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(共30张PPT)
第一章 数与式
第5课时 分式
人教：八上P127～P142；
华师：八下P1～P12；
北师：八下P108～P124.
概念 形如(A，B表示两个整式)的式子，B中含有字母
三个应用 若分式有意义，则① ；
若分式的值为0，则② 且③ .
考点1　 分式的概念及有意义的条件
B≠0
A＝0
B≠0
例1 已知x为实数，当x取何值时，下列式子有意义？
(1)： ； (2)： ；
(3)： ； (4)： .
变式1 若分式的值为0，则a的值为(　 　)
A.0 B.2
C.±2 D.－2
x≠2
x≥－3且x≠5
x＞－1　
x＞
　D
基本性质 分式的分子与分母同乘(或除以)同一个不等于0的数或式子，分式的值不变
约分 把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分
通分 把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分
最简分式 分子与分母没有公因式的分式
考点2 　分式的基本性质
例2 下列分式中，属于最简分式的是(　 　)
A. B.
C. D.
变式2-1 下列分式变形正确的是(　 　)
A.＝－ B.＝
C.＝ D.＝
变式2-2 已知x＋2y－1＝10，则代数式的值是.
B
D
求分式的值，有时需要对已知条件或结论先进行变形，然后再整体代入求值.
乘除运算 (1)乘法：·＝0④ ；
(2)除法：÷＝⑤
乘方运算 ＝⑥ (n为正整数)
加减运算 (1)同分母：±＝⑦ ；
(2)异分母：±＝⑧
考点3　 分式的运算　 重点
例3 化简x2÷的结果是(　 　)
A. B.x2y2
C. D.x2y6
变式3 计算÷的结果是(　 　)
A. B.
C.－ D.－
C
B
例4 化简－的结果是(　 　)
A.a＋2 B.a－2
C. D.
变式4 (2025达州)化简：－＝ .
例5 大拖拉机n天耕地a hm2，小拖拉机m天耕地b hm2，大拖拉机的工作效率是小拖拉机工作效率的(　 　)
A.倍 B.倍
C.倍 D.倍
A
A
变式5 某镇为发展农业经济，对10 km长的农产品运输通道进行了扩建和重修.某货车在该运输通道上行驶，平均速度从原来的a km/h提升到了a km/h，则此货车在该运输通道上行驶时节约的时间为 h.(用含a的代数式表示)
例6 (2025资阳)先化简，再求值：
÷，其中a＝2.
解：原式＝·
＝·
＝.
当a＝2时，原式＝＝3.
变式6-1 (2025绵阳模拟)先化简，再求值：
1－÷，其中a，b满足＋＝0.
解：原式＝1－·
＝1－
＝
＝－.
∵(a－)2＋＝0，
∴a－＝0，b＋1＝0.
∴a＝，b＝－1.
∴原式＝－＝.
变式6-2 (2025遂宁)先化简，再求值：
÷，其中a满足a2－4＝0.
解：原式＝÷
＝·
＝.
∵a满足a2－4＝0，∴a＝±2.
∵原式分母不为0，∴a－2≠0.∴a＝－2.
当a＝－2时，原式＝＝.
例7 若＋＝4，求的值.
解：∵＋＝4，∴＝4.∴a＋b＝4ab.
∴＝＝＝4.
对于分式的化简求值，解题关键是记住分式的混合运算顺序，先根据分式的运算法则化简，再取使分式有意义的值代入求值.
1.若分式的值为零，则x的取值为(　 　)
A.3 B.2
C.－3 D.－2
2.下列分式中，最简分式是(　 　)
A. B.
C. D.
B
D
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3.将分式中的m，n同时扩大为原来的2倍，分式的值将(　 　)
A.扩大为原来的2倍 B.不变
C.缩小为原来的 D.缩小为原来的
4.化简x3的结果是(　 　)
A.xy6 B.xy5
C.x2y5 D.x2y6
C
A
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5.绿化队原来用漫灌方式浇绿地，a天用水m t，现改用喷灌方式，可使这些水多用3天，则现在比原来每天节约用水的吨数是(　 　)
A.－ B.－
C.－ D.－
6.(2025河南)化简－的结果是(　 　)
A.x＋1 B.x
C.x－1 D.x－2
A
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7.(2025凉山州)若式子在实数范围内有意义，则m的取值范围是
.
8.(2025北京)已知a＋b－3＝0，则代数式的值为 .
m≥1
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9.(2025宜宾)计算：·.
解：原式＝·
＝·
＝1.
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10.(2025泸州)化简：
÷.
解：原式＝÷
＝÷
＝·
＝.
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11.先化简，再代入求值：
÷，其中a＝＋1.
解：原式＝÷
＝·
＝.
当a＝＋1时，
原式＝
＝.
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12.已知＋＝1(a＋b≠0)，则＝(　 　)
A. B.1
C.2 D.3
13.(2025南充)已知＝＝＝2，则的值是(　 　)
A.2 B.3
C.4 D.6
C
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14.甲、乙两艘船在某海域航行，甲船m h航行(n＋2)n mile，如果乙船的航速是甲船航速的，那么乙船航行t h的路程为n mile.
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15.(2025凉山州)先化简，再求值：1－÷，求值时请在－2≤x≤2内取一个使原式有意义的x(x为整数).
解：原式＝1－·
＝1－＝－
＝＝.
∵分式有意义，且－2≤x≤2，
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∴x≠2，0，－2.
又x为整数，∴x＝－1或x＝1.
当x＝－1时，原式＝＝.
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16. 阅读下面的解题过程：
已知＝，求的值.
解：由＝，知x≠0，
∴＝3，即x＋＝3.①
∵＝x2＋＝－2＝32－2＝7，②
∴的值为.
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(1)第①步由＝3得到x＋＝3是运用了法则：＝＋；那么第
②步中的x2＋＝－2则是运用了公式： .
