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1.3.2　空间向量运算的坐标表示
【课程标准要求】　1.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.2.掌握空间向量数量积的坐标表示,并利用数量积判断两向量的共线与垂直.
知识点一　空间向量运算的坐标表示
1.设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a+b (a1+b1,a2+b2,a3+b3)
减法 a-b (a1-b1,a2-b2,a3-b3)
数乘 λa (λa1,λa2,λa3)
数量积 a·b a1b1+a2b2+a3b3
2.设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
(1)空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示一致.
(2)运用公式可以简化运算:(a±b)2=a2±2a·b+b2,(a+b)·(a-b)=a2-b2.
(3)向量线性运算的结果仍是向量,用坐标表示;数量积的结果为数量.
知识点二　空间向量的平行、垂直及模、夹角
1.若a≠0,b≠0,a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
共线 a∥b a=λb a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R)
垂直 a⊥b a·b=0 a1b1+a2b2+a3b3=0
向量的模 |a|==
夹角公式 cos==
2.空间两点间的距离公式
设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,则=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).P1P2=||=.
(1)要证明a⊥b,就是证明a·b=0;要证明a∥b,就是证明a=λb(b≠0).
(2)a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),若a∥b,则 ==成立的条件是x2y2z2≠0.
基础自测
1.在空间直角坐标系中,若A(1,-1,3),=(5,0,2),则点B的坐标为(　　)
[A] (-4,-1,1) [B](6,-1,5)
[C](4,1,-1) [D](6,-1,-1)
2.设 x∈R,向量a=(x,1,1),b=(1,-2,1),且 a⊥b,则|a+b|等于(　　)
[A] 2 [B]2 [C]4 [D]3
所以a=(1,1,1),则a+b=(2,-1,2),所以 |a+b|==3.故选D.
3.已知向量a=(2,1,1),b=(0,-1,-1),若(a+λb)∥(a-b),则λ等于(　　)
[A] -2 [B]2 [C]-1 [D]1
所以 a+λb=(2,1,1)+λ(0,-1,-1)=(2,1-λ,1-λ),a-b=(2,1,1)-(0,-1,-1)=(2,2,2),
因为(a+λb)∥(a-b),
所以==,解得 λ=-1.故选C.
4.已知a=(3,2,-1),b=(2,1,2),则(a-b)·(a+2b)=　　　　.
题型一　空间向量的坐标运算
[例1] 在△ABC中,A(2,-5,3),=(4,1,2),=(3,-2,5).
(1)求·;
(2)若点P在AC上,且=,求点P的坐标.
所以=+=(4,1,2)+(3,-2,5)=(7,-1,7),
则=(-7,1,-7),
所以·=-21-2-35=-58.
(2)由(1)知,=(-7,1,-7),因为A(2,-5,3),所以点C的坐标为(9,-6,10).
设O为原点,因为=,
则-=(-),
则=+=(2,-5,3)+(9,-6,10)=(,-,),
所以点P的坐标为(,-,).
空间向量的坐标运算的方法及步骤
(1)由点的坐标求向量坐标:空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定.
(2)直接计算问题:首先将空间向量用坐标表示出来,然后代入公式计算.
(3)由条件求向量或点的坐标:把所求向量或点的坐标设出来,通过解方程(组),求出其坐标.
[变式训练] 已知点A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若=2,则的坐标是　　　　.
则=(x-1,y-2,z-1),=(-1-x,3-y,4-z),
由=2,
即(x-1,y-2,z-1)=2(-1-x,3-y,4-z),
可得x=-,y=,z=3,
所以P(-,,3),
故=(,-,-2).
题型二　空间向量平行、垂直的坐标表示及运用
[例2] (苏教版选择性必修第二册P23例3)已知空间四点A(-2,3,1),B(2,-5,3),C(10,0,10)和 D(8,4,9),求证:四边形ABCD是梯形.
同理=(2,-4,1),=(10,1,8),=(8,5,7).
由=2,可知∥.
考察向量与,由于≠,故不存在实数t,使得=t,即与不共线,所以四边形ABCD是梯形.
