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第15讲　直线与圆
（时间：45分钟，满分：79分）
一、单项选择题（每小题5分，共35分）
1.已知直线l：ax＋y－2＋a＝0在x轴与y轴上的截距相等，则实数a＝（　　）
A.1 B.－1
C.－2或1 D.2或1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.已知圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：x2＋y2－2x－4y＝0交于A，B两点，则｜AB｜＝（　　）
A. B.
C. D.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3.（2025·浙江温州一模）若方向向量为（1，－2）的直线l与圆（x－1）2＋y2＝5相切，则直线l的方程可以是（　　）
A.x＋2y＋7＝0 B.2x＋y＋3＝0
C.x＋2y－6＝0 D.2x＋y－6＝0
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4.（2025·辽宁沈阳教学质量监测）已知平面直角坐标系中不同的三点A（0，5），B（x，0），C（0，y），圆心在y轴上的圆E经过A，B，C三点，设点M的坐标为（x，y），则点M的轨迹方程为（　　）
A.x2＝5y（y≠0） B.y2＝5x（x≠0）
C.y2＝－5x（x≠0） D.x2＝－5y（y≠0）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5.折纸艺术是我国民间的传统文化，将一矩形OABC纸片放在平面直角坐标系中，O（0，0），A（2，0），C（0，1），将矩形折叠，使点O落在线段BC上，设折痕所在直线的斜率为k，则k的取值范围是（　　）
A.[0，1] B.[0，2]
C.[－1，0] D.[－2，0]
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
6.已知圆C：（x－5）2＋（y＋2）2＝r2（r＞0），A（－6，0），B（0，8），若圆C上存在点P使得PA⊥PB，则r的取值范围为（　　）
A.（0，5] B.[5，15]
C.[10，15] D.[15，＋∞）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
7.过圆x2＋y2＝16上的动点作圆C：x2＋y2＝4的两条切线，两个切点之间的线段称为切点弦，则圆C内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为（　　）
A.π B.
C.2π D.3π
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、多项选择题（每小题6分，共18分）
8.（2025·陕西西安调研）已知直线l：ax＋（2a＋3）y－3＝0，直线n：（a－2）x＋ay－1＝0，则（　　）
A.当a＝－2时，l∥n
B.当a＝时，l⊥n
C.当l∥n时，直线l，n之间的距离为
D.坐标原点到直线n的距离的最大值为
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
9.（2025·湖南邵阳模拟）设点P（x，y）为圆C：x2＋y2＝1上一点，已知点A（4，0），B（5，0），则下列结论正确的有（　　）
A.x＋y的最大值为
B.x2＋y2－4x－4y的最小值为－8
C.存在点P使｜PB｜＝｜PA｜
D.过A点作圆C的切线，则切线长为
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
10.（2025·贵州贵阳七校联合考试）已知直线l：kx＋y＋2k－1＝0与圆C：x2＋y2－6y－7＝0相交于A，B两点，下列说法正确的是（　　）
A.直线l恒过某一定点
B.当k＝1时，｜AB｜取得最大值
C.｜AB｜的最小值为4
D.当k＝2时，对任意λ∈R，曲线x2＋y2＋2λx＋（λ－6）y＋3λ－7＝0过直线l与圆C的交点
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、填空题（每小题5分，共15分）
11.（2025·陕西西安二模）若点A（2，1）在直线l：mx＋ny＝1上，且mn＞0，则＋的最小值为　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
12.经过点P（1，1）以及圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0交点的圆的方程为　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
13.（2025·山东威海一模）已知b是a与c的等比中项，直线ax＋by＋c＝0与圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则｜AB｜的最大值为　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
☆高考新风向（14题5分，15题6分，共11分）
14.〔阿波罗尼斯圆〕阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数k（k＞0，k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足＝，则｜PA｜2＋｜PB｜2的最小值为（　　）
A.36－24 B.48－24
C.36 D.24
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
15.〔定义新曲线〕〔多选〕已知曲线Ω：x2＋y2＝｜x｜＋｜y｜，点P（m，n）在曲线Ω上，则下列结论正确的是（　　）
A.曲线Ω围成的图形的面积为π＋2
B.的最小值为－1
C.点P（m，n）到直线x＋y＋3＝0的距离的最大值为
D.曲线Ω有且仅有2条对称轴
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
第15讲　直线与圆
1.D　当a＝0时，直线l：y＝2，此时不符合题意，应舍去；当a≠0时，由直线l：ax＋y－2＋a＝0可得，横截距为，纵截距为2－a.由＝2－a，解得a＝1或a＝2.经检验，a＝1，2均符合题意，故a的值是2或1.
2.C　因为圆O1：x2＋y2＝5，所以O1（0，0），半径r1＝，又圆O2：x2＋y2－2x－4y＝0，圆O1与圆O2交于A，B两点，所以直线AB的方程为2x＋4y－5＝0，所以点O1（0，0）到直线AB的距离d＝＝，所以｜AB｜＝2＝2＝，故选C.
3.B　由直线l的方向向量为（1，－2）知，直线的斜率k＝－2，设直线l方程为y＝－2x＋b，则由直线与圆相切知，圆心（1，0）到直线的距离d＝＝，解得b＝7或b＝－3，所以直线l的方程为y＝－2x＋7或y＝－2x－3，即2x＋y－7＝0或2x＋y＋3＝0，故选B.
4.D　由已知得线段AC是圆E的直径.故AB⊥CB，所以·＝0，即（x，－5）·（x，－y）＝0，可得x2＝－5y.又B，C不重合，所以原点除外.故选D.
5.D　如图，要想使折叠后的点O落在线段BC上，可取BC上任意一点D，作线段OD的垂直平分线l，以l为折痕可使点O与点D重合，k即为直线l的斜率.因为kOD≥kOB＝，由k＝－，可知－2≤k＜0.当折叠后点O与点C重合时，k＝0，所以－2≤k≤0，则k的取值范围是[－2，0]，故选D.
6.B　如图，由PA⊥PB可知点P的轨迹是以AB为直径的圆，设为圆M，因A（－6，0），B（0，8），故圆M：（x＋3）2＋（y－4）2＝25.依题意知圆M与圆C至少有一个公共点.因C（5，－2），M（－3，4），则｜CM｜＝＝10，由｜r－5｜≤｜CM｜≤5＋r，解得5≤r≤15.
