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(共32张PPT)
第二章　方程(组)与不等式(组)
第10课时 一元一次不等式(组)及其应用
人教：七下P113～P133；
华师：七下P49～P70；
北师：八下P36～P63.
性质 内容应用
性质1 如果a＞b，那么a±c① b±c
性质2 如果a＞b，c＞0，那么ac② bc
性质3 如果a＞b，c＜0，那么ac④ bc
考点1　 不等式的基本性质
＞
＞
＜
例1 (2025乐山模拟)若a＜b，则下列不等式变形正确的是(　 　)
A.a＋1＞b＋1
B.3a＜3b
C.a－b＞0
D.a2＞b2
变式1-1 已知x＞y，要使不等式(k－2)x＜(k－2)y成立，写出一个符合条件的k的整数值： .
B
1(答案不唯一)
变式1-2 如图，数轴上的点A和点B分别在原点的左侧和右侧，点A，B对应的实数分别是a，b，下列结论一定成立的是(　 　)
A.a－2＜b－2
B.b－a＜0
C.2a＞2b
D.a＋b＜0
A
概念 只含有⑥ 未知数，未知数的次数是⑦ 的不等式叫作一元一次不等式
考点2　一元一次不等式的概念及解法
一个
1
例2 (2025达州)解不等式：≤，并把解集表示在数轴上.
解：去分母，得3(3x－1)≤2(2x＋1).
去括号，得9x－3≤4x＋2.
移项，得9x－4x≤3＋2.
合并同类项，得5x≤5.
系数化为1，得x≤1.
这个不等式的解集在数轴上表示如图所示.
【提醒】在数轴上表示不等式的解集要点：
(1)定方向：小于向左，大于向右；
(2)定边界：“≥”“≤”用实心圆点，“＞”“＜”用空心圆圈.
变式2 求不等式≥x－1的正整数解.
解：去分母，得1＋x≥3(x－1).
去括号，得1＋x≥3x－3.
移项，得x－3x≥－3－1.
合并同类项，得－2x≥－4.
系数化为1，得x≤2.
∴不等式的正整数解为1，2.
概念 关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，组成一个一元一次不等式组
解集 几个一元一次不等式解集的公共部分
考点3　一元一次不等式组的概念及解法
例3 (2025天津)解不等式组
请结合题意填空，完成本题的解答.
(1)解不等式①，得 ；
(2)解不等式②，得 ；
(3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来；
(4)原不等式组的解集为 .
x≤1
x≥－2
－2≤x≤1　
【归纳】利用数轴求不等式组的解集
类型(a＜b) 图示 解集 口诀
x＞b 同大取大
x＜a 同小取小
a＜x＜b 大小小大中间找
无解 大大小小解不了
变式3 (2025重庆)求不等式组：的所有整数解.
解：解不等式①，得x＜2.
解不等式②，得x≥－1.
∴原不等式组的解集为－1≤x＜2.
∴该不等式组的所有整数解是－1，0，1.
例4 (2025成都)2025年8月7日至8月17日，第12届世界运动会将在成都举行，与运动会吉祥物“蜀宝”“锦仔”相关的文创产品深受大家喜爱.某文旅中心在售A，B两种吉祥物挂件，已知每个B种挂件的价格是每个
A种挂件价格的，用300元购买B种挂件的数量比用200元购买A种挂件
的数量多7个.
考点4　一元一次不等式的应用
(1)求每个A种挂件的价格；
解：设每个A种挂件的价格为x元，则每个B种挂件的价格为x元.
根据题意，得－＝7.
解得x＝25.
经检验，x＝25是原方程的解，且符合题意.
答：每个A种挂件的价格为25元.
(2)某游客计划用不超过600元购买A，B两种挂件，且购买B种挂件的数量比A种挂件的数量多5个，求该游客最多购买多少个A种挂件.
解：设该游客购买y个A种挂件，则购买(y＋5)个B种挂件.
由(1)，得每个B种挂件的价格为×25＝20(元).
根据题意，得25y＋20(y＋5)≤600.
解得y≤.
∵y为正整数，∴y最大值为11.
答：该游客最多购买11个A种挂件.
变式4 (2025湖南省卷)同学们准备在劳动课上制作艾草香包，需购买A，B两种香料.已知A种材料的单价比B种材料的单价多3元，且购买4件A种材料与购买6件B种材料的费用相等.
(1)求A种材料和B种材料的单价；
解：设A种材料的单价为x元，B种材料的单价为y元.
根据题意，得解得
答：A种材料的单价为9元，B种材料的单价为6元.
(2)若需购买A种材料和B种材料共50件，且总费用不超过360元，则最多能购买A种材料多少件？
解：设购买A种材料m件，则购买B种材料(50－m)件.
根据题意，得9m＋6(50－m)≤360.
解得m≤20.
∴m的最大值为20.
答：最多能购买A种材料20件.
1.(2025济南)若a＞b，则下列式子正确的是 (　 　)
A.a－1＜b－1 B.＜
C.－a＞－b D.2a＞a＋b
D
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2.(2025福建)不等式x＋1≤2的解集在数轴上表示正确的是(　 　)
C
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3.(2025宜宾)满足不等式组的解 (　 　)
A.－3 B.－1
C.1 D.3
4.不等式2x－3＜11的一个正整数解是 .
5.若(1－a)x≤a－1的解集为x≥－1，则a的取值范围是 .
C
1(答案不唯一，x＜7即可)　
a＞1
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6.解不等式，并把解集在数轴上表示出来.
(1)＞x－2；
解：去分母，得2x－1＞5(x－2).
去括号，得2x－1＞5x－10.
移项，得2x－5x＞－10＋1.
合并同类项，得－3x＞－9.
系数化为1，得x＜3.
把解集表示在数轴上，如图所示.
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(2)1－≤.
解：去分母，得12－3(x－1)≤4(2x＋1).
