资源简介 (共84张PPT)第三章 函数核心微专题2 二次函数方法 水平线段 (右减左) 竖直线段 (上减下) 斜线段 (勾股定理) 斜线段＋角(锐角三角函数)图象条件 AB∥x轴 AB∥y轴 AC⊥BC AG⊥MN，∠BAG＝α，AH⊥x轴结论 AB＝｜xB－xA｜ AB＝｜yA－yB｜ AB＝ AG＝AB·cos α＝AB·类型1 线段问题1.(2025成都模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2＋bx＋c与y轴交于点C(0，2)，与x轴交于A，B两点，对称轴是直线x＝－，连接AC，BC.(1)求该抛物线的解析式；解：∵抛物线y＝－x2＋bx＋c与y轴交于点C(0，2)，对称轴是直线x＝－，∴∴∴该抛物线的解析式为y＝－x2－x＋2.(2)若点M为直线AC上方的抛物线上任意一点，过点M作y轴的平行线，交直线AC于点N，过点M作x轴的平行线，交直线AC于点Q，求MN＋MQ的最大值.解：在y＝－x2－x＋2中，令y＝0，则－x2－x＋2＝0，解得x1＝－4，x2＝1.∴A(－4，0)，B(1，0).设直线AC的解析式为y＝kx＋b1(k≠0).将A(－4，0)，C(0，2)代入直线AC的解析式，得解得∴直线AC的解析式为y＝x＋2.由题意，得MN∥y轴，MQ∥x轴.设M(－4＜m＜0)，则N，yQ＝－m2－m＋2.在y＝x＋2中，当y＝－m2－m＋2时，x＋2＝－m2－m＋2.解得x＝－m2－3m，即Q.∴MN＝－m2－m＋2－＝－m2－2m，MQ＝－m2－3m－m＝－m2－4m.∴MN＋MQ＝－m2－2m＋(－m2－4m)＝－m2－6m＝－(m2＋4m)＝－(m＋2)2＋6.∵－＜0，∴当m＝－2时，MN＋MQ的值最大，最大值为6.2.(2025广安模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－6，0)两点，与y轴交于点C.(1)求抛物线的函数解析式；解：将A(1，0)，B(－6，0)两点代入y＝x2＋bx＋c，得解得∴抛物线的解析式为y＝x2＋5x－6.(2)P是直线BC下方抛物线对称轴的左侧抛物线上一动点，过点P分别作PD∥x轴，交抛物线于点D，作PE⊥BC于点E，求PD＋PE的最大值及此时点P的坐标.解：如图，过P作PH∥x轴交直线BC于点H.∵抛物线的解析式为y＝x2＋5x－6，∴点C(0，－6)，对称轴为直线x＝－.∴OC＝6.∵B(－6，0)，∴OB＝6.∴OB＝OC，即△BOC是等腰直角三角形.∴∠OCB＝45°.∵PH∥x轴，∴∠PHC＝∠OCB＝45°.∵PE⊥BC，∴△PHE是等腰直角三角形，即HE＝PE.∴PH＝＝＝PE.设直线BC的解析式为y＝kx＋b，则解得∴直线BC的解析式为y＝－x－6.设点P(p，p2＋5p－6)，则H(p，－p－6).∴PD＝2＝－5－2p，PH＝－p－6－(p2＋5p－6)＝－p2－6p.∴PD＋PE＝PD＋PH＝－5－2p＋(－p2－6p)＝－(p2＋8p)－5＝－(p＋4)2＋11.∴当p＝－4，即P(－4，－10)时，PD＋PE的最大值为11.方法 铅垂法 (面积作和) 铅垂法 (面积作差) 割补法 (分割求和，补形作差) 平移转化法(同底等高)图象作法 过点P作PQ∥y轴交AB于点Q 过点P作PQ∥y轴交AB的延长线于点Q 连接OP 作PM∥AC，交x轴于点M，连接MC结论 S△ABP＝S△APQ＋S△BPQ＝PQ·｜xA－xB｜ S△ABP＝S△APQ－S△BPQ＝PQ·｜xA－xB｜ S△ABP＝S△AOP＋S△BOP－S△AOB S△PAC＝S△MAC类型2 面积问题3.(2025德阳模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A(1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，3).(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；解：设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－3)，其中a≠0.将C(0，3)代入y＝a(x－1)(x－3)，解得a＝1.∴y＝(x－1)(x－3)＝x2－4x＋3.∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3.∵对称轴为直线x＝－＝2，∴将x＝2代入y＝x2－4x＋3，得y＝－1.∴顶点D的坐标为(2，－1).(2)点P为抛物线上位于直线BC下方的一动点，当△PBC的面积最大时，求点P的坐标.解：∵B(3，0)，C(0，3)，∴直线BC的解析式为y＝－x＋3.∵点P在抛物线上，且位于直线BC下方，∴设P(p，p2－4p＋3)，其中0＜p＜3.如图，作PM∥y轴，交BC于点M，连接PC，PB.∴M(p，－p＋3).∴PM＝yM－yP＝－p2＋3p.∵S△PBC＝S△PMB＋S△PMC，S△PMB＝PM·(xB－xP)，S△PMC＝PM·(xP－xC)，∴S△PBC＝PM·(xB－xP)＋PM·(xP－xC)＝PM·(xB－xC)＝(－p2＋3p)×3.整理，得S△PBC＝－＋，0＜p＜3.∵－＜0，∴当p＝时，S△PBC取得最大值.将p＝代入y＝x2－4x＋3，得y＝－，∴此时点P的坐标为.4.(2025广安模拟)如图，已知抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B(－2，0)，C(6，0)，与y轴交于点A，顶点为D.连接AD，CD，AC，若点P为直线AC上方抛物线上的一个动点.(1)求该抛物线的表达式，并写出其顶点坐标；解：∵抛物线y＝x2＋bx＋c经过点B(－2，0)，C(6，0)，∴y＝(x＋2)(x－6)＝x2－2x－6.∵y＝x2－2x－6＝(x－2)2－8，∴抛物线的顶点坐标为(2，－8).(2)若S△PAC＝S△DAC，求点P的横坐标.解：①∵y＝x2－2x－6，∴当x＝0时，y＝－6.∴A(0，－6).∵C(6，0)，∴设直线AC的表达式为y＝kx－6，把C(6，0)代入，得k＝1.∴直线AC的表达式为y＝x－6.如图，取AD的中点E，连接CE，过点E作AC的平行线EF，交y轴于点F，则S△ACE＝S△ACD.∵S△PAC＝S△DAC，∴S△PAC＝S△ACE.∴点E到AC的距离等于点P到AC的距离.∵D(2，－8)，A(0，－6)，∴E(1，－7).设直线EF的表达式为y＝x＋t.把E(1，－7)代入，得－7＝1＋t.解得t＝－8.∴直线EF的表达式为y＝x－8.当x＝0时，y＝－8，∴F(0，－8).∴AF＝2.∴将直线AC向上平移2个单位长度得到y＝x－4，点P即为直线y＝x－4与抛物线的交点.令x－4＝x2－2x－6，解得x＝＋3或x＝－＋3.∴点P的横坐标为＋3或3－.类型 等腰三角形 直角三角形 等腰直角三角形图示 在直线l上寻找点P，使△ABP为等腰三角形 在直线l上寻找点P，使△ABP为直角三角形类型3 特殊三角形类型 等腰三角形图示在直线l上寻找点P，使△ABP为等腰三角形作法 分别以点A，B为圆心，以AB的长为半径作圆，再作AB的垂直平分线，两圆及垂直平分线分别与l的交点即为点P(简称“两圆一线”)求点坐标 几何法：两腰相等，三线合一；代数法(万能法)：用两点之间距离公式分别表示出AB，AP，BP的长度，由①AB＝AP，②AB＝BP，③BP＝AP分别列方程求出点P的坐标；解析法：求垂直平分线的解析式，联立方程求交点类型 直角三角形图示在直线l上寻找点P，使△ABP为直角三角形作法 分别过点A，B作AB的垂线，再以AB为直径作圆，两垂线及圆分别与l的交点即为点P(简称“两线一圆”)求点坐标 几何法：构造“K型”相似；代数法(万能法)：用两点之间距离公式分别表示出AB，AP，BP的长度，由①AB2＋AP2＝BP2，②AB2＋BP2＝AP2，③BP2＋AP2＝AB2分别列方程求出点P的坐标；解析法：求垂直平分线的解析式，联立方程求交点类型 等腰直角三角形图示作法 将线段BA绕着点B逆时针(或顺时针)旋转90°，得到以点B为直角顶点的等腰直角三角形ABE求点坐标 结合等腰直角三角形的性质，构造“一线三垂直”型全等5. (2025广安模拟)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c交x轴于A(－4，0)，B两点，交y轴于点C(0，4).在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以点A，C，M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.解：存在点M，使得以点A，C，M为顶点的三角形是直角三角形.把A(－4，0)，C(0，4)代入y＝－x2＋bx＋c，得解得∴该二次函数的解析式y＝－x2－3x＋4.∴对称轴为直线x＝－＝－.设M.∵A(－4，0)，C(0，4)，∴AC2＝42＋42＝32，AM2＝＋m2＝＋m2，CM2＝＋(m－4)2＝＋(m－4)2.①当斜边为AC时，AM2＋CM2＝AC2，即＋m2＋＋(m－4)2＝32.整理，得m2－4m－＝0.解得m＝2±.∴M或M.②当斜边为AM时，AC2＋CM2＝AM2，即32＋＋(m－4)2＝＋m2.解得m＝.∴M.③当斜边为CM时，AC2＋AM2＝CM2，即32＋＋m2＝＋(m－4)2.解得m＝－.∴M.综上，点M的坐标为或或或6.(2024达州节选)如图，抛物线y＝ax2＋kx－3与x轴交于点A(－3，0)和点B(1，0)，与y轴交于点C.点D是抛物线的顶点.若点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，是否存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请求出满足条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由.解：存在以点N，A，C为顶点的三角形是等腰三角形.∵抛物线y＝ax2＋kx－3与x轴交于点A(－3，0)和点B(1，0)，∴解得∴抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3.当x＝0时，y＝－3，则C(0，－3).y＝x2＋2x－3＝(x＋1)2－4，则D(－1，－4)，对称轴为直线x＝－1.∵A(－3，0)，C(0，－3)，∴AC2＝32＋32＝18.∵点N是抛物线对称轴上位于点D上方的一动点，设N(－1，n)，其中n＞－4，∴AN2＝(－3＋1)2＋n2＝4＋n2，CN2＝12＋(n＋3)2＝n2＋6n＋10.①当AN＝AC时，4＋n2＝18，解得n＝或n＝－.②当AN＝CN时，4＋n2＝n2＋6n＋10，解得n＝－1.③当AC＝CN时，18＝n2＋6n＋10，解得n＝－3或n＝－－3(舍去).综上，点N的坐标为(－1，)或(－1，－)或(－1，－1)或(－1，－3).7.如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C.点N是抛物线上一动点，M是直线BC上一动点，当△AMN是以N为直角顶点的等腰直角三角形时，求点N的坐标.解：∵抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，∴解得∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3.∴当x＝0时，y＝－3，即C(0，－3).设直线BC的解析式为y＝kx＋b1.∴解得∴直线BC的解析式为y＝x－3.∵点N在抛物线y＝x2－2x－3上，∴设N(n，n2－2n－3).①将线段AN绕着点N逆时针旋转90°，得到以点N为直角顶点的等腰直角三角形AMN，如图，过点N作x轴的垂线，垂足为点F，过点M作MG⊥NF于点G.∵N(n，n2－2n－3)，A(－1，0)，∴AF＝n＋1，NF＝－n2＋2n＋3.∵NF⊥x轴，MG⊥NF，∴∠AFN＝∠MGN＝90°.∴∠FAN＋∠ANF＝90°.∵△AMN是以点N为直角顶点的等腰直角三角形，∴∠ANM＝90°，AN＝MN.∴∠GNM＋∠ANF＝180°－∠ANM＝90°.∴∠FAN＝∠GNM.∴△AFN≌△NGM(AAS).∴AF＝NG＝n＋1，FN＝MG＝－n2＋2n＋3.∴M(n2－n－3，n2－3n－4).∵点M在直线y＝x－3上，∴n2－3n－4＝n2－n－3－3.解得n＝1.∴N(1，－4).②将线段AN绕着点N顺时针旋转90°，得到以点N为直角顶点的等腰直角三角形AMN，过点N作x轴的平行线，分别过点A，点M作该平行线的垂线，垂足分别为点Q，点H，如图.∵N(n，n2－2n－3)，A(－1，0)，∴NQ＝n＋1，AQ＝－n2＋2n＋3.同①同理可得△ANQ≌△NMH(AAS).∴MH＝NQ＝n＋1，HN＝AQ＝－n2＋2n＋3.∴M(－n2＋3n＋3，n2－n－2).∵点M在直线y＝x－3上，∴n2－n－2＝－n2＋3n＋3－3.解得n＝1±.∴N(1＋，－2)或N(1－，－2).综上，点N的坐标为(1，－4)或(1＋，－2)或(1－，－2).类型 图形 作法 求点坐标平行 四边形 三定 一动 连接AB，BC，CA，分别过点A，B，C作对边的平行线，三条平行线的交点即为点P (1)通过点的平移，构造全等三角形来求：(2)根据对角线互相平分来求：类型4 特殊四边形类型 图形 作法 求点坐标平行 四边形 两定两动 (1) (2) 分以下两种情况讨论： (1)若AB为平行四边形的边，将AB上下左右平移，确定P，Q的位置； (2)若AB为平行四边形的对角线，取AB的中点，旋转AB，将点A，B上下左右平移，确定P，Q的位置 (1)通过点的平移，构造全等三角形来求：(2)根据对角线互相平分来求：矩形 (1)当已知线段作对角线时，利用平行四边形求对角线的方法，结合矩形对角线相等且平分的性质，列等量关系式求对应顶点的坐标.(2)当已知线段作边时，利用直角三角形求两直角边的方法，结合矩形邻边垂直的性质，求出已知边的邻边关系式，从而求出对应点的坐标菱形 (1)当已知线段作对角线时，利用平行四边形求对角线的方法，结合等腰三角形求垂直平分线、菱形对角线相互垂直平分的性质，列等量关系式求对应顶点的坐标.(2)当已知线段作边时，利用等腰三角形求腰长的方法，结合菱形四边相等的性质，求出对应顶点的坐标正方形 (1)当已知线段作对角线时，利用平行四边形求对角线的方法，结合正方形对角线相等且互相垂直平分的性质，列等量关系式求对应顶点的坐标.(2)当已知线段作边时，利用等腰三角形腰相等的性质和直角三角形求两直角边的方法，求出已知边的邻边的关系式，从而求出对应点的坐标8.(2025成都模拟)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝－x2－x＋2与y轴交于点C(0，2)，与x轴交于A，B两点.点E是抛物线上一点，点D在x轴上，若平面内以点A，D，C，E为顶点的四边形是平行四边形，求出点E的坐标.解：由题意可设E，D(s，0).∵平面内以点A，D，C，E为顶点的四边形是平行四边形，A(－4，0)，C(0，2)，∴当AC为对角线时，由平行四边形的性质，得解得或(不符合题意，舍去)此时点E的坐标为(－3，2).当AC为边时，平行四边形为ADEC时，由平行四边形的性质，得解得或(不符合题意，舍去)此时点E的坐标为(－3，2).当AC为边时，平行四边形为AEDC时，由平行四边形的性质，得解得或此时点E的坐标为或.综上所述，点E的坐标为(－3，2)或或.9.