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微突破3　圆锥曲线中非对称韦达定理的应用
（时间：45分钟，满分：52分）
解答题（共52分）
1.（10分）设双曲线C：－y2＝1（a＞0）与直线l：x＋y＝1相交于不同的点A，B，直线l与y轴的交点为P，且＝，求a的值.
2.（10分）已知椭圆＋＝1，设P（0，1），A，B为椭圆的左、右顶点，过A作斜率为k1的直线交椭圆于点E，连接EP并延长交椭圆于点F，记直线BF的斜率为k2，若k1＝3k2，求直线EF的方程.
3.（15分）已知圆C：（x＋1）2＋y2＝8，圆心C（－1，0），定点A（1，0），M为圆上动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足＝2，·＝0，点N的轨迹为曲线E.
（1）求曲线E的方程；
（2）过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G，H（点G在点F，H之间），且满足＝λ，求λ的取值范围.
4.（17分）双曲线C：－＝1（a＞0，b＞0）上一点D（6，）到左、右焦点的距离之差为6.
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知A（－3，0），B（3，0），过点（5，0）的直线l与C交于M，N（异于A，B）两点，直线MA与NB交于点P，试问点P到直线x＝－2的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
微突破3　圆锥曲线中非对称韦达定理的应用
1.解：易得P（0，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），
故＝（x1，y1－1），＝（x2，y2－1）.
由C与l相交于两个不同的点，
联立得（1－a2）x2＋2a2x－2a2＝0，
得x1＋x2＝－，x1x2＝－且1－a2≠0，
由＝知，（x1，y1－1）＝（x2，y2－1），则有x1＝x2，即＝，
取倒数相加，得＋＝＋，
则＋＋2＝＝，
将x1＋x2＝－，x1x2＝－代入上式得－＝，解得a＝.
2.解：由题意，直线EF的斜率显然存在，设直线EF的方程为y＝kx＋1，E（x1，y1），F（x2，y2），由得（2k2＋1）x2＋4kx－2＝0，
由题意知Δ＞0，所以x1＋x2＝－，x1x2＝，
因为k1＝3k2，所以＝，
将y1＝kx1＋1，y2＝kx2＋1代入，得＝，
化简得2kx1x2＋（2k＋3）x1＋（6k－1）x2＋8＝0　（*），
又因为2kx1x2＝－＝x1＋x2，
所以x2＝－－x1，
把其代入（*）式得（1－k）（x1＋）＝0，
所以1－k＝0或x1＋＝0（舍去），所以k＝1，所以直线EF的方程为y＝x＋1.
3.解：（1）∵＝2，·＝0.
∴｜NA｜＝｜NM｜.
又∵｜CN｜＋｜NM｜＝2，
∴｜CN｜＋｜AN｜＝2＞2＝｜AC｜，
∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆，且椭圆长轴长为2a＝2，焦距2c＝2，即a＝，c＝1，则b2＝1.
∴曲线E的方程为＋y2＝1.
（2）当直线GH斜率存在时，设直线GH的方程为y＝kx＋2，k≠0，
代入椭圆方程＋y2＝1，得（＋k2）x2＋4kx＋3＝0，
由Δ＞0得k2＞.
设G（x1，y1），H（x2，y2），则x1＋x2＝＝　①，
x1x2＝＝　②，
∵＝λ，
∴（x1，y1－2）＝λ（x2，y2－2），
∴x1＝λx2，∴λ＝，
得，λ＋＋2＝＝.
∵k2＞，∴4＜＜，
∴4＜λ＋＋2＜，
解得＜λ＜3且λ≠1，
∵点G在点F，H之间，
∴0＜λ＜1，∴＜λ＜1；
当直线HG斜率不存在时，直线方程为x＝0，＝，λ＝.
综上，≤λ＜1，λ的取值范围为［，1）.
4.解：（1）依题意可得解得
故双曲线C的方程为－y2＝1.
（2）由题意可得直线l的斜率不为0，设直线l的方程为x＝my＋5，
联立
消去x，得（m2－9）y2＋10my＋16＝0，
则m2－9≠0，Δ＝（10m）2－4×16（m2－9）＝36（m2＋16）＞0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1＋y2＝，y1y2＝，
又A（－3，0），B（3，0），
直线AM：y＝（x＋3），
直线BN：y＝（x－3），
联立两式相除，得＝＝＝＝＝＝＝－4，
即＝－4，解得x＝，
所以点P在定直线x＝上，
因为直线x＝与直线x＝－2之间的距离为＋2＝，
所以点P到直线x＝－2的距离为定值，且定值为.
2 / 2微突破3　圆锥曲线中非对称韦达定理的应用
【备考指南】　在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去x或y，得到一个一元二次方程，往往能够利用韦达定理来快速处理｜x1－x2｜，＋，＋之类的结构，但在有些问题中，我们会遇到涉及x1，x2的不同系数的代数式的运算，比如求，或λx1＋μx2之类的结构，我们把这种系数不对等的结构，称为“非对称韦达结构”.