去括号，得12－3x＋3≤8x＋4.
移项，得－3x－8x≤4－12－3.
合并同类项，得－11x≤－11.
系数化为1，得x≥1.
把解集表示在数轴上，如图所示.
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7.解不等式组：
(1)(2025北京)
解：解不等式①，得x＞－3.
解不等式②，得x＜1.
∴原不等式组的解集为－3＜x＜1.
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(2)(2025成都)
解：解不等式①，得x＞2.
解不等式②，得x≤8.
∴原不等式组的解集为2＜x≤8.
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8.(2025宜宾改编)某中学举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答扣5分.若小明同学想要在这次竞赛中得分不低于80分，他至少要答对多少道题？
解：设小明答对了x道题，则答错或不答的题为(20－x)道.
根据题意，得10x－5(20－x)≥80.
解得x≥12.∴x的最小值为12.
答：他至少要答对12道题.
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9.若关于x，y的方程组的解满足3x＋2y＞7，则m的最
小整数解为 (　 　)
A.4 B.3
C.2 D.1
C
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10.(2025南充)不等式组的解集是x＞2，则m的取值范围
是 .
11.已知实数a，b满足2a－3b＝4，且a≥－1，b＜2，则a的取值范围是
.
12.(2025内江)对于x，y定义了一种新运算G，规定G(x，y)＝x＋3y.若关
于a的不等式组恰好有3个整数解，则实数P的取
值范围是 .
m≤3
1≤a＜5
－17≤P＜－7
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13.(2025遂宁)为了建设美好家园，提高垃圾分类意识，某社区决定购买A，B两种型号的新型垃圾桶.现有如下材料：
材料一：已知购买3个A型号的新型垃圾桶和购买2个B型号的新型垃圾桶共380元；购买5个A型号的新型垃圾桶和购买4个B型号的新型垃圾桶共700元.
材料二：据统计，该社区需购买A，B两种型号的新型垃圾桶共200个，但总费用不超过15 300元，且B型号的新型垃圾桶数量不少于A型号的新
型垃圾桶数量的.
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请根据以上材料，完成下列任务：
任务一：求A，B两种型号的新型垃圾桶的单价.
解：设A型号的新型垃圾桶的单价为x元，B型号的新型垃圾桶的单价为y元.
由题意，得解得
答：A型号的新型垃圾桶的单价为60元，B型号的新型垃圾桶的单价为100元.
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任务二：有哪几种购买方案？
解：设购买A型号的新型垃圾桶a个，则购买B型号的新型垃圾桶(200－a)个.
由题意，得
解得117.5≤a≤120.
∵a为整数，∴a＝118或119或120.
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∴有三种购买方案：
①购买A型号的新型垃圾桶118个，购买B型号的新型垃圾桶82个；
②购买A型号的新型垃圾桶119个，购买B型号的新型垃圾桶81个；
③购买A型号的新型垃圾桶120个，购买B型号的新型垃圾桶80个.
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任务三：哪种方案更省钱？最低购买费用是多少元？
解：方案①购买费用为60×118＋100×82＝15 280(元)；
方案②购买费用为60×119＋100×81＝15 240(元)；
方案③购买费用为60×120＋100×80＝15 200(元).
∵15 280＞15 240＞15 200，
∴购买A型号的新型垃圾桶120个，购买B型号的新型垃圾桶80个更省钱，最低购买费用是15 200元.
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13(共32张PPT)
第二章　方程(组)与不等式(组)
第9课时 一元二次方程及其应用
人教：九上P1～P26；
华师：九上P17～P46；
北师：九上P30～P58.
概念 等式的两边都是整式，只含有① 未知数，并且未知数的最高次数为② 的方程
一般 形式 ax2＋bx＋c＝0，
其中a，b，c为常数且a≠0
解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值
解法 直接开平方法、因式分解法、配方法、公式法
考点1　一元二次方程的相关概念及解法
一个
2
例1 一元二次方程2x2＋3x－4＝0的常数项为(　 　)
A.2 B.3
C.4 D.－4
例2 (2025达州)已知关于x的方程x2＋mx－3＝0的一个根是1，则m的值为 .
变式2 已知方程x2－3x＋1＝0有一个根是m，则代数式2m2－6m＋2 026的值为 .
D
2
2 024
例3 解方程：x2＋4x＋3＝0.
解：解法一　移项，得x2＋4x＝－3.
配方，得x2＋4x＋4＝－3＋4，即(x＋2)2＝1.
两边开平方，得x＋2＝±1，即x＋2＝1或x＋2＝－1.
∴x1＝－1，x2＝－3.
解法二　∵a＝1，b＝4，c＝3，
∴Δ＝b2－4ac＝42－4×1×3＝4.
∴x＝＝＝，
即x1＝－1，x2＝－3.
变式3 解方程：
(1)x2－6x＋8＝0；
解：移项，得x2－6x＝－8.
配方，得x2－6x＋9＝－8＋9，即(x－3)2＝1.
两边开平方，得x－3＝1或x－3＝－1.
∴x1＝4，x2＝2.
(2)2x2＋3x－1＝0.
解：∵a＝2，b＝3，c＝－1，
∴Δ＝b2－4ac＝32－4×2×(－1)＝9＋8＝17.
∴x＝＝＝.
∴方程的解为x1＝，x2＝.
概念 关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式为
③ .
结论 (1)b2－4ac＞0 方程有④ 的实数根；
(2)b2－4ac＝0 方程有⑤ 的实数根；
(3)b2－4ac⑥ 0 方程无实数根
考点2　一元二次方程根的判别式
b2－4ac
两个不相等
两个相等
＜
例4 (2025内江)若关于x的一元二次方程(a－1)x2＋2x＋1＝0有实数根，则实数a的取值范围是(　 　)
A.a≤2 B.a＜2
C.a≤2且a≠1 D.a＜2且a≠1
变式4-1 (2025德阳)若关于x的一元二次方程－2x2＋4x＋k＝0有两个相等的实数根，则k的值是(　 　)
A.2 B.0
C.－2 D.－4
C
C
变式4-2 (2025南充模拟)已知关于x的方程为(k2－1)x2－(3k－1)x＋2＝0，k为实数.判断方程的根的情况.