(2025泸州模拟)如图1，若二次函数y＝ax2－2x＋c(a≠0)的图象与x轴交于点A和点B(3，0)，与y轴交于点C(0，－3).(1)求抛物线的解析式；解：把B(3，0)和C(0，－3)代入y＝ax2－2x＋c(a≠0)，得解得∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3.(2)如图2，将抛物线y＝ax2－2x＋c(a≠0)先向右平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到新的抛物线y'，在y'的对称轴上有一点D，坐标平面内有一点E，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形，求点E的坐标.解：由题意，得y'＝(x－1)2－2(x－1)－3－1＝x2－4x－1＝(x－2)2－5.∴y'的对称轴为直线x＝2.∵B(3，0)，C(0，－3)，∴OC＝OB＝3，∠BCO＝∠CBO＝45°.如答图1，当BC为矩形的一边时，且点D在x轴的下方，过点D作DF⊥y轴于点F.∵点D在y'的对称轴上，∴FD＝2.∵∠BCD＝90°，∠BCO＝45°，∴∠DCF＝45°.∴CF＝FD＝2，OF＝3＋2＝5，即点D(2，－5).∴点C向右平移2个单位长度、向下平移2个单位长度可得到点D，则点B向右平移2个单位长度、向下平移2个单位长度可得到点E(5，－2).如答图2，当BC为矩形的一边时，且点D在x轴的上方，y'的对称轴为直线x＝2与x轴交于点F.∵D在y'的对称轴上，∴FO＝2.∴BF＝3－2＝1.∵∠CBO＝45°，∴∠DBO＝45°.∴BF＝FD＝1，即点D(2，1).∴点B向左平移1个单位长度、向上平移1个单位长度可得到点D，则点C向左平移1个单位长度、向上平移1个单位长度可得到点E(－1，－2).如答图3，当BC为矩形的对角线时，设D(2，d)，E(m，n)，BC的中点F的坐标为.由题意，得解得又DE＝BC，∴(2－1)2＋(d－n)2＝32＋32.解得d－n＝±.∴点E的坐标为或.综上，存在点E(5，－2)或(－1，－2)或或，使得以点B，C，D，E为顶点的四边形是矩形.联立解得n＝.10.(2024泸州节选)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(3，0)，与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称.(1)求该抛物线的解析式.解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(3，0)，与y轴交于点B，且关于直线x＝1对称，∴解得∴y＝－x2＋2x＋3.(2)点C是抛物线上位于第一象限的一个动点，过点C作x轴的垂线交直线AB于点D，在y轴上是否存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形？若存在，求出该菱形的边长；若不存在，请说明理由.解：存在.当y＝－x2＋2x＋3＝0时，解得x1＝3，x2＝－1(舍去)，当x＝0时，y＝3.∴A(3，0)，B(0，3).设直线AB的解析式为y＝kx＋3，把A(3，0)代入，得k＝－1.∴直线AB的解析式为y＝－x＋3.设C(m，－m2＋2m＋3)(0＜m＜3)，则D(m，－m＋3).∴CD＝－m2＋2m＋3＋m－3＝－m2＋3m，BD＝＝m，BC2＝m2＋(－m2＋2m)2.当以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形时，分两种情况：①当BD为边时，则BD＝CD，即－m2＋3m＝m，解得m＝0(舍去)或m＝3－.此时菱形的边长为m＝3－2.②当BD为对角线时，则BC＝CD，即m2＋(－m2＋2m)2＝(－m2＋3m)2.解得m＝2或m＝0(舍去).此时菱形的边长为－22＋3×2＝2.综上，存在点E，使得以B，C，D，E为顶点的四边形是菱形，边长为3－2或2.11.(2025达州模拟改编)如图，抛物线y＝－x2＋2x＋3与x轴交于A，D两点，与y轴交于点B，抛物线的对称轴与x轴交于点C.点P是直线AB上方的抛物线上的动点.若点M为对称轴右侧抛物线上一点，且M在x轴上方，N为平面内一动点，是否存在点P，M，N，使得以A，P，M，N为顶点的四边形为正方形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.解：不存在.理由：令x＝0，则y＝－x2＋2x＋3＝3.令y＝0，则y＝－x2＋2x＋3＝0.解得x1＝3，x2＝－1.∴B(0，3)，D(－1，0)，A(3，0).如图，过点A作AF⊥x轴.∵B(0，3)，A(3，0)，∴OA＝OB＝3.∴∠BAO＝45°.∴∠BAF＝45°.∵点P是直线AB上方的抛物线上的动点，点M为对称轴右侧抛物线上一点，且M在x轴上方，∴∠PAM在∠BAF＝45°内部.∴∠PAM＜45°.假设存在以A，P，M，N为顶点的四边形为正方形，∴△PAM必定是等腰直角三角形.∴∠PAM＝45°或90°，与∠PAM＜45°矛盾.∴假设不成立.∴不存在以A，P，M，N为顶点的四边形为正方形.类型 线段比值之化斜为直 相似三角形的存在性问题图象如图，点P是x轴上一动点，当△BPD与△BCA相似时，求点P的坐标类型5 相似三角形类型 线段比值之化斜为直 相似三角形的存在性问题解题 方法 方法1：过点P作PE∥x轴，则＝； 方法2：过点A作EA∥y轴，过点P作PF∥y轴，则＝ 1.找等角：∠DBP＝∠ABC.2.计算等角的两边：AB，BC，BD，BP.3.分情况列比例式：(1)当△DBP∽△CBA时，＝；(2)当△DBP∽△ABC时，＝.4.解方程得解12.(2025宜宾节选)如图，已知抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A(3，0)，C(0，3).点D为抛物线上第一象限内一点，连接BD，与直线AC交于点E，若DE∶BE＝1∶2，求点D的坐标.解：依题意，分别把A(3，0)，C(0，3)代入y＝－x2＋bx＋c，得解得∴该抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3.令y＝0，则0＝－x2＋2x＋3.∴x1＝3，x2＝－1.∴B(－1，0).过点B作BF⊥AB交AC的延长线于点F，过点D作DG⊥OA交AC于点G，如图.∵BF⊥AB，DG⊥OA，∴BF∥DG.∴△EBF∽△EDG.∴＝.∵DE∶BE＝1∶2，∴DG∶BF＝1∶2.∵A(3，0)，C(0，3)，∴直线AC的解析式为y＝－x＋3.∵B(－1，0)，∴当x＝－1时，y＝－(－1)＋3＝4.∴点F的坐标为(－1，4).∴BF＝4.∴DG＝2.设D(m，－m2＋2m＋3)，则G(m，－m＋3).∴DG＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m.令－m2＋3m＝2时，解得m1＝1，m2＝2.当m＝1时，－m2＋2m＋3＝4，此时D(1，4).当m＝2时，－m2＋2m＋3＝3，此时D(2，3).综上，点D的坐标为(1，4)或(2，3).13. (2025南充模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx－3与x轴交于A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，点M是抛物线上一动点(不与点B重合)，过点M作MN⊥x轴于点N，交直线BC于点P.若点M在直线BC下方的抛物线上运动，是否存在点M，使以点M，P，C为顶点的三角形与△BPN相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由.解：存在符合条件的点M.把A(－1，0)，B(3，0)代入抛物线解析式，得解得∴该抛物线的解析式为y＝x2－2x－3.令x＝0，则y＝－3.∴C(0，－3).∴直线BC的解析式为y＝x－3.∵MN⊥x轴，∴设M(n，n2－2n－3)，且0＜n＜3，则P(n，n－3)，N(n，0).∴PN＝3－n，BN＝3－n，PM＝(n－3)－(n2－2n－3)＝－n2＋3n.∴PN＝BN.∵∠BNP＝90°，∴∠PBN＝∠BPN＝45°.∵△BPN和△CPM相似，且∠CPM＝∠BPN＝45°，∴∠CMP＝∠BNP＝90°或∠MCP＝∠BNP＝90°.当∠CMP＝90°时，则CM⊥MN，且PM＝CM.∴－n2＋3n＝n，即n2－2n＝0.解得n＝0(舍去)或n＝2.∴M(2，－3).当∠MCP＝90°时，过点M作MD⊥y轴于点D，如图.∴∠DCM＝∠CMD＝∠CMP＝45°.∴CD＝DM.∵CD＝－3－(n2－2n－3)＝－n2＋2n，DM＝n，∴－n2＋2n＝n，即n2－n＝0.解得n＝0(舍去)或n＝1.∴M(1，－4).综上，当以M，P，C为顶点的三角形与△BPN相似时，点M的坐标为(2，－3)或(1，－4).1.角度为特殊角(30°，45°，90°等)：可构造“K”型全等或相似.2.相等角：通过构造平行线、等腰三角形、角平分线等，利用锐角三角函数将角度问题转化成线段比例问题，结合三角函数列方程求解.3.倍角或半角：结合图形构造等腰三角形或角平分线.类型6 角度问题14.(2025广安节选)如图，二次函数y＝x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，已知点B的坐标为(9，0)，点C的坐标为(0，－3)，连接BC.(1)求抛物线的解析式.解：把 B(9，0)，C(0，－3)代入y＝x2＋bx＋c，得∴∴抛物线的解析式为y＝x2－x－3.(2)若点P为抛物线上的一个动点，连接PC，当∠PCB＝∠OBC时，求点P的坐标.解：如答图1，当点P在BC下方时.∵∠PCB＝∠OBC，∴PC∥OB.∴点P与点C关于抛物线的对称轴对称.∵抛物线的对称轴为直线x＝－＝4，∴点P的坐标为(8，－3).如答图2，当点P在BC上方时，设直线PC交x轴于点H.∵∠PCB＝∠OBC，∴CH＝BH.∴CH2＝BH2.设H(m，0)，∴(0－m)2＋(－3－0)2＝(9－m)2.解得m＝4.∴H(4，0).设直线PC的解析式为y＝k1x＋b1(k1≠0).∴解得∴直线PC的解析式为y＝x－3.联立得或(舍去)∴点P的坐标为.综上，点P的坐标为(8，－3)或.15.(2025南充模拟)如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于A和B(1，0)两点，与y轴相交于点C，且顶点D(－1，4)，P是抛物线上一动点.(1)求二次函数的解析式；解：∵二次函数的图象顶点为点D(－1，4)，故设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)2＋4(a≠0).∵抛物线经过B(1，0)，∴a(1＋1)2＋4＝0.解得a＝－1.∴抛物线的解析式为y＝－(x＋1)2＋4，即y＝－x2－2x＋3.(2)连接BC，若∠PBC＝45°，求点P的坐标.解：如图，将CB以C为旋转中心顺时针旋转90°，点B对应点为B'，连接BB'交抛物线于点P，过点C作MN∥x轴，BN⊥MN于点N，B'M⊥MN于点M.∴∠PBC＝45°.令－x2－2x＋3＝0，解得x1＝－3，x2＝1.∴A(－3，0)，B(1，0).∵当x＝0时，y＝3，∴C(0，3).∵∠MCB'＝∠CBN＝90°－∠NCB，∴在△MB'C和△NCB中，∴△MB'C≌△NCB(AAS).∴NB＝MC＝yC－yB＝3，CN＝B'M＝xB－xC＝1.∴B'(－3，2).设直线BB'的解析式为y＝kx＋b(k≠0).∴解得∴直线BB'的解析式为y＝－x＋.联立整理，得2x2＋3x－5＝0.解得x1＝－，x2＝1(舍去).当x＝－时，y＝－×＋＝.∴P.16.如图，已知抛物线y＝x2－ax－a－1与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，且与y轴交于点C(0，－3).(1)求点A，B的坐标；解：把点C(0，－3)代入y＝x2－ax－a－1，得－3＝－a－1.解得a＝2.∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3.令y＝0，则x2－2x－3＝0.解得x＝－1或x＝3.∵点A在点B的左侧，∴A(－1，0)，B(3，0).(2)若点D在抛物线上，且∠ACO＋∠BCD＝45°，求点D的坐标.解：设D(m，m2－2m－3).①如答图1，当点D在x轴上方时，设CD交x轴于点E，过点D作DN⊥y轴于点N.∵∠DCO＋∠BCD＝∠OCB＝45°，∠ACO＋∠BCD＝45°，∴∠ACO＝∠DCO.∵OA＝1，OC＝3，∴tan∠ACO＝.∴tan∠DCO＝＝.∴＝.解得m＝5或m＝0(舍去).当m＝5时，m2－2m－3＝12.∴D(5，12).②如答图2，当点D在x轴下方时，过点C作CF⊥y轴，过点D作DF⊥CF交于F.∵△OBC是等腰直角三角形，∴∠OCB＝45°.∵CF⊥CO，∴∠BCF＝45°.∵∠ACO＋∠BCD＝45°，∴∠ACO＝∠DCF.∵OA＝1，OC＝3，∴tan∠ACO＝.∴tan∠DCF＝＝，即＝.解得m＝.当m＝时，m2－2m－3＝－.∴D.综上，点D的坐标为(5，12)或.17.(2025内江模拟)如图，抛物线y＝ax2＋bx－3经过A(－1，0)，B(3，0)两点，与y轴交于点C，P为第四象限内抛物线上的一个动点，过点P作PM⊥x轴于点M，连接AC，AP，AP与y轴交于点D.(1)求抛物线的函数表达式；解：将A(－1，0)，B(3，0)代入y＝ax2＋bx－3，得解得∴抛物线的函数表达式为y＝x2－2x－3.(2)当∠MPA＝2∠PAC时，求直线AP的解析式及点P的坐标.解：由(1)，得C(0，－3).∵OC∥MP，∴∠CDP＝∠MPA.∵∠MPA＝2∠PAC，∴∠CDP＝2∠PAC.∴∠DAC＝∠DCA.∴AD＝CD.设D(0，n)，∴1＋n2＝(n＋3)2.∴n＝－.∴D.设直线AP的解析式为y＝kx＋c.∴∴∴直线AP的解析式为y＝－x－.联立方程组得(舍去)或∴P.(共29张PPT)第三章 函数第18课时 二次函数的实际应用人教：九上P27～P57；华师：九下P1～P34；北师：九下P28～P63.例1 在边长为44 cm的正方形硬纸板(如图1)的四个顶点处分别剪掉一个小正方形，折成一个长方体形的无盖盒子(如图2).若剪掉的小正方形的边长为x cm，长方体形的无盖盒子的侧面积为S cm2.(1)①求S与x的函数关系式；考点1 面积最值问题解：由题意，得长方体形的无盖盒子的底面边长为(44－2x)cm.∴盒子的侧面积S＝4x(44－2x)，即S＝－8x2＋176x.②直接写出x的取值范围.解：x的取值范围为0＜x＜22.(2)求当x取何值时，S达到最大，并求出其最大值.解：∵S＝－8x2＋176x，∴S＝－8(x－11)2＋968.∴当x＝11时，S达到最大，S最大＝968.变式1 如图，有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙(墙长为15 m)，另外三边用长为16 m的篱笆围成，则这个苗圃园面积的最大值为____m2.32例2 (2025达州)为弘扬达州地方文化，让更多游客了解巴人故里，某文旅公司推出多款文创产品.已知某款巴小虎吉祥物的成本价是30元，当售价为40元时，每天可以售出60件，经调查发现，售价每降价1元，每天可以多售出10件.(1)设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量是___________件.