(用含a，b的式子表示)
a2＋b2＝(a＋b)2－2ab
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(2)上述解题过程用到的解法叫作“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面的问题：
已知＝－1，求的值.
解：由＝－1，知x≠0，
∴＝－1，即x－3＋＝－1.
∴x＋＝2.∴x2＋＝－2＝2.
∵＝x2＋－7＝2－7＝－5，
∴＝－.
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(3)已知＋＝，＋＝，＋＝，求的值.
解：∵＋＝，＋＝，＋＝，
∴2＝＋＋.
∴＋＋＝.
∵＝＋＋
＝＋＋＝，
∴＝.
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16(共26张PPT)
第一章 数与式
第4课时 因式分解
人教：八上P114～P121；
华师：八上P42～P45；
北师：八下P91～P106.
概念 把一个多项式化为几个整式的积的形式
方法 提公因 式法 用式子表示：
ma＋mb＋mc＝① .
公因式的确定：
考点1　因式分解的概念及方法
m(a＋b＋c)
方法 公式法 a2－b2＝(a＋b)(a－b)；
a2±2ab＋b2＝(a±b)2.
补充：因式分解与整式乘法互为逆运算
*十字 相乘法 x2＋(p＋q)x＋pq＝② .
(x＋p)(x＋q)
例1 下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是(　 　)
A.(x＋1)(x－1)＝x2－1 B.x2＋2x＋1＝(x＋1)2
C.x2＋2x－1＝x(x＋2)－1 D.x(x－1)＝x2－x
例2 分解因式：
(1)(2025达州)m2＋2m＝ ；
(2)2mn＋6mn2＝ ；
(3)p(a2＋b2)－q(a2＋b2)＝ ；
(4)5a(m－n)＋2b(n－m)＝ .
B
m(m＋2)
2mn(1＋3n)
(a2＋b2)(p－q)
(m－n)(5a－2b)
例3 分解因式：
(1)(2025内江)a2－1＝ ；
(2)a2－4b2＝ ；
(3)m2＋10m＋25＝ ；
(4)9a2－6ab＋b2＝ ；
(5)*x2＋2x－8＝ .
(a＋1)(a－1)　
(a＋2b)(a－2b)　
(m＋5)2
(3a－b)2　
(x＋4)(x－2)
变式3 分解因式：
(1)b2－＝ ；
(2)1－4m＋4m2＝ ；
(3)(2m＋3)2－4m2＝ ；
(4)(a－b)2－2b(a－b)＋b2＝ .
(1－2m)2　
3(4m＋3)
(a－2b)2
一般 步骤 一提(提公因式)；二套(套乘法公式)；三检验(检验是否分解彻底)
考点2　多步分解因式
例4 分解因式：
(1)4m2－4n2＝ ；
(2)x3y－xy＝ ；
(3)ax2－2ax＋a＝ ；
(4)－2a3＋12a2－18a＝ .
4(m＋n)(m－n)
xy(x＋1)(x－1)　
a(x－1)2
－2a(a－3)2
变式4 分解因式：
(1)81－a4；
解：原式＝92－a4
＝(9＋a2)(9－a2)
＝(9＋a2)(3＋a)(3－a).
(2)a2(x－y)＋9(y－x)；
解：原式＝a2(x－y)－9(x－y)
＝(a2－9)(x－y)
＝(a＋3)(a－3)(x－y).
(3)(x＋y)2－4xy；
解：原式＝x2＋2xy＋y2－4xy
＝x2－2xy＋y2
＝(x－y)2.
(4)(x＋2)(x＋4)＋1.
解：原式＝x2＋6x＋8＋1
＝x2＋6x＋9
＝(x＋3)2.
例5 计算：.
考点3 　因式分解的应用
解：原式＝
＝
＝2 025.
例6 已知x＋2y＝－1，求x2－4y2＋2x的值.
解：∵x＋2y＝－1，
∴原式＝(x＋2y)(x－2y)＋2x
＝－1×(x－2y)＋2x
＝x＋2y
＝－1.
变式6-1 若a＋b＝3，ab＝－5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值.
解：∵a＋b＝3，ab＝－5，
∴原式＝ab(a2＋2ab＋b2)
＝ab(a＋b)2
＝－5×32
＝－45.
变式6-2 已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足a2－ac＝b2－bc，判断△ABC的形状并说明理由.
解：△ABC是等腰三角形.理由：
∵a2－ac＝b2－bc，
∴a2－b2－ac＋bc＝0.
∴(a－b)(a＋b－c)＝0.
又a＋b＞c，即a＋b－c＞0，
∴a－b＝0，即a＝b.
∴△ABC是等腰三角形.
1.下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是(　 　)
A.a2b2＝(ab)2
B.a2－a－2＝a(a－1)－2
C.a2－2ab＋b2＝(a－b)2
D.(a＋b)(a－b)＝a2－b2
2.把多项式2ab＋4ab2分解因式，应提取的公因式是(　 　)
A.ab B.2ab
C.2ab2 D.4ab2
C
B
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3.下列多项式在实数范围内能用平方差公式分解因式的为(　 　)
A.x2＋y2 B.－x2－y2
C.－x2＋y2 D.x2＋2xy
4.若代数式x2＋mx＋1能用公式法分解因式，则m的值为(　 　)
A.±2 B.±1
C.2 D.1
C
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5.分解因式：
(1)(2025吉林)a2－ab＝ .
(2)(2025苏州)x2－9＝ .
(3)x2－4xy＋4y2＝ .
(4)(2025北京)7m2－28＝ .
(5)(2025绥化)2mx2－4mxy＋2my2＝ .
a(a－b)
(x＋3)(x－3)　
(x－2y)2
7(m＋2)(m－2)
2m(x－y)2
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6.观察下面拼图过程，写出相应的关系式： .
