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微突破1　离心率的范围问题
（时间：30分钟，满分：46分）
一、单项选择题（每小题5分，共25分）
1.若动直线mx＋ny＝2m＋n（m，n∈R）始终与椭圆C：＋＝1（a＞0且a≠）有公共点，则C的离心率的取值范围是（　　）
A.（0，） B.（0，）
C.［，1） D.［，1）
2.已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上存在点A，使得∠F1AF2＝，则椭圆离心率的取值范围为（　　）
A.（0，） B.（，1）
C.（0，］ D.［，1）
3.已知F1，F2分别为椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，P是椭圆C上的一点，直线l：x＝，且PQ⊥l，垂足为点Q.若四边形QPF1F2为平行四边形，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　）
A.（，1） B.（－1，1）
C.（0，－1） D.（0，）
4.（2025·陕西西安适应性检测）设M是椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的上顶点，P是C上的一个动点.当P运动到下顶点时，｜PM｜取得最大值，则C的离心率的取值范围是（　　）
A.［，1） B.（0，］
C.［，1） D.（0，］
5.设点F1，F2分别为双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点A，B分别在双曲线C的左、右支上.若＝6，AF2⊥BF2，且｜｜＞｜｜，则双曲线的离心率为（　　）
A. B.
C. D.
二、多项选择题（6分）
6.设F1，F2同时为椭圆C1：＋＝1（a＞b＞0）与双曲线C2：－＝1（a1＞0，b1＞0）的左、右焦点，设椭圆C1与双曲线C2在第一象限内交于点M，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，O为原点，下列说法正确的是（　　）
A.若｜F1F2｜＝2｜MO｜，则＋＝
B.若｜F1F2｜＝2｜MO｜，则＋＝2
C.若｜F1F2｜＝4｜MF2｜，则e1e2的取值范围是（，）
D.若｜F1F2｜＝4｜MF2｜，则e1e2的取值范围是（，2）
三、填空题（每小题5分，共15分）
7.已知过点P（1，2）可作双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的两条切线，若两个切点分别在双曲线C的左、右两支上，则该双曲线的离心率的取值范围为　　　　.
8.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c，P是椭圆C上一点（不在坐标轴上），Q是∠F1PF2的平分线与x轴的交点，若｜QF2｜＝3｜OQ｜，则椭圆离心率的取值范围是　　　　.
9.已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P为C右支上一点，PF1与C的左支交于点Q.若｜PQ｜＝｜PF2｜，则C的离心率的取值范围为　　　　.
微突破1　离心率的范围问题
1.C　由直线m（x－2）＋n（y－1）＝0得，直线过定点（2，1），由题意得，点（2，1）在椭圆上或椭圆内部，所以＋≤1，则a2≥6，所以椭圆焦点在x轴上，所以e＝＝∈［，1），故选C.
2.D　由题意，设椭圆上顶点为B，若椭圆上存在点A，使得∠F1AF2＝，则只需∠F1BF2≥即可.当∠F1BF2＝时，△F1BF2为正三角形，此时a＝2c，故当∠F1BF2≥时，a≤2c，即≤.又0＜e＜1，故离心率e∈［，1）.
3.B　设P（x0，y0），则Q（，y0），∵四边形QPF1F2为平行四边形，∴｜PQ｜＝｜F1F2｜，∴－x0＝2c，即x0＝－2c＝∈（－a，a），∴－1＜＜1，∴－1＜2－e2－2e＜1，解得－1＜e＜1.
4.D　法一　由题意得M（0，b），设P（x0，y0），因为＋＝1，a2＝b2＋c2，所以｜PM｜2＝＋（y0－b）2＝a2（1－）＋（y0－b）2＝－（y0＋）2＋＋a2＋b2，－b≤y0≤b，由题意知当y0＝－b时，｜PM｜2取得最大值，所以－≤－b，可得a2≥2c2，即e2≤，则0＜e≤，故选D.