向量平行与垂直问题的类型及解法
(1)平行与垂直的判断
①应用向量判断两直线平行,只需要判断两直线的方向向量是否共线;
②判断两直线是否垂直,关键是判断两直线的方向向量是否垂直,即判断两方向向量的数量积是否为0.
(2)利用平行与垂直求参数
①适当引入参数(比如向量a,b(b≠0)平行,可设a=λb),建立关于参数的方程(组);
②选择坐标形式,以达到简化运算的目的.
[变式训练] 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC,E是侧棱CC1上的任意一点,在线段A1C1上是否存在一定点P,使得D1P总垂直于AE 请说明理由.
如图,以D为原点,以,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,
建立空间直角坐标系.
依题意可设
AB=BC=a,AA1=b,EC=t(0≤t≤b),
则D1(0,0,b),A(a,0,0),E(0,a,t),
设P(x,a-x,b)(0≤x≤a),
则=(x,a-x,0),=(-a,a,t),
由·=x×(-a)+(a-x)×a+0×t=0,得x=,即P(,,b),此时P为A1C1的中点,
所以在线段A1C1上存在一定点P,使得D1P总垂直于AE.
题型三　空间向量夹角、距离的坐标表示及应用
[例3] 已知向量a=(m,2,6),b=(1,0,2),c=(1,,2)(m∈R).
(1)求a·(b-c)的值;
(2)求cos;
(3)求|a-b|的最小值.
所以b-c=(0,-,0),
又a=(m,2,6),
所以a·(b-c)=2×(-)=-6.
(2)因为b=(1,0,2),c=(1,,2),
所以cos=
==.
(3)因为a=(m,2,6),b=(1,0,2),
所以a-b=(m-1,2,4),
所以|a-b|2=(m-1)2+(2)2+42=(m-1)2+28,
当m=1时,|a-b|2取得最小值28,则|a-b|的最小值为2.
应用空间向量夹角、距离的坐标时的注意事项
(1)计算数量积时严格对应坐标相乘再相加.
(2)模长计算需平方和开方,避免漏项.
(3)向量非零,零向量不定义夹角.
(4)夹角范围[0°,180°],余弦值∈[-1,1],注意符号判断锐角或钝角.
[变式训练] 设O为坐标原点,=(-2,0,2),=(-1,1,2),=(-3,0,4).
(1)求cos<,>;
(2)若点P为直线OC上一动点,求·的最小值.
所以||=,||=,·=1×(-1)+1×0+0×2=-1,
则cos<,>===-.
(2)由题意可设=λ,
则=(-3λ,0,4λ),
易知+=(-3,1,4),·=6,
所以·=(-)·(-)
=·-·(+)+
=6-25λ+25λ2=25(λ-)2-≥-,
当λ=时,·取得最小值-.
(分值:85分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.已知向量a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,0,2),则a·(2b-c)等于(　　)
[A] 12 [B]-12 [C]9 [D]-9
故选A.
2.已知向量a=(1,1,0),b=(1,0,2),且ka-b与 2a+b平行,则k等于(　　)
[A] 1 [B]-2 [C]-1 [D]2
因为ka-b与2a+b平行,
所以==,解得k=-2.
故选B.
3.在空间直角坐标系中,已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC一定是(　　)
[A] 等腰三角形 [B]等边三角形
[C]直角三角形 [D]等腰直角三角形
故||==,
||==,
||==,
而||2+||2=||2,所以△ABC一定为直角三角形.
故选C.
4.已知向量a=(0,-1,2),b=(2,0,1),以a,b为邻边的平行四边形的面积为(　　)
[A] [B] [C]2 [D]12
cos===,sin==,
故以a,b为邻边的平行四边形的面积为S=2×|a||b|sin=××=.
故选A.