7.A　如图所示，过圆x2＋y2＝16上一动点P作圆C的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则｜OP｜＝4，｜OA｜＝｜OB｜＝2，｜PB｜＝｜PA｜＝＝2，则sin∠OPA＝＝，且∠OPA为锐角，所以∠OPA＝30°，同理可得∠OPB＝30°，所以∠APB＝60°，则△APB为等边三角形，连接OP交AB于点M，因为OP为∠APB的平分线，则M为AB的中点，所以OM⊥AB，且∠OAB＝90°－∠PAB＝30°，所以｜OM｜＝｜OA｜＝1，若圆C内的点不在任何切点弦上，则该点到圆C的圆心的距离应小于｜OM｜，即圆C内的这些点构成了以原点为圆心，半径为1的圆的内部，因此，圆C内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为π×12＝π.故选A.
8.ACD　对于A，当a＝－2时，l：2x＋y＋3＝0，n：2x＋y＋＝0，易知l∥n，A正确；对于B，当a＝时，l：x＋11y－9＝0，n：5x－y＋3＝0，则1×5＋11×（－1）＝－6≠0，故l⊥n不成立，B错误；对于C，当l∥n时，a2＝（2a＋3）（a－2），则a2－a－6＝（a－3）（a＋2）＝0，可得a＝3或a＝－2，当a＝3时，l：x＋3y－1＝0，n：x＋3y－1＝0，两直线重合，排除a＝3；当a＝－2时，由A选项的分析知l∥n成立，所以a＝－2，此时直线l，n之间的距离d＝＝，C正确；对于D，坐标原点（0，0）到直线n的距离h＝＝，故当a＝1时，hmax＝，D正确.
9.AD　设x＋y＝t，即x＋y－t＝0，由≤1得－≤t≤，∴t的最大值是，A正确；x2＋y2－4x－4y＝1－4（x＋y）≥1－4（当且仅当x＝y＝时取等号），B错误；由｜PB｜＝｜PA｜得＝·，整理得（x－3）2＋y2＝2，因此满足｜PB｜＝｜PA｜的点P在圆（x－3）2＋y2＝2上，此圆圆心为（3，0），半径为，而＋1＜3，因此它与圆C外离，因此圆C上不存在点P，满足｜PB｜＝｜PA｜，C错误；圆C圆心为C（0，0），半径为r＝1，则过A点作圆C的切线，切线长为＝＝，D正确.
10.ACD　直线l：kx＋y＋2k－1＝0，整理为k（x＋2）＋y－1＝0，不管k为何值，直线l始终过点D（－2，1）.A正确；D（－2，1）在圆C内，当l过圆C的圆心C时，｜AB｜取得最大值，为直径.当k＝1时，直线l的方程为x＋y＋1＝0，它不过圆C的圆心C（0，3）.B错误；如图，连接CD，当l⊥CD时，｜AB｜取得最小值.圆C：x2＋（y－3）2＝16的半径r＝4，｜CD｜＝＝2，所以｜AB｜min＝2＝4.C正确；当k＝2时，直线l：2x＋y＋3＝0，曲线x2＋y2＋2λx＋（λ－6）y＋3λ－7＝0，即x2＋y2－6y－7＋λ（2x＋y＋3）＝0，显然该曲线过直线l与圆C的交点，故选A、C、D.
11.8　解析：由点A（2，1）在直线l：mx＋ny＝1上，得2m＋n＝1，又mn＞0，则m＞0，n＞0，因此＋＝（2m＋n）（＋）＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即n＝2m＝时取等号，所以＋的最小值为8.
12.x2＋y2＋x－y－2＝0　解析：设过圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0交点的圆的方程为x2＋y2－4＋λ（x2＋y2－4x＋4y－12）＝0　（*），把点P（1，1）代入（*）式得λ＝－，把λ＝－代入（*）式化简得x2＋y2＋x－y－2＝0，所以所求圆的方程为x2＋y2＋x－y－2＝0.
13.2　解析：因b是a与c的等比中项，故b2＝ac，＞0，圆x2＋y2－6x＝0的圆心坐标为C（3，0），半径r＝3，设圆心到直线的距离为d，则d＝＝，则｜AB｜＝2＝2＝2，设t＝＋1＞1，则｜AB｜＝2＝
2≤2＝2，当且仅当t＝2时等号成立.
14.A　以经过A，B的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，则A（－1，0），B（1，0），设P（x，y），∵＝，∴＝，两边平方并整理得x2＋y2－6x＋1＝0，∴（x－3）2＋y2＝8，∴点P的轨迹是以（3，0）为圆心，2为半径的圆，则有｜PA｜2＋｜PB｜2＝2（x2＋y2）＋2＝2｜OP｜2＋2，如图所示.
当点P为圆与x轴的交点（靠近原点）时，此时，｜OP｜取最小值，且｜OP｜＝3－2，因此，｜PA｜2＋｜PB｜2≥2×（3－2）2＋2＝36－24，故选A.
15.ABC　曲线Ω：x2＋y2＝｜x｜＋｜y｜　①，当x≥0且y≥0时，曲线Ω的方程可化为（x－）2＋（y－）2＝，用－x替换x，①式不变，所以曲线Ω关于y轴对称，同理可得曲线Ω关于x轴对称，所以可作出曲线Ω，如图1所示.由图1可知，曲线Ω围成的图形的面积为四个半径为的半圆的面积与边长为的正方形的面积之和，所以曲线Ω围成的图形的面积为4×π×（）2＋（）2＝2＋π，A正确；表示点P（m，n）与点（2，0）的连线l的斜率，如图2，由图2可知，当（x－）2＋（y－）2＝（x≥0且y≥0）与直线l相切时，取得最小值，设切线为y＝k（x－2）（k＜0），则＝，解得k＝－1或k＝（舍去），所以的最小值为－1，B正确；
点（，）到直线x＋y＋3＝0的距离d＝＝2，如图3，结合图象可知，点P（m，n）到直线x＋y＋3＝0的距离的最大值为2＋＝，C正确；曲线Ω有4条对称轴，分别是x轴、y轴、直线y＝x、直线y＝－x，D错误.
3 / 3第15讲　直线与圆
【备考指南】　考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系（特别是弦长问题），此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现.
1.点（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝（A2＋B2≠0）.
1.（2024·北京高考3题）圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到直线x－y＋2＝0的距离为（　　）
A. B.2
C.3 D.3
2.已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2 A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0（或B1C2－B2C1≠0），l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
2.〔多选〕已知直线l1：ax＋y－3a＝0，直线l2：2x＋（a－1）y－6＝0，则（　　）
A.当a＝3时，l1与l2的交点是（3，0）
B.直线l1与l2都恒过点（3，0）
C.若l1⊥l2，则a＝
D. a∈R，使得l1∥l2
3.直线与圆相交的弦长｜AB｜＝2.
