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专题强化5　波的图像与振动图像的综合问题　波的多解问题
学习目标
1.理解振动图像和波的图像的关系。 2.会分析波的图像和振动图像的综合问题。 3.理解波传播的周期性特点，会画Δt后的波形图，会分析波传播的双向性和周期性引起的多解问题。
强化点一　振动图像与波的图像的综合问题
振动图像和波的图像的比较
项目 振动图像 波的图像
图像示例
研究对象 一个振动质点 沿波传播方向上的所有质点
图像坐标 （1）纵坐标表示质点位移 （2）横坐标表示时间t （1）纵坐标表示质点位移 （2）横坐标表示传播方向上质点的平衡位置x
图像意义 表示某个质点不同时刻的位移 表示某一时刻不同质点的位移
直读信息 （1）周期、振幅 （2）质点各时刻的位移 （1）振幅、波长 （2）某一时刻各质点的位移
图像变化 图像随时间延续，形状不变 图像随时间沿传播方向平移
两者联系 （1）波动由许多质点振动所组成，但在波的图像上波形变化无法直接看出 （2）若已知波的传播方向和某时刻的波形图，则可以讨论波动中各质点的振动情况
【例1】　（2025·山东济宁月考）图甲为一列简谐横波在t＝2 s时的波形图，图乙为介质中平衡位置在x＝1.5 m处的质点的振动图像，P是平衡位置为x＝2 m的质点。下列说法正确的是（　　）
A.波的传播方向向右 B.波速为2 m/s
C.0 ～ 2 s时间内，P运动的路程大于8 cm D.当t＝15 s时，P速度方向为y轴正方向
解析：D　根据题图乙，x＝1.5 m处的质点在t＝2 s时沿y轴负方向运动，利用同侧法，结合题图甲可知，波的传播方向向左，故A错误；根据图像可知，波长为2 m，周期为4 s，则波速为v＝＝0.5 m/s，故B错误；P是平衡位置为x＝2 m的质点，2 s时刻位于波谷位置，由于2 s＝T，又由于波向左传播，则0时刻P位于波峰位置，可知，0 ～ 2 s时间内，P运动的路程x＝2A＝8 cm，故C错误；题图甲是2 s时的波形，由于15 s－2 s＝13 s＝3T＋，利用平移法可知，t＝15 s时的波形图相当于t＝2 s时的波形图向左平移＝0.5 m，可知此时P处于平衡位置（相当于t＝2 s时x＝2.5 m处），根据同侧法可知，当t＝15 s时，P速度方向为y轴正方向，故D正确。
【例2】　如图甲为某波在t＝1.0 s时的图像，图乙为参与该波动的P质点的振动图像。
（1）求该波的波速；
（2）画出Δt＝3.5 s时的波形。
答案：（1）4 m/s　（2）见解析图
解析：（1）由题图甲得波长λ＝4 m，由题图乙得周期T＝1.0 s，所以波速v＝＝4 m/s。
（2）由题图乙可知，1.0 s时质点P向y轴负方向振动，所以题图甲中的波沿x轴负方向传播，传播距离Δx＝vΔt＝4×3.5 m＝14 m＝λ，所以只需将波形沿x轴负方向平移λ＝2 m即可，如图所示。
方法技巧
Δt后波形图的两种画法
（1）平移法：算出波在Δt时间内传播的距离Δx＝vΔt，把波形沿波的传播方向平移Δx。如果Δx较大，可化为Δx＝nλ＋Δx'，由于波的空间周期性，可以去整留零，只需平移Δx'即可，平移波形后一定要注意把图像补画完整。
（2）特殊点法：找出波形图一个波形中相邻的几个特殊点（如波峰、波谷、平衡位置等点），画出这些特殊点在Δt时刻的位置，然后用正弦曲线连起来画出波形图，如果Δt较长，可先表示为Δt＝nT＋Δt'。由于时间的周期性，可以去整留零，画出特殊点在Δt'时刻的波形图。特殊点法适用于特殊时间，Δt或Δt'必须为T的整数倍才易确定特殊点的位置来画波形。特殊点法画波形图较为简单易行。
强化点二　波的多解问题
1.波的多解问题形成的原因
（1）波的周期性造成多解
①时间的周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确。
②空间的周期性：波的传播距离Δx与波长λ的关系不明确。
（2）传播方向的双向性造成多解
①波的传播方向不确定。