解：当k2－1＝0时，k＝1或k＝－1.
原方程为－2x＋2＝0或4x＋2＝0.
此时关于x的方程有实数根.
当k2－1≠0时，原方程为一元二次方程.
∵Δ＝(3k－1)2－8(k2－1)＝k2－6k＋9＝(k－3)2≥0，
∴关于x的方程有实数根.
综上，k为任何实数，原方程均有实数根.
内容 若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两实数根分别为x1，x2，则x1＋x2＝⑦ ，x1x2＝⑧ .
考点3　一元二次方程根与系数的关系
例5 (2025乐山)若方程x2－x－2＝0的两个根是x1和x2，则x2＋x1的值为(　 　)
A.－1 B.1
C.－2 D.2
－
C
(1)＋＝(x1＋x2)2－2x1x2；
(2)(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2；
(3)(x1＋1)(x2＋1)＝x1x2＋(x1＋x2)＋1；
(4)＋＝；
(5)＋＝＝；
(6)｜x1－x2｜＝
＝.
变式5-1 (2025广安)已知方程x2－5x－24＝0的两根分别为a和b，则代数式a2－4a＋b的值为 .
变式5-2 若关于x的方程x2－4x＋k＋1＝0有两个实数根.
(1)求k的取值范围；
解：∵关于x的方程x2－4x＋k＋1＝0有两个实数根，
∴Δ＝(－4)2－4(k＋1)≥0.解得k≤3.
29
(2)设x1，x2是方程的两个根，且＋＝x1x2－4，求k的值.
解：根据题意，得x1＋x2＝4，x1x2＝k＋1.
∵＋＝x1x2－4，
∴＝x1x2－4.
∴＝k＋1－4.
化简，得k2－2k－15＝0.
解得k1＝5，k2＝－3.
∵k≤3，
∴k＝－3.
例6 (2025泸州模拟)某水果批发商场经销一种高档水果，商场为了在中秋节和国庆节期间扩大销量，将售价从原来的40元/kg经两次调价后调至32.4元/kg.
(1)若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率.
考点4　 一元二次方程的应用
解：设这个降价率为x.
由题意，得40(1－x)2＝32.4.
解得x1＝0.1，x2＝1.9(舍去).
答：这个降价率为10％.
(2)现在假期结束了，商场准备适当涨价，如果现在每千克盈利10元，每天可售出500 kg，经市场调查发现，在进货不变的情况下，若每千克涨价1元，日销量将减少20 kg，现该商场要保证每天盈利6 000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？
解：设每千克水果应涨价y元.
由题意，得(500－20y)(10＋y)＝6 000.
整理，得y2－15y＋50＝0.
解得y1＝5，y2＝10.
∵要使顾客得到实惠，
∴y应取5.
答：每千克水果应涨价5元.
变式6-1 (2025德阳模拟)在一次篮球邀请赛中，参赛的每两个球队之间都要比赛一场，共比赛36场，则每个球队参赛的场数为(　 　)
A.7 B.8
C.9 D.10
B
变式6-2 (2025广元)如图，在长为12 m，宽为10 m的矩形地面的四周种植花卉，中间种植草坪.如果要求花卉带的宽度相同，且草坪的面积为总面积的，那么花卉带的宽度应为多少米？设花卉带的宽度为x m，则
可列方程为(　 　)
A.(12－x)(10－x)＝12×10×
B.(12－2x)(10－x)＝12×10×
C.(12－x)(10－2x)＝12×10×
D.(12－2x)(10－2x)＝12×10×
D
1.将一元二次方程2x2－1＝4x化成一般形式后，二次项的系数和一次项系数分别是 (　 　)
A.2，－1 B.2，4
C.2，－4 D.2，1
2.用配方法解方程x2－4x－9＝0时，原方程应变形为(　 　)
A.(x－2)2＝13 B.(x－2)2＝11
C.(x－4)2＝11 D.(x－4)2＝13
C
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3.(2025广安)关于x的一元二次方程x2＋3x＋1＝0的根的情况是(　 　)
A.没有实数根
B.有两个不相等的实数根
C.有两个相等的实数根
D.无法确定
4.(2025湖北省卷)一元二次方程x2－4x＋3＝0的两个实数根为x1，x2，下列结论正确的是(　 　)
A.x1＋x2＝－4 B.x1＋x2＝3　
C.x1x2＝4　 D.x1x2＝3
B
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5.(2025福建)为加强劳动教育，增加学生实践机会，某校拟用总长为5 m的篱笆，在两边都足够长的直角围墙的一角，围出一块6 m2的矩形菜地作为实践基地，如图所示.设矩形的一边长为x m，根据题意可列方程为(　 　)
A.5x2＝6
B.5(1＋x2)＝6
C.x(5－x)＝6
D.5(1＋x)2＝6
C
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6.(2025凉山州)某钢铁厂一月份生产钢铁560 t，月平均增长率相同，第一季度共生产钢铁1 860 t.若设月平均增长率为x，那么可列出的方程
是(　 　)
A.560(1＋x)2＝1 860
B.560＋560(1＋x)＋560(1＋2x)＝1 860
C.560＋560(1＋x)＋560(1＋x)2＝1 860
D.560＋560(1＋2x)2＝1 860
C
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7.一元二次方程x2－2x＝0的根是 .
8.(2025苏州)已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2＋2x－m＝0的两个实数根，其中x1＝1，则x2＝ .
