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寒假强化试题（2） 2025-2026学年上学期
初中数学人教版（2024）八年级上册
一、单选题
1．国产人工智能大模型横空出世，其低成本、高性能的特点，迅速吸引了全球投资者的目光．以下是四款常用的人工智能大模型图标，其中是轴对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
2．把一根的铁丝按下面选项长度剪开，剪成的三段首尾顺次相接可以围成三角形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．下列运算正确的是（ ）．
A． B． C． D．
4．下列变形是因式分解的是（）
A． B．
C． D．
5．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的重心是（ ）
A．点 B．点 C．点 D．点
6．我国科研团队在量子传感技术领域取得重要进展，基于金刚石氮空位（NV）色心自主研发的高灵敏度量子传感器，已实现对极高频电磁波的纳米级探测．该传感器可检测到波长最短约为0.000046毫米的电磁波．已知1毫米米，用科学记数法表示该波长为（ ）
A．米 B．米 C．米 D．米
7．如图1是一个长为、宽为（）的长方形，沿图中虚线剪开分成四块小长方形，然后按如图2的形状拼成一个正方形．能反映拼接前后两个图形面积变化的式子是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，在中，按以下步骤作图：①分别以、为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点、；②作直线交于点，连接．若，，，则的面积为（ ）

A．1 B．2 C．3 D．4
9．如图，点是内一点，，，过作于，交于，恰是的中点．若，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．已知：，（其中、为正整数，、、、…、，、、、…为整数，），以下说法正确的有（ ）个．
①与的积最后结果是次整式；②若与的商的结果是整式，则；③若，，关于的方程（为正整数）无解，则．
A．0 B．1 C．2 D．3
二、填空题
11．分解因式： ．
12．若正多边形的一个外角是45°，则该正多边形的边数是 .
13．已知，且，则的值为 ．
14．如图，在中，，则边上的中线的取值范围是 ．
15．如图，在中，，，为边上一点，将沿着所在直线翻折得，的平分线交于点，连接，且，则 ， ．
16．若一个四位数各位数字均不为0，且个位数字的平方与十位数字的平方之差恰好是去掉个位数字与十位数字后得到的两位数，则这个四位数为“去尾数”．例如，四位数1367，因为，所以1367是“去尾数”．按照这个规定，2146、1224两个数中， 是“去尾数”．一个“去尾数”的个位数字为，十位数字为，百位数字为，千位数字为，记，若均是整数，则满足条件的的最大值与最小值的差为 ．
三、解答题
17．计算：
(1)；
(2)．
18．先化简，再求值：，其中使得关于的方程无解．
19．我们知道，长方形的面积等于这个长方形的长乘宽，小明想用其验证一个底为，高为的三角形的面积公式为．想法是：以为边作长方形，点在边上，再过点作的垂线，将其转化为证三角形全等，由全等图形面积相等来得到验证．按以上思路完成下面的作图与填空：
用直尺和圆规过点作的垂线交于点．（不写作法，保留作图痕迹）
证明：在和中，
，
，
；
，
_____①_____；
又；
．（_____②_____）
_____③_____
同理可得，
_____④_____．
20．在工程中，物体重心的位置有重要的应用．我们可以用数学的方法确定工程中薄板、薄壳等匀质物体的重心．由于许多工程用薄板的形状是常见的平面图形或者组合图形，所以我们可以先想办法确定一些简单平面图形的重心位置．
(1)任务：认识三角形的重心．如图1，用一个支点顶住一个三角形匀质薄板，慢慢调整薄板，使其能够在支点上保持平衡．此时，薄板与支点接触的点就是三角形匀质薄板的重心．图2是由图1中三角形匀质薄板抽象出的三角形，请你用数学作图的方法在图2中找到三角形的重心位置（利用直尺作图，保留作图痕迹），并说说你有什么发现．
(2)任务：了解平面图形重心位置的分布特点．类比任务的方法，我们也可以用悬挂法确定平行四边形、矩形、正方形等常见平面图形的重心．通过实验，可以得到平行四边形、矩形、正方形匀质薄板的重心如图所示．请你观察匀质薄板的重心，说说平行四边形、矩形、正方形的重心位置有什么共同特点（写种）．
21．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的位置如图所示．
(1)若内有一点随着平移后到了点，直接写出点平移后对应点的坐标．
(2)直接作出关于轴对称的（其中、、分别是、、的对应点）
(3)求四边形的面积．
22．如图，在中，，为的中点，过点作交延长线于点，过点作，过点作，且相交于点．
(1)求证：；
(2)求证：．