法二　由题意得M（0，b）.设P（acos x，bsin x），则｜PM｜2＝（acos x）2＋（bsin x－b）2＝（b2－a2）·sin2x－2b2sin x＋a2＋b2，令sin x＝t，－1≤t≤1，则｜PM｜2＝（b2－a2）t2－2b2t＋a2＋b2，因为当点P在椭圆下顶点，即sin x＝t＝－1时，｜PM｜取得最大值，且b2－a2＜0，所以－≤－1，即2b2≥a2，所以e2＝1－（）2≤，所以0＜e≤.故选D.
5.D　∵＝6，∴A，B，F1三点共线，
设｜｜＝6｜｜＝6m，则｜F1A｜＝m，∴｜AB｜＝6m－m＝5m，由双曲线的定义得｜BF2｜＝6m－2a，｜AF2｜＝2a＋m，∵AF2⊥BF2，∴｜AB｜2＝｜BF2｜2＋｜AF2｜2，即（5m）2＝（6m－2a）2＋（2a＋m）2，解得m＝或m＝a，由｜｜＞｜｜，得2a＋m＞6m－2a，得m＜，∴m＝，∴｜BF2｜＝2a，｜AB｜＝，｜BF1｜＝4a，∴cos∠ABF2＝＝＝cos∠F1BF2＝，解得e＝.故选D.
6.BD　如图，连接MF1，设｜MF1｜＝m，｜MF2｜＝n，焦距为2c.由椭圆的定义，得m＋n＝2a.由双曲线的定义，得m－n＝2a1，解得m＝a＋a1，n＝a－a1.当｜F1F2｜＝2｜MO｜时，∠F1MF2＝90°，所以m2＋n2＝4c2，即a2＋＝2c2.由离心率的公式，得＋＝2，故A错误，B正确.当｜F1F2｜＝4｜MF2｜时，n＝c，即a－a1＝c，所以－＝，则e1＝.由0＜e1＜1，得＞1，所以＞，即1＜e2＜2，则e1e2＝.设2＋e2＝t（3＜t＜4），则＝＝2（t＋－4）.令f（t）＝t＋－4，易知f（t）在（3，4）上单调递增，所以f（t）∈（，1），所以e1e2∈（，2），故C错误，D正确.选B、D.
7.（1，）　解析：要满足题意，点P（1，2）必须在渐近线y＝x与y轴围成的区域内，且不能在渐近线及y轴上.所以必须满足＜2，所以e＝＝＝＜，又e＞1，所以1＜e＜.
8.（，1）　解析：如图，根据椭圆对称性，假设点P在第一象限，∵｜QF2｜＝3｜OQ｜，
∴｜QF2｜＝c，｜QF1｜＝c，∵PQ是∠F1PF2的平分线，∴＝＝，则｜PF1｜＝｜PF2｜，由｜PF1｜＋｜PF2｜＝｜PF2｜＝2a，可得｜PF2｜＝，由a－c＜＜a＋c，可得e＝＞，由0＜e＜1，可得＜e＜1.
9.（，3]　解析：由题意得｜PF1｜－｜PF2｜＝｜PQ｜＋｜QF1｜－｜PF2｜＝｜QF1｜＝2a，所以｜QF2｜＝4a，设∠F1PF2＝θ，｜PF2｜＝m，由余弦定理的推论可得cos θ＝＝，则m＝，则c2－5a2＞0 e＞，设点P（x0，y0）（x0≥a），则＝b2·（－1），m2＝（c－x0）2＋＝（ex0－a）2，即m＝ex0－a≥c－a，所以≥c－a （e＋1）（e＋1）（e－3）≤0 e≤3，故e∈（，3].
2 / 2微突破1　离心率的范围问题
【备考指南】　圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁.
1.利用圆锥曲线的定义，构造e＝或e＝求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围.