9.(2025广元)若关于x的一元二次方程(a－1)x2＋(a－1)x－＝0有两个相
等的实数根，则a＝ .
x1＝0，x2＝2
－3
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10.解方程：
(1)(y－2)(y－3)＝12；
解：化为一般形式，得y2－5y－6＝0.
因式分解，得(y＋1)(y－6)＝0.
∴y＋1＝0或y－6＝0.
解得y1＝－1，y2＝6.
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(2)x2－6x＋1＝0.
解：∵a＝1，b＝－6，c＝1，
∴Δ＝b2－4ac＝(－6)2－4×1×1＝32.
∴x＝＝3±2.
∴x1＝3＋2，x2＝3－2.
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11.(2025泸州)若一元二次方程2x2－6x－1＝0的两根为α，β，则2α2－3α＋3β的值为 .
12.(2025南充)设x1，x2是关于x的方程(x－1)(x－2)＝m2的两根.
(1)当x1＝－1时，求x2及m的值；
解：把x1＝－1代入方程(x－1)(x－2)＝m2，得m2＝6.∴m＝±.
∴(x－1)(x－2)＝6，即x2－3x－4＝0.
解得x1＝－1，x2＝4.∴x2＝4，m＝±.
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(2)求证：(x1－1)(x2－1)≤0.
证明：方程(x－1)(x－2)＝m2可化为x2－3x＋2－m2＝0.
∵Δ＝4m2＋1＞0，
∴原方程有两个不相等的实数根.
由根与系数的关系，得x1＋x2＝3，x1x2＝2－m2.
∴(x1－1)(x2－1)＝x1x2－(x1＋x2)＋1＝2－m2－3＋1＝－m2.
∵－m2≤0，∴(x1－1)(x2－1)≤0.
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13.某摊主购进一款饰品进行销售，该款饰品进价为每个25元，标价为每个37元.临近春节，该摊主打算将该款饰品进行降价销售，若按照标价销售，平均每天可售出4个.经调查发现，每降价1元，平均每天可多售出2个，为了尽快清空库存，将售价定为每个多少元时，才能使该款饰品平均每天的销售利润为90元？(注：利润＝售价－进价)
解：设每个该款饰品售价定为a元.
由题意，得(a－25)×＝90.
化简，得a2－64a＋1 020＝0.
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解得a1＝30，a2＝34.
∵要尽快清空库存，
∴a＝30.
答：当售价定为每件30元时，才能使该款饰品平均每天的销售利润为
90元.
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14.(2024凉山州)阅读下面材料，并解决相关问题：
下图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点……第n行有n个点……
容易发现，三角点阵中前4行的点数之和为10.
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(1)探索：三角点阵中前8行的点数之和为 ，前15行的点数之和为 ，那么，前n行的点数之和为 .
(2)体验：三角点阵中前n行的点数之和 (填“能”或“不能”)为500.
36
120
n(n＋1)
不能
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(3)运用：某广场要摆放若干种造型的盆景，其中一种造型要用420盆同样规格的花，按照第一排2盆，第二排4盆，第三排6盆……第n排2n盆的规律摆放而成，则一共能摆放多少排？
解：前n行的点数之和为
2＋4＋6＋…＋2n＝2×(1＋n)×n＝n(n＋1).
由题意，得n(n＋1)＝420.
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整理，得n2＋n－420＝0，
即(n＋21)(n－20)＝0.
解得n＝20或n＝－21(舍去).
∴一共能摆放20排.
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14(共22张PPT)
第二章　方程(组)与不等式(组)
第8课时 分式方程及其应用
人教：八上P149～P159；
华师：八下P12～P16；
北师：八下P125～P133.
例1 (2025成都模拟)解方程：
＋＝1.
解：方程两边乘(x＋1)(x－1)，得
2(x＋1)＋x(x－1)＝(x＋1)(x－1).
解得x＝－3.
检验：当x＝－3时，(x＋1)(x－1)≠0.
∴原分式方程的解为x＝－3.
考点1　 解分式方程
解分式方程的步骤如下：
变式1 解方程：
(1)(2025资阳改编)＝；
解：方程两边乘(x＋1)(x＋3)，得
3(x＋3)＝5(x＋1).
解得x＝2.
检验：当x＝2时，(x＋1)(x＋3)≠0.
∴原分式方程的解为x＝2.
(2)(2025威海)－1＝；
解：方程两边乘(2x－1)，得
x－2－(2x－1)＝－1.
解得x＝0.
检验：当x＝0时，2x－1≠0.
∴原分式方程的解为x＝0.
(3)(2025德阳模拟)－＝1.
解：方程两边乘(x＋1)(x－1)，得
2＋(x＋1)2＝(x＋1)(x－1).
解得x＝－2.
检验：当x＝－2时，(x＋1)(x－1)≠0.
∴原分式方程的解为x＝－2.
例2 关于y的分式方程＋＝1的解为正数，则a的取值范围为(　 　)
A.a＞1 B.a＞1且a≠4
C.a＞－1 D.a＞－1且a≠4
由分式方程的解为正数，得到关于a的不等式，一定要注意分式方程的公分母不等于0时a的取值.
B
变式2 (2025凉山州)若关于x的分式方程＋＝3无解，则m＝ .
将分式方程化为整式方程，分析无解的两种情况：整式方程无解或使分母为零，分别求解即可.
－1
例3 (2024巴中)某班学生乘汽车从学校出发去参加活动，目的地距学校60 km，一部分学生乘慢车先行0.5 h，另一部分学生再乘快车前往，他们同时到达.已知快车的速度比慢车的速度每小时快20 km，求慢车的速度.设慢车的速度为x km/h，则可列方程为(　 　)
A.－＝ B.－＝
C.－＝ D.－＝
考点2　 分式方程的应用
A
变式3-1 (2025云南)某化工厂采用机器人A、机器人B搬运化工原料，机器人A比机器人B每小时少搬运20 kg，机器人A搬运800 kg所用时间与机器人B搬运1 000 kg所用时间相等.求机器人A、机器人B每小时分别搬运多少千克化工原料.