23．开州南门红糖是南门镇的传统特色产品，以手工熬制工艺闻名，具有深厚的历史文化底蕴和显著的经济效益．月初，超市何老板在糖厂用2100元购进红糖若干，很快售完；何老板又用3600元购进第一次重量2倍的红糖，且此次进价比第一次每斤便宜2元．
(1)第二次红糖的进价为每斤多少元？
(2)如果两次红糖以相同的价格全部售出，且总利润率不低于，那么销售单价应不低于每斤多少元（结果取整数）？
24．在平面直角坐标系中，已知，．
(1)如图1，若，满足，且．
①求的周长；
②点为第一象限内一点，若为等腰直角三角形，直接写出所有符合条件的点的坐标，并写出求解点的坐标的其中一种情况的过程．
(2)如图2，若，，，当四边形的周长最小时，直接写出的值．
25．在等边中，、分别是边、上两动点，连接、交于点．
(1)如图1，当时，求的度数；
(2)如图2，在（1）问的条件下延长至点，连接，当，时，探究、的数量关系；
(3)如图3，在射线上取一点，使，当均取得最小值时，直接写出的度数．
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D D D B A C C B B C
1．D
【分析】此题考查了轴对称图形的概念，根据概念逐一判断即可，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线（成轴对称）对称，熟练掌握知识点是解题的关键．
【详解】解：、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、不是轴对称图形，故本选项不符合题意；
、是轴对称图形，故本选项符合题意；
故选：．
2．D
【分析】本题考查了能够构成三角形的条件．根据在组成三角形的三条边中，任意一边大于其他两边之差，任意一边小于其他两边之和，即可求得结果，掌握组成三角形的条件是解题的关键．
【详解】解：A、，故不能组成三角形，该选项不符合题意；
B、，故不能组成三角形，该选项不符合题意；
C、，故不能组成三角形，该选项不符合题意；
D、，故能组成三角形，该选项符合题意；
故选：D．
3．D
【分析】本题考查指数运算的规则，熟悉包括同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方和同底数幂相除的指数运算规则，是解题的关键．
依据运算规则依次计算各选项即可．
【详解】解：选项：，故计算错误，不符合题意；
选项：，故计算错误，不符合题意；
选项：，故计算错误，不符合题意；
选项：，故计算正确．
故选：．
4．B
【分析】本题主要考查了因式分解，掌握因式分解的定义是解题的关键因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，据此逐项判断即可解答．
【详解】解：选项A:是乘法运算，不是因式分解，故不符合题意；
选项B:是因式分解，符合题意；
选项C:中含有分式,不是因式分解，故不符合题意；
选项D:,不是因式分解，故不符合题意；
故选：B．
5．A
【分析】三角形三条中线的交点，叫做它的重心，据此解答即可．
【详解】根据题意可知，直线经过的边上的中点，直线经过的边上的中点，∴点是重心．故选A．
【点睛】本题考查三角形的重心的定义，解题的关键是熟记三角形的重心是三角形中线的交点．
6．C
【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值时，n是负数．
【详解】解：0.000046毫米米米，
故选：C．
7．C
【分析】本题主要考查完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键；根据题意直接得出两个图形的面积，然后问题可求解．
【详解】解：由图1可知：该图形面积为，由图2可知：该图形的面积为，
∴；
故选C．
8．B
【分析】本题主要考查尺规作线段垂直平分线，线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质是解题的关键；由题意易得垂直平分，则有，，然后可得，进而问题可求解．
【详解】解：由作图可知：垂直平分，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴；
故选B．
9．B
【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理，正确作出辅助线，构造全等三角形是解题关键．过点作，交延长线于，根据角的和差关系得出，利用证明，得出，，可得，利用证明，得出，，利用线段的和差关系即可得出答案．
【详解】解：如图，过点作，交延长线于，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴．
故选：B．
10．C
【分析】本题考查了多项式的乘除，分式方程无解问题．
的最高次项为，次数为，故①正确；与的商的结果为整式，要求被除式次数不低于除式次数，说法②正确；求解分式方程得到，根据分式方程无解的两种情况求出或，即不能唯一确定，故③错误．
【详解】解：∵A为m次多项式，B为n次多项式，且，
∴的最高次项为，次数为，故①正确；
∵为整式，
∴被除式的次数不低于除式的次数，