5.(多选题)已知向量 a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,2,1),则下列结论正确的是(　　)
[A] 向量a与b的夹角为
[B]c⊥(a-b)
[C]向量a在向量b上的投影向量为(,0,)
[D]向量c与a,b共面
则cos===,
又0≤≤π,则=,故A错误;
因为a-b=(1,0,-1),则c·(a-b)=(1,2,1)·(1,0,-1)=1×1+2×0+1×(-1)=0,
故c⊥(a-b),故B正确;
根据投影向量的定义可知,向量a在向量b上的投影向量为|a|·cos·=b=(0,1,1)=)(0,,),故C错误;
由向量a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,2,1),可知c=a+b,故向量c与a,b共面,故D正确.
故选BD.
6.(多选题)已知空间中四点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),D(1,1,1),则(　　)
[A] ||=3
[B]⊥
[C]在上的投影数量为-
[D]<,>为锐角
所以||==,故A错误;
因为=(-1,2,1),=(-1,-1,1),所以 ·=1-2+1=0,所以⊥,故B正确;
因为=(-3,1,1),=(1,0,1),所以·=-3+1=-2,||==,
所以在上的投影数量为==-,故C正确;
因为=(2,1,0),=(1,0,1),所以·=2>0,由坐标可知,不共线,所以<,>为锐角,故D正确.
故选BCD.
7.(5分)已知向量a=(2,-1,3),b=(-1,1,x),若a与b垂直,则|b|=　　　　.
则a·b=2×(-1)+(-1)×1+3x=0,解得 x=1,所以b=(-1,1,1),
则|b|==.
8.(5分)已知空间向量a=(1,-1,2)与b=(t,1,t-1)的夹角是钝角,则实数t的取值范围是　　　　　 　　.
当a,b共线时,(1,-1,2)=λ(t,1,t-1),λ∈R,此时
解得λ=t=-1.
综上,实数t的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,1).
9.(11分)已知A(1,2,1),B(-1,3,4),C(1,1,1).
(1)求与夹角的余弦值;
(2)若=2,求的模.
||==,||=1,
所以cos<,>==-.
(2)由=2,
得=,即=(-,,1),
设P(x,y,z),则=(-1-x,3-y,4-z),
所以
解得
故P(-,,3),
则=(,-,-2),
所以||==.
10.如图,E是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1内部(含表面)一动点,则|++|的最大值为(　　)
[A]
[B]2
[C]
[D]3
设E(x,y,z)(0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1),
则=(-x,-y,-z),=(1-x,-y,-z),=(-x,1-y,-z),
则++=(1-3x,1-3y,-3z).
故|++|=,
当x=y=z=1时,取到最大值.故选C.
11.(5分)设O为原点,向量=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),点Q在直线AP上运动,当·取最小值时,||=　　　　.
可设=λ=λ(-)=(0,-λ,-λ),
=+=+(-)=(1,-λ-1,-λ-1),则 ·=-λ(-λ-1)-λ(-λ-1)=-,
当λ=-时,·取得最小值-,
此时=(1,-,-),
则||==.
12.(17分)如图,已知正三棱柱ABCA1B1C1的棱长都相等,P为A1B上的点.=λ,且PC⊥AB.求:
(1)λ的值;
(2)PC与AC1所成角的余弦值.
因为△ABC为等边三角形,故OB⊥AC,
以AC的中点O为原点,OB,OC所在直线为x轴,y轴,以过点O和AA1平行的直线为z轴,
建立空间直角坐标系,
则A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,1,0),A1(0,-1,2),C1(0,1,2),
于是=(,1,0),=(,1,-2),
因为=λ,
故=λ(,1,-2),
则P(λ,λ-1,-2λ+2),
故=(λ,λ-2,-2λ+2),
因为PC⊥AB,
所以·=(λ,λ-2,-2λ+2)·(,1,0)=0,
即3λ+λ-2=0,所以λ=.
(2)由(1)知P(,-,1),
所以=(,-,1),=(0,2,2),
所以||==2,
||==2,
所以cos<,>===-,
由于异面直线所成角的范围为(0,],
所以PC与AC1所成角的余弦值是.