1.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）中，a＞3b，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　）
A.（0，） B.（，1）
C.（0，） D.（，1）
2.利用题目中所给的不等信息，建立不等关系.
2.已知F1，F2分别为双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线右支上的任意一点，若的最小值为8a，则双曲线的离心率e的取值范围是（　　）
A.（1，3] B.（1，]
C.[，3] D.[3，＋∞）
3.利用几何图形的性质，建立不等关系.
3.（2025·广东佛山模拟）椭圆＋＝1（a＞b＞0）上存在一点P满足F1P⊥F2P，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则椭圆的离心率的取值范围是（　　）
A.（0，］ B.（0，］
C.［，1） D.［，1）
【思维建模】　离心率范围问题的常见解法
【瓶颈突破】　e＝＝＝，在△F1PF2中，由正弦定理得e＝
.
【例】　（1）已知F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，点P是右支上一点，且∠F1PF2＝，设∠PF1F2＝θ，当双曲线C的离心率的取值范围为（，）时，θ的取值范围为（　　）
A.（0，） B.（，）
C.（，） D.（，）
【瓶颈突破】　由｜AB｜＝2a的直线l恰有三条，易知直线l与x轴重合时满足题意，则另外两条直线均与双曲线右支有两个交点，由对称性知，2a＞即可.
（2）（2025·贵州贵阳摸底考试）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，过F的直线l与C交于点A，B，且满足｜AB｜＝2a的直线l恰有三条，则双曲线C的离心率的取值范围为（　　）
A.（1，） B.（1，）
C.（，2） D.（，2）
【瓶颈突破】　连接F1A，F1B，由椭圆及直线的对称性知四边形AFBF1为平行四边形，∠FAF1＝60°，在△AFF1中利用余弦定理结合基本不等式及椭圆的定义可得a2与c2的关系，进而得e的范围.
（3）已知F是椭圆＋＝1（a＞b＞0）的一个焦点，若过原点的直线与椭圆交于A，B两点，且∠AFB＝120°，则椭圆离心率的取值范围为　　　　.
【训练】　
【瓶颈突破】　∠B1PB2为钝角，则·＞0.
（1）如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1，A2，B1，B2为椭圆的顶点，F2为右焦点，延长B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PB2为钝角，则该椭圆的离心率的取值范围是（　　）
A.（，1） B.（0，）
C.（0，） D.（，1）
（2）已知直线l：y＝x＋2，若椭圆C：＋y2＝1（a＞1）上的点到直线l的距离的最大值与最小值之和为2，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　）
A.（0，］ B.（，1）
C.（0，］ D.［，1）
【瓶颈突破】　设双曲线左焦点为F2，当A，P，F2三点共线时，△APF的周长取得最小值.
（3）已知双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2，0），点A的坐标为（0，1），点P为双曲线左支上的动点，且△APF的周长不小于18，则双曲线C的离心率的取值范围为　　　　.
微突破1　离心率的范围问题
【基础·回扣】
1.B　2.A　3.D
【典例·讲解】
【例】　（1）B　在△F1PF2中，可得e＝＝＝＝＝＝·.因为e∈（，），所以cos（＋θ）∈（，），所以＋θ∈（，），所以θ的取值范围为（，）.
（2）A　当直线l与x轴重合时，点A，B为双曲线C的左、右顶点，此时｜AB｜为实轴长，满足｜AB｜＝2a.易知满足｜AB｜＝2a的另外两条直线均与双曲线C的右支有两个交点，当直线l与x轴垂直时，将x＝c代入双曲线C的方程，得y＝±，此时｜AB｜＝，结合双曲线的对称性可知，当2a＞时，满足题意，得a2＞b2，所以双曲线C的离心率e＝＝＝＜，又e＞1，所以e∈（1，）.
