资源简介 第18讲 范围、最值问题（时间：45分钟，满分：68分）一、单项选择题（每小题5分，共10分）1.已知点P在圆x2＋y2＝1上运动，点F，A为椭圆＋＝1的右焦点与上顶点，则∠PFA的最小值为（ ）A.15° B.30°C.45° D.75°2.（2025·上海高考15题）已知A（0，1），B（1，2），C在Γ：x2－y2＝1（x≥1，y≥0）上，则△ABC的面积（ ）A.有最大值，但没有最小值 B.没有最大值，但有最小值C.既有最大值，也有最小值 D.既没有最大值，也没有最小值二、多项选择题（6分）3.（2025·山东济宁一模）若双曲线C：x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过C的右支上一点P作圆（x－3）2＋y2＝1的切线，切点为A，B，则下列结论正确的是（ ）A.若·＝0，则△PF1F2的面积为9B.若Q为圆（x－3）2＋y2＝1上的一动点，则｜PF2｜＋｜PQ｜的最小值为3C.四边形PAF2B面积的最小值为D.·的最小值为2－3三、填空题（5分）4.（2025·海南海口二模）椭圆＋＝1上的点到直线4x－5y＋40＝0的最大距离是 .四、解答题（共47分）5.（15分）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，且｜F1F2｜＝2，过点F2作两条直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，△F1AB的周长为4.（1）求C的方程；（2）若△F1AB的面积为，求l1的方程；（3）若l2与C交于M，N两点，且l1的斜率是l2的斜率的2倍，求｜MN｜－｜AB｜的最大值.6.（15分）如图，已知抛物线C的方程为y2＝2px（p＞0），焦点为F，过抛物线内一点A作抛物线准线的垂线，垂足为A'，与抛物线交于点P，已知AA'＝4，AF⊥PF，∠FAP＝30°.（1）求p的值；（2）斜率为k（k＞0）的直线过点D（0，－4），且与曲线C交于不同的两点M，N，若存在λ∈（4，＋∞），使得＝λ，求实数k的取值范围.7.（17分）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）过点E（，）（其中c＝），且双曲线C上的点到其两条渐近线的距离之积为.（1）求双曲线C的标准方程；（2）记O为坐标原点，双曲线C的左、右顶点分别为A，B，P为双曲线C上一动点（异于顶点），M为线段AP的中点，Q为直线x＝上一点，且AP∥OQ，过点Q作QN⊥OM于点N，求△ABN面积的最大值.第18讲 范围、最值问题1.A 由题意知，F（2，0），A（0，2），且圆在椭圆内，当FP与圆相切且P在第一象限内时，∠PFA取得最小值，此时∠OFP＝30°，∠OFA＝45°，所以∠PFA＝∠OFA－∠OFP＝45°－30°＝15°，所以∠PFA的最小值为15°.故选A.2.A 设曲线上一点为（a，b），则a2－b2＝1，则a＝，kAB＝＝1，AB的方程为：y－1＝x，即x－y＋1＝0，根据点到直线的距离公式，（a，b）到AB的距离为：＝＝，设f（b）＝－b＝，由于b≥0，显然f（b）关于b单调递减，f（b）max＝f（0），无最小值，即△ABC中，AB边上的高有最大值，无最小值，又AB一定，故面积有最大值，无最小值.故选A.3.BC 圆（x－3）2＋y2＝1的圆心为（3，0），半径为1，双曲线的焦点为（±3，0），对于A，由双曲线焦点三角形的面积公式可得＝＝＝8，故A错误；对于B，由双曲线的定义可得｜PF2｜＋｜PQ｜＝｜PF1｜＋｜PQ｜－2≥5－2＝3，当P，F1，Q三点共线时取等号，故B正确；对于C，＝2＝2××｜PA｜×1，所以当｜PA｜最小时，四边形的面积最小，由双曲线的性质可得当点P位于右顶点时，｜PA｜最小，所以｜PA｜＝＝，所以四边形PAF2B面积的最小值为，故C正确；对于D，·＝｜｜2cos 2∠APF2＝（｜PF2｜2－1）（1－2sin2∠APF2）＝（｜PF2｜2－1）（1－2）＝｜PF2｜2＋－3≥2－3＝2－3，当｜PF2｜2＝时取等号，但｜PF2｜≥2，所以取不到等号，故D错误.