②质点的振动方向不确定。
2.解决波的多解问题应注意的问题
（1）质点到达最大位移处，则有正向和负向最大位移两种可能。
（2）质点由平衡位置开始振动，则有起振方向相反的两种可能。
（3）只告诉波速，不指明波的传播方向，应考虑沿两个方向传播的可能。
（4）只给出两时刻的波形，则有多次重复出现的可能。
【例3】　（空间的周期性引起的多解问题）（2025·四川自贡高二阶段练习）一列简谐横波沿x轴传播，在传播方向上有P、Q两质点，当波刚好传播到P点时开始计时，此后4秒内，P质点完成10次全振动，Q质点完成8次全振动。如图中的实曲线是该波在某时刻的波形图，经过一段时间，该波向前传播60 m，其波形变为如图中虚曲线所示，求：
（1）该波的周期；
（2）P、Q的平衡位置相距多远？
答案：（1）0.4 s　（2） m或 m （n＝1，2，3，…）
解析：（1）周期T＝ s＝0.4 s。
（2）由题图可知，波形从实线到虚线的时间Δt＝nT＋
或Δt＝nT＋（其中：n＝0，1，2，3，…）
由已知条件可得Δx＝2λ＝2××T
解得Δx＝ m
或Δx＝ m（n＝0，1，2，3，…）。
【例4】　（传播方向的双向性引起的多解问题） （2025·江苏苏州高二阶段练习）如图所示，一列简谐横波沿x轴传播，实线为t＝0时刻的波形图，虚线为t＝0.6 s时刻的波形图，Q点为此时波上一点，已知波的周期T＞0.6 s，则下列说法正确的是（　　）
A.该波的波速一定是10 m/s
B.该波的波速一定是 m/s
C.t＝2.7 s时，Q点的位移一定是0
D.t＝2.7 s时，Q点的位移可能是0.2 m
解析：C　据题图可知波长为8 m，如果波向左传播，则有T＝0.6 s（n＝0，1，2，…），只有当n＝0时T＝0.8 s＞0.6 s，此时波速v＝＝ m/s＝10 m/s，如果波向右传播，则有T＝0.6 s（n＝0，1，2，…），只有当n＝0时T'＝2.4 s＞0.6 s，此时波速为v'＝＝ m/s，故A、B错误。如果波向左传播，则2.7 s＝3T，根据波形的平移可知，Q点正好到达平衡位置，位移为零；如果波向右传播，则2.7 s＝1T'，根据波形的平移可知，Q点也是正好到达平衡位置，位移为零，故C正确，D错误。
1.（2025·山东枣庄月考）一列简谐横波沿x轴正方向传播，a、b、c、d为介质中沿波传播方向上四个质点的平衡位置。某时刻的波形如图甲所示，从该时刻计时，则图乙描述的可能是（　　）
A.a处质点的振动图像
B.b处质点的振动图像
C.c处质点的振动图像
D.d处质点的振动图像
解析：C　因该简谐横波沿x轴正方向传播，该时刻质点处于平衡位置且向y轴负方向振动的是c质点，故题图乙可能为平衡位置在c处的质点的振动图像，故选C。
2.一列简谐横波沿直线传播，某时刻该列波上正好经过平衡位置的两质点相距6 m，且这两质点之间只有一个波峰，则该简谐波的波长可能为（　　）
A.4 m、6 m和8 m
B.6 m、8 m和12 m
C.4 m、6 m和12 m
D.4 m、8 m和12 m
解析：C　由于该波上两质点处于平衡位置且相距6 m，且两质点间只有一个波峰，故6 m与波长λ的关系有三种可能：6 m＝，6 m＝λ，6 m＝λ，故波长的可能值为12 m、6 m、4 m，C正确。
3.（2025·安徽阜阳期末）一列简谐横波某时刻波形如图甲所示，由该时刻开始计时，质点N的振动情况如图乙所示，下列说法正确的是（　　）
A.该横波沿x轴负方向传播
B.该时刻质点L向y轴正方向运动
C.该时刻质点K与M的速度、加速度都相同
D.质点N经半个周期将沿x轴移动到L点
解析：A　结合波形图和质点N的振动图像可知，该时刻质点N在平衡位置向上振动，可知该横波沿x轴负方向传播，故A正确；由于该横波沿x轴负方向传播，根据“上下坡法”可知，该时刻质点L向y轴负方向运动，故B错误；该时刻质点K与M的速度均为零、加速度大小相等，方向相反，故C错误；质点只能在平衡位置附近振动，而不随波迁移，故D错误。