（3）［，1）
解析：设椭圆左、右焦点分别为F1，F，连接F1A，F1B，由椭圆及直线的对称性知，四边形AFBF1为平行四边形，且∠AFB＝120°，∠FAF1＝60°，在△AFF1中，｜FF1｜2＝｜AF｜2＋｜AF1｜2－2｜AF｜·｜AF1｜cos∠FAF1＝（｜AF｜＋｜AF1｜）2－3｜AF｜·｜AF1｜，∴（｜AF｜＋｜AF1｜）2－｜FF1｜2＝3｜AF｜·｜AF1｜≤3（）2，当且仅当｜AF｜＝｜AF1｜时等号成立，可得（｜AF｜＋｜AF1｜）2≤｜FF1｜2，即a2≤4c2，则e＝≥，又∵椭圆的离心率e∈（0，1），∴椭圆的离心率e∈［，1）.
【训练】　（1）C　设B1（0，－b），B2（0，b），F2（c，0），A2（a，0），所以＝（a，－b），＝（－c，－b）.因为∠B1PB2为钝角，所以与的夹角为锐角，所以·＝－ac＋b2＞0，即a2－c2－ac＞0.两边同时除以a2并化简得e2＋e－1＜0，解得＜e＜，又0＜e＜1，所以0＜e＜.
（2）A　将l：y＝x＋2代入椭圆C：＋y2＝1（a＞1），消去y，可得（1＋a2）·x2＋4a2x＋3a2＝0，由已知直线与椭圆相离或相切，即Δ＝16a4－4（1＋a2）·3a2≤0，解得a2≤3，即1＜a≤，设椭圆上任一点P（acos θ，sin θ），则P到直线l的距离为d＝＝，∵1＜a≤，∴＝2，符合题意，则椭圆C的离心率e＝＝＝，∵1＜a≤，∴∈［，1），e的取值范围为（0，］.
（3）（1，］　解析：由右焦点为F（2，0），点A的坐标为（0，1），可得｜AF｜＝＝5.因为△APF的周长不小于18，所以｜PA｜＋｜PF｜的最小值不小于13.设F2为双曲线的左焦点，可得｜PF｜＝｜PF2｜＋2a，故｜PA｜＋｜PF｜＝｜PA｜＋｜PF2｜＋2a，当A，P，F2三点共线时，｜PA｜＋｜PF2｜＋2a取最小值，最小值为｜AF2｜＋2a，即5＋2a，所以5＋2a≥13，即a≥4.因为c＝2，所以e＝＝≤.又e＞1，所以e∈（1，］.
3 / 3(共43张PPT)
微突破1　离心率的范围问题
备考指南
圆锥曲线离心率的范围问题是高考的热点题型，对圆锥曲
线中已知特征关系的转化是解决此类问题的关键，相关平面几何关系的挖掘应用也可使问题求解更简洁.
基础·回扣 诊断自测 知识回扣
一
典例·讲解 典例精析 强技提能
二
课后·训练 巩固强化 综合测评
三
目录 /
CONTENTS
基础·回扣
诊断自测 知识回扣
1. 已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）中，a＞3b，则椭圆C的离心率
的取值范围是（　　）
A. （0， ）
B. （ ，1）
C. （0， ）
D. （ ，1）
√
利用圆锥曲线的定义，构造e＝ 或e＝ 求解，要注意椭圆、双曲线离心率自身的范围.
解析： 　因为a＞3b，则0＜ ＜ ，即 ＜1－ ＜1，所以椭圆C的离
心率e＝ ∈（ ，1），故选B.
2. 已知F1，F2分别为双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，
P为双曲线右支上的任意一点，若 的最小值为8a，则双曲线的离
心率e的取值范围是（　　）
A. （1，3]
B. （1， ]
C. [，3]
D. [3，＋∞）
√
利用题目中所给的不等信息，建立不等关系.
解析： 设｜PF2｜＝t，则｜PF1｜＝2a＋t，t≥c－a.又 ＝
＝t＋ ＋4a≥8a，当且仅当t＝2a时，等号成立.所以c－
a≤2a，所以1＜e≤3.故选A.
