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2025—2026学年高三年级第一次模拟考试
数学试题
说明：1. 本卷共有四个大题，19个小题，全卷满分150分，考试时间120分钟。
2. 本卷分为试题卷和答题卷，答案要求写在答题卷上，在试题卷上作答不给分。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求。
1. 已知，则集合为（ ）
A. B.
C. D.
2. 设，，，是非零实数，则“”是“，，，成等比数列”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3. 已知平面，和直线，，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，，则
B. 若，，则
C. 若，，则
D. 若，，则
4. 已知，是双曲线与椭圆的公共焦点，点是，在第一象限的交点，且，则的离心率是（ ）
A. B.
C. D.
5. 在复平面内，复数（为虚数单位）与点对应，则（ ）
A. B.
C. D.
6. 如图，一几何体上半部分为圆台，下半部分为圆锥，其中圆锥底面的半径为，高为。圆台的两底面的半径分别为和，高为。该几何体内接于表面积为的球，则圆台的体积为（ ）
A. B.
C. D.
7. 已知等比数列的前项积为，若，，，若使成立的最大自然数为，则（ ）
A.2025 B.2026 C.4050 D.4051
8. 已知在上有两个不同零点，则的取值范围为（ ）
A. B.
C. D.
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.
9. 已知方程：，则下列结论正确的是（ ）
A. 若方程表示椭圆，则
B. 若，则方程表示焦点在轴上的双曲线
C. 存在，使方程表示直线
D. 存在，使方程表示抛物线
10. 已知正四面体的棱长为2，下列说法正确的是（ ）
A. 正四面体的外接球表面积为
B. 正四面体内任意一点到四个面的距离之和为定值
C. 正四面体的相邻两个面所成二面角的正弦值为
D. 正四面体在正四面体的内部，且可以任意转动，则正四面体的体积最大值为
11.1979年，李政道博士给中国科技大学少年班出过一道智趣题：“7只猴子分一堆桃子，怎么也不能分成7等份，只好先去睡觉，准备第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起来，先吃掉1个桃子，然后将其分成7等份，藏起自己的一份就去睡觉了；第2只猴子又爬起来，吃掉1个桃子后，也将桃子分成7等份，藏起自己的一份睡觉去了；以后的5只猴子都先后照此办理.问最初至少有多少个桃子？最后至少剩下多少个桃子？”下列说法正确的有（ ）
A. 若最初有个桃子，则被7除的余数为1
B. 若第只猴子连吃带分共得到个桃子，则为等比数列
C. 若最初有个桃子，则第7只猴子偷偷办理后还剩得个桃子
D. 若第只猴子分得个桃子（不含吃的），则
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分，请将正确答案填在答题卷相应位置.
12. 直线过点，，且与直线平行，则这两条平行直线之间的距离为______.
13. 若不等式对恒成立，则______.
14. 某校高三年级有个班，每个班均有人，第个班中有个女生，余下的为男生.在这个班中任取一个班，再从该班中依次取出三人，若第三次取出的人恰为男生的概率是，则______.
四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤.
15.（13分）为了解人工智能对学生学习的助力情况，新余市组织部分高一学生参加“人工智能”知识竞赛（满分100分），并从中随机抽查了100名学生的成绩（单位：分），将他们的成绩分成以下6组：，，，……，，统计结果如下面的频数分布表所示.
组别
频数 10 15 20 30 15 10
已知高一学生的这次竞赛成绩近似服从正态分布，其中近似取为样本平均数的整数部分，近似取为样本标准差的整数部分，并已求得（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）.
（1）从参加竞赛的高一学生中随机抽取一个学生的竞赛成绩，试估计他的竞赛成绩在区间内的概率（结果保留一位小数）.
（2）现从参加竞赛的高一学生中随机选取名同学的竞赛成绩，根据（1）的结果，若他们的成绩均在范围内的概率不低于1%，求的最大值（为正整数）
参考数据：，若，则，.
16.（15分）设的内角、、所对的边分别为、、，已知，.
（1）求的值；
（2）若，求的面积.
17.（15分）如图， 平面四边形 中， ， ， ， ， ，
点 ， 满足， ， 将 沿 对折至， 使得 .
(1)证明: ;
（2）求面 与面 所成的二面角的正弦值.
18.（17分） 函数的定义域为， 且， ， 在处的
切线为.