故选B、C.4. 解析：不妨设P（5cos α，3sin α），显然该点满足椭圆方程＋＝1，则该点到直线的距离为d＝＝｜5cos（α＋φ）＋8｜，其中tan φ＝，显然d≤×（5＋8）＝.5.解：（1）设椭圆的半焦距为c（c＞0），由题意知2c＝2，所以c＝1，△F1AB的周长为｜AF1｜＋｜AF2｜＋｜BF1｜＋｜BF2｜＝4a＝4，所以a＝，所以b2＝a2－c2＝1，故C的方程为＋y2＝1.（2）易知l1的斜率不为0，设l1：x＝my＋1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立得（m2＋2）y2＋2my－1＝0，所以y1＋y2＝，y1y2＝.所以｜y1－y2｜＝＝，由＝｜F1F2｜｜y1－y2｜＝＝，解得m＝±1，所以l1的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.（3）由（2）可知｜AB｜＝｜y1－y2｜＝＝2（1－），因为l1的斜率是l2的斜率的2倍，所以m≠0，得｜MN｜＝2（1－）.所以｜MN｜－｜AB｜＝2（－）＝＝≤＝，当且仅当m＝±1时，等号成立，所以｜MN｜－｜AB｜的最大值为.6.解：（1）因为AF⊥PF，∠FAP＝30°，则在Rt△FAP中，｜PA｜＝2｜PF｜，由抛物线的定义得，｜AA'｜＝｜AP｜＋｜PA'｜＝｜AP｜＋｜PF｜＝3｜PF｜，故3｜PF｜＝4，则｜PF｜＝，即｜PA'｜＝，设P（m，n），则m＋＝，解得m＝－，过点P作PE⊥OF于点E，因为∠FAP＝30°，所以∠APF＝60°，因为AP∥OF，所以∠PFO＝∠APF＝60°，故｜EF｜＝｜PF｜＝，｜OE｜＝｜OF｜－｜EF｜＝－，所以－＝－，解得p＝2.（2）由（1）可知抛物线方程为：y2＝4x，设M（x1，y1），N（x2，y2），MN：y＝kx－4，联立y2＝4x，整理得：k2x2－（8k＋4）x＋16＝0，因为k＞0，所以Δ＝（8k＋4）2－64k2＝64k＋16＞0，由根与系数的关系得x1＋x2＝，x1x2＝，因为＝λ，则（x1，y1＋4）＝λ（x2，y2＋4），故λ＝，故＋＋2＝＝＝＝4＋＋ （*），将λ＝代入（*）式得λ＋＝＋＋2，因为存在λ∈（4，＋∞），使得＝λ，所以有＋＋2＝λ＋对λ∈（4，＋∞）有解，而λ＋＞，所以＋＋2＞，解得－＜k＜0，或0＜k＜2，因为k＞0，所以0＜k＜2，故实数k的取值范围为（0，2）.7.解：（1）由双曲线C：－＝1过点E（，），得－＝1，双曲线C的渐近线方程为bx±ay＝0，则双曲线C上的点（x'，y'）到两条渐近线的距离之积为·＝＝，于是－＝－＝1，解得a2＝9，则＝，而c2＝a2＋b2，解得b2＝16，c2＝25，所以双曲线C的标准方程为－＝1.（2）由（1）知A（－3，0），B（3，0），显然直线AP的斜率存在且不为0，设直线AP的方程为y＝k（x＋3），k≠0，由消去y并整理得（16－9k2）x2－54k2x－81k2－144＝0，显然16－9k2≠0，设P（x1，y1），x1≠±3，则－3x1＝，解得x1＝，且y1＝，于是线段AP的中点M（，），直线OM的斜率kOM＝，由OM⊥QN，得直线QN的斜率kQN＝－k，而AP∥OQ，直线OQ的方程为y＝kx，则点Q（，k），于是直线QN的方程为y＝－（x－）＋k，即y＝－（x－5），则直线QN过定点F（5，0），因此点N在以OF为直径的圆上，该圆的圆心为（，0），半径为，则点N到直线AB的最大距离为，此时点N的坐标为（，）或（，－），而点N在直线OM上，即kOM＝＝1或kOM＝＝－1，得k＝或k＝－，满足k2≠，所以点N到直线AB的距离的最大值为，△ABN面积的最大值为×6×＝.1 / 2第18讲 范围、最值问题【备考指南】 解析几何中的范围与最值问题是解析几何中的典型问题，是教学的重点也是历年高考的热点.解决这类问题不仅要善于利用几何手段对平面图形进行研究，而且要从代数角度进行函数等相关运算.1.建立函数关系求最值：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数关系再求最值. 