解：设机器人A每小时搬运x kg化工原料，则机器人B每小时搬运(x＋20)kg化工原料.
根据题意，得＝.
解得x＝80.
经检验，x＝80是原分式方程的解，且符合题意.
∴x＋20＝100.
答：机器人A每小时搬运80 kg化工原料，机器人B每小时搬运100 kg化工原料.
【提醒】分式方程的应用题注意双检验：
(1)检验是否为分式方程的解；
(2)检验是否符合实际意义.
变式3-2 (2025扬州)某文创商店推出甲、乙两款书签，已知甲款书签价
格是乙款书签价格的倍，且用100元购买甲款书签的数量比用128元购
买乙款书签的数量少3个，求这两款书签的单价.
解：设乙款书签的单价为x元，则甲款书签的单价为x元.
根据题意，得＝－3.
解得x＝16.
经检验，x＝16是原分式方程的解，且符合题意.
∴x＝×16＝20.
答：乙款书签的单价为16元，甲款书签的单价为20元.
1.(2025湖南省卷)将分式方程＝去分母后得到的整式方程为 (　 　)
A.x＋1＝2x　
B.x＋2＝1　
C.1＝2x
D.x＝2(x＋1)
A
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2.(2025绥化)用A，B两种货车运输化工原料，A货车比B货车每小时多运输15 t，A货车运输450 t所用时间与B货车运输300 t所用时间相等.若设B货车每小时运输化工原料x t，则可列方程为 (　 　)
A.＝　 B.＝　
C.＝　　 D.＝
C
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3.《九章算术》是我国古代重要的数学专著之一，其中记录的一道题的大意为：把一份文件用慢马送到900里(1里＝500 m)外的城市需要的时间比规定时间多1天；如果用快马送，所需的时间比规定时间少3天.已
知快马的速度是慢马的2倍.根据题意列方程为＝，其中x表
示(　 　)
A.快马的速度 B.慢马的速度
C.规定的时间 D.以上都不对
C
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4.(2025宜宾)方程＋＝0的解为 .
5.一项工程，甲队单独做提前2天完成，乙队单独做要延期5天，现在两队合作3天后，余下的由乙队单独做，正好如期完工，设工程期限为x
天，可列方程为 .
x＝1
＋＝1
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6.解分式方程：－＝1.
解：方程两边乘(x＋3)(x－3)，得
(x＋3)(x＋2)－5＝(x＋3)(x－3).
解得x＝－2.
检验：当x＝－2时，(x＋3)(x－3)≠0.
∴原分式方程的解为x＝－2.
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7.(2025山西)我国自主研发的HGCZ－2000型快速换轨车，采用先进的自动化技术，能精准高效地完成更换铁路钢轨的任务.一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨的千米数是一个工作队人工更换钢轨的2倍，它更换116 km钢轨比一个工作队人工更换80 km钢轨所用时间少22 h.求一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨多少千米.
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解：设一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨x km.
根据题意，得－＝22.
解得x＝2.
经检验，x＝2是原方程的解，且符合题意.
答：一辆该型号快速换轨车每小时更换钢轨2 km.
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8.(2025龙东地区)已知关于x的分式方程－＝3的解为负数，则k的
值为 (　 　)
A.k＜－4 B.k＞－4
C.k＜－4且k≠－ D.k＞－4且k≠－
9.(2025遂宁)若关于x的分式方程＝－1无解，则a的值为(　 　)
A.2 B.3
C.0或2 D.－1或3
A
D
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10.(2025重庆)列方程解下列问题：
某厂生产甲、乙两种文创产品.每天生产甲种文创产品的数量比每天生产乙种文创产品的数量多50个，3天时间生产的甲种文创产品的数量比4天时间生产的乙种文创产品的数量多100个.
(1)求该厂每天生产的甲、乙文创产品数量分别是多少个.
解：设该厂每天生产的乙种文创产品数量是x个，则甲种文创产品数量为(x＋50)个.
根据题意，得3(x＋50)＝4x＋100.
解得x＝50.
∴x＋50＝100.
答：该厂每天生产的乙种文创产品数量是50个，甲种文创产品数量是100个.
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(2)由于市场需求量增加，该厂对生产流程进行了改进.改进后，每天生产乙种文创产品的数量较改进前每天生产的数量增加同样的数量，且每天生产甲种文创产品的数量较改进前每天增加的数量是乙种文创产品每天增加数量的2倍.若生产甲、乙两种文创产品各1 400个，乙比甲多用10天，求每天生产的乙种文创产品增加的数量.
解：设每天生产的乙种文创产品增加的数量是y个，则甲种文创产品增加的数量是2y个.
根据题意，得－＝10.
解得y＝20.
经检验，y＝20是原分式方程的解，且符合题意.
答：每天生产的乙种文创产品增加的数量是20个.
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10(共30张PPT)
第二章　方程(组)与不等式(组)
第7课时 二元一次方程(组)及其应用
人教：七下P87～P112；
华师：七下P23～P48；
北师：八上P102～P134.
二元一次方程 含有① 个未知数，且未知数的次数都是② 的整式方程
方程的解 使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值
方程组 的解 二元一次方程组的两个方程的公共解
考点1　 二元一次方程(组)的相关概念
两
1
例1 已知是二元一次方程组的解，则m－n的
值是(　 　)
A.1 B.2
C.3 D.4
变式1 已知是二元一次方程ax＋by＝5的一个解，则a2＋4ab＋
4b2的值是____.
D
25
考点2　 二元一次方程组的解法
例2 解方程组：
(1)(2025山西)
解：①＋②，得4x＝12.
解得x＝3.
将x＝3代入②，得3＋2y＝1.
解得y＝－1.
∴原方程组的解为
(2)
解：解法一　①×3＋②，得7x＝7.
