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微突破2　圆锥曲线中二级结论的应用
（时间：30分钟，满分：46分）
一、单项选择题（每小题5分，共25分）
1.已知椭圆C：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，且∠F1PF2＝，则△PF1F2的面积为（　　）
A.6 B.2
C.4 D.6
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
2.已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的直线与抛物线C交于A，B两点，若·＝－12，则抛物线C的方程为（　　）
A.x2＝8y B.x2＝4y
C.y2＝8x D.y2＝4x
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
3.（2025·河南新乡二模）若P为双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）上异于A（－a，0），B（a，0）的动点，且直线PA与PB的斜率之积为5，则C的渐近线方程为（　　）
A.y＝±x B.y＝±x
C.y＝±x D.y＝±5x
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
4.过双曲线x2－y2＝2上任意一点P（m，n）分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为A，B，则四边形OAPB的面积为（　　）
A. B.1
C.2 D.4
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
5.已知抛物线y2＝4x，A，B为抛物线上不同两点，若OA⊥OB，则△AOB的面积的最小值为（　　）
A.4 B.8
C.16 D.32
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
二、多项选择题（6分）
6.（2025·山东济南一模）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直线与C交于A，B两点，O为坐标原点，则（　　）
A.｜AB｜≥5
B.＋＝1
C.＋∈［，1）
D.△AOB面积的最小值为2
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
三、填空题（每小题5分，共15分）
7.已知椭圆C：＋＝1，过右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，且｜AF2｜＝2，则｜AB｜＝　　　，cos∠F1AB＝　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
8.（2025·江苏南京调研）设双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为2，P为C上一点，且∠F1PF2＝120°，若△F1PF2的面积为4，则a＝　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
9.设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l：4x－5y＋4＝0与C的一个交点为M，直线MF与C的另一个交点为N，则｜MN｜＝　　　　.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
微突破2　圆锥曲线中二级结论的应用
1.B　设∠F1PF2＝θ，根据焦点三角形面积公式可知，＝b2tan＝6·tan＝2.
2.C　设抛物线为y2＝2px（p＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2＝，y1y2＝－p2，得·＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－p2＝－12，得p＝4，即抛物线C的方程为y2＝8x.故选C.
3.C　设P（x0，y0），x0≠±a，则－＝1，即＝b2·，则kPA·kPB＝＝＝5，则＝，故C的渐近线方程为y＝±x.故选C.
4.B　双曲线x2－y2＝2的渐近线为x＋y＝0或x－y＝0，直线x＋y＝0与x－y＝0相互垂直，又PA⊥OA，PB⊥OB，所以四边形OAPB为矩形，所以四边形OAPB的面积为｜PA｜×｜PB｜＝＝1，故选B.
5.C　如图，∵OA⊥OB，∴直线AB过定点（2p，0），即点C坐标为（4，0），设直线AB：x＝ty＋4，A（x1，y1），B（x2，y2），联立整理得y2－4ty－16＝0，Δ＝16t2＋64＞0，y1＋y2＝4t，y1y2＝－16，∴S△AOB＝｜OC｜·｜y1－y2｜＝2｜y1－y2｜＝2＝2，∴当t＝0时，Smin＝16.
6.BCD　因为F（1，0），所以设直线AB的方程为x＝my＋1，A（x1，y1），B（x2，y2），联立得y2－4my－4＝0，则Δ＝16m2＋16＞0，且y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，所以x1＋x2＝m（y1＋y2）＋2＝4m2＋2，x1x2＝（my1＋1）·（my2＋1）＝m2y1y2＋m（y1＋y2）＋1＝1，对于A，根据抛物线的定义，得｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝（x1＋1）＋（x2＋1）＝4m2＋4≥4，当m＝0，即直线AB与x轴垂直时，等号成立，故A错误；对于B，＋＝＋＝＝＝1，故B正确；对于C，＋＝＋＝＋＝＝＝＝1－，所以＋∈［，1），故C正确；对于D，S△AOB＝｜OF｜×｜y1－y2｜＝×1×＝×＝2≥2，当m＝0，即直线AB与x轴垂直时，等号成立，所以△AOB面积的最小值为2，故D正确.故选B、C、D.
7.　－　解析：∵a＝4，b＝2，由＋＝，∴＋＝，∴｜BF2｜＝，∴｜AB｜＝，∴｜AF1｜＝6，｜BF1｜＝，∴cos∠F1AB＝＝＝－.
8.2　解析：法一　不妨设P点在第一象限，如图，根据双曲线定义可得｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，且｜F1F2｜＝2c.由离心率为2可得＝2，即c＝2a，所以｜F1F2｜＝4a.设｜PF2｜＝m＞0，则｜PF1｜＝2a＋m，由△F1PF2的面积为4可得｜PF1｜·｜PF2｜·sin∠F1PF2＝m（2a＋m）×＝4，解得m（2a＋m）＝16.利用余弦定理可得cos∠F1PF2＝＝－，即＝－，整理可得2m2＋4am－12a2＝－m（2a＋m），即12a2＝3m（2a＋m），所以12a2＝48，解得a＝2.
法二　因为e＝2，所以e2＝1＋＝4，则＝3.因为点P在双曲线上，∠F1PF2＝120°，△F1PF2的面积为4，所以＝＝＝4，所以b2＝12，又＝3，所以a2＝4，a＝2.