13.如图,在四棱锥PABCD中,侧面PAD为正三角形,底面ABCD为正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,M为正方形 ABCD 内(包括边界)的一动点,且满足MP=MC,则点M在正方形ABCD内的轨迹为(　　)
　　　
[A] [B]
　　　
[C] [D]
设正方形ABCD的边长为a,M(x,y,0),
则0≤x≤a,0≤y≤a,P(,0,),C(0,a,0),
则||=,
||=.
由||=||,
得x=2y,
所以点M在正方形ABCD内的轨迹为一条线段y=x(0≤x≤a).故选A.(共31张PPT)
1.3.2　空间向量运算的
坐标表示
1.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.2.掌握空间向量数量积的坐标表示,并利用数量积判断两向量的共线与垂直.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　空间向量运算的坐标表示
1.设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a+b
减法 a-b
数乘 λa
数量积 a·b
(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
(λa1,λa2,λa3)
a1b1+a2b2+a3b3
(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
减去
·温馨提示·
(1)空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示一致.
(2)运用公式可以简化运算:(a±b)2=a2±2a·b+b2,(a+b)·(a-b)=a2-b2.
(3)向量线性运算的结果仍是向量,用坐标表示;数量积的结果为数量.
知识点二　空间向量的平行、垂直及模、夹角
1.若a≠0,b≠0,a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
a=λb
a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3
a·b=0
a1b1+a2b2+a3b3=0
2.空间两点间的距离公式
(x2-x1,y2-y1,z2-z1)
·疑难解惑·
(1)要证明a⊥b,就是证明a·b=0;要证明a∥b,就是证明a=λb(b≠0).
基础自测
[A] (-4,-1,1) [B](6,-1,5)
[C](4,1,-1) [D](6,-1,-1)
B
2.设 x∈R,向量a=(x,1,1),b=(1,-2,1),且 a⊥b,则|a+b|等于(　　)
D
3.已知向量a=(2,1,1),b=(0,-1,-1),若(a+λb)∥(a-b),则λ等于(　　)
[A] -2 [B]2 [C]-1 [D]1
C
4.已知a=(3,2,-1),b=(2,1,2),则(a-b)·(a+2b)=　　　　.
2
【解析】 由题意可得(a-b)·(a+2b)
=[(3,2,-1)-(2,1,2)]·[(3,2,-1)+2(2,1,2)]
=(1,1,-3)·(7,4,3)=7+4-9=2.
关键能力·素养培优
题型一　空间向量的坐标运算
·解题策略·
空间向量的坐标运算的方法及步骤
(1)由点的坐标求向量坐标:空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定.
(2)直接计算问题:首先将空间向量用坐标表示出来,然后代入公式计算.
(3)由条件求向量或点的坐标:把所求向量或点的坐标设出来,通过解方程
(组),求出其坐标.
[例2] (苏教版选择性必修第二册P23例3)已知空间四点A(-2,3,1),B(2,-5,3),
C(10,0,10)和 D(8,4,9),求证:四边形ABCD是梯形.
题型二　空间向量平行、垂直的坐标表示及运用
·解题策略·
向量平行与垂直问题的类型及解法
(1)平行与垂直的判断
①应用向量判断两直线平行,只需要判断两直线的方向向量是否共线;
②判断两直线是否垂直,关键是判断两直线的方向向量是否垂直,即判断两方向向量的数量积是否为0.
·解题策略·
(2)利用平行与垂直求参数
①适当引入参数(比如向量a,b(b≠0)平行,可设a=λb),建立关于参数的方程(组);
②选择坐标形式,以达到简化运算的目的.
[变式训练] 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC,E是侧棱CC1上的任意一点,在线段A1C1上是否存在一定点P,使得D1P总垂直于AE 请说明理由.
建立空间直角坐标系.
依题意可设
AB=BC=a,AA1=b,EC=t(0≤t≤b),
则D1(0,0,b),A(a,0,0),E(0,a,t),
题型三　空间向量夹角、距离的坐标表示及应用
(1)求a·(b-c)的值;
(2)求cos;
(3)求|a-b|的最小值.
·解题策略·
应用空间向量夹角、距离的坐标时的注意事项
(1)计算数量积时严格对应坐标相乘再相加.