1.（2025·北京市第二中学二模）过点（2，0）的直线与抛物线y2＝4x交于A，B两点，若M点的坐标为（－1，0），则｜MA｜2＋｜MB｜2的最小值为（ ）A.16 B.17C.32 D.342.构造不等关系求范围：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解.2.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左顶点、上顶点分别为A，B，右焦点为F，过F且与x轴垂直的直线与直线AB交于点E，若直线AB的斜率小于，O为坐标原点，则直线AB的斜率与直线OE的斜率比值的取值范围为（ ）A.（，） B.（，）C.（，） D.（，1）3.利用几何关系求最值（范围）：若题目条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决.3.若曲线Γ：－y2＝1（x＞0）的右顶点为A，若对线段OA上任意一点P（端点除外），在Γ上存在关于x轴对称的两点Q，R，使得△PQR为等边三角形，则正数a的取值范围是 .【思维建模】 圆锥曲线中范围与最值问题的解题思路【例1】 已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）经过点A（－2，0），离心率为.（1）求双曲线C的方程；（2）直线l过点D（3，0）且与双曲线C交于两点P，Q（异于点A）.过点D分别作直线AP，AQ的垂线，垂足分别为M，N，记△ADM，△ADN的面积分别为S1，S2，求S1·S2的最大值.【瓶颈突破】 由动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足｜AR｜·｜AP｜＝3，联想到A，P，R三点共线，用向量表示A，P，R的关系，设＝λ.【例2】 （2025·全国Ⅰ卷18题）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，下顶点为A，右顶点为B，｜AB｜＝.（1）求C的方程；（2）已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足｜AP｜·｜AR｜＝3.①设P（m，n），求R的坐标（用m，n表示）；②设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率是直线OP的斜率的3倍，求｜PQ｜的最大值.【瓶颈突破】 ∠ACB为钝角，则·＜0.【训练1】 已知抛物线E：x2＝4y的焦点为F，抛物线上的点A（x0，y0）处的切线为l.（1）求l的方程（用x0，y0表示）；（2）若直线l与y轴交于点B，直线AF与抛物线交于点C，若∠ACB为钝角，求y0的取值范围.【瓶颈突破】 四边形MANB为梯形，AB为梯形MANB的高.【训练2】 已知点F（1，0），P为平面内一动点，以PF为直径的圆与y轴相切，点P的轨迹记为C.（1）求C的方程；（2）过点F的直线l与C交于A，B两点，过点A且垂直于l的直线交x轴于点M，过点B且垂直于l的直线交x轴于点N.当四边形MANB的面积最小时，求l的方程.第18讲 范围、最值问题【基础·回扣】1.D 2.C 3.（0，]【典例·讲解】【例1】 解：（1）令双曲线半焦距为c，依题意，a＝2，＝，由c2＝a2＋b2，解得b＝4，则双曲线C的方程为－＝1.（2）设直线AP的方程为y＝k（x＋2），则直线DM的方程为y＝－（x－3），由得点M的纵坐标yM＝.联立双曲线与直线l，易知直线AP与直线AQ的斜率之积为定值－，用－替换上式中的k得点N的纵坐标yN＝，则S1·S2＝｜yMyN｜＝＝，而25k2＋≥2＝40，当且仅当k＝±时取等号，因此S1·S2≤，所以S1·S2的最大值为.【例2】 解：（1）由题可知，A（0，－b），B（a，0），所以解得a2＝9，b2＝1，c2＝8，故椭圆C的方程为＋y2＝1.（2）①设＝λ，λ＞0，则｜AR｜｜AP｜＝3 λ[m2＋（n＋1）2]＝3，所以λ＝，＝λ＝λ（m，n＋1）＝（，），故点R的坐标为（，）.