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寒假强化试题（2） 2025-2026学年上学期
初中数学人教版（2024）七年级上册
一、单选题
1．的绝对值是（ ）
A．2 B． C． D．
2．如图所示的圆柱体从正面看得到的平面图形可能是（ ）
A． B． C． D．
3．把写成省略括号和加号的形式为（ ）
A． B． C． D．
4．如图，是北偏西方向的一条射线，，则表示的方位角是（ ）
A．东偏北 B．东偏北 C．北偏东 D．北偏东
5．某地居民生活用水收费标准：每月用水量不超过20立方米，每立方米a元；超过部分每立方米b元．该地区某家庭上月用水量为25立方米，则应缴水费（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
6．设有个人共种棵树苗，如果每人种8棵，则剩下2棵树苗未种；如果每人种10棵，则缺6棵树苗．根据题意，列方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，，点C在上，平分，若，则的度数是（ ）
A． B． C． D．
8．已知线段，延长至点，使，是线段的中点，如果，那么线段的长为（ ）
A．8 B．6 C．4 D．2
9．如图，在同一平面内，，平分，点为反向延长线上一点（图中所有角均指小于的角），下列结论不正确的为（ ）
A． B．
C． D．
10．在数轴上，点A向右移动1个单位得到点B，点B向右移动2个单位得到点C，点A、B、C分别表示有理数a，b，c．A，B，C三点在数轴上的位置如图所示，a，b，c三个数的乘积为负数．若这三个数的和与其中的一个数相等，则a的值为（ ）
A． B． C．或 D．或
二、填空题
11．单项式的系数是 ．
12．根据我国第七次人口普查数据可知九江市（包括区县）总人口约为460万人，将460万用科学记数法表示为 ．
13．如图所示是由若干个大小相同的小正方体所搭成的几何体从三个方向看到的图形，则搭成这个几何体的小正方体的个数是 个
14．如图，点C是线段的中点，点D，E在线段上，且，若，则线段的长为 ．
15．已知方程的解与关于x的方程的解互为相反数，则m的值是 ．
16．如图，为平角，，为的平分线，若在上方存在一条射线，与图中的射线所成的角为直角，则 ．
三、解答题
17．计算下列各题
(1)；
(2)；
(3)．
18．先化简，再求值：已知，其中，．
19．解方程
(1)；
(2)．
20．如图，已知直线和点，，．
(1)请用直尺和圆规按下列要求作图（保留作图痕迹）：
①画射线；
②连接，在线段的延长线上作线段，使；
(2)连接，则____（填“”“”“”）成立的依据是_______．
21．甲、乙两地相距360千米，一辆客车和一辆货车同时从两地相对开出，客车每小时行80千米，货车每小时行40千米，几小时后两车相遇？（列方程求解）
22．如图，已知为直线上的一点，是直角，平分．

(1)与互余的角是___________，互补的角是___________；
(2)若，求的度数．
23．按照“双减”政策，为丰富课后托管服务内容，学校准备订购一批篮球和跳绳，经过市场调查后发现篮球每个定价70元，跳绳每条定价10元．某体育用品商店提供A、B两种优惠方案：
A方案：买一个篮球送一条跳绳；
B方案：篮球和跳绳都按定价的90%付款．
已知要购买篮球50个，跳绳x条（）
(1)若按A方案购买，一共需付款_________元（用含x的代数式表示）；若按B方案购买，一共需付款_________元（用含x的代数式表示）．
(2)购买跳绳条数为多少时，两种方案的收费相同？
(3)当时，你能设计出一种最省钱的购买方案吗？请写出你的购买方案，并计算需付款多少元？
24．对于一个三位自然数（，，是10以内的自然数），若，则称这个三位数为“好六数”．例如：，因为，所以413是“好六数”．
(1)判断：352____________“好六数”；（填“是”或“不是”）
(2)若（为9以内的正整数），则是“好六数”．请将下列说明过程补充完整：
因为，
所以___________，___________，______________．
所以______________________，
所以是“好六数”
(3)已知三位自然数是“好六数”，且，是去掉其百位数字后的两位数，而是去掉其个位数字后的两位数，请说明与的和能被3整除．
25．【概念提出】
已知及射线，我们称的值为与的“关联度”，并用符号表示，其中，，都在到之间（含和）．
【初步思考】
（1）若，，则____________；
（2）如图1，已知，求的度数，使得．
【拓展延伸】
（3）如图2，已知，，射线与射线重合，射线位于内部或边上．将图2中的绕点按顺时针方向以每秒的速度旋转，的值随旋转时间及的位置变化而变化．
如图3，当旋转时间为45秒时，求的最小值为　　　　；
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C B C D B C D B C B
1．C
【分析】本题考查绝对值和相反数，根据绝对值的定义，负数的绝对值是它的相反数求解即可．
【详解】解：∵
∴，
故选：C．
2．B
【分析】根据圆柱从正面看的平面图形是矩形进行解答即可．
【详解】解：一个倒在水平面上的圆柱体，从正面看是一个矩形，
故选：B．