3.（2025·江西南昌模拟测试）已知直线y＝2x与圆x2＋y2－2x－3＝0交于A，B两点，O为坐标原点，若｜OA｜＝，则｜OB｜＝（　　）
A. B.
C. D.
4.过圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）上一点P（x0，y0）的切线方程为（x0－a）（x－a）＋（y0－b）（y－b）＝r2.
4.圆Q：x2＋y2－4x＝0在点P（1，）处的切线方程为（　　）
A.x＋y－2＝0 B.x＋y－4＝0
C.x－y＋4＝0 D.x－y＋2＝0
5.过两圆交点的圆系方程：
（x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1）＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0（λ≠－1，此圆系不含圆x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0）.
5.圆心在直线x－y－4＝0上，并且经过圆x2＋y2＋6x－4＝0与圆x2＋y2＋6y－28＝0的交点的圆的方程为　　　　.
【常用结论】　过圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）外一点P（x0，y0）作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在的直线方程为（x0－a）（x－a）＋（y0－b）（y－b）＝r2.
考点一　直线与圆
【例1】　（1）已知圆C：x2＋y2－4x＝0，过点M（0，1）作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则｜AB｜＝（　　）
A. B.
C. D.2
【通性通法】　讨论直线与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量.
（2）（2025·全国Ⅰ卷7题）已知圆x2＋（y＋2）2＝r2（r＞0）上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有两个，则r的取值范围是（　　）
A.（0，1） B.（1，3）
C.（3，＋∞） D.（0，＋∞）
【训练1】　（1）（2025·江苏南京二模）若圆心在x轴上的圆C与直线l：x－y＋1＝0相切于点A（1，2），则圆心C的坐标为（　　）
A.（－3，0） B.（－1，0）
C.（1，0） D.（3，0）
【瓶颈突破】　如图，利用∠APB＝2∠APC，且sin∠APC＝求解.
（2）（2023·新高考Ⅰ卷6题）过点（0，－2）与圆x2＋y2－4x－1＝0相切的两条直线的夹角为α，则sin α＝（　　）
A.1 B.
C. D.
（3）（2025·天津高考12题）l1：x－y＋6＝0与x轴交于点A，与y轴交于点B，与圆（x＋1）2＋（y－3）2＝r2（r＞0）交于C，D两点，｜AB｜＝3｜CD｜，则r＝　　　　.
考点二　圆与圆
【通性通法】　处理圆与圆位置关系的常用结论
（1）当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在直线的方程，这一结论的前提是两圆相交；
（2）两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心；
（3）求公共弦长时，几何法通常比代数法更简单.
【例2】　〔多选〕若圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：（x－m）2＋（y－n）2＝4的公共弦AB的长为2，则下列结论正确的有（　　）
A.m2＋n2＝4
B.直线AB的方程为mx＋ny－2＝0
C.AB中点的轨迹方程为x2＋y2＝3
D.四边形AC1BC2的面积为
【训练2】　（1）（2025·浙江温州模拟）若圆C与直线3x－4y－12＝0相切，且与圆x2－2x＋y2＝0相切于点A（2，0），则圆C的半径为（　　）
A. B.
C.5或 D.3或
（2）〔多选〕已知圆C1：x2＋y2＝1，圆C2：（x－3）2＋（y＋4）2＝r2（r＞0），P，Q分别是圆C1与圆C2上的动点，则（　　）
A.若圆C1与圆C2无公共点，则0＜r＜4
B.当r＝5时，两圆公共弦所在直线的方程为6x－8y－1＝0
C.当r＝2时，｜PQ｜的取值范围为[2，8]
D.当r＝3时，过点P作圆C2的两条切线，切点分别为A，B，则∠APB不可能等于
考点三　隐圆问题
【通性通法】　发现隐圆的主要方法
（1）利用圆的定义或圆的几何性质确定圆；
【例3】　（1）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为（　　）
A. B.2
C.3 D.4
（2）由两定点A，B，动点P满足｜PA｜2＋｜PB｜2是定值，确定圆；
（2）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x－a）2＋（y－a＋2）2＝1，点A（0，2），若圆C上存在点M，满足｜MA｜2＋｜MO｜2＝10，则实数a的取值范围是　　　　.
（3）由两定点A，B，动点P满足·＝λ（λ是常数），求出点P的轨迹方程，确定圆；
【训练3】　（1）在平面直角坐标系xOy中，A（－12，0），B（0，6），点P在圆O：x2＋y2＝50上，若·≤20，则点P的横坐标的取值范围为　　　　；
（4）由两定点A，B，动点P满足＝λ（λ＞0，λ≠1），确定圆（阿波罗尼斯圆）.
（2）已知圆C：（x－2）2＋y2＝2，直线l：y＝k（x＋2）与x轴交于点A，过l上一点P作圆C的切线，切点为T，若｜PA｜＝｜PT｜，则实数k的取值范围是　　　　　.
第15讲　直线与圆
【基础·回扣】
1.D　2.ABC　3.C　4.D　5.x2＋y2－x＋7y－32＝0
【典例·讲解】
【例1】　（1）A　x2＋y2－4x＝0可化为（x－2）2＋y2＝4，易知切点弦AB所在的方程为2x－y＝0.将2x－y＝0与x2＋y2－4x＝0联立，得5x2－4x＝0，解得x＝0或x＝.所以得A（0，0），B（，），故｜AB｜＝＝.
（2）B　易得圆心（0，－2）到直线y＝x＋2的距离d＝2.当r＝d－1＝1时，圆x2＋（y＋2）2＝r2（r＞0）上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有一个，当r＝d＋1＝3时，圆x2＋（y＋2）2＝r2（r＞0）上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有三个，故当1＜r＜3时，圆x2＋（y＋2）2＝r2（r＞0）上到直线y＝x＋2的距离为1的点有且仅有两个.故选B.
【训练1】　（1）D　设过点A（1，2）且与直线l：x－y＋1＝0垂直的直线为x＋y＋m＝0，则1＋2＋m＝0，解得m＝－3，所以x＋y－3＝0，即圆心在直线x＋y－3＝0，又圆心在x轴上，令y＝0，可得x＝3，所以圆心坐标为（3，0）.
（2）B　由x2＋y2－4x－1＝0，得（x－2）2＋y2＝5，所以圆心为点（2，0），半径为.如图易知点（2，0）与点（0，－2）的距离为2，所以点（0，－2）与切点的距离为＝，所以sin＝，cos＝，所以sin α＝2sincos＝2××＝.故选B.