②因为kOR＝＝，kOP＝，由kOR＝3kOP，可得＝，化简得m2＋n2＋8n－2＝0，即m2＋（n＋4）2＝18（m≠0），所以点P在以N（0，－4）为圆心，3为半径的圆上（除去两个点），如图，｜PQ｜max为Q到圆心N的距离加上半径，法一 设Q（3cos θ，sin θ），所以｜QN｜2＝（3cos θ）2＋（sin θ＋4）2＝－8sin2θ＋8sin θ＋25＝－8（sin θ－）2＋27≤27，当且仅当sin θ＝时取等号，所以｜PQ｜max＝＋3＝3＋3.法二 设Q（xQ，yQ），则＋＝1，｜QN｜2＝＋（yQ＋4）2＝9－9＋＋8yQ＋16＝－8＋8yQ＋25＝－8（yQ－）2＋27≤27，当且仅当yQ＝时取等号，故｜PQ｜max＝＋3＝3＋3.【训练1】 解：（1）抛物线E：x2＝4y即y＝，则y'＝x，则在A（x0，y0）处切线l的斜率为k＝x0，所以l：y－y0＝x0（x－x0），即y＝x0x－y0.（2）易知F（0，1），B（0，－y0）.设C（x1，y1），直线AF：y＝kx＋1，代入抛物线方程得x2－4kx－4＝0，故x1x0＝－4，y0y1＝＝1，因为∠ACB为钝角，所以·＜0，即（－x1）（－x1）＋（1－y1）（－y0－y1）＝－y0－y1＋y1y0＋＜0，即3y1－＋1＋＜0 （*），因为y1＞0，所以（*）式等价于＋3＋y1－1＜0，即（y1＋1）（y1＋1－）·（y1＋1＋）＜0，解得0＜y1＜－1，所以y0＞＋1.故y0的取值范围为（＋1，＋∞）.【训练2】 解：（1）设P（x，y），则以PF为直径的圆的圆心为（，），根据圆与y轴相切，可得＝｜PF｜＝，化简得y2＝4x，所以C的方程为y2＝4x.（2）由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l：y＝k（x－1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立 k2x2－2（k2＋2）x＋k2＝0，所以x1＋x2＝，x1x2＝1，设直线l的倾斜角为θ，则｜AM｜＝｜AF｜·｜tan θ｜，｜BN｜＝｜BF｜｜tan θ｜，所以｜AM｜＋｜BN｜＝｜AF｜｜tan θ｜＋｜BF｜｜tan θ｜＝｜AB｜｜tan θ｜＝｜AB｜｜k｜，因为｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋x2＋2＝＋2＝，由题意可知四边形MANB为梯形，所以S＝｜AB｜·（｜AM｜＋｜BN｜）＝＝＝，设t＝｜k｜＞0，则S（t）＝＝8（t＋＋），所以S'（t）＝8（1－－）＝8（）＝8，当t＞时，S'（t）＞0，S（t）单调递增，当0＜t＜时，S'（t）＜0，S（t）单调递减，所以当t＝，即｜k｜＝时，面积最小，此时k＝±，故直线l的方程为y＝±（x－1），即x－y－＝0或x＋y－＝0.2 / 2(共50张PPT)第18讲 范围、最值问题备考指南解析几何中的范围与最值问题是解析几何中的典型问题，是教学的重点也是历年高考的热点.解决这类问题不仅要善于利用几何手段对平面图形进行研究，而且要从代数角度进行函数等相关运算.基础·回扣 诊断自测 知识回扣一典例·讲解 典例精析 强技提能二课后·训练 巩固强化 综合测评三目录 /CONTENTS基础·回扣诊断自测 知识回扣1. （2025·北京市第二中学二模）过点（2，0）的直线与抛物线y2＝4x交于A，B两点，若M点的坐标为（－1，0），则｜MA｜2＋｜MB｜2的最小值为（ ）A. 16 B. 17C. 32 D. 34√建立函数关系求最值：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数关系再求最值. 解析： 设直线AB的方程为x＝ty＋2，代入抛物线方程y2＝4x得y2＝4ty＋8.设A（x1，y1），B（x2，y2），则y1＋y2＝4t，y1y2＝－8，∴x1＋x2＝t（y1＋y2）＋4＝4t2＋4，x1x2＝4，｜MA｜2＋｜MB｜2＝（x1＋1）2＋ ＋（x2＋1）2＋ ＝（x1＋x2）2－2x1x2＋6（x1＋x2）＋2＝（4t2＋4）2＋6（4t2＋4）－6＝（4t2＋7）2－15≥49－15＝34，当且仅当t＝0时取等号.2. 