9.　解析：由得4x2－17x＋4＝0，解得x＝或x＝4，所以点M（，1）或M（4，4）.焦点F（1，0）.
法一（定义法）　设N（x0，y0），当M（，1）时，由x0＝1，得x0＝4，所以｜MN｜＝x0＋＋p＝4＋＋2＝；当M（4，4）时，由4x0＝1，得x0＝，所以｜MN｜＝x0＋4＋p＝＋4＋2＝.综上，｜MN｜＝.
法二（结论法）　当M的坐标为（，1）时，kMF＝＝－，设直线MF的倾斜角为α，则tan α＝－，所以sin α＝，所以｜MN｜＝＝＝；当M的坐标为（4，4）时，kMF＝，由对称性可得｜MN｜＝.综上，｜MN｜＝.
2 / 2微突破2　圆锥曲线中二级结论的应用
【备考指南】　圆锥曲线是高考数学的热点之一，善于总结解题技巧，才是提升数学解题速度与准确率的关键.因此掌握一些常用的圆锥曲线二级结论，对于小题的解决、提速有很大的帮助；对于某些大题的证明也可以有一定的启发.
结论1　椭圆、双曲线的焦半径
【常用结论】　（1）若点P（x0，y0）在椭圆＋＝1（a＞b＞0）上，∠F1PF2＝θ，则｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝a－ex0（左加右减）.｜PF1｜｜PF2｜＝；
（2）若点P（x0，y0）在双曲线－＝1（a＞0，b＞0），∠F1PF2＝θ的右支上，则｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝－a＋ex0（左支添“－”）.｜PF1｜｜PF2｜＝；
（3）焦半径的数量关系式：直线l过焦点F与椭圆（双曲线）相交于A，B两点，则＋＝.
【例1】　已知双曲线C的左、右焦点分别为F1（－，0），F2（，0），过F2的直线与C的右支交于A，B两点.若＝2，｜AB｜＝｜F1B｜，则双曲线C的方程为（　　）
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
【训练1】　如图，F1，F2为椭圆＋y2＝1的两焦点，P为椭圆上除长轴端点外的任一点，∠F1PF2的平分线PM与长轴交于点M（m，0），则m的取值范围是（　　）
A.（－，） B.（－，）
C.（－，） D.（－，）
结论2　垂径定理
【常用结论】　（1）若AB是椭圆＋＝1（a＞b＞0）的不平行于对称轴的弦，M（x0，y0）为AB的中点，则kOM·kAB＝e2－1＝－；
（2）若AB是双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的不平行于对称轴的弦，M（x0，y0）为AB的中点，则kOM·kAB＝e2－1＝.
【例2】　（2025·河南郑州质量预测）设F1，F2分别为双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2且斜率为－的直线l与C的右支交于点A，与C的左支交于点B，点D满足＝，·＝0，则双曲线C的离心率为　　　　.
【训练2】　椭圆＋＝1中以点M（2，1）为中点的弦所在的直线方程为（　　）
A.4x＋9y－17＝0
B.4x－9y－17＝0
C.x＋3y－2－3＝0
D.x－3y－2＋3＝0
结论3　椭圆、双曲线的第三定义
【常用结论】　已知点P为椭圆（双曲线）上异于A，B的任一点，A，B为长轴（实轴）端点，则椭圆中kPA·kPB＝－，双曲线中kPA·kPB＝.
【例3】　（2025·浙江名校协作体试题）已知A，B是椭圆＋＝1与双曲线－＝1的公共顶点，M是双曲线上一点，直线MA，MB分别交椭圆于C，D两点，若直线CD过椭圆的焦点F，则线段CD的长度为（　　）
A. B.3 C.2 D.
【训练3】　已知椭圆C：＋y2＝1，A，B为长轴端点，点M1，M2，…，M5是AB的六等分点，分别过这五点作斜率为k（k≠0）的一组平行线，交椭圆C于P1，P2，…，P10，则直线AP1，AP2，…，AP10这10条直线的斜率乘积为（　　）
A.－ B.－ C. D.
结论4　双曲线中有关渐近线的距离
【常用结论】　（1）双曲线的焦点到渐近线的距离为常数b；
（2）双曲线的顶点到渐近线的距离为常数；
（3）双曲线上任意一点P到两渐近线的距离乘积为定值.
【常用结论】　若倾斜角为α（α≠）的直线l过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）（y1＞y2），则
（1）x1x2＝，y1y2＝－p2；
（2）焦半径｜AF｜＝x1＋＝，｜BF｜＝x2＋＝；
（3）焦点弦长｜AB｜＝x1＋x2＋p＝，且＋＝；
（4）S△OAB＝（O为坐标原点）；
（5）若OA⊥OB，则直线AB过定点（2p，0）；
（6）以AB为直径的圆与准线相切；以MN为直径的圆与AB切于焦点F；以焦半径AF为直径的圆与y轴相切；以焦半径BF为直径的圆与y轴相切.
