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第2课时　空间中直线、平面的平行
【课程标准要求】　1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系.
知识点　空间中直线、平面的平行
1.线线平行的向量表示
设u1,u2分别是直线l1,l2的方向向量,则l1∥l2 u1∥u2 λ∈R,使得u1=λu2.
2.线面平行的向量表示
设u是直线 l 的方向向量,n是平面α的法向量,l α则l∥α u⊥n u·n=0.
3.面面平行的向量表示
设n1 ,n2 分别是平面α,β的法向量,则α∥β n1∥n2 λ∈R,使得n1=λn2.
(1)u,u1,u2,n,n1,n2都是非零向量.
(2)用向量方法证明线线平行时,必须说明两直线不重合;证明线面平行时,必须说明直线不在平面内;证明面面平行时,必须说明两个平面不重合.
基础自测
1.已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线l1,l2的方向向量.若l1∥l2,则(　　)
[A] x=6,y=15 [B]x=3,y=15
[C]x=,y= [D]x=6,y=
解得x=6,y=.
故选 D.
2.(苏教版选择性必修第二册P35练习T1(2)改编)两不重合平面的法向量分别为 v1=(1,0,-1), v2=(-2,0,2),则这两个平面的位置关系是(　　)
[A] 平行 [B]相交不垂直
[C]垂直 [D]以上都不对
而v1=-v2,故两不重合平面的法向量平行,所以这两个平面的位置关系是平行.故选A.
3.已知直线l的方向向量为u=(2,0,-1),平面α的一个法向量为v=(-2,1,-4),则l与α的位置关系为　　　　.
所以u⊥v,所以l∥α或l α.
题型一　直线与直线平行
[例1] 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是面对角线B1D1,A1B上的点,且D1E=2EB1,BF=2FA1.求证:EF∥AC1.
设DA=a,DC=b,DD1=c,则A(a,0,0),C1(0,b,c),D1(0,0,c),B1(a,b,c),B(a,b,0),A1(a,0,c).
由D1E=2EB1,
即=2,
可得E(,,c),
由BF=2FA1,
即=2,
可得F(a,,).
所以=(-,,),=(-a,b,c),
所以=.
又FE与AC1不共线,
所以EF∥AC1.
证明两直线平行的两种思路
[变式训练] 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1和BB1的中点.求证:四边形AEC1F是平行四边形.
不妨设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),
E(0,0,),C1(0,1,1),F(1,1,),
所以=(-1,0,),
=(-1,0,),=(0,1,),=(0,1,),
所以=,=,
所以∥,∥,
又因为F AE,F EC1,
所以AE∥FC1,EC1∥AF,
所以四边形AEC1F是平行四边形.
题型二　直线与平面平行
[例2] 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,M分别是BC,AE的中点,AD=AA1=1,AB=2.
试问在线段CD1上是否存在一点N, 使MN∥平面ADD1A1 若存在,确定N的位置;若不存在,请说明理由.
D(0,0,0),A(1,0,0),D1(0,0,1),C(0,2,0),E(,2,0),M(,1,0),
所以=(0,2,0),
连接DM,DN,假设CD1上存在点N使MN∥平面ADD1A1,=(,1,0),=(0,-2,1).
并设=λ=λ(0,-2,1)=(0,-2λ,λ)　(0<λ<1),
则=+=(0,2,0)+(0,-2λ,λ)=(0,2-2λ,λ),
=-=(-,1-2λ,λ),
由题意知=(0,2,0)是平面ADD1A1的一个法向量,
所以⊥,
即2(1-2λ)=0,
解得λ=.
因为MN 平面ADD1A1,
所以当N为CD1的中点时,MN∥平面ADD1A1.
证明线面平行问题的方法
(1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内.
(2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内.
(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内.
[变式训练] 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥AB,点D,E,F分别为A1B1,AA1,CD的中点, AB=AC=AA1=2.求证:EF∥平面ABC.
则A(2,0,0),C(2,0,2),A1(0,0,0),D(0,1,0),E(1,0,0),F(1,,1),
则=(0,,1),
平面ABC的一个法向量为m=(1,0,0),
则·m=0,
故⊥m,
因为EF 平面ABC,
故EF∥平面ABC.
题型三　平面与平面平行
[例3] (湘教版选择性必修第二册P92例10)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M,N,E,F分别是棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中点.求证:平面AMN∥平面BDEF.
于是=(-,0,a),=(,,0),
=(0,,a),=(,,0).
设n1=(x1,y1,z1)是平面AMN的法向量,
则
取z1=1,得x1=2,y1=-2,则n1=(2,-2,1).
设n2=(x2,y2,z2)是平面BDEF的法向量,
则
取z2=1,
得y2=-2,x2=2,
则n2=(2,-2,1)=n1.
又平面AMN与平面BDEF不重合,故平面AMN∥平面BDEF.
证明面面平行问题的两种方法
(1)转化为相应的线线平行或线面平行.
(2)分别求出这两个平面的法向量,然后证明这两个法向量平行.
本例题采用的是方法(2),解题过程虽复杂,但思路清晰,是证明面面平行的常用方法.
[变式训练] 如图,在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,F是棱AB的中点.求证:平面AA1D1D∥平面FCC1.
所以BF=BC=CF,
所以△BCF为等边三角形.
因为四边形ABCD为等腰梯形,
所以∠BAD=∠ABC=60°.
如图,取AF的中点M,连接DM,则DM⊥AB,
所以DM⊥CD.
以D为原点,DM,DC,DD1所在直线分别为 x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
则D(0,0,0),D1(0,0,2),A(,-1,0),F(,1,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),
所以=(0,0,2),=(,-1,0),=(,-1,0),=(0,0,2),
所以∥,∥,
又DD1∩DA=D,CC1∩CF=C,DD1,DA 平面AA1D1D,CC1,CF 平面FCC1,
显然平面AA1D1D与平面FCC1不重合.
所以平面AA1D1D∥平面FCC1.
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.在空间直角坐标系中,已知A(1,2,3),B(-2,-1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),则AB与CD的位置关系是(　　)
[A] 异面且不垂直 [B]平行
[C]垂直 [D]相交但不垂直
而=(2,0,-2),显然向量,不共线,即点C不在直线AB上,
所以AB与CD平行.
故选B.
2.已知直线l的一个方向向量为m=(1,2,-4),平面α的一个法向量为n=(2,3,t),若l∥α,则t等于(　　)
[A] 1 [B]2 [C]3 [D]4
可得m·n=2+6-4t=0,解得t=2.
故选B.
3.已知平面α的法向量为m=(2a,3,-2),平面β的法向量为n=(-2,b,1),若 α∥β,则a+2b等于(　　)
[A] -1 [B]1 [C]2 [D]
所以==,解得a=2,b=-,
故a+2b=2-3=-1.
故选A.
4.设向量a是平面α的法向量,向量u是直线m的方向向量,且m α,则“a·u=0”是“m∥α”的(　　)
[A] 充分不必要条件
[B]必要不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分也不必要条件
由a⊥u且m α,可以推出“m∥α”,
由“m∥α”也可以推出a⊥u,
故“a·u=0”是“m∥α”的充要条件.
故选C.
5.(多选题)直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,若l α,下列能使l∥α的是(　　)
[A] a=(1,3,5),n=(1,0,1)
[B]a=(1,0,1),n=(0,-2,0)
[C]a=(0,2,1),n=(-1,0,1)
[D]a=(1,-1,3),n=(0,3,1)
A选项中,a·n=1×1+0×3+1×5=6≠0,A选项不满足条件;
B选项中,a·n=1×0+0×(-2)+1×0=0,B选项满足条件;
C选项中,a·n=0×(-1)+2×0+1×1=1≠0,C选项不满足条件;
D选项中,a·n=1×0+(-1)×3+3×1=0,D选项满足条件.故选BD.
6.(多选题)已知α,β为两个不重合的平面,l为α内的一条直线,且其方向向量为(4,3,-2),若 α∥β,则平面β的法向量可能为(　　)
[A] (0,2,3) [B](5,0,10)
[C](-2,4,2) [D](1,-1,3)
(4,3,-2)·(-2,4,2)=-8+12-4=0,(4,3,-2)·(1,-1,3)=4-3-6=-5.
可知A,B,C都有可能,D不可能.故选ABC.
7.(5分)已知直线l1的一个方向向量为(-7,3,4),直线l2的一个方向向量为(x,y,8),且l1∥l2,则x=　　　　,y=　　　　.
8.(5分)已知平面α内的三点A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面β的一个法向量为n=(-1,-1,-1),且α与β不重合,则α与β的位置关系是　　　　.
n·=(-1,-1,-1)·(0,1,-1)=-1×0+(-1)×1+(-1)×(-1)=0,
n·=(-1,-1,-1)·(1,0,-1)=-1×1+(-1)×0+(-1)×(-1)=0,
所以n⊥,n⊥.
又AB∩AC=A,A,B,C∈平面α,
所以n为α的一个法向量,
又α与β不重合,所以α∥β.
9.(13分)已知空间中三点A(2,0,-2),B(1,-1,-2),C(3,0,-4).
(1)若|c|=3,且c∥,求向量c;
(2)若点P(1,-1,m)在平面ABC内,求m的值.
因为c∥,设c=λ(λ∈R),
则|c|=|λ|=|λ|·||,
则|λ|==1,λ=±1.
所以c=(2,1,-2)或c=(-2,-1,2).
(2)由已知得,=(-1,-1,m+2),=(-1,-1,0),=(1,0,-2).
点P(1,-1,m)在平面ABC内,P,A,B,C四点共面,则,,共面,则存在唯一的u,v∈R,使得=u+v成立,即解得
所以m=-2.
10.(15分)如图,在正方体 ABCDA'B'C'D'中,点E,F,G,H,M,N分别是该正方体六个面的中心,判断平面EFG与平面HMN的位置关系,并证明你的结论.
则E(1,1,0),F(1,0,1),G(2,1,1),H(1,1,2),M(1,2,1),N(0,1,1),
得=(0,-1,1),
=(1,1,0),=(0,1,-1),=(1,1,0),
所以∥,∥,
又E不在HM上,F不在NM上,所以EF∥HM,FG∥NM,
又HM 平面HMN,NM 平面HMN,
所以EF∥平面HMN,FG∥平面HMN,
又EF 平面EFG,FG 平面EFG,EF∩FG=F,所以平面EFG∥平面HMN.
11.(5分)如图,PA⊥平面ABCD,底面 ABCD 是正方形,E,F分别为PD,PB的中点,点G在线段AP上,AC与BD交于点O,PA=AB=2,若OG∥平面EFC,则AG=　　　　.
则F(1,0,1),E(0,1,1),
所以=(1,2,-1),=(-1,1,0),
设平面EFC的法向量为n=(x,y,z),
则
取x=1,则y=1,z=3,
所以平面EFC的一个法向量为 n=(1,1,3).
因为OG∥平面EFC,则n·=0,
设G(0,0,a)(0≤a≤2),则=(-1,-1,a),
所以-1-1+3a=0,
解得a=,
所以G(0,0,),
即AG=.
12.(5分)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,P是DD1的中点,则OP与BD1的位置关系是　 　　　;设=λ,若平面 D1BQ∥平面PAO,则λ=　　　　.
设正方体的棱长为1,则 O(,,0),C(0,1,0),C1(0,1,1),P(0,0,),A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1).
则=(-,-,),=(-1,-1,1),
所以=,∥,
因为O不在BD1上,所以OP∥BD1.
设Q(0,1,z),则=(-1,0,z).
由于OP∥BD1,故要使平面D1BQ∥平面PAO,只需∥,
又=(-1,0,),故z=,
则Q(0,1,),由=(0,0,),=(0,0,1)及=λ,得λ=.
13.(15分)在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4.在AB上是否存在点D,使得AC1∥平面CDB1
在直三棱柱
ABCA1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,则AC,BC,CC1两两垂直.
如图,以C为原点,射线CA,CB,CC1分别为 x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4).