已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的左顶点、上顶点分别为A，B，右焦点为F，过F且与x轴垂直的直线与直线AB交于点E，若直线AB的斜率小于 ，O为坐标原点，则直线AB的斜率与直线OE的斜率比值的取值范围为（ ）A. （ ， ） B. （ ， ）C. （ ， ） D. （ ，1）√构造不等关系求范围：利用已知或隐含的不等关系，构建以待求量为元的不等式求解.解析： 由已知得，直线AB的方程为y＝ x＋b，设椭圆的焦距为2c（c＞0），由题意设点E（c，y0），则y0＝ ＋b，即E（c， ＋b），所以kOE＝ ＝ ，又kAB＝ ＜ ，所以e＝ ＝ ＞ ，即 ＜e＜1，设直线AB的斜率与直线OE的斜率比值为m，则m＝ ＝ ＝ ＝1－ ，又 ＜e＜1，所以 ＜m＜ .3. 若曲线Γ： －y2＝1（x＞0）的右顶点为A，若对线段OA上任意一点P（端点除外），在Γ上存在关于x轴对称的两点Q，R，使得△PQR为等边三角形，则正数a的取值范围是 .（0， ]利用几何关系求最值（范围）：若题目条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决.解析：由任意点P在线段OA上（端点除外），在Γ上存在关于x轴对称的两点Q，R，使得△PQR为等边三角形，即存在点Q使得∠QPx＝30°，所以存在点Q使得∠Qox＜30°，由双曲线Γ： －y2＝1（x＞0）的其中一条渐近线方程为y＝ x，则满足y＝ x的斜率大于或等于 ，即 ≥ ，所以a≤ ，又由a＞0，所以实数a的取值范围为（0， ].【思维建模】 圆锥曲线中范围与最值问题的解题思路典例·讲解典例精析 强技提能【例1】 已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）经过点A（－2，0），离心率为 .（1）求双曲线C的方程；解： 令双曲线半焦距为c，依题意，a＝2， ＝ ，由c2＝a2＋b2，解得b＝4，则双曲线C的方程为 － ＝1.（2）直线l过点D（3，0）且与双曲线C交于两点P，Q（异于点A）.过点D分别作直线AP，AQ的垂线，垂足分别为M，N，记△ADM，△ADN的面积分别为S1，S2，求S1·S2的最大值.解： 设直线AP的方程为y＝k（x＋2），则直线DM的方程为y＝－ （x－3），由 得点M的纵坐标yM＝ .联立双曲线与直线l，易知直线AP与直线AQ的斜率之积为定值－ ，用－ 替换上式中的k得点N的纵坐标yN＝ ，则S1·S2＝ ｜yMyN｜＝ ＝ ，而25k2＋ ≥2 ＝40，当且仅当k＝± 时取等号，因此S1·S2≤ ，所以S1·S2的最大值为 .【例2】 （2025·全国Ⅰ卷18题）已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的离心率为 ，下顶点为A，右顶点为B，｜AB｜＝ .（1）求C的方程；【瓶颈突破】 由动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足｜AR｜·｜AP｜＝3，联想到A，P，R三点共线，用向量表示A，P，R的关系，设 ＝λ .解： 由题可知，A（0，－b），B（a，0），所以解得a2＝9，b2＝1，c2＝8，故椭圆C的方程为 ＋y2＝1.（2）已知动点P不在y轴上，点R在射线AP上，且满足｜AP｜·｜AR｜＝3.①设P（m，n），求R的坐标（用m，n表示）；②设O为坐标原点，Q是C上的动点，直线OR的斜率是直线OP的斜率的3倍，求｜PQ｜的最大值.解： ①设 ＝λ ，λ＞0，则｜AR｜｜AP｜＝3 λ[m2＋（n＋1）2]＝3，所以λ＝ ， ＝λ ＝λ（m，n＋1）＝（ ，），故点R的坐标为（ ， ）.