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浙江省杭州市2025-2026学年八年级上学期数学开学摸底考试
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025八上·杭州开学考）要使分式有意义，的取值应满足（　　）
A． B． C． D．
2．（2025八上·杭州开学考）甲骨文主要流行于商周时期，是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（　　）
A．杯 B．立 C．比 D．曲
3．（2025八上·杭州开学考） 下列调查中，适合全面调查的是 (　　)
A．某班级学生的视力水平
B．端午节期间市场上粽子的质量情况
C．新城河的水质情况
D．一批日光灯的使用寿命
4．（2025八上·杭州开学考）如图所示，∠B与∠3是一对（　　）
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角
5．（2025八上·杭州开学考）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（2025八上·杭州开学考）某款风味酸牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的4倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共37g．设蛋白质、脂肪的含量分别为（g），（g），可列出方程（　　）
A． B． C． D．
7．（2025八上·杭州开学考）下列变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
8．（2025八上·杭州开学考）不改变分式的值，把它的分子与分母中的系数化为整数，下列式子正确的是（　　）
A． B． C． D．
9．（2025八上·杭州开学考）绿色出行，健康出行，你我同行．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中、都与地面平行，与平行，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
10．（2025八上·杭州开学考） 已知关于x，y的方程组，甲同学看错了字母a解得；乙同学看错了字母b解得，则该方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11．（2025八上·杭州开学考）因式分解： =　 　.
12．（2025八上·杭州开学考）若分式 的值为0，则x=　 　．
13．（2025八上·杭州开学考）生物学家发现一种病毒，其长度约为0.00000032米，数据0.00000032用科学记数法表示为　 　.
14．（2025八上·杭州开学考）在一个不透明的袋子里有若干个白球，为估计白球个数，小东向其中投入10个黑球（与白球除颜色外均相同），搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有25次摸到黑球．请你估计这个袋中有　 　个白球．
15．（2025八上·杭州开学考）已知，是二元一次方程组的解，则的值为　 　．
16．（2025八上·杭州开学考）如图，直线AB∥CD∥EF，如果∠A+∠ADF＝208°，那么∠F＝　 　．
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2025八上·杭州开学考）计算：
（1）
（2）
18．（2025八上·杭州开学考）
（1）化简：；
（2）解方程组：．
19．（2025八上·杭州开学考）先化简，然后在2，3，4中选择一个合适的值作为x并代入求值．
20．（2025八上·杭州开学考）为了解某区七年级男生的身体素质情况，随机抽取了名男生进行短跑测试，将测试成绩(精确到秒)绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直方图(每组不含前一个边界值，含后一个边界值)．
名男生短跑成绩的频数表
组别(秒) 频数 频率
合计
名男生短跑成绩的频数直方图
根据表中提供的信息解答下列问题：
（1）频数表中，　 　，　 　，　 　．
（2）把频数直方图补充完整．
（3）若该区七年级共有名男生，请估计短跑成绩小于或等于秒的人数．
21．（2025八上·杭州开学考）如图，已知，．
（1）求证：
（2）若，，求的度数．
22．（2025八上·杭州开学考）临近期末，班级想给优秀的学生准备奖品，奖品分为甲套餐与乙套餐，已知购买个甲套餐比购买个乙套装少用元，用元购买甲套餐和用元购买乙套餐的个数相同．
（1）求这两种套餐的单价分别为多少元；
（2）班级计划用元经费购进甲套餐与乙套餐两种奖品，要求每种套餐至少购进种且刚好用完经费，请你设计进货方案．
23．（2025八上·杭州开学考）小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式进行因式分解．小磊认为该整式一定有一个因式，小轩认为必有因式是，两人找到老师寻求帮助．老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算．若整式A能被整式B整除，则B必为A的一个因式．老师给出了演算方法：
（1）观察老师的演算后，你认为　 　同学的想法是对的；
（2）已知多项式的其中一个因式为，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式进行因式分解；
（3）若多项式能因式分解成与另一个完全平方式，求与的值．
24．（2025八上·杭州开学考）如图1，AB//CD，点E在线段CD上，AE与BC相交于点F，连结DF，BD。
（1）若∠AEC=54°，∠ABD=126°，试判段AE与BD是否平行，并说明理由。
（2）若∠A=a，∠C=β，请用a和B表示∠AFC的度数，并说明你的理由。
（3）如图2，已知∠DBF和∠BDF的角平分线相交于点G。求∠BGD与∠BFD的数量关系。
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意，得：，
∴；
故选：D．
【分析】根据分式的分母不为0时，分式有意义，即进行求解即可
2．【答案】C
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：由平移的性质知，只有C是利用图形的平移得到的，
故答案为：C．
【分析】根据图形的平移的定义逐一判断求解． 某一基本的平面图形沿着一定的方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移 ．
3．【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、某班级学生的视力水平，适合全面调查，A符合题意；
B、端午节期间市场上粽子的质量情况，适合抽样调查，B不符合题意；
C、新城河的水质情况，适合抽样调查，C不符合题意；
D、一批日光灯的使用寿命，适合抽样调查，D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据全面调查、抽样调查的特点逐项判断即可.