【例4】　已知F1，F2分别是双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，P为双曲线C上的动点，｜F1F2｜＝10，｜PF1｜－｜PF2｜＝6，点P到双曲线C的两条渐近线的距离分别为d1，d2，则＝（　　）
A. B. C. D.2
【训练4】　（1）若双曲线－＝1（a＞0，b＞0）的一个顶点到一条渐近线的距离为，则该双曲线的离心率为（　　）
A. B.
C. D.
（2）过双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）的焦点F且与一条渐近线垂直的直线与两渐近线相交于A，B两点，若＝2，则双曲线的离心率为　　　　.
结论5　抛物线的焦点弦
【例5】　（1）（2025·山东济宁一模）设F为抛物线C：y2＝6x的焦点，过F的直线交C于A，B两点，若｜AF｜＝3｜BF｜，则｜AB｜＝（　　）
A.2 B.4
C.6 D.8
（2）〔多选〕（2025·全国Ⅰ卷10题）设抛物线C：y2＝6x的焦点为F，过F的直线交C于A，B，过F且垂直于AB的直线交l：x＝－于E，过点A作准线l的垂线，垂足为D，则（　　）
A.｜AD｜＝｜AF｜ B.｜AE｜＝｜AB｜
C.｜AB｜≥6 D.｜AE｜·｜BE｜≥18
【训练5】　已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F作两条相互垂直的直线l1，l2，直线l1与C相交于A，B两点，直线l2与C相交于D，E两点，则｜AB｜＋｜DE｜的最小值为（　　）
A.16 B.14
C.12 D.10
微突破2　圆锥曲线中二级结论的应用
【典例·讲解】
【例1】　C　如图，令｜F2B｜＝t，则｜AF2｜＝2t，∴｜AB｜＝3t，｜F1B｜＝3t，又＋＝，∴＋＝，即＝，又｜F1B｜－｜F2B｜＝2a，∴3t－t＝2a，∴t＝a，∴＝，即3b2＝4a2，又c＝，∴a2＋b2＝7，解得b2＝4，a2＝3，故双曲线C的方程为－＝1.
【训练1】　D　设P（x0，y0），则｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝a－ex0，由角平分线性质知，＝，于是得＝ m＝e2x0＝x0，因为x0∈（－2，2），所以m∈（－，）.
【例2】　
解析：法一（几何法）　如图，连接AF1，BF1，由＝可得D为AB的中点，由·＝0可得⊥，所以｜AF1｜＝｜BF1｜.设｜AF1｜＝｜BF1｜＝m，由双曲线的定义，得｜AF2｜＝m－2a，｜BF2｜＝m＋2a，所以｜AB｜＝｜BF2｜－｜AF2｜＝4a，所以｜AD｜＝｜BD｜＝2a，所以｜F2D｜＝｜DA｜＋｜AF2｜＝2a＋m－2a＝m.由直线l的斜率为－，可得tan∠DF2F1＝，所以在Rt△DF1F2中，｜F1D｜∶｜F2D｜∶｜F1F2｜＝3∶4∶5，所以｜F1D｜＝c，｜F2D｜＝c＝m.在Rt△AF1D中，由勾股定理得，｜AD｜2＋｜F1D｜2＝，即（2a）2＋（c）2＝（c）2，整理得，25a2＝7c2，所以e＝＝.
法二（代数法）　设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），由＝可得，D为AB的中点，因为直线l的斜率为－，所以＝＝－　①.由·＝0可得，AB⊥DF1，所以＝＝　②，由①②可得，x0＝－，y0＝c.连接OD（O为坐标原点），因为A，B均在双曲线上，且D为AB的中点.所以kOD·kAB＝，即·（－）＝，所以＝，所以e2＝1＋＝，e＝.
【训练2】　A　设以点M（2，1）为中点的弦的两端点为A（x1，y1），B（x2，y2），则有两式相减得＋＝0，因为M（2，1）为中点，所以＝2，＝1，所以斜率k＝＝－＝－（或直接利用结论k＝－·＝－×＝－），所以所求直线方程为y－1＝－（x－2），即4x＋9y－17＝0.
【例3】　B　法一（联立方程求解）　由题意及对称性，不妨令A（－2，0），B（2，0），设M（x0，y0），则x0≠±2，－＝1，即＝.易得直线MA的方程为y＝（x＋2），与椭圆方程＋＝1联立，解得x＝－2或x＝，所以xC＝，同理可得xD＝，所以直线CD的方程为x＝，而直线CD过椭圆的焦点F，由对称性，不妨以右焦点（1，0）为例，此时直线CD的方程为x＝1，x0＝4，则C（1，），D（1，－）或D（1，），C（1，－），所以｜CD｜＝3.故选B.
法二（利用斜率公式求解）　由题意及对称性，不妨令A（－2，0），B（2，0），设点M（x0，y0），则x0≠±2，－＝1，kMA＝，kMB＝，所以kMA·kMB＝＝.设C（x1，y1），易知x1≠±2，如图，连接BC，则kAC＝，kBC＝，又＋＝1，所以kAC·kBC＝＝－，又kAC＝kMA，kBD＝kMB，所以kBC＝－kBD，即直线BC与直线BD关于x轴对称，则点C与点D关于x轴对称，又直线CD过椭圆的焦点，故｜CD｜＝＝3.故选B.
法三（利用二级结论求解）　由题意可得，kMA·kMB＝，如法二图，连接BC，则有kAC·kBC＝－.因为kMA＝kAC，所以kBC＝－kMB，即kBC＝－kBD，所以直线BC与直线BD关于x轴对称，则点C与点D关于x轴对称，又直线CD过椭圆的焦点，故｜CD｜＝＝3.故选B.