②因为kOR＝ ＝ ，kOP＝ ，由kOR＝3kOP，可得 ＝ ，化简得m2＋n2＋8n－2＝0，即m2＋（n＋4）2＝18（m≠0），所以点P在以N（0，－4）为圆心，3 为半径的圆上（除去两个点），如图，｜PQ｜max为Q到圆心N的距离加上半径，法一 设Q（3 cos θ， sin θ），所以｜QN｜2＝（3 cos θ）2＋（ sin θ＋4）2＝－8 sin 2θ＋8 sin θ＋25＝－8（ sin θ－ ）2＋27≤27，当且仅当 sin θ＝ 时取等号，所以｜PQ｜max＝ ＋3 ＝3 ＋3 .法二 设Q（xQ，yQ），则 ＋ ＝1，｜QN｜2＝ ＋（yQ＋4）2＝9－9 ＋ ＋8yQ＋16＝－8 ＋8yQ＋25＝－8（yQ－ ）2＋27≤27，当且仅当yQ＝ 时取等号，故｜PQ｜max＝ ＋3 ＝3 ＋3 .【训练1】 已知抛物线E：x2＝4y的焦点为F，抛物线上的点A（x0，y0）处的切线为l.（1）求l的方程（用x0，y0表示）；解： 抛物线E：x2＝4y即y＝ ，则y'＝ x，则在A（x0，y0）处切线l的斜率为k＝ x0，所以l：y－y0＝ x0（x－x0），即y＝ x0x－y0.（2）若直线l与y轴交于点B，直线AF与抛物线交于点C，若∠ACB为钝角，求y0的取值范围.解： 易知F（0，1），B（0，－y0）.设C（x1，y1），直线AF：y＝kx＋1，代入抛物线方程得x2－4kx－4＝0，故x1x0＝－4，y0y1＝ ＝1，因为∠ACB为钝角，所以 · ＜0，即（－x1）（－x1）＋（1－y1）（－y0－y1）＝ －y0－y1＋y1y0＋ ＜0，即3y1－ ＋1＋ ＜0 （*），【瓶颈突破】 ∠ACB为钝角，则 · ＜0.因为y1＞0，所以（*）式等价于 ＋3 ＋y1－1＜0，即（y1＋1）（y1＋1－ ）·（y1＋1＋ ）＜0，解得0＜y1＜ －1，所以y0＞ ＋1.故y0的取值范围为（ ＋1，＋∞）.【训练2】 已知点F（1，0），P为平面内一动点，以PF为直径的圆与y轴相切，点P的轨迹记为C.（1）求C的方程；解： 设P（x，y），则以PF为直径的圆的圆心为（ ， ），根据圆与y轴相切，可得｜ ｜＝ ｜PF｜＝ ，化简得y2＝4x，所以C的方程为y2＝4x.（2）过点F的直线l与C交于A，B两点，过点A且垂直于l的直线交x轴于点M，过点B且垂直于l的直线交x轴于点N. 当四边形MANB的面积最小时，求l的方程.【瓶颈突破】 四边形MANB为梯形，AB为梯形MANB的高.解： 由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l：y＝k（x－1），A（x1，y1），B（x2，y2），联立 k2x2－2（k2＋2）x＋k2＝0，所以x1＋x2＝ ，x1x2＝1，设直线l的倾斜角为θ，则｜AM｜＝｜AF｜｜tan θ｜，｜BN｜＝｜BF｜｜tan θ｜，所以｜AM｜＋｜BN｜＝｜AF｜｜tan θ｜＋｜BF｜｜tan θ｜＝｜AB｜｜tan θ｜＝｜AB｜｜k｜，因为｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝x1＋x2＋2＝ ＋2＝ ，由题意可知四边形MANB为梯形，所以S＝ ｜AB｜·（｜AM｜＋｜BN｜）＝ ＝ ＝ ，设t＝｜k｜＞0，则S（t）＝ ＝8（t＋ ＋ ），所以S'（t）＝8（1－ － ）＝8（ ）＝8 ，当t＞ 时，S'（t）＞0，S（t）单调递增，当0＜t＜ 时，S'（t）＜0，S（t）单调递减，所以当t＝ ，即｜k｜＝ 时，面积最小，此时k＝± ，故直线l的方程为y＝± （x－1），即 x－y－ ＝0或 x＋y－ ＝0.课后·训练巩固强化 综合测评（时间：45分钟，满分：68分）一、单项选择题（每小题5分，共10分）1. 已知点P在圆x2＋y2＝1上运动，点F，A为椭圆 ＋ ＝1的右焦点与上顶点，则∠PFA的最小值为（ ）A. 15° B. 30°C. 45° D. 75°1234567√解析： 由题意知，F（2，0），A（0，2），且圆在椭圆内，当FP与圆相切且P在第一象限内时，∠PFA取得最小值，此时∠OFP＝30°，∠OFA＝45°，所以∠PFA＝∠OFA－∠OFP＝45°－30°＝15°，所以∠PFA的最小值为15°.