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乌鲁木齐地区2026年高三年级第一次质量监测
数学（问卷）
（卷面分值：150分；考试时间：120分钟）
注意事项：
本试卷分为问卷（4页）和答题卡（2页），答案务必书写在答题卡的指定位置上.
答题前，先将答卷密封线内的项目（或答题卡中的相关信息）填写清楚.
第Ⅰ卷 （选择题 共58分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分. 在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上.
1. 若集合，，则集合
A. B.
C. D.
2. 复数
A. B.
C. D.
3. 下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是
A. B.
C. D.
4. 若，则下列选项正确的是
A. B.
C. D.
5. 已知单位向量与的夹角为，则
A.1 B.
C.2 D.
6. 在中，角，，的对边分别为，，，已知，，，则的面积为
A. B.
C. D.
7. 设抛物线的焦点为，准线为，为上一点，以为圆心，为半径的圆交于，两点，若，且的面积为，则
A. 　　　 B. 　　　
C. 　　　 D.
8. 已知函数，则的解集是
A. 　　　　　　 B.
C. 　　　　　　　　 D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。
9. 已知函数，则
A. 　　　　　　　　　
B. 的极大值点是
C. 在处的切线为　
D. 图象的对称中心是
10. 两个具有相关关系的变量，的一组数据为，，，，其经验回归方程为，记，，相关系数为；若将数据调整为，，，，其经验回归方程为，记，相关系数为，则
附：，
A. 　 B. 　
C. 　 D.
11. 双曲线左右焦点为，，为坐标原点，过点作斜率为的直线交双曲线左支于，两点，点在轴上方，且，则
A. 　
B. 的离心率为2
C. 的面积为　
D.
第Ⅱ卷 （非选择题 共92分）
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分。
12. 已知，则
13. 已知，则的取值范围为
14. 已知圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，正四棱台的上底面四个顶点均在圆锥的侧面上，下底面四个顶点均在圆锥的底面圆周上，若正四棱台的上、下底面面积比为，则该正四棱台的体积为
四、解答题：本大题共5小题，共计77分。解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（13分）等差数列的前项和为，已知，。
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）数列的各项依次是数列的第，，，项，这些下标构成等比数列，求数列的前项和。
16.（15分）椭圆的一个顶点是，为坐标原点，离心率为。
（Ⅰ）求椭圆方程；
（Ⅱ）是椭圆上轴上方一点，是右焦点，的斜率为，求四边形的面积。
17.（15分）如图，在三棱柱 中， ， 分别为 ， 的中点.
（Ⅰ）若点 在线段 上，且 ，求证 平面 ；
（Ⅱ）若 ，，，求平面 与平面 的夹角.
18.（17分）已知函数 .
（Ⅰ）当 时，求 的单调区间；
（Ⅱ）当 时，求曲线 的对称轴；
（Ⅲ）求 的最大值和最小值.
19.（17分）某人开车从 地到 地，依次路过编号为 ，，， 的 个路口，每个路口等可能地遇到红灯或绿灯且相互独立.记奇数号路口遇到红灯的次数为 ，偶数号路口遇到红灯的次数为 ，记事件“”为 ， 的概率为 .
（Ⅰ）求 ，；
（Ⅱ）当 .
（i）设 ，求 ；
（ii）比较 与 的大小，并证明你的结论.
乌鲁木齐地区2026年高三年级第一次质量监测
数学（答案）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共计40分.
1~4 CBCD 5~8 BDAA
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共计18分. 在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求. 全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9.BCD 10.BD 11.ABD
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分.
12. 13. 14.
四、解答题：本大题共5小题，共计77分. 解答应在答卷的相应各题中写出文字说明，证明过程或演算步骤.
15.（13分）
（Ⅰ）因为是等差数列，由已知，，得，所以，
所以，所以； …6分
（Ⅱ）由题意可知：，所以． …13分
16.（15分）
（Ⅰ）由题知，，解得，所以椭圆方程为 …6分
（Ⅱ）因为，所以，联立，
得，解得或（舍），所以，
所以四边形的面积． …15分
17.（15分）
（Ⅰ）取中点，连接，，因为，，所以，
又因为为的中点，所以，所以平面平面。
所以平面。分
（）因为，，，所以，
又因为，所以，因为，，所以。
以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，
因为，，，所以，
则，，，，所以，，
设平面的法向量为，
则，即，令，得，
又因为平面的法向量，
设平面与平面的夹角为，则，
所以平面与平面的夹角为。分
18.（17分）
（）时，
由，得
由，得
所以时，的增区间为，，
减区间为，。分
（）时，
不妨设时，的对称轴方程为，由对称轴定义得，
令，得，
化简得，即，所以
下面证明当时，恒成立，
因为，
所以的对称轴方程为。分
（III） 当时，时，；时，
当时，，
因为，且为奇数，单增，考虑一个周期，令，
减 增 减 增 减 增
综上，当时，，；
当，且为奇数时，，。分
19.（17分）
（I），；分
（II）（i） 由题意可知，，所以；分
（ii） 记样本空间为，则
（注：）
所以
设，则
所以。分
解法二：设随机变量是比少的个数，可取1，2，…，k
方法一：
由，可得：
根据组合数性质，且（令）
由范德蒙德卷积公式，这里，，，所以。
因此，又，，化简可得。
方法二：
考虑超几何分布的背景，从个产品（其中个次品，个正品）中抽取个，设为其中次品的个数，则。
将抽取过程看作不放回抽样，我们可以用期望的定义来计算。
首先，，，，，。
则。
当时，，所以。
根据组合数性质，则：
提取常数，得。
令，则当时，；当时，，所以：
再由范德蒙德卷积公式，，这里，，，所以。
因此，又，，化简可得：
。
方法三：
利用对称性，设为抽取的个产品中正品的个数，则，所以。
而服从超几何分布，同理可得。
因此。
综上，超几何分布的数学期望。

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