类型一　分式型
【通性通法】　分式结构的常规处理方法有和积转化法和配凑法，将其转化为对称结构计算.
【例1】　已知点F为椭圆E：＋＝1的右焦点，A，B分别为其左、右顶点，过F作直线l与椭圆交于M，N两点（不与A，B重合），记直线AM与BN的斜率分别为k1，k2，证明为定值.
【训练1】　设A1（－2，0），A2（2，0），过点（3，0）的直线l与曲线C：－＝1（x≥2）交于A，B两点（点A在x轴上方），P为直线A1A，A2B的交点，当点P的纵坐标为时，求直线l的方程.
类型二　比值型
【通性通法】　比值型问题适用于x1＝λx2型，可以采用倒数相加，但有时得到的可能不是这种形式，而是x1＝λx2＋k的形式，此时采用待定系数法，例如x1＝－3x2＋4，可以转化x1－1＝－3（x2－1），得到＝－3，继续采用倒数相加解决.
【例2】　已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点，焦点为F，点P（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上.
（1）写出该抛物线的方程及其准线方程；
（2）若＝2，求直线AB的斜率.
【训练2】　已知椭圆E：＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若过右焦点F2的直线l与椭圆E交于B，C两点，E的右顶点记为A，AB∥CF1，求直线l的方程.
微突破3　圆锥曲线中非对称韦达定理的应用
【典例·讲解】
【例1】　证明：由题知，A（－2，0），B（2，0），设l：x＝ty＋1，M（x1，y1），N（x2，y2），则k1＝，k2＝，联立消x得（4＋3t2）y2＋6ty－9＝0，且Δ＞0，
则
法一（和积转化法）　则ty1y2＝（y1＋y2）.
＝＝＝＝，为定值，得证.
法二（配凑法）　因此＝
＝
＝＝，为定值，得证.
【训练1】　解：设l：x＝my＋3，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立化简得（5m2－4）y2＋30my＋25＝0，5m2－4≠0，
则Δ＝900m2－100（5m2－4）＞0，
y1＋y2＝，y1y2＝，
直线AA1：y＝（x＋2），直线BA2：y＝（x－2），
联立直线AA1与直线BA2的方程可得＝＝＝.
法一（和积转化法）　因为my1y2＝－（y1＋y2），所以＝＝－5.
由＝－5，可得x＝，故点P（，），
直线AA1的斜率为＝，联立消去x化简得y2－2y＝0，
解得y1＝2，x1＝6，故A（6，2），则m＝＝＝，
故直线l的方程为x＝y＋3，即2x－3y－6＝0.
法二（配凑法）　因为my1y2＝－（y1＋y2），
所以
＝
＝
＝＝－5.
下同法一.
【例2】　解：（1）由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），
因为点P（1，2）在抛物线上，所以22＝2p×1，解得p＝2.
故抛物线的方程是y2＝4x，其准线方程是x＝－1.
（2）由（1）可知F（1，0），A（x1，y1），B（x2，y2），
则直线AB的方程可设为x＝ty＋1，联立
整理得y2－4ty－4＝0，所以y1＋y2＝4t，y1y2＝－4.
又＝2，即（1－x1，－y1）＝2（x2－1，y2），
可得－y1＝2y2，即＝－2，则＋＝－2＝－，
即－2＝－，解得t＝±，故kAB＝＝±2.
【训练2】　解：设C（x1，y1），B（x2，y2），
因为AB∥CF1，｜F1F2｜∶｜F2A｜＝2∶1，所以y1＝－2y2，
设直线l的方程为x＝my＋1，
联立
整理得（3m2＋4）y2＋6my－9＝0，
则
法一　因为＝－2，
所以＋＝－2＝－，
即－2＝－，解得m＝±.
所以直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.
法二　把y1＝－2y2代入得
得＝＝，
解得m＝±，
所以直线l的方程为x＋y－1＝0或x－y－1＝0.
2 / 2(共29张PPT)
微突破3　
圆锥曲线中非对称韦达定理的应用
备考指南
在圆锥曲线问题中，我们联立直线和圆锥曲线方程，消去x或y，得到一个一元二次方程，往往能够利用韦达定理来快速处理｜x1－x2｜， ＋ ， ＋ 之类的结构，但在有些问题中，我们会遇到涉及x1，x2的不同系数的代数式的运算，比如求 ， 或λx1＋μx2之类的结构，我们把这种系数不对等的结构，称为“非对称韦达结构”.