4.（2025·贵州安顺期末）某一沿x轴方向上传播的简谐横波，t＝1 s时的波形如图甲所示，此时质点P在平衡位置，质点Q在波谷位置，图乙为质点P的振动图像，则（　　）
A.该波传播速度为6 m/s
B.该波沿x轴负方向传播
C.t＝2.6 s时，质点Q的振动方向沿y轴负方向
D.t＝0.2 s至t＝0.4 s过程中，质点P的加速度在减小
解析：C　由题图可知，波长为6 m，周期为2 s，则该波传播速度v＝＝3 m/s，故A错误；由题图乙可知，t＝1 s时，质点P向上振动，由题图甲结合波形平移法可知，该波沿x轴正方向传播，故B错误；t＝1 s时，质点Q处于波谷位置，由于＜Δt＝1.6 s＜T，可知t＝2.6 s时，质点Q处于从波峰向波谷振动的过程中，所以质点Q的振动方向沿y轴负方向，故C正确；由题图乙可知，t＝0.2 s至t＝0.4 s过程中，质点P处于从平衡位置向波谷振动的过程中，则质点P的加速度在增大，故D错误。
5.一列简谐机械波沿x轴正方向传播，周期为T，波长为λ。若在x＝0处质点的振动图像如图所示，则该波在t＝时刻的波形曲线为（　　）
解析：A　由振动图像可以看出，t＝时，x＝0处质点应在平衡位置，故C、D错误；因为波沿x轴正方向传播，由质点振动图像可知t＝时，x＝0处质点振动方向向下，故A正确，B错误。
6.如图所示，一列简谐横波沿水平方向向左传播，P、Q两质点平衡位置相距0.15 m。当P向下运动到平衡位置时，Q刚好运动到下方最大位移处，则这列波的波长可能是（　　）
A.0.60 m B.0.30 m C.0.20 m D.0.15 m
解析：A　由题意，当P向下运动到平衡位置时，Q刚好运动到下方最大位移处，有λ＝0.15 m（n＝0，1，2，3，…），解得λ＝ m（n＝0，1，2，3，…），当n＝0时，λ＝0.60 m，当n＝1时，λ＝0.12 m，故A正确，B、C、D错误。
7.〔多选〕（2025·山东临沂月考）一列简谐横波沿x轴正方向传播，在t1＝0和t2＝0.2 s时的波形分别如图中实线和虚线所示，已知该波的周期T＞0.2 s，下列说法正确的是（　　）
A.该波的波速一定为0.4 m/s
B.该波的振幅一定为0.04 m
C.该波的波长可能为0.08 m
D.该波的周期为0.4 s
解析：AD　因为t1＝0和t2＝0.2 s时的波形分别如题图中实线和虚线所示，二者最多相差半个周期，故0.2 s＝＋nT，而T＞0.2 s，故周期T＝0.4 s，由题图可知，波长为16 cm，即λ＝0.16 m，波速v＝＝＝0.4 m/s，故A、D正确，C错误；振幅是从平衡位置到最大位移处的距离，从题图上看出振幅是0.02 m，故B错误。
8.〔多选〕（2025·河南三门峡期末）当上、下抖动长长的轻绳时，轻绳则呈正弦波形状。如图甲，是某轻绳产生的横波在介质中沿x轴传播，在t＝0.25 s时的波形图，图乙为横坐标在1.5 m处质点P的振动图像。则下列说法中正确的是（　　）
A.该波向左传播，波速为2 m/s
B.再经过3.5 s质点P通过的路程为140 cm
C.L质点比N质点先到达波峰
D.人若加快抖动轻绳，两个相邻波峰之间的距离变小
解析：CD　由题图乙可知，在t＝0.25 s时，质点P向上振动，根据“同侧法”可知，波向右传播；由图甲可知，波的波长λ＝4 m，由题图乙可知，波的周期T＝2 s，所以波速v＝＝2 m/s，故A错误；再经过3.5 s，在前3 s，Δt1＝3 s＝T，质点P通过的路程s1＝×4A＝120 cm，后0.5 s，Δt2＝0.5 s＝T，由于质点P此时不是从平衡位置向负向最大位移处振动，则通过的路程s2＜A＝20 cm，所以，再经过3.5 s质点P通过的路程s＝s1＋s2＜140 cm，故B错误；根据“同侧法”可知，L质点向y轴正方向运动，N质点向y轴负方向运动，则L质点比N质点先到达波峰，故C正确；人若加快抖动轻绳，则波的振动频率变大，波速不变，根据λ＝可知，波长变小，即两个相邻波峰之间的距离变小，故D正确。
9.〔多选〕（2025·福建厦门月考）一列简谐波在t＝2 s时的波形如图甲所示，平衡位置x＝0.2 m的质点振动图像如图乙所示，且该质点t＝0时刚开始振动，则（　　）