考点2 利润最值问题(60＋10x)(2)为让利于游客，该款巴小虎吉祥物降价多少元时，文旅公司每天的利润是630元？解：设该款巴小虎吉祥物降价x元.根据题意，得(40－30－x)(60＋10x)＝630.整理，得x2－4x＋3＝0.解得x1＝1，x2＝3.∵要让利于游客，∴x＝1舍去.∴该款巴小虎吉祥物降价3元时，文旅公司每天的利润是630元.(3)文旅公司每天售卖该款巴小虎吉祥物的利润为W元，当售价为多少元时，每天的利润最大？最大利润是多少？解：设该款巴小虎吉祥物降价m元.则W＝(40－30－m)(60＋10m)＝(10－m)(60＋10m)＝－10m2＋40m＋600＝－10(m－2)2＋640.∵－10＜0，∴当m＝2时，W取最大值，最大值为640元，此时售价为38元.答：当售价为38元时，每天的利润最大，最大利润是640元.变式2 某超市以每件10元的价格购进一种文具.经过市场调查发现，该文具每天的销售数量y(件)与销售单价x(元)(15≤x≤26)之间满足y＝－2x＋60，则销售这种文具每天可得( )A.最大利润150元B.最大利润128元C.最小利润150元D.最小利润128元D例3 (2025武威)如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OM，喷头M向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y＝－x2＋2x＋(x＞0)，则水流喷出的最大高度是( )考点3 抛物线形问题A.3 mB.2.75 mC.2 mD.1.75 mB变式3-1 (2025连云港)如图，小亮同学掷铅球时，铅球沿抛物线y＝a(x－3)2＋2.5运行，其中x是铅球离初始位置的水平距离，y是铅球离地面的高度.若铅球抛出时离地面的高度OA为1.6 m，则铅球掷出的水平距离OB为___m.8变式3-2 如图，用细竹篾编织的罩子，横截面可以近似地看成一个抛物线形状.已知其宽度OA＝60 cm，最高点M(抛物线的顶点)到OA的距离为30 cm.(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；解：由题意，得点M的坐标为(30，30)，点A的坐标为(60，0).设抛物线的表达式为y＝a(x－30)2＋30.将A(60，0)代入，得0＝a(60－30)2＋30.解得a＝－.∴抛物线的表达式为y＝－(x－30)2＋30＝－x2＋2x.(2)如果罩子紧贴桌面，罩内盘子放成一排，试通过计算说明罩子下面能否放下2个直径为27 cm、高度为6 cm的盘子.解：将y＝6代入y＝－(x－30)2＋30，得6＝－(x－30)2＋30.解得x1＝30－12，x2＝30＋12.∵(30＋12)－(30－12)＝24＜54，∴罩子下面不能放下2个直径为27 cm、高度为6 cm的盘子.1.某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销量，该品牌头盔7月份销售1 500个，9月份销售y个，设7月份到9月份销售量的月平均增长率为x，那么y与x的关系式为( )A.y＝1 500(1＋x)2 B.y＝1 500(1－x)2C.y＝(1＋x)2＋1 500 D.y＝x2＋1 500A123456782.在一次炮弹发射演习中，记录到一门迫击炮发射的炮弹的飞行高度y(m)与飞行时间x(s)的关系式为y＝－x2＋10x，当炮弹落到地面时，经过的时间为( )A.40 s B.45 sC.50 s D.55 sC123456783.有一座抛物线形拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系.正常水位时，桥下水面宽度为20 m，拱顶距离水面4 m，桥下水深6 m.为保证过往船只顺利航行，桥下水面宽度不得小于18 m，则水深不得超过( )A.6.24 mB.6.76 mC.7 mD.7.24 mB123456784.飞机着陆后滑行的距离s(单位：m)关于滑行的时间t(单位：s)的函数关系式是s＝－t2＋60t，则飞机着陆后滑行_____m才能停下来.600123456785.某商场销售一种商品，进价为每个20元，规定每个商品售价不低于进价，且不高于45元.经调查发现，每天的销售量y(个)与每个商品的售价x(元)满足一次函数关系，其部分数据如下表所示：每个商品的售价x/元 … 25 30 35 …每天的销售量y/个 … 110 100 90 …12345678(1)求y与x之间的函数关系式.解：由题意可设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b.∵当x＝25时，y＝110，当x＝30时，y＝100，∴解得∴y与x之间的函数关系式为y＝－2x＋160.12345678(2)设商场每天获得的总利润为w(元)，当商品的售价为多少元时，商场每天获得的总利润最大？最大利润是多少？解：由题意，得w＝(x－20)(－2x＋160)＝－2x2＋200x－3 200＝－2(x－50)2＋1 800，20≤x≤45.∵－2＜0，∴当x＝45时，w取得最大值，最大值为1 750.答：当商品的售价为45元时，商场每天获得的总利润最大，最大利润是1 750元.123456786.(2025绵阳模拟)如图，某农场拟建造由甲、乙两个矩形组成的羊圈，羊圈的一面靠15 m长的墙AB，其余的部分用栅栏围成甲、乙两部分.已知提前准备的建筑材料可以建造24 m长的栅栏，则该羊圈最大面积可以建造____m2.48123456787.(2025南充)学校计划租用客车送师生到某红色基地，参加主题为“缅怀先烈，强国有我”的研学活动，请阅读下列材料，并完成相关问题.材料一 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客600人与用B型客车载客450人的车辆数相同材料二 A型客车租车费用为3 200元/辆；B型客车租车费用为3 000元/辆.优惠方案：租用A型客车m辆，租车费用(3 200－50m)元/辆；租用B型客车，租车费用打八折材料三 租车公司最多提供8辆A型客车；学校参加研学活动师生共有530人，租用A，B两种型号客车共10辆12345678(1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？解：设A型客车每辆载客量是x人.根据题意，得＝.解得x＝60.经检验，x＝60是方程的根，且符合题意.60－15＝45(人).答：A型客车每辆载客量是60人，B型客车每辆载客量是45人.12345678(2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？解：设租A型客车m辆，B型客车(10－m)辆，租车总费用w，则60m＋45(10－m)≥530.解得m≥.w＝(3 200－50m)m＋3 000×0.8×(10－m)＝－50m2＋800m＋24 000.∵－50＜0，且对称轴为m＝－＝8，∴m≤8时，w随着m的增大而增大.∵m取正整数，且m≥，∴当m＝6时，w有最小值，最小值为27 000元.∴本次研学活动学校最少租车费用为27 000元.123456788.在某科幻电影中有这样一个场景：甲机器人为完成某项任务从一座高塔的顶端起跳，飞向对面的防御墙.同学们将甲机器人的飞行路线看作抛物线的一部分，取地面上水平线OB为x轴，铅垂线OG为y轴，并建立如图所示的平面直角坐标系.从甲机器人起跳到落地的过程中，甲机器人离地面的铅垂高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足y＝a(x－h)2＋n(a＜0，a，h，n都为常数).若GO＝25 m，甲机器人起跳后的最高点距地面26 m，与点G的水平距离是2 m，防御墙AC与起跳点G的水平距离为5 m，防御墙宽AB＝6 m，防御墙高AC＝20 m.12345678(1)求y与x之间的函数关系式(结果写成顶点式)；解：由题意，得h＝2，n＝26.∴y＝a(x－2)2＋26.∵GO＝25，∴G(0，25).∴25＝a(0－2)2＋26.解得a＝－.∴y与x之间的函数关系式为y＝－(x－2)2＋26.12345678(2)通过计算说明甲机器人能否成功跳到防御墙上；解：由题意，得C(5，20)，D(11，20).令y＝20，得20＝－(x－2)2＋26.解得x＝2－2(舍)或x＝2＋2.∵6＜2＋2＜7，∴甲机器人能成功跳到防御墙上.12345678(3)为阻止甲机器人攻入防御墙，乙机器人需在CD的中点E处朝甲机器人射击，射击路线可看作直线y＝kx＋b(k，b为常数)，若乙机器人射中了空中飞行的甲机器人，求k的取值范围.解：∵C(5，20)，D(11，20)，E为CD的中点，∴E(8，20).∴b＝20－8k.∴直线的关系式为y＝kx＋20－8k.当直线与抛物线相切时，方程kx＋20－8k＝－(x－2)2＋26有两个相等的实数根.整理方程，得x2＋4(k－1)x－4(5＋8k)＝0.12345678∴Δ＝16(k－1)2＋16(5＋8k)＝0.解得k＝－3－(此时直线与点E下方的抛物线相切，故舍去)或k＝－3＋.又抛物线与CD的交点在点E的左侧，∴－3＋≤k≤0.12345678(共35张PPT)第三章 函数第17课时 二次函数的图象与性质(2)人教：九上P27～P57；华师：九下P1～P34；北师：九下P28～P63.字母或代数式 符号 图象的特征a a＞0 开口向① .a＜0 开口向② .a，b b＝0 对称轴为y轴ab＞0(a与b同号) 对称轴在y轴③ 侧ab＜0(a与b异号) 对称轴在y轴④ 侧考点1 二次函数的字母参数上下左右字母或代数式 符号 图象的特征c c＝0 经过原点c＞0 与y轴⑤ 半轴相交c＜0 与y轴⑥ 半轴相交b2－4ac b2－4ac＝0 与x轴有唯一交点(顶点)b2－4ac＞0 与x轴有两个不同的交点b2－4ac＜0 与x轴⑦ 交点正负没有例1 (2025达州)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于点A(1，0)，点B(3，0)，下列结论：①abc＜0；②4a＋b＝0；③b2－4ac＞0；④a－b＋c＞0.正确的个数为( )A.1B.2C.3D.4D变式1 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)与x轴的一个交点的横坐标是－1，对称轴是x＝1，其部分图象如图所示，下列结论错误的是( )A.c＞0B.ab＜0C.4a＋2b＋c＞0D.当y＞0时，－1＜x＜2D1.二次函数y＝a(x－h)2＋k图象的平移变换考点2 二次函数图象的变换移动方向与距离m(m＞0) 平移后表达式向左平移m个单位长度 y＝a(x－h＋m)2＋k向右平移m个单位长度 y＝a(x－h－m)2＋k向上平移m个单位长度 y＝a(x－h)2＋k＋m向下平移m个单位长度 y＝a(x－h)2＋k－m口诀：左加右减，上加下减 2.二次函数y＝a(x－h)2＋k图象的对称、旋转变换类型 变换情况 变换后表达式轴对称 关于x轴对称 y＝－a(x－h)2－k关于y轴对称 y＝a(x＋h)2＋k旋转 绕顶点旋转180° y＝－a(x－h)2＋k绕原点旋转180° y＝－a(x＋h)2－k例2 在平面直角坐标系中，将抛物线y＝－x2先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到的新抛物线的表达式为( )A.y＝－(x＋1)2－2B.y＝－(x－1)2－2C.y＝－(x－1)2＋2D.y＝－(x＋1)2＋2A变式2 二次函数y＝－2x2＋8x＋1的图象通过平移可得到y＝－2x2的图象，则平移方式为( )A.向左平移2个单位，向上平移9个单位B.向右平移2个单位，向上平移9个单位C.向左平移2个单位，向下平移9个单位D.向右平移2个单位，向下平移9个单位C例3 将抛物线y＝－(x－1)2＋2沿x轴翻折，则变换后抛物线的表达式是( )A.y＝－(x＋1)2＋2B.y＝－(x－1)2－2C.y＝(x＋1)2＋2D.y＝(x－1)2－2变式3 将二次函数y＝－2(x－1)2＋4的图象绕原点O旋转180°，所得到的图象对应的函数表达式是_________________________________.Dy＝2(x＋1)2－4(或y＝2x2＋4x－2)已知条件 所设关系式顶点坐标(h，k) 顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)对称轴x＝h 最值y＝k 与x轴的两个交点坐标(x1，0)，(x2，0) 交点式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)任意三点坐标 一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)考点3 用待定系数法求二次函数的关系式例4 (1)若抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标为(3，－6)，且经过点(2，2)，求抛物线的表达式；解：设抛物线的表达式为y＝a(x－3)2－6(a≠0).把点(2，2)代入，得2＝a－6.解得a＝8.∴该抛物线的表达式为y＝8(x－3)2－6，即y＝8x2－48x＋66.(2)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(0，4)，B(－3，10)，对称轴直线x＝－1与抛物线交于点C，求抛物线的表达式.解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过点A(0，4)，B(－3，10)，对称轴直线x＝－1，∴解得∴抛物线的表达式为y＝2x2＋4x＋4.(3)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为D(－1，4)，抛物线与x轴交于A，B两点.若AB＝4，求抛物线表达式.解：∵抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点为D(－1，4)，∴抛物线的对称轴为直线x＝－1.∵AB＝4，∴A(－3，0)，B(1，0).∴抛物线的表达式为y＝a(x＋3)(x－1).将点D的坐标代入上式，得4＝a(－1＋3)(－1－1).解得a＝－1，则抛物线的表达式为y＝－x2－2x＋3.(4)如图，已知抛物线y＝ax2－2ax＋c与x轴交于点A，B两点，与y轴交于点C，直线BC的表达式为y＝－x＋3，求抛物线的表达式.解：∵直线BC的表达式为y＝－x＋3，∴x＝0时，y＝3；y＝0时，x＝3.∴B(3，0)，C(0，3).将B(3，0)，C(0，3)代入y＝ax2－2ax＋c，得解得∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3.变式4 如图，已知抛物线y＝x2＋4x与直线y＝2x＋2交于A，B两点，将抛物线沿着射线AB平移2个单位长度，求平移后的抛物线的表达式.解：∵抛物线y＝x2＋4x沿着射线AB平移2个单位长度，∴抛物线向右平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度.∵平移前抛物线的表达式为y＝x2＋4x＝(x＋2)2－4，∴平移后抛物线的表达式为y＝(x＋2－4)2－4＋2＝(x－2)2－2＝x2－4x＋2.1.若二次函数y＝ax2的图象经过点A(1，2)，则a的值为( )A.1 B.2C.3 D.42.