解得x＝1.
把x＝1代入①，得2×1－y＝4.
解得y＝－2.
∴原方程组的解为
解法二　由①，得y＝2x－4.③
将③代入②，得x＋3(2x－4)＝－5.
解得x＝1.
把x＝1代入③，得y＝2×1－4＝－2.
∴原方程组的解为
解二元一次方程组的基本思想是消元，将二元一次方程组转化为一元一次方程，方法有代入消元法和加减消元法.
变式2-1 已知二元一次方程组则2a－b的值为 .
－4
变式2-2 解方程组：
(1)
解：由②，得y＝－2－3x.③
将③代入①，得2x＋7(－2－3x)＝5.
解得x＝－1.
将x＝－1代入③，得y＝－2－3×(－1)＝1.
∴原方程组的解为
(2)
解：①×2，得4x＋6y＝2.③
③－②，得4y＝－4.
解得y＝－1.
将y＝－1代入①，得2x－3＝1.
解得x＝2.
∴原方程组的解为
例3 已知二元一次方程组的解满足方程3x＋y＝－8，求
k的值.
解：
②×2－①，得3x＋y＝k－20.
∵3x＋y＝－8，∴k－20＝－8.
∴k＝12.
变式3 已知关于x，y的方程组与有
相同的解，求a，b的值.
解：由题意，得
解得
把代入
得解得
例4 (2025绵阳模拟)下表是某水果店所销售的国产车厘子与智利车厘子两种商品的相关信息.已知该水果店某天销售这两种车厘子共122 kg，销售额为6 600元，求该水果店当天销售这两种车厘子的利润共多少元.
考点3　 二元一次方程(组)的应用
商品 智利车厘子 国产车厘子
成本 40元/kg 35元/kg
售价 60元/kg 50元/kg
解：设智利车厘子销售m kg，国产车厘子销售n kg.
由题意，得
解得
∴利润为50×(60－40)＋72×(50－35)＝2 080(元).
答：该水果店当天销售这两种车厘子的利润为2 080元.
变式4-1 (2025达州)《九章算术》中记载了这样一道题：牛5头和羊2只共值10金，牛2头和羊5只共值8金，问牛和羊各值多少金.设每头牛值x金，每只羊值y金，可列方程组为(　 　)
A. B.
C. D.
D
变式4-2 已知用2辆A型车和1辆B型车装满货物一次可运货10 t；用1辆A型车和2辆B型车装满货物一次可运货11 t.某物流公司现有27 t货物，计划同时租用A型车a辆，B型车b辆(a≠0，b≠0)，一次运完，且恰好每辆车都装满货物.根据以上信息，解答下列问题：
(1)1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货多少吨？
解：设1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货x t，y t.
根据题意，得解得
答：1辆A型车和1辆B型车都装满货物一次可分别运货3 t，4 t.
解：有两种租车方案，分别为：①租用A型车1辆，B型车6辆；②租用A型车5辆，B型车3辆.
(2)请你直接写出该公司的租车方案.
解析：根据题意，得3a＋4b＝27.
∴b＝.
∵a，b均为整数，且a≠0，b≠0，
∴有和两种情况.
故共有两种租车方案，分别为：
①租用A型车1辆，B型车6辆；
②租用A型车5辆，B型车3辆.
解二元一次方程组的一般步骤：审题→设未知数→列出二元一次方程组→解二元一次方程组→写出答案.
1.若是关于x，y的二元一次方程x－ay＝4的一组解，则a的值
为(　 　)
A.1 B.2
C.3 D.－3
2.已知二元一次方程组则m＋n的值是(　 　)
A.－2 B.－1
C.0 D.1
C
B
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3.(2024南充)我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空.”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房.设有客房x间，客人y人，则可列方程组为(　 　)
A. B.
C. D.
D
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4.(2025凉山州)若(3x＋2y－19)2＋＝0，则x＋y的平方根
是(　 　)
A.8 B.±8
C.±2 D.2
5.已知是二元一次方程ax－by＝－2的一个解，则4b－20a＋1
的值为 .
6.如果关于x，y的二元一次方程组的解也是方程3x－2y
＝8的解，那么k的值为 .
C
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7.解方程组：
(1)
解：由①＋②，得3x＝12.
解得x＝4.
将x＝4代入②，得4＋y＝5.
解得y＝1.
∴原方程组的解为
1
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(2)
解：①×2＋②，得5x＝5.
解得x＝1.
将x＝1代入①，得1－2y＝3.
解得y＝－1.
∴原方程组的解为
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8.(2025吉林)吉林省长白山盛产人参.为促进我省特色经济的发展，某公司现将人参加工成甲、乙两种盒装的商品出售，甲、乙两种商品的售价分别为每盒25元和20元.某游客购买了甲、乙两种商品共10盒，花费230元.求该游客购买甲种商品和乙种商品的盒数.
解：设该游客购买甲种商品x盒，购买乙种商品y盒.
由题意，得
解得
答：该游客购买甲种商品6盒，购买乙种商品4盒.
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9.(2025泸州)《九章算术》是中国古代一部重要的数学著作，在“方程”章中记载了求不定方程(组)解的问题.例如方程x＋2y＝3恰有一个正整数解x＝1，y＝1.类似地，方程2x＋3y＝21的正整数解的个数是(　 　)
A.1 B.2
C.3 D.4
C
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10.(2025眉山)我国古代算书《四元玉鉴》里有这样一道题：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个.”其大意是：用九百九十九文钱共买了一千个甜果和苦果，其中十一文钱可以买甜果九个，四文钱可以买苦果七个，问甜果苦果各买几个.若设买甜果x个，苦果y个，根据题意可列方程组为(　 　)
A. B.
C. D.
C
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11.如图，该长方形中放置了8个形状、大小都相同的小长方形，则图中阴影部分的面积为 .
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12.(2025宁夏)一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处任意填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则yx＝ .