【训练3】　B　如图所示，由椭圆的性质可得·＝·＝－＝－.
由椭圆的对称性可得＝，＝，所以·＝－.同理可得·＝·＝·＝·＝－.所以直线AP1，AP2，…，AP10这10条直线的斜率乘积为（－）5＝－.故选B.
【例4】　B　由｜F1F2｜＝2c＝10，得c＝5.因为｜PF1｜－｜PF2｜＝2a＝6，所以a＝3.又因为c2＝a2＋b2，所以b＝4，所以d1d2＝＝，所以＝.
【训练4】　（1）D　双曲线的一条渐近线方程为y＝x，即bx－ay＝0，所以顶点（a，0）到直线bx－ay＝0的距离d＝＝，即＝，所以＝，则离心率e＝＝.
（2）　解析：如图，过F作一条渐近线的垂线，垂足为H，则｜FA｜＝｜FH｜＝b，｜OA｜＝a，｜AB｜＝3b，｜OB｜＝＝，由△BFH∽△BOA，得＝，即＝，所以a2＝3b2，所以e2＝1＋（）2＝，得e＝.
【例5】　（1）D　设直线AB的倾斜角为θ，过A作AA1垂直于准线于点A1，作FQ⊥AA1于点Q，则｜AA1｜＝｜AQ｜＋｜QA1｜＝｜AF｜cos θ＋p＝｜AF｜，∴｜AF｜＝＝，同理可证｜BF｜＝＝，∵｜AF｜＝3｜BF｜，∴＝，解得cos θ＝，∴sin2θ＝1－cos2θ＝，∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝＋＝＝＝8，故选D.
（2）ACD　对于A，直线l为抛物线的准线，由抛物线的定义，可知｜AD｜＝｜AF｜，A正确；法一（通解）　对于B，当AB⊥x轴时，A（，3），B（，－3），E（－，0），｜AB｜＝6，｜AE｜＝3，此时｜AE｜≠｜AB｜，B错误；对于C，易知直线AB的斜率不为0，设直线AB：x＝my＋，A（x1，y1），B（x2，y2），由得y2－6my－9＝0，则y1＋y2＝6m，y1y2＝－9，x1＋x2＝m（y1＋y2）＋3＝6m2＋3，｜AB｜＝x1＋x2＋3＝6m2＋6≥6，C正确；对于D，当m＝0，即AB⊥x轴时，由B知，｜AE｜＝｜BE｜＝3，｜AE｜·｜BE｜＝18.当m≠0时，直线EF：x＝－y＋，E（－，3m），｜EF｜＝，S△AEB＝｜AE｜·｜BE｜sin∠AEB＝｜AB｜·｜EF｜＝（6＋6m2）·＝9（1＋m2＞9，所以｜AE｜·｜BE｜＞＞18.综上，｜AE｜·｜BE｜≥18，D正确.故选A、C、D.
法二（二级结论）　对于B，以焦点弦为直径的圆与准线相切，AB为直径，AE为弦，所以｜AB｜＞｜AE｜，B错误；对于C，抛物线的焦点弦中通径最短，p＝3，则｜AB｜≥2p＝6，C正确；对于D，由选项B可知AE⊥BE，如图，设∠AFx＝θ，由S△AEB＝｜AE｜·｜BE｜＝｜AB｜·｜EF｜，可得｜AE｜·｜BE｜＝｜AB｜·｜EF｜＝·＝≥2p2＝18，D正确.故选A、C、D.
【训练5】　A　如图，设直线l1的倾斜角为θ，θ∈（0，），则直线l2的倾斜角为＋θ，由抛物线的焦点弦弦长公式知｜AB｜＝＝，｜DE｜＝＝，∴｜AB｜＋｜DE｜＝＋＝＝≥16，当且仅当sin 2θ＝1，即θ＝时取等号.∴｜AB｜＋｜DE｜的最小值为16.
3 / 3(共47张PPT)
微突破2　
圆锥曲线中二级结论的应用
备考指南
圆锥曲线是高考数学的热点之一，善于总结解题技巧，才是提升数学解题速度与准确率的关键.因此掌握一些常用的圆锥曲线二级结论，对于小题的解决、提速有很大的帮助；对于某些大题的证明也可以有一定的启发.
典例·讲解 典例精析 强技提能
一
课后·训练 巩固强化 综合测评
二
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CONTENTS
典例·讲解
典例精析 强技提能
结论1　椭圆、双曲线的焦半径
【例1】　已知双曲线C的左、右焦点分别为F1（－ ，0），F2（ ，
0），过F2的直线与C的右支交于A，B两点.若 ＝2 ，｜AB｜
＝｜F1B｜，则双曲线C的方程为（　　）
A. － ＝1
B. － ＝1
C. － ＝1
D. － ＝1
√
【常用结论】　（1）若点P（x0，y0）在椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）
上，∠F1PF2＝θ，则｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝a－ex0（左加右
减）.｜PF1｜｜PF2｜＝ ；
（2）若点P（x0，y0）在双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0），∠F1PF2＝θ的右支上，则｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝－a＋ex0（左支添“－”）.｜PF1｜｜PF2｜＝ ；
（3）焦半径的数量关系式：直线l过焦点F与椭圆（双曲线）相交于A，B两点，则 ＋ ＝ .