（3）2　解析：因为直线l1：x－y＋6＝0与x轴交于点A（－6，0），与y轴交于点B（0，6），所以｜AB｜＝＝6，所以｜CD｜＝2，圆（x＋1）2＋（y－3）2＝r2的半径为r，圆心（－1，3）到直线l1：x－y＋6＝0的距离为d＝＝，故｜CD｜＝2＝2＝2，解得r＝2.
【例2】　AB　两圆方程相减可得直线AB的方程为2mx＋2ny－m2－n2＝0，因为圆C1的圆心为（0，0），半径为2，且公共弦AB的长为2，则C1（0，0）到直线2mx＋2ny－m2－n2＝0的距离为1，所以＝1，解得m2＋n2＝4，所以直线AB的方程为mx＋ny－2＝0，故A、B正确；由圆的性质可知直线C1C2垂直平分线段AB，所以C1（0，0）到直线mx＋ny－2＝0的距离即为AB中点与点C1的距离，设AB中点的坐标为（x，y），则＝1，即x2＋y2＝1，故C错误；易得四边形AC1BC2为菱形，且AB＝2，C1C2＝2，则四边形AC1BC2的面积为×2×2＝2，故D错误.故选A、B.
【训练2】　（1）D　圆x2－2x＋y2＝0的圆心为（1，0），半径为1，圆C与圆x2－2x＋y2＝0相切于点A（2，0），则圆心在x轴，设圆心为（a，0），则由题意｜a－2｜＝，解得a＝－1或a＝，a＝－1时，半径为｜－1－2｜＝3；a＝时，半径为｜－2｜＝，故选D.
（2）BC　易知圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1（0，0），半径r1＝1；圆C2：（x－3）2＋（y＋4）2＝r2的圆心为C2（3，－4），半径为r.对于A，若圆C1与圆C2无公共点，则｜C1C2｜＞r＋1或｜C1C2｜＜｜r－1｜，可得5＞r＋1或5＜｜r－1｜，解得0＜r＜4或r＞6，故A错误；对于B，当r＝5时，两圆相交，公共弦方程为x2＋y2－[（x－3）2＋（y＋4）2]＝1－25，整理可得6x－8y－1＝0，故B正确；对于C，当r＝2时可知两圆外离，｜PQ｜∈[｜C1C2｜－3，｜C1C2｜＋3]，即｜PQ｜∈[2，8]，故C正确；对于D，若∠APB＝，可知四边形AC2BP为正方形，如图，可得｜PC2｜＝3，而｜PC2｜∈[｜C1C2｜－1，｜C1C2｜＋1]，即｜PC2｜∈[4，6]，而3∈[4，6]，所以存在点P使得∠APB＝，故D错误.
【例3】　（1）C　直线l1，l2分别经过定点A（0，2），B（2，0），且l1⊥l2，所以点P在以AB为直径的圆C上.圆C的圆心为C（1，1），半径r＝.因为圆心C到直线l：x－y－4＝0的距离为d＝＝2，所以点P到直线l的距离的最大值为d＋r＝3.
（2）[0，3]　解析：设M（x，y），由｜MA｜2＋｜MO｜2＝10可得x2＋（y－2）2＋x2＋y2＝10，即x2＋（y－1）2＝4，则点M在圆x2＋（y－1）2＝4上，由题目条件可知点M在圆C：（x－a）2＋（y－a＋2）2＝1上，所以两圆相交或相切，则2－1≤≤1＋2，解得0≤a≤3.
【训练3】　（1）[－5，1]　解析：设点P（x，y），由·≤20，即（x＋6）2＋（y－3）2≤65，表示点P在此圆内部（含边界），又点P在圆O上，联立解得或结合圆O的左端点的坐标为（－5，0），所以点P的横坐标的取值范围是[－5，1].
（2）［－，］　解析：由题意知A（－2，0），C（2，0），设P（x，y），则由｜PA｜＝｜PT｜，得｜PA｜2＝2｜PT｜2＝2（｜PC｜2－2），故（x＋2）2＋y2＝2[（x－2）2＋y2－2]，化简得（x－6）2＋y2＝36，所以满足｜PA｜＝｜PT｜的点P在以（6，0）为圆心，6为半径的圆上.由题意知，直线y＝k（x＋2）与圆（x－6）2＋y2＝36有公共点，所以d＝≤6，解得－≤k≤.
3 / 3(共61张PPT)
第15讲　直线与圆
备考指南
考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题、直线与圆的位置关系（特别是弦长问题），此类问题难度属于中低档，一般以选择题、填空题的形式出现.
基础·回扣 诊断自测 知识回扣
一
典例·讲解 典例精析 强技提能
二
课后·训练 巩固强化 综合测评
三
目录 /
CONTENTS
基础·回扣
诊断自测 知识回扣
1. （2024·北京高考3题）圆x2＋y2－2x＋6y＝0的圆心到直线x－y＋2＝0
的距离为（　　）
A. B. 2
C. 3 D. 3
√
点（x0，y0）到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝ （A2＋B2≠0）.
解析： 　化圆的方程为标准方程，得（x－1）2＋（y＋3）2＝10，所以
该圆的圆心（1，－3）到直线x－y＋2＝0的距离为 ＝
＝3 .
2. 〔多选〕已知直线l1：ax＋y－3a＝0，直线l2：2x＋（a－1）y－6＝
0，则（　　）
A. 当a＝3时，l1与l2的交点是（3，0）
B. 直线l1与l2都恒过点（3，0）
C. 若l1⊥l2，则a＝
D. a∈R，使得l1∥l2
√
√
√
已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2：A2x＋B2y＋C2＝0，则l1∥l2 A1B2－A2B1＝0，且A1C2－A2C1≠0（或B1C2－B2C1≠0），l1⊥l2 A1A2＋B1B2＝0.
解析： 　对于A，当a＝3时，l1：3x＋y－9＝0，l2：x＋y－3＝0，
联立 解得 所以交点为（3，0），故A正确；对
于B，l1：a（x－3）＋y＝0，恒过定点（3，0），l2：ay＋2x－y－6＝
0，当y＝0时，解得x＝3，所以直线l2也恒过定点（3，0），故B正确；
对于C，当a＝1时，l1与l2不垂直，当a≠1时，由l1⊥l2可得－a·（－ ）
＝－1，解得a＝ ，故C正确；对于D，由l1∥l2可得a（a－1）－2＝0，
解得a＝－1或a＝2，当a＝－1时，l1：x－y－3＝0，l2：x－y－3＝0，
两直线重合，不符合题意，当a＝2时，l1：2x＋y－6＝0，l2：2x＋y－6
＝0，两直线重合，不符合题意，故D错误.