已知抛物线与二次函数y＝－3x2的图象形状相同、开口方向相同，且顶点坐标为(－1，3)，它对应的函数关系式为( )A.y＝－3(x－1)2＋3 B.y＝3(x－1)2＋3C.y＝3(x＋1)2＋3 D.y＝－3(x＋1)2＋3BD1234567891011123.二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，其对称轴为x＝1，则下列结论中错误的是( )A.abc＜0B.a－b＋c＜0C.2a＋b＝0D.3a＋c＞0D1234567891011124.直线y＝ax＋b与抛物线y＝ax2＋bx＋b在同一平面直角坐标系里的大致图象正确的是( )D1234567891011125.将二次函数y＝x2－4x＋3的图象向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度后，关系式为 ( )A.y＝(x－6)2－2 B.y＝(x－2)2＋1C.y＝(x＋2)2－1 D.y＝(x－4)26.(2025广东省卷)已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过点(c，0)，但不经过原点，则该二次函数的关系式可以是________________________________________________.(写出一个即可)Dy＝－x2＋x＋2(答案不唯一，c－b＝1且c≠0即可)1234567891011127.如图，在平面直角坐标系中，y＝ax2＋2x＋c与x轴交于点A(－3，0)和点B(1，0)，与y轴交于点C，则OC的长为___.31234567891011128.在平面直角坐标系中，已知二次函数y＝x2＋bx＋2的图象经过点A(－2，2).(1)求该二次函数图象的顶点坐标；解：∵二次函数y＝x2＋bx＋2的图象经过点A(－2，2)，∴(－2)2＋b×(－2)＋2＝2.∴b＝2.∴二次函数的关系式为y＝x2＋2x＋2＝(x＋1)2＋1.∴该二次函数图象的顶点坐标为(－1，1).123456789101112(2)已知平面内一点P(0，k)，将点P向左平移2个单位长度，平移后的对应点在这个二次函数图象上，试求k的值.解：将P(0，k)向左平移2个单位长度后的坐标为(－2，k).把(－2，k)代入y＝x2＋2x＋2，得k＝(－2)2＋2×(－2)＋2＝2.1234567891011129.(2025凉山州)二次函数y＝ax2＋bx＋c的部分图象如图所示，其对称轴为x＝2，且图象经过点(6，0)，则下列结论错误的是( )A.bc＞0B.4a＋b＝0C.若a＋bx1＝a＋bx2且x1≠x2，则x1＋x2＝4D.若(－1，y1)，(3，y2)两点都在抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象上，则y2＜y1D12345678910111210.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c图象与x轴相交于点A(x1，0)，B(x2，0)，且x1＋x2＝1，x1x2＝－2，若二次函数经过点C(－2，4)，则该二次函数的表达式为_____________.y＝x2－x－212345678910111211.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴相交于点C(0，－3)，且抛物线的顶点坐标为(1，－4).(1)求抛物线的表达式.解：∵抛物线与y轴相交于点C(0，－3)，且抛物线的顶点坐标为(1，－4)，∴设抛物线的表达式为y＝a(x－1)2－4.把C(0，－3)代入，得a(0－1)2－4＝－3.解得a＝1.∴y＝(x－1)2－4＝x2－2x－3.123456789101112(2)P是抛物线上位于第四象限的一点，点D(0，－1)，连接BC，DP相交于点E，连接PB.若△CDE与△PBE的面积相等，求点P的坐标.解：当y＝x2－2x－3＝0时，解得x1＝3，x2＝－1.∴B(3，0).∵C(0，－3)，∴设直线BC的表达式为y＝kx－3.把B(3，0)代入，得k＝1.∴y＝x－3.如图，过点P作PF⊥x轴，垂足为F.123456789101112设P(m，m2－2m－3)，则OF＝m，PF＝－m2＋2m＋3.∴BF＝3－m.∵△CDE与△PBE的面积相等，∴S△CDE＋S四边形ODEB＝S△PBE＋S四边形ODEB，即S△BOC＝S四边形ODPB＝S△PFB＋S梯形ODPF.∵D(0，－1)，∴OD＝1.∴×3×3＝×(－m2＋2m＋3)·(3－m)＋×(－m2＋2m＋3＋1)m.解得m＝或m＝0(舍去).∴P.12345678910111212.(2025成都模拟)如图，将抛物线l1：y＝x2平移，得到的新抛物线l2经过点A(0，－3)和B(6，0).在第四象限内新抛物线l2上取点M，设点M在原抛物线l1上的对应点为M'.(1)求新抛物线l2的表达式.解：∵将抛物线l1：y＝x2平移得到新抛物线l2，∴设新抛物线l2的表达式为y＝x2＋bx＋c.把A(0，－3)和B (6，0)代入，得解得∴新抛物线l2的表达式为y＝x2－x－3.123456789101112(2)若BM∥AM'，求点M的坐标.解：∵新抛物线l2的表达式为y＝x2－x－3＝(x－2)2－4，∴抛物线l1的顶点O(0，0)平移到抛物线l2的顶点D(2，－4).∴抛物线l1平移得抛物线l2的平移方式为向右平移2个单位长度，向下平移4个单位长度.∴设M'，则M.设AM'的表达式为y＝k1x＋b1，它过A(0，－3)和M'，则123456789101112解得k1＝m＋.设BM的表达式为y＝k2x＋b2，它过点B(6，0)和M，则解得k2＝m＋1.∵AM'∥BM，∴m＋＝m＋1.∴m＝3.经检验，m＝3是原方程的根.当m＝3时，m＋2＝5，m2－4＝－.∴M.123456789101112(3)若点M在第四象限内新抛物线l2上移动，试探究四边形AMBM'的面积是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请求出它的最大值.解：如图，设新抛物线l2的顶点为D，连接OD，AB，MM'，设AB和MM'交于点H，和OD交于点E.设OD的表达式为y＝k3x，∵D(2，－4)，∴2k3＝－4，解得k3＝－2.∴OD的表达式为y＝－2x.123456789101112设AB的表达式为y＝k4x＋b4，它过A(0，－3)和B(6，0)，则解得∴设AB的表达式为y＝x－3.联立方程组解得∴E.123456789101112∴OE＝＝，BE＝＝，OB＝6.∵OE2＋BE2＝＋＝36＝62＝OB2，∴△OEB是直角三角形.∴OD⊥AB.∵平移过程中，点D的对应点为O，点M的对应点为M'，∴OD∥M'M，OD＝M'M.∴M'M⊥AB.123456789101112∴S四边形AMBM'＝M'M·AB＝OD·AB＝××＝15.∴四边形AMBM'的面积是定值，这个定值为15.123456789101112(共31张PPT)第三章 函数第16课时 二次函数的图象与性质(1)人教：九上P27～P57；华师：九下P1～P34；北师：九下P28～P63.概念 一般地，形如① (a，b，c是常数，a≠0)的函数，叫作二次函数 图象 a＞0 a＜0开口方向 开口向上 开口向下考点1 二次函数的概念、图象与性质y＝ax2＋bx＋c对称轴(1)直线x＝② ；(2)若A(x1，y)，B(x2，y)在抛物线上，则对称轴为直线x＝顶点 坐标(1)直接运用顶点坐标公式③ ；(2)运用配方法将一般式转化为顶点式y＝a(x－h)2＋k，则顶点坐标为④ .－(h，k)增减性 当x⑤ 时，y随x的增大而增大； 当x⑥ 时，y随x的增大而减小 当x⑦ 时，y随x的增大而增大；当x⑧ 时，y随x的增大而减小最值 当x＝－时，y最小值＝⑨ 当x＝－时，y最大值＝⑩＞－＜－＜－＞－例1 已知二次函数y＝－x2＋2x＋3，尝试探究该函数图象的性质，并回答下列问题.(1)列表：请将下表中x与y的对应值填在相应的横线上.根据表中数据解答下列问题：①对称轴是直线x＝___，顶点坐标是________；②该二次函数的图象与x轴的交点坐标为__________________，与y轴的交点坐标为________.x … －1 0 1 2 3 …y … ___ ___ ___ ___ ___ …034301(1，4)(－1，0)，(3，0)(0，3)(2)画图：在平面直角坐标系中，画出该函数的图象.根据图象填空：①该二次函数的图象开口向____；②当x_____时，y随x的增大而增大，当x_____时，y随x的增大而减小；③当x＝___时，函数y有最大值，其最大值为___；下＜1＞114④点(4，2)关于对称轴对称的点的坐标为__________；⑤若点A(－2，y1)，B(3，y2)，C(7，y3)在该二次函数的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是____________(用“＞”连接)；⑥观察图象，当－1≤x≤2时，y的取值范围是_________.(－2，2)y2＞y1＞y30≤y≤4变式1-1 关于函数y＝－3(x＋1)2－2，下列描述错误的是( )A.与y轴交于点(0，－2)B.对称轴是直线x＝－1C.函数最大值是－2D.当x＞－1时，y随x的增大而减小变式1-2 已知二次函数y＝a(x－1)2＋2，当x＜1时，y随x的增大而减小，写出一个符合条件的a的值：_________________________.A2(答案不唯一，a＞0即可)变式1-3 已知二次函数y＝x2－6x＋5.(1)求二次函数图象的顶点坐标.解：∵y＝x2－6x＋5＝(x－3)2－4，∴二次函数图象的顶点坐标为(3，－4).(2)当1≤x≤4时，函数的最大值和最小值分别为多少？解：∵二次函数图象的顶点坐标为(3，－4)，函数图象开口向上，∴当x＝3时，y最小值＝－4.∴当1≤x≤3时，y随x的增大而减小；当3＜x≤4时，y随x的增大而增大.∵当x＝1时，y＝0，当x＝4时，y＝－3，∴当x＝1时，y最大值＝0.∴当1≤x≤4时，函数的最大值为0，最小值为－4.(3)若点M(x1，y1)，N(5，y2)均在该二次函数的图象上，且y1＞y2，求点M横坐标x1的取值范围.解：∵对称轴为直线x＝3，点N(5，y2)关于直线x＝3对称的点的横坐标是1，且y1＞y2，函数图象开口向上，∴根据图象，得x1＜1或x1＞5.a，b2－4ac的符号 函数y＝ax2＋bx＋c的图象 函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点情况 方程ax2＋bx＋c＝0的根的情况a＞0，b2－4ac＞0 有两个交点(x1，0)，(x2，0) 有两个不相等的实数根x1，x2a＞0，b2－4ac＝0 有一个交点 有两个相等的实数根x1＝x2＝－a＞0，b2－4ac＜0 没有交点 无实数根考点2 二次函数与一元二次方程的关系提醒：a＜0类似.例2 若抛物线y＝2x2－x＋k与x轴只有一个交点，则k＝.变式2-1 抛物线y＝kx2－6x＋3与x轴有交点，则k的取值范围是( )A.k≤3且k≠0 B.k＜3且k≠0C.k≤3 D.k＜3A变式2-2 (2025乐山)已知二次函数y＝x2＋4x＋m的图象经过A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，有下列结论：①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线x＝－2；②当m＜4时，二次函数的图象与x轴有两个交点；③若y1＜y2，则＞；④当x≥－2时，若二次函数的图象与y＝2x－1的图象有两个交点，则－1≤m＜0.其中，正确的结论有( )A.1个 B.2个C.3个 D.4个C例3 如图，抛物线y＝ax2－2ax＋c经过点(3，0)，当y＞0时，x的取值范围是___________.－1＜x＜3变式3 二次函数y1＝ax2＋bx＋c和一次函数y2＝kx＋t的图象如图所示，当y1＜y2时，x的取值范围是______________.x＜－1或x＞21.二次函数y＝2x2－1的二次项系数、一次项系数、常数项分别为( )A.2，0，－1 B.2，2，－1 C.2，2，1 D.2，0，12.关于二次函数y＝(x－1)2＋5，下列说法正确的是( )A.函数图象的开口向下 B.二次函数的最小值为1C.该函数图象的顶点坐标为(1，5) D.当x≥1时，y随x的增大而减小AC123456789101112133.关于二次函数y＝x2－3x－5的图象与x轴交点个数的情况，下列说法正确的是( )A.有两个交点 B.有一个交点C.没有交点 D.无法判断A123456789101112134.如图，若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴为直线x＝1，与x轴交于A，B两点，点B(－1，0)，则当y＞0时，x的取值范围为( )A.x＜－1B.－1＜x＜3C.x＞3D.x＜－1或x＞3B123456789101112135.二次函数y1＝ax2＋bx＋c和一次函数y2＝mx＋n的图象如图所示，观察图象，当y1＞y2时，x的取值范围是 ( )A.－2＜x＜1B.x＜－2或x＞1C.x＞－2D.x＜1B123456789101112136.(2025威海)已知点(－2，y1)，(3，y2)，(7，y3)都在二次函数y＝－(x－2)2＋c的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )A.y1＞y2＞y3 B.y1＞y3＞y2C.y2＞y1＞y3 D.y3＞y2＞y17.请将二次函数y＝－2x2－4x＋5改写y＝a(x－h)2＋k的形式：__________________.8.已知函数y＝x2＋bx＋2，当x＞1时，y随x的增大而增大，则b的值可以是_____________________________(写出一个符合要求的值即可).Cy＝－2(x＋1)2＋7－2(答案不唯一，b≥－2即可)123456789101112139.二次函数y＝ax2＋bx＋c中的x，y的部分取值如下表：(1)观察表中信息，发现：c＝_____，抛物线的对称轴是__________；(2)该函数图象与x轴的交点的坐标是__________________；x … －1 0 1 2 3 …y … m －3 －4 －3 0 …－3直线x＝1(3，0)和(－1，0)12345678910111213(3)在下列平面直角坐标系中画出该函数的大致图象；(4)当0＜x＜3时，y的取值范围是___________.－4≤y＜01234567891011121310.已知二次函数y＝x2－2x－2的图象与x轴交于两点A(a，0)和B(b，0)，则2a3－4a2＋4b＋2ab－3的值等于( )A.－1 B.1C.9 D.－15B1234567891011121311.(2025陕西)在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2－2ax＋a－3(a≠0)的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，则下列关于该函数的结论正确的是( )A.图象的开口向下B.当x＞0时，y的值随x值的增大而增大C.函数的最小值小于－3D.当x＝2时，y＜0D1234567891011121312.已知二次函数y＝－ax2－bx＋3a(a，b为常数，a≠0).