立适当的空间直角坐标系,并求顶点A,B,C,D,A′,B′,C′,D′的坐标.
因此A,B,C,D的坐标分别是A(0,0,0),B(8,0,0),C(8,3,0),D(0,3,0).
由于点A′,B′,C′,D′都在一个垂直于z轴的平面A′B′C′D′内,又|AA′|=5,所以这四点的竖坐标z都是5.
又过A′,B′,C′,D′分别作xAy平面的垂线,垂足分别为A,B,C,D,因此A′,B′,C′,D′的横坐标x、纵坐标y分别与A,B,C,D的横坐标x、纵坐标y相同.
因此,A′,B′,C′,D′的坐标分别是A′(0,0,5),B′(8,0,5),C′(8,3,5),D′(0,3,5).
求空间一点P的坐标的两种方法
(1)利用点在坐标轴上的射影求解.
(2)利用单位正交基底表示向量,的坐标就是点P的坐标.
[变式训练] 如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,若PA=3,AB=2,AC=2,建立适当的空间直角坐标系.
(1)求各顶点的坐标;
(2)若点Q是PC的中点,求点Q的坐标.
以A为原点,射线AB,AC,AP分别为 x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,所以A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,3).
(2)点Q是PC的中点,
则Q(0,1,).
题型二　空间点的对称问题
[例2] 在空间直角坐标系Oxyz中,点M(-3,1,5)关于坐标平面Oxy对称的点的坐标是(　　)
[A] (-3,-1,-5) [B](-3,1,-5)
[C](3,1,-5) [D](3,-1,-5)
故选B.
[典例迁移1] 在空间直角坐标系Oxyz中,点(-2,1,4)关于y轴对称的点的坐标是(　　)
[A] (2,1,-4) [B](2,1,4)
[C](-2,-1,-4) [D](2,-1,4)
[典例迁移2] 在空间直角坐标系Oxyz中,点 P(1,2,3)关于点M(1,-2,0)对称的点的坐标是(　　)
[A] (1,6,3) [B](-1,2,3)
[C](1,-6,-3) [D](1,0,)
则对称点的坐标为(1,-6,-3).故选C.
空间点的对称问题的解题策略
(1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题,要掌握对称点的变化规律,准确求解.
(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反”这个结论.
题型三　求空间向量的坐标
[例3] 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,N为A1A的中点.建立适当的空间直角坐标系求向量,,的坐标.
则A(1,0,0),B(0,1,0),A1(1,0,2),N(1,0,1),
所以=(1,-1,1),
=(1,-1,2),
=(-1,1,-2).
用坐标表示空间向量的步骤
[变式训练] 如图,PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,并且PA=AB=1.建立适当的空间直角坐标系求向量的坐标.
PA⊥平面ABCD,
AB⊥AD,
所以,,是两两垂直的单位向量.
以A为原点,以{,,}为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
因为=++
=-++
=-++(+)
=-++(++)
=+,
所以=(0,,).
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.在空间直角坐标系Oxyz中,已知点A(1,1,1),B(2,-1,0),若点P与点A关于Oyz平面对称,则等于(　　)
[A] (-3,2,1) [B](-1,0,1)
[C](-1,0,-1) [D](3,-2,-1)
故选A.
2.如图,在长方体OABC-O1A1B1C1中,OA=3,OC=5,OO1=4,点P是B1C1的中点,则点P的坐标为(　　)
[A] (3,5,4)
[B](,3,4)
[C](,5,4)
[D](5,,2)
则由中点坐标公式可得P(,5,4).故选C.
3.已知=8a+6b+4c,其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,是空间向量的一个单位正交基底,则点A的坐标为(　　)
[A] (12,14,10) [B](10,12,14)
[C](14,10,12) [D](4,2,3)
所以=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k=(12,14,10).
故选A.