【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，关键是掌握所看的位置，以及注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．
3．C
【分析】本题考查有理数的加减混合运算，去括号时，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都不改变符号，当括号前是“”时，把括号和它前面的“”去掉，括号内的各项都改变符号，据此求解即可．
【详解】解：把写成省略加号和的形式为，
故选：C．
4．D
【分析】本题考查了方向角，熟练掌握方向角的定义是解题的关键．由题意得：，再根据垂直定义可得，然后利用角的和差关系求出的度数，再根据方向角的定义即可解答．
【详解】解：如图：
由题意得：，
∵，
∴，
∴，
∴表示的方位角是北偏东．
故选：D．
5．B
【分析】本题考查了列代数式，解题关键是准确列出代数式；
先根据题意列出代数式，再计算即可．
【详解】解：该地区某家庭上月用水量为25立方米，则应缴水费为元，即元，
故选：B．
6．C
【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程．根据人数不变可得方程．
【详解】解：由题意得：=，
故选：C．
7．D
【分析】此题考查了平行线的性质、角平分线的定义，根据平行线的性质得到，由角平分线得到，再由平行线的性质得到即可．
【详解】解：∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故选：D．
8．B
【分析】本题主要考查了与线段中点有关的线段和差计算，根据线段中点的定义可求出的长，再根据线段的和差关系求出线段的关系即可得到答案．
【详解】解：如图，
∵是线段的中点，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故选：B．
9．C
【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差计算，解题的关键是熟练掌握各角度之间的数量关系．
由角平分线得到，设，则，故，则，然后根据角度的和差计算判断各选项即可．
【详解】解：∵平分，
∴，
设，
∵，
∴
∴，
∴，即，
∵，，
∴，故A正确；
∵，故B正确；
∵，故C错误；
∵，故D正确，
故选：C．
10．B
【分析】本题考查的是有理数的乘法、一元一次方程、数轴，根据数轴、结合题意设的值为，分情况列出方程，解方程即可．
【详解】解：设的值为，则的值为，的值为，
当时，，
，，，
，不合题意；
当时，，
，，，
，不合题意；
当时，，
，，，
，符合题意，
故选：B．
11．2
【分析】本题考查了单项式的系数，单项式的系数是指数字与字母的乘积中的数字因数．
根据单项式的系数的定义作答即可．
【详解】解：单项式中数字因数为2，因此系数为2．
故答案为：2．
12．
【分析】本题考查了科学记数法，对于一个绝对值大于10的数，科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为比原数的整数位数少1的正整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
将460万转换为数字4600000，然后根据科学记数法的定义作答即可．
【详解】解：460万．
故答案为：．
13．7
【分析】根据“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”的原则解答可得．
【详解】几何体分布情况如下图所示：
则小正方体的个数为2＋3＋1＋1＝7，
故答案为7．
【点睛】本题考查学生对三视图的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对空间想象能力方面的考查．如果掌握口诀“俯视图打地基，主视图疯狂盖，左视图拆违章”就更容易得到答案．
14．3
【分析】本题考查了线段的中点，线段的和差，解题的关键是先求出线段的长，再利用中点求出的长，即可得答案．
【详解】解：，
，
，
点C是线段的中点，
，
，
故答案为：3．
15．
【分析】本题考查了方程的同解问题．
分别求出两个方程的解，利用互为相反数的关系列方程求解．
【详解】解：解方程，
去分母得，
整理得，
解得．
解方程，
移项得，
即，
解得．
由于两个解互为相反数，
则，
解得．
故答案为：．
16．或或
【分析】本题考查了直角，角平分线的定义，角的和差计算，解题的关键是注意直角的几种情况．
先画出直角的情况，再计算即可．
【详解】解：如下图，
为平角，，
，
为的平分线，
，
若，那么，
若，
若，那么，
综上所述，或或，
故答案为：或或．
17．(1)
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是熟练掌握有理数混合运算法则，“先算乘方，再算乘除，最后算加减，有小括号的先算小括号里面的”．
（1）根据有理数的加减运算法则计算即可；
（2）根据有理数的乘除运算法则计算即可；
（3）根据含乘方的有理数混合运算法则进行计算即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
18．，2