假设在AB上存在点D,使得AC1∥平面CDB1,
则=λ=(-3λ,4λ,0),
其中0≤λ≤1,
则D(3-3λ,4λ,0),
=(3-3λ,4λ-4,-4).
又=(0,-4,-4),=(-3,0,4),AC1∥平面CDB1,
所以存在实数m,n,使得=m+n成立,
所以解得
所以在AB上存在点D使得AC1∥平面CDB1,且D是AB的中点.
14.如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,=λ(0<λ<1),=μ(0<μ<1),若MN∥平面AA1C1C,则线段MN的长度的最小值为(　　)
[A] [B] [C] [D]
则有D(0,0,0),A1(1,0,1),C(0,1,0),D1(0,0,1),B(1,1,0),
依题意,=λ=λ(1,0,1)=(λ,0,λ),
=+=+μ=(0,1,0)+μ(0,-1,1)=(0,1-μ,μ),
于是,=-=(-λ,1-μ,μ-λ).
又DB⊥AC,CC1⊥平面ABCD,DB 平面 ABCD,则CC1⊥DB,
又CC1∩AC=C,CC1,AC 平面AA1C1C,故BD⊥平面AA1C1C,故平面AA1C1C的一个法向量可取为n==(1,1,0),
因为MN∥平面AA1C1C,
故·n=-λ+1-μ=0,即λ+μ=1.
则||2=λ2+(1-μ)2+(μ-λ)2=2λ2+(1-2λ)2=6λ2-4λ+1=6(λ-)2+,
因为0<λ<1,故当λ=时,||min=.
故选D.1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示
【课程标准要求】　1.会用向量语言描述直线和平面.2.理解直线的方向向量和平面的法向量.3.会求直线的方向向量和平面的法向量.
知识点一　空间中点、直线和平面的向量表示
1.点的位置向量
如图,在空间中,取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.把向量称为点P的位置向量.
2.空间中直线的向量表示
如图,a是直线l的方向向量,在直线l上取=a,取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使=+ta①,将=a代入①式,得=+t.
(1)在空间中,一个向量是直线l的方向向量,必须具备以下两个条件:①是非零向量;②向量所在的直线与l平行或重合.
(2)与直线l平行或重合的任意非零向量a都是直线l的方向向量,即直线l的方向向量有无数个.
3.空间中平面的向量表示
如图,取定空间任意一点O,可以得到,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使=+x+y.
知识点二　平面的法向量
如图,直线l⊥α.取直线l的方向向量a,称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面α完全确定,可以表示为集合{P|a·=0}.
知识拓展
(1)平面α的一个法向量垂直于与平面α平行的所有向量.
(2)一个平面的法向量有无数个,且它们互相平行.
基础自测
1.若P(1,0,-2),Q(3,1,1)在直线l上,则直线l的一个方向向量为 (　　)
[A] (1,2,3) [B](1,3,2)
[C](2,1,3) [D](3,2,1)
2.已知点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的法向量可以是(　　)
[A] (1,1,1) [B](-1,,1)
[C](0,,0) [D](-1,0,1)
则故有x=y=z,只有A选项符合.故选A.
3.在空间直角坐标系中,向量=(1,0,-4),n=(-2,0,z)是平面α的一个法向量,若AB⊥平面α,则z=　　　　.
得z=8.
题型一　直线的方向向量
[例1] 在如图所示的空间直角坐标系中,正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则直线DD1的一个方向向量为　　　　,直线BC1的一个方向向量为　　　　.
因为BC1∥AD1,=(0,1,1),所以直线BC1的一个方向向量为(0,1,1).
求直线的方向向量关键是找到直线上两点,用所给的基向量表示以两点为起点和终点的向量,其难点是向量的运算.
[变式训练] 已知直线l的一个方向向量m=(3,-2,1),且直线l经过A(a,2,-1)和B(-2,3,b)两点,则a+b等于(　　)
[A] -2 [B]-1 [C]1 [D]2
题型二　求平面的法向量
[例2] 如图,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1中,A,B,D,A1的坐标分别为A(0,0,0),B(a,0,0),D(0,a,0),A1(0,0,a).则平面ABCD的法向量为　　　　,平面BDA1的法向量为　　　　.
由已知得=(-a,a,0),=(-a,0,a),
因而
取x=1,得y=z=1,
则n=(1,1,1)是平面BDA1的一个法向量.
求平面法向量的步骤
[变式训练] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面 ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,AB=AP=1,AD=,建立适当的空间直角坐标系,分别求平面ACE和平面PCD的一个法向量.
则A(0,0,0),C(1,,0),P(0,0,1),D(0,,0),E(0,,),
于是=(1,,0),
=(0,,),
设平面ACE的法向量为m=(x1,y1,z1),
则即
所以
取y1=-1,则x1=,z1=,
即m=(,-1,),所以平面ACE的一个法向量为 m=(,-1,).
设平面PCD的法向量为n=(x2,y2,z2).
因为C(1,,0),所以=(1,,-1),
因为D(0,,0),所以=(0,,-1).
则即取y2=1,则z2=,x2=0,则n=(0,1,),
所以平面PCD的一个法向量为n=(0,1,).
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.已知向量a=(2,-1,3),b=(-4,2x2,6x)都是直线l的方向向量,则x的值是(　　)
[A] -1 [B]1或-1
[C]-3 [D]1
则(-4,2x2,6x)=λ(2,-1,3)=(2λ,-λ,3λ),
所以解得x=-1.故选A.
2.已知直线l的方向向量为v=(6,2x-1,2),平面α的法向量为n=(x,2,x-1),若 l α,则实数x的值为(　　)
[A] - [B]-
[C] [D]
可得v·n=6x+4x-2+2x-2=0,解得x=.故选D.
3.在空间中,点A(1,2,-1),B(-2,1,-1),C(-1,2,0),则平面ABC的一个法向量为(　　)
[A] (2,1,3) [B](1,-3,2)
[C](1,3,2) [D](-1,2,2)
设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z),
则
令x=1,得y=-3,z=2,故n=(1,-3,2).
故选B.
4.已知平面α经过点A(0,1,2),且一个法向量为(-2,1,-1),P(x,y,z)是平面α内任意一点,则(　　)
[A] x+y-z=0 [B]x+y-z=-1
[C]2x-y+z=0 [D]2x-y+z=1
因此(x,y-1,z-2)·(-2,1,-1)=-2x+y-1-(z-2)=-2x+y-z+1=0,即2x-y+z=1.故选D.
5.从点A(2,-1,7)沿向量a=(8,9,-12)的方向取线段长||=34,则点B的坐标为(　　)
[A] (18,17,-17) [B](-14,-19,17)
[C](6,,1) [D](-2,-,13)
则=λa(λ>0),
即(x-2,y+1,z-7)=λ(8,9,-12),
因为||=34,所以=34,解得λ=2或λ=-2(舍),
所以x=18,y=17,z=-17,故B(18,17,-17).故选A.
6.(多选题)在如图所示的空间直角坐标系中,ABCDA1B1C1D1是棱长为1的正方体,给出下列结论中,正确的是(　　)
[A] 直线BD1的一个方向向量为(-2,2,2)
[B]直线BD1的一个方向向量为(2,2,2)
[C]平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)
[D]平面B1CD的一个法向量为(1,-1,-1)
对于A,B,可知=(-1,1,1),
所以向量(-2,2,2)为直线BD1的一个方向向量,故A正确,B不正确;
对于C,设平面B1CD1的法向量为n=(x,y,z),则
又=(0,-1,1),=(-1,0,1),
所以取x=1,则y=z=1,可得 n=(1,1,1),故C正确;
对于D,设平面B1CD的法向量为m=(a,b,c),则
又=(0,-1,1),=(-1,0,0),
所以
取b=1,则a=0,c=1,得m=(0,1,1),故D不正确.故选AC.
7.(5分)已知直线l的一个方向向量为m=(2,0,2),且直线l过点A(0,1,3)和B(1,1,z),则 z=　　　　.
解得z=4.
8.(5分)已知空间三点A(-1,1,1),B(0,0,1),C(1,2,-3).若空间中点N满足BN⊥平面ABC,则符合条件的一个点N的坐标是　　　　.
设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),
则n·=x-y=0,n·=2x+y-4z=0.
取x=1,则y=1,z=.
所以n=(1,1,).
设点N的坐标为(a,b,c),
则=(a,b,c-1).
由题知,∥n,即==.
所以点N的坐标满足(4k,4k,3k+1),其中 k≠0.取k=1,则N(4,4,4).
9.(12分)在△ABC中,A(1,-1,2),B(3,3,1),C(3,1,3),M(x,y,z)是平面ABC内任意一点.
(1)求平面ABC的一个法向量;
(2)求x,y,z满足的关系式.
因为=(2,4,-1),=(2,2,1),
所以
所以取b=2,则a=-3,c=2.
(2)由(1)知n=(-3,2,2)为平面ABC的一个法向量,因为点M(x,y,z)是平面ABC内任意一点,所以⊥n,
因为=(x-1,y+1,z-2),
所以-3(x-1)+2(y+1)+2(z-2)=0,
所以3x-2y-2z-1=0.
10.(15分)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=1,AA1=2.以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求平面BCC1B1的一个法向量;
(2)求平面A1BC的一个法向量.
(1)=(-1,1,0),=(0,0,2),
设平面BCC1B1的法向量为n=(x1,y1,z1),
则即
取x1=1,则y1=1,z1=0,则 n=(1,1,0),
所以平面BCC1B1的一个法向量为n=(1,1,0).
(2)=(-1,1,0),=(-1,0,2),
设平面A1BC的法向量为m=(x2,y2,z2),
则
即取x2=2,则y2=2,z2=1,
则 m=(2,2,1),
所以平面A1BC的一个法向量为m=(2,2,1).
11.阅读材料:在空间直角坐标系Oxyz中,过点 P(x0,y0,z0)且一个法向量为n=(a,b,c)的平面α的方程为a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0,阅读上面材料,解决下面问题:直线l是两平面x-3y+7=0与4y+2z+1=0的交线,则下列向量可以为直线l的方向向量的是(　　)
[A] (3,1,2) [B](3,1,-2)
[C](2,1,3) [D](-2,1,-3)
设直线l的方向向量m=(a,b,c),
则取b=1,则a=3,c=-2,则m=(3,1,-2).故选B.
12.已知平面α内两个向量a=(1,1,1),b=(0,2,-1),若c为平面 α的法向量且c=m a+n b+(4,-4,1),则m,n的值为(　　)
[A] -1,2 [B]1,-2
[C]1,2 [D]-1,-2
由c为平面α的法向量,得
即解得
故选A.
13.(17分)已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,如果=(2,-1,-4),
=(4,2,0),=(-1,2,-1).
(1)求证:是平面ABCD的法向量.
(2)求平行四边形ABCD的面积.
·=(-1,2,-1)·(4,2,0)=0.
所以AP⊥AB,AP⊥AD,又AB∩AD=A,AB,AD 平面ABCD,
所以AP⊥平面ABCD,
所以是平面ABCD的法向量.
||==2,
且 ·=(2,-1,-4)·(4,2,0)=6,
所以cos<,>===,
故sin<,>=,S ABCD= ||·||·sin<,>=8.
14.(5分)在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(-1,0,2),B(0,1,-1),点C,D分别在x轴,y轴上,且AD⊥BC,那么||的最小值是　　　　.
因为A(-1,0,2),B(0,1,-1),
所以=(1,y,-2),=(x,-1,1),
因为AD⊥BC,
所以·=x-y-2=0,即x=y+2.
因为=(-x,y,0),
所以||====≥ .
当y=-1时,||取得最小值 ,故||的最小值为 .第2课时　空间中直线、平面的平行
【课程标准要求】　1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系.
知识点　空间中直线、平面的平行
1.线线平行的向量表示
设u1,u2分别是直线l1,l2的方向向量,则l1∥l2 u1∥u2 λ∈R,使得u1=λu2.
2.线面平行的向量表示
设u是直线 l 的方向向量,n是平面α的法向量,l α则l∥α u⊥n u·n=0.
3.面面平行的向量表示
设n1 ,n2 分别是平面α,β的法向量,则α∥β n1∥n2 λ∈R,使得n1=λn2.