4.(多选题)在空间直角坐标系Oxyz中,给出以下结论,其中正确的是(　　)
[A] 点A(1,-3,4)关于原点对称的点的坐标为(-1,-3,-4)
[B]点P(-1,2,3)关于y轴对称的点的坐标是(1,-2,-3)
[C]点P(-1,2,3)关于Ozx平面对称的点的坐标是(-1,-2,3)
[D]已知点C(-3,1,5)与点B(4,3,1),则CB的中点坐标是(,2,3)
5.(多选题)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知△ABC的边长为2,三棱柱的高为1,BC,B1C1的中点分别为D,D1,以D为原点,分别以,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则下列空间点及向量坐标表示正确的是(　　)
[A] A1(0,,1)
[B]C1(1,0,1)
[C]=(0,-,1)
[D]=(,,-1)
C1(1,0,1),D1(0,0,1),B1(-1,0,1),则=(0,-,1),=(1,,-1).故选ABC.
6.如图,在空间直角坐标系Oxyz中,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直(C与原点O重合),AB=,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,则点M的坐标为(　　)
[A] (1,1,1) [B](,,1)
[C](,,1) [D](,,1)
因为正方形ABCD与矩形ACEF所在的平面互相垂直,点M在EF上,且AM∥平面BDE,平面BDE∩平面ACEF=EO′,AM 平面ACEF,
所以AM∥O′E,又AO′∥EM,
所以四边形O′AME是平行四边形,
故EM=O′A=AC=EF,所以M是EF的中点,
因为AB=,AF=1,所以E(0,0,1),F(,,1),所以M(,,1).故选C.
7.(5分)点P(1,1,1)关于Oxy平面的对称点为P1,点P1关于z轴的对称点P2的坐标为　　　　　　.
而点P1关于z轴的对称点P2的坐标是(-1,-1,-1).
8.(5分)如图所示,正四面体ABCD的棱长为1,G是△BCD的中心,建立如图所示的空间直角坐标系,则的坐标为　　　　　,的坐标为　　　　　　.
BE==,
所以BG=BE=×=,
所以AG==,
所以=-k=(0,0,-),=-=-j-k=(0,-,-).
9.(12分)已知a=(3,4,5),e1=(2,-1,1),e2=(1,1,-1),e3=(0,3,3),用e1,e2,e3表示a.
设a=αe1+βe2+λe3,
即(3,4,5)=(2α+β,-α+β+3λ,α-β+3λ),
所以解得
所以a=e1+e2+e3.
10.(14分)如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G分别为棱DD1,D1C1,BC的中点,以{,,}为单位正交基底,求下列向量的坐标.
(1),,;
(2),,.
=++,
=+,
所以=(0,1,),=(,1,1),=(1,,0).
(2)=-=+,
所以=(,0,),
=-=--,
所以=(1,-,-),
=-=-,
所以=(1,-,0).
11.在正方体ABCDA1B1C1D1中,若向量a在单位正交基底下的坐标为(2,1,-3),则向量a在单位正交基底{,,}下的坐标为(　　)
[A] (2,1,-3) [B](-1,2,-3)
[C](1,-8,9) [D](-1,8,-9)
所以向量a在单位正交基底下的坐标为(-1,2,-3).故选B.
12.如图,棱长为的正四面体ABCD的三个顶点A,B,C分别在空间直角坐标系的 x轴,y轴,z轴上,则点D的坐标为(　　)
[A] (1,1,1)
[B](,,)
[C](,,)
[D](2,2,2)
故选A.
13.(17分)已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为棱BB1,DC的中点,建立空间直角坐标系,如图所示.
(1)写出正方体ABCDA1B1C1D1各顶点的坐标;
(2)写出向量,,的坐标;
(3)求向量在向量上的投影向量的坐标.
B1(2,2,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2).
(2)因为E,F分别为棱BB1,DC的中点,
所以 E(2,2,1),F(0,1,0),
所以 =(-2,-1,-1),
=(-2,-1,-2),
=(0,2,-1).