3. （2025·江西南昌模拟测试）已知直线y＝2x与圆x2＋y2－2x－3＝0交
于A，B两点，O为坐标原点，若｜OA｜＝ ，则｜OB｜＝（　　）
A. B.
C. D.
√
直线与圆相交的弦长｜AB｜＝2 .
解析： 如图，由x2＋y2－2x－3＝0得（x－1）2＋y2
＝4，故圆心（1，0）到直线2x－y＝0的距离d＝
＝ ，又圆的半径r＝2，所以｜AB｜＝
2 ＝ ＝ ，又｜OA｜＝ ，则｜OB｜＝｜AB｜－｜OA｜＝ .故选C.
4. 圆Q：x2＋y2－4x＝0在点P（1， ）处的切线方程为（　　）
A. x＋ y－2＝0 B. x＋ y－4＝0
C. x－ y＋4＝0 D. x－ y＋2＝0
√
过圆（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）上一点P（x0，y0）的切线方程为（x0－a）（x－a）＋（y0－b）（y－b）＝r2.
解析： 　圆Q的标准方程为（x－2）2＋y2＝4.∵P（1， ）在圆Q
上，∴所求切线方程为（1－2）（x－2）＋（ －0）（y－0）＝4，即
x－ y＋2＝0.
过两圆交点的圆系方程：（x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1）＋λ（x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2）＝0（λ≠－1，此圆系不含圆x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0）.
5. 圆心在直线x－y－4＝0上，并且经过圆x2＋y2＋6x－4＝0与圆x2＋y2
＋6y－28＝0的交点的圆的方程为 .
x2＋y2－x＋7y－32＝0
解析：设经过两圆交点的圆的方程为x2＋y2＋6x－4＋λ（x2＋y2＋6y－
28）＝0，即（1＋λ）x2＋（1＋λ）y2＋6x＋6λy－28λ－4＝0，圆心
坐标为（ ， ），将其代入直线x－y－4＝0，解得λ＝－7.故所求
圆的方程为x2＋y2－x＋7y－32＝0.
典例·讲解
典例精析 强技提能
考点一　直线与圆
【例1】　（1）已知圆C：x2＋y2－4x＝0，过点M（0，1）作圆C的两
条切线，切点分别为A，B，则｜AB｜＝（　　）
A. B.
C. D. 2
√
【常用结论】　过圆C：（x－a）2＋（y－b）2＝r2（r＞0）外一点P（x0，y0）作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则切点弦AB所在的直线方程为（x0－a）（x－a）＋（y0－b）（y－b）＝r2.
解析： 　x2＋y2－4x＝0可化为（x－2）2＋y2＝4，易知切点弦AB所在
的方程为2x－y＝0.将2x－y＝0与x2＋y2－4x＝0联立，得5x2－4x＝0，
解得x＝0或x＝ .所以得A（0，0），B（ ， ），故｜AB｜＝
＝ .
（2）（2025·全国Ⅰ卷7题）已知圆x2＋（y＋2）2＝r2（r＞0）上到直线y
＝ x＋2的距离为1的点有且仅有两个，则r的取值范围是（　　）
A. （0，1） B. （1，3）
C. （3，＋∞） D. （0，＋∞）
√
【通性通法】　讨论直线与圆的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量.
解析： 　易得圆心（0，－2）到直线y＝ x＋2的距离d＝2.当r＝d－
1＝1时，圆x2＋（y＋2）2＝r2（r＞0）上到直线y＝ x＋2的距离为1的
点有且仅有一个，当r＝d＋1＝3时，圆x2＋（y＋2）2＝r2（r＞0）上到
直线y＝ x＋2的距离为1的点有且仅有三个，故当1＜r＜3时，圆x2＋
（y＋2）2＝r2（r＞0）上到直线y＝ x＋2的距离为1的点有且仅有两
个.故选B.
【训练1】　（1）（2025·江苏南京二模）若圆心在x轴上的圆C与直线
l：x－y＋1＝0相切于点A（1，2），则圆心C的坐标为（　　）
A. （－3，0） B. （－1，0）
C. （1，0） D. （3，0）
√
解析： 　设过点A（1，2）且与直线l：x－y＋1＝0垂直的直线为x＋y
＋m＝0，则1＋2＋m＝0，解得m＝－3，所以x＋y－3＝0，即圆心在直
线x＋y－3＝0，又圆心在x轴上，令y＝0，可得x＝3，所以圆心坐标为
（3，0）.
（2）（2023·新高考Ⅰ卷6题）过点（0，－2）与圆x2＋y2－4x－1＝0相切
的两条直线的夹角为α，则 sin α＝（　　）
A. 1 B. C. D.
√
【瓶颈突破】　如图，利用∠APB
＝2∠APC，且 sin ∠APC＝
求解.
解析： 　由x2＋y2－4x－1＝0，
得（x－2）2＋y2＝5，所以圆心为点（2，0），半径为
.如图易知点（2，0）与点（0，－2）的距离为
2 ，所以点（0，－2）与切点的距离为
＝ ，所以 sin ＝ ， cos ＝ ，所以 sin α＝2 sin cos ＝2× × ＝ .故选B.
（3）（2025·天津高考12题）l1：x－y＋6＝0与x轴交于点A，与y轴交于
点B，与圆（x＋1）2＋（y－3）2＝r2（r＞0）交于C，D两点，｜AB｜
＝3｜CD｜，则r＝ .
解析：因为直线l1：x－y＋6＝0与x轴交于点A（－6，0），
与y轴交于点B（0，6），所以｜AB｜＝ ＝6 ，
所以｜CD｜＝2 ，圆（x＋1）2＋（y－3）2＝r2的半径
为r，圆心（－1，3）到直线l1：x－y＋6＝0的距离为d＝
＝ ，故｜CD｜＝2 ＝2 ＝2 ，解得r＝2.
2
考点二　圆与圆
【例2】　〔多选〕若圆C1：x2＋y2＝4与圆C2：（x－m）2＋（y－n）2
＝4的公共弦AB的长为2 ，则下列结论正确的有（　　）
A. m2＋n2＝4
B. 直线AB的方程为mx＋ny－2＝0
C. AB中点的轨迹方程为x2＋y2＝3
D. 四边形AC1BC2的面积为
√
√
【通性通法】　处理圆与圆位置关系的常用结论
（1）当两圆相交时，两圆方程相减，所得的直线方程即两圆公共弦所在直线的方程，这一结论的前提是两圆相交；
（2）两圆公共弦的垂直平分线过两圆的圆心；
（3）求公共弦长时，几何法通常比代数法更简单.