典例·讲解 典例精析 强技提能
一
课后·训练 巩固强化 综合测评
二
目录 /
CONTENTS
典例·讲解
典例精析 强技提能
类型一　分式型
【例1】　已知点F为椭圆E： ＋ ＝1的右焦点，A，B分别为其左、
右顶点，过F作直线l与椭圆交于M，N两点（不与A，B重合），记直线
AM与BN的斜率分别为k1，k2，证明 为定值.
【通性通法】　分式结构的常规处理方法有和积转化法和配凑法，将其转化为对称结构计算.
证明：由题知，A（－2，0），B（2，0），设l：x＝ty＋1，M（x1，
y1），N（x2，y2），则k1＝ ，k2＝ ，联立 消x得
（4＋3t2）y2＋6ty－9＝0，且Δ＞0，则
法一（和积转化法）　则ty1y2＝ （y1＋y2）.
＝ ＝ ＝ ＝ ，为定值，得证.
法二（配凑法）　因此 ＝ ＝ ＝
＝ ，为定值，得证.
【训练1】　设A1（－2，0），A2（2，0），过点（3，0）的直线l与曲线
C： － ＝1（x≥2）交于A，B两点（点A在x轴上方），P为直线
A1A，A2B的交点，当点P的纵坐标为 时，求直线l的方程.
解：设l：x＝my＋3，A（x1，y1），B（x2，y2），
联立 化简得（5m2－4）y2＋30my＋25＝
0，5m2－4≠0，
则Δ＝900m2－100（5m2－4）＞0，
y1＋y2＝ ，y1y2＝ ，
直线AA1：y＝ （x＋2），直线BA2：y＝ （x－2），
联立直线AA1与直线BA2的方程可得 ＝ ＝ ＝
.
法一（和积转化法）　因为my1y2＝－ （y1＋y2），所以 ＝
＝－5.
由 ＝－5，可得x＝ ，故点P（ ， ），
直线AA1的斜率为 ＝ ，联立 消去x化简得y2－2 y＝0，
解得y1＝2 ，x1＝6，故A（6，2 ），则m＝ ＝ ＝ ，
故直线l的方程为x＝ y＋3，即2 x－3y－6 ＝0.
法二（配凑法）　因为my1y2＝－ （y1＋y2），
所以 ＝ ＝ ＝
＝－5.
下同法一.
类型二　比值型
【例2】　已知抛物线关于x轴对称，顶点在坐标原点，焦点为F，点P
（1，2），A（x1，y1），B（x2，y2）均在抛物线上.
（1）写出该抛物线的方程及其准线方程；
【通性通法】　比值型问题适用于x1＝λx2型，可以采用倒数相加，但有时得到的可能不是这种形式，而是x1＝λx2＋k的形式，此时采用待定系数法，例如x1＝－3x2＋4，可以转化x1－1＝－3（x2－1），得到 ＝－3，继续采用倒数相加解决.
解： 由已知条件，可设抛物线的方程为y2＝2px（p＞0），
因为点P（1，2）在抛物线上，所以22＝2p×1，解得p＝2.
故抛物线的方程是y2＝4x，其准线方程是x＝－1.
（2）若 ＝2 ，求直线AB的斜率.
解： 由（1）可知F（1，0），A（x1，y1），B（x2，y2），
则直线AB的方程可设为x＝ty＋1，联立
整理得y2－4ty－4＝0，所以y1＋y2＝4t，y1y2＝－4.
又 ＝2 ，即（1－x1，－y1）＝2（x2－1，y2），
可得－y1＝2y2，即 ＝－2，则 ＋ ＝ －2＝－ ，
即 －2＝－ ，解得t＝± ，故kAB＝ ＝±2 .
【训练2】　已知椭圆E： ＋ ＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若过右
焦点F2的直线l与椭圆E交于B，C两点，E的右顶点记为A，AB∥CF1，
求直线l的方程.
解：设C（x1，y1），B（x2，y2），
因为AB∥CF1，｜F1F2｜∶｜F2A｜＝2∶1，
所以y1＝－2y2，
设直线l的方程为x＝my＋1，
联立 整理得（3m2＋4）y2＋6my－9＝0，则
法一　因为 ＝－2，所以 ＋ ＝ －2＝－ ，
即 －2＝－ ，解得m＝± .
所以直线l的方程为x＋ y－1＝0或x－ y－1＝0.
法二　把y1＝－2y2代入得
得 ＝ ＝ ，解得m＝± ，
所以直线l的方程为x＋ y－1＝0或x－ y－1＝0.
课后·训练
巩固强化 综合测评
（时间：45分钟，满分：52分）
解答题（共52分）
1. （10分）设双曲线C： －y2＝1（a＞0）与直线l：x＋y＝1相交于不
同的点A，B，直线l与y轴的交点为P，且 ＝ ，求a的值.
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解：易得P（0，1），设A（x1，y1），B（x2，y2），
故 ＝（x1，y1－1）， ＝（x2，y2－1）.