(3)易知向量 =(-2,2,-2),=(-2,2,0),
向量在向量上的投影向量为||·cos<,>·=·=·==(-2,2,0),
所以向量在向量上的投影向量的坐标为(-2,2,0).
14.设u为任一实数,则点(2,2,u)表示的是(　　)
[A] z轴
[B]与Oxy平面平行的一直线
[C]Oxy平面
[D]与Oxy平面垂直的一直线1.3.1　空间直角坐标系
【课程标准要求】　1.在平面直角坐标系的基础上,了解空间直角坐标系,感受建立空间直角坐标系的必要性,会用空间直角坐标系刻画点的位置.2.掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.
知识点一　空间直角坐标系
1.空间直角坐标系
在空间选定一点O和一个单位正交基底{i,j,k}.以点O为原点,分别以 i,j,k的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴:x轴、y轴、z轴,它们都叫做坐标轴.这时就建立了一个空间直角坐标系Oxyz.
2.相关概念
O叫做原点,i,j,k都叫做坐标向量,通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面,分别称为Oxy平面,Oyz平面,Ozx平面,它们把空间分成八个部分.
3.右手直角坐标系
在空间直角坐标系中,让右手拇指指向x轴的正方向,食指指向y轴的正方向,如果中指指向z轴的正方向,则称这个坐标系为右手直角坐标系.
(1)单位正交基向量:|i|=|j|=|k|=1,i·j=i·k=j·k=0.
(2)画空间直角坐标系Oxyz时,一般使 ∠xOy=135°(或45°),∠yOz=90°.
知识拓展
　空间直角坐标系中坐标轴、坐标平面上的点的坐标的特点
点的位置 x轴上 y轴上 z轴上
坐标的 形式 (x,0,0) (0,y,0) (0,0,z)
点的位置 Oxy平面内 Oyz平面内 Ozx平面内
坐标的 形式 (x,y,0) (0,y,z) (x,0,z)
知识点二　空间向量的坐标
在单位正交基底{i,j,k}下,=x i+y j +zk,其对应的有序实数组(x,y,z),叫做点A在空间直角坐标系中的坐标,记作A(x,y,z),其中x叫做点A的横坐标,y叫做点A的纵坐标,z叫做点A的竖坐标.向量在空间直角坐标系Oxyz中的坐标可记作 =(x,y,z).
知识拓展
　与向量坐标有关的重要结论
(1)向量a的坐标实质是向量a的单位正交分解的系数.
(2)两向量相等等价于它们对应的坐标相等,即设a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),则a=b x1=x2,y1=y2,z1=z2.
基础自测
1.已知点A(-3,0,-4),点A关于原点的对称点为B,则点B的坐标是(　　)
[A] (3,0,-4) [B](-3,0,4)
[C](-4,0,-3) [D](3,0,4)
【答案】 D
【解析】 因为点(x,y,z)关于原点的对称点的坐标为(-x,-y,-z),
所以点A(-3,0,-4)关于原点的对称点B的坐标是(3,0,4).故选D.
2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,AD=3,AA1=1.以这个长方体的顶点A为原点,射线AB,AD,AA1分别为 x轴,y轴,z轴的正半轴,建立空间直角坐标系,则长方体顶点C1的坐标是(　　)
[A] (2,3,1) [B](3,2,1)
[C](2,-3,1) [D](-3,2,1)
【答案】 A
【解析】如图,建立空间直角坐标系.
因为AB=2,AD=3,AA1=1,
所以C(2,3,0),A1(0,0,1),
因为点C1在Axy平面上的射影是C,点C1的横坐标、纵坐标和点C的横坐标、纵坐标相同,
又点C1在z轴上的射影是A1,它的竖坐标与点A1的竖坐标相同,
所以点C1的坐标为(2,3,1).
故选A.