4．【答案】C
【知识点】同位角、内错角与同旁内角
【解析】【解答】根据定义，知两个角是一对同旁内角．
故选：C．
【分析】
同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角；内错角：两个角在截线的两旁，又分别处在被截的两条直线异侧的位置的角；同旁内角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线异侧的位置的角；对顶角：有相同顶点，且两条边互为反向延长线的两个角．
5．【答案】B
【知识点】整式的加减运算；同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：解：中与不是同类项，不能合并，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误．
故答案为：B．
【分析】（1）利用合并同类项法则求解；
（2）利用同底数幂相乘的法则计算；
（3）利用幂的乘方法则计算；
（4）利用同底数幂相除的法则计算．
6．【答案】A
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】解：设蛋白质、眉肪的含量分别为（g），（g），则碳水化合物含量为（g），
∵碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共37g，
∴可列方程为：，即：．
故答案为：A．
【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程，正确找出等量关系式是列出二元一次方程的关键．本题的等量关系式是：碳水化合物含量+蛋白质含量+脂肪的含量=37g.
7．【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、不是几个单项式相乘，故不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、是2个单项式相乘，故是因式分解，故本选项符合题意；
C、不是几个单项式相乘，故不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、不是几个单项式相乘，故不是因式分解，故本选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】因式分解是指将一个多项式写成几个整式积的形式．根据因式分解的概念逐一进行分析即可．
8．【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：，
故答案为：A．
【分析】根据分式的性质，分子分母同时乘以10即可求解．
9．【答案】D
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据平行得到，，解题即可．
10．【答案】A
【知识点】二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解，需要同时满足二元一次方程组中各个方程
∴甲同学看错字母a解得 可代入方程x+by=3，解得b=-1
∴乙同学看错字母b解得可代入方程ax+2y=-5，解得a=-1
∴正确的二元一次方程组为，解得 ，A正确.
故答案为：A.
【分析】本题考查二元一次方程组的解的概念，需要同时满足二元一次方程组中的各个方程，因此即使看错其中一个方程，解出的值仍适用于另一个方程，代入便可求出字母a，b的值，从而求解出正确的解。
11．【答案】a（b+2）（b-2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】先提公因式a，再利用平方差公式即可因式分解.
12．【答案】-3
【知识点】分式的值为零的条件；解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵分式 的值为零，
∴ ，
解得x=-3．
故答案为：-3
【分析】根据分式值为0的条件：分母不等于0，且分子为0，建立方程和不等式求解即可。
13．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00000032=3.2× ；
故答案为： .