A.该简谐波传播方向为x轴负方向
B.平衡位置x＝0.2 m的质点向x轴负方向运动，速度为0.1 m/s
C.平衡位置x＝0.3 m的质点振动方程为y＝0.1cosm
D.平衡位置x＝0.3 m的质点振动方程为y＝－0.1cosm
解析：AC　2 s时，由图乙可知，平衡位置x＝0.2 m的质点沿y轴负方向运动，根据图甲，结合同侧法可知，该简谐波传播方向为x轴负方向，故A正确；在波的传播过程中，质点只在平衡位置附近振动，并不随波迁移，故B错误；由于t＝2 s＝T，可知，0时刻平衡位置x＝0.3 m的质点位于波峰位置，则其振动方程为y＝Acost＝0.1cosm，故C正确，D错误。
10.〔多选〕（2025·河南周口期末）如图甲所示，一列水波由A向B传播，A、B两质点的平衡位置相距3 m，A 质点的振动图像如图乙中的实线所示，B质点的振动图像如图乙中的虚线所示。下列说法正确的是（　　）
A.10 s内A质点通过的路程一定为20 cm
B.t＝18.5 s 时，B质点的位移为 cm
C.该波的波长可能为0.8 m
D.该波的波速可能为1.8 m/s
解析：AC　由题图乙知，周期T＝4 s，则t＝10 s＝2.5T，A 质点通过的路程s＝2.5×4A＝20 cm，故A正确；由题知t＝18.5 s＝4T＋，结合题图乙可知，此时B质点的位移为－ cm，故B错误；A、B两质点的平衡位置相距3 m ，结合题图甲、乙可知nλ＋λ＝3 m，当n＝3时，λ＝0.8 m，故C正确；由v＝，可得v＝ m/s，代入v＝1.8 m/s，可知n不为整数，故D错误。
11.（2025·辽宁抚顺期末）一列简谐横波在某介质中传播，t＝0.1 s时的波形图如图甲所示。质点P的平衡位置xP＝4.4 m，质点Q的平衡位置xQ＝12.0 m，质点Q的振动图像如图乙所示。
（1）求该列波在介质中的传播速度大小v；
（2）从t＝0.1 s开始计时，求质点P第一次出现在波谷所需的时间Δt。
答案：（1）40 m/s　（2）0.16 s
解析：（1）根据题图甲有λ＝12.0 m
根据题图乙有T＝0.2 s
该列波在介质中的传播速度大小v＝
联立解得v＝40 m/s。
（2）根据图甲和图乙，利用同侧法可知，该列波沿x轴正方向传播；t＝0.1 s时在质点P左侧离质点P最近的波谷的平衡位置的坐标x0＝－2 m
波的传播过程也是振动形式传播的过程，则xP－x0＝v·Δt
解得Δt＝0.16 s。
12.一列沿x轴负方向传播的简谐横波，在t＝0时刻的波形如图所示，质点振动的振幅为10 cm，P、Q两点的坐标分别为（－1 m，0）和（－9 m，0），已知t＝0.7 s时，P点第二次出现波峰。问：
（1）这列波的传播速度为多大？
（2）从t＝0时刻起，经过多长时间Q点第一次出现波峰？
（3）当Q点第一次出现波峰时，P点通过的路程为多少？
答案：（1）10 m/s　（2）1.1 s　（3）0.9 m
解析：（1）由题意可知该波的波长λ＝4 m
P点与最近波峰的水平距离为3 m，距离下一个波峰的水平距离s＝7 m，所以v＝＝10 m/s。
（2）Q点与最近波峰的水平距离s1＝11 m
故Q点第一次出现波峰的时间为t1＝＝1.1 s。
（3）该波中各质点振动的周期T＝＝0.4 s
Q点第一次出现波峰时P点振动了t2＝0.9 s＝2T＋T＝
质点从平衡位置开始振动，每振动经过的路程为10 cm，当Q点第一次出现波峰时，P点通过的路程s'＝9A＝90 cm＝0.9 m。
8 / 8专题强化5　波的图像与振动图像的综合问题　波的多解问题
学习目标
1.理解振动图像和波的图像的关系。 2.会分析波的图像和振动图像的综合问题。 3.理解波传播的周期性特点，会画Δt后的波形图，会分析波传播的双向性和周期性引起的多解问题。
强化点一　振动图像与波的图像的综合问题
振动图像和波的图像的比较
项目 振动图像 波的图像
图像示例
研究对象 一个振动质点 沿波传播方向上的所有质点