3. （2025·广东佛山模拟）椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）上存在一点P满足
F1P⊥F2P，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，则椭圆的离心率的取值范
围是（　　）
A. （0， ］ B. （0， ］
C. ［ ，1） D. ［ ，1）
√
利用几何图形的性质，建立不等关系.
解析： 当点P位于短轴的端点时，∠F1PF2最大，要使
椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）上存在一点P满足F1P⊥
F2P，只要∠F1PF2最大时大于等于 即可，即当点P位
于短轴的端点时，∠OPF1≥ ，所以 sin ∠OPF1＝ ≥ sin ＝ ，又椭圆的离心率e∈（0，1），所以椭圆的离心率的取值范围是［ ，1）.
【思维建模】　离心率范围问题的常见解法
典例·讲解
典例精析 强技提能
【例】　（1）已知F1，F2分别为双曲线C的左、右焦点，点P是右支上
一点，且∠F1PF2＝ ，设∠PF1F2＝θ，当双曲线C的离心率的取值范围
为（ ， ）时，θ的取值范围为（　　）
A. （0， ） B. （ ， ）
C. （ ， ） D. （ ， ）
√
【瓶颈突破】　e＝ ＝ ＝ ，在△F1PF2中，由正弦定理得e＝ .
解析： 　在△F1PF2中，可得e＝ ＝ ＝ ＝
＝ ＝ · .因为e∈（ ，
），所以 cos （ ＋θ）∈（ ， ），所以 ＋θ∈（ ， ），所以
θ的取值范围为（ ， ）.
（2）（2025·贵州贵阳摸底考试）已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b
＞0）的右焦点为F，过F的直线l与C交于点A，B，且满足｜AB｜＝2a
的直线l恰有三条，则双曲线C的离心率的取值范围为（　　）
A. （1， ） B. （1， ）
C. （ ，2） D. （ ，2）
√
【瓶颈突破】　由｜AB｜＝2a的直线l恰有三条，易知直线l与x轴重合时满足题意，则另外两条直线均与双曲线右支有两个交点，由对称性知，2a＞ 即可.
解析： 　当直线l与x轴重合时，点A，B为双曲线C的左、右顶点，此
时｜AB｜为实轴长，满足｜AB｜＝2a.易知满足｜AB｜＝2a的另外两
条直线均与双曲线C的右支有两个交点，当直线l与x轴垂直时，将x＝c
代入双曲线C的方程，得y＝± ，此时｜AB｜＝ ，结合双曲线的对
称性可知，当2a＞ 时，满足题意，得a2＞b2，所以双曲线C的离心率e
＝ ＝ ＝ ＜ ，又e＞1，所以e∈（1， ）.
（3）已知F是椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的一个焦点，若过原点的直线
与椭圆交于A，B两点，且∠AFB＝120°，则椭圆离心率的取值范围
为 .
［ ，1）
【瓶颈突破】　连接F1A，F1B，由椭圆及直线的对称性知四边形AFBF1为平行四边形，∠FAF1＝60°，在△AFF1中利用余弦定理结合基本不等式及椭圆的定义可得a2与c2的关系，进而得e的范围.
解析：设椭圆左、右焦点分别为F1，F，连接F1A，F1B，
由椭圆及直线的对称性知，四边形AFBF1为平行四边形，
且∠AFB＝120°，∠FAF1＝60°，在△AFF1中，
｜FF1｜2＝｜AF｜2＋｜AF1｜2－2｜AF｜·｜AF1｜ cos
∠FAF1＝（｜AF｜＋｜AF1｜）2－3｜AF｜·｜AF1｜，
∴（｜AF｜＋｜AF1｜）2－｜FF1｜2＝3｜AF｜·｜AF1｜≤3（ ）2，当且仅当｜AF｜＝｜AF1｜时等号成立，可得 （｜AF｜＋｜AF1｜）2≤｜FF1｜2，即a2≤4c2，则e＝ ≥ ，又∵椭圆的离心率e∈（0，1），∴椭圆的离心率e∈［ ，1）.