题型一　空间中点的坐标
[例1] (湘教版选择性必修第二册P59例2)长方体ABCD-A′B′C′D′的长、宽、高分别为|AB|=8,|AD|=3,|AA′|=5.建立适当的空间直角坐标系,并求顶点A,B,C,D,A′,B′,C′,D′的坐标.
【解】如图,以A为原点,分别以有向直线AB,AD,AA′为x轴,y轴,z轴的正方向,以1为单位长度,建立空间直角坐标系A-xyz,则点A,B,C,D都在平面 xAy 内,因而其竖坐标z都为0.
因此A,B,C,D的坐标分别是A(0,0,0),B(8,0,0),C(8,3,0),D(0,3,0).
由于点A′,B′,C′,D′都在一个垂直于z轴的平面A′B′C′D′内,又|AA′|=5,所以这四点的竖坐标z都是5.
又过A′,B′,C′,D′分别作xAy平面的垂线,垂足分别为A,B,C,D,因此A′,B′,C′,D′的横坐标x、纵坐标y分别与A,B,C,D的横坐标x、纵坐标y相同.
因此,A′,B′,C′,D′的坐标分别是A′(0,0,5),B′(8,0,5),C′(8,3,5),D′(0,3,5).
求空间一点P的坐标的两种方法
(1)利用点在坐标轴上的射影求解.
(2)利用单位正交基底表示向量,的坐标就是点P的坐标.
[变式训练] 如图,在三棱锥 P-ABC 中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,若PA=3,AB=2,AC=2,建立适当的空间直角坐标系.
(1)求各顶点的坐标;
(2)若点Q是PC的中点,求点Q的坐标.
【解】 (1)在三棱锥P-ABC中,PA⊥平面ABC,AB⊥AC,则射线AB,AC,AP两两垂直,
以A为原点,射线AB,AC,AP分别为 x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图,所以A(0,0,0),B(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,3).
(2)点Q是PC的中点,
则Q(0,1,).
题型二　空间点的对称问题
[例2] 在空间直角坐标系Oxyz中,点M(-3,1,5)关于坐标平面Oxy对称的点的坐标是(　　)
[A] (-3,-1,-5) [B](-3,1,-5)
[C](3,1,-5) [D](3,-1,-5)
【答案】 B
【解析】 点M(-3,1,5)关于坐标平面Oxy对称的点的坐标的横、纵坐标不变,竖坐标变成相反数,所以坐标是(-3,1,-5).
故选B.
[典例迁移1] 在空间直角坐标系Oxyz中,点(-2,1,4)关于y轴对称的点的坐标是(　　)
[A] (2,1,-4) [B](2,1,4)
[C](-2,-1,-4) [D](2,-1,4)
【答案】 A
【解析】 根据空间直角坐标系的特征,可得点(-2,1,4)关于y轴对称的点的坐标是(2,1,-4).故选A.
[典例迁移2] 在空间直角坐标系Oxyz中,点 P(1,2,3)关于点M(1,-2,0)对称的点的坐标是(　　)
[A] (1,6,3) [B](-1,2,3)
[C](1,-6,-3) [D](1,0,)
【答案】 C
【解析】 设对称点的坐标为(x,y,z),则解得
则对称点的坐标为(1,-6,-3).故选C.
空间点的对称问题的解题策略
(1)空间点的对称问题可类比平面直角坐标系中点的对称问题,要掌握对称点的变化规律,准确求解.
(2)对称点的问题常常采用“关于谁对称,谁保持不变,其余坐标相反”这个结论.
题型三　求空间向量的坐标
[例3] 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,N为A1A的中点.建立适当的空间直角坐标系求向量,,的坐标.
【解】由题意知 CC1⊥AC,CC1⊥BC,AC⊥BC,以C为原点,分别以CA,CB,CC1所在直线为 x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系Cxyz,如图所示.
则A(1,0,0),B(0,1,0),A1(1,0,2),N(1,0,1),
所以=(1,-1,1),
=(1,-1,2),
=(-1,1,-2).