7.已知2x－y＝，xy＝2，则2x2y－xy2＝ .
8.(2025内江)已知实数a，b满足a＋b＝2，则a2－b2＋4b＝ .
ma＋mb＋mc＝m(a＋b＋c)
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9.分解因式：
(1)x4－16y4；
解：原式＝(x2＋4y2)(x2－4y2)
＝(x2＋4y2)(x－2y)(x＋2y).
(2)x2(m－2)＋y2(2－m)；
解：原式＝x2(m－2)－y2(m－2)
＝(m－2)(x2－y2)
＝(m－2)(x＋y)(x－y).
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(3)(x＋2)(x－8)＋25；
解：原式＝x2－8x＋2x－16＋25
＝x2－6x＋9
＝(x－3)2.
(4)－x3＋8x2－12x.
解：原式＝－x(x2－8x＋12)
＝－x(x－2)(x－6).
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10.任意两个奇数的平方差总能(　 　)
A.被3整除 B.被5整除
C.被6整除 D.被8整除
11.若代数式P＝2a2－2a＋3，Q＝a2＋1，则P和Q的大小关系是(　 　)
A.P＞Q B.P＝Q
C.P＜Q D.无法确定
D
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12.若算式的结果为整数，则整数n的值不可能是(　 　)
A.100 B.50
C.17 D.3
13.(2025成都)多项式4x2＋1加上一个单项式后，能成为一个多项式的平方，那么加上的单项式可以是 (填一个即可).
14.已知a－b＝1，则a3－a2b＋b2－2ab的值为 .
D
4x(答案不唯一)
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15.已知△ABC的三边长a，b，c满足a2＋b2－12a－6b＋45＝0，且c为偶数，求△ABC的周长的最小值.
解：∵a2＋b2－12a－6b＋45＝0，
∴(a2－12a＋36)＋(b2－6b＋9)＝0.
∴(a－6)2＋(b－3)2＝0.
∴a－6＝0，b－3＝0.
解得a＝6，b＝3.
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∵△ABC的三边长分别是a，b，c，
∴3＜c＜9.
又c为偶数，∴c＝4，6，8.
当a＝6，b＝3，c＝4时，△ABC的周长最小，最小值是6＋3＋4＝13.
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16.请认真阅读下面的命题和部分证明过程.
问题：如何证明命题“像2，6，10，14，…这些形如4n－2(n为正整数)的正整数N不能表示为x2－y2(x，y均为自然数)”.
证明：假设4n－2＝x2－y2，其中x，y均为自然数.
……
请你将上述证明过程补充完整.
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解：分下列三种情形分析：
①若x，y均为偶数，设x＝2k，y＝2m，其中k，m均为自然数，
则x2－y2＝(2k)2－(2m)2＝4(k2－m2)为4的倍数.
而4n－2不是4的倍数，两者矛盾，
故x，y不可能均为偶数.
②若x，y均为奇数，设x＝2k＋1，y＝2m＋1，其中k，m均为自然数，
则x2－y2＝(2k＋1)2－(2m＋1)2＝4(k2－m2＋k－m)为4的倍数.
而4n－2不是4的倍数，两者矛盾，
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故x，y不可能均为奇数.
③若x，y一个是奇数一个是偶数，则x2－y2为奇数，而4n－2是偶数，两者矛盾，
故x，y不可能一个是奇数一个是偶数.
综上，形如4n－2(n为正整数)的正整数N不能表示为x2－y2(x，y均为自然数).
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第一章 数与式
第3课时 整式
人教：七上P53～P76，八上P95～P113；
华师：七上P81～P118，八上P18～P42；
北师：七上P77～P104，七下P1～P36.
代数式 用运算符号把数和字母连接而成的式子叫作代数式
代数式的值 用数值代替代数式中的字母，进而计算出的结果，叫作代数式的值.
求值方法有直接代入法和整体代入法等
考点1 　列代数式及其求值
例1 用代数式表示“比a的3倍小4”，正确的是(　 　)
A.3a－4 B.3(a－4)
C.a－3×4 D.a3－4
变式1-1 如图，某铜钱外围是半径为a的圆，内含边长为b的正方形，下列表示铜钱阴影部分面积的代数式是(　 　)
A.πa－2πb
B.πa2－b2
C.πb2－πa2
D.2πb－πa
A
B
变式1-2 (2025广安)一种商品每件标价为a元，按标价的八折出售，则每件商品的售价是 元.
例2 (2025扬州)若a2－2b＋1＝0，则代数式2a2－4b＋3的值是 .
变式2 (2025威海)若2x－3y＝2，则6y－4x＋1＝ .
整体代入法：观察已知代数式与所求代数式之间的数量关系，把已知代数式整体代入求值.
0.8a
1
－3
例3 (2025云南)按一定规律排列的代数式：a，3a，5a，7a，9a，…，第n个代数式是(　 　)
A.(2n－1)a B.(2n＋1)a
C.(n＋1)a D.2 025a
变式3 (2025河南)观察2x，4x2，6x3，8x4，…，根据这些式子的变化规律，可得第n个式子为 .