(2)模长计算需平方和开方,避免漏项.
(3)向量非零,零向量不定义夹角.
(4)夹角范围[0°,180°],余弦值∈[-1,1],注意符号判断锐角或钝角.
感谢观看1.3.2　空间向量运算的坐标表示
【课程标准要求】　1.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示.2.掌握空间向量数量积的坐标表示,并利用数量积判断两向量的共线与垂直.
知识点一　空间向量运算的坐标表示
1.设a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),λ∈R,那么
向量运算 向量表示 坐标表示
加法 a+b (a1+b1,a2+b2,a3+b3)
减法 a-b (a1-b1,a2-b2,a3-b3)
数乘 λa (λa1,λa2,λa3)
数量积 a·b a1b1+a2b2+a3b3
2.设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2),则=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).即一个空间向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标.
(1)空间向量运算的坐标表示与平面向量运算的坐标表示一致.
(2)运用公式可以简化运算:(a±b)2=a2±2a·b+b2,(a+b)·(a-b)=a2-b2.
(3)向量线性运算的结果仍是向量,用坐标表示;数量积的结果为数量.
知识点二　空间向量的平行、垂直及模、夹角
1.若a≠0,b≠0,a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),则
共线 a∥b a=λb a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R)
垂直 a⊥b a·b=0 a1b1+a2b2+a3b3=0
向量的模 |a|==
夹角公式 cos==
2.空间两点间的距离公式
设P1(x1,y1,z1),P2(x2,y2,z2)是空间中任意两点,则=(x2-x1,y2-y1,z2-z1).P1P2=||=.
(1)要证明a⊥b,就是证明a·b=0;要证明a∥b,就是证明a=λb(b≠0).
(2)a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),若a∥b,则 ==成立的条件是x2y2z2≠0.
基础自测
1.在空间直角坐标系中,若A(1,-1,3),=(5,0,2),则点B的坐标为(　　)
[A] (-4,-1,1) [B](6,-1,5)
[C](4,1,-1) [D](6,-1,-1)
【答案】 B
【解析】 设B(x,y,z),故=(x,y,z)-(1,-1,3)=(x-1,y+1,z-3),所以(x-1,y+1,z-3)=(5,0,2),解得 x=6,y=-1,z=5,故B(6,-1,5).故选B.
2.设 x∈R,向量a=(x,1,1),b=(1,-2,1),且 a⊥b,则|a+b|等于(　　)
[A] 2 [B]2 [C]4 [D]3
【答案】 D
【解析】 由a⊥b,得a·b=x-2+1=0,解得x=1,
所以a=(1,1,1),则a+b=(2,-1,2),所以 |a+b|==3.故选D.
3.已知向量a=(2,1,1),b=(0,-1,-1),若(a+λb)∥(a-b),则λ等于(　　)
[A] -2 [B]2 [C]-1 [D]1
【答案】 C
【解析】 因为a=(2,1,1),b=(0,-1,-1),
所以 a+λb=(2,1,1)+λ(0,-1,-1)=(2,1-λ,1-λ),a-b=(2,1,1)-(0,-1,-1)=(2,2,2),
因为(a+λb)∥(a-b),
所以==,解得 λ=-1.故选C.
4.已知a=(3,2,-1),b=(2,1,2),则(a-b)·(a+2b)=　　　　.
【答案】 2
【解析】 由题意可得(a-b)·(a+2b)=[(3,2,-1)-(2,1,2)]·[(3,2,-1)+2(2,1,2)]=(1,1,-3)·(7,4,3)=7+4-9=2.
题型一　空间向量的坐标运算
[例1] 在△ABC中,A(2,-5,3),=(4,1,2),=(3,-2,5).
(1)求·;
(2)若点P在AC上,且=,求点P的坐标.
【解】 (1)因为=(4,1,2),=(3,-2,5),
所以=+=(4,1,2)+(3,-2,5)=(7,-1,7),
则=(-7,1,-7),
所以·=-21-2-35=-58.