用坐标表示空间向量的步骤
[变式训练] 如图,PA垂直于正方形ABCD所在的平面,M,N分别是AB,PC的中点,并且PA=AB=1.建立适当的空间直角坐标系求向量的坐标.
【解】 因为PA=AB=AD=1,
PA⊥平面ABCD,
AB⊥AD,
所以,,是两两垂直的单位向量.
以A为原点,以{,,}为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.
因为=++
=-++
=-++(+)
=-++(++)
=+,
所以=(0,,).
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.在空间直角坐标系Oxyz中,已知点A(1,1,1),B(2,-1,0),若点P与点A关于Oyz平面对称,则等于(　　)
[A] (-3,2,1) [B](-1,0,1)
[C](-1,0,-1) [D](3,-2,-1)
【答案】 A
【解析】 由点P与点A关于Oyz平面对称,可得 P(-1,1,1),所以=(-3,2,1).
故选A.
2.如图,在长方体OABC-O1A1B1C1中,OA=3,OC=5,OO1=4,点P是B1C1的中点,则点P的坐标为(　　)
[A] (3,5,4)
[B](,3,4)
[C](,5,4)
[D](5,,2)
【答案】 C
【解析】 由题图可知,B1(3,5,4),C1(0,5,4),因为点P是B1C1的中点,
则由中点坐标公式可得P(,5,4).故选C.
3.已知=8a+6b+4c,其中a=i+j,b=j+k,c=k+i,是空间向量的一个单位正交基底,则点A的坐标为(　　)
[A] (12,14,10) [B](10,12,14)
[C](14,10,12) [D](4,2,3)
【答案】 A
【解析】 因为=8a+6b+4c,a=i+j,b=j+k,c=k+i,是空间向量的一个单位正交基底,
所以=8(i+j)+6(j+k)+4(k+i)=12i+14j+10k=(12,14,10).
故选A.
4.(多选题)在空间直角坐标系Oxyz中,给出以下结论,其中正确的是(　　)
[A] 点A(1,-3,4)关于原点对称的点的坐标为(-1,-3,-4)
[B]点P(-1,2,3)关于y轴对称的点的坐标是(1,-2,-3)
[C]点P(-1,2,3)关于Ozx平面对称的点的坐标是(-1,-2,3)
[D]已知点C(-3,1,5)与点B(4,3,1),则CB的中点坐标是(,2,3)
【答案】 CD
【解析】 点A(1,-3,4)关于原点对称的点的坐标为(-1,3,-4),故A错误;点P(-1,2,3)关于 y轴对称的点的坐标是(1,2,-3),故B错误;点 P(-1,2,3)关于Ozx平面对称的点的坐标是(-1,-2,3),故C正确;已知点C(-3,1,5)与点B(4,3,1),则CB的中点坐标是(,2,3),故D正确.故选CD.
5.(多选题)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,已知△ABC的边长为2,三棱柱的高为1,BC,B1C1的中点分别为D,D1,以D为原点,分别以,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则下列空间点及向量坐标表示正确的是(　　)
[A] A1(0,,1)
[B]C1(1,0,1)
[C]=(0,-,1)
[D]=(,,-1)
【答案】 ABC
【解析】 在等边三角形ABC中,AB=2,BD=1,所以AD=,则A(0,,0),A1(0,,1),
C1(1,0,1),D1(0,0,1),B1(-1,0,1),则=(0,-,1),=(1,,-1).故选ABC.
6.如图,在空间直角坐标系Oxyz中,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直(C与原点O重合),AB=,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,则点M的坐标为(　　)
[A] (1,1,1) [B](,,1)
[C](,,1) [D](,,1)
【答案】 C
【解析】如图,设AC,BD交于点O′,连接O′E,
因为正方形ABCD与矩形ACEF所在的平面互相垂直,点M在EF上,且AM∥平面BDE,平面BDE∩平面ACEF=EO′,AM 平面ACEF,
所以AM∥O′E,又AO′∥EM,
所以四边形O′AME是平行四边形,
故EM=O′A=AC=EF,所以M是EF的中点,
因为AB=,AF=1,所以E(0,0,1),F(,,1),所以M(,,1).故选C.