解析： 　如图，令｜F2B｜＝t，则｜AF2｜＝2t，∴｜
AB｜＝3t，｜F1B｜＝3t，又 ＋ ＝ ，
∴ ＋ ＝ ，即 ＝ ，又｜F1B｜－｜F2B｜＝2a，∴3t－t＝2a，∴t＝a，∴ ＝ ，即3b2＝4a2，又c＝ ，∴a2＋b2＝7，解得b2＝4，a2＝3，故双曲线C的方程为 － ＝1.
【训练1】　如图，F1，F2为椭圆 ＋y2＝1的两焦点，P为椭圆上除长轴
端点外的任一点，∠F1PF2的平分线PM与长轴交于点M（m，0），则m
的取值范围是（　　）
A. （－ ， ） B. （－ ， ）
C. （－ ， ） D. （－ ， ）
√
解析： 设P（x0，y0），则｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝a－ex0，由
角平分线性质知， ＝ ，于是得 ＝ m＝e2x0＝
x0，因为x0∈（－2，2），所以m∈（－ ， ）.
结论2　垂径定理
【例2】　（2025·河南郑州质量预测）设F1，F2分别为双曲线C： －
＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，过F2且斜率为－ 的直线l与C的右支
交于点A，与C的左支交于点B，点D满足 ＝ ， · ＝0，则
双曲线C的离心率为 .

【常用结论】　（1）若AB是椭圆 ＋ ＝1（a＞b＞0）的不平行于对
称轴的弦，M（x0，y0）为AB的中点，则kOM·kAB＝e2－1＝－ ；
（2）若AB是双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）的不平行于对称轴的弦，
M（x0，y0）为AB的中点，则kOM·kAB＝e2－1＝ .
解析：法一（几何法）　如图，连接AF1，BF1，由 ＝ 可得D为AB的中点，由 · ＝0可得 ⊥ ，所以｜AF1｜＝｜BF1｜.设｜AF1｜＝｜BF1｜＝m，由双曲线的定义，得｜AF2｜＝m－
2a，｜BF2｜＝m＋2a，所以｜AB｜＝｜BF2｜－｜AF2｜＝4a，所以｜AD｜＝｜BD｜＝2a，所以｜F2D｜＝｜DA｜＋｜AF2｜＝2a＋m－2a＝m.由直线l的斜率为－ ，可得tan∠DF2F1＝ ，所以在
Rt△DF1F2中，｜F1D｜∶｜F2D｜∶｜F1F2｜＝3∶4∶5，所以｜F1D｜＝ c，｜F2D｜＝ c＝m.在Rt△AF1D中，由勾股定理得，｜AD｜2＋｜F1D｜2＝｜AF1｜2，即（2a）2＋（ c）2＝（ c）2，整理
得，25a2＝7c2，所以e＝ ＝ .
法二（代数法）　设A（x1，y1），B（x2，y2），D（x0，y0），由
＝ 可得，D为AB的中点，因为直线l的斜率为－ ，所以 ＝
＝－ 　①.由 · ＝0可得，AB⊥DF1，所以 ＝ ＝ 　②，
由①②可得，x0＝－ ，y0＝ c.连接OD（O为坐标原点），因为A，
B均在双曲线上，且D为AB的中点.所以kOD·kAB＝ ，即 ·（－ ）＝
，所以 ＝ ，所以e2＝1＋ ＝ ，e＝ .
【训练2】　椭圆 ＋ ＝1中以点M（2，1）为中点的弦所在的直线方程
为（　　）
A. 4x＋9y－17＝0
B. 4x－9y－17＝0
C. x＋3y－2 －3＝0
D. x－3y－2 ＋3＝0
√
解析： 　设以点M（2，1）为中点的弦的两端点为A（x1，y1），B
（x2，y2），则有 两式相减得 ＋ ＝0，因为M
（2，1）为中点，所以 ＝2， ＝1，所以斜率k＝ ＝－
＝－ （或直接利用结论k＝－ · ＝－ × ＝－ ），所以
所求直线方程为y－1＝－ （x－2），即4x＋9y－17＝0.
结论3　椭圆、双曲线的第三定义
【例3】　（2025·浙江名校协作体试题）已知A，B是椭圆 ＋ ＝1与双
曲线 － ＝1的公共顶点，M是双曲线上一点，直线MA，MB分别交椭
圆于C，D两点，若直线CD过椭圆的焦点F，则线段CD的长度为
（　　）
A. B. 3
C. 2 D.
√
【常用结论】　已知点P为椭圆（双曲线）上异于A，B的任一点，A，B为长轴（实轴）端点，则椭圆中kPA·kPB＝－ ，双曲线中kPA·kPB＝ .
解析： 　法一（联立方程求解）　由题意及对称性，
不妨令A（－2，0），B（2，0），设M（x0，y0），
则x0≠±2， － ＝1，即 ＝ .易得直线MA的
方程为y＝ （x＋2），与椭圆方程 ＋ ＝1联立，
解得x＝－2或x＝ ，所以xC＝ ，同理可得xD＝ ，所以直线CD的方程为x＝ ，而直线CD过椭圆的焦点F，由对称性，不妨以右焦点（1，0）为例，此时直线CD的方程为x＝1，x0＝4，则C（1， ），D（1，－ ）或D（1， ），C（1，－ ），所以｜CD｜＝3.故选B.