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13.(2025泸州模拟)“绿水青山就是金山银山”，大家对生态环境的保护意识不断提高.某学校开展植树护林活动，据了解1棵A种树苗、4棵B种树苗的售价共计130元；2棵A种树苗、3棵B种树苗的售价共计160元.
(1)求A，B两种树苗每棵的售价分别为多少元.
解：设A，B两种树苗每棵的售价分别为x元、y元.
根据题意，得
解得
答：A，B两种树苗每棵的售价分别为50元、20元.
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(2)若学校某班计划用400元购进以上两种树苗(两种树苗均要购买，且400元全部用完)，问该班有几种购买方案，请通过计算列举出来.
解：设A，B两种树苗分别购进a棵和b棵.
根据题意，得50a＋20b＝400，
即b＝20－.
∵两种树苗均要购买，
∴a，b均为正整数.
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13
∴或或
答：共有以下3种购买方案：
方案1：A种树苗购进2棵，B种树苗购进15棵；
方案2：A种树苗购进4棵，B种树苗购进10棵；
方案3：A种树苗购进6棵，B种树苗购进5棵.
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13(共31张PPT)
第二章　方程(组)与不等式(组)
第6课时 一元一次方程及其应用
人教：七上P77～P112；
华师：七下P1～P22；
北师：七上P129～P153.
基本 性质1 等式的两边加(或减)同一个数(或式子)，结果仍① ，
即：如果a＝b，那么a±c② b±c
基本 性质2 等式的两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍
③ .
如果a＝b，那么ac④ bc；
如果a＝b，c≠0，那么⑤
考点1　等式的基本性质
相等
＝
相等
＝
＝　
例1 根据等式的基本性质，下列各等式变形正确的是(　 　)
A.如果a＝b，那么a＋1＝b－1
B.如果6a＝3，那么a＝2
C.如果a＝b，那么3a＝3b
D.如果ac＝bc，那么a＝b
变式1 若－3a＋1＝－3b＋1，则下列结论正确的是(　 　)
A.a＝－b B.a＝b
C.a＝3b D.a＝－3b
C
B
方程 含有未知数的等式
方程的解 使方程左右两边的值相等的未知数的值
一元一次 方程 只含有⑥ 未知数，且含有未知数的式子都是⑦ ，未知数的次数都是1的方程
考点2　方程、一元一次方程的相关概念
例2 (2025遂宁)已知x＝2是方程3a－2x＝2的解，则a＝ .
变式2 若关于x的一元一次方程2x＋a＋b＝0的解为x＝1，则代数式2 025－a－b的值为 .
一个
整式
2
2 027
例3 解方程：
(1)(2025眉山)2(x－1)＝2＋x；
考点3 　一元一次方程的解法
解：去括号，得2x－2＝2＋x.
移项，得2x－x＝2＋2.
合并同类项，得x＝4.
(2)－＝1.
解：去分母，得2(5x－2)－(3x＋1)＝4.
去括号，得10x－4－3x－1＝4.
移项，得10x－3x＝4＋4＋1.
合并同类项，得7x＝9.
系数化为1，得x＝.
解一元一次方程的步骤：
去分母 方程两边同乘各分母的最小公倍数，注意不要漏乘分母为“1”的项
去括号 根据去括号法则，把方程中的括号去掉
移项 把含未知数的项和常数项分别移到等号两边，注意移项要改变符号
合并同类项 把方程化为ax＝b的形式
系数化为1 方程两边同除以含未知数项的系数
变式3-1 下列变形正确的是(　 　)
A.3x－2＝4x＋5移项，得3x－4x＝－5＋2
B.2(x＋3)－3(2x－1)＝0去括号，得2x＋6－6x－3＝0
C.x－1＝x去分母，得4x－6＝3x
D.x＝－系数化为1，得x＝－1
　C
变式3-2 解方程：
(1)2(x－3)＝1－(2x－5)；
解：去括号，得2x－6＝1－2x＋5.
移项，得2x＋2x＝1＋5＋6.
合并同类项，得4x＝12.
系数化为1，得x＝3.
(2)＝1－；
解：去分母，得4(3x－1)＝12－3(x＋2).
去括号，得12x－4＝12－3x－6.
移项，得12x＋3x＝4＋12－6.
合并同类项，得15x＝10.
系数化为1，得x＝.
(3)－1＝.
解：去分母，得3(3y－1)－12＝2(5y－7).
去括号，得9y－3－12＝10y－14.
移项，得9y－10y＝－14＋3＋12.
合并同类项，得－y＝1.
系数化为1，得y＝－1.
变式3-3 若有理数a，b使等式a－b＝ab＋1成立，则称数对a，b为“共生有理数对”，记为(a，b).如：2－＝2×＋1，则是“共生有理数对”.若(6，m)是“共生有理数对”，求m的值.
解：∵(6，m)是“共生有理数对”，
∴6－m＝6m＋1.
∴7m＝5.
∴m＝.
例4 在阅读课上，老师把一批文学名著分给某班学生阅读，若每人分3本，则剩余22本；若每人分4本，则还缺少26本.求该班有学生多少人.设该班有学生x人，则可列方程为(　 　)
A.3x－22＝4x＋26 B.3x＋22＝4x－26
C.＝ D.＝
考点4 　一元一次方程的应用
B
变式4-1 (2025天津)《算学启蒙》是我国古代的数学著作，其中有一道题：“今有良马日行二百四十里，驽马日行一百五十里.驽马先行一十二日，问良马几何日追及之.”意思是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走150里.慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以追上慢马，则可以列出的方程为(　 　)
A.240x＝150(x＋12) B.240x＝150(x－12)
C.150x＝240(x＋12) D.150x＝240(x－12)
A
变式4-2 (2025陕西)草莓熟了，学校组织同学们参加劳动实践，帮助果农采摘草莓.小康和小悦采摘的时长相同，采摘结束后，小康采摘的草莓比小悦多2.4 kg.已知小康平均每小时采摘6 kg，小悦平均每小时采摘4 kg，小康采摘的时长是 h.