(1)求证：该函数的图象与x轴一定有两个不同的交点；证明：∵a≠0，Δ＝(－b)2－4×(－a)×3a＝b2＋12a2＞0，∴该函数图象与x轴一定有两个不同的交点.12345678910111213(2)若b＝4a，a＞0，该函数图象经过A(2m－9，y1)，B(m＋2，y2)两点，A，B分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，求m的取值范围.解：∵b＝4a，a＞0，∴－a＜0.∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝－＝－＝－2.∵A(2m－9，y1)，B(m＋2，y2)分别位于抛物线对称轴的两侧，且y1＜y2，∴分两种情况讨论.①当点A在点B的左侧时，2m－9＜－2＜m＋2.解得－4＜m＜3.5.∵y1＜y2，12345678910111213∴－2－(2m－9)＞m＋2－(－2)＞0，即－2m＋7＞m＋4＞0.解得－4＜m＜1.②当点A在点B的右侧时，m＋2＜－2＜2m－9.解得m＜－4且m＞3.5，无解.∴点A在点B的右侧不成立.综上，m的取值范围为－4＜m＜1.1234567891011121313.如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－2x－3与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C.(1)直接写出A，B，C三点的坐标；解：A(－1，0)，B(3，0)，C(0，－3).12345678910111213(2)连接BC，点E是第四象限内抛物线上的动点，过点E作EF⊥BC于点F，EG∥x轴交直线BC于点G，求线段EF的最大值.解：设直线BC的解析式为y＝kx－3.∵B(3，0)，∴3k－3＝0.解得k＝1.∴直线BC的解析式为y＝x－3.如图，过点E作EH∥y轴交直线BC于点H，连接BE，CE.设E(t，t2－2t－3)，则H(t，t－3).∴HE＝t－3－t2＋2t＋3＝－t2＋3t.12345678910111213由勾股定理，得BC＝＝3.∵S△BCE＝×3×(－t2＋3t)＝×3×EF，∴EF＝(－t2＋3t)＝－＋.∴当t＝时，EF有最大值，最大值为.12345678910111213(共16张PPT)第三章 函数核心微专题1 反比例函数单个反比例函数 初始图形 衍生图形S矩形ABCD＝｜k｜S ABCD＝｜k｜S ABCD＝｜k｜类型1 与k的几何意义有关的计算单个反比例函数 初始图形 衍生图形S△AOP＝｜k｜S△ABC＝｜k｜ S△ABC＝｜k｜ S△AOB＝｜k｜S△AOB＋S△COD＝｜k｜S△ABC＝｜k｜ S△APP'＝2｜k｜两个反比例函数 初始图形 衍生图形 初始图形 衍生图形S矩形ABCD＝ ｜k1｜＋｜k2｜ S△ABO＝S△ABC＝ (｜k1｜＋｜k2｜) S矩形ABED＝ ｜k1｜－｜k2｜S△BOC＝(｜k1｜－｜k2｜)1.反比例函数y＝和y＝(k1＜k2)在第一象限的图象如图所示，直线AB∥x轴，并分别交两条双曲线于A，B两点.若S△AOB＝3，则k2－k1的值是( )A.9B.6C.3D.12B1234562.(2025资阳模拟)如图，设点P在函数y＝的图象上，PC⊥x轴于点C，交函数y＝的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交函数y＝的图象于点B.若四边形PAOB的面积为4，则m－n＝___.41234563.如图，点A是反比例函数y＝(x＞0)的图象上一点，过点A作AB⊥x轴于点B，点P是y轴上任意一点，连接PA，PB，则△ABP的面积为___.31234564.如图， ABCD的顶点A在反比例函数y＝(k≠0，x＞0)的图象上，点B在y轴上，点C，D在x轴上，AD与y轴交于点E，连接CE.若S△BCE＝4，则k的值为___.81234565.(2025自贡模拟)如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数y＝的图象交于M，N(n，1)两点.(1)求反比例函数及一次函数的表达式；类型2 割补法求几何图形的面积解：把点M代入反比例函数的表达式，得k＝×4＝2.∴反比例函数的表达式为y＝.∴当y＝1时，n＝＝2.∴N(2，1).设一次函数的表达式为y＝k1x＋b(k1≠0).123456把点M，N(2，1)代入一次函数的表达式，得解得∴一次函数的表达式为y＝－2x＋5.123456(2)求△MON的面积.解：由(1)知，一次函数的表达式为y＝－2x＋5.当x＝0时，y＝5；当y＝0时，x＝.设一次函数与y轴、x轴的交点分别为A(0，5)，B，如图所示.∴OA＝5，OB＝，∴S△AOB＝OA·OB＝×5×＝，123456S△AOM＝OA·xM＝×5×＝，S△BON＝OB·yN＝××1＝.∴S△MON＝S△AOB－S△AOM－S△BON＝－－＝.∴△MON的面积为.1234566.(2025广元节选)如图，在平面直角坐标系中，一次函数y＝kx＋2的图象分别与x轴、y轴交于点A，C，与反比例函数y＝(x＜0)的图象交于点B(－2，3).(1)求一次函数和反比例函数的表达式；解：∵一次函数y＝kx＋2的图象与反比例函数y＝(x＜0)的图象交于点B(－2，3)，∴3＝－2k＋2，3＝.∴k＝－，m＝－6.∴一次函数的表达式为y＝－x＋2，反比例函数的表达式为y＝－.123456(2)点D(－6，n)是反比例函数y＝(x＜0)的图象上一点，连接BD，CD，求△BCD的面积.解：∵一次函数y＝－x＋2的图象分别与x轴、y轴交于点A，C，∴当y＝0时，x＝4，当x＝0时，y＝2.∴A(4，0)，C(0，2).∵点D(－6，n)是反比例函数y＝－的图象上一点，∴n＝－＝1.∴D(－6，1).123456如图，过点B作BF⊥x轴，交直线DC于点E.设直线CD的表达式为y＝k1x＋b1，把D(－6，1)，C(0，2)代入，得解得∴直线CD的表达式为y＝x＋2.∵点B(－2，3)，BF⊥x轴，∴点E的横坐标为－2.∴点E的横坐标为－2.123456当x＝－2时，y＝×(－2)＋2＝.∴E.∴BE＝3－＝.∴S△BCD＝BE×＝××6＝4.123456(共43张PPT)第三章 函数第15课时 反比例函数的图象与性质(含实际应用)人教：九下P1～P22；华师：八下P54～P59；北师：九上P148～P162.概念 形如① (k为常数且k≠0)的函数称为反比例函数，自变量x的取值范围是② . 关系式变式：xy＝k或y＝kx－1 k的符号 k＞0 k＜0图象考点1 反比例函数的概念及其图象与性质y＝x≠0所在象限 第一、三象限 第二、四象限图象特征 图象无限接近坐标轴，但与坐标轴永远不相交(x≠0，y≠0) 增减性 在每一个象限内，y随x的增大而③ . 在每一个象限内，y随x的增大而④ .对称性 (1)关于直线⑤ 和⑥ 成轴对称； (2)关于点⑦ 成中心对称 减小增大y＝xy＝－x(0，0)例1 已知反比例函数y＝.(1)m的取值范围为______.(2)若反比例函数的图象如图所示，则m的取值范围为_______.m≠2m ＜ 2(3)若m＞3，则在每一象限内，y随x的增大而______；若点A(－1，y1)，B(1，y2)，C(2，y3)在该反比例函数图象上，则y1，y2，y3的大小关系为____________(用“＜”连接).(4)如果该函数图象经过点(2，a)，(－2，b)，那么a＋b＝___.y1＜y3＜y20减小变式1-1 已知反比例函数y＝－，则下列描述正确的是( )A.图象位于第一、三象限B.y随x的增大而增大C.图象与坐标轴不相交D.图象必经过点变式1-2 已知点(－4，a)和(2，b)在反比例函数y＝(m≠3)的图象上，若a＞b，则m的取值范围是______.Cm＞3考点2 用待定系数法确定反比例函数关系式例2 已知反比例函数y＝(k≠0)的图象的一支如图所示.(1)求这个反比例函数的关系式，并补画该函数图象的另一支；解：由图象可知A点坐标为(－4，2).把点A(－4，2)代入y＝，得＝2.解得k＝－8.∴反比例函数的关系式为y＝－.补画函数图象如图所示.(2)请直接写出当y＜6，且y≠0时，自变量x的取值范围.解：当y＜6，且y≠0时，自变量x的取值范围为x＞0或x＜－.变式2-1 已知点A(1，2)，点B(－2，a)在同一个反比例函数的图象上，则a的值为_____.变式2-2 已知反比例函数y＝的图象上有两点A(1，n)，B(n＋1，2)，则m的值为_____.－1－2几何意义 在反比例函数y＝(k≠0)的图象上任取一点，过这点分别作x轴、y轴的垂线，两垂线与坐标轴围成的矩形的面积等于⑧ .考点3 反比例函数与面积｜k｜例3 如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，且AB∥x轴，过A，B两点分别作x轴的垂线，交x轴于点D，C，则四边形ABCD的面积为___.8变式3-1 如图，反比例函数y＝(k≠0)和y＝的部分图象与直线y＝a(a＞0)分别交于A，B两点.若△ABO的面积是9.5，则k的值为( )A.11B.－11C.5.5D.－5.5B变式3-2 如图，点A(1，m)和点B是反比例函数y＝(x＞0)图象上的两点，一次函数y＝ax＋2(a≠0)的图象经过点A，且与y轴交于点C，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，连接OA，OB.已知S△OAC∶S△OBD＝2∶3.(1)求△OAC的面积和k的值；解：∵一次函数y＝ax＋2与y轴交于点C，∴C(0，2).∴OC＝2.∴S△OAC＝×2×1＝1.∵S△OAC∶S△OBD＝2∶3，∴S△OBD＝.∵点B在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，∴｜k｜＝.∴｜k｜＝3.又k＞0，∴k＝3.(2)求直线AC的表达式.解：∵点A(1，m)在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，∴m＝3.∴A(1，3).将A(1，3)代入一次函数y＝ax＋2，得a＋2＝3.解得a＝1.∴直线AC的表达式为y＝x＋2.考点4 反比例函数与方程(组)、不等式综合例4 (2025泸州)如图，一次函数y＝2x＋b的图象与反比例函数y＝的图象的一个交点为A(2，6).(1)求一次函数与反比例函数的解析式；解：∵一次函数y＝2x＋b的图象经过点A(2，6)，∴6＝2×2＋b.∴b＝2.∴一次函数的解析式为y＝2x＋2.∵反比例函数y＝的图象经过点A(2，6)，∴6＝.∴m＝12.∴反比例函数的解析式为y＝.(2)将一次函数y＝2x＋b的图象沿y轴向下平移12个单位，与反比例函数y＝的图象相交于点B，C，求S△ABC的值.解：由题意，得直线BC的解析式为y＝2x＋2－12＝2x－10.联立解得或∴B(－1，－12)，C(6，2).如图，过点A作AT∥y轴交直线BC于点T.∵A(2，6)，∴点T的横坐标为2.在y＝2x－10中，当x＝2时，y＝2×2－10＝－6.∴T(2，－6).∴AT＝6－(－6)＝12.∴S△ABC＝×12×[6－(－1)]＝42.例5 (2025广安)如图，一次函数y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的图象与反比例函数y＝(m为常数，m≠0)的图象交于A，B两点，点A的坐标是(－8，1)，点B的坐标是(n，－4).(1)求一次函数和反比例函数的解析式；解：把点A(－8，1)代入y＝，得1＝.解得m＝－8.∴反比例函数的解析式为y＝－.把点B(n，－4)代入y＝－，得－4＝－.解得n＝2.∴B(2，－4).把A(－8，1)，B(2，－4)代入y＝kx＋b，得解得∴一次函数的解析式为y＝－x－3.(2)根据函数图象直接写出关于x的不等式kx＋b＞的解集.解：关于x的不等式kx＋b＞的解集为x＜－8或0＜x＜2.变式5 (2025成都模拟)如图，点A(－6，m)，B(－2，n)是一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝的图象的两个交点，则当ax＋b≥时，自变量x的取值范围是___________________.－6≤x≤－2或x＞0例6 (2025湖北省卷)已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示.当电阻R大于9 Ω时，电流I可能是( )A.3 AB.4 AC.5 AD.6 A考点5 反比例函数的实际应用A变式6 如图，某品牌的电水壶启动后需要6 min将 30 ℃的水加热到 100 ℃，然后水温逐渐降回30 ℃，降温过程中的水温 y(℃)与水壶启动后用时x(min)成反比例关系.据研究，当水温降至40 ℃时，比较适宜饮用.(1)求降温过程中的水温y(℃)与水壶启动后用时x(min)的函数关系式，并写出自变量的取值范围；解：设y＝.由题意，得当x＝6时，y＝100.∴100＝.解得k＝600.∴y＝.当y＝30时，30＝.解得x＝20.∴6≤x≤20.∴降温过程中的水温y(℃)与水壶启动后用时x(min)的函数关系式为y＝(6≤x≤20).(2)一壶水烧开后，经过多长时间适宜饮用？解：当y＝40时，40＝.解得x＝15.∴15－6＝9(min).∴一壶水烧开后，经过9 min适宜饮用.1.(2025重庆)反比例函数y＝－的图象一定经过的点是( )A.(2，6) B.(－4，－3)C.(－3，－4) D.(6，－2)2.(2025河北)在反比例函数y＝中，若2＜y＜4，则( )A.＜x＜1 B.1＜x＜2C.2＜x＜4 D.4＜x＜8DB123456789103.最近，我国发布多款最新机器狗，使机器狗的性能又上一个新的台阶.已知某款机器狗最快移动速度v(m/s)是载重后总质量m(kg)的反比例函数，其图象如图所示，当其载重后总质量m为80 kg时，其最快移动速度v等于( )A.2.5 m/sB.5 m/sC.10 m/sD.40 m/sA123456789104.(2025天津)若点A(－3，y1)，B(1，y2)，C(3，y3)都在反比例函数y＝－的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是( )A.y1＜y2＜y3 B.y3＜y2＜y1C.y1＜y3＜y2 D.y2＜y3＜y1D123456789105.如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴正半轴和x轴正半轴上，OA＝OB＝2，反比例函数y＝(x＞0)的图象经过线段AB的中点P，则k＝___.1123456789106.(2025陕西)如图，过原点的直线与反比例函数y＝(k＞0)的图象交于A(m，n)，B(m－6，n－6)两点，则k的值为___.9123456789107.在平面直角坐标系中，点A是反比例函数y＝(x＞0)图象上的一点，如图，将线段OA向左平移，平移后的对应线段为O'A'，点A'落在反比例函数y＝的图象上，已知线段OA扫过的面积为8，则k＝_____.－5123456789108.(2025达州)如图，直线y＝kx＋b(k≠0)与双曲线y＝(m≠0)交于点A(2，2)，点B(－4，a).(1)求一次函数与反比例函数的表达式；解：∵双曲线y＝(m≠0)经过点A(2，2)，B(－4，a)，∴m＝2×2＝4＝－4a.∴a＝－1.12345678910∴B(－4，－1)，反比例函数的解析式为y＝.