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
14．【答案】30
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：由题意可得，
袋中球的总数为： ，
则白球约为40 10＝30（个），
故答案是：30．
【分析】根据黑球个数和出现的频率，可以计算出总的球数，然后即可计算出白球的个数，本题得以解决。
15．【答案】9
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：把代入方程组，得：，
解得：，
∴；
故答案为：9．
【分析】由方程组解的概念可得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组可得到a与b的值，则所求代数式的值可求．
16．【答案】28°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：延长CD到H．如图
∵AB∥CH，
∴∠A+∠ADH＝180°，
∠ADF=∠ADH+∠HDF
∵∠A+∠ADF＝208°，即∠A+∠ADH+∠HDF＝208°
∴∠HDF＝208°﹣180°＝28°，
∵EF∥CH，
∴∠F＝∠HDF＝28°．
故答案为：28°
【分析】延长CD到H。根据两直线平行同旁内角互补得∠A+∠ADH＝180°，结合 ∠A+∠ADF＝208° 得到∠HDF=28°，再根据根据两直线平行内错角相可求出∠F。
17．【答案】（1）解：
，
（2）解：
【知识点】整式的混合运算；整数指数幂的运算
【解析】【分析】（1）先利用有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂的运算法则分别进行运算，再进行加减运算，即可解题；
（2）先利用平方差公式、完全平方公式进行计算，再合并同类项即可．
18．【答案】（1）解：原式
（2）解：
得：，解得：，
把代入得：，解得：，
∴方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；同分母分式的加、减法
【解析】【分析】（）先变成同分母分式相加减，再进行计算即可；
（）方程组利用加减消元法求解即可；
19．【答案】解：
．
∵，，
∴当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先将括号中两项通分，利用同分母分式的减法法则计算，再将除法转化为乘法，约分得到最简结果，再将值代入求值．
20．【答案】（1）50；20；0.1
（2）解：补全图形如下：
（3）解：人，
答：估计短跑成绩小于或等于秒的人数约为人
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用样本的频数估计总体的频数
【解析】【解答】解：（1），，
，
故答案为：、、；
【分析】（1）根据题意总人数是200，根据频数=总数×频率；则a=200×0.25； b=总人数减去其他组的频数； c=b÷总人数
（2）根据所求a、b的值即可补全图形；
（3）样本中短跑成绩小于或等于13.5秒频率是0.1+0.25=0.35，总人数乘以该频率得到 100m短跑成绩小于或等于13.5秒的人数．
21．【答案】（1）证明：
又
，
（2）解：在三角形AEF中，
∠EFA=∠EBA+∠2
∵
∴∠2=44°
，
，
，
即
【知识点】平行线的判定与性质；三角形外角的概念及性质；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】（1）先根据得到，结合证明，从而得到，
（2）根据三角形外角等于不相邻的两个内角和及 ，先求出∠2的度数。先证明，进而证明，即可求出．
22．【答案】（1）解：设甲种套餐的单价为元，则乙种套餐的单价为元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
，
甲种套餐的单价为元，乙种套餐的单价为元；
（2）解：设甲种套餐购进套，乙种套餐购进套，
根据题意得，
，
，为正整数，
或或，
有三种进货方案：甲种套餐购进套，乙种套餐购进套或甲种套餐购进套，乙种套餐购进套或甲种套餐购进套，乙种套餐购进套．
【知识点】二元一次方程的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种套餐的单价为x元，根据用450元购买甲套餐和用810元购买乙套餐的个数相同列出分式方程得：，解方程并检验得出答案；
（2）设甲种套餐购进m套，乙种套餐购进n套，根据题意列出二元一次方程得50m+90n=1800，求出方程的正整数解即可
23．【答案】（1）小磊
（2）解：根据题意得：
∴将多项式进行因式分解为：
（3）解：根据题意得：
∴
∵多项式能因式分解成与另一个完全平方式，
∴是一个完全平方式，
∴，
∴，
n=m+4=4．
∴m=0， n=4
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】（1）解：根据题意可得：，
，
∴该整式一定有一个因式，没有因式是，
∴小磊同学的想法是对的；
【分析】（1）根据题意观察老师列的竖式发现原式除以（x+2）没有余数，原式除以（x-2）有余数，说明没有余数的是对的。
（2）根据老师提供的方法进行结合整数的竖式除法解答即可；
（3）根据题意列出竖式，得出，，根据多项式能因式分解成与另一个完全平方式，即是一个完全平方。得出，求出m=0、然后把m=0代入n-（m+4）中求出n的值．
24．【答案】（1）解：如图 1，AE // BD。
∵AB //CD，
∴∠A=∠AEC=54°。
∵∠ABD=126°，
∴∠A+∠ABD=180°。
∴AE //BD
（2）解：∵AB//CD，
∴∠CBA=∠C=β，∠EAB=a，
∴∠AFC=∠EAB+∠CBA=α+β
（3）解：如图2，
设，，由上题可得。
和 的角平分线相交于点 G，
，。
。
。
，
，即.