(1)u,u1,u2,n,n1,n2都是非零向量.
(2)用向量方法证明线线平行时,必须说明两直线不重合;证明线面平行时,必须说明直线不在平面内;证明面面平行时,必须说明两个平面不重合.
基础自测
1.已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线l1,l2的方向向量.若l1∥l2,则(　　)
[A] x=6,y=15 [B]x=3,y=15
[C]x=,y= [D]x=6,y=
【答案】 D
【解析】 因为l1∥l2,所以a∥b,即==,
解得x=6,y=.
故选 D.
2.(苏教版选择性必修第二册P35练习T1(2)改编)两不重合平面的法向量分别为 v1=(1,0,-1), v2=(-2,0,2),则这两个平面的位置关系是(　　)
[A] 平行 [B]相交不垂直
[C]垂直 [D]以上都不对
【答案】 A
【解析】 由题知,两不重合平面的法向量分别为v1=(1,0,-1),v2=(-2,0,2),
而v1=-v2,故两不重合平面的法向量平行,所以这两个平面的位置关系是平行.故选A.
3.已知直线l的方向向量为u=(2,0,-1),平面α的一个法向量为v=(-2,1,-4),则l与α的位置关系为　　　　.
【答案】 l∥α或l α
【解析】 因为u·v=(2,0,-1)·(-2,1,-4)=-4+0+4=0,
所以u⊥v,所以l∥α或l α.
题型一　直线与直线平行
[例1] 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是面对角线B1D1,A1B上的点,且D1E=2EB1,BF=2FA1.求证:EF∥AC1.
【证明】 如图所示,分别以DA,DC,DD1所在的直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
设DA=a,DC=b,DD1=c,则A(a,0,0),C1(0,b,c),D1(0,0,c),B1(a,b,c),B(a,b,0),A1(a,0,c).
由D1E=2EB1,
即=2,
可得E(,,c),
由BF=2FA1,
即=2,
可得F(a,,).
所以=(-,,),=(-a,b,c),
所以=.
又FE与AC1不共线,
所以EF∥AC1.
证明两直线平行的两种思路
[变式训练] 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1和BB1的中点.求证:四边形AEC1F是平行四边形.
【证明】 以点D为原点,建立如图所示的空间直角坐标系,
不妨设正方体的棱长为1,则A(1,0,0),
E(0,0,),C1(0,1,1),F(1,1,),
所以=(-1,0,),
=(-1,0,),=(0,1,),=(0,1,),
所以=,=,
所以∥,∥,
又因为F AE,F EC1,
所以AE∥FC1,EC1∥AF,
所以四边形AEC1F是平行四边形.
题型二　直线与平面平行
[例2] 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,M分别是BC,AE的中点,AD=AA1=1,AB=2.
试问在线段CD1上是否存在一点N, 使MN∥平面ADD1A1 若存在,确定N的位置;若不存在,请说明理由.
【解】 存在.如图,以为单位正交基底建立空间直角坐标系,
D(0,0,0),A(1,0,0),D1(0,0,1),C(0,2,0),E(,2,0),M(,1,0),
所以=(0,2,0),
连接DM,DN,假设CD1上存在点N使MN∥平面ADD1A1,=(,1,0),=(0,-2,1).
并设=λ=λ(0,-2,1)=(0,-2λ,λ)　(0<λ<1),
则=+=(0,2,0)+(0,-2λ,λ)=(0,2-2λ,λ),
=-=(-,1-2λ,λ),
由题意知=(0,2,0)是平面ADD1A1的一个法向量,
所以⊥,
即2(1-2λ)=0,
解得λ=.
因为MN 平面ADD1A1,
所以当N为CD1的中点时,MN∥平面ADD1A1.
证明线面平行问题的方法
(1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内.
(2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内.
(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内.
[变式训练] 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥AB,点D,E,F分别为A1B1,AA1,CD的中点, AB=AC=AA1=2.求证:EF∥平面ABC.
【证明】在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面A1B1C1,且AC⊥AB,则A1C1⊥A1B1,以A1为原点,A1A,A1B1,A1C1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(2,0,0),C(2,0,2),A1(0,0,0),D(0,1,0),E(1,0,0),F(1,,1),
则=(0,,1),
平面ABC的一个法向量为m=(1,0,0),
则·m=0,
故⊥m,
因为EF 平面ABC,
故EF∥平面ABC.
题型三　平面与平面平行
[例3] (湘教版选择性必修第二册P92例10)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M,N,E,F分别是棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中点.求证:平面AMN∥平面BDEF.
【证明】如图,以点D为原点,分别以,,的方向为x轴,y轴,z轴的正方向,并均以1为单位长度,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),M(,0,a),N(a,,a),E(0,,a),F(,a,a).
于是=(-,0,a),=(,,0),
=(0,,a),=(,,0).
设n1=(x1,y1,z1)是平面AMN的法向量,
则
取z1=1,得x1=2,y1=-2,则n1=(2,-2,1).
设n2=(x2,y2,z2)是平面BDEF的法向量,
则
取z2=1,
得y2=-2,x2=2,
则n2=(2,-2,1)=n1.
又平面AMN与平面BDEF不重合,故平面AMN∥平面BDEF.
证明面面平行问题的两种方法
(1)转化为相应的线线平行或线面平行.
(2)分别求出这两个平面的法向量,然后证明这两个法向量平行.
本例题采用的是方法(2),解题过程虽复杂,但思路清晰,是证明面面平行的常用方法.
[变式训练] 如图,在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,F是棱AB的中点.求证:平面AA1D1D∥平面FCC1.
【证明】 因为AB=4,BC=CD=2,F是棱AB的中点,
所以BF=BC=CF,
所以△BCF为等边三角形.
因为四边形ABCD为等腰梯形,
所以∠BAD=∠ABC=60°.
如图,取AF的中点M,连接DM,则DM⊥AB,
所以DM⊥CD.
以D为原点,DM,DC,DD1所在直线分别为 x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
则D(0,0,0),D1(0,0,2),A(,-1,0),F(,1,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),
所以=(0,0,2),=(,-1,0),=(,-1,0),=(0,0,2),
所以∥,∥,
又DD1∩DA=D,CC1∩CF=C,DD1,DA 平面AA1D1D,CC1,CF 平面FCC1,
显然平面AA1D1D与平面FCC1不重合.
所以平面AA1D1D∥平面FCC1.
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.在空间直角坐标系中,已知A(1,2,3),B(-2,-1,6),C(3,2,1),D(4,3,0),则AB与CD的位置关系是(　　)
[A] 异面且不垂直 [B]平行
[C]垂直 [D]相交但不垂直
【答案】 B
【解析】 由题知=(-3,-3,3),=(1,1,-1),则=-3,即∥,
而=(2,0,-2),显然向量,不共线,即点C不在直线AB上,
所以AB与CD平行.
故选B.
2.已知直线l的一个方向向量为m=(1,2,-4),平面α的一个法向量为n=(2,3,t),若l∥α,则t等于(　　)
[A] 1 [B]2 [C]3 [D]4
【答案】 B
【解析】 因为l∥α,则m⊥n,
可得m·n=2+6-4t=0,解得t=2.
故选B.
3.已知平面α的法向量为m=(2a,3,-2),平面β的法向量为n=(-2,b,1),若 α∥β,则a+2b等于(　　)
[A] -1 [B]1 [C]2 [D]
【答案】 A
【解析】 若α∥β,则m∥n,故a≠0,b≠0,
所以==,解得a=2,b=-,
故a+2b=2-3=-1.
故选A.
4.设向量a是平面α的法向量,向量u是直线m的方向向量,且m α,则“a·u=0”是“m∥α”的(　　)
[A] 充分不必要条件
[B]必要不充分条件
[C]充要条件
[D]既不充分也不必要条件
【答案】 C
【解析】 因为a·u=0 a⊥u,
由a⊥u且m α,可以推出“m∥α”,
由“m∥α”也可以推出a⊥u,
故“a·u=0”是“m∥α”的充要条件.
故选C.
5.(多选题)直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,若l α,下列能使l∥α的是(　　)
[A] a=(1,3,5),n=(1,0,1)
[B]a=(1,0,1),n=(0,-2,0)
[C]a=(0,2,1),n=(-1,0,1)
[D]a=(1,-1,3),n=(0,3,1)
【答案】 BD
【解析】 由l α,l∥α,可得a·n=0.
A选项中,a·n=1×1+0×3+1×5=6≠0,A选项不满足条件;
B选项中,a·n=1×0+0×(-2)+1×0=0,B选项满足条件;
C选项中,a·n=0×(-1)+2×0+1×1=1≠0,C选项不满足条件;
D选项中,a·n=1×0+(-1)×3+3×1=0,D选项满足条件.故选BD.
6.(多选题)已知α,β为两个不重合的平面,l为α内的一条直线,且其方向向量为(4,3,-2),若 α∥β,则平面β的法向量可能为(　　)
[A] (0,2,3) [B](5,0,10)
[C](-2,4,2) [D](1,-1,3)
【答案】 ABC
【解析】 (4,3,-2)·(0,2,3)=0+6-6=0,(4,3,-2)·(5,0,10)=20+0-20=0,
(4,3,-2)·(-2,4,2)=-8+12-4=0,(4,3,-2)·(1,-1,3)=4-3-6=-5.
可知A,B,C都有可能,D不可能.故选ABC.
7.(5分)已知直线l1的一个方向向量为(-7,3,4),直线l2的一个方向向量为(x,y,8),且l1∥l2,则x=　　　　,y=　　　　.
【答案】 -14　6
【解析】 因为直线l1的一个方向向量为(-7,3,4),直线l2的一个方向向量为(x,y,8),且 l1∥l2,所以==,解得x=-14,y=6.
8.(5分)已知平面α内的三点A(0,0,1),B(0,1,0),C(1,0,0),平面β的一个法向量为n=(-1,-1,-1),且α与β不重合,则α与β的位置关系是　　　　.
【答案】 平行
【解析】 因为=(0,1,-1),=(1,0,-1),
n·=(-1,-1,-1)·(0,1,-1)=-1×0+(-1)×1+(-1)×(-1)=0,
n·=(-1,-1,-1)·(1,0,-1)=-1×1+(-1)×0+(-1)×(-1)=0,
所以n⊥,n⊥.
又AB∩AC=A,A,B,C∈平面α,
所以n为α的一个法向量,
又α与β不重合,所以α∥β.
9.(13分)已知空间中三点A(2,0,-2),B(1,-1,-2),C(3,0,-4).
(1)若|c|=3,且c∥,求向量c;
(2)若点P(1,-1,m)在平面ABC内,求m的值.
【解】 (1)由已知得,=(2,1,-2),||==3,
因为c∥,设c=λ(λ∈R),
则|c|=|λ|=|λ|·||,
则|λ|==1,λ=±1.
所以c=(2,1,-2)或c=(-2,-1,2).
(2)由已知得,=(-1,-1,m+2),=(-1,-1,0),=(1,0,-2).
点P(1,-1,m)在平面ABC内,P,A,B,C四点共面,则,,共面,则存在唯一的u,v∈R,使得=u+v成立,即解得
所以m=-2.
10.(15分)如图,在正方体 ABCDA'B'C'D'中,点E,F,G,H,M,N分别是该正方体六个面的中心,判断平面EFG与平面HMN的位置关系,并证明你的结论.
【解】 平行.证明如下:建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,设正方体的棱长为2,
则E(1,1,0),F(1,0,1),G(2,1,1),H(1,1,2),M(1,2,1),N(0,1,1),
得=(0,-1,1),
=(1,1,0),=(0,1,-1),=(1,1,0),
所以∥,∥,
又E不在HM上,F不在NM上,所以EF∥HM,FG∥NM,
又HM 平面HMN,NM 平面HMN,
所以EF∥平面HMN,FG∥平面HMN,
又EF 平面EFG,FG 平面EFG,EF∩FG=F,所以平面EFG∥平面HMN.