(2)由(1)知,=(-7,1,-7),因为A(2,-5,3),所以点C的坐标为(9,-6,10).
设O为原点,因为=,
则-=(-),
则=+=(2,-5,3)+(9,-6,10)=(,-,),
所以点P的坐标为(,-,).
空间向量的坐标运算的方法及步骤
(1)由点的坐标求向量坐标:空间向量的坐标可由其两个端点的坐标确定.
(2)直接计算问题:首先将空间向量用坐标表示出来,然后代入公式计算.
(3)由条件求向量或点的坐标:把所求向量或点的坐标设出来,通过解方程(组),求出其坐标.
[变式训练] 已知点A(1,2,1),B(-1,3,4),D(1,1,1),若=2,则的坐标是　　　　.
【答案】 (,-,-2)
【解析】 设P(x,y,z),
则=(x-1,y-2,z-1),=(-1-x,3-y,4-z),
由=2,
即(x-1,y-2,z-1)=2(-1-x,3-y,4-z),
可得x=-,y=,z=3,
所以P(-,,3),
故=(,-,-2).
题型二　空间向量平行、垂直的坐标表示及运用
[例2] (苏教版选择性必修第二册P23例3)已知空间四点A(-2,3,1),B(2,-5,3),C(10,0,10)和 D(8,4,9),求证:四边形ABCD是梯形.
【证明】 依题意=(-2,3,1),=(2,-5,3),所以=-=(2,-5,3)-(-2,3,1)=(4,-8,2).
同理=(2,-4,1),=(10,1,8),=(8,5,7).
由=2,可知∥.
考察向量与,由于≠,故不存在实数t,使得=t,即与不共线,所以四边形ABCD是梯形.
向量平行与垂直问题的类型及解法
(1)平行与垂直的判断
①应用向量判断两直线平行,只需要判断两直线的方向向量是否共线;
②判断两直线是否垂直,关键是判断两直线的方向向量是否垂直,即判断两方向向量的数量积是否为0.
(2)利用平行与垂直求参数
①适当引入参数(比如向量a,b(b≠0)平行,可设a=λb),建立关于参数的方程(组);
②选择坐标形式,以达到简化运算的目的.
[变式训练] 如图,在长方体 ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC,E是侧棱CC1上的任意一点,在线段A1C1上是否存在一定点P,使得D1P总垂直于AE 请说明理由.
【解】 存在,理由如下.假设在线段A1C1上存在一定点P,使得D1P总垂直于AE.
如图,以D为原点,以,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,
建立空间直角坐标系.
依题意可设
AB=BC=a,AA1=b,EC=t(0≤t≤b),
则D1(0,0,b),A(a,0,0),E(0,a,t),
设P(x,a-x,b)(0≤x≤a),
则=(x,a-x,0),=(-a,a,t),
由·=x×(-a)+(a-x)×a+0×t=0,得x=,即P(,,b),此时P为A1C1的中点,
所以在线段A1C1上存在一定点P,使得D1P总垂直于AE.
题型三　空间向量夹角、距离的坐标表示及应用
[例3] 已知向量a=(m,2,6),b=(1,0,2),c=(1,,2)(m∈R).
(1)求a·(b-c)的值;
(2)求cos;
(3)求|a-b|的最小值.
【解】 (1)因为b=(1,0,2),c=(1, ,2),
所以b-c=(0,-,0),
又a=(m,2,6),
所以a·(b-c)=2×(-)=-6.
(2)因为b=(1,0,2),c=(1,,2),
所以cos=
==.
(3)因为a=(m,2,6),b=(1,0,2),
所以a-b=(m-1,2,4),
所以|a-b|2=(m-1)2+(2)2+42=(m-1)2+28,
当m=1时,|a-b|2取得最小值28,则|a-b|的最小值为2.
应用空间向量夹角、距离的坐标时的注意事项
(1)计算数量积时严格对应坐标相乘再相加.
(2)模长计算需平方和开方,避免漏项.
(3)向量非零,零向量不定义夹角.
(4)夹角范围[0°,180°],余弦值∈[-1,1],注意符号判断锐角或钝角.