【训练】　
（1）如图，椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，A1，A2，B1，B2为
椭圆的顶点，F2为右焦点，延长B1F2与A2B2交于点P，若∠B1PB2为钝
角，则该椭圆的离心率的取值范围是（　　）
A. （ ，1） B. （0， ）
C. （0， ） D. （ ，1）
√
【瓶颈突破】　∠B1PB2为钝角，则 · ＞0.
解析： 　设B1（0，－b），B2（0，b），F2（c，0），A2（a，0），
所以 ＝（a，－b）， ＝（－c，－b）.因为∠B1PB2为钝角，
所以 与 的夹角为锐角，所以 · ＝－ac＋b2＞0，即a2
－c2－ac＞0.两边同时除以a2并化简得e2＋e－1＜0，解得 ＜e＜
，又0＜e＜1，所以0＜e＜ .
（2）已知直线l：y＝x＋2，若椭圆C： ＋y2＝1（a＞1）上的点到直
线l的距离的最大值与最小值之和为2 ，则椭圆C的离心率的取值范围是
（　　）
A. （0， ］ B. （ ，1）
C. （0， ］ D. ［ ，1）
√
【瓶颈突破】　设双曲线左焦点为F2，当A，P，F2三点共线时，△APF的周长取得最小值.
解析： 　将l：y＝x＋2代入椭圆C： ＋y2＝1（a＞1），消去y，可
得（1＋a2）·x2＋4a2x＋3a2＝0，由已知直线与椭圆相离或相切，即Δ＝
16a4－4（1＋a2）·3a2≤0，解得a2≤3，即1＜a≤ ，设椭圆上任一点P
（a cos θ， sin θ），则P到直线l的距离为d＝ ＝
，∵1＜a≤ ，∴ ＝2 ，符
合题意，则椭圆C的离心率e＝ ＝ ＝ ，∵1＜a≤ ，
∴ ∈［ ，1），e的取值范围为（0， ］.
（3）已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F（2 ，
0），点A的坐标为（0，1），点P为双曲线左支上的动点，且△APF的周
长不小于18，则双曲线C的离心率的取值范围为 .
（1， ］
解析：由右焦点为F（2 ，0），点A的坐标为（0，1），可得｜AF｜
＝ ＝5.因为△APF的周长不小于18，所以｜PA｜＋｜PF｜的最
小值不小于13.设F2为双曲线的左焦点，可得｜PF｜＝｜PF2｜＋2a，
故｜PA｜＋｜PF｜＝｜PA｜＋｜PF2｜＋2a，当A，P，F2三点共线
时，｜PA｜＋｜PF2｜＋2a取最小值，最小值为｜AF2｜＋2a，即5＋
2a，所以5＋2a≥13，即a≥4.因为c＝2 ，所以e＝ ＝ ≤ .又e
＞1，所以e∈（1， ］.
课后·训练
巩固强化 综合测评
（时间：30分钟，满分：46分）
一、单项选择题（每小题5分，共25分）
1. 若动直线mx＋ny＝2m＋n（m，n∈R）始终与椭圆C： ＋ ＝1
（a＞0且a≠ ）有公共点，则C的离心率的取值范围是（　　）
A. （0， ） B. （0， ）
C. ［ ，1） D. ［ ，1）
1
2
3
4
5
6
7
8
9
√
解析： 　由直线m（x－2）＋n（y－1）＝0得，直线过定点（2，
1），由题意得，点（2，1）在椭圆上或椭圆内部，所以 ＋ ≤1，则
a2≥6，所以椭圆焦点在x轴上，所以e＝ ＝ ∈［ ，
1），故选C.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
2. 已知椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆上
存在点A，使得∠F1AF2＝ ，则椭圆离心率的取值范围为（　　）
A. （0， ） B. （ ，1）
C. （0， ］ D. ［ ，1）
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
解析： 　由题意，设椭圆上顶点为B，若椭圆上存在点A，使得∠F1AF2
＝ ，则只需∠F1BF2≥ 即可.当∠F1BF2＝ 时，△F1BF2为正三角形，
此时a＝2c，故当∠F1BF2≥ 时，a≤2c，即 ≤ .又0＜e＜1，故离心
率e∈［ ，1）.