∴.
【知识点】角平分线的概念；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）根据题干线平行条件得到（两直线平行，内错角相等），然后通过（同旁内角互补，两直线平行）可判断 AE与BD平行；
（2）可视为的一个外角，根据外角和定理，其等于∠EAB与∠CBA之和，然后根据平行条件可得∠EAB与∠CBA之和实际为α+β，从而得到∠AFC=α+β；
（3）设，，运用（2）的结论得到，然后由图可知∠BGD的构成（），由可得到以x、y表达出，从而将 ∠BGD与∠BFD通过等量关系连接起来，最终得到答案.
1 / 1浙江省杭州市2025-2026学年八年级上学期数学开学摸底考试
一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（2025八上·杭州开学考）要使分式有意义，的取值应满足（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由题意，得：，
∴；
故选：D．
【分析】根据分式的分母不为0时，分式有意义，即进行求解即可
2．（2025八上·杭州开学考）甲骨文主要流行于商周时期，是迄今为止中国发现的年代最早的成熟文字系统，是汉字的源头和中华优秀传统文化的根脉，下列甲骨文中，能用其中一部分平移得到的是（　　）
A．杯 B．立 C．比 D．曲
【答案】C
【知识点】图形的平移
【解析】【解答】解：由平移的性质知，只有C是利用图形的平移得到的，
故答案为：C．
【分析】根据图形的平移的定义逐一判断求解． 某一基本的平面图形沿着一定的方向移动，这种图形的平行移动，简称为平移 ．
3．（2025八上·杭州开学考） 下列调查中，适合全面调查的是 (　　)
A．某班级学生的视力水平
B．端午节期间市场上粽子的质量情况
C．新城河的水质情况
D．一批日光灯的使用寿命
【答案】A
【知识点】全面调查与抽样调查
【解析】【解答】解：A、某班级学生的视力水平，适合全面调查，A符合题意；
B、端午节期间市场上粽子的质量情况，适合抽样调查，B不符合题意；
C、新城河的水质情况，适合抽样调查，C不符合题意；
D、一批日光灯的使用寿命，适合抽样调查，D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】根据全面调查、抽样调查的特点逐项判断即可.
4．（2025八上·杭州开学考）如图所示，∠B与∠3是一对（　　）
A．同位角 B．内错角 C．同旁内角 D．对顶角
【答案】C
【知识点】同位角、内错角与同旁内角
【解析】【解答】根据定义，知两个角是一对同旁内角．
故选：C．
【分析】
同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角；内错角：两个角在截线的两旁，又分别处在被截的两条直线异侧的位置的角；同旁内角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线异侧的位置的角；对顶角：有相同顶点，且两条边互为反向延长线的两个角．
5．（2025八上·杭州开学考）下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】整式的加减运算；同底数幂的乘法；同底数幂的除法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：解：中与不是同类项，不能合并，故A错误；
，故B正确；
，故C错误；
，故D错误．
故答案为：B．
【分析】（1）利用合并同类项法则求解；
（2）利用同底数幂相乘的法则计算；
（3）利用幂的乘方法则计算；
（4）利用同底数幂相除的法则计算．
6．（2025八上·杭州开学考）某款风味酸牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的4倍，碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共37g．设蛋白质、脂肪的含量分别为（g），（g），可列出方程（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程
【解析】【解答】解：设蛋白质、眉肪的含量分别为（g），（g），则碳水化合物含量为（g），
∵碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共37g，
∴可列方程为：，即：．
故答案为：A．
【分析】本题考查根据实际问题列二元一次方程，正确找出等量关系式是列出二元一次方程的关键．本题的等量关系式是：碳水化合物含量+蛋白质含量+脂肪的含量=37g.