图像坐标 （1）纵坐标表示质点位移 （2）横坐标表示时间t （1）纵坐标表示质点位移 （2）横坐标表示传播方向上质点的平衡位置x
图像意义 表示某个质点不同时刻的位移 表示某一时刻不同质点的位移
直读信息 （1）周期、振幅 （2）质点各时刻的位移 （1）振幅、波长 （2）某一时刻各质点的位移
图像变化 图像随时间延续，形状不变 图像随时间沿传播方向平移
两者联系 （1）波动由许多质点振动所组成，但在波的图像上波形变化无法直接看出 （2）若已知波的传播方向和某时刻的波形图，则可以讨论波动中各质点的振动情况
【例1】　（2025·山东济宁月考）图甲为一列简谐横波在t＝2 s时的波形图，图乙为介质中平衡位置在x＝1.5 m处的质点的振动图像，P是平衡位置为x＝2 m的质点。下列说法正确的是（　　）
A.波的传播方向向右 B.波速为2 m/s
C.0 ～ 2 s时间内，P运动的路程大于8 cm D.当t＝15 s时，P速度方向为y轴正方向
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
【例2】　如图甲为某波在t＝1.0 s时的图像，图乙为参与该波动的P质点的振动图像。
（1）求该波的波速；
（2）画出Δt＝3.5 s时的波形。
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
方法技巧
Δt后波形图的两种画法
（1）平移法：算出波在Δt时间内传播的距离Δx＝vΔt，把波形沿波的传播方向平移Δx。如果Δx较大，可化为Δx＝nλ＋Δx'，由于波的空间周期性，可以去整留零，只需平移Δx'即可，平移波形后一定要注意把图像补画完整。
（2）特殊点法：找出波形图一个波形中相邻的几个特殊点（如波峰、波谷、平衡位置等点），画出这些特殊点在Δt时刻的位置，然后用正弦曲线连起来画出波形图，如果Δt较长，可先表示为Δt＝nT＋Δt'。由于时间的周期性，可以去整留零，画出特殊点在Δt'时刻的波形图。特殊点法适用于特殊时间，Δt或Δt'必须为T的整数倍才易确定特殊点的位置来画波形。特殊点法画波形图较为简单易行。
强化点二　波的多解问题
1.波的多解问题形成的原因
（1）波的周期性造成多解
①时间的周期性：时间间隔Δt与周期T的关系不明确。
②空间的周期性：波的传播距离Δx与波长λ的关系不明确。
（2）传播方向的双向性造成多解
①波的传播方向不确定。
②质点的振动方向不确定。
2.解决波的多解问题应注意的问题
（1）质点到达最大位移处，则有正向和负向最大位移两种可能。
（2）质点由平衡位置开始振动，则有起振方向相反的两种可能。
（3）只告诉波速，不指明波的传播方向，应考虑沿两个方向传播的可能。
（4）只给出两时刻的波形，则有多次重复出现的可能。
【例3】　（空间的周期性引起的多解问题）（2025·四川自贡高二阶段练习）一列简谐横波沿x轴传播，在传播方向上有P、Q两质点，当波刚好传播到P点时开始计时，此后4秒内，P质点完成10次全振动，Q质点完成8次全振动。如图中的实曲线是该波在某时刻的波形图，经过一段时间，该波向前传播60 m，其波形变为如图中虚曲线所示，求：
（1）该波的周期；
（2）P、Q的平衡位置相距多远？
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【例4】　（传播方向的双向性引起的多解问题） （2025·江苏苏州高二阶段练习）如图所示，一列简谐横波沿x轴传播，实线为t＝0时刻的波形图，虚线为t＝0.6 s时刻的波形图，Q点为此时波上一点，已知波的周期T＞0.6 s，则下列说法正确的是（　　）
A.该波的波速一定是10 m/s B.该波的波速一定是 m/s
C.t＝2.7 s时，Q点的位移一定是0 D.t＝2.7 s时，Q点的位移可能是0.2 m
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
提示：完成课后作业　第三章　专题强化5
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