由C与l相交于两个不同的点，
联立 得（1－a2）x2＋2a2x－2a2＝0，
得x1＋x2＝－ ，x1x2＝－ 且1－a2≠0，
由 ＝ 知，（x1，y1－1）＝ （x2，y2－1），则有x1＝ x2，即
＝ ，
取倒数相加，得 ＋ ＝ ＋ ，
则 ＋ ＋2＝ ＝ ，
将x1＋x2＝－ ，x1x2＝－ 代入上式得－ ＝ ，解得a＝ .
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2. （10分）已知椭圆 ＋ ＝1，设P（0，1），A，B为椭圆的左、右
顶点，过A作斜率为k1的直线交椭圆于点E，连接EP并延长交椭圆于点
F，记直线BF的斜率为k2，若k1＝3k2，求直线EF的方程.
解：由题意，直线EF的斜率显然存在，设直线EF的方程为y＝kx＋1，
E（x1，y1），F（x2，y2），由 得（2k2＋1）x2＋4kx－
2＝0，
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由题意知Δ＞0，所以x1＋x2＝－ ，x1x2＝ ，
因为k1＝3k2，所以 ＝ ，
将y1＝kx1＋1，y2＝kx2＋1代入，得 ＝ ，
化简得2kx1x2＋（2k＋3）x1＋（6k－1）x2＋8＝0　（*），
又因为2kx1x2＝－ ＝x1＋x2，
所以x2＝－ －x1，
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把其代入（*）式得（1－k）（x1＋ ）＝0，
所以1－k＝0或x1＋ ＝0（舍去），所以k＝1，所以直线EF的方程
为y＝x＋1.
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3. （15分）已知圆C：（x＋1）2＋y2＝8，圆心C（－1，0），定点A
（1，0），M为圆上动点，点P在AM上，点N在CM上，且满足 ＝
2 ， · ＝0，点N的轨迹为曲线E.
（1）求曲线E的方程；
解： ∵ ＝2 ， · ＝0.
∴｜NA｜＝｜NM｜.
又∵｜CN｜＋｜NM｜＝2 ，
∴｜CN｜＋｜AN｜＝2 ＞2＝｜AC｜，
∴动点N的轨迹是以点C（－1，0），A（1，0）为焦点的椭圆，且椭圆
长轴长为2a＝2 ，焦距2c＝2，即a＝ ，c＝1，则b2＝1.
∴曲线E的方程为 ＋y2＝1.
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（2）过定点F（0，2）的直线交曲线E于不同的两点G，H（点G在点
F，H之间），且满足 ＝λ ，求λ的取值范围.
解：当直线GH斜率存在时，设直线GH的方程为y＝kx＋2，k≠0，
代入椭圆方程 ＋y2＝1，得（ ＋k2）x2＋4kx＋3＝0，
由Δ＞0得k2＞ .
设G（x1，y1），H（x2，y2），则x1＋x2＝ ＝ 　①，
x1x2＝ ＝ 　②，
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∵ ＝λ ，∴（x1，y1－2）＝λ（x2，y2－2），
∴x1＝λx2，∴λ＝ ，
得，λ＋ ＋2＝ ＝ .
∵k2＞ ，∴4＜ ＜ ，∴4＜λ＋ ＋2＜ ，解得 ＜λ＜3且
λ≠1，
∵点G在点F，H之间，∴0＜λ＜1，∴ ＜λ＜1；
当直线HG斜率不存在时，直线方程为x＝0， ＝ ，λ＝ .
综上， ≤λ＜1，λ的取值范围为［ ，1）.
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4. （17分）双曲线C： － ＝1（a＞0，b＞0）上一点D（6， ）
到左、右焦点的距离之差为6.
（1）求双曲线C的方程；
解： 依题意可得 解得
故双曲线C的方程为 －y2＝1.
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解：由题意可得直线l的斜率不为0，设直线l的方程
为x＝my＋5，
联立 消去x，得（m2－9）y2＋10my＋16＝0，
则m2－9≠0，Δ＝（10m）2－4×16（m2－9）＝36（m2＋16）＞0，
设M（x1，y1），N（x2，y2），则y1＋y2＝ ，y1y2＝ ，
又A（－3，0），B（3，0），
（2）已知A（－3，0），B（3，0），过点（5，0）的直线l与C交于
M，N（异于A，B）两点，直线MA与NB交于点P，试问点P到直线x＝
－2的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.
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直线AM：y＝ （x＋3），直线BN：y＝ （x－3），
联立 两式相除，得 ＝ ＝
＝ ＝ ＝
＝ ＝－4，即 ＝－4，解得x＝ ，
所以点P在定直线x＝ 上，
因为直线x＝ 与直线x＝－2之间的距离为 ＋2＝ ，
所以点P到直线x＝－2的距离为定值，且定值为 .
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