∵直线y＝kx＋b(k≠0)经过点A(2，2)，B(－4，－1)，∴解得∴一次函数的解析式为y＝x＋1.12345678910(2)点P在x轴上，S△AOP＝3，求点P的坐标.解：∵点P在x轴上，S△AOP＝3，∴OP×yA＝3.∴OP×2＝3.∴OP＝3.∴点P的坐标为(3，0)或(－3，0).123456789109.(2025凉山州)如图，一次函数y1＝ax＋b的图象与反比例函数y2＝(x＞0)的图象交于点A(6，1)，B(2，m).(1)求反比例函数和一次函数的解析式；解：∵反比例函数y2＝(x＞0)的图象经过A(6，1)，∴1＝.解得k＝6.∴反比例函数的解析式为y2＝(x＞0).在y2＝(x＞0)中，当x＝2时，y2＝＝3.∴B(2，3).12345678910∵一次函数y1＝ax＋b的图象与反比例函数y2＝(x＞0)的图象交于点A(6，1)，B(2，3)，∴解得∴一次函数的解析式为y1＝－x＋4.12345678910(3)在x轴上找一点C，使△ABC的周长最小，并求出最小值.解：如图，作点B关于x轴的对称点D，连接BC，AC，DC，AD，则D(2，－3).由轴对称的性质，得DC＝BC.∵A(6，1)，B(2，3)，∴AB＝＝2.∴△ABC的周长＝AB＋AC＋BC＝AC＋BC＋2.∴当AC＋BC有最小值时，△ABC的周长有最小值.12345678910(2)利用图象，直接写出不等式ax＋b＞的解集为_________；2＜x＜6∴当AC＋DC有最小值时，△ABC的周长有最小值.∵AC＋DC≥AD，∴当A，C，D三点共线时，AC＋DC有最小值，即此时△ABC的周长有最小值，最小值为AD＋2.∵A(6，1)，D(2，－3)，∴AD＝＝4.∴△ABC的周长的最小值为4＋2.12345678910∵AC＋BC＝AC＋DC，设直线AD的解析式为y＝k1x＋b1.∵A(6，1)，D(2，－3)，∴∴∴直线AD的解析式为y＝x－5.在y＝x－5中，令y＝0，则x＝5.∴C(5，0).综上，当点C的坐标为(5，0)时，△ABC的周长有最小值，最小值为4＋2.1234567891010.(2025成都模拟)如图，在平面直角坐标系中，直线y＝x＋b与反比例函数y＝(k＞0)的图象交于A，B两点，与y轴和x轴分别交于点C和点D，其中点B的坐标为(－4，－b)，点M在反比例函数图象上.(1)求点A的坐标及反比例函数的表达式.解：∵B(－4，－b)在直线y＝x＋b上，∴－b＝×(－4)＋b.解得b＝1.∴点B的坐标为(－4，－1)，直线AB的表达式为y＝x＋1.12345678910将B(－4，－1)代入反比例函数y＝，得k＝4，∴反比例函数的表达式为y＝.联立解得或∴点A的坐标为(2，2).12345678910(2)若点M在点A的右侧，过点A作AN⊥x轴，垂足为N，连接OA.若S△AOM＝S四边形ANOC，求AM的长.解：如图，过点M作MH⊥x轴，垂足为H，连接AM，OM.在一次函数y＝x＋1中，令x＝0，得y＝1.∴C(0，1).∵A(2，2)，AN⊥x轴，∴S△AOM＝S四边形ANOC＝×(1＋2)×2＝3.∵点A，M在反比例函数y＝的图象上，AN⊥x轴，MH⊥x轴，∴S△OAN＝S△OMH.12345678910∵S四边形OAMH＝S△OAN＋S梯形ANHM＝S△OMH＋S△AOM，∴S梯形ANHM＝S△AOM＝3.设M，则(t－2)＝3.解得t＝4或t＝－1.经检验，t＝4或t＝－1是所列方程的解.∵点M在点A的右侧，∴t＝4.∴M(4，1).∴AM＝＝.12345678910(3)是否存在一点M，使得∠MBA＝2∠CDO？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.解：存在满足条件的点M，其坐标为(－2，－2)或.12345678910(共27张PPT)第三章 函数第14课时 一次函数的实际应用人教：八下P86～P109；华师：八下P43～P53，P59～P64；北师：八上P79～P101，P123～P128.例1 如图，深50 cm的圆柱形容器底部放入一个长方体的铁块，现在以一定的速度向容器内注水，容器顶部离水面的距离y(单位：cm)随时间t(单位：min)的变化图象如图所示.(1)放入的长方体的高度为____cm；考点1 根据一次函数图象解决实际问题20(2)求该容器注满水所用的时间.解：设BC所在直线的函数关系式为y＝kt＋b(k，b为常数，且k≠0).将B(3，30)和C(9，20)代入y＝kt＋b，得解得∴BC所在直线的函数关系式为y＝－t＋35.当该容器注满水时，y＝0，即－t＋35＝0.解得t＝21.∴该容器注满水所用的时间为21 min.变式1 幸福社区推出智能可回收物投放箱，居民投放可回收物可以赚取积分兑换生活用品，其中奖励积分y(单位：分)与投放质量x(单位：kg)的函数关系如图所示.(1)当投放质量不超过10 kg时，每千克可回收物可以赚取____积分；10(2)求AB段所在直线的函数关系式，并求当投放20 kg可回收物时，可以获得多少积分.解：设AB段所在直线的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0).将A(10，100)，B(14，200)代入，得解得∴AB段所在直线的函数关系式为y＝25x－150.当x＝20时，y＝25×20－150＝350.∴当投放20 kg可回收物时，可以获得350积分.例2 已知A，B两地之间有一条笔直的公路，甲车从A地出发匀速开往B地，到达B地后立即以原速沿原路返回A地，乙车从B地出发匀速开往A地，两车同时出发，乙车比甲车晚20 min到达A地.甲车距A地的路程y甲(km)与甲车行驶的时间x(min)之间的关系如图所示.请解决以下问题：(1)A，B两地之间的距离是____km，甲车的速度是___km/min.(2)在图中画出乙车距A地的路程y乙(km)与乙车行驶时间x(min)之间的关系的图象；由图象可知，甲、乙两车在行驶过程中相遇了___次.解：如图所示.6022(3)请求出乙车距A地的路程y乙(km)与乙车行驶时间x(min)之间的关系式.(不需写出自变量x的取值范围)解：由60÷80＝0.75，得y乙与x之间的函数关系式为y乙＝60－0.75x.(4)求甲车到B地时，乙车距A地的路程.解：当x＝＝30时，y乙＝60－0.75×30＝37.5.即甲车到B地时，乙车距A地的路程为37.5 km.例3 (2025广安)某景区需要购买A，B两种型号的帐篷.已知用1 800元购买A种帐篷的数量与用3 000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元.(1)求A，B两种帐篷的单价各为多少元.考点2 建立一次函数关系式解决实际问题解：设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为(x＋400)元.由题意，得＝.解得x＝600.经检验，x＝600是原方程的解，且符合题意.x＋400＝1 000.答：A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1 000元.(2)若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶(两种型号的帐篷均需购买)，且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的，则购买A，B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？解：设购买A种帐篷m顶，则购买B种帐篷(20－m)顶，总费用为W元.由题意，得20－m≥m.解得m≤15.又两种型号的帐篷均需购买，∴0＜m≤15.W＝600m＋1 000(20－m)＝－400m＋20 000.∵－400＜0，∴W随m的增大而减小.∴当m＝15时，W取最小值，W最小＝－400×15＋20 000＝14 000.此时20－m＝5.答：当购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低，最低总费用为14 000元.变式3 临近端午节，A，B两家超市开展促销活动，各自推出不同的购物优惠方案：A超市：所有商品按七五折出售；B超市：购物金额每满100元返40元.(1)当购物金额为90元时，选择 超市更省钱；当购物金额为120元时，选择____超市更省钱；(填“A”或“B”)AB(2)当购物金额为x(0＜x＜200)元时，请分别写出它们的实付金额y(单位：元)与购物金额x(单位：元)之间的函数关系式，并说明促销期间如何选择这两家超市去购物更省钱.解：由题意，得当0＜x＜200时，在A超市购物实付金额为yA＝0.75x.当0＜x＜100时，在B超市购物实付金额为yB＝x；当100≤x＜200时，在B超市购物实付金额为yB＝x－40.∴在B超市购物实付金额yB与x之间的关系式为yB＝当0＜x＜100时，yA＜yB.当100≤x＜200时，若yA＜yB，则0.75x＜x－40，解得x＞160；若yA＝yB，则0.75x＝x－40，解得x＝160；若yA＞yB，则0.75x＞x－40，解得x＜160.综上，当0＜x＜100或160＜x＜200时，在A超市购物更省钱；当x＝160时，在A超市购物和B超市购物实付金额一样多，任选一家即可；当100≤x＜160时，在B超市购物更省钱.例4 (2025福建)弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的.胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长(或压缩)的长度x成正比，即F＝kx，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为mg，其中g为常数.如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6 cm.在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5 kg时，弹簧长度为6.5 cm，那么，当弹簧长度为6.8 cm时，所挂物体的质量为_____kg.0.8变式4 (2025苏州)声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度v(单位：m/s)与温度t(单位：℃)部分对应数值如下表：研究发现v，t满足公式v＝at＋b(a，b为常数，且a≠0).当温度t为15 ℃时，声音传播的速度v为( )A.333 m/s B.339 m/sC.341 m/s D.342 m/s温度t/℃ －10 0 10 30声音传播的速度v/(m/s) 324 330 336 348B1. (2025山西)氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得(如图).实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量y(g)与分解的水的质量x(g)满足我们学过的某种函数关系.下表是一组实验数据，根据表中数据，y与x之间的函数关系式为 ( )A.y＝ B.y＝9x C.y＝xD.y＝C1234562.某市自来水公司为鼓励居民节约用水，采取月用水量分段收费办法.某户居民应缴水费y(元)与用水量x(t)的函数关系如图所示.若该用户本月用水18 t，则应缴水费( )A.43.2元B.45元C.46.8元D.48元C1234563.张老师复印资料时，剩余张数和时间的函数关系图象如图所示，根据图中提供的信息可以知道，张老师这次刚好复印完资料所需的时间为____min.201234564.甲、乙两地相距300 km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发向乙地.如图，线段OA表示货车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数关系；折线BCD表示轿车离甲地的距离y(km)与x(h)之间的函数关系.请根据图象解答下列问题：(1)轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米？解：设货车离甲地的距离y(km)与时间x(h)之间的函数解析式为y＝kx.根据题意，得300＝5k.解得k＝60.∴y＝60x.根据图象，得轿车到达乙地时，x＝4.5.此时货车距甲地的距离y＝60×4.5＝270.∴货车距乙地300－270＝30(km).123456(2)求线段CD对应的函数解析式.解：设线段CD对应的函数解析式为y＝nx＋b.根据题意，得解得∴线段CD对应的函数解析式为y＝110x－195(2.5≤x≤4.5).123456(3)求货车从甲地出发多长时间后与轿车相遇.解：当货车与轿车距甲地的距离相等时，两车相遇，故60x＝110x－195.解得x＝3.9.∴货车从甲地出发3.9 h后与轿车相遇.1234565.(2025长春改编)随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活.某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变.已知某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后，停工保养，保养结束后又和乙机器人一起继续工作.甲、乙两台机器人分拣快递的总数量y(件)与乙机器人工作时间x(min)之间的函数关系如图所示.(1)甲机器人停工保养的时间为____min，m＝_______；203 800123456(2)求AB所在直线对应的表达式；解：∵甲、乙机器人的效率为每分钟分拣快递55件，∴AB所在直线对应的表达式为y＝2 700＋55(x－60)＝55x－600.123456(3)若该快递公司当天分拣快递5 450件，则乙机器人工作时间为_____min.1101234566.(2025烟台)2025年6月5日是第54个“世界环境日”，为打造绿色低碳社区，某社区决定购买甲、乙两种太阳能路灯安装在社区公共区域，升级改造现有照明系统.已知购买1盏甲种路灯和2盏乙种路灯共需220元，购买3盏甲种路灯比4盏乙种路灯的费用少140元.(1)求甲、乙两种路灯的单价；解：设甲、乙两种路灯的单价分别为x元、y元.根据题意，得解得答：甲、乙两种路灯的单价分别为60元、80元.123456(2)该社区计划购买甲、乙两种路灯共40盏，且甲种路灯的数量不超过乙种路灯数量的，请通过计算设计一种购买方案，使所需费用最少.解：设购买甲种路灯m盏，则购买乙种路灯(40－m)盏.根据题意，得m≤(40－m).解得m≤10.设购买费用为n元.根据题意，得n＝60m＋80(40－m)＝－20m＋3 200.123456∵－20＜0，∴当m取得最大值10时，n取得最小值.此时40－m＝40－10＝30.答：购买甲种路灯10盏、乙种路灯30盏，所需费用最少.123456(共39张PPT)第三章 函数第13课时 一次函数的图象与性质人教：八下P86～P109；华师：八下P43～P53，P59～P64；北师：八上P79～P101，P123～P128.概念 一般地，形如y＝kx＋b(k，b是常数，k≠0)的函数.特别地，当b＝0时，y＝kx是正比例函数 k，b取值 k＞0， b＞0 k＞0， b＝0 k＞0， b＜0 k＜0， b＞0 k＜0， b＝0 k＜0，b＜0图象考点1 一次函数的概念及其图象与性质经过的 象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四增减性 y随x的增大而① . y随x的增大而② . 