∴，故②正确；
∵
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
整理得，
解得：，
∵关于的方程（为正整数）无解，
∴且或
∴且或，
∵为正整数，
∴当时，，此时分式方程无解，此时，故③错误；
综上，正确说法有2个．
故选：C．
11．
【分析】本题考查了因式分解，直接提公因式即可求解．
【详解】解：，
故答案为：．
12．8
【分析】根据多边形外角和是360度，正多边形的各个内角相等，各个外角也相等，直接用可求得边数．
【详解】解：多边形外角和是360度，正多边形的一个外角是，
即该正多边形的边数是8，
故答案为：8．
【点睛】本题主要考查了多边形外角和以及多边形的边数，解题的关键是掌握正多边形的各个内角相等，各个外角也相等．
13．/
【分析】本题考查了完全平方公式的变形应用；由完全平方公式变形即可求得结果．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，延长到E，使，由“”可证和全等，可得，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的取值范围，然后即可得解．
【详解】解：如图，延长到E，使，连接，
∵是边上的中线，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，，
∴，
即，
∴．
故答案为：．
15．
【分析】根据三角形内角和等于和等边对等角，可得，再根据翻折的性质可得，，再证明，根据全等三角形的性质可得，结合等边对等角和外角，可得的度数，再结合三角形内角和即可求解．
【详解】解：设交于O，如图：
∵，
∴，
∵，
∴，
∵将沿着所在直线翻折得，
∴，
∴，，，
∴，
∵的平分线交于点，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
故答案为：；．
【点睛】本题主要考查了三角形内角和，等边对等角，全等三角形的性质和判定，翻折的性质，外角，熟练掌握以上知识是解题的关键．
16． 1224 3624
【分析】本题考查了“去尾数”的定义，整式加减的应用，分式的运算，理解题意推导出是解题的关键．
①根据定义直接判断即可；
②依题意可得，，即，然后根据均是整数，得到b整除a，，代入得，设，则，推出b整除k，k整除，进而推导出，得到，进而得到b的取值范围为2、3、4，即可求得满足条件的N的值，即可解答．
【详解】解：①对于2146：个位数字的平方与十位数字的平方之差为，去掉个位和十位后为21，
∵，
∴2146不是“去尾数”；
对于1224：个位数字的平方与十位数字的平方之差为，去掉个位和十位后为12，
∵，
∴1224是“去尾数”；
②依题意可得，，即，
∵为整数，
∴b整除a；
∵为整数，且，
代入，得，
∴，
设，则，
∴，且为整数，
∴b整除k，
又∵中为整数，
∴k整除，
∴或，
当时，，
∵，，
∴，即，
当时，
∴，
把，代入，
得，
∵时，，
∴、3、4，
当时，，则，，，此时；
当时，，则，，，此时；
当时，，则，，，此时，
综上，满足条件的N为1224、2736、4848，
∴最大值与最小值的差．
故答案为：1224；3624．
17．(1)
(2)
【分析】此题考查了整式的混合运算．
（1）首先计算同底数幂的乘法，积的乘方和幂的乘方，然后合并即可；
（2）首先计算单项式乘以多项式，平方差公式，再计算多项式除以单项式的法则计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
18．，0
【分析】本题考查了分式的化简求值，分式方程无解的问题，解题的关键是熟练掌握分式的混合运算法则以及解分式方程的步骤．
先解分式方程，确定分式方程无解时的的值，然后进行分式的混合运算，再代入求值即可．
【详解】解：
，
解得，
当，即时方程无解；
当时，方程无解，则此时，解得，
∴当或时方程无解，
∵时，中分母为0无意义，舍；
∴当时，原式
19．图见解析，，，，．
【分析】此题考查了全等三角形的判定及性质，垂线的作图方法，熟练掌握三角形的判定定理是解题的关键．根据垂线的作图方法作图即可，利用垂直的定义得到，根据平行线的性质得到，即可证明，同理可得，由此得到结论．
【详解】解：如图，即为所求．
证明：在和中，
，
，
；
，
；
又；
．（）
，
同理可得，
．
故答案为：，，，
20．(1)图见解析，发现见解析
(2)见解析
【分析】本题考查尺规作图、重心的性质及平行四边形、矩形、正方形的性质，熟练掌握相关性质是解题关键．
（1）作出三角形的三条中线，交点即为重心；
（2）根据图形，结合平行四边形、矩形、正方形的性质，写出共同特点即可．
【详解】（1）如图，点即是三角形的重心位置．
作三角形三边的垂直平分线，得到三边的中点，连接三角形各顶点与对边中点，交点即为三角形重心位置．
发现：三角形重心在三角形内部，且交于一点．
（2）解：根据图形发现：①平行四边形、矩形、正方形的重心都在对角线的交点处，
②重心平分每条对角线．
21．(1)
(2)见解析
(3)
【分析】本题主要考查平移及轴对称，这里需要注意得出正确的对应点，面积的计算借助网格图直接补全长方形即可求得最后答案．