7．（2025八上·杭州开学考）下列变形是因式分解的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】因式分解的概念
【解析】【解答】解：A、不是几个单项式相乘，故不是因式分解，故本选项不符合题意；
B、是2个单项式相乘，故是因式分解，故本选项符合题意；
C、不是几个单项式相乘，故不是因式分解，故本选项不符合题意；
D、不是几个单项式相乘，故不是因式分解，故本选项不符合题意；
故答案为：B.
【分析】因式分解是指将一个多项式写成几个整式积的形式．根据因式分解的概念逐一进行分析即可．
8．（2025八上·杭州开学考）不改变分式的值，把它的分子与分母中的系数化为整数，下列式子正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】分式的基本性质
【解析】【解答】解：，
故答案为：A．
【分析】根据分式的性质，分子分母同时乘以10即可求解．
9．（2025八上·杭州开学考）绿色出行，健康出行，你我同行．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中、都与地面平行，与平行，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据平行得到，，解题即可．
10．（2025八上·杭州开学考） 已知关于x，y的方程组，甲同学看错了字母a解得；乙同学看错了字母b解得，则该方程组的解为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程（组）的错解复原问题
【解析】【解答】解：∵关于x，y的二元一次方程组的解，需要同时满足二元一次方程组中各个方程
∴甲同学看错字母a解得 可代入方程x+by=3，解得b=-1
∴乙同学看错字母b解得可代入方程ax+2y=-5，解得a=-1
∴正确的二元一次方程组为，解得 ，A正确.
故答案为：A.
【分析】本题考查二元一次方程组的解的概念，需要同时满足二元一次方程组中的各个方程，因此即使看错其中一个方程，解出的值仍适用于另一个方程，代入便可求出字母a，b的值，从而求解出正确的解。
二、填空题：本大题有6个小题，每小题3分，共18分．
11．（2025八上·杭州开学考）因式分解： =　 　.
【答案】a（b+2）（b-2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解-平方差公式
【解析】【解答】解： ，
故答案为： .
【分析】先提公因式a，再利用平方差公式即可因式分解.
12．（2025八上·杭州开学考）若分式 的值为0，则x=　 　．
【答案】-3
【知识点】分式的值为零的条件；解含绝对值符号的一元一次方程
【解析】【解答】解：∵分式 的值为零，
∴ ，
解得x=-3．
故答案为：-3
【分析】根据分式值为0的条件：分母不等于0，且分子为0，建立方程和不等式求解即可。
13．（2025八上·杭州开学考）生物学家发现一种病毒，其长度约为0.00000032米，数据0.00000032用科学记数法表示为　 　.
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：0.00000032=3.2× ；
故答案为： .
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定.