7.(5分)点P(1,1,1)关于Oxy平面的对称点为P1,点P1关于z轴的对称点P2的坐标为　　　　　　.
【答案】 (-1,-1,-1)
【解析】 因为点P(1,1,1)关于Oxy平面的对称点为P1,所以P1(1,1,-1),
而点P1关于z轴的对称点P2的坐标是(-1,-1,-1).
8.(5分)如图所示,正四面体ABCD的棱长为1,G是△BCD的中心,建立如图所示的空间直角坐标系,则的坐标为　　　　　,的坐标为　　　　　　.
【答案】 (0,0,-)　(0,-,-)
【解析】 设为所建空间直角坐标系的一个单位正交基底,由题意可知,
BE==,
所以BG=BE=×=,
所以AG==,
所以=-k=(0,0,-),=-=-j-k=(0,-,-).
9.(12分)已知a=(3,4,5),e1=(2,-1,1),e2=(1,1,-1),e3=(0,3,3),用e1,e2,e3表示a.
【解】 由题意得e1,e2,e3不共面.
设a=αe1+βe2+λe3,
即(3,4,5)=(2α+β,-α+β+3λ,α-β+3λ),
所以解得
所以a=e1+e2+e3.
10.(14分)如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F,G分别为棱DD1,D1C1,BC的中点,以{,,}为单位正交基底,求下列向量的坐标.
(1),,;
(2),,.
【解】 (1)=+,
=++,
=+,
所以=(0,1,),=(,1,1),=(1,,0).
(2)=-=+,
所以=(,0,),
=-=--,
所以=(1,-,-),
=-=-,
所以=(1,-,0).
11.在正方体ABCDA1B1C1D1中,若向量a在单位正交基底下的坐标为(2,1,-3),则向量a在单位正交基底{,,}下的坐标为(　　)
[A] (2,1,-3) [B](-1,2,-3)
[C](1,-8,9) [D](-1,8,-9)
【答案】 B
【解析】 因为a=2+-3=2--3=-+2-3,
所以向量a在单位正交基底下的坐标为(-1,2,-3).故选B.
12.如图,棱长为的正四面体ABCD的三个顶点A,B,C分别在空间直角坐标系的 x轴,y轴,z轴上,则点D的坐标为(　　)
[A] (1,1,1)
[B](,,)
[C](,,)
[D](2,2,2)
【答案】 A
【解析】 棱长为的正四面体ABCD可以放到正方体中,已知点D,点O的连线是正方体的体对角线,故点D的坐标为(1,1,1).
故选A.
13.(17分)已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为棱BB1,DC的中点,建立空间直角坐标系,如图所示.
(1)写出正方体ABCDA1B1C1D1各顶点的坐标;
(2)写出向量,,的坐标;
(3)求向量在向量上的投影向量的坐标.
【解】 (1)由题知,A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),A1(2,0,2),
B1(2,2,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2).
(2)因为E,F分别为棱BB1,DC的中点,
所以 E(2,2,1),F(0,1,0),
所以 =(-2,-1,-1),
=(-2,-1,-2),
=(0,2,-1).
(3)易知向量 =(-2,2,-2),=(-2,2,0),
向量在向量上的投影向量为||·cos<,>·=·=·==(-2,2,0),
所以向量在向量上的投影向量的坐标为(-2,2,0).
14.设u为任一实数,则点(2,2,u)表示的是(　　)
[A] z轴
[B]与Oxy平面平行的一直线
[C]Oxy平面
[D]与Oxy平面垂直的一直线
【答案】 D
【解析】在空间直角坐标系中画出动点(2,2,u),如图所示,故点(2,2,u)表示的是与Oxy平面垂直的一直线.故选D.

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