11.(5分)如图,PA⊥平面ABCD,底面 ABCD 是正方形,E,F分别为PD,PB的中点,点G在线段AP上,AC与BD交于点O,PA=AB=2,若OG∥平面EFC,则AG=　　　　.
【答案】
【解析】如图所示,以A为原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,由题意可得P(0,0,2),B(2,0,0),D(0,2,0),C(2,2,0),O(1,1,0),
则F(1,0,1),E(0,1,1),
所以=(1,2,-1),=(-1,1,0),
设平面EFC的法向量为n=(x,y,z),
则
取x=1,则y=1,z=3,
所以平面EFC的一个法向量为 n=(1,1,3).
因为OG∥平面EFC,则n·=0,
设G(0,0,a)(0≤a≤2),则=(-1,-1,a),
所以-1-1+3a=0,
解得a=,
所以G(0,0,),
即AG=.
12.(5分)如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,P是DD1的中点,则OP与BD1的位置关系是　 　　　;设=λ,若平面 D1BQ∥平面PAO,则λ=　　　　.
【答案】 平行　
【解析】 如图所示,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Dxyz,
设正方体的棱长为1,则 O(,,0),C(0,1,0),C1(0,1,1),P(0,0,),A(1,0,0),B(1,1,0),D1(0,0,1).
则=(-,-,),=(-1,-1,1),
所以=,∥,
因为O不在BD1上,所以OP∥BD1.
设Q(0,1,z),则=(-1,0,z).
由于OP∥BD1,故要使平面D1BQ∥平面PAO,只需∥,
又=(-1,0,),故z=,
则Q(0,1,),由=(0,0,),=(0,0,1)及=λ,得λ=.
13.(15分)在直三棱柱ABCA1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4.在AB上是否存在点D,使得AC1∥平面CDB1
【解】存在.
在直三棱柱
ABCA1B1C1中,AC=3,BC=4,AB=5,则AC,BC,CC1两两垂直.
如图,以C为原点,射线CA,CB,CC1分别为 x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4).
假设在AB上存在点D,使得AC1∥平面CDB1,
则=λ=(-3λ,4λ,0),
其中0≤λ≤1,
则D(3-3λ,4λ,0),
=(3-3λ,4λ-4,-4).
又=(0,-4,-4),=(-3,0,4),AC1∥平面CDB1,
所以存在实数m,n,使得=m+n成立,
所以解得
所以在AB上存在点D使得AC1∥平面CDB1,且D是AB的中点.
14.如图,在棱长为1的正方体ABCDA1B1C1D1中,=λ(0<λ<1),=μ(0<μ<1),若MN∥平面AA1C1C,则线段MN的长度的最小值为(　　)
[A] [B] [C] [D]
【答案】 D
【解析】如图,连接BD,以点D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系.
则有D(0,0,0),A1(1,0,1),C(0,1,0),D1(0,0,1),B(1,1,0),
依题意,=λ=λ(1,0,1)=(λ,0,λ),
=+=+μ=(0,1,0)+μ(0,-1,1)=(0,1-μ,μ),
于是,=-=(-λ,1-μ,μ-λ).
又DB⊥AC,CC1⊥平面ABCD,DB 平面 ABCD,则CC1⊥DB,
又CC1∩AC=C,CC1,AC 平面AA1C1C,故BD⊥平面AA1C1C,故平面AA1C1C的一个法向量可取为n==(1,1,0),
因为MN∥平面AA1C1C,
故·n=-λ+1-μ=0,即λ+μ=1.
则||2=λ2+(1-μ)2+(μ-λ)2=2λ2+(1-2λ)2=6λ2-4λ+1=6(λ-)2+,
因为0<λ<1,故当λ=时,||min=.
故选D.1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时　空间中点、直线和平面的向量表示
【课程标准要求】　1.会用向量语言描述直线和平面.2.理解直线的方向向量和平面的法向量.3.会求直线的方向向量和平面的法向量.
知识点一　空间中点、直线和平面的向量表示
1.点的位置向量
如图,在空间中,取一定点O作为基点,那么空间中任意一点P就可以用向量来表示.把向量称为点P的位置向量.
2.空间中直线的向量表示
如图,a是直线l的方向向量,在直线l上取=a,取定空间中的任意一点O,可以得到点P在直线l上的充要条件是存在实数t,使=+ta①,将=a代入①式,得=+t.
(1)在空间中,一个向量是直线l的方向向量,必须具备以下两个条件:①是非零向量;②向量所在的直线与l平行或重合.
(2)与直线l平行或重合的任意非零向量a都是直线l的方向向量,即直线l的方向向量有无数个.
3.空间中平面的向量表示
如图,取定空间任意一点O,可以得到,空间一点P位于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使=+x+y.
知识点二　平面的法向量
如图,直线l⊥α.取直线l的方向向量a,称向量a为平面α的法向量.给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以向量a为法向量的平面α完全确定,可以表示为集合{P|a·=0}.
知识拓展
(1)平面α的一个法向量垂直于与平面α平行的所有向量.
(2)一个平面的法向量有无数个,且它们互相平行.
基础自测
1.若P(1,0,-2),Q(3,1,1)在直线l上,则直线l的一个方向向量为 (　　)
[A] (1,2,3) [B](1,3,2)
[C](2,1,3) [D](3,2,1)
【答案】 C
【解析】 依题意,直线l的一个方向向量为=(3,1,1)-(1,0,-2)=(2,1,3),其他三个均不合要求.故选C.
2.已知点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的法向量可以是(　　)
[A] (1,1,1) [B](-1,,1)
[C](0,,0) [D](-1,0,1)
【答案】 A
【解析】 由题知=(-1,1,0),=(-1,0,1),设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),
则故有x=y=z,只有A选项符合.故选A.
3.在空间直角坐标系中,向量=(1,0,-4),n=(-2,0,z)是平面α的一个法向量,若AB⊥平面α,则z=　　　　.
【答案】 8
【解析】 由题意得∥n,则=,
得z=8.
题型一　直线的方向向量
[例1] 在如图所示的空间直角坐标系中,正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则直线DD1的一个方向向量为　　　　,直线BC1的一个方向向量为　　　　.
【答案】 (0,0,1)　(0,1,1)(答案不唯一)
【解析】 因为DD1∥AA1,=(0,0,1),所以直线DD1的一个方向向量为(0,0,1).
因为BC1∥AD1,=(0,1,1),所以直线BC1的一个方向向量为(0,1,1).
求直线的方向向量关键是找到直线上两点,用所给的基向量表示以两点为起点和终点的向量,其难点是向量的运算.
[变式训练] 已知直线l的一个方向向量m=(3,-2,1),且直线l经过A(a,2,-1)和B(-2,3,b)两点,则a+b等于(　　)
[A] -2 [B]-1 [C]1 [D]2
【答案】 A
【解析】 因为=(-2-a,1,b+1),直线l的一个方向向量为m=(3,-2,1),所以向量与向量m共线,所以==,解得a=-,b=-,所以a+b=-2.故选A.
题型二　求平面的法向量
[例2] 如图,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1中,A,B,D,A1的坐标分别为A(0,0,0),B(a,0,0),D(0,a,0),A1(0,0,a).则平面ABCD的法向量为　　　　,平面BDA1的法向量为　　　　.
【答案】 (0,0,a)　(1,1,1)(答案不唯一)
【解析】 由于z轴垂直于平面ABCD,而z轴可用方向向量=(0,0,a)表示,因此(0,0,a)是平面ABCD的一个法向量.设n=(x,y,z)是平面BDA1的法向量.
由已知得=(-a,a,0),=(-a,0,a),
因而
取x=1,得y=z=1,
则n=(1,1,1)是平面BDA1的一个法向量.
求平面法向量的步骤
[变式训练] 如图,在四棱锥P-ABCD中,底面 ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,E为PD的中点,AB=AP=1,AD=,建立适当的空间直角坐标系,分别求平面ACE和平面PCD的一个法向量.
【解】 如图所示,以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Axyz,
则A(0,0,0),C(1,,0),P(0,0,1),D(0,,0),E(0,,),
于是=(1,,0),
=(0,,),
设平面ACE的法向量为m=(x1,y1,z1),
则即
所以
取y1=-1,则x1=,z1=,
即m=(,-1,),所以平面ACE的一个法向量为 m=(,-1,).
设平面PCD的法向量为n=(x2,y2,z2).
因为C(1,,0),所以=(1,,-1),
因为D(0,,0),所以=(0,,-1).
则即取y2=1,则z2=,x2=0,则n=(0,1,),
所以平面PCD的一个法向量为n=(0,1,).
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.已知向量a=(2,-1,3),b=(-4,2x2,6x)都是直线l的方向向量,则x的值是(　　)
[A] -1 [B]1或-1
[C]-3 [D]1
【答案】 A
【解析】 由题意可得a∥b,所以b=λa,
则(-4,2x2,6x)=λ(2,-1,3)=(2λ,-λ,3λ),
所以解得x=-1.故选A.
2.已知直线l的方向向量为v=(6,2x-1,2),平面α的法向量为n=(x,2,x-1),若 l α,则实数x的值为(　　)
[A] - [B]-
[C] [D]
【答案】 D
【解析】 若l α,则v⊥n,
可得v·n=6x+4x-2+2x-2=0,解得x=.故选D.
3.在空间中,点A(1,2,-1),B(-2,1,-1),C(-1,2,0),则平面ABC的一个法向量为(　　)
[A] (2,1,3) [B](1,-3,2)
[C](1,3,2) [D](-1,2,2)
【答案】 B
【解析】 由题得=(-3,-1,0),=(-2,0,1),
设平面ABC的一个法向量为n=(x,y,z),
则
令x=1,得y=-3,z=2,故n=(1,-3,2).
故选B.
4.已知平面α经过点A(0,1,2),且一个法向量为(-2,1,-1),P(x,y,z)是平面α内任意一点,则(　　)
[A] x+y-z=0 [B]x+y-z=-1
[C]2x-y+z=0 [D]2x-y+z=1
【答案】 D
【解析】 依题意,=(x,y-1,z-2),而平面α的一个法向量为(-2,1,-1),
因此(x,y-1,z-2)·(-2,1,-1)=-2x+y-1-(z-2)=-2x+y-z+1=0,即2x-y+z=1.故选D.
5.从点A(2,-1,7)沿向量a=(8,9,-12)的方向取线段长||=34,则点B的坐标为(　　)
[A] (18,17,-17) [B](-14,-19,17)
[C](6,,1) [D](-2,-,13)
【答案】 A
【解析】 设点B的坐标为(x,y,z),
则=λa(λ>0),
即(x-2,y+1,z-7)=λ(8,9,-12),
因为||=34,所以=34,解得λ=2或λ=-2(舍),
所以x=18,y=17,z=-17,故B(18,17,-17).故选A.
6.(多选题)在如图所示的空间直角坐标系中,ABCDA1B1C1D1是棱长为1的正方体,给出下列结论中,正确的是(　　)
[A] 直线BD1的一个方向向量为(-2,2,2)
[B]直线BD1的一个方向向量为(2,2,2)
[C]平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1)
[D]平面B1CD的一个法向量为(1,-1,-1)
【答案】 AC
【解析】 由题意,得B(1,0,0),B1(1,0,1),C(1,1,0),D(0,1,0),D1(0,1,1).
对于A,B,可知=(-1,1,1),
所以向量(-2,2,2)为直线BD1的一个方向向量,故A正确,B不正确;
对于C,设平面B1CD1的法向量为n=(x,y,z),则
又=(0,-1,1),=(-1,0,1),
所以取x=1,则y=z=1,可得 n=(1,1,1),故C正确;
对于D,设平面B1CD的法向量为m=(a,b,c),则
又=(0,-1,1),=(-1,0,0),
所以
取b=1,则a=0,c=1,得m=(0,1,1),故D不正确.故选AC.
7.(5分)已知直线l的一个方向向量为m=(2,0,2),且直线l过点A(0,1,3)和B(1,1,z),则 z=　　　　.
【答案】 4
【解析】 由题得=(1,0,z-3),则=,
解得z=4.