（1）求的最大值；
（2）证： 当时， 除切点外， 均在上方；
（3）当时， 直线过点且与垂直， ， 与轴的交点横坐标分别为， ， 求
的取值范围.
19.（17分） 平面直角坐标系中， 已知点和动点， 以线段为直径的圆始终与
轴相切， 记点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的标准方程；
（2）按照如下方法依次构造点列， ， ， （其中）： 设
， ， ， 过点作斜率为的直线与曲线分别交于点， ， 直线与曲
线交于另一点， 直线与曲线交于另一点， 直线与轴交于点.
（i）求证： 数列和均为等比数列；
（ii）记的面积为， 当时， 求证：.
新余市2025—2026学年度上学期期末质量检测
高三数学参考答案
1-8.CBDA CDCD 9.BC 10.ABD 11.ABD
12. 13. 14.9
15.（1）6个分组的中点值分别为45，55，65，75，85，95，
样本平均数估计值，
可得μ=70。 3分
由，则，，
因为，
所以
=P(μ-σ(2) 设“从高一年级随机选取一名学生的竞赛成绩在(56，范围内”为事件A，
则；从高一年级随机选取n名同学的竞赛成绩，
他们的成绩均在(56，98]范围内的概率为p=0.8n； 9分
由，两边取对数可得；
，，
所以n≤-2-0.097≈20.6，由n为正整数，所以n的最大值为20。 13分
16.（1） 由余弦定理得，
又c2=32ab，所以3ab=2c2， 3分
则，所以，
由正弦定理，得sinA+sinB=3sinC=32。 6分
（2） 由正弦定理及c2=32ab，得sin2C=32sinAsinB，所以sinAsinB=12， 8分
由（1）知，
又a-b=1，即a>b，A>B，所以sinA=1，sinB=12． 11分
因为，，
所以A=π2，B=π6， ABC为直角三角形，则a=2b， 13分
所以，，．
所以 ABC的面积S ABC=12bc=32． 15分
17.（1）证明：，，，
∴EF=AE2+AF2-2AE·AF·cos30°=2， 2分
，即，即，
又，，平面，
平面，
又PD 平面PAE，∴EF⊥PD； 6分
（2） 解：，，，，
又，，
，，又，，，平面，
∴PE⊥平面EFC， 9分
又平面，
∴PE⊥DE，∴EF，ED，PE两两垂直， 10分
所以以为原点，，，方向分别为，，轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，，，，
易知，，，，
设，，分别为平面，平面的法向量，
由，取，得，12分
由，取，得，14分
所以，，
设面与所成的二面角的大小为，
故。15分
18.（1） 由，
则，得，函数的定义域为，1分
令，求导可得，令，解得，
当时，，函数单调递增；当时，，函数单调递减。
所以。4分
（2） 由题意可得切线，
令，，5分
令，解得，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，7分
所以。
故，，当时，除切点外，均在上方；9分
（3） 由题意可得，，
令y=0，解得x1=f(a)f'(a)+a，x2=f(a)f'(a)+a， 11分
所以2a-x1-x2x2-x1=1-(f'(a))2(f'(a))2+1=-1+2(f'(a))2+1， 13分
由 （1） 可知函数在上单调递增，在上单调递减，
且，则，
代入得2a-x1-x2x2-x1∈e2-1e2+1,1， 17分
19.（1） 设动点的坐标为，则的中点为，
以为直径的圆的半径，
因为该圆与轴相切， 所以，
化简得y2=4x，所以曲线C的标准方程为y2=4x 3分
（2）（i） 过且斜率为的直线方程为：
代入得，
由韦达定理：，①，
设直线的方程为，代入得，
则，可得②，
同理，由yn'·yn+1=-4bn，可得yn+1=4bnyn'③ 5分
则直线的斜率
直线的方程为：，
代入化简得（），
将②③代入 ，结合①可得
，7分
代入（）式，化简得 ，
由于 ，，，满足 ，
则 ，，
所以是以1为首项，4为公比的等比数列，
所以是以2为首项，4为公比的等比数列。9分
（ii）由（i）可得 ，，
，，
，，
，
代入得 ，
化简得 ，
所以是首项为1，公比为2的等比数列，。11分
其中 ，
。
，13分
，15分
由于 ，
，
所以
综上得证 17分

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