考点2 　数式规律
A
2nxn
例4 (2025重庆)按如图所示的规律拼图案，其中第①个图中有4个圆点，第②个图中有8个圆点，第③个图中有12个圆点，第④个图中有16个圆点……按照这一规律，则第⑥个图中圆点的个数是(　 　)
A.32 B.28
C.24 D.20
C
变式4 (2025乐山)醇是一类由碳、氢、氧元素组成的有机化合物，下图是这类物质前四种化合物的分子结构模型图，其中 代表碳原子， 代表氧原子， 代表氢原子.第1种如图1有4个氢原子，第2种如图2有6个氢原子，第3种如图3有8个氢原子，第4种如图4有10个氢原子……按照这一规律，第9种化合物的分子结构模型中氢原子的个数是(　 　)
A.18 B.20
C.22 D.24
B
单项式 概念 由数或字母的积表示的式子.单独的一个数或一个字母也是单项式 系数 单项式中的数字因数
次数 一个单项式中所有字母的指数的和 考点3 　整式的有关概念
五
多项式 概念 几个单项式的和 项 多项式中的每个单项式，其中不含字母的项叫作常数项
次数 一个多项式中次数最高项的次数 整式 单项式与多项式统称为整式 三
三
例5 下列关于代数式3x2－2xy2－1的说法中，正确的是(　 　)
A.它是二次三项式 B.二次项是2xy2
C.按x降幂排列 D.常数项是1
变式5 下列叙述中，正确的是(　 　)
A.单项式－的系数是－3，次数是3
B.多项式3a3b＋2a2＋1是六次三项式
C.多项式x2－2x－1的常数项是1
D.0是整式
C
D
同类项 所含④ 相同，并且相同字母的⑤ 也相同的项称为同类项
合并 同类项 把同类项的系数相加减，所得的结果作为新的系数，字母和字母的指数不变，如4xy2＋5xy2＝⑥ .
去括号 (1)括号前是“＋”号，去括号后括号内各项不变号，如a＋(b＋c)＝a＋b＋c；
(2)括号前是“－”号，去括号后括号内每一项都变号，如a－(b－c)＝⑦ .
拓展：
添括号法则：a－b－c＝a－(⑧ )
考点4　 整式的加减　 重点
字母
指数
9xy2
a－b＋c
b＋c
例6 计算：(4a3＋a－1)－[4a3－3(a＋2)].
解：原式＝4a3＋a－1－(4a3－3a－6)
＝4a3＋a－1－4a3＋3a＋6
＝4a＋5.
变式6-1 老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌盖住了一个二次三项式，形式如图： －3x－1＝x2－5x，则所盖的二次三项式为___________.
x2－2x＋1
变式6-2 先化简，再求值：2－3(a2b－1)－2ab2－1，其中a
＝2，b＝1.
解：原式＝2a2b＋ab2－3a2b＋3－2ab2－1
＝－a2b－ab2＋2.
当a＝2，b＝1时，
原式＝－22×1－2×12＋2
＝－4.
同底数幂相乘 am·an＝⑨ .
幂的乘方 (am)n＝⑩ .
积的乘方 (ab)n＝ .
同底数幂相除 am÷an＝ (a≠0)
考点5　 幂的运算 重点
例7 (2025眉山)下列计算正确的是(　 　)
A.a2＋a3＝a5 B.a2·a3＝a6
C.(－a2)3＝a6 D.a12÷a3＝a9
am＋n
amn
anbn
am－n
D
变式7 下列运算正确的是(　 　)
A.a3÷a3＝1 B.2a3－a3＝2
C.(－ab)2＝ab2 D.(－2a)3＝－6a3
例8 已知xm＝6，xn＝4，则xm－n的值为(　 　)
A.2 B.
C. D.24
变式8 (1)若x＋3y－2＝0，则3x·27y＝ ；
(2)计算：×＝ .
A
　B
9
－
1.整式的乘除
考点6　 整式的乘除与乘法公式
单×单 把系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
如2a2·3ab2＝ .
单×多 用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
如2a(a2－1)＝ .
6a3b2
2a3－2a
多×多 先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
如(2a－1)(a＋2)＝ .
单÷单 把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.
如a3b2÷a2＝ .
多÷单 先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加.
如(3a2b－ab2＋b)÷b＝ .
2a2＋3a－2
2ab2
3a2－ab＋1
2.乘法公式
平方差公式 (a＋b)(a－b)＝ .
完全平方公式 (a±b)2＝ .
乘法公式的几何背景(数形结合)： 由图1可得乘法公式： ； 由图2可得乘法公式： ； 由图3可得乘法公式： . a2－b2
a2±2ab＋b2
(a＋b)(a－b)＝a2－b2
(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2
(a－b)2＝a2－2ab＋b2
例9 先化简，再求值：(x＋2)(3x－2)－2x(x＋2)，其中x＝－1.
解：原式＝3x2－2x＋6x－4－2x2－4x
＝x2－4.
当x＝－1时，
原式＝(－1)2－4＝3＋1－2－4
＝－2.
变式9-1 先化简，再求值：
[(a－2b)2－(2b－a)(a＋2b)－2a(2a－b)]÷2a，其中a＋b＝－2.
解：原式＝[a2－4ab＋4b2－(4b2－a2)－4a2＋2ab]÷2a
＝(a2－4ab＋4b2－4b2＋a2－4a2＋2ab)÷2a
＝(－2a2－2ab)÷2a＝－a－b.
当a＋b＝－2时，
原式＝－a－b＝－(a＋b)＝－(－2)＝2.
变式9-2 已知a＋b＝4，a－b＝2，求：
(1)ab；　　　　　　
解：∵a＋b＝4，a－b＝2，
∴(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝16，(a－b)2＝a2－2ab＋b2＝4.
∴(a＋b)2－(a－b)2＝(a2＋2ab＋b2)－(a2－2ab＋b2)＝12.
∴4ab＝12.∴ab＝3.
(2)a2＋b2.
解：由(1)可得(a＋b)2＋(a－b)2＝(a2＋2ab＋b2)＋(a2－2ab＋b2)＝20.
∴2(a2＋b2)＝20.
∴a2＋b2＝10.