8.(5分)已知空间三点A(-1,1,1),B(0,0,1),C(1,2,-3).若空间中点N满足BN⊥平面ABC,则符合条件的一个点N的坐标是　　　　.
【答案】 (4,4,4)(答案不唯一)
【解析】 因为=(1,-1,0),=(2,1,-4),
设平面ABC的法向量为n=(x,y,z),
则n·=x-y=0,n·=2x+y-4z=0.
取x=1,则y=1,z=.
所以n=(1,1,).
设点N的坐标为(a,b,c),
则=(a,b,c-1).
由题知,∥n,即==.
所以点N的坐标满足(4k,4k,3k+1),其中 k≠0.取k=1,则N(4,4,4).
9.(12分)在△ABC中,A(1,-1,2),B(3,3,1),C(3,1,3),M(x,y,z)是平面ABC内任意一点.
(1)求平面ABC的一个法向量;
(2)求x,y,z满足的关系式.
【解】 (1)设平面ABC的法向量为n=(a,b,c).
因为=(2,4,-1),=(2,2,1),
所以
所以取b=2,则a=-3,c=2.
所以平面ABC的一个法向量为n=(-3,2,2)(其他正确答案也可以).
(2)由(1)知n=(-3,2,2)为平面ABC的一个法向量,因为点M(x,y,z)是平面ABC内任意一点,所以⊥n,
因为=(x-1,y+1,z-2),
所以-3(x-1)+2(y+1)+2(z-2)=0,
所以3x-2y-2z-1=0.
10.(15分)如图,在直三棱柱ABCA1B1C1中,AB⊥AC,AB=AC=1,AA1=2.以A为原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
(1)求平面BCC1B1的一个法向量;
(2)求平面A1BC的一个法向量.
【解】 易知B(1,0,0),C(0,1,0),B1(1,0,2),A1(0,0,2).
(1)=(-1,1,0),=(0,0,2),
设平面BCC1B1的法向量为n=(x1,y1,z1),
则即
取x1=1,则y1=1,z1=0,则 n=(1,1,0),
所以平面BCC1B1的一个法向量为n=(1,1,0).
(2)=(-1,1,0),=(-1,0,2),
设平面A1BC的法向量为m=(x2,y2,z2),
则
即取x2=2,则y2=2,z2=1,
则 m=(2,2,1),
所以平面A1BC的一个法向量为m=(2,2,1).
11.阅读材料:在空间直角坐标系Oxyz中,过点 P(x0,y0,z0)且一个法向量为n=(a,b,c)的平面α的方程为a(x-x0)+b(y-y0)+c(z-z0)=0,阅读上面材料,解决下面问题:直线l是两平面x-3y+7=0与4y+2z+1=0的交线,则下列向量可以为直线l的方向向量的是(　　)
[A] (3,1,2) [B](3,1,-2)
[C](2,1,3) [D](-2,1,-3)
【答案】 B
【解析】 由阅读材料可知,平面x-3y+7=0的法向量可取a=(1,-3,0),平面4y+2z+1=0的法向量可取b=(0,4,2),
设直线l的方向向量m=(a,b,c),
则取b=1,则a=3,c=-2,则m=(3,1,-2).故选B.
12.已知平面α内两个向量a=(1,1,1),b=(0,2,-1),若c为平面 α的法向量且c=m a+n b+(4,-4,1),则m,n的值为(　　)
[A] -1,2 [B]1,-2
[C]1,2 [D]-1,-2
【答案】 A
【解析】 c=ma+nb+(4,-4,1)=(m,m,m)+(0,2n,-n)+(4,-4,1)=(m+4,m+2n-4,m-n+1).
由c为平面α的法向量,得
即解得
故选A.
13.(17分)已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,如果=(2,-1,-4),
=(4,2,0),=(-1,2,-1).
(1)求证:是平面ABCD的法向量.
(2)求平行四边形ABCD的面积.
(1)【证明】 因为·=(-1,2,-1)·(2,-1,-4)=0,
·=(-1,2,-1)·(4,2,0)=0.
所以AP⊥AB,AP⊥AD,又AB∩AD=A,AB,AD 平面ABCD,
所以AP⊥平面ABCD,
所以是平面ABCD的法向量.
(2)【解】 因为||==,
||==2,
且 ·=(2,-1,-4)·(4,2,0)=6,
所以cos<,>===,
故sin<,>=,S ABCD= ||·||·sin<,>=8.
14.(5分)在空间直角坐标系Oxyz中,已知A(-1,0,2),B(0,1,-1),点C,D分别在x轴,y轴上,且AD⊥BC,那么||的最小值是　　　　.
【答案】
【解析】 设C(x,0,0),D(0,y,0),
因为A(-1,0,2),B(0,1,-1),
所以=(1,y,-2),=(x,-1,1),
因为AD⊥BC,
所以·=x-y-2=0,即x=y+2.
因为=(-x,y,0),
所以||====≥ .
当y=-1时,||取得最小值 ,故||的最小值为 .(共25张PPT)
1.4　空间向量的应用
1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系
第1课时　空间中点、直线和
平面的向量表示
1.会用向量语言描述直线和平面.2.理解直线的方向向量和平面的法向量.
3.会求直线的方向向量和平面的法向量.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点一　空间中点、直线和平面的向量表示
1.点的位置向量
基点
位置向量
2.空间中直线的向量表示
·疑难解惑·
(1)在空间中,一个向量是直线l的方向向量,必须具备以下两个条件:①是非零向量;②向量所在的直线与l平行或重合.
(2)与直线l平行或重合的任意非零向量a都是直线l的方向向量,即直线l的方向向量有无数个.
3.空间中平面的向量表示
知识点二　平面的法向量
方向向量
向量a
『知识拓展』
(1)平面α的一个法向量垂直于与平面α平行的所有向量.
(2)一个平面的法向量有无数个,且它们互相平行.
基础自测
1.若P(1,0,-2),Q(3,1,1)在直线l上,则直线l的一个方向向量为 (　　)
[A] (1,2,3) [B](1,3,2)
[C](2,1,3) [D](3,2,1)
C
2.已知点A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),则平面ABC的法向量可以是(　　)
A
8
关键能力·素养培优
[例1] 在如图所示的空间直角坐标系中,正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则直线DD1的一个方向向量为　　 　,直线BC1的一个方向向量为　　 　　.
题型一　直线的方向向量
(0,0,1)
(0,1,1)(答案不唯一)
·解题策略·
求直线的方向向量关键是找到直线上两点,用所给的基向量表示以两点为起点和终点的向量,其难点是向量的运算.
[变式训练] 已知直线l的一个方向向量m=(3,-2,1),且直线l经过A(a,2,-1)和
B(-2,3,b)两点,则a+b等于(　　)
[A] -2 [B]-1 [C]1 [D]2
A
[例2] 如图,已知正方体 ABCD-A1B1C1D1中,A,B,D,A1的坐标分别为A(0,0,0),
B(a,0,0),D(0,a,0),A1(0,0,a).则平面ABCD的法向量为　　 　　,平面BDA1的法向量为　　 　　.
题型二　求平面的法向量
(0,0,a)
(1,1,1)(答案不唯一)
·解题策略·
求平面法向量的步骤
【解】 如图所示,以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系Axyz,
感谢观看第3课时　空间中直线、平面的垂直
【课程标准要求】　1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系.
知识点　空间中直线、平面的垂直
1.线线垂直的向量表示
设直线 l1 , l2 的方向向量分别是u1,u2,则 l1⊥l2 u1⊥u2 u1·u2=0.
(1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直,都可转化为两直线的方向向量互相垂直.
(2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量互相垂直,坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0.
2.线面垂直的向量表示
设直线 l 的方向向量为u,平面α的法向量为n,则l⊥α u∥n λ∈R,使得 u=λn.
3.面面垂直的向量表示
设平面α,β的法向量分别是n1,n2,则α⊥β n1⊥n2 n1·n2=0.
基础自测
1.在空间直角坐标系中,直线l1,l2的方向向量分别为a=(2,1,-3),b=(2,2,2),则(　　)
[A] l1⊥l2
[B]l1∥l2
[C]l1与l2异面且不垂直
[D]l1与l2相交且不垂直
可知a⊥b,所以l1⊥l2.故选A.
2.已知平面α,β的法向量分别为a=(1,-1,2),b=(5,-1,-3),则这两个平面的位置关系为(　　)
[A] 平行 [B]相交但不垂直
[C]垂直 [D]不能确定
故选C.
3.(苏教版选择性必修第二册P35练习T1(4)改编)设直线l的方向向量为m=(2,-1,z)(z∈R),平面α的一个法向量为n=(4,-2,-2),若l⊥α,则z的值为　　　　.
题型一　直线与直线垂直
[例1] 如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,且 PD=2,AB=BC=AD=2,∠BAD=90°,BC∥AD,点M为棱PC的中点.
求证:PA⊥DM.
所以PD⊥AB,PD⊥AD,
因为∠BAD=90°,
所以AB⊥AD.
如图,以A为原点,分别以,为x轴,y轴的正方向,过点A作Az∥PD,
则Az⊥平面Axy,以Az为 z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,4,2),
因为点M为棱PC的中点,
所以M(1,3,).
所以=(0,4,2),=(1,-1,),
所以·=0×1+4×(-1)+2×=0.
所以⊥,
即PA⊥DM.
坐标法证明线线垂直的方法
建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,求出两直线方向向量的坐标,然后通过数量积的坐标运算法则得出数量积等于0,从而证明两条直线垂直.
[变式训练] 如图,在四棱锥 P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点.
求证:EF⊥CD.
所以=(-,0,),=(0,a,0),
所以·=(-,0,)·(0,a,0)=0,
所以EF⊥CD.
题型二　直线与平面垂直
[例2] (苏教版选择性必修第二册P34例6)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F分别为BB1,CD的中点,求证:D1F⊥平面ADE.
=(1,0,0),
=(0,0,1),
=(0,,0),
=(1,1,).
因为=-=(0,,0)-(0,0,1)=(0,,-1),所以·=1×0+0×+0×(-1)=0,可得⊥.
因为=-=(1,1,)-(1,0,0)=(0,1,),所以·=0×0+1×+×(-1)=0,可得⊥.
又因为DA,AE 平面ADE,DA∩AE=A,
所以D1F⊥平面ADE.
用坐标法证明线面垂直的方法及步骤
方法一:(1)建立空间直角坐标系.
(2)将直线的方向向量用坐标表示.
(3)找出平面内两条相交直线,并用坐标表示两条相交直线的方向向量.
(4)分别计算两组向量的数量积,得到数量积为0.
方法二:(1)建立空间直角坐标系.
(2)将直线的方向向量用坐标表示.
(3)求出平面的法向量.
(4)判断直线的方向向量与平面的法向量是否平行.
[变式训练] 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点.
(1)求证:EF⊥DA1;
(2)求证:DA1⊥平面ABC1.
则D(0,0,0),E(2,2,1),F(1,1,2),A1(2,0,2),A(2,0,0),C1(0,2,2),B(2,2,0),
所以=(-1,-1,1),=(2,0,2),
所以·=-1×2+(-1)×0+1×2=0,可得EF⊥DA1.
(2)由(1)知=(0,2,0),=(-2,0,2),设平面ABC1的法向量为n=(x,y,z),
则
取x=1,则y=0,z=1,即n=(1,0,1),
又=(2,0,2),
显然=2n,
故DA1⊥平面ABC1.
题型三　平面与平面垂直
[例3] (湘教版选择性必修第二册P90例6)在四面体ABCD中,AB⊥平面BCD,BC=CD,∠BCD=90°,∠ADB=30°,E,F分别是AC,AD的中点.
求证:平面BEF⊥平面ABC.
设A(0,0,a),则
B(0,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),
E(a,a,),F(0,a,).
于是=(0,0,-a),=(a,a,0),
=(a,a,),=(0,a,).
设n1=(x1,y1,z1)是平面ABC的法向量,
则
取x1=1,得y1=-1,z1=0,
则n1=(1,-1,0)是平面ABC的一个法向量.