【分析】本题考查整式加减中的化简求值，熟练掌握整式的加减运算法则是解答的关键．
先根据整式加减运算法则化简原式，再代值求解即可．
【详解】解：
，
当，时，原式．
19．(1)
(2)
【分析】本题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并同类项，未知数的系数化为．
（1）先移项合并同类项，再把的系数化为即可得到答案；
（2）去分母，去括号，移项合并同类项，把的系数化为即可得到答案．
【详解】（1）解：，
移项得，
合并同类项得，
解得；
（2）解：，
去分母得，
去括号得，
移项得，
合并同类项得，
解得．
20．(1)①见解析，②见解析
(2)，两点之间线段最短
【分析】本题考查作图—复杂作图、直线、射线、线段、线段的性质．
（1）①根据射线的定义画图即可；②以点为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于点，则线段即为所求；
（2）根据两点之间线段最短可得答案．
【详解】（1）解：①如图，射线即为所作；
②如图所示，线段即为所作；
（2）解：如图，连接，
则，理由是：两点之间线段最短．
故答案为：，两点之间线段最短．
21．3小时
【分析】本题考查的是列一元一次方程解决实际问题，准确找出等量关系列出方程是解题的关键；
根据题意，设x小时后两车相遇，根据客车每小时行的路程加上货车每小时行的路程，再乘相遇的时间，等于甲、乙两地相距的路程，据此等量关系列方程解答即可．
【详解】解：设x小时后两车相遇，根据题意得：
答：3小时后两车相遇．
22．(1)，
(2)
【分析】（1）根据得到，可得余角，再根据，可得补角；
（2）首先求出，再根据角平分线的定义求出，即可得解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴与互余的角是；
∵，
∴与互补的角是．
（2）∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，掌握互为余角、互为补角的意义以及图形中角的和差关系是正确解答的关键．
23．(1)，
(2)购买150根跳绳时，A、B两种方案所需要的钱数一样多
(3)按A方案买50个篮球，剩下的50条跳绳按B方案购买，付款3950元
【分析】（1）由题意按A方案购买可列式：，在按B方案购买可列式：；
（2）由（1）列等式求解即可；
（3）先算全按同一种方案进行购买，计算出两种方案所需付款金额，再根据A方案是买一个篮球送跳绳，B方案是篮球和跳绳都按定价的付款，考虑可以按A方案买50个篮球，剩下的50条跳绳按B方案购买，计算出所需付款金额，进行比较即可．
【详解】（1）解：A方案购买可列式：元；
按B方案购买可列式：元；
故答案为：，；
（2）由（1）可知，
当A、B两种方案所需要的钱数一样多时，
即
解得．
答：购买150根跳绳时，A、B两种方案所需要的钱数一样多．
（3）当时，
按A方案购买需付款：（元）；
按B方案购买需付款：（元）；
按A方案购买50个篮球配送50个跳绳，按B方案购买50个跳绳合计需付款：
（元）；
∵，
∴省钱的购买方案是：
按A方案买50个篮球，剩下的50条跳绳按B方案购买，付款3950元．
【点睛】此题考查的是列代数式并求值，也可作为一元一次方程来考查，因此做此类题需要掌握解应用题的能力．
24．(1)不是；
(2)，，7；，6；
(3)见解析
【分析】本题考查了整式的加减运算，有理数的运算，正确理解新定义是解题的关键．
（1）根据新定义“好六数”，仿照示例，即可判断352不是“好六数”；
（2）按照“好六数”的定义，根据证明过程，填写完整步骤即可；
（3）仿照第（2）题的过程，得到，即可证明能被3整除．
【详解】（1）解：，，
不是“好六数”，
故答案为：不是；
（2）解：因为，
所以，，，
所以，
所以是“好六数”，
故答案为：，，7；，6；
（3）解：，
的百位上数字为，十位上数字为，个位上数字为4，
是去掉其百位数字后的两位数，而是去掉其个位数字后的两位数，
，，
，
是“好六数”，
，
即，
，
且为正整数，
为正整数，
能被3整除．
25．（1）1或；（2）的度数为或；（3）2
【分析】本题主要考查了角的和差倍分问题、尺规作图、不等式的性质，熟练掌握以上知识点，理解题意，学会结合图形分类讨论计算是解题的关键，本题属于综合题，需要较强的推理论证和数形结合能力，适合有能力解决难题的学生．
（1）根据题意，分射线在的内部或外部2种情况计算即可；
（2）由，分射线在下方、在内部、在上方3种情况讨论，再结合定义求解即可；
（3）根据题意，讨论和，分别计算出的取值范围，即可得出最小值．
【详解】（1）解：若射线在的内部，则，
；
若射线在的外部，则，
；
综上所述，或．
故答案为：1或；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
当射线在下方时，
则，此方程无解；
当射线在内部时，
则，解得；
当射线在上方时，
则，解得；
综上：的度数为或；
（3）解：当旋转时间为45秒时，，
，
射线位于内部或边上，
下面分2种情况讨论：
当，此时，
，
由图可知，，
；
当，此时，
；
综上所述，的最小值为2．
故答案为：2．
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