解析： 　两圆方程相减可得直线AB的方程为2mx＋2ny－m2－n2＝0，
因为圆C1的圆心为（0，0），半径为2，且公共弦AB的长为2 ，则C1
（0，0）到直线2mx＋2ny－m2－n2＝0的距离为1，所以 ＝
1，解得m2＋n2＝4，所以直线AB的方程为mx＋ny－2＝0，故A、B正
确；由圆的性质可知直线C1C2垂直平分线段AB，所以C1（0，0）到直线
mx＋ny－2＝0的距离即为AB中点与点C1的距离，设AB中点的坐标为
（x，y），则 ＝1，即x2＋y2＝1，故C错误；
易得四边形AC1BC2为菱形，且AB＝2 ，C1C2＝2，则四边形AC1BC2的
面积为 ×2 ×2＝2 ，故D错误.故选A、B.
【训练2】　（1）（2025·浙江温州模拟）若圆C与直线3x－4y－12＝0相
切，且与圆x2－2x＋y2＝0相切于点A（2，0），则圆C的半径为（　　）
A. B.
√
C. 5或 D. 3或
解析： 　圆x2－2x＋y2＝0的圆心为（1，0），半径为
1，圆C与圆x2－2x＋y2＝0相切于点A（2，0），则圆
心在x轴，设圆心为（a，0），则由题意｜a－2｜＝
，解得a＝－1或a＝ ，a＝－1时，半径为｜－1－2｜＝3；a＝ 时，半径为｜ －2｜＝ ，故选D.
（2）〔多选〕已知圆C1：x2＋y2＝1，圆C2：（x－3）2＋（y＋4）2＝r2
（r＞0），P，Q分别是圆C1与圆C2上的动点，则（　　）
A. 若圆C1与圆C2无公共点，则0＜r＜4
B. 当r＝5时，两圆公共弦所在直线的方程为6x－8y－1＝0
C. 当r＝2时，｜PQ｜的取值范围为[2，8]
D. 当r＝3时，过点P作圆C2的两条切线，切点分别为A，B，则∠APB
不可能等于
√
√
解析： 　易知圆C1：x2＋y2＝1的圆心为C1（0，0），
半径r1＝1；圆C2：（x－3）2＋（y＋4）2＝r2的圆心为C2
（3，－4），半径为r.对于A，若圆C1与圆C2无公共点，
则｜C1C2｜＞r＋1或｜C1C2｜＜｜r－1｜，可得5＞r＋1
或5＜｜r－1｜，解得0＜r＜4或r＞6，故A错误；对于B，当r＝5时，两圆相交，公共弦方程为x2＋y2－[（x－3）2＋（y＋4）2]＝1－25，整理可得6x－8y－1＝0，故B正确；对于C，当r＝2时可知两圆外离，｜PQ｜∈[｜C1C2｜－3，｜C1C2｜＋3]，即｜PQ｜∈[2，8]，故C正确；
对于D，若∠APB＝ ，可知四边形AC2BP为正方形，如
图，可得｜PC2｜＝3 ，而｜PC2｜∈[｜C1C2｜－
1，｜C1C2｜＋1]，即｜PC2｜∈[4，6]，而3 ∈[4，6]，
所以存在点P使得∠APB＝ ，故D错误.
考点三　隐圆问题
【例3】　（1）在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线
l2：x＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0
的距离的最大值为（　　）
A. B. 2
√
C. 3 D. 4
【通性通法】　发现隐圆的主要方法
利用圆的定义或圆的几何性质确定圆；
解析： 　直线l1，l2分别经过定点A（0，2），B（2，0），且l1⊥l2，所
以点P在以AB为直径的圆C上.圆C的圆心为C（1，1），半径r＝ .因
为圆心C到直线l：x－y－4＝0的距离为d＝ ＝2 ，所以点P
到直线l的距离的最大值为d＋r＝3 .
由两定点A，B，动点P满足｜PA｜2
＋｜PB｜2是定值，确定圆；
（2）在平面直角坐标系xOy中，已知圆C：（x－a）2＋（y－a＋2）2＝
1，点A（0，2），若圆C上存在点M，满足｜MA｜2＋｜MO｜2＝10，
则实数a的取值范围是 .
[0，3]
解析：设M（x，y），由｜MA｜2＋｜MO｜2＝10可得x2＋（y－2）2＋
x2＋y2＝10，即x2＋（y－1）2＝4，则点M在圆x2＋（y－1）2＝4上，由
题目条件可知点M在圆C：（x－a）2＋（y－a＋2）2＝1上，所以两圆
相交或相切，则2－1≤ ≤1＋2，解得
0≤a≤3.
【训练3】　（1）在平面直角坐标系xOy中，A（－12，0），B（0，
6），点P在圆O：x2＋y2＝50上，若 · ≤20，则点P的横坐标的取
值范围为 ；
[－5 ，1]
由两定点A，B，动点P满足 · ＝λ（λ是常数），求出点P的轨迹方程，确定圆；
解析：设点P（x，y），由 · ≤20，即（x＋6）2＋（y－3）
2≤65，表示点P在此圆内部（含边界），又点P在圆O上，联立
解得 或 结合圆O的
左端点的坐标为（－5 ，0），所以点P的横坐标的取值范围是[－
5 ，1].
（2）已知圆C：（x－2）2＋y2＝2，直线l：y＝k（x＋2）与x轴交于点
A，过l上一点P作圆C的切线，切点为T，若｜PA｜＝ ｜PT｜，则实
数k的取值范围是 .
［－ ， ］
由两定点A，B，动点P满足 ＝λ（λ＞0，λ≠1），确定圆（阿波罗尼斯圆）.
解析：由题意知A（－2，0），C（2，0），设P（x，y），则由｜
PA｜＝ ｜PT｜，得｜PA｜2＝2｜PT｜2＝2（｜PC｜2－2），故（x
＋2）2＋y2＝2[（x－2）2＋y2－2]，化简得（x－6）2＋y2＝36，所以满
足｜PA｜＝ ｜PT｜的点P在以（6，0）为圆心，6为半径的圆上.由题
意知，直线y＝k（x＋2）与圆（x－6）2＋y2＝36有公共点，所以d＝
≤6，解得－ ≤k≤ .
课后·训练
巩固强化 综合测评
（时间：45分钟，满分：79分）
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一、单项选择题（每小题5分，共35分）
1. 已知直线l：ax＋y－2＋a＝0在x轴与y轴上的截距相等，则实数a＝
（　　）
A. 1 B. －1
C. －2或1 D. 2或1
√
解析： 　当a＝0时，直线l：y＝2，此时不符合题意，应舍去；当a≠0
时，由直线l：ax＋y－2＋a＝0可得，横截距为 ，纵截距为2－a.由
＝2－a，解得a＝1或a＝2.经检验，a＝1，2均符合题意，故a的值是
2或1.