1.(2025上海)用代数式表示a与b差的平方，正确的是(　 　)
A.a2－b2 B.(a－b)2
C.a2－b D.a－b2
2.(2025长沙)智慧农业广泛应用智能机器人.某品牌智能机器人的一个机械手平均每分钟采摘10个苹果.若该机器人搭载m个机械手(m＞1)，则该机器人平均每分钟采摘的苹果个数为(　 　)
A.6m B.m＋10
C.60m D.10m
B
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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18
3.(2024内江)下列单项式中，ab3的同类项是 (　 　)
A.3ab3 B.2a2b3
C.－a2b2 D.a3b
4.(2025宜宾)下列计算正确的是(　 　)
A.m3÷m＝m2 B.(－mn)2＝－mn2
C.3m2－m2＝2 D.m2·m3＝m6
A
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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13
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18
5.(2025成都)下列计算正确的是(　 　)
A.x＋2y＝3xy B.(x3)2＝x5
C.(x－y)2＝x2－y2 D.2xy·3x＝6x2y
6.(2025南充)计算：a(a－3)－a2＝______.
7.(2025苏州)若y＝x＋1，则代数式2y－2x＋3的值为 .
8.(2025乐山)已知am＝3，an＝2，则am＋2n的值为 .
D
－3a
5
12
1
2
3
4
5
6
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18
9.(2024乐山)已知a－b＝3，ab＝10，则a2＋b2＝____.
10.(2025徐州)如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为 .(用含n的代数式表示)
29
3n＋1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
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18
11.先化简，再求值：(x＋2)(x－2)＋x(1－x)，其中x＝6.
解：原式＝x2－4＋x－x2
＝x－4.
当x＝6时，
原式＝6－4
＝2.
1
2
3
4
5
6
7
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12.(2025南充模拟)先化简，再求值：(2a－b)2－(4a3＋ab2)÷a，其中a＝
，b＝－1.
解：原式＝4a2－4ab＋b2－4a2－b2
＝－4ab.
当a＝，b＝－1时，
原式＝－4××(－1)
＝1.
1
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13.(2025眉山模拟)已知(3x－m)(x2＋x＋1)的结果中不含x的二次项，(a＋2b)2＋(1＋b)2＝0.
(1)求m的值；
解：原式＝3x3＋3x2＋3x－mx2－mx－m
＝3x3＋(3－m)x2＋(3－m)x－m.
∵结果不含x的二次项，
∴3－m＝0.
∴m＝3.
1
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(2)求(a－b)m的值.
解：∵(a＋2b)2＋(1＋b)2＝0，且(a＋2b)2≥0，(1＋b)2≥0，
∴a＋2b＝0，1＋b＝0.
∴a＝2，b＝－1.
∴(a－b)m＝(2＋1)3＝27.
1
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14.将一张长为2a，宽为2b的矩形纸片(a＞b)，用剪刀沿图1中的虚线剪开，分成四块形状和大小都一样的小矩形纸片，然后按图2的方式拼成一个正方形，则中间小正方形的面积为(　 　)
A.a2＋b2
B.a2－b2
C.(a＋b)2
D.(a－b)2
15.(2025自贡)若2a＋b＝－1，则4a2＋2ab－b的值为 .
D
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16.(2025浙江)[文化欣赏]我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方(a＋b)n展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：(a＋b)4＝a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4.
[应用体验]已知(x＋2)4＝x4＋mx3＋24x2＋32x＋16，则m的值为 .
8
1
2
3
4
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6
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17.(2024攀枝花)如图是由棱长为1的小正方体堆积成的图形.若按照这样的规律继续摆放，则第8层需要摆放 块小正方体.
36
1
2
3
4
5
6
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18.(2025宁夏)定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫作“极差数”.例如三位数231，因为3－1＝2，所以它是“极差数”.
【理解定义】
三位数265是不是“极差数”？ .
【建模推理】
(1)设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为a，b，c，则a与b，c的关系式为 ；
不是
a＝b－c
1
2
3
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6
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(2)任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？
解：任意一个“极差数”都能被11整除.
理由：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，
∴a＝b－c.
∴这个“极差数”为
1
2
3
4
5
6
7
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＝100(b－c)＋10b＋c
＝100b－100c＋10b＋c
＝110b－99c
＝11(10b－9c).
∴100a＋10b＋c能被11整除.
∴任意一个“极差数”都能被11整除.
1
2
3
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100a＋10b＋c(共33张PPT)
第一章 数与式
第2课时 数的开方与二次根式
人教：七下P53～P62，八下P1～P20；
华师：八上P1～P7，九上P1～P16；
北师：八上P20～P35，P41～P52.
算术平 方根 如果一个正数x的平方等于a，即x2＝a，那么正数x就叫作a的算术平方根.a的算术平方根记为①.
规定：0的算术平方根是② .
考点1 　算术平方根、平方根与立方根
0
平方根 如果一个数的平方等于a，那么这个数叫作a的平方根，记为±.
正数有③ 个平方根，它们互为相反数；0的平方根是④ ；负数⑤ 平方根.
求一个数a的平方根的运算，叫作开平方
立方根 如果一个数的立方等于a，那么这个数叫作a的立方根，记为.
正数的立方根是⑥ ，0的立方根是⑦ ，负数的立方根是
⑧ .
求一个数a的立方根的运算，叫作开立方
2
0
没有
正数
0
负数
例1 25的平方根是(　 　)
A.5 B.－5
C.±5 D.±
变式1 若＝－2，则a的值为(　 　)
A.9 B.±9
C.±3 D.3
C
A
例2 下列各式中，化简结果正确的是(　 　)
A.＝4 B.＝±3
C.＝－4 D.＝8
变式2 已知一个正数的两个平方根分别为2x＋1和3－4x，则这个正数
是(　 　)
A.25 B.16
C.8 D.2
A
A
概念 形如(a≥0)的式子叫作二次根式
性质 (1)≥0(a≥0)；
(2)()2＝⑨ (a≥0)；
(3)＝｜a｜＝
最简二 次根式 被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式
考点2　二次根式
a
运算 (1)乘法运算：·＝ (a≥0，b≥0)；反过来有＝
(a≥0，b≥0).