与x轴的 交点 令y＝0，得图象与x轴的交点坐标为 与y轴的 交点 令x＝0，得图象与y轴的交点坐标为(0，b) 增大减小例1 已知一次函数y＝(2m－4)x＋4－m，若该函数的图象经过第一、二、三象限，且m为整数，解答下列问题：(1)求m的值；解：由题意，得2m－4＞0，4－m＞0.解得2＜m＜4.∵m为整数，∴m＝3.(2)该一次函数的图象与x轴的交点坐标为 ，与y轴的交点坐标为 ；(3)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象；(4)若点A(x1，y1)，B(x2，y2)是该一次函数图象上的两点，且x1＞x2，则y1____y2；(填“＞”“＜”或“＝”)(0，1)＞(5) 若把题干中“且m为整数”去掉，该一次函数图象过定点，则定点的坐标为 .变式1-1 (2025广安模拟)已知一次函数y＝(k－2)x＋3的图象不经过第三象限，则k的取值范围为 .变式1-2 (2025广安)已知一次函数y＝－3x－6，当x＜－1时，y的值可以是 .(写出一个合理的值即可)k＜20(答案不唯一)变式1-3 (2025德阳模拟)在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx和y＝x＋k(k≠0，k为常数)的图象可能是( )D平移情况(m＞0) 平移后的表达式向上平移m个单位长度 y＝kx＋b＋m向下平移m个单位长度 y＝kx＋b－m向左平移m个单位长度 y＝k(x＋m)＋b向右平移m个单位长度 y＝k(x－m)＋b考点2 一次函数图象的平移例2 (1)将直线y＝－2x向上平移4个单位长度，得到的直线的表达式为.(2)将一次函数y＝－3x＋b的图象沿y轴向下平移2个单位长度，得到一次函数y＝－3x的图象，则b的值为 .变式2 将直线y＝－2x向左平移2个单位长度得到的直线的表达式为( )A.y＝－2x＋2 B.y＝2x＋2C.y＝－2x－4 D.y＝－2x＋4y＝－2x＋42C 考点3 用待定系数法确定一次函数关系式例3 已知直线y＝kx＋b经过点(2，4)与点(－2，2).(1)确定函数y＝kx＋b的关系式；解：∵直线y＝kx＋b经过点(2，4)与点(－2，2)，∴解得∴函数的关系式为y＝x＋3.(2)已知点(－3，y1)和点(4，y2)在直线y＝kx＋b上，试比较y1与y2的大小.解：∵k＝＞0，∴y随x的增大而增大.又－3＜4，∴y1＜y2.变式3-1 已知三点A(1，1)，B(2，－1)，C(4，－5)，试判断这三点是否在同一直线上，并说明理由.解：这三点在同一直线上.理由如下：设直线AB的表达式为y＝kx＋b.把A(1，1)，B(2，－1)代入，得解得∴直线AB的表达式为y＝－2x＋3.当x＝4时，y＝－2×4＋3＝－5.∴点C(4，－5)在直线AB上.∴点A(1，1)，B(2，－1)，C(4，－5)在同一直线上.变式3-2 已知直线y＝kx＋b与直线y＝－2x平行，且经过点(2，3)，则b的值是___.(1)判断三点共线的方法：首先利用两点确定一条直线，然后验证第三点是否在此直线上；(2)直线y＝k1x＋b1和y＝k2x＋b2平行 k1＝k2且b1≠b2；(3)拓展：直线y＝k1x＋b1和y＝k2x＋b2垂直 k1k2＝－1.7函数 图象方程 (组) 关于x的方程kx＋b＝0的解为③ . 关于x，y的方程组的解为④ .不等式 关于x的不等式kx＋b＞0 (或kx＋b＜0)的解集为x＞x0(或x＜x0) 关于x的不等式kx＋b＞k1x＋b1(或kx＋b＜k1x＋b1)的解集为⑤ . 考点4 一次函数与方程(组)、不等式x＝x0x＞m(或x＜m)例4 如图，若直线y＝ax＋b过点A(0，4)，B(－3，0)，则方程ax＋b＝0的解是( )A.x＝－3B.x＝4C.x＝－D.x＝－ A变式4 (2025南充)已知直线y＝m(x＋1)(m≠0)与直线y＝n(x－2)(n≠0)的交点在y轴上，则＋的值是______.例5 如图，若一次函数y＝kx＋b的图象经过点(0，2)，则关于x的不等式kx＋b≥2的解集为______.－x≤0变式5-1 如图，若一次函数y＝kx＋b(k＞0)的图象过点(－1，0)，则关于x的不等式k(x－1)＋b＞0的解集是( )A.x＞－2B.x＞－1C.x＞0D.x＞1C变式5-2 如图，已知函数y＝2x＋b与函数y＝kx－3的图象交于点P，则关于x的不等式kx－3＞2x＋b的解集是______.x＜4例6 如图，已知直线l：y＝kx＋b过点A(－2，0)，D(4，3).(1)求直线l的表达式.解：把A(－2，0)，D(4，3)代入直线l：y＝kx＋b，得解得∴直线l的表达式为y＝x＋1.(2)若直线y＝－x＋4与x轴交于点B，且与直线l交于点C(2，2).①求△ABC的面积.解：把y＝0代入y＝－x＋4，得0＝－x＋4.解得x＝4.∴B(4，0).∴AB＝4－(－2)＝6.∴S△ABC＝AB·yC＝×6×2＝6.②在直线l上是否存在点P，使△ABP的面积是△ABC面积的2倍？如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由.解：存在.∵△ABP的面积是△ABC面积的2倍，∴S△ABP＝6×2＝12.∴AB·＝×6×＝12.解得yP＝4或－4.把y＝4代入y＝x＋1，得4＝x＋1.解得x＝6.∴P(6，4).把y＝－4代入y＝x＋1，得－4＝x＋1.解得x＝－10.∴P(－10，－4).综上，P(6，4)或P(－10，－4).1.(2025上海)下列函数中，为正比例函数的是 ( )A.y＝3x＋1 B.y＝3x2C.y＝ D.y＝D123456789101112132.(2025新疆)在平面直角坐标系中，一次函数y＝x＋1的图象是( )A B C DC123456789101112133.(2025广西)已知一次函数y＝－x＋b的图象经过点P(4，3)，则b＝( )A.3 B.4C.6 D.74.(2025安徽)已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点M(1，2)，且y随x的增大而增大.若点N在该函数的图象上，则点N的坐标可以是( )A.(－2，2) B.(2，1)C.(－1，3) D.(3，4)DD123456789101112135.已知一次函数y＝ax＋b的图象经过点(3，m)，则关于x的一元一次方程ax＋b＝m的解是 ( )A.x＝3 B.x＝－3 C.x＝3或x＝－3 D.不能确定6.(2025天津)将直线y＝3x－1向上平移m个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则m的值可以是_______________(写出一个即可).A2(答案不唯一)123456789101112137.如图，若直线y＝kx＋6经过点(1，4)，则关于x的不等式kx＋6＜4的解集是______.x＞1123456789101112138.如图，直线l1：y＝x＋1与直线l2：y＝kx＋b相交于点P(1，m)，则关于x，y的方程组的解为 .123456789101112139.已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过点(－2，－3)与点(0，1).(1)求这个一次函数的关系式；解：∵一次函数y＝kx＋b的图象经过点(－2，－3)与点(0，1)，∴解得∴这个一次函数的关系式为y＝2x＋1.12345678910111213(2)当1≤x＜5时，求函数值y的取值范围.解：由(1)可知，一次函数的关系式为y＝2x＋1.∵2＞0，∴y随x的增大而增大.在y＝2x＋1中，当x＝1时，y＝3；当x＝5时，y＝11.∵1≤x＜5，∴3≤y＜11.1234567891011121310. (2025广州改编)如图，在平面直角坐标系中，点A(－3，1)，点B(－1，1)，若将直线y＝x向上平移d个单位长度后与线段AB有交点，则d的取值范围是( )A.－3≤d≤－1B.1≤d≤3C.－4≤d≤－2D.2≤d≤411.已知一次函数y＝(k－1)x＋2.若当－1≤x≤2时，函数有最小值－2，则k的值为________.D5或－11234567891011121312.如图，在平面直角坐标系中，点A(2，m)在直线y＝2x－上，过点A的另一条直线交y轴于点B(0，3).(1)求m的值和直线AB的表达式；解：把A(2，m)代入y＝2x－，得m＝.设直线AB的表达式为y＝kx＋b.把A，B(0，3)代入，得解得∴直线AB的表达式为y＝－x＋3.12345678910111213(2)若点P(t，y1)在线段AB上，点Q(t－1，y2)在直线y＝2x－上，求y1－y2的最大值.解：∵点P(t，y1)在线段AB上，∴y1＝－t＋3(0≤t≤2).∵点Q(t－1，y2)在直线y＝2x－上，∴y2＝2(t－1)－＝2t－.∴y1－y2＝－t＋3－＝－t＋.∵－＜0，∴y1－y2随t的增大而减小.∴当t＝0时，y1－y2的值最大，最大值为.1234567891011121313.如图1，直线l1：y＝x＋6与x轴交于点A，与y轴交于点B，直线l2：y＝－x＋b与x轴交于点C，与直线l1交于点D，AC＝12.(1)求直线l2的解析式.解：把y＝0代入l1：y＝x＋6，得0＝x＋6.解得x＝－6.∴A(－6，0).∵AC＝12，∴C(6，0).∵直线l2：y＝－x＋b与x轴交于点C，∴0＝－×6＋b.解得b＝3.∴直线l2的解析式为y＝－x＋3.12345678910111213(2)P为直线l1上一动点，若S△PCD＝S△ACD，请求出点P的坐标.解：如图1，过点P作PQ∥y轴交CD于点Q.设P(p，p＋6)，则Q.∴PQ＝＝＝.解得联立直线l1和直线l2，得12345678910111213∴D(－2，4).∴S△ACD＝×4AC＝×4×12＝24.∴S△PCD＝S△ACD＝×24＝16.∴S△PCD＝×(6＋2)PQ＝×8×＝16.解得p＝或p＝－.∴点P的坐标为或.12345678910111213(3)如图2，将直线l2竖直向下平移(3＋)个单位长度得到直线l3，直线l3与x轴交于点E，连接BE，若点M为y轴上一动点，是否存在点M，使得∠MEO＝45°？若存在，请直接写出M的坐标；若不存在，请说明理由.解：存在.点M的坐标为(0，2)或(0，－2).12345678910111213(共29张PPT)第三章 函数第12课时 变量与函数人教：八下P70～P85；华师：八下P27～P33，P36～P42；北师：七下P61～P79，八上P75～P78.常量、变量 在某一变化过程中，保持不变的量叫作常量，发生变化的量叫作变量函数 一般地，在一个变化过程中如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有① 的值与其对应，那么就说x是② ，y是x的函数函数值 在自变量x的取值范围内，如果当x＝a时，y＝b，那么b叫作当自变量的值为a时的函数值函数的表示方法 ③ ；④ ；⑤ .考点1 函数的相关概念及表示方法唯一自变量解析式法列表法图象法 例1 下列各曲线表示y是x的函数的是 .(填序号)①②③例2 现有一支蜡烛原长为20 cm，每分钟燃烧0.5 cm，点燃x min后，蜡烛的长度是y cm.(1)当x＝2时，y＝____；(2)y与x之间的关系式为_____________，其中x的取值范围是_________.变式2-1 在函数y＝中，自变量x的取值范围是____________.19y＝20－0.5x 0≤x≤40x≥1且x≠2变式2-2 如图，已知长方形菜园ABCD一边靠墙(墙足够长)，另外三边是用长为24 m的篱笆围成的，设BC＝x m，AB＝y m，则y与x之间的关系式为______________________.(写出自变量的取值范围)y＝－x＋12(0＜x＜24)例3 甲同学从图书馆出发，沿笔直路线慢跑锻炼，途中休息了两次，最后原路返回图书馆.已知他离图书馆的距离s(km)与时间t(min)之间的关系如图所示，请根据图象直接回答下列问题：(1)他第一次休息时距离图书馆_____km，停留的时间为____min；(2)他离图书馆的最远距离是___km，在120 min内共跑了___km；(3)他两次休息地相距_____km；考点2 函数图象获取信息1.520361.5(4)他在CD路段内的平均速度是每小时多少千米？解：CD路段内的路程为1.5 km，所用的时间为＝(h).∴甲同学在CD路段内的平均速度是1.5÷＝4.5(km/h).变式3-1 (2025湖南省卷)甲、乙两人在一次100 m赛跑比赛中，路程s(m)与时间t(s)的函数关系如图所示，____先到终点.(填“甲”或“乙”)甲变式3-2 氯酸钾在二氧化锰的催化作用下加热到一定的温度能产生氧气.如图，折线表示在该反应过程中，收集到氧气的质量M(g)随加热时间t(min)的变化情况，则下列说法错误的是( )A.第3 min时未产生氧气B.第6 min时开始产生氧气C.第10 min时氧气质量达到最大9.6 gD.10 min后，氧气质量仍在增加D例4 高速路况状态下，电动汽车的续航里程除了会受到环境温度的影响，还和汽车的行驶速度有关.某科研团队为了分析续航里程与速度的关系，进行了如下的探究，下面是他们的探究过程，请补充完整.(1)他们调取了某款电动汽车在某个特定温度下的续航里程(km)与速度(km/h)的有关数据如表所示：则自变量是______，因变量是__________.考点3 根据实际问题得函数图象速度 10 20 30 40 60 80 100 120 140 160续航里程 100 340 460 500 580 560 500 430 380 310速度 续航里程(2)如果设速度为x，续航里程为y，请在下图中画出反映变量关系的图象.(3)结合画出的图象，下列说法正确的有______.(填序号)①y随x的增大而减小；②当汽车的速度在60 km/h左右时，汽车的续航里程最大；③实验表明，汽车的速度过快或过慢时，汽车的续航里程都会变小.②③(4)若想要该车辆的续航里程保持在500 km以上，该车的车速应大约控制在____至_____km/h范围内.画函数图象的步骤：列表、描点、连线.40100变式4 如图，在学习浮力的物理课上，老师将铁块挂在弹簧测力计下方，铁块的下端离水面一定高度，将弹簧测力计缓慢匀速下降，让铁块完全浸入水中(不考虑水的阻力)，在铁块接触杯底前停止下降.能反映弹簧测力计的读数y(单位：N)与铁块下降的高度x(单位：cm)之间的函数关系的大致图象是( )C1.下列图象中，不能表示y是x的函数的是( )A B C DD1234567891011122.(2025内江)在函数y＝中，自变量x的取值范围是( )A.x≥2 B.x≤2C.x＞2 D.x＜2 A1234567891011123. (2025贵州)如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度( )A.越来越慢B.越来越快C.保持不变D.快慢交替变化B1234567891011124.某游泳池的横断面示意图如图所示.游泳池分为深水区和浅水区，如果以固定的流量向这个空水池注水(注满为止)，则水的深度h与注水时间t的函数关系的大致图象是( )D1234567891011125. (2025广西)生态学家G.F.Gause通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量y随时间t的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线.