14．（2025八上·杭州开学考）在一个不透明的袋子里有若干个白球，为估计白球个数，小东向其中投入10个黑球（与白球除颜色外均相同），搅拌均匀后随机摸出一个球，记下颜色，再把它放入袋中，不断重复这一过程，共摸球100次，发现有25次摸到黑球．请你估计这个袋中有　 　个白球．
【答案】30
【知识点】利用频率估计概率；概率的简单应用
【解析】【解答】解：由题意可得，
袋中球的总数为： ，
则白球约为40 10＝30（个），
故答案是：30．
【分析】根据黑球个数和出现的频率，可以计算出总的球数，然后即可计算出白球的个数，本题得以解决。
15．（2025八上·杭州开学考）已知，是二元一次方程组的解，则的值为　 　．
【答案】9
【知识点】求代数式的值-整体代入求值；已知二元一次方程组的解求参数
【解析】【解答】解：把代入方程组，得：，
解得：，
∴；
故答案为：9．
【分析】由方程组解的概念可得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组可得到a与b的值，则所求代数式的值可求．
16．（2025八上·杭州开学考）如图，直线AB∥CD∥EF，如果∠A+∠ADF＝208°，那么∠F＝　 　．
【答案】28°
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：延长CD到H．如图
∵AB∥CH，
∴∠A+∠ADH＝180°，
∠ADF=∠ADH+∠HDF
∵∠A+∠ADF＝208°，即∠A+∠ADH+∠HDF＝208°
∴∠HDF＝208°﹣180°＝28°，
∵EF∥CH，
∴∠F＝∠HDF＝28°．
故答案为：28°
【分析】延长CD到H。根据两直线平行同旁内角互补得∠A+∠ADH＝180°，结合 ∠A+∠ADF＝208° 得到∠HDF=28°，再根据根据两直线平行内错角相可求出∠F。
三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2025八上·杭州开学考）计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
，
（2）解：
【知识点】整式的混合运算；整数指数幂的运算
【解析】【分析】（1）先利用有理数的乘方，零指数幂，负整数指数幂的运算法则分别进行运算，再进行加减运算，即可解题；
（2）先利用平方差公式、完全平方公式进行计算，再合并同类项即可．
18．（2025八上·杭州开学考）
（1）化简：；
（2）解方程组：．
【答案】（1）解：原式
（2）解：
得：，解得：，
把代入得：，解得：，
∴方程组的解为
【知识点】加减消元法解二元一次方程组；同分母分式的加、减法
【解析】【分析】（）先变成同分母分式相加减，再进行计算即可；
（）方程组利用加减消元法求解即可；
19．（2025八上·杭州开学考）先化简，然后在2，3，4中选择一个合适的值作为x并代入求值．
【答案】解：
．
∵，，
∴当时，
原式．
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】先将括号中两项通分，利用同分母分式的减法法则计算，再将除法转化为乘法，约分得到最简结果，再将值代入求值．
20．（2025八上·杭州开学考）为了解某区七年级男生的身体素质情况，随机抽取了名男生进行短跑测试，将测试成绩(精确到秒)绘制成如图所示的频数表和未完成的频数直方图(每组不含前一个边界值，含后一个边界值)．
名男生短跑成绩的频数表
组别(秒) 频数 频率
合计
名男生短跑成绩的频数直方图
根据表中提供的信息解答下列问题：
（1）频数表中，　 　，　 　，　 　．
（2）把频数直方图补充完整．
（3）若该区七年级共有名男生，请估计短跑成绩小于或等于秒的人数．
【答案】（1）50；20；0.1
（2）解：补全图形如下：
（3）解：人，
答：估计短跑成绩小于或等于秒的人数约为人
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；用样本的频数估计总体的频数
【解析】【解答】解：（1），，
，
故答案为：、、；
【分析】（1）根据题意总人数是200，根据频数=总数×频率；则a=200×0.25； b=总人数减去其他组的频数； c=b÷总人数
（2）根据所求a、b的值即可补全图形；
（3）样本中短跑成绩小于或等于13.5秒频率是0.1+0.25=0.35，总人数乘以该频率得到 100m短跑成绩小于或等于13.5秒的人数．
21．（2025八上·杭州开学考）如图，已知，．
（1）求证：
（2）若，，求的度数．
【答案】（1）证明：
又
，
（2）解：在三角形AEF中，