故选A.12345672. （2025·上海高考15题）已知A（0，1），B（1，2），C在Γ：x2－y2＝1（x≥1，y≥0）上，则△ABC的面积（ ）A. 有最大值，但没有最小值B. 没有最大值，但有最小值C. 既有最大值，也有最小值D. 既没有最大值，也没有最小值√1234567解析： 设曲线上一点为（a，b），则a2－b2＝1，则a＝ ，kAB＝ ＝1，AB的方程为：y－1＝x，即x－y＋1＝0，根据点到直线的距离公式，（a，b）到AB的距离为： ＝ ＝，设f（b）＝ －b＝ ，由于b≥0，显然f（b）关于b单调递减，f（b）max＝f（0），无最小值，即△ABC中，AB边上的高有最大值，无最小值，又AB一定，故面积有最大值，无最小值.故选A.1234567二、多项选择题（6分）3. （2025·山东济宁一模）若双曲线C：x2－ ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，过C的右支上一点P作圆（x－3）2＋y2＝1的切线，切点为A，B，则下列结论正确的是（ ）A. 若 · ＝0，则△PF1F2的面积为9B. 若Q为圆（x－3）2＋y2＝1上的一动点，则｜PF2｜＋｜PQ｜的最小值为3C. 四边形PAF2B面积的最小值为D. · 的最小值为2 －3√√1234567解析： 圆（x－3）2＋y2＝1的圆心为（3，0），半径为1，双曲线的焦点为（±3，0），对于A，由双曲线焦点三角形的面积公式可得＝ ＝ ＝8，故A错误；对于B，由双曲线的定义可得｜PF2｜＋｜PQ｜＝｜PF1｜＋｜PQ｜－2≥5－2＝3，当P，F1，Q三点共线时取等号，故B正确；对于C， ＝2 ＝2× ×｜PA｜×1，所以当｜PA｜最小时，四边形的面积最小，由双曲线的性质可得当点P位于右顶点时，｜PA｜最小，所以｜PA｜＝ ＝ ，所以四边形PAF2B面积的最小值为 ，故C正确；1234567对于D， · ＝｜ ｜2 cos 2∠APF2＝（｜PF2｜2－1）（1－2 sin2∠APF2）＝（｜PF2｜2－1）（1－2 ）＝｜PF2｜2＋ －3≥2 －3＝2 －3，当｜PF2｜2＝ 时取等号，但｜PF2｜≥2，所以取不到等号，故D错误.故选B、C.1234567三、填空题（5分）4. （2025·海南海口二模）椭圆 ＋ ＝1上的点到直线4x－5y＋40＝0的最大距离是 .解析：不妨设P（5 cos α，3 sin α），显然该点满足椭圆方程 ＋ ＝1，则该点到直线的距离为d＝ ＝ ｜5 cos （α＋φ）＋8｜，其中tan φ＝ ，显然d≤ ×（5＋8）＝ . 1234567四、解答题（共47分）5. （15分）已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，且｜F1F2｜＝2，过点F2作两条直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，△F1AB的周长为4 .（1）求C的方程；解： 设椭圆的半焦距为c（c＞0），由题意知2c＝2，所以c＝1，△F1AB的周长为｜AF1｜＋｜AF2｜＋｜BF1｜＋｜BF2｜＝4a＝4 ，所以a＝ ，所以b2＝a2－c2＝1，故C的方程为 ＋y2＝1.1234567（2）若△F1AB的面积为 ，求l1的方程；解： 易知l1的斜率不为0，设l1：x＝my＋1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立 得（m2＋2）y2＋2my－1＝0，所以y1＋y2＝ ，y1y2＝ .所以｜y1－y2｜＝ ＝ ，由 ＝ ｜F1F2｜｜y1－y2｜＝ ＝ ，解得m＝±1，所以l1的方程为x－y－1＝0或x＋y－1＝0.1234567（3）若l2与C交于M，N两点，且l1的斜率是l2的斜率的2倍，求｜MN｜－｜AB｜的最大值.解： 由（2）可知｜AB｜＝ ｜y1－y2｜＝ ＝2 （1－ ），因为l1的斜率是l2的斜率的2倍，所以m≠0，得｜MN｜＝2 （1－ ）.