下列说法正确的是( )A.第5天的种群数量为300个B.前3天种群数量持续增长C.第3天的种群数量达到最大D.每天增加的种群数量相同B1234567891011126.在函数y＝－中，自变量x的取值范围是____________.7.一个正方形的边长为5 cm，每边减少x cm，得到新正方形的周长为y cm，y与x之间的关系式是____________________.x≤3且x≠2y＝20－4x(0＜x＜5)1234567891011128.大自然中的音乐与数学有着奇妙的联系，蟋蟀鸣叫就是其中的一种.据悉蟋蟀鸣叫的次数与气温关系密切，项目化学习小组统计了本地不同气温下某种蟋蟀每分钟鸣叫的次数，汇总如下表：若这种蟋蟀每分钟鸣叫112次，则该地当时的气温约为____℃.气温/℃ … 11 13 15 …蟋蟀每分钟 鸣叫的次数 … 56 70 84 …191234567891011129.(2025江西)在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者.甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是( )A.甲B.乙C.丙D.丁A12345678910111210. (2025河南)汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化.研究发现，某款轮胎的摩擦系数μ与车速v(km/h)之间的函数关系如图所示.下列说法中错误的是( )A.汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为0.9B.当0≤v≤60时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小C.要使这款轮胎的摩擦系数不低于0.71，车速应不低于60 km/hD.若车速从25 km/h增大到60 km/h，则这款轮胎的摩擦系数减小0.04C12345678910111211.甲、乙两车分别从B，A两地同时出发，甲车匀速前往A地，乙车匀速前往B地，到达B地立即以另一速度按原路匀速返回到A地.设甲、乙两车距A地的路程解：由图象，得乙车从A地到B地的速度为180÷1.5＝120(km/h).∴120m＝300.解得m＝2.5，为y(km)，乙车行驶的时间为x(h)，y与x之间的图象如图所示.(1)求乙车到达B地的时间；即乙车到达B地的时间为2.5 h.123456789101112(2)求乙车到达B地时甲车距A地的路程.解：由图象，得甲车的速度为(300－180)÷1.5＝120÷1.5＝80(km/h).则乙车到达B地时甲车距A地的路程是300－2.5×80＝300－200＝100(km).12345678910111212.如图1，在长方形ABCD中，AB＝4，点P沿着B→C→D→A运动，开始以每秒m个单位长度匀速运动，a s后变为每秒2个单位长度匀速运动，b s后恢复原速匀速运动，在运动过程中，△ABP的面积S与运动时间t的关系如图2所示.(1)求长方形的长；解：∵在5≤t≤7时，△ABP的面积不变，∴此时点P在CD上运动，速度为每秒2个单位长度.∵在5≤t≤7时，△ABP的面积为12，∴×4×BC＝12.∴BC＝6.∴长方形的长为6.123456789101112(2)直接写出m＝___，a＝___，b＝___；149123456789101112(3)当点P运动到BC的中点时，有一动点Q从点C出发，以每秒1个单位长度的速度沿着C→D→A运动，当一个点到达终点时，另一个点也停止运动，设点Q运动的时间为x s，△BPQ的面积为y，求当0≤x≤4时，y与x之间的关系式.解：解：由(1)，得BC＝6，CD＝2×2＝4.∵0≤x≤4，∴点Q在DC上.123456789101112点P分三种情形：①当0≤x≤1时，如图，点P1在BC上，BP1＝3＋x，CQ＝x.∴y＝BP1·CQ＝×(3＋x)·x＝x2＋x.②当1＜x≤2时，如图，点P2在BC上，BP2＝4＋2(x－1)＝2x＋2，CQ＝x.∴y＝BP2·CQ＝×(2x＋2)·x＝x2＋x.123456789101112③当2＜x≤4时，如图，点P3在CD上，CP3＝2(x－2)，CQ＝x.∴P3Q＝x－2(x－2)＝4－x.∴y＝P3Q·BC＝×(4－x)×6＝12－3x.∴y＝123456789101112(共30张PPT)第三章 函数第11课时 平面直角坐标系人教：七下P63～P86；华师：八下P34～P36，九上P84～P93；北师：八上P53～P73.各象 限内坐标 轴上 (1)点P(x，y)在x轴上 ⑤ ＝0；(2)点P(x，y)在y轴上 ⑥ ＝0；(3)原点O的坐标为⑦ .注意：坐标轴上的点不属于任何象限考点1 平面直角坐标系及点的坐标特征(＋，－)(－，－)(x<0，y>0)(x<0，y<0)yx(0，0)各象限角 平分线上 (1)第一、三象限角平分线上的点的横、纵坐标⑧ ；(2)第二、四象限角平分线上的点的横、纵坐标⑨ .平行于坐 标轴的直 线上 (1)平行于x 轴的直线上点的⑩ 坐标相等；(2)平行于y轴的直线上点的 坐标相等相等互为相反数纵横例1 已知点P(4－n，2n＋8).(1)若点P在第二象限，则n的取值范围是______.(2)若点P在x轴上，则n＝_____；若点P在y轴上，则n＝___.(3)若点P在第一、三象限的角平分线上，则n＝______；若点P在第二、四象限的角平分线上，则n＝______.(4)若点Q(4，n＋5)，PQ∥y轴，则点Q在第____象限.n＞4－44－－12一变式1-1 (2025成都)在平面直角坐标系xOy中，点P(－2，a2＋1)所在的象限是( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限变式1-2 在平面直角坐标系中，若点A(m，m－3)在x轴上，则点B(m＋2，1－m)所在的象限是( )A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限BD例2 如图，将一片枫叶图案放在平面直角坐标系中，若点A，B的坐标分别为(0，2)，(－1，0)，则点C的坐标为__________.(4，－3)变式2 如图，点M是正六边形EFGHPQ的中心.在平面直角坐标系中，若点M的坐标为(0，0)，点E的坐标为(－1，0)，则点H的坐标为( )A.(－2，0) B.(1，1) C.(1，0) D.(2，0)C点到坐标轴及原点的距离 如图，P(a，b)为平面直角坐标系中任意一点.(1)点P(a，b)到x轴的距离为｜b｜；(2)点P(a，b)到y轴的距离为｜a｜；(3)点P(a，b)到原点的距离为考点2 平面直角坐标系内点的坐标与距离两点间 的距离 已知P(x，y)，Q(x1，y1)为平面直角坐标系中任意两点.(1)如图1，PQ∥x轴 y＝y1，PQ＝｜x1－x｜；(2)如图2，PQ∥y轴 x＝x1，PQ＝｜y1－y｜；(3)PQ＝.拓展：PQ的中点M的坐标是例3 若点P在第二象限，且点P到x轴的距离为4，到y轴的距离为2，则点P的坐标为( )A.(2，－4) B.(4，－2)C.(－4，2) D.(－2，4)变式3-1 已知点A(－1，2)，点B到y轴的距离为3，若线段AB与x轴平行，则点B的坐标为__________________.D(－3，2)或(3，2)变式3-2 如图，若四边形ABCD为正方形，AB平行于x轴，顶点A的坐标是(－1，1)，B的坐标是(3，1)，则顶点C的坐标是________.(3，5)点的对称 P(x，y) P1 ；P(x，y) P2 ；P(x，y) P3 .点的平移 P(x，y) P1(x－m，y)；P(x，y) P2 ；P(x，y) P3 ；P(x，y) P4 .考点3 用坐标表示点的对称与平移(x，－y) (－x，y)(－x，－y) (x＋m，y) (x，y＋n) (x，y－n) 例4 已知点P(－2，3)关于原点的对称点为点Q(a，b)，则a－b＝___.变式4-1 点A与点B关于x轴对称，点B与点C关于y轴对称.若点A的坐标为(m，n)，则点C的坐标为( )A.(－m，n) B.(m，－n)C.(－m，－n) D.(m，n)变式4-2 已知点(a，－3)向左平移4个单位长度后，到y轴的距离为2，则a的值为______.5C2或6例5 如图，在平面直角坐标系中，已知A(0，a)，B(b，0)，C(3，c)三点，且a，b满足关系式｜a－2｜＋(b－3)2＝0，BC＝2OA.(1)求点C的坐标.解：∵｜a－2｜≥0，(b－3)2≥0，｜a－2｜＋(b－3)2＝0，∴a－2＝0，b－3＝0.解得a＝2，b＝3.∴A(0，2)，B(3，0).∴OA＝2.∵BC＝2OA，∴BC＝4.∵B(3，0)，C(3，c)，∴BC⊥x轴.∴C(3，4).(2)是否存在点P使得△AOP的面积为四边形AOBC面积的2倍？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.解：存在点P，使得△AOP的面积为四边形AOBC面积的2倍.由(1)，得四边形AOBC为直角梯形，且OA＝2，BC＝4，OB＝3.∴S四边形AOBC＝(OA＋BC)·OB＝×(2＋4)×3＝9.∵S△AOP＝·OA·｜m｜＝×2·｜m｜＝｜m｜，S△AOP＝2S四边形AOBC，∴｜m｜＝2×9.∴m＝±18.∴点P的坐标为(18，－6)或(－18，6).1.(2025贵州)如图，在平面直角坐标系中有A，B，C，D四点，根据图中各点位置判断，在第四象限的是( )A.点A B.点B C.点CD.点DD123456789101112131415162.若点P(3，a－2)和点Q(3，－2)关于x轴对称，则a的值为( )A.4 B.－2C.2 D.－4A123456789101112131415163.大雁在南飞时保持严格整齐的队形，即排成“人”或“一”.如图，这是大雁南飞时的平面网格图，如果最后两只大雁F，G的坐标分别为F(－1，4)，G(－1，－2)，那么头雁A的坐标是( )A.(3，1)B.(4，1)C.(4，2)D.(5，1)D123456789101112131415164.若将点P(3m－1，m＋2)向上平移1个单位长度得到点Q，且点Q在x轴上，则点P的坐标为( )A.(－5，0) B.(－7，－1)C.(－10，0) D.(－10，－1)D123456789101112131415165.如图，在平面直角坐标系中，直线l⊥x轴于点A(－6，0)，直线m⊥y轴于点B(0，－3)，则点P的坐标可能是( )A.(－6.5，－3.5)B.(－6.5，－2.5)C.(－5.5，－3.5)D.(－5.5，－2.5)B123456789101112131415166.(2025广安)在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为(a，b)，且a，b满足(a－2)2＋｜b＋3｜＝0，则点A在第____象限.7.(2025泸州)若点(1，a－2)在第一象限，则a的取值范围是______.8.已知点P(4，a＋1)与点Q(－5，7－a)的连线平行于x轴，则a的值为___.四a＞23123456789101112131415169.在平面直角坐标系中，已知点M(m＋2，m－5).(1)若点M在x轴上，求m的值；解：∵点M(m＋2，m－5)在x轴上，∴m－5＝0.解得m＝5.12345678910111213141516(2)若点M在第二、四象限的角平分线上，求点M的坐标；解：∵点M(m＋2，m－5)在第二、四象限的角平分线上，∴点M的横、纵坐标互为相反数.∴m＋2＋m－5＝0.解得m＝.∴点M的坐标为.12345678910111213141516(3)在同一平面直角坐标系中，点A(4，6)，且AM∥y轴，求点M的坐标.解：∵点A(4，6)，且AM∥y轴，M(m＋2，m－5)，∴点A，M的横坐标相等，即m＋2＝4.解得m＝2.∴点M的坐标为(4，－3).1234567891011121314151610.已知点P(2a，1－3a)在第二象限，且点P到x轴的距离与到y轴的距离之和是11，则a的值为( )A.－1 B.1C.－2 D.311.在平面直角坐标系中，有A(0，3)，B(2，3)，C(4，－1)三点，P为直线AB上的动点，当PC的长度最小时，点P的坐标为( )A.(－1，3) B.(4，3)C.(3，3) D.(2，2)CB1234567891011121314151612.已知m2＝16，＝5，若A(m，n)在第四象限，则m＋n的值为_____.13.如图，已知A，B两点的坐标分别为A(－3，1)，B(－1，3)，将线段AB平移得到线段CD.若点A的对应点是C(1，2)，则点B的对应点D的坐标是________.－1(3，4)1234567891011121314151614.(2025山西)如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(6，0)，将线段OA绕点O逆时针旋转45°，则点A对应点的坐标为____________.15.(2025德阳)△ABC在平面直角坐标系中，已知A(1，0)，B(3，0)，如果△ABC的面积为1，那么点C的坐标可以是____________________________________________.(只需写出一个即可)(3，3) (2，1)(答案不唯一，纵坐标的绝对值为1即可)1234567891011121314151616. 已知当m，n都是实数，且满足2m＝8＋n时，称P(2m－2，n＋2)为“好点”.例如，点A(5，1)为“好点”.因为当A的坐标为(5，1)时，2m－2＝5，n＋2＝1，解得m＝，n＝－1，所以2m＝2×＝7，8＋n＝8＋(－1)＝7.所以2m＝8＋n.所以A(5，1)是“好点”.(1)判断B(3，－1)，C(6，10)是否为“好点”，并说明理由；解：B(3，－1)是“好点”，C(6，10)不是“好点”.理由：当B的坐标为(3，－1)时，2m1－2＝3，n1＋2＝－1.解得m1＝，n1＝－3.12345678910111213141516∴2m1＝2×＝5，8＋n1＝8＋(－3)＝5.∴2m1＝8＋n1.∴B(3，－1)是“好点”.当C的坐标是(6，10)时，2m2－2＝6，n2＋2＝10.解得m2＝4，n2＝8.∴2m2＝2×4＝8，8＋n2＝8＋8＝16.∴2m2≠8＋n2.∴C(6，10)不是“好点”.12345678910111213141516(2)若点M(a，2a－1)是“好点”，请判断点M在第几象限，并说明理由.解：点M在第三象限.理由：∵点M(a，2a－1)是“好点”，∴2m－2＝a，n＋2＝2a－1.整理，得m＝，n＝2a－3.∵2m＝8＋n，∴2·＝8＋(2a－3).解得a＝－3.∴M(－3，－7).∴点M在第三象限.12345678910111213141516 展开更多...... 收起↑ 资源列表 1 第11课时 平面直角坐标系.pptx 10 核心微专题2 二次函数.pptx 2 第12课时 变量与函数.pptx 3 第13课时 一次函数的图象与性质.pptx 4 第14课时 一次函数的实际应用.pptx 5 第15课时 反比例函数的图象与性质(含实际应用).pptx 6 核心微专题1 反比例函数.pptx 7 第16课时 二次函数的图象与性质(1).pptx 8 第17课时 二次函数的图象与性质(2).pptx 9 第18课时 二次函数的实际应用.pptx
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