∠EFA=∠EBA+∠2
∵
∴∠2=44°
，
，
，
即
【知识点】平行线的判定与性质；三角形外角的概念及性质；平行线的应用-求角度
【解析】【分析】（1）先根据得到，结合证明，从而得到，
（2）根据三角形外角等于不相邻的两个内角和及 ，先求出∠2的度数。先证明，进而证明，即可求出．
22．（2025八上·杭州开学考）临近期末，班级想给优秀的学生准备奖品，奖品分为甲套餐与乙套餐，已知购买个甲套餐比购买个乙套装少用元，用元购买甲套餐和用元购买乙套餐的个数相同．
（1）求这两种套餐的单价分别为多少元；
（2）班级计划用元经费购进甲套餐与乙套餐两种奖品，要求每种套餐至少购进种且刚好用完经费，请你设计进货方案．
【答案】（1）解：设甲种套餐的单价为元，则乙种套餐的单价为元，
根据题意得：，
解得，
经检验，是原方程的解，
，
甲种套餐的单价为元，乙种套餐的单价为元；
（2）解：设甲种套餐购进套，乙种套餐购进套，
根据题意得，
，
，为正整数，
或或，
有三种进货方案：甲种套餐购进套，乙种套餐购进套或甲种套餐购进套，乙种套餐购进套或甲种套餐购进套，乙种套餐购进套．
【知识点】二元一次方程的应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）设甲种套餐的单价为x元，根据用450元购买甲套餐和用810元购买乙套餐的个数相同列出分式方程得：，解方程并检验得出答案；
（2）设甲种套餐购进m套，乙种套餐购进n套，根据题意列出二元一次方程得50m+90n=1800，求出方程的正整数解即可
23．（2025八上·杭州开学考）小磊和小轩在课外练习中碰到了一个问题，需要对多项式进行因式分解．小磊认为该整式一定有一个因式，小轩认为必有因式是，两人找到老师寻求帮助．老师提供了一个方法：因式分解是整式乘法的逆运算．若整式A能被整式B整除，则B必为A的一个因式．老师给出了演算方法：
（1）观察老师的演算后，你认为　 　同学的想法是对的；
（2）已知多项式的其中一个因式为，请试着根据老师的方法列出演算过程，并将多项式进行因式分解；
（3）若多项式能因式分解成与另一个完全平方式，求与的值．
【答案】（1）小磊
（2）解：根据题意得：
∴将多项式进行因式分解为：
（3）解：根据题意得：
∴
∵多项式能因式分解成与另一个完全平方式，
∴是一个完全平方式，
∴，
∴，
n=m+4=4．
∴m=0， n=4
【知识点】因式分解﹣提公因式法；因式分解﹣综合运用提公因式与公式法；已知因式分解结果求参数
【解析】【解答】（1）解：根据题意可得：，
，
∴该整式一定有一个因式，没有因式是，
∴小磊同学的想法是对的；
【分析】（1）根据题意观察老师列的竖式发现原式除以（x+2）没有余数，原式除以（x-2）有余数，说明没有余数的是对的。
（2）根据老师提供的方法进行结合整数的竖式除法解答即可；
（3）根据题意列出竖式，得出，，根据多项式能因式分解成与另一个完全平方式，即是一个完全平方。得出，求出m=0、然后把m=0代入n-（m+4）中求出n的值．
24．（2025八上·杭州开学考）如图1，AB//CD，点E在线段CD上，AE与BC相交于点F，连结DF，BD。
（1）若∠AEC=54°，∠ABD=126°，试判段AE与BD是否平行，并说明理由。
（2）若∠A=a，∠C=β，请用a和B表示∠AFC的度数，并说明你的理由。
（3）如图2，已知∠DBF和∠BDF的角平分线相交于点G。求∠BGD与∠BFD的数量关系。
【答案】（1）解：如图 1，AE // BD。
∵AB //CD，
∴∠A=∠AEC=54°。
∵∠ABD=126°，
∴∠A+∠ABD=180°。
∴AE //BD
（2）解：∵AB//CD，
∴∠CBA=∠C=β，∠EAB=a，
∴∠AFC=∠EAB+∠CBA=α+β
（3）解：如图2，
设，，由上题可得。
和 的角平分线相交于点 G，
，。
。
。
，
，即.
∴.
【知识点】角平分线的概念；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【分析】（1）根据题干线平行条件得到（两直线平行，内错角相等），然后通过（同旁内角互补，两直线平行）可判断 AE与BD平行；
（2）可视为的一个外角，根据外角和定理，其等于∠EAB与∠CBA之和，然后根据平行条件可得∠EAB与∠CBA之和实际为α+β，从而得到∠AFC=α+β；
（3）设，，运用（2）的结论得到，然后由图可知∠BGD的构成（），由可得到以x、y表达出，从而将 ∠BGD与∠BFD通过等量关系连接起来，最终得到答案.
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