[变式训练] 设O为坐标原点,=(-2,0,2),=(-1,1,2),=(-3,0,4).
(1)求cos<,>;
(2)若点P为直线OC上一动点,求·的最小值.
【解】 (1)由题意可知=-=(1,1,0),=-=(-1,0,2),
所以||=,||=,·=1×(-1)+1×0+0×2=-1,
则cos<,>===-.
(2)由题意可设=λ,
则=(-3λ,0,4λ),
易知+=(-3,1,4),·=6,
所以·=(-)·(-)
=·-·(+)+
=6-25λ+25λ2=25(λ-)2-≥-,
当λ=时,·取得最小值-.
(分值:85分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.已知向量a=(2,-3,1),b=(2,0,3),c=(0,0,2),则a·(2b-c)等于(　　)
[A] 12 [B]-12 [C]9 [D]-9
【答案】 A
【解析】 由题意得,2b-c=2(2,0,3)-(0,0,2)=(4,0,4),则a·(2b-c)=(2,-3,1)·(4,0,4)=8+0+4=12.
故选A.
2.已知向量a=(1,1,0),b=(1,0,2),且ka-b与 2a+b平行,则k等于(　　)
[A] 1 [B]-2 [C]-1 [D]2
【答案】 B
【解析】 由题意得ka-b=(k-1,k,-2),2a+b=(3,2,2),
因为ka-b与2a+b平行,
所以==,解得k=-2.
故选B.
3.在空间直角坐标系中,已知点A(1,-2,11),B(4,2,3),C(6,-1,4),则△ABC一定是(　　)
[A] 等腰三角形 [B]等边三角形
[C]直角三角形 [D]等腰直角三角形
【答案】 C
【解析】 由题知=(3,4,-8),=(2,-3,1),=(5,1,-7),
故||==,
||==,
||==,
而||2+||2=||2,所以△ABC一定为直角三角形.
故选C.
4.已知向量a=(0,-1,2),b=(2,0,1),以a,b为邻边的平行四边形的面积为(　　)
[A] [B] [C]2 [D]12
【答案】 A
【解析】 由题知|a|=,|b|=,a·b=2,则
cos===,sin==,
故以a,b为邻边的平行四边形的面积为S=2×|a||b|sin=××=.
故选A.
5.(多选题)已知向量 a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,2,1),则下列结论正确的是(　　)
[A] 向量a与b的夹角为
[B]c⊥(a-b)
[C]向量a在向量b上的投影向量为(,0,)
[D]向量c与a,b共面
【答案】 BD
【解析】 由题知b·a=0×1+1×1+1×0=1,|a|=|b|=,
则cos===,
又0≤≤π,则=,故A错误;
因为a-b=(1,0,-1),则c·(a-b)=(1,2,1)·(1,0,-1)=1×1+2×0+1×(-1)=0,
故c⊥(a-b),故B正确;
根据投影向量的定义可知,向量a在向量b上的投影向量为|a|·cos·=b=(0,1,1)=)(0,,),故C错误;
由向量a=(1,1,0),b=(0,1,1),c=(1,2,1),可知c=a+b,故向量c与a,b共面,故D正确.
故选BD.
6.(多选题)已知空间中四点A(0,1,0),B(2,2,0),C(-1,3,1),D(1,1,1),则(　　)
[A] ||=3
[B]⊥
[C]在上的投影数量为-
[D]<,>为锐角
【答案】 BCD
【解析】 因为=(2,1,0),
所以||==,故A错误;
因为=(-1,2,1),=(-1,-1,1),所以 ·=1-2+1=0,所以⊥,故B正确;
因为=(-3,1,1),=(1,0,1),所以·=-3+1=-2,||==,
所以在上的投影数量为==-,故C正确;
因为=(2,1,0),=(1,0,1),所以·=2>0,由坐标可知,不共线,所以<,>为锐角,故D正确.
故选BCD.
7.(5分)已知向量a=(2,-1,3),b=(-1,1,x),若a与b垂直,则|b|=　　　　.