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3. 已知F1，F2分别为椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，P
是椭圆C上的一点，直线l：x＝ ，且PQ⊥l，垂足为点Q. 若四边
形QPF1F2为平行四边形，则椭圆C的离心率的取值范围是（　　）
A. （ ，1） B. （ －1，1）
C. （0， －1） D. （0， ）
√
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解析： 　设P（x0，y0），则Q（ ，y0），∵四边形QPF1F2为平
行四边形，∴｜PQ｜＝｜F1F2｜，∴ －x0＝2c，即x0＝ －
2c＝ ∈（－a，a），∴－1＜ ＜1，∴－1＜2－e2－
2e＜1，解得 －1＜e＜1.
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4. （2025·陕西西安适应性检测）设M是椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）
的上顶点，P是C上的一个动点.当P运动到下顶点时，｜PM｜取得最大
值，则C的离心率的取值范围是（　　）
A. ［ ，1） B. （0， ］
C. ［ ，1） D. （0， ］
√
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解析： 　法一　由题意得M（0，b），设P（x0，y0），因为 ＋ ＝
1，a2＝b2＋c2，所以｜PM｜2＝ ＋（y0－b）2＝a2（1－ ）＋（y0－
b）2＝－ （y0＋ ）2＋ ＋a2＋b2，－b≤y0≤b，由题意知当y0＝－
b时，｜PM｜2取得最大值，所以－ ≤－b，可得a2≥2c2，即e2≤ ，
则0＜e≤ ，故选D.
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法二　由题意得M（0，b）.设P（a cos x，b sin x），则｜PM｜2＝（a
cos x）2＋（b sin x－b）2＝（b2－a2）· sin 2x－2b2 sin x＋a2＋b2，令 sin
x＝t，－1≤t≤1，则｜PM｜2＝（b2－a2）t2－2b2t＋a2＋b2，因为当点
P在椭圆下顶点，即 sin x＝t＝－1时，｜PM｜取得最大值，且b2－a2＜
0，所以－ ≤－1，即2b2≥a2，所以e2＝1－（ ）2≤ ，所以0
＜e≤ .故选D.
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5. 设点F1，F2分别为双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦
点，点A，B分别在双曲线C的左、右支上.若 ＝6 ，AF2⊥BF2，
且｜ ｜＞｜ ｜，则双曲线的离心率为（　　）
A. B.
C. D.
√
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解析： 　∵ ＝6 ，∴A，B，F1三点共线，
设｜ ｜＝6｜ ｜＝6m，则｜F1A｜＝m，
∴｜AB｜＝6m－m＝5m，由双曲线的定义得
｜BF2｜＝6m－2a，｜AF2｜＝2a＋m，∵AF2⊥BF2，∴｜AB｜2＝｜BF2｜2＋｜AF2｜2，即（5m）2＝（6m－2a）2＋（2a＋m）2，解得m＝ 或m＝a，由｜ ｜＞｜ ｜，得2a＋m＞6m－2a，得m＜ ，∴m＝ ，∴｜BF2｜＝2a，｜AB｜＝ ，｜BF1｜＝4a，∴ cos ∠ABF2＝ ＝ ＝ cos ∠F1BF2＝ ，解得e＝ .故选D.