(2)除法运算：＝ (a≥0，b＞0)；反过来有＝ .
(a≥0，b＞0).
(3)加减运算：一般地，先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并
·
例3 (2025资阳)使代数式有意义的实数x的取值范围是 .
变式3 (2025河南)请写出一个使在实数范围内有意义的x的值：
.
例4 下列式子中，属于最简二次根式的是(　 　)
A. B.
C. D.
变式4 与能合并的二次根式是(　 　)
A. B.
C. D.
x≥1
2(答案不唯一)
B
D
例5 (2025甘肃省卷)计算：－×.
解：原式＝2－
＝.
变式5-1 下列运算正确的是(　 　)
A.()2＝3 B.＝－2
C.＋＝ D.×＝
A
变式5-2 计算：
(1)×－；
解：原式＝－(＋)
＝－4－2
＝－6.
(2)－｜－3｜－2－(－)2.
解：原式＝3－(3－)－2×－2
＝3－3＋－－2
＝－2.
例6 已知x＝－1，y＝＋1，求代数式x2＋3xy＋y2的值.
解：∵x＝－1，y＝＋1，
∴x2＋3xy＋y2
＝(x＋y)2＋xy
＝(－1＋＋1)2＋(－1)(＋1)
＝(2)2＋(3－1)
＝12＋2
＝14.
变式6 若x＝＋1，求x2－2x＋2的值.
解：∵x＝＋1，
∴x2－2x＋2
＝(x－1)2＋1
＝(＋1－1)2＋1
＝5＋1＝6.
确定与二次根式相邻的两个连续整数
考点3　二次根式的估值
步骤 示例
(1)先对二次根式平方； (2)找出与二次根式平方后所得数字相邻的两个开得尽方的整数； (3)对以上两个整数开方； (4)确定这个二次根式的值在开方后所得的这两个整数之间 ()2＝13
↓
确定9和16
↓
＝3，＝4
↓
3＜＜4
例7 已知m＝＋，则以下对m的估算正确的是(　 　)
A.2＜m＜3 B.3＜m＜4
C.4＜m＜5 D.5＜m＜6
变式7 (1)已知a为正整数，且＜a＜，则a等于(　 　)
A.4 B.5
C.6 D.7
(2)(2025烟台)实数3的整数部分为 .
B
B
4
(3)如图，数轴上有A，B，C，D四点，以下线段中，长度最接近3＋的是(　 　)
A.线段AB B.线段AC
C.线段BC D.线段BD
D
1.(2025绵阳模拟)2的算术平方根是 (　 　)
A. B.±
C.4 D.
2.(2025连云港)若在实数范围内有意义，则x的取值范围是(　 　)
A.x≤1 B.x≥1
C.x≤－1 D.x≥－1
A
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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13
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16
3.下列式子中，为最简二次根式的是 (　 　)
A. B.
C. D.
4.(2025徐州)下列运算错误的是 (　 　)
A.＋＝ B.×＝
C.÷＝2 D.(－)2＝3
B
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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16
5.已知x，y为实数，若满足y＝＋＋2，则xy的值为(　 　)
A.5 B.6
C.8 D.9
6.已知m＝－，则实数m的范围是 (　 　)
A.2＜m＜3 B.3＜m＜4
C.4＜m＜5 D.5＜m＜6
D
B
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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16
7.计算：(1)(2025浙江)｜－5｜＋＝ ；
(2)(2025自贡)－3＝ .
8.(2025天津)计算(＋1)(－1)的结果为 .
9.(2025资阳模拟)如果最简二次根式与是同类二次根式，那么a的值是 .
10.若是整数，则满足条件的最小正整数n的值是 .
2
0
60
5
6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
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16
11.计算：
(1)－＋｜1－｜；
解：原式＝3－(－2)＋－1
＝3＋2＋－1
＝4＋.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
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14
15
16
(2)(2025陕西)
×＋｜－2｜－(π－3)0；
解：原式＝＋2－1
＝6＋2－1
＝7.
(3)(2025青岛)－()0；
解：原式＝－1
＝8－1
＝7.
1
2
3
4
5
6
7
8
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16
(4)÷＋.
解：原式＝＋(2－2＋3)
＝＋5－2
＝5－.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12.实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则－(b－a－2)的结果是 (　 　)
A.2 B.2a－2
C.2－2b D.－2
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
13
14
15
16
13.(2024德阳)将一组数，2，，2，，2，…，，…按以下方式进行排列：
则第八行左起第1个数是(　 　)
A.7 B.8
C. D.4
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
14.(2025南通)我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为a，b，c，三角形的面积S＝.若a＝2，b＝3，c＝1，则S的值为.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
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15.已知正数x的两个平方根分别是a－4和2a－5，y的立方根是－2，z是的整数部分，求x＋y＋8z的平方根.
解：∵正数x的两个平方根分别是a－4和2a－5，
∴a－4＋2a－5＝0.∴a＝3.
∴a－4＝3－4＝－1.
∴x＝(－1)2＝1.
∵y的立方根是－2，z是的整数部分，
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且＜＜，
∴y＝(－2)3＝－8，2＜＜3.
∴z＝2.
∴x＋y＋8z＝1－8＋8×2＝9.
∴9的平方根是±3.
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16.按照国际标准，A系列纸为矩形纸，如图1，其中A0纸的面积为1 m2.将A0纸沿长边对开便成了两张A1纸，将A1纸沿长边对开便成了两张A2纸……将A4纸沿长边对开便成了两张A5纸.
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【操作与观察】
将一张A4纸按图2所示的方式进行两次折叠(折痕分别是AB和AE)，观察发现点B恰好与点C重合，求A4纸的长、宽之比.
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解：设A4纸的长为m，宽为n.
第一次折叠，形成一个正方形，
∴AB＝n.