设n2=(x2,y2,z2)是平面BEF的法向量,
则
取x2=1,
得y2=1,z2=-,
则n2=(1,1,-)是平面BEF的一个法向量.因为n1·n2=(1,-1,0)·(1,1,-)=0,所以平面BEF⊥平面ABC.
用向量证明面面垂直的方法
利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径:一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直;二是直接求解两个平面的法向量,由两个法向量垂直,得面面垂直.
[变式训练] 如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,AB∥CD,AB=1,AD=,CD=2,∠ADC=,平面PBC⊥平面ABCD,且PB=PC,E为BC的中点.求证:平面PAE⊥平面PBD.
所以PE⊥BC.
因为平面PBC⊥平面ABCD,且平面PBC∩平面ABCD=BC,所以PE⊥平面ABCD,
如图,过点D作Dz∥PE,以D为原点,以,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,
则D(0,0,0),A(,0,0),B(,1,0),C(0,2,0),E(,,0).
设P(,,a),则=(,1,0),
=(-,,0),=(-,,a),
所以·=0,·=0,
所以DB⊥AE,DB⊥AP,
因为AE∩AP=A,AE,AP 平面PAE,
所以DB⊥平面PAE,
因为DB 平面PBD,
所以平面PAE⊥平面PBD.
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.已知 n1=(,x,2),n2=(-3,,-2)分别是平面α,β的法向量,若α⊥β,则x等于(　　)
[A] -7 [B]-1 [C]1 [D]7
所以 n1·n2=-3+x-4=0,解得x=7.
故选D.
2.已知u=(3,a+b,a-b)(a,b∈R)是直线l的方向向量,n=(1,2,3)是平面α的法向量,若l⊥α,则 a+2b等于(　　)
[A] [B]- [C]6 [D]
n=(1,2,3)是平面α的法向量,且l⊥α,
则u∥n,则==,所以解得
因此a+2b=+2×(-)=.
故选D.
3.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是CD,CC1的中点,则A1M与DN的位置关系是(　　)
[A] 平行
[B]共面垂直
[C]异面垂直
[D]异面不垂直
则A1(2,0,2),M(0,1,0),D(0,0,0),N(0,2,1),
所以=(-2,1,-2),=(0,2,1),
所以·=0,所以A1M⊥DN,
又DN 平面DCC1D1,A1M 平面DCC1D1,M∈平面DCC1D1,且M DN,
所以A1M与DN是异面垂直.故选C.
4.已知点A,B,C的坐标分别为(0,1,0),(-1,0,-1),(2,1,1),点P的坐标是(x,0,y),若PA⊥平面ABC,则点P的坐标是(　　)
[A] (-1,0,2) [B](1,0,2)
[C](1,0,-2) [D](-1,0,-2)
因为PA⊥平面ABC,AC,AB 平面ABC,
所以PA⊥AB,PA⊥AC,
即⊥,⊥,
所以
即解得
所以点P的坐标是(-1,0,2).
故选A.
5.(多选题)给出以下命题,其中错误的是(　　)
[A] 平面α,β的法向量分别为 n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),则α∥β
[B]直线l的方向向量为a=(0,1,-1),平面α的法向量为n=(1,-1,-1),则l⊥α
[C]直线l的方向向量为a=(1,-1,2),直线m的方向向量为b=(2,1,-),则l与m垂直
[D]平面α经过三个点A(1,0,-1),B(0,-1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的法向量,则u+t=1
由于a=(0,1,-1),n=(1,-1,-1),则a·n=(0,1,-1)·(1,-1,-1)=0-1+1=0,故a⊥n,则l∥α或 l α,B错误;
由于a·b=(1,-1,2)·(2,1,-)=2-1+2×(-)=0,即l⊥m,C正确;
由于A(1,0,-1),B(0,-1,0),C(-1,2,0),
故=(-1,-1,1),=(-1,3,0),
向量n=(1,u,t)是平面α的法向量,则
解得
故u+t=,D错误.
故选ABD.
6.(多选题)在正方体ABCDA1B1C1D1中,AB=1,以{,,}为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系.已知 u=(2,a+b,a-b)(a,b∈R)是直线l的方向向量,则下列命题是真命题的是(　　)
[A] m=(-1,1,1)是直线A1C的一个方向向量
[B]n=(1,1,1)是平面B1CD1的一个法向量
[C]若l∥平面B1CD1,则a=-1
[D]若l⊥平面B1CD1,则a=2
所以=(1,1,-1),
所以m=(-1,1,1)不是直线A1C的一个方向向量,故A是假命题;
B1(1,0,1),D1(0,1,1),=(0,-1,1),
=(-1,0,1),
设平面B1CD1的法向量为n=(x,y,z),
则
取x=1,则y=1,z=1,
所以平面B1CD1的一个法向量为n=(1,1,1),故B是真命题;
若l∥平面B1CD1,则2+a+b+a-b=0,解得a=-1,故C是真命题;
若l⊥平面B1CD1,则a+b=a-b=2,则a=2,b=0,故D是真命题.
故选BCD.
7.(5分)在△ABC中,A(1,-2,-1),B(0,-3,1),C(2,-2,1).若向量n与平面ABC垂直,且 |n|=,则n的坐标为　　　　　　　　.
因为n与平面ABC垂直,
则可得
又因为|n|==,
则=,
解得y=4或y=-4,
当y=4时,x=-2,z=1;
当y=-4时,x=2,z=-1,
所以n的坐标为(-2,4,1)或(2,-4,-1).
8.(5分)在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AD=AB=AC=5,BC=6,AP=4,E为PB的中点,F为线段PD上一点,当 CF⊥AE时,=　　　　.
则A(0,0,0),B(4,-3,0),P(0,0,4),C(4,3,0),D(0,5,0),
故E(2,-,2),=(2,-,2),=(0,5,-4),=(4,3,-4),
设=λ(0≤λ≤1),
则=(0,5λ,-4λ),
=-=(4,3-5λ,4λ-4),
因为CF⊥AE,所以·=0,
即2×4-×(3-5λ)+2×(4λ-4)=0,
解得λ=,所以==.
9.(12分)如图,在三棱锥PABC中,AB=AC,D是BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上,已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.求证:AP⊥BC.
则O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4),
故=(0,3,4),=(-8,0,0),
所以·=0×(-8)+3×0+4×0=0,
所以⊥,即AP⊥BC.
10.(14分)在四棱锥S-ABCD中,底面 ABCD是正方形,AS⊥底面ABCD,且AS=AB,E是SC的中点.求证:平面BDE⊥平面ABCD.
则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),S(0,0,1),E(,,).
连接AC,设AC与BD交于点O,连接OE,则点O的坐标为(,,0).
因为=(0,0,1),=(0,0,),
所以=,O不在直线AS上,
所以OE∥AS.
又AS⊥平面ABCD,所以OE⊥平面ABCD.
又因为OE 平面BDE,
所以平面BDE⊥平面ABCD.
11.在正方体ABCDA1B1C1D1中,O是BD的中点,M是棱AA1上一点,且平面MBD⊥平面OC1D1,则等于(　　)
[A] [B] [C] [D]1
则B(1,1,0),D(0,0,0),O(,,0),D1(0,0,1),C1(0,1,1),
设M(1,0,t),0≤t≤1,平面OC1D1的法向量为m=(x,y,z),
则
取z=1,则y=0,x=2,则m=(2,0,1),
设平面MBD的法向量为n=(a,b,c),
则
取c=1,则a=-t,b=t,
故n=(-t,t,1),
由题意得m·n=(2,0,1)·(-t,t,1)=-2t+1=0,解得t=,
故=1.故选D.
12.(5分)如图,在矩形 ABCD 中,AB=1,AD=a(a>0),PD⊥平面 ABCD.若线段AB上存在点Q,使得PQ⊥CQ,则a的取值范围是　　　　　.
所以以DA,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
设DP=b,AQ=x,其中x=0或 x=1时不符合题意,故0则P(0,0,b),Q(a,x,0),C(0,1,0),
则有=(a,x,-b),=(a,x-1,0),
由PQ⊥CQ,得·=a2+x(x-1)=0,
即x2-x+a2=0,
若线段AB上存在点Q,即方程在(0,1)内有解,
设函数为f(x)=x2-x+a2,f(0)=a2>0,对称轴方程为x=,
则方程在(0,1)内有解需满足f()=a2-≤0,
又因为a>0,所以0故a的取值范围为(0,].
13.(17分)如图,在直三棱柱ABCA′B′C′中,∠BAC=,AB=AC=AA′,点M,N分别为A′B和B′C′的中点.
(1)求证:MN∥平面A′ACC′;
(2)求证:平面CMN⊥平面A′MN.
设AA′=1,
因为AB=AC=AA′,
所以 A′(0,0,1),B(,0,0),B′(,0,1),C(0,,0),C′(0,,1).
因为点M,N分别为A′B和B′C′的中点,
所以M(,0,),N(,,1),
故=(0,,).
(1)由图易知=(,0,0)是平面A′ACC′的一个法向量.
又·=0,所以∥平面A′ACC′.
又因为MN 平面A′ACC′,
所以MN∥平面A′ACC′.
(2)依题意有=(,-,1),
=(,,0).
设n1=(x,y,z)是平面CMN的法向量,则n1⊥,n1⊥.
所以
取y=1,则z=-,x=3,
所以n1=(3,1,-).
同理可得平面A′MN的一个法向量n2=(-1,1,-).
因为n1·n2=3×(-1)+1×1+(-)2=0,
所以平面CMN⊥平面A′MN.
14.如图,已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为2,M,N分别为线段AA1,BC的中点,若点P为正方体表面上一动点,且满足NP⊥平面MDC,则点P的轨迹长度为(　　)
[A] 2 [B] [C] [D]2
则=(-1,0,2),=(0,2,0),=(2,0,1),故·=(-1,0,2)·(0,2,0)=0,
·=(-1,0,2)·(2,0,1)=-2+2=0,
所以⊥,⊥,
又CD∩DM=D,CD,
DM 平面MDC,
所以NC1⊥平面MDC,
故当点P在线段NC1上时,满足NP⊥平面MDC,
所以点P的轨迹长度为NC1==.故选B.(共28张PPT)
第2课时　空间中直线、平面的平行
1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系.
2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的平行关系.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点　空间中直线、平面的平行
1.线线平行的向量表示
设u1,u2分别是直线l1,l2的方向向量,则l1∥l2 λ∈R,使得u1= .
2.线面平行的向量表示
设u是直线 l 的方向向量,n是平面α的法向量,l α则l∥α =0.
3.面面平行的向量表示
设n1 ,n2 分别是平面α,β的法向量,则α∥β λ∈R,使得n1= .
u1∥u2
λu2
u⊥n
u·n
n1∥n2
λn2
·温馨提示·
(1)u,u1,u2,n,n1,n2都是非零向量.
(2)用向量方法证明线线平行时,必须说明两直线不重合;证明线面平行时,必须说明直线不在平面内;证明面面平行时,必须说明两个平面不重合.
基础自测
1.已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y)分别是直线l1,l2的方向向量.若l1∥l2,则(　　)
D
2.(苏教版选择性必修第二册P35练习T1(2)改编)两不重合平面的法向量分别为 v1=(1,0,-1), v2=(-2,0,2),则这两个平面的位置关系是(　　)
[A] 平行 [B]相交不垂直
[C]垂直 [D]以上都不对
A
l∥α或l α
3.已知直线l的方向向量为u=(2,0,-1),平面α的一个法向量为v=(-2,1,-4),则l与α的位置关系为　　 　　.
【解析】 因为u·v=(2,0,-1)·(-2,1,-4)=-4+0+4=0,
所以u⊥v,所以l∥α或l α.
关键能力·素养培优
[例1] 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是面对角线B1D1,A1B上的点,且D1E=2EB1,BF=2FA1.求证:EF∥AC1.
题型一　直线与直线平行
·解题策略·
证明两直线平行的两种思路
[变式训练] 如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为DD1和BB1的中点.求证:四边形AEC1F是平行四边形.
[例2] 如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,M分别是BC,AE的中点,AD=
AA1=1,AB=2.