法二（利用斜率公式求解）　由题意及对称性，不妨
令A（－2，0），B（2，0），设点M（x0，y0），
则x0≠±2， － ＝1，kMA＝ ，kMB＝ ，所
以kMA·kMB＝ ＝ .设C（x1，y1），易知x1≠±2，如图，连接BC，则kAC＝ ，kBC＝ ，又 ＋ ＝1，所以kAC·kBC＝ ＝－ ，又
kAC＝kMA，kBD＝kMB，所以kBC＝－kBD，即直线BC与直线BD关于x轴对称，则点C与点D关于x轴对称，又直线CD过椭圆的焦点，故｜CD｜＝ ＝3.故选B.
法三（利用二级结论求解）　由题意可得，kMA·kMB＝
，如法二图，连接BC，则有kAC·kBC＝－ .因为kMA
＝kAC，所以kBC＝－kMB，即kBC＝－kBD，所以直线
BC与直线BD关于x轴对称，则点C与点D关于x轴对
称，又直线CD过椭圆的焦点，故｜CD｜＝ ＝3.故选B.
【训练3】　已知椭圆C： ＋y2＝1，A，B为长轴端点，点M1，
M2，…，M5是AB的六等分点，分别过这五点作斜率为k（k≠0）的一组
平行线，交椭圆C于P1，P2，…，P10，则直线AP1，AP2，…，AP10这10
条直线的斜率乘积为（　　）
A. － B. －
C. D.
√
解析： 　如图所示，由椭圆的性质可得
· ＝ · ＝－ ＝－ .由椭圆的对
称性可得 ＝ ， ＝ ，所以
· ＝－ .同理可得 · ＝
· ＝ · ＝ · ＝－ .所以直线AP1，AP2，…，AP10这10条直线的斜率乘积为（－ ）5＝－ .故选B.
结论4　双曲线中有关渐近线的距离
【例4】　已知F1，F2分别是双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的
左、右焦点，P为双曲线C上的动点，｜F1F2｜＝10，｜PF1｜－｜PF2｜
＝6，点P到双曲线C的两条渐近线的距离分别为d1，d2，则 ＝
（　　）
A. B.
C. D. 2
√
【常用结论】　（1）双曲线的焦点到渐近线的距离
为常数b；
（2）双曲线的顶点到渐近线的距离为常数 ；
（3）双曲线上任意一点P到两渐近线的距离乘
积为定值 .
解析： 　由｜F1F2｜＝2c＝10，得c＝5.因为｜PF1｜－｜PF2｜＝2a＝
6，所以a＝3.又因为c2＝a2＋b2，所以b＝4，所以d1d2＝ ＝ ，所
以 ＝ .
【训练4】　（1）若双曲线 － ＝1（a＞0，b＞0）的一个顶点到一条
渐近线的距离为 ，则该双曲线的离心率为（　　）
A. B.
C. D.
√
解析： 　双曲线的一条渐近线方程为y＝ x，即bx－ay＝0，所以顶点
（a，0）到直线bx－ay＝0的距离d＝ ＝ ，即 ＝ ，所以 ＝
，则离心率e＝ ＝ .
（2）过双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的焦点F且与一条渐近线
垂直的直线与两渐近线相交于A，B两点，若 ＝2 ，则双曲线的离心
率为 .
解析：如图，过F作一条渐近线的垂线，垂足为H，则｜
FA｜＝｜FH｜＝b，｜OA｜＝a，｜AB｜＝3b，｜
OB｜＝ ＝ ，由
△BFH∽△BOA，得 ＝ ，即 ＝ ，所以a2＝3b2，所以e2＝1＋（ ）2＝ ，得e＝ .

结论5　抛物线的焦点弦
【例5】　（1）（2025·山东济宁一模）设F为抛物线C：y2＝6x的焦点，
过F的直线交C于A，B两点，若｜AF｜＝3｜BF｜，则｜AB｜＝
（　　）
A. 2
B. 4
C. 6
D. 8
√
【常用结论】　若倾斜角为α（α≠ ）的直线l过抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点，与抛物线交于A（x1，y1），B（x2，y2）（y1＞y2），则
（1）x1x2＝ ，y1y2＝－p2；
（2）焦半径｜AF｜＝x1＋ ＝ ，｜BF｜＝x2＋ ＝ ；
（3）焦点弦长｜AB｜＝x1＋x2＋p＝ ，且 ＋ ＝ ；
（4）S△OAB＝ （O为坐标原点）；
（5）若OA⊥OB，则直线AB过定点（2p，0）；
（6）以AB为直径的圆与准线相切；以MN为直径的圆与AB切于焦点F；
以焦半径AF为直径的圆与y轴相切；以焦半径BF为直径的圆与y轴相切.
解析： 　设直线AB的倾斜角为θ，过A作AA1垂直于准
线于点A1，作FQ⊥AA1于点Q，则｜AA1｜＝｜AQ｜＋
｜QA1｜＝｜AF｜ cos θ＋p＝｜AF｜，∴｜AF｜＝
＝ ，同理可证｜BF｜＝ ＝ ，
∵｜AF｜＝3｜BF｜，∴ ＝ ，解得 cos θ＝ ，∴ sin 2θ＝1－ cos 2θ＝ ，∴｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝ ＋ ＝ ＝ ＝8，故选D.