第二次折叠，得AB＝AC＝m，
∴n＝m.
∴＝.
∴A4纸的长、宽之比是∶1.
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【类比与归纳】
①按照国际标准，类比上述研究可以得到A5纸的长、宽之比是；
②用A0纸可以裁剪出的最大正方形的面积为m2.
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第一章 数与式
第1课时 实数
人教：七上P1～P52，七下P53～P62，八上P142～P145；华师：七上P9～P80，八上P8～P16，八下P17～P21；
北师：七上P22～P76，八上P33～P40.
考点1　 正负数的意义及实数的分类
正数与 负数 (1)大于① 的数叫作正数，在正数前面加上符号“－”的数叫作② .③ 既不是正数也不是负数.
(2)用正负数可以表示具有相反意义的量
0
负数
0
实数的 分类 (1)按定义分类
实数
(2)按性质分类：正实数、0、负实数
例1 (2024凉山州)下列各数中：5，－，－3，0，－25.8，＋2，负数
有(　 　)
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
例2 某天，月球表面白天的最高温度为零上126 ℃，如果把它记作＋126 ℃，那么夜间的最低温度零下150 ℃记作 ℃.
C
－150
变式2-1 (2025河南)在学校足球比赛中，如果某班足球队进4个球记作＋4个，那么该队失3个球记作(　 　)
A.＋3个 B.－3个
C.＋4个 D.－4个
变式2-2 (2025辽宁)在乒乓球质量检测中，如果一只乒乓球的质量超出标准质量0.02 g记作＋0.02 g，那么低于标准质量0.01 g记作 g.
B
－0.01
例3 (2025广州)下列四个选项中，属于负无理数的是(　 　)
A.－ B.－1
C.0 D.3
变式3 有下列各数：0，0.，－，，－π，，3.131 131 113…
(相邻两个3之间1的个数逐次加1)，其中，无理数的个数是(　 　)
A.2 B.3
C.4 D.5
A
B
常见的无理数类型：
(1)开方开不尽的数；
(2)最终结果含π的数；
(3)像0.010 010 001 …(相邻两个1之间0的个数逐次加1)类型的无限不循环小数.
数轴 (1)规定了⑦ 、⑧ 和⑨ 的直线称为数轴；
(2)实数与数轴上的点一一对应；
(3)如图，若数轴上A，B两点所表示的数分别是a，b，则A，B两点之间的距离为⑩ ，线段AB的中点C对应的实数为 .
相反数 (1)只有符号不同的两个数叫作互为相反数；
(2)实数a的相反数是 ，特别地，0的相反数是 .
考点2　 实数的有关概念　 重点
原点
正方向
单位长度
b－a
－a
0
绝对值 (1)数轴上表示数a的点与原点＞＝＜的距离叫作数a的绝对值，记作｜a｜.
(2)｜a｜＝
(3)｜a｜具有非负性，即｜a｜≥0
倒数 (1)乘积是1的两个数互为倒数，即若ab＝1，则a，b互为倒数.
(2)实数a(a≠0)的倒数是
例4 (1)(2025成都模拟)－的倒数是(　 　)
A. B.－
C. D.－
(2)(2025宜宾)2 025的相反数是(　 　)
A.－2 025 B.2 025
C. D.－
(3)(2025乐山模拟)化简：｜－2｜＝ .
D
A
2
变式4 如图，点M表示的数是m，下列各点中，表示m的相反数的
是(　 　)
A.点A B.点B
C.点C D.点D
A
例5 若数轴上的点A表示的数是－2，那么与点A相距3个单位长度的点表示的数是(　 　)
A.1 B.±1
C.－5 D.1或－5
变式5 (2025泸州模拟)如图，已知AB＝AC，点B到数轴的距离为1，则数轴上点C所表示的数为 .
D
1－　
实数的 大小比较 (1)正数 零，负数 零，正数 负数；两个负数作比较， 的反而小.
(2)在数轴上表示的两个数，右边的数总是 左边的数.
(3)若a－b＞0，则a＞b；若a－b＝0，则a＝b；若a－b＜0，则a＜b
实数的 估算 利用与被开方数比较接近的完全平方数的算术平方根来估计实数的大小
考点3　 实数的大小比较与估算　 重点
大于
小于
大于
绝对值大
大于
例6 (2025湖南省卷)下列四个数中，最大的数是(　 　)
A.3.5 B.
C.0 D.－1
变式6 (2025湖北省卷)数轴上表示数a，b的点如图所示，下列判断正确的是(　 　)
A.a＜b B.a＞b
C.b＜0 D.a＞0
A
A
例7 (2025扬州)如图，数轴上点A表示的数可能是(　 　)
A. B.
C. D.
变式7 写出一个无理数x，使得3＜x＜4，则x可以是
(只要写出一个满足条件的x即可).
C
(答案不唯一)
科学 记数法 把一个绝对值大于10的数表示成a×10n，或把一个绝对值小于1的数表示成a×10－n(1≤｜a｜＜10，n为正整数)的形式，这种记数方法叫作科学记数法
近似数 一个近似数四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位
考点4　 科学记数法与近似数
例8 用科学记数法表示下列各数：
(1)9 540 000＝ ； (2)35.07万＝ ；
(3)1 400亿＝ ； (4)0.000 074＝ .
9.54×106
3.507×105
1.4×1011
7.4×10－5　
变式8-1 (2025资阳)2025年政府工作报告显示，我国2024年新能源汽车年产量突破1 300万辆.将数“1 300万”用科学记数法表示为(　 　)
A.13×106 B.1.3×107
C.1.3×108 D.0.13×108
变式8-2 已知我国通过科技，研究出了一种超皮秒工具，进行一次擦除仅仅需要400皮秒，已知1皮秒等于1×10－12秒，那么这个工具1秒可以擦除 次(用科学记数法表示).