试问在线段CD1上是否存在一点N, 使MN∥平面ADD1A1 若存在,确定N的位置;若不存在,请说明理由.
题型二　直线与平面平行
·解题策略·
证明线面平行问题的方法
(1)证明直线的方向向量与平面内的某一向量是共线向量且直线不在平面内.
(2)证明直线的方向向量可以用平面内两个不共线向量表示且直线不在平面内.
(3)证明直线的方向向量与平面的法向量垂直且直线不在平面内.
[变式训练] 如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC⊥AB,点D,E,F分别为A1B1,
AA1,CD的中点, AB=AC=AA1=2.求证:EF∥平面ABC.
【证明】在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1⊥平面A1B1C1,且AC⊥AB,
则A1C1⊥A1B1,以A1为原点,A1A,A1B1,A1C1所在直线分别为x轴,y轴,
z轴建立如图所示的空间直角坐标系,
[例3] (湘教版选择性必修第二册P92例10)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,M,N,E,F分别是棱A1D1,A1B1,D1C1,B1C1的中点.求证:平面AMN∥
平面BDEF.
题型三　平面与平面平行
·解题策略·
证明面面平行问题的两种方法
(1)转化为相应的线线平行或线面平行.
(2)分别求出这两个平面的法向量,然后证明这两个法向量平行.
本例题采用的是方法(2),解题过程虽复杂,但思路清晰,是证明面面平行的常用方法.
[变式训练] 如图,在直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD为等腰梯形,
AB∥CD,AB=4,BC=CD=2,AA1=2,F是棱AB的中点.求证:平面AA1D1D∥
平面FCC1.
【证明】 因为AB=4,BC=CD=2,F是棱AB的中点,
所以BF=BC=CF,
所以△BCF为等边三角形.
因为四边形ABCD为等腰梯形,
所以∠BAD=∠ABC=60°.
如图,取AF的中点M,连接DM,则DM⊥AB,
所以DM⊥CD.
以D为原点,DM,DC,DD1所在直线分别为 x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系,
感谢观看第3课时　空间中直线、平面的垂直
【课程标准要求】　1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系.
知识点　空间中直线、平面的垂直
1.线线垂直的向量表示
设直线 l1 , l2 的方向向量分别是u1,u2,则 l1⊥l2 u1⊥u2 u1·u2=0.
(1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直,都可转化为两直线的方向向量互相垂直.
(2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量互相垂直,坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0.
2.线面垂直的向量表示
设直线 l 的方向向量为u,平面α的法向量为n,则l⊥α u∥n λ∈R,使得 u=λn.
3.面面垂直的向量表示
设平面α,β的法向量分别是n1,n2,则α⊥β n1⊥n2 n1·n2=0.
基础自测
1.在空间直角坐标系中,直线l1,l2的方向向量分别为a=(2,1,-3),b=(2,2,2),则(　　)
[A] l1⊥l2
[B]l1∥l2
[C]l1与l2异面且不垂直
[D]l1与l2相交且不垂直
【答案】 A
【解析】 由a·b=(2,1,-3)·(2,2,2)=4+2-6=0,
可知a⊥b,所以l1⊥l2.故选A.
2.已知平面α,β的法向量分别为a=(1,-1,2),b=(5,-1,-3),则这两个平面的位置关系为(　　)
[A] 平行 [B]相交但不垂直
[C]垂直 [D]不能确定
【答案】 C
【解析】 由题知a·b=1×5+(-1)×(-1)+2×(-3)=0,则a⊥b,所以α⊥β.
故选C.
3.(苏教版选择性必修第二册P35练习T1(4)改编)设直线l的方向向量为m=(2,-1,z)(z∈R),平面α的一个法向量为n=(4,-2,-2),若l⊥α,则z的值为　　　　.
【答案】 -1
【解析】 由题意可知m∥n,所以==,解得z=-1.
题型一　直线与直线垂直
[例1] 如图,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,且 PD=2,AB=BC=AD=2,∠BAD=90°,BC∥AD,点M为棱PC的中点.
求证:PA⊥DM.
【证明】 因为PD⊥底面ABCD,AB,AD 平面ABCD,
所以PD⊥AB,PD⊥AD,
因为∠BAD=90°,
所以AB⊥AD.
如图,以A为原点,分别以,为x轴,y轴的正方向,过点A作Az∥PD,
则Az⊥平面Axy,以Az为 z轴建立空间直角坐标系,则A(0,0,0),C(2,2,0),D(0,4,0),P(0,4,2),
因为点M为棱PC的中点,
所以M(1,3,).
所以=(0,4,2),=(1,-1,),
所以·=0×1+4×(-1)+2×=0.
所以⊥,
即PA⊥DM.
坐标法证明线线垂直的方法
建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,求出两直线方向向量的坐标,然后通过数量积的坐标运算法则得出数量积等于0,从而证明两条直线垂直.
[变式训练] 如图,在四棱锥 P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点.
求证:EF⊥CD.
【证明】以D为原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系,如图,设AD=a,则D(0,0,0),A(a,0,0),B(a,a,0),C(0,a,0),E(a,,0),P(0,0,a),F(,,),
所以=(-,0,),=(0,a,0),
所以·=(-,0,)·(0,a,0)=0,
所以EF⊥CD.
题型二　直线与平面垂直
[例2] (苏教版选择性必修第二册P34例6)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F分别为BB1,CD的中点,求证:D1F⊥平面ADE.
【证明】 不妨设正方体的棱长为1,以{,,}为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,则
=(1,0,0),
=(0,0,1),
=(0,,0),
=(1,1,).
因为=-=(0,,0)-(0,0,1)=(0,,-1),所以·=1×0+0×+0×(-1)=0,可得⊥.
因为=-=(1,1,)-(1,0,0)=(0,1,),所以·=0×0+1×+×(-1)=0,可得⊥.
又因为DA,AE 平面ADE,DA∩AE=A,
所以D1F⊥平面ADE.
用坐标法证明线面垂直的方法及步骤
方法一:(1)建立空间直角坐标系.
(2)将直线的方向向量用坐标表示.
(3)找出平面内两条相交直线,并用坐标表示两条相交直线的方向向量.
(4)分别计算两组向量的数量积,得到数量积为0.
方法二:(1)建立空间直角坐标系.
(2)将直线的方向向量用坐标表示.
(3)求出平面的法向量.
(4)判断直线的方向向量与平面的法向量是否平行.
[变式训练] 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点.
(1)求证:EF⊥DA1;
(2)求证:DA1⊥平面ABC1.
【证明】 (1)如图所示,以D为原点,建立空间直角坐标系,设正方体的边长为2,
则D(0,0,0),E(2,2,1),F(1,1,2),A1(2,0,2),A(2,0,0),C1(0,2,2),B(2,2,0),
所以=(-1,-1,1),=(2,0,2),
所以·=-1×2+(-1)×0+1×2=0,可得EF⊥DA1.
(2)由(1)知=(0,2,0),=(-2,0,2),设平面ABC1的法向量为n=(x,y,z),
则
取x=1,则y=0,z=1,即n=(1,0,1),
又=(2,0,2),
显然=2n,
故DA1⊥平面ABC1.
题型三　平面与平面垂直
[例3] (湘教版选择性必修第二册P90例6)在四面体ABCD中,AB⊥平面BCD,BC=CD,∠BCD=90°,∠ADB=30°,E,F分别是AC,AD的中点.
求证:平面BEF⊥平面ABC.
【证明】如图,以点B为原点,分别以,的方向为 y轴,z轴的正方向,并取相同的单位长度,建立空间直角坐标系.
设A(0,0,a),则
B(0,0,0),C(a,a,0),D(0,a,0),
E(a,a,),F(0,a,).
于是=(0,0,-a),=(a,a,0),
=(a,a,),=(0,a,).
设n1=(x1,y1,z1)是平面ABC的法向量,
则
取x1=1,得y1=-1,z1=0,
则n1=(1,-1,0)是平面ABC的一个法向量.
设n2=(x2,y2,z2)是平面BEF的法向量,
则
取x2=1,
得y2=1,z2=-,
则n2=(1,1,-)是平面BEF的一个法向量.因为n1·n2=(1,-1,0)·(1,1,-)=0,所以平面BEF⊥平面ABC.
用向量证明面面垂直的方法
利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径:一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直;二是直接求解两个平面的法向量,由两个法向量垂直,得面面垂直.
[变式训练] 如图,在四棱锥P-ABCD 中,底面 ABCD 是直角梯形,AB∥CD,AB=1,AD=,CD=2,∠ADC=,平面PBC⊥平面ABCD,且PB=PC,E为BC的中点.求证:平面PAE⊥平面PBD.
【证明】 因为PB=PC,E为BC的中点,
所以PE⊥BC.
因为平面PBC⊥平面ABCD,且平面PBC∩平面ABCD=BC,所以PE⊥平面ABCD,
如图,过点D作Dz∥PE,以D为原点,以,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,
则D(0,0,0),A(,0,0),B(,1,0),C(0,2,0),E(,,0).
设P(,,a),则=(,1,0),
=(-,,0),=(-,,a),
所以·=0,·=0,
所以DB⊥AE,DB⊥AP,
因为AE∩AP=A,AE,AP 平面PAE,
所以DB⊥平面PAE,
因为DB 平面PBD,
所以平面PAE⊥平面PBD.
(分值:100分)
单选每题5分,多选每题6分.
1.已知 n1=(,x,2),n2=(-3,,-2)分别是平面α,β的法向量,若α⊥β,则x等于(　　)
[A] -7 [B]-1 [C]1 [D]7
【答案】 D
【解析】 由α⊥β,所以 n1⊥n2,
所以 n1·n2=-3+x-4=0,解得x=7.
故选D.
2.已知u=(3,a+b,a-b)(a,b∈R)是直线l的方向向量,n=(1,2,3)是平面α的法向量,若l⊥α,则 a+2b等于(　　)
[A] [B]- [C]6 [D]
【答案】 D
【解析】 因为u=(3,a+b,a-b)(a,b∈R)是直线l的方向向量,
n=(1,2,3)是平面α的法向量,且l⊥α,
则u∥n,则==,所以解得
因此a+2b=+2×(-)=.
故选D.
3.如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别是CD,CC1的中点,则A1M与DN的位置关系是(　　)
[A] 平行
[B]共面垂直
[C]异面垂直
[D]异面不垂直
【答案】 C
【解析】如图,以D为原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴的正方向,建立空间直角坐标系Dxyz,设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为2,
则A1(2,0,2),M(0,1,0),D(0,0,0),N(0,2,1),
所以=(-2,1,-2),=(0,2,1),
所以·=0,所以A1M⊥DN,
又DN 平面DCC1D1,A1M 平面DCC1D1,M∈平面DCC1D1,且M DN,
所以A1M与DN是异面垂直.故选C.
4.已知点A,B,C的坐标分别为(0,1,0),(-1,0,-1),(2,1,1),点P的坐标是(x,0,y),若PA⊥平面ABC,则点P的坐标是(　　)
[A] (-1,0,2) [B](1,0,2)
[C](1,0,-2) [D](-1,0,-2)
【答案】 A
【解析】 由题意可得=(-x,1,-y),=(-1,-1,-1),=(2,0,1),
因为PA⊥平面ABC,AC,AB 平面ABC,
所以PA⊥AB,PA⊥AC,
即⊥,⊥,
所以
即解得
所以点P的坐标是(-1,0,2).
故选A.
5.(多选题)给出以下命题,其中错误的是(　　)
[A] 平面α,β的法向量分别为 n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),则α∥β
[B]直线l的方向向量为a=(0,1,-1),平面α的法向量为n=(1,-1,-1),则l⊥α
[C]直线l的方向向量为a=(1,-1,2),直线m的方向向量为b=(2,1,-),则l与m垂直
[D]平面α经过三个点A(1,0,-1),B(0,-1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的法向量,则u+t=1
【答案】 ABD
【解析】 由 n1=(0,1,3),n2=(1,0,2),可知两向量不共线,故α,β不平行,A错误;
由于a=(0,1,-1),n=(1,-1,-1),则a·n=(0,1,-1)·(1,-1,-1)=0-1+1=0,故a⊥n,则l∥α或 l α,B错误;
由于a·b=(1,-1,2)·(2,1,-)=2-1+2×(-)=0,即l⊥m,C正确;
由于A(1,0,-1),B(0,-1,0),C(-1,2,0),
故=(-1,-1,1),=(-1,3,0),
向量n=(1,u,t)是平面α的法向量,则
解得
故u+t=,D错误.