（2）〔多选〕（2025·全国Ⅰ卷10题）设抛物线C：y2＝6x的焦点为F，过
F的直线交C于A，B，过F且垂直于AB的直线交l：x＝－ 于E，过点
A作准线l的垂线，垂足为D，则（　　）
A. ｜AD｜＝｜AF｜ B. ｜AE｜＝｜AB｜
C. ｜AB｜≥6 D. ｜AE｜·｜BE｜≥18
√
√
√
解析： 对于A，直线l为抛物线的准线，由抛物线的
定义，可知｜AD｜＝｜AF｜，A正确；法一（通解）　对
于B，当AB⊥x轴时，A（ ，3），B（ ，－3），E（－
，0），｜AB｜＝6，｜AE｜＝3 ，此时｜AE｜≠｜
AB｜，B错误；对于C，易知直线AB的斜率不为0，设直线AB：x＝my＋ ，A（x1，y1），B（x2，y2），由 得y2－6my－9＝0，则
y1＋y2＝6m，y1y2＝－9，x1＋x2＝m（y1＋y2）＋3＝6m2＋3，｜AB｜＝x1＋x2＋3＝6m2＋6≥6，C正确；对于D，当m＝0，即AB⊥x轴时，由B知，｜AE｜＝｜BE｜＝3 ，｜AE｜·｜BE｜＝18.当m≠0时，直线EF：x＝－ y＋ ，E（－ ，3m），｜EF｜＝ ，S△AEB＝ ｜AE｜·｜BE｜ sin ∠AEB＝ ｜AB｜·｜EF｜＝ （6＋6m2）· ＝9（1＋m2 ＞9，所以｜AE｜·｜BE｜＞ ＞18.综上，｜AE｜·｜BE｜≥18，D正确.故选A、C、D.
法二（二级结论）　对于B，以焦点弦为直径的圆与准线相
切，AB为直径，AE为弦，所以｜AB｜＞｜AE｜，B错误；
对于C，抛物线的焦点弦中通径最短，p＝3，则｜AB｜
≥2p＝6，C正确；对于D，由选项B可知AE⊥BE，如图，
设∠AFx＝θ，由S△AEB＝ ｜AE｜·｜BE｜＝ ｜AB｜·｜EF｜，可得｜AE｜·｜BE｜＝｜AB｜·｜EF｜＝ · ＝ ≥2p2＝18，D正确.故选A、C、D.
【训练5】　已知F是抛物线C：y2＝4x的焦点，过点F作两条相互垂直的
直线l1，l2，直线l1与C相交于A，B两点，直线l2与C相交于D，E两
点，则｜AB｜＋｜DE｜的最小值为（　　）
A. 16 B. 14
C. 12 D. 10
√
解析： 如图，设直线l1的倾斜角为θ，θ∈（0，
），则直线l2的倾斜角为 ＋θ，由抛物线的焦点弦弦长
公式知｜AB｜＝ ＝ ，｜DE｜＝
＝ ，∴｜AB｜＋｜DE｜＝ ＋ ＝ ＝ ≥16，当且仅当 sin 2θ＝1，即θ＝ 时取等号.∴｜AB｜＋｜DE｜的最小值为16.
课后·训练
巩固强化 综合测评
（时间：30分钟，满分：46分）
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一、单项选择题（每小题5分，共25分）
1. 已知椭圆C： ＋ ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一
点，且∠F1PF2＝ ，则△PF1F2的面积为（　　）
A. 6 B. 2
C. 4 D. 6
√
解析： 　设∠F1PF2＝θ，根据焦点三角形面积公式可知， ＝
b2tan ＝6·tan ＝2 .
2. 已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过点F的
直线与抛物线C交于A，B两点，若 · ＝－12，则抛物线C的方程为
（　　）
A. x2＝8y B. x2＝4y
C. y2＝8x D. y2＝4x
√
解析： 　设抛物线为y2＝2px（p＞0），A（x1，y1），B（x2，y2），
则x1x2＝ ，y1y2＝－p2，得 · ＝x1x2＋y1y2＝ －p2＝－ p2＝－
12，得p＝4，即抛物线C的方程为y2＝8x.故选C.
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3. （2025·河南新乡二模）若P为双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）
上异于A（－a，0），B（a，0）的动点，且直线PA与PB的斜率之积为
5，则C的渐近线方程为（　　）
A. y＝± x B. y＝± x
C. y＝± x D. y＝±5x
√
解析： 　设P（x0，y0），x0≠±a，则 － ＝1，即 ＝b2· ，
则kPA·kPB＝ ＝ ＝5，则 ＝ ，故C的渐近线方程为y＝± x.
故选C.
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4. 过双曲线x2－y2＝2上任意一点P（m，n）分别作两条渐近线的垂线，
垂足分别为A，B，则四边形OAPB的面积为（　　）
A. B. 1
C. 2 D. 4
√
解析： 双曲线x2－y2＝2的渐近线为x＋y＝0或x－y＝0，直线x＋y＝
0与x－y＝0相互垂直，又PA⊥OA，PB⊥OB，所以四边形OAPB为矩
形，所以四边形OAPB的面积为｜PA｜×｜PB｜＝ ＝1，故选B.