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2. 已知圆O1：x2＋y2＝5与圆O2：x2＋y2－2x－4y＝0交于A，B两点，
则｜AB｜＝（　　）
A. B.
C. D.
√
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解析： 　因为圆O1：x2＋y2＝5，所以O1（0，0），半径r1＝ ，又圆
O2：x2＋y2－2x－4y＝0，圆O1与圆O2交于A，B两点，所以直线AB的方
程为2x＋4y－5＝0，所以点O1（0，0）到直线AB的距离d＝ ＝
，所以｜AB｜＝2 ＝2 ＝ ，故选C.
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3. （2025·浙江温州一模）若方向向量为（1，－2）的直线l与圆（x－1）
2＋y2＝5相切，则直线l的方程可以是（　　）
A. x＋2y＋7＝0 B. 2x＋y＋3＝0
C. x＋2y－6＝0 D. 2x＋y－6＝0
√
解析： 　由直线l的方向向量为（1，－2）知，直线的斜率k＝－2，设直
线l方程为y＝－2x＋b，则由直线与圆相切知，圆心（1，0）到直线的距
离d＝ ＝ ，解得b＝7或b＝－3，所以直线l的方程为y＝－2x
＋7或y＝－2x－3，即2x＋y－7＝0或2x＋y＋3＝0，故选B.
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4. （2025·辽宁沈阳教学质量监测）已知平面直角坐标系中不同的三点A
（0，5），B（x，0），C（0，y），圆心在y轴上的圆E经过A，B，
C三点，设点M的坐标为（x，y），则点M的轨迹方程为（　　）
A. x2＝5y（y≠0） B. y2＝5x（x≠0）
C. y2＝－5x（x≠0） D. x2＝－5y（y≠0）
√
解析： 　由已知得线段AC是圆E的直径.故AB⊥CB，所以 · ＝
0，即（x，－5）·（x，－y）＝0，可得x2＝－5y.又B，C不重合，所以
原点除外.故选D.
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5. 折纸艺术是我国民间的传统文化，将一矩形OABC纸片放在平面直角坐
标系中，O（0，0），A（2，0），C（0，1），将矩形折叠，使点O落
在线段BC上，设折痕所在直线的斜率为k，则k的取值范围是（　　）
A. [0，1] B. [0，2]
C. [－1，0] D. [－2，0]
√
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解析： 　如图，要想使折叠后的点O落在线段BC上，可
取BC上任意一点D，作线段OD的垂直平分线l，以l为折
痕可使点O与点D重合，k即为直线l的斜率.因为
kOD≥kOB＝ ，由k＝－ ，可知－2≤k＜0.当折叠后点O与点C重合时，k＝0，所以－2≤k≤0，则k的取值范围是[－2，0]，故选D.
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6. 已知圆C：（x－5）2＋（y＋2）2＝r2（r＞0），A（－6，0），B
（0，8），若圆C上存在点P使得PA⊥PB，则r的取值范围为（　　）
A. （0，5] B. [5，15]
C. [10，15] D. [15，＋∞）
√
解析： 　如图，由PA⊥PB可知点P的轨迹是以AB为直
径的圆，设为圆M，因A（－6，0），B（0，8），故圆
M：（x＋3）2＋（y－4）2＝25.依题意知圆M与圆C至
少有一个公共点.因C（5，－2），M（－3，4），则｜
CM｜＝ ＝10，由｜r－5｜≤｜CM｜≤5＋r，解得5≤r≤15.
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7. 过圆x2＋y2＝16上的动点作圆C：x2＋y2＝4的两条切线，两个切点之间
的线段称为切点弦，则圆C内不在任何切点弦上的点形成的区域的面积为
（　　）
A. π B.
√
解析： 如图所示，过圆x2＋y2＝16上一动点P作圆C
的两条切线PA，PB，切点分别为A，B，则｜OP｜＝
4，｜OA｜＝｜OB｜＝2，｜PB｜＝｜PA｜＝
＝2 ，则 sin ∠OPA＝
C. 2π D. 3π
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＝ ，且∠OPA为锐角，所以∠OPA＝30°，同理可得∠OPB＝30°，所以∠APB＝60°，则△APB为等边三角形，连接OP交AB于点M，因为OP为∠APB的平分线，则M为AB的中点，所以OM⊥AB，且∠OAB＝
90°－∠PAB＝30°，所以｜OM｜＝ ｜OA｜＝1，若圆C内的点不在任何切点弦上，则该点到圆C的圆心的距离应小于｜OM｜，即圆C内的这些点构成了以原点为圆心，半径为1的圆的内部，因此，圆C内不在任何
切点弦上的点形成的区域的面积为π×12＝π.故选A.
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二、多项选择题（每小题6分，共18分）
8. （2025·陕西西安调研）已知直线l：ax＋（2a＋3）y－3＝0，直线
n：（a－2）x＋ay－1＝0，则（　　）
A. 当a＝－2时，l∥n
B. 当a＝ 时，l⊥n
C. 当l∥n时，直线l，n之间的距离为
D. 坐标原点到直线n的距离的最大值为
√
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解析： 　对于A，当a＝－2时，l：2x＋y＋3＝0，n：2x＋y＋ ＝
0，易知l∥n，A正确；对于B，当a＝ 时，l：x＋11y－9＝0，n：5x
－y＋3＝0，则1×5＋11×（－1）＝－6≠0，故l⊥n不成立，B错误；对
于C，当l∥n时，a2＝（2a＋3）（a－2），则a2－a－6＝（a－3）（a
＋2）＝0，可得a＝3或a＝－2，当a＝3时，l：x＋3y－1＝0，n：x＋
3y－1＝0，两直线重合，排除a＝3；当a＝－2时，由A选项的分析知l∥n成立，所以a＝－2，此时直线l，n之间的距离d＝ ＝ ，C正确；对于D，坐标原点（0，0）到直线n的距离h＝ ＝ ，故当a＝1时，hmax＝ ，D正确.
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9. （2025·湖南邵阳模拟）设点P（x，y）为圆C：x2＋y2＝1上一点，已
知点A（4，0），B（5，0），则下列结论正确的有（　　）
A. x＋y的最大值为
B. x2＋y2－4x－4y的最小值为－8
C. 存在点P使｜PB｜＝ ｜PA｜
D. 过A点作圆C的切线，则切线长为
√
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解析： 　设x＋y＝t，即x＋y－t＝0，由 ≤1得－
≤t≤ ，∴t的最大值是 ，A正确；x2＋y2－4x－4y＝1－4（x＋y）
≥1－4 （当且仅当x＝y＝ 时取等号），B错误；由｜PB｜＝ ｜
PA｜得 ＝ · ，整理得（x－3）2＋y2
＝2，因此满足｜PB｜＝ ｜PA｜的点P在圆（x－3）2＋y2＝2上，此
圆圆心为（3，0），半径为 ，而 ＋1＜3，因此它与圆C外离，因此
圆C上不存在点P，满足｜PB｜＝ ｜PA｜，C错误；圆C圆心为C
（0，0），半径为r＝1，则过A点作圆C的切线，切线长为
＝ ＝ ，D正确.