1.2
变式4-3 整理一批图书，甲、乙两人单独做分别需要6 h，9 h.现在先由甲单独做1 h，剩下的两人合作整理，还要用几小时完成？
解：设两人合作整理这批图书还要用x h完成.
根据题意，得＋x＝1.
解得x＝3.
答：两人合作整理这批图书还要用3 h完成.
变式4-4 张先生需要邮寄若干千克红茶给亲友，经了解，现有甲、乙两家物流公司可供选择，甲物流公司的收费标准是：所有寄件按4元/kg收费；乙物流公司的收费标准是：寄件不大于20 kg收费100元，20 kg以上的部分按2元/kg收费.张先生说：“我无论选择哪家物流公司，要付的邮费都是一样的”.张先生要邮寄多少千克的红茶？
解：∵要付的邮费都是一样的，
∴邮寄红茶的质量需要大于20 kg.
设张先生要邮寄x kg的红茶.
根据题意，得4x＝100＋2(x－20).
解得x＝30.
答：张先生要邮寄30 kg的红茶.
1.若a＝b，则下列等式变形正确的是(　 　)
A.a＋1＝b－1 B.3a＝2b
C.－2a＝－2b D.＝
2.(2025贵州)已知x＝2是关于x的方程x＋m＝7的解，则m的值为(　 　)
A.3 B.4
C.5 D.6
C
C
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
3.在解方程－＝1的过程中，变形正确的是(　 　)
A.2(3x－1)－3(2x＋1)＝6
B.3(3x－1)－4x－2＝1
C.9x－3－4x＋2＝6
D.3(3x－1)－2(2x＋1)＝6
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
4.(2025连云港)《九章算术》中有一个问题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海.今凫雁俱起，问何日相逢.”(凫：野鸭.所提问题即“野鸭与大雁从南海和北海同时起飞，经过多少天能够相遇？”)如果设经过x天能够相遇，根据题意，得 (　 　)
A.x＋x＝1 B.x－x＝1
C.7x＋9x＝1 D.9x－7x＝1
A
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
5.(2025成都)任意给一个数x，按下列程序进行计算.若输出结果是15，则x的值为 .
6.三阶幻方是中国古代劳动人民智慧的结晶.它由9个数组成一个3×3的方格，且每一横行、每一竖列以及两条对角线上的三个数的和都相等.如图是一个残缺的幻方，根据图中已知的3个数，可得x＝ .
3
8
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
7.解方程：
(1)3(x－2)＋1＝x－1；
解：去括号，得3x－6＋1＝x－1.
移项，得3x－x＝－1＋6－1.
合并同类项，得2x＝4.
系数化为1，得x＝2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
(2)－＝.
解：去分母，得x－1－2(x＋2)＝4.
去括号，得x－1－2x－4＝4.
移项、合并同类项，得－x＝9.
系数化为1，得x＝－9.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
8.某公司推出了A，B两款机器人.已知该公司生产5件A款机器人和生产6件B款机器人的成本相同；每件A款机器人的成本比每件B款机器人的成本多2万元.该公司生产的A款机器人和B款机器人每件的成本各是多少万元？
解：设A款机器人每件的成本为x万元，则B款机器人每件的成本为(x－2)万元.
根据题意，得5x＝6(x－2).
解得x＝12.
x－2＝12－2＝10.
答：A款机器人每件的成本为12万元，B款机器人每件的成本为10万元.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
9.(2025德阳)在2 000多年前的《九章算术》中记载了“共买鸡问题”：“今有共买鸡，人出九，盈十一；人出六，不足十六.问人数、物价各几何.”题意是：有若干人一起买鸡，如果每人出9文钱，就多11文钱；如果每人出6文钱，就差16文钱.问买鸡的人数、鸡的价钱各是多少.设买鸡的人数为x，则x为 (　 　)
A.5 B.7
C.8 D.9
D
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
10.若x＝2是关于x的一元一次方程ax－b－4＝0的解，则5－4a＋2b的值是 .
－3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
11.学校图书馆新进了一批图书，九年级(8)班承担志愿者服务协助整理，已知由一名同学单独整理需要30 h才能完成.假设每名同学的整理工作效率相同，张老师先安排一部分同学整理1 h，后来又增加6名同学和他们一起整理2 h，恰好完成整理任务.张老师先安排整理图书的同学有多少名？
解：设张老师先安排整理图书的同学有x名.
根据题意，得×1＋×2＝1.
解得x＝6.
答：张老师先安排整理图书的同学有6名.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
12. 阅读下面的内容，并完成相应任务.
如果两个一元一次方程的解的和为1，那么我们就称这两个方程互为“美好方程”.
例如：方程5x＝10的解为x＝2，方程x＋1＝0的解为x＝－1.
∵2＋(－1)＝1，
∴方程5x＝10与x＋1＝0互为“美好方程”.
1
2
3
4
5
6
7
8
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10
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任务：
(1)请判断方程4x－(x＋5)＝1与－2x－1＝3是否互为“美好方程”，并说明理由；
解：方程4x－(x＋5)＝1与－2x－1＝3不互为“美好方程”.理由如下：
解方程4x－(x＋5)＝1，得x＝2.
解方程－2x－1＝3，得x＝－2.
∵2＋(－2)＝0≠1，
∴方程4x－(x＋5)＝1与－2x－1＝3不互为“美好方程”.
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2
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6
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(2)若关于x的方程2x＋m＝0与－＝1互为“美好方程”，求m
的值.
解：解方程2x＋m＝0，得x＝－.
解方程－＝1，得x＝4.
∵关于x的方程2x＋m＝0与－＝1互为“美好方程”，
∴－＋4＝1.
解得m＝6.
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