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5. 已知抛物线y2＝4x，A，B为抛物线上不同两点，若OA⊥OB，则
△AOB的面积的最小值为（　　）
A. 4 B. 8
C. 16 D. 32
√
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解析： 　如图，∵OA⊥OB，∴直线AB过定点（2p，
0），即点C坐标为（4，0），设直线AB：x＝ty＋4，
A（x1，y1），B（x2，y2），联立 整理得
y2－4ty－16＝0，Δ＝16t2＋64＞0，y1＋y2＝4t，y1y2＝
－16，∴S△AOB＝ ｜OC｜｜y1－y2｜＝2｜y1－y2｜＝2 ＝2 ，∴当t＝0时，Smin＝16.
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二、多项选择题（6分）
6. （2025·山东济南一模）已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点F的直
线与C交于A，B两点，O为坐标原点，则（　　）
A. ｜AB｜≥5
B. ＋ ＝1
C. ＋ ∈［ ，1）
D. △AOB面积的最小值为2
√
√
√
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解析： 　因为F（1，0），所以设直线AB的方程为x＝my＋1，A
（x1，y1），B（x2，y2），联立 得y2－4my－4＝0，则Δ
＝16m2＋16＞0，且y1＋y2＝4m，y1y2＝－4，所以x1＋x2＝m（y1＋y2）
＋2＝4m2＋2，x1x2＝（my1＋1）·（my2＋1）＝m2y1y2＋m（y1＋y2）＋1
＝1，对于A，根据抛物线的定义，得｜AB｜＝｜AF｜＋｜BF｜＝（x1
＋1）＋（x2＋1）＝4m2＋4≥4，当m＝0，即直线AB与x轴垂直时，等号
成立，故A错误；对于B， ＋ ＝ ＋ ＝
＝ ＝1，故B正确；
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对于C， ＋ ＝ ＋ ＝
＋ ＝ ＝ ＝ ＝1－
，所以 ＋ ∈［ ，1），故C正确；对于D，
S△AOB＝ ｜OF｜×｜y1－y2｜＝ ×1× ＝
× ＝2 ≥2，当m＝0，即直线AB与x轴垂直时，等号
成立，所以△AOB面积的最小值为2，故D正确.故选B、C、D.
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三、填空题（每小题5分，共15分）
7. 已知椭圆C： ＋ ＝1，过右焦点F2的直线交椭圆于A，B两点，
且｜AF2｜＝2，则｜AB｜＝ 　　 　， cos ∠F1AB＝ 　　－ 　　.
解析：∵a＝4，b＝2，由 ＋ ＝ ，∴ ＋ ＝
，∴｜BF2｜＝ ，∴｜AB｜＝ ，∴｜AF1｜＝6，｜BF1｜＝ ，
∴ cos ∠F1AB＝ ＝ ＝－ .

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8. （2025·江苏南京调研）设双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）的
左、右焦点分别为F1，F2，离心率为2，P为C上一点，且∠F1PF2＝
120°，若△F1PF2的面积为4 ，则a＝ .
2
解析：法一　不妨设P点在第一象限，如图，根据双曲线
定义可得｜PF1｜－｜PF2｜＝2a，且｜F1F2｜＝2c.由
离心率为2可得 ＝2，即c＝2a，所以｜F1F2｜＝4a.
设｜PF2｜＝m＞0，则｜PF1｜＝2a＋m，由△F1PF2的
面积为4 可得 ｜PF1｜·｜PF2｜· sin ∠F1PF2＝ m（2a＋m）× ＝
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4 ，解得m（2a＋m）＝16.利用余弦定理可得 cos ∠F1PF2＝
＝－ ，即 ＝－ ，整理可得2m2＋4am－12a2＝－m（2a＋m），即12a2＝3m（2a＋m），所以12a2＝48，解得a＝2.
法二　因为e＝2，所以e2＝1＋ ＝4，则 ＝3.因为点P在双曲线上，
∠F1PF2＝120°，△F1PF2的面积为4 ，所以 ＝ ＝ ＝
4 ，所以b2＝12，又 ＝3，所以a2＝4，a＝2.
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9. 设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l：4x－5y＋4＝0与C的一个交
点为M，直线MF与C的另一个交点为N，则｜MN｜＝ .

解析：由 得4x2－17x＋4＝0，解得x＝ 或x＝4，所
以点M（ ，1）或M（4，4）.焦点F（1，0）.
法一（定义法）　设N（x0，y0），当M（ ，1）时，由 x0＝1，得x0＝4，所以｜MN｜＝x0＋ ＋p＝4＋ ＋2＝ ；当M（4，4）时，由4x0＝1，得x0＝ ，所以｜MN｜＝x0＋4＋p＝ ＋4＋2＝ .综上，｜MN｜＝ .
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法二（结论法）　当M的坐标为（ ，1）时，kMF＝ ＝－ ，设直线
MF的倾斜角为α，则tan α＝－ ，所以 sin α＝ ，所以｜MN｜＝
＝ ＝ ；当M的坐标为（4，4）时，kMF＝ ，由对称性可得｜MN｜
＝ .综上，｜MN｜＝ .
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