故选ABD.
6.(多选题)在正方体ABCDA1B1C1D1中,AB=1,以{,,}为单位正交基底,建立如图所示的空间直角坐标系.已知 u=(2,a+b,a-b)(a,b∈R)是直线l的方向向量,则下列命题是真命题的是(　　)
[A] m=(-1,1,1)是直线A1C的一个方向向量
[B]n=(1,1,1)是平面B1CD1的一个法向量
[C]若l∥平面B1CD1,则a=-1
[D]若l⊥平面B1CD1,则a=2
【答案】 BCD
【解析】 在正方体ABCDA1B1C1D1中,AB=1,则A1(0,0,1),C(1,1,0),
所以=(1,1,-1),
所以m=(-1,1,1)不是直线A1C的一个方向向量,故A是假命题;
B1(1,0,1),D1(0,1,1),=(0,-1,1),
=(-1,0,1),
设平面B1CD1的法向量为n=(x,y,z),
则
取x=1,则y=1,z=1,
所以平面B1CD1的一个法向量为n=(1,1,1),故B是真命题;
若l∥平面B1CD1,则2+a+b+a-b=0,解得a=-1,故C是真命题;
若l⊥平面B1CD1,则a+b=a-b=2,则a=2,b=0,故D是真命题.
故选BCD.
7.(5分)在△ABC中,A(1,-2,-1),B(0,-3,1),C(2,-2,1).若向量n与平面ABC垂直,且 |n|=,则n的坐标为　　　　　　　　.
【答案】 (-2,4,1)或(2,-4,-1)
【解析】 根据题意,可得 =(-1,-1,2),=(1,0,2),设n=(x,y,z),
因为n与平面ABC垂直,
则可得
又因为|n|==,
则=,
解得y=4或y=-4,
当y=4时,x=-2,z=1;
当y=-4时,x=2,z=-1,
所以n的坐标为(-2,4,1)或(2,-4,-1).
8.(5分)在四棱锥PABCD中,PA⊥底面ABCD,AD∥BC,AD=AB=AC=5,BC=6,AP=4,E为PB的中点,F为线段PD上一点,当 CF⊥AE时,=　　　　.
【答案】
【解析】取BC的中点G,连接AG,以A为原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系,
则A(0,0,0),B(4,-3,0),P(0,0,4),C(4,3,0),D(0,5,0),
故E(2,-,2),=(2,-,2),=(0,5,-4),=(4,3,-4),
设=λ(0≤λ≤1),
则=(0,5λ,-4λ),
=-=(4,3-5λ,4λ-4),
因为CF⊥AE,所以·=0,
即2×4-×(3-5λ)+2×(4λ-4)=0,
解得λ=,所以==.
9.(12分)如图,在三棱锥PABC中,AB=AC,D是BC的中点,PO⊥平面ABC,垂足O落在线段AD上,已知BC=8,PO=4,AO=3,OD=2.求证:AP⊥BC.
【证明】 以O为原点,过点O作CB的平行线为x轴,分别以,的方向为y轴,z轴的正方向建立空间直角坐标系,如图所示.
则O(0,0,0),A(0,-3,0),B(4,2,0),C(-4,2,0),P(0,0,4),
故=(0,3,4),=(-8,0,0),
所以·=0×(-8)+3×0+4×0=0,
所以⊥,即AP⊥BC.
10.(14分)在四棱锥S-ABCD中,底面 ABCD是正方形,AS⊥底面ABCD,且AS=AB,E是SC的中点.求证:平面BDE⊥平面ABCD.
【证明】设AB=AS=1,建立如图所示的空间直角坐标系Axyz,
则A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),D(0,1,0),S(0,0,1),E(,,).
连接AC,设AC与BD交于点O,连接OE,则点O的坐标为(,,0).
因为=(0,0,1),=(0,0,),
所以=,O不在直线AS上,
所以OE∥AS.
又AS⊥平面ABCD,所以OE⊥平面ABCD.
又因为OE 平面BDE,
所以平面BDE⊥平面ABCD.
11.在正方体ABCDA1B1C1D1中,O是BD的中点,M是棱AA1上一点,且平面MBD⊥平面OC1D1,则等于(　　)
[A] [B] [C] [D]1
【答案】 D
【解析】如图,设正方体的边长为1,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立空间直角坐标系,
则B(1,1,0),D(0,0,0),O(,,0),D1(0,0,1),C1(0,1,1),
设M(1,0,t),0≤t≤1,平面OC1D1的法向量为m=(x,y,z),
则
取z=1,则y=0,x=2,则m=(2,0,1),
设平面MBD的法向量为n=(a,b,c),
则
取c=1,则a=-t,b=t,
故n=(-t,t,1),
由题意得m·n=(2,0,1)·(-t,t,1)=-2t+1=0,解得t=,
故=1.故选D.
12.(5分)如图,在矩形 ABCD 中,AB=1,AD=a(a>0),PD⊥平面 ABCD.若线段AB上存在点Q,使得PQ⊥CQ,则a的取值范围是　　　　　.
【答案】 (0,]
【解析】因为在矩形ABCD中,AB=1,AD=a(a>0),PD⊥平面ABCD,
所以以DA,DC,DP所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,
设DP=b,AQ=x,其中x=0或 x=1时不符合题意,故0则P(0,0,b),Q(a,x,0),C(0,1,0),
则有=(a,x,-b),=(a,x-1,0),
由PQ⊥CQ,得·=a2+x(x-1)=0,
即x2-x+a2=0,
若线段AB上存在点Q,即方程在(0,1)内有解,
设函数为f(x)=x2-x+a2,f(0)=a2>0,对称轴方程为x=,
则方程在(0,1)内有解需满足f()=a2-≤0,
又因为a>0,所以0故a的取值范围为(0,].
13.(17分)如图,在直三棱柱ABCA′B′C′中,∠BAC=,AB=AC=AA′,点M,N分别为A′B和B′C′的中点.
(1)求证:MN∥平面A′ACC′;
(2)求证:平面CMN⊥平面A′MN.
【证明】由直三棱柱ABC-A′B′C′,可知A′A⊥平面ABC.又∠BAC=,故以点A为原点,AB,AC,AA′所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系(如图).
设AA′=1,
因为AB=AC=AA′,
所以 A′(0,0,1),B(,0,0),B′(,0,1),C(0,,0),C′(0,,1).
因为点M,N分别为A′B和B′C′的中点,
所以M(,0,),N(,,1),
故=(0,,).
(1)由图易知=(,0,0)是平面A′ACC′的一个法向量.
又·=0,所以∥平面A′ACC′.
又因为MN 平面A′ACC′,
所以MN∥平面A′ACC′.
(2)依题意有=(,-,1),
=(,,0).
设n1=(x,y,z)是平面CMN的法向量,则n1⊥,n1⊥.
所以
取y=1,则z=-,x=3,
所以n1=(3,1,-).
同理可得平面A′MN的一个法向量n2=(-1,1,-).
因为n1·n2=3×(-1)+1×1+(-)2=0,
所以平面CMN⊥平面A′MN.
14.如图,已知正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为2,M,N分别为线段AA1,BC的中点,若点P为正方体表面上一动点,且满足NP⊥平面MDC,则点P的轨迹长度为(　　)
[A] 2 [B] [C] [D]2
【答案】 B
【解析】 以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则D(0,0,0),C(0,2,0),M(2,0,1),N(1,2,0),C1(0,2,2),
则=(-1,0,2),=(0,2,0),=(2,0,1),故·=(-1,0,2)·(0,2,0)=0,
·=(-1,0,2)·(2,0,1)=-2+2=0,
所以⊥,⊥,
又CD∩DM=D,CD,
DM 平面MDC,
所以NC1⊥平面MDC,
故当点P在线段NC1上时,满足NP⊥平面MDC,
所以点P的轨迹长度为NC1==.故选B.(共32张PPT)
第3课时　空间中直线、平面的垂直
1.能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系.2.能用向量方法判断或证明直线、平面间的垂直关系.
【课程标准要求】
必备知识·归纳落实
知识点　空间中直线、平面的垂直
1.线线垂直的向量表示
设直线 l1 , l2 的方向向量分别是u1,u2,则 l1⊥l2 u1·u2=0.
u1⊥u2
·温馨提示·
(1)两直线垂直分为相交垂直和异面垂直,都可转化为两直线的方向向量互相垂直.
(2)基向量法证明两直线垂直即证直线的方向向量互相垂直,坐标法证明两直线垂直即证两直线方向向量的数量积为0.
2.线面垂直的向量表示
设直线 l 的方向向量为u,平面α的法向量为n,则l⊥α λ∈R,使得 u= .
3.面面垂直的向量表示
设平面α,β的法向量分别是n1,n2,则α⊥β n1·n2=0.
u∥n
n1⊥n2
λn
基础自测
1.在空间直角坐标系中,直线l1,l2的方向向量分别为a=(2,1,-3),b=(2,2,2),则
(　　)
[A] l1⊥l2
[B]l1∥l2
[C]l1与l2异面且不垂直
[D]l1与l2相交且不垂直
A
【解析】 由a·b=(2,1,-3)·(2,2,2)=4+2-6=0,
可知a⊥b,所以l1⊥l2.故选A.
2.已知平面α,β的法向量分别为a=(1,-1,2),b=(5,-1,-3),则这两个平面的位置关系为(　　)
[A] 平行 [B]相交但不垂直
[C]垂直 [D]不能确定
C
【解析】 由题知a·b=1×5+(-1)×(-1)+2×(-3)=0,则a⊥b,所以α⊥β.
故选C.
3.(苏教版选择性必修第二册P35练习T1(4)改编)设直线l的方向向量为m=
(2,-1,z)(z∈R),平面α的一个法向量为n=(4,-2,-2),若l⊥α,则z的值为　　.
-1
关键能力·素养培优
题型一　直线与直线垂直
求证:PA⊥DM.
·解题策略·
坐标法证明线线垂直的方法
建立空间直角坐标系,写出相关点的坐标,求出两直线方向向量的坐标,然后通过数量积的坐标运算法则得出数量积等于0,从而证明两条直线垂直.
[变式训练] 如图,在四棱锥 P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,底面ABCD为正方形,PD=DC,E,F分别是AB,PB的中点.
求证:EF⊥CD.
[例2] (苏教版选择性必修第二册P34例6)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,已知E,F分别为BB1,CD的中点,求证:D1F⊥平面ADE.
题型二　直线与平面垂直
·解题策略·
用坐标法证明线面垂直的方法及步骤
方法一:(1)建立空间直角坐标系.
(2)将直线的方向向量用坐标表示.
(3)找出平面内两条相交直线,并用坐标表示两条相交直线的方向向量.
(4)分别计算两组向量的数量积,得到数量积为0.
·解题策略·
方法二:(1)建立空间直角坐标系.
(2)将直线的方向向量用坐标表示.
(3)求出平面的法向量.
(4)判断直线的方向向量与平面的法向量是否平行.
[变式训练] 如图,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点.
(1)求证:EF⊥DA1;
(2)求证:DA1⊥平面ABC1.
[例3] (湘教版选择性必修第二册P90例6)在四面体ABCD中,AB⊥平面BCD,
BC=CD,∠BCD=90°,∠ADB=30°,E,F分别是AC,AD的中点.
求证:平面BEF⊥平面ABC.
题型三　平面与平面垂直
·解题策略·
用向量证明面面垂直的方法
利用空间向量证明面面垂直通常有两个途径:一是利用两个平面垂直的判定定理将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化为线线垂直;二是直接求解两个平面的法向量,由两个法向量垂直,得面面垂直.
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