【答案】
【解析】 由题意知a与b垂直,
则a·b=2×(-1)+(-1)×1+3x=0,解得 x=1,所以b=(-1,1,1),
则|b|==.
8.(5分)已知空间向量a=(1,-1,2)与b=(t,1,t-1)的夹角是钝角,则实数t的取值范围是　　　　　 　　.
【答案】 (-∞,-1)∪(-1,1)
【解析】 由题意知a·b<0,且a,b不共线,故 1×t-1+2(t-1)<0,即t<1.
当a,b共线时,(1,-1,2)=λ(t,1,t-1),λ∈R,此时
解得λ=t=-1.
综上,实数t的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,1).
9.(11分)已知A(1,2,1),B(-1,3,4),C(1,1,1).
(1)求与夹角的余弦值;
(2)若=2,求的模.
【解】 (1)=(-2,1,3),=(0,-1,0),则·=-1,
||==,||=1,
所以cos<,>==-.
(2)由=2,
得=,即=(-,,1),
设P(x,y,z),则=(-1-x,3-y,4-z),
所以
解得
故P(-,,3),
则=(,-,-2),
所以||==.
10.如图,E是棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1内部(含表面)一动点,则|++|的最大值为(　　)
[A]
[B]2
[C]
[D]3
【答案】 C
【解析】以A为原点,AB,AD,AA1所在的直线为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),
设E(x,y,z)(0≤x≤1,0≤y≤1,0≤z≤1),
则=(-x,-y,-z),=(1-x,-y,-z),=(-x,1-y,-z),
则++=(1-3x,1-3y,-3z).
故|++|=,
当x=y=z=1时,取到最大值.故选C.
11.(5分)设O为原点,向量=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),点Q在直线AP上运动,当·取最小值时,||=　　　　.
【答案】
【解析】 由题意知,∥,
可设=λ=λ(-)=(0,-λ,-λ),
=+=+(-)=(1,-λ-1,-λ-1),则 ·=-λ(-λ-1)-λ(-λ-1)=-,
当λ=-时,·取得最小值-,
此时=(1,-,-),
则||==.
12.(17分)如图,已知正三棱柱ABCA1B1C1的棱长都相等,P为A1B上的点.=λ,且PC⊥AB.求:
(1)λ的值;
(2)PC与AC1所成角的余弦值.
【解】 (1)如图,设正三棱柱的棱长为2,AC的中点为O,连接BO,
因为△ABC为等边三角形,故OB⊥AC,
以AC的中点O为原点,OB,OC所在直线为x轴,y轴,以过点O和AA1平行的直线为z轴,
建立空间直角坐标系,
则A(0,-1,0),B(,0,0),C(0,1,0),A1(0,-1,2),C1(0,1,2),
于是=(,1,0),=(,1,-2),
因为=λ,
故=λ(,1,-2),
则P(λ,λ-1,-2λ+2),
故=(λ,λ-2,-2λ+2),
因为PC⊥AB,
所以·=(λ,λ-2,-2λ+2)·(,1,0)=0,
即3λ+λ-2=0,所以λ=.
(2)由(1)知P(,-,1),
所以=(,-,1),=(0,2,2),
所以||==2,
||==2,
所以cos<,>===-,
由于异面直线所成角的范围为(0,],
所以PC与AC1所成角的余弦值是.
13.如图,在四棱锥PABCD中,侧面PAD为正三角形,底面ABCD为正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,M为正方形 ABCD 内(包括边界)的一动点,且满足MP=MC,则点M在正方形ABCD内的轨迹为(　　)
　　　
[A] [B]
　　　
[C] [D]
【答案】 A
【解析】 以D为原点,DA,DC所在的直线为 x轴,y轴建立如图所示的空间直角坐标系,
设正方形ABCD的边长为a,M(x,y,0),
则0≤x≤a,0≤y≤a,P(,0,),C(0,a,0),
则||=,
||=.
由||=||,
得x=2y,
所以点M在正方形ABCD内的轨迹为一条线段y=x(0≤x≤a).故选A.

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