所以｜MN｜－｜AB｜＝2 （ － ）＝ ＝≤ ＝ ，当且仅当m＝±1时，等号成立，所以｜MN｜－｜AB｜的最大值为 .12345676. （15分）如图，已知抛物线C的方程为y2＝2px（p＞0），焦点为F，过抛物线内一点A作抛物线准线的垂线，垂足为A'，与抛物线交于点P，已知AA'＝4，AF⊥PF，∠FAP＝30°.（1）求p的值；解： 因为AF⊥PF，∠FAP＝30°，则在Rt△FAP中，｜PA｜＝2｜PF｜，由抛物线的定义得，｜AA'｜＝｜AP｜＋｜PA'｜＝｜AP｜＋｜PF｜＝3｜PF｜，1234567故3｜PF｜＝4，则｜PF｜＝ ，即｜PA'｜＝ ，设P（m，n），则m＋ ＝ ，解得m＝ － ，过点P作PE⊥OF于点E，因为∠FAP＝30°，所以∠APF＝60°，因为AP∥OF，所以∠PFO＝∠APF＝60°，故｜EF｜＝ ｜PF｜＝ ，｜OE｜＝｜OF｜－｜EF｜＝ － ，所以 － ＝ － ，解得p＝2.1234567（2）斜率为k（k＞0）的直线过点D（0，－4），且与曲线C交于不同的两点M，N，若存在λ∈（4，＋∞），使得 ＝λ ，求实数k的取值范围.解： 由（1）可知抛物线方程为：y2＝4x，设M（x1，y1），N（x2，y2），MN：y＝kx－4，联立y2＝4x，整理得：k2x2－（8k＋4）x＋16＝0，因为k＞0，所以Δ＝（8k＋4）2－64k2＝64k＋16＞0，由根与系数的关系得x1＋x2＝ ，x1x2＝ ，1234567因为 ＝λ ，则（x1，y1＋4）＝λ（x2，y2＋4），故λ＝ ，故 ＋ ＋2＝ ＝ ＝ ＝4＋ ＋ （*），将λ＝ 代入（*）式得λ＋ ＝ ＋ ＋2，因为存在λ∈（4，＋∞），使得 ＝λ ，所以有 ＋ ＋2＝λ＋ 对λ∈（4，＋∞）有解，而λ＋ ＞ ，所以 ＋ ＋2＞ ，解得－ ＜k＜0，或0＜k＜2，因为k＞0，所以0＜k＜2，故实数k的取值范围为（0，2）.12345677. （17分）已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）过点E（ ， ）（其中c＝ ），且双曲线C上的点到其两条渐近线的距离之积为.（1）求双曲线C的标准方程；1234567解： 由双曲线C： － ＝1过点E（ ， ），得 － ＝1，双曲线C的渐近线方程为bx±ay＝0，则双曲线C上的点（x'，y'）到两条渐近线的距离之积为· ＝ ＝ ，于是 － ＝ － ＝1，解得a2＝9，则 ＝ ，而c2＝a2＋b2，解得b2＝16，c2＝25，所以双曲线C的标准方程为 － ＝1.1234567（2）记O为坐标原点，双曲线C的左、右顶点分别为A，B，P为双曲线C上一动点（异于顶点），M为线段AP的中点，Q为直线x＝ 上一点，且AP∥OQ，过点Q作QN⊥OM于点N，求△ABN面积的最大值.解： 由（1）知A（－3，0），B（3，0），显然直线AP的斜率存在且不为0，设直线AP的方程为y＝k（x＋3），k≠0，由 消去y并整理得（16－9k2）x2－54k2x－81k2－144＝0，显然16－9k2≠0，1234567设P（x1，y1），x1≠±3，则－3x1＝ ，解得x1＝ ，且y1＝ ，于是线段AP的中点M（ ， ），直线OM的斜率kOM＝ ，由OM⊥QN，得直线QN的斜率kQN＝－ k，而AP∥OQ，直线OQ的方程为y＝kx，则点Q（ ， k），1234567于是直线QN的方程为y＝－ （x－ ）＋ k，即y＝－ （x－5），则直线QN过定点F（5，0），因此点N在以OF为直径的圆上，该圆的圆心为（ ，0），半径为 ，则点N到直线AB的最大距离为 ，此时点N的坐标为（ ， ）或（ ，－ ），而点N在直线OM上，即kOM＝ ＝1或kOM＝ ＝－1，得k＝ 或k＝－ ，满足k2≠ ，所以点N到直线AB的距离的最大值为 ，△ABN面积的最大值为 ×6× ＝ .1234567THANKS演示完毕 感谢观看 展开更多...... 收起↑ 资源列表 第18讲 范围、最值问题.docx 第18讲 范围、最值问题.pptx 第18讲 范围、最值问题（练习，含解析）.docx
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