例9 用四舍五入法对下列各数取近似数：
(1)566.123(精确到个位)≈ ；
(2)3.896(精确到0.01)≈ .
B
2.5×109
566
3.90
1.四则运算
考点5　 实数的运算　 重点
加法 法则 (1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加.
(2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值.互为相反数的两个数相加得 .
(3)一个数同0相加，仍得这个数
减法 法则 减去一个数等于加这个数的 ，即a－b＝a＋ .
0
相反数
(－b)　
乘法法则 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；任何数与0相乘都得 0
除法法则 除以一个不为0的数等于乘这个数的 ，即a÷b＝a·
(b≠0)
运算律 加法交换律：a＋b＝b＋a；
加法结合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)；
乘法交换律：ab＝ba；
乘法结合律：(ab)c＝a(bc)；
分配律：a(b＋c)＝ab＋ac
倒数
2.实数的常考运算
乘方 (－a)n＝
零次幂 a0＝ (a≠0)
负整数指数幂
a－n＝ (a≠0，n是正整数)，特别地，a－1＝
去绝对值符号 ｜a－b｜＝
1
例10 (2025德阳模拟)计算：
×30＋×(－10)2－12 026.
解：原式＝×30－×30＋×100－1
＝5－24＋25－1
＝5.
变式10 计算：
－32＋12×－(－2)4÷8.
解：原式＝－9＋12×－16×
＝－9＋4－2
＝－7.
例11 (2025成都)计算：
－＋2cos 45°＋｜－2｜.
解：原式＝4－3＋2×＋2－
＝1＋＋2－
＝3.
变式11 计算：
＋4cos30°－－－(－π)0.
解：原式＝4＋4×－(－1)－3－1
＝4＋2－＋1－3－1
＝4－2.
1.(2025德阳)下列数是正数的是(　 　)
A.1 B.0
C.－1 D.－2
2.(2025遂宁)小明在一条东西向的跑道上进行往返跑训练，如果向东跑20 m记为“＋20 m”，那么向西跑20 m记为(　 　)
A.＋20 m B.－20 m
C.＋40 m D.－40 m
A
B
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3.(2025资阳)－的相反数是 (　 　)
A.－4 B.－
C. D.4
4.(2025烟台)｜－3｜的倒数是 (　 　)
A.3 B.
C.－3 D.－
C
B
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5.(2025江西)下列各数中，是无理数的是 (　 　)
A.0 B.
C.3.14 D.
6.(2025绵阳模拟)下列各数中，最小的数是 (　 　)
A.－2 B.－(－2)
C.－ D.－
B
A
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7.(2025内江)2025年5月14日12时12分，全球首个太空计算星座在酒泉卫星发射中心成功发射，此次发射的太空计算星座共有12颗卫星，其中10颗为“内江城市卫星星群”成员.若每颗卫星每天处理的数据量为
3 500 000 000字节，则“内江城市卫星星群”每天处理的总数据量可达到35 000 000 000字节，将数据35 000 000 000用科学记数法表示为(　 　)
A.35×109 B.3.5×109
C.3.5×1010 D.0.35×1010
C
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8.(2025成都)如果某天中午的气温是5 ℃，傍晚比中午下降了7 ℃，那么傍晚的气温是(　 　)
A.2 ℃ B.－2 ℃
C.－5 ℃ D.－7 ℃
9.(2025自贡)若(－4)×□＝8，则□内的数字是(　 　)
A.－2 B.2
C.4 D.－4
B
A
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10.(2025广元)2025年5月29日1时31分，西昌卫星发射中心用长征三号乙运载火箭发射天问二号探测器取得圆满成功.此次发射任务，火箭的入轨速度要达到11.2 km/s，用科学记数法表示这个速度为__________m/s.
11.已知(x－2 025)2＋｜y＋1｜＝0，则yx的值是_____.
12.(2025重庆)若n为正整数，且满足n＜＜n＋1，则n＝___.
1.12×104
－1
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13.计算：
(1)(2025达州)
(－1)0－(－1)2＋；
解：原式＝1－1＋2
＝2.
(2)(2025乐山)＋－2sin 30°；
解：原式＝3＋5－2×
＝3＋5－1
＝7.
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(3)(2025广元)
－2cos 45°＋π0－；
解：原式＝－1－2×＋1－3
＝－1－＋1－3
＝－3.
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(4)(2025遂宁)
－＋＋2sin 60°.
解：原式＝4－3＋(2－)＋2×
＝4－3＋2－＋
＝3.
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14.(2025资阳)已知数轴上点A所表示的数是，则与点A相距2个单位长度的点表示的数是(　 　)
A.＋2或－2 B.2＋或2－
C.＋2 D.－2
15.(2025北京)实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是 (　 　)
A.a＞－1 B.a＋b＝0
C.a－b＞0 D.｜a｜＞｜b｜
A
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16.(2025南充)如图，把直径为1个单位长度的圆从点A沿数轴向右滚动一周，圆上点A到达点A'，点A'对应的数是2，则滚动前点A对应的数
是(　 　)
A.2－2π
B.π－2
C.5－2π
D.2－π
D
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17. 对于两个不相等的实数a，b，定义一种新的运算如下：a*b＝(a＋b＞0)，如：3*2＝＝，那么8*(6*3)＝.
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18.(2025威海)2025年5月，基于“三进制”逻辑的芯片研制成功.与传统的“二进制”芯片相比，三进制逻辑芯片在特定的运算中具有更高的效率.
二进制数的组成数字为0，1.十进制数22化为二进制数：
22＝1×24＋0×23＋1×22＋1×21＋0×20
＝101102.
传统三进制数的组成数字为0，1，2.十进制数22化为三进制数：
22＝2×32＋1×31＋1×30＝2113.
将二进制数10112化为三进制数为 (　 　)
A.1023 B.1013
C.1103 D.123
A
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