（1）先根据点平移后的坐标得出平移方式，再根据平移方式得出点坐标即可；
（2）根据轴对称的性质画出图形即可；
（3）用四边形所在长方形减去周围个小三角形的面积即可得答案．
【详解】（1）解：∵内有一点随着平移后到了点，
∴平移方式为向左平移个单位长度，向上平移个单位长度，
由图可知，点坐标为，
∴点平移后对应点的坐标为，
（2）解：如图，即为所求．
（3）解：如（2）中图，连接，
∴四边形的面积．
22．(1)证明见解析
(2)证明见解析
【分析】本题考查等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
（1）利用等腰三角形“三线合一”的性质得出，，根据直角三角形两锐角互余即可得答案；
（2）根据平行线的性质得出，利用直角三角形两锐角互余得出，利用证明，根据全等三角形的性质即可得结论．
【详解】（1）证明：∵，为的中点，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴．
（2）证明：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴．
23．(1)第二次红糖的进价为每斤12元；
(2)两次红糖的销售单价不低于16元．
【分析】本题主要考查的是分式方程的实际应用，一元一次不等式的应用．
（1）设第一次红糖每斤进价为x元，那么第二次红糖每斤进价为元，依题意列分式方程即可；
（2）设两次红糖的销售单价为y元，依题意列不等式求解即可．
【详解】（1）解：设第一次红糖每斤进价为x元，那么第二次红糖每斤进价为元，
由题意得，，
解得，
经检验：符合题意，
，
答：第二次红糖的进价为每斤12元；
（2）解：由（1）知，，，即何老板第一次红糖为斤，第二次红糖为斤，
设两次红糖的销售单价为y元，则有，
整理得，
解得：，
答：两次红糖的销售单价不低于16元．
24．(1)①；②点的坐标为或或；
(2)．
【分析】（1）①利用非负数的性质求得，，再利用直角三角形的性质求解即可；
②分三种情况讨论，分别利用全等三角形的判定和性质，结合坐标与图形，求解即可；
（2）要求四边形的周长最小，即值最小，将线段向左平移3个单位，点和点重合，点在点处，此时点的坐标为，作点关于直线的对称点，连接，当点在直线上时，值最小，据此求解即可．
【详解】（1）解：①∵，满足，
∴，
∴，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，，
∵，
∴，
∴的周长；
②当时，如图，作轴于点，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴点的坐标为；
当时，如图，作轴于点，
同理，
∴，，
∴点的坐标为；
当时，如图，过点作轴于点，过点作轴交于点，
则四边形是矩形，
同理，，
∴，，
设，
∴，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
综上，点的坐标为或或；
（2）解：∵，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
要求四边形的周长最小，即值最小，
∵，，
∴点和点在直线上，
将线段向左平移3个单位，点和点重合，点在点处，此时点的坐标为，作点关于直线的对称点，
则点的坐标为，
连接，当点在直线上时，值最小，
设直线的解析式为，
将代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
解得，
∴点的坐标为，
∵，
∴．
【点睛】本题考查坐标与图形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，轴对称变换．正确作出辅助线解决问题是解题的关键．
25．(1)；
(2)，理由见解析
(3)
【分析】（1）根据推出，求出，利用三角形的外角性质求解即可；
（2）在上取一点K，使得，连接，可得为等边三角形，再根据推出，可得，从而得到，进而得到，再由，可得，即可求解；
（3）当取得最小值时，，此时点为中点，当取得最小值时，，，此时点和点重合，点为中点，据此即可求解．
【详解】（1）解：∵为等边三角形，
∴，
∵在和中，
，
∴，
，
∵，
∴；
（2）解：，理由如下：
在上取一点K，使得，连接，
∵，
∴为等边三角形，
∴，，
，
∵在和中，
，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
（3）解：当取得最小值时，，此时点为中点，当取得最小值时，，，此时点和点重合，点为中点，
∵是等边三角形，
∴，，
同理，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，等边三角形的性质和判定的应用，能综合性质进行推理是解此题的关键，难度偏大．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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