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10. （2025·贵州贵阳七校联合考试）已知直线l：kx＋y＋2k－1＝0与圆
C：x2＋y2－6y－7＝0相交于A，B两点，下列说法正确的是（　　）
A. 直线l恒过某一定点
B. 当k＝1时，｜AB｜取得最大值
C. ｜AB｜的最小值为4
D. 当k＝2时，对任意λ∈R，曲线x2＋y2＋2λx＋（λ－6）y＋3λ－7
＝0过直线l与圆C的交点
√
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解析： 　直线l：kx＋y＋2k－1＝0，整理为k（x
＋2）＋y－1＝0，不管k为何值，直线l始终过点D（－
2，1）.A正确；D（－2，1）在圆C内，当l过圆C的圆
心C时，｜AB｜取得最大值，为直径.当k＝1时，直线l
的方程为x＋y＋1＝0，它不过圆C的圆心C（0，3）.B错误；如图，连接CD，当l⊥CD时，｜AB｜取得最小值.圆C：x2＋（y－3）2＝16的半径r＝4，｜CD｜＝ ＝2 ，所以｜AB｜min＝2 ＝4 .C正确；当k＝2时，直线l：2x＋y＋3＝0，曲线x2＋y2＋2λx＋（λ－6）y＋3λ－7＝0，即x2＋y2－6y－7＋λ（2x＋y＋3）＝0，显然该曲线过直线l与圆C的交点，故选A、C、D.
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三、填空题（每小题5分，共15分）
11. （2025·陕西西安二模）若点A（2，1）在直线l：mx＋ny＝1上，且
mn＞0，则 ＋ 的最小值为 .
解析：由点A（2，1）在直线l：mx＋ny＝1上，得2m＋n＝1，又mn＞
0，则m＞0，n＞0，因此 ＋ ＝（2m＋n）（ ＋ ）＝4＋ ＋ ≥4
＋2 ＝8，当且仅当 ＝ ，即n＝2m＝ 时取等号，所以 ＋
的最小值为8.
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12. 经过点P（1，1）以及圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0交
点的圆的方程为 .
解析：设过圆x2＋y2－4＝0与圆x2＋y2－4x＋4y－12＝0交点的圆的方程
为x2＋y2－4＋λ（x2＋y2－4x＋4y－12）＝0　（*），把点P（1，1）代
入（*）式得λ＝－ ，把λ＝－ 代入（*）式化简得x2＋y2＋x－y－2＝
0，所以所求圆的方程为x2＋y2＋x－y－2＝0.
x2＋y2＋x－y－2＝0
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13. （2025·山东威海一模）已知b是a与c的等比中项，直线ax＋by＋c＝
0与圆x2＋y2－6x＝0交于A，B两点，则｜AB｜的最大值为 .
解析：因b是a与c的等比中项，故b2＝ac， ＞0，圆x2＋
y2－6x＝0的圆心坐标为C（3，0），半径r＝3，设圆心到
直线的距离为d，则d＝ ＝ ，则｜AB｜
＝2 ＝2 ＝2 ，设t
＝ ＋1＞1，则｜AB｜＝2 ＝2 ≤2 ＝2，当且仅当t＝2时等号成立.
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【高考新风向】（14题5分，15题6分，共11分）
14. 〔阿波罗尼斯圆〕阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点
距离之比为常数k（k＞0，k≠1）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿
波罗尼斯圆.若平面内两定点A，B间的距离为2，动点P满足 ＝
，则｜PA｜2＋｜PB｜2的最小值为（　　）
A. 36－24 B. 48－24
C. 36 D. 24
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解析： 　以经过A，B的直线为x轴，线段AB的垂直平
分线为y轴，建立直角坐标系，则A（－1，0），B（1，
0），设P（x，y），∵ ＝ ，∴ ＝ ，两边平方并整理得x2＋y2－6x＋1＝0，∴（x－3）2＋y2＝8，∴点P的轨迹是以（3，0）为圆心，2 为半径的圆，则有｜PA｜2＋｜PB｜2＝2（x2＋
y2）＋2＝2｜OP｜2＋2，如图所示.当点P为圆与x轴的交点（靠近原点）时，此时，｜OP｜取最小值，且｜OP｜＝3－2 ，因此，｜PA｜2＋｜PB｜2≥2×（3－2 ）2＋2＝36－24 ，故选A.
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15. 〔定义新曲线〕〔多选〕已知曲线Ω：x2＋y2＝｜x｜＋｜y｜，点P
（m，n）在曲线Ω上，则下列结论正确的是（　　）
A. 曲线Ω围成的图形的面积为π＋2
B. 的最小值为－1
C. 点P（m，n）到直线x＋y＋3＝0的距离的最大值为
D. 曲线Ω有且仅有2条对称轴
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解析： 　曲线Ω：x2＋y2＝｜x｜＋｜y｜　①，当x≥0且y
≥0时，曲线Ω的方程可化为（x－ ）2＋（y－ ）2＝ ，
用－x替换x，①式不变，所以曲线Ω关于y轴对称，同理可
得曲线Ω关于x轴对称，所以可作出曲线Ω，如图1所示.由图1可知，曲线Ω围成的图形的面积为四个半径为 的半圆的面积与边长为 的正方形的面积之和，所以曲线Ω围成的图形的面积为4× π×（ ）2＋（ ）2＝2＋π，A正确； 表示点P（m，n）与点（2，0）的连线l的斜率，
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如图2，由图2可知，当（x－ ）2＋
（y－ ）2＝ （x≥0且y≥0）与直
线l相切时， 取得最小值，设切线
为y＝k（x－2）（k＜0），则
＝ ，解得k＝－1或k＝ （舍去），所以 的最小值为－1，B正确；点（ ， ）到直线x＋y＋3＝0的距离d＝ ＝2 ，如图3，结合图象可知，点P（m，n）到直线x＋y＋3＝0的距离的最大值为2 ＋ ＝ ，C正确；曲线Ω有4条对称轴，分别是x轴、y轴、直线y＝x、直线y＝－x，D错误.
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