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二、多项选择题（6分）
6. 设F1，F2同时为椭圆C1： ＋ ＝1（a＞b＞0）与双曲线C2： －
＝1（a1＞0，b1＞0）的左、右焦点，设椭圆C1与双曲线C2在第一象限
内交于点M，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，O为原点，下列
说法正确的是（　　）
A. 若｜F1F2｜＝2｜MO｜，则 ＋ ＝
B. 若｜F1F2｜＝2｜MO｜，则 ＋ ＝2
C. 若｜F1F2｜＝4｜MF2｜，则e1e2的取值范围是（ ， ）
D. 若｜F1F2｜＝4｜MF2｜，则e1e2的取值范围是（ ，2）
√
√
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解析： 　如图，连接MF1，设｜MF1｜＝m，｜
MF2｜＝n，焦距为2c.由椭圆的定义，得m＋n＝2a.由
双曲线的定义，得m－n＝2a1，解得m＝a＋a1，n＝a
－a1.当｜F1F2｜＝2｜MO｜时，∠F1MF2＝90°，所以
m2＋n2＝4c2，即a2＋ ＝2c2.由离心率的公式，得 ＋
＝2，故A错误，B正确.当｜F1F2｜＝4｜MF2｜时，n＝ c，即a－a1＝ c，所以 － ＝ ，则e1＝ .由0＜e1＜1，得 ＞1，所以 ＞ ，即1＜e2＜2，则e1e2＝ .设2＋e2＝t（3＜t＜4），则 ＝ ＝2（t＋ －4）.令f（t）＝t＋ －4，易知f（t）在（3，4）上单调递增，所以f（t）∈（ ，1），所以e1e2∈（ ，2），故C错误，D正确.选B、D.
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三、填空题（每小题5分，共15分）
7. 已知过点P（1，2）可作双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的两条
切线，若两个切点分别在双曲线C的左、右两支上，则该双曲线的离心率
的取值范围为 .
解析：要满足题意，点P（1，2）必须在渐近线y＝ x与y轴围成的区域
内，且不能在渐近线及y轴上.所以必须满足 ＜2，所以e＝ ＝
＝ ＜ ，又e＞1，所以1＜e＜ .
（1， ）
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8. 已知椭圆C： ＋ ＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，焦
距为2c，P是椭圆C上一点（不在坐标轴上），Q是∠F1PF2的平分线与x
轴的交点，若｜QF2｜＝3｜OQ｜，则椭圆离心率的取值范围是
.
（ ，
1）
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解析：如图，根据椭圆对称性，假设点P在第一象限，
∵｜QF2｜＝3｜OQ｜，∴｜QF2｜＝ c，｜QF1｜＝
c，∵PQ是∠F1PF2的平分线，∴ ＝ ＝ ，则｜PF1｜＝ ｜PF2｜，由｜PF1｜＋｜PF2｜＝ ｜PF2｜＝2a，可得｜PF2｜＝ ，由a－c＜ ＜a＋c，可得e＝ ＞ ，由0＜e＜1，可得 ＜e＜1.
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9. 已知双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，
F2，P为C右支上一点，PF1与C的左支交于点Q. 若｜PQ｜＝｜PF2｜，
则C的离心率的取值范围为 .
（ ，3]
解析：由题意得｜PF1｜－｜PF2｜＝｜PQ｜＋｜QF1｜
－｜PF2｜＝｜QF1｜＝2a，所以｜QF2｜＝4a，设
∠F1PF2＝θ，｜PF2｜＝m，由余弦定理的推论可得
cos θ＝ ＝ ，则m＝
，则c2－5a2＞0 e＞ ，设点P（x0，y0）（x0≥a），则 ＝
b2·（ －1），m2＝（c－x0）2＋ ＝（ex0－a）2，即m＝ex0－a≥c
－a，所以 ≥c－a （e＋1）（e＋1）（e